comportamiento asintótico de problemas parabolicos

Comportamento assinttico de problemasparablicos em domnios tipo dumbbell

German Jesus Lozada Cruz

SERVIO DE POSGRADUO DO ICMC-USP

Data de Depsito: 02/12/2003

Assinatura:

Comportamento assinttico de problemasparablicos em domnios tipo dumbbell


Orientador: Prof. Dr. Alexandre Nolasco de Carvalho

Tese apresentada ao Instituto de Cincias Matemticas e deComputao - ICMC-USP, como parte dos requisitos paraobteno do ttulo de Doutor em Cincias- rea de Matemtica

Durante a elaborao deste trabalho, o autor recebeu apoio financeiro da FAPESP. Processo.00

01479 8

USP - So CarlosDezembro de 2003

Comportamento assinttico em problemasparablicos em domnios tipo dumbbell

Este exemplar corresponde redao final da tese

devidamente corrigida e defendida por


e aprovada pela comisso

julgadora.

So Carlos, Dezembro de 2003.

Banca examinadora:

Prof. Dr. Alexandre Nolasco de Carvalho (Orientador) - ICMC - USP

Prof. Dr. Orlando Francisco Lopes, IMECC-UNICAMP

Prof. Dr. Jos Gaspar Ruas Filho, ICMC-USP

Prof. Dr. Luiz Augusto Fernandes de Oliveira, IME-USP

Prof. Dr. Arnaldo Simal do Nascimento, DM-UFSCar

Dedico este trabajo a:mis padres Eduardo y Aurelia,mis hermanas Elita y Vereny,

mis sobrinas Greyci, Camila y Sheylami esposa Dulcimar y mi hijo Nicolah Henry

A mathematician is a machine for turning coffee into theorems.Paul ERDS, (1913-196)

God not only plays dice. He also sometimes

throws the dice were they cannot be seen.Stephen HAWKING, (8 January 1942- )

If, I were a medical man, I should prescribe a holiday to

any patient who considered his work important.Bertrand RUSSELL, (1872-1970)

Allinizio e alla fine abbiamo il mistero.Potremmo dire che abbiamo il disegno di Dio.

A questo mistero la matematica ci avvicina, senza penetrarlo.Ennio De GIORGI, (1928-1996)

A mathematicians reputation rest on the

number of bad proofs he has given.Abram BESICOVICH, (1891-1970)

A blind man tramps at random touching the road with a stick.He places his foot carefully and mumbles to himself.

The whole world is displayed in his dead eyes.There are a house, a lawn, a fence, a cow

and scraps of the skyeverything he cannot see.Vl. KHODASEVICH

A blind Man

AgradecimentosEm primeiro lugar quero agradecer a Deus por ser to generoso comigo e no abandonar-me

nos momentos difceis da minha vida.

Agradecer ao Prof. Alexandre N. de Carvalho, pelo incentivo nos momentos difceis, peladedicao, pela calma e pela forma segura e paciente durante a orientao nos meu estudo deDoutorado no ICMC e na elaborao desta tese.

Gostaria tmbm de agradecer ao professores: Joan Sol-Morales Rubi e Neus CnsulPorras pelo convite ao Departament de Matemtica Aplicada I da Universitat Politcnica deCatalunya (Barcelona) e tambm pelas interessantes discusses que tivemos la.

Agradecer ao professor Jos Maria Arrieta Algarra pelo convite ao Departamento deMatemtica Aplicada da Universidad Complutense de Madrid e pelas discusses valiosas quetivemos la como tambm pela sua gentileza de ter respondido-me muitos de meus e-mails comboas suguestes, ajuda em algumas demonstraes do Captulo 3.

A meus pais: Eduardo e Aurlia por serem o meio pelo qual existo e estou aqui.

A minhas irms: Elita e Vereny pelo seu apoio incondicional at o dia de hoje e minhassobrinhas Greyci, Camila e Sheyla por serem parte da minha familia.

Aos professores do Departamento de Matemtica e todos os demais professores do ICMC-USP, que contriburam de alguma maneira na minha formao acadmica.

FAPESP pelo apoio financeiro no programa de Doutorado.

Aos professores do Departamento de Matemtica da Universidad Nacional de Trujillo.

Aos Colegas, que me suportaram e tornaram esses anos mais agradveis, dentre elesdestacarei os seguintes: Ana Lcia, Andra Guimares, Benito, Vera, Raimundo, etc.

Ao Sadao pela sua pronta disposio na ajuda e dicas no Latex.

A todas as pessoas que de alguma maneira cooperaram para a concluo este trabalho.Desde j, peo desculpas s pessoas que involuntariamente no foram citadas aqui.

Finalmente no puedo dejar de mencionar el apoyo que en lo personal siempre recebi ycontinu recibiendo de mi esposa Dulcimar y de mi hijo Nicolah. Mismo sabiendo quenada puede recompensar el tiempo que deje de dedicarles, es para mi una grande satisfaccindedicarles este trabajo.

Muchas gracias

Resumo

O propsito deste trabalho estudar a dinmica assinttica de problemas parablicos emdomnios tipo dumbbell. Para isto primeiro estudaremos a semi-continuidade superior deatratores para problemas parablicos com condio de fronteira do tipo Neumann homogneae depois estudaremos a existncia de equilbrios estveis no-constantes para problemas dereao-difuso com condies de fronteira tipo Neumann no-lineares.

Abstract

The aim of this work is to study the asymptotic dynamics of parabolic problems indumbbell type domains. To that end firstly, we study upper semicontinuity of attractors forparabolic problems with homogeneous Neumann boundary conditions and afterwards we studythe existence of stable nonconstant equilibria for reaction-diffusion problems with nonlinearNeumann boundary conditions.

Sumrio

1 Introduo 11.1 Objetivos da tese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Descrio dos resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Preliminares 72.1 Operadores e Semigrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.1 Semigrupos analticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.1.2 Potncias fracionrias de operadores setoriais . . . . . . . . . . . . . . 92.1.3 Espaos de potncias fracionrias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.1.4 Teoremas de imerses de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Problema de Cauchy abstrato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2.1 Equao de evoluo com operador setorial . . . . . . . . . . . . . . . 122.2.2 Existncia local de solues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2.3 Frmula da variao das constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2.4 Gerao de semigrupos no-lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3 Atratores: Teoria geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3.1 Existncia de atrator global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3.2 Solues de equilbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3.3 Estrutura gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.3.4 Caracterizao do atrator global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.4 Equaes de reao-difuso com condies de fronteira no-lineares . . . . . . 282.4.1 Formulao semilinear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.4.2 Existncia local de soluo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.4.3 Existncia global de soluo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.4.4 Existncia de atrator global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.4.5 Estimativas uniformes nos atratores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.4.6 Estabilidade de equilbrios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3 Semi-continuidade superior de atratores 473.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.2 Problema perturbado (P ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.3 Problema limite (P0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.4 Comparao dos problemas perturbado e limite . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.4.1 Comparao dos operadores resolventes . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.4.2 Comparao dos semigrupos lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

ix

3.4.3 Comparao dos semigrupos no-lineares . . . . . . . . . . . . . . . . 773.5 Semi-continuidade superior dos atratores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4 Padres induzidos por controles no-lineares na fronteira 814.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.2 Convergncia de autovalores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.3 Convergncia de autofunes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.4 Equao limite para o problema perturbado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984.5 Teorema de trao uniforme em . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1024.6 Variedades invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1044.7 Padres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

5 Comentrios finais e problemas para estudos futuros 123

Referncias Bibliogrficas 127

ndice de Notaes 131

ndice Remissivo 133

x

Lista de Figuras

2.1 Variedade invariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.1 Possibilidades do domnio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.1 Domnio tipo Dumbbell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.2 Retrato de fase aproximado: 0, g u u u3, f 0 . . . . . . . . . . . . 122

xi

CAPTULO

1Introduo

M uitos sistemas dinmicos so gerados por equaes diferenciais evolutivas. Estasequaes diferenciais podem ser ordinrias, parciais, funcionais ou combinaesdestas. Neste trabalho estudaremos sistemas dinmicos gerados por equaesdiferenciais parciais do tipo parablico.

conhecido que os sistemas dinmicos gerados pela equao parablica

ut du f u x t 0

un 0 x t 0

(1.0.1)

em um domnio convexo , no apresentam solues de equilbrio estveis e espacialmentedependentes (padres) (veja [36]). Posteriormente, mostrou-se (veja [36]) que possvelproduzir padres em domnios com constries, isto , em domnios que consistem de duaspartes desconexas ligadas por um canal fino (dumbbells). Estes domnios se degeneram (nolimite) em dois domnios desconexos ligados por um segmento de reta. O presente trabalhotem por objetivo estudar a continuidade da dinmica assinttica de problemas parablicos emdomnios do tipo dumbbell quando o canal se degenera e com condies de fronteira no linear.

Um dos principais objetivos na construo de um modelo predizer o comportamentodo fenmeno atravs do modelo matemtico. Mais ainda, em muitas situaes no estamosinteresados no futuro imediato e sim no comportamento do fenmeno modelado para temposgrandes. Neste ltimo caso, estuda-se o comportamento asinttico do sistema. Notemos apotncia e interesse desta idia: se o modelo correto e se temos ferramentas apropriadas parao anlise assinttica do sistema, poderamos conhecer com relativa preciso o futuro real dofenmeno.

Nosso interesse a estudar a dependncia da dinmica assinttica de problemas parablicos

1

Introduo

em domnios do tipo dumbbel relativamente ao parmetro , que determina a espessura daseo transversal ao canal, quando tende a zero. O conceito de atrator global converteu-se,nas ltimas dcadas, em uma ferramenta muito til para o estudo do comportamento asintticodas equaes diferenciais (ordinrias e parciais). Grosso modo, um atrator um conjuntocompacto e invariante em direo ao qual todas as solues do sistema se aproximam paratempos grandes.

Mais especificamente, nesta tese pretendemos contribuir com o estudo do comportamentoassinttico do seguinte problema parablico no-linear

ut u f u em t x 0

un 0 em t x 0

u 0 x u0 em

(1.0.2)

onde n denota a derivada normal , u0 a condio inicial dada, domnio limitado do N , N 2 singularmente perturbado da forma R (

N um domnio limitado),por exemplo um domnio tipo dumbbell (veja b na Figura 3.1 e Figura 4.1) com fronteirasuave e f satisfaz as seguintes condies:

i . f :

uma funo de classe C 2,

ii . limsup

u

0

f u u

0.

Das hipteses acima, o problema (1.0.2) est bem posto em C (veja Mora [37]) e pelacondio (ii) de dissipatividade da f o problema (1.0.2) tem um atrator global A .

O problema limite para (1.0.2) quando

0 dado por

wt w f w em t x 0

vn 0 em t x 0

vt 1g gvx x f v em t x 0 ! 0 1

v 0 w 0 v 1 w 1 "

(1.0.3)

Sob as hipteses acima, o problema (1.0.3) est bem posto em X0. Alm disso, pelacondio de dissipatividade da f o problema (1.0.3) tem um atrator global A0.

Jimbo [32] mostrou a continuidade dos atratores para o problema (1.0.2) quando o canal reto. Alm disso, no existem provas dos resultados anunciados em [32].

Mostraremos a semi-continuidade superior de atratores para o problema (1.0.2) quandoo canal obtido pela revoluo de uma curva suave (veja a definio de R na introduodo Captulo 3). O estudo da semi-continuidade inferior dos atratores, e conseqentemente a

2

continuidade dos atratores para (1.0.2) ser objeto de estudos futuros.

Em [38], Morita estudou o problema (1.0.1) quando d parmetro fixo muito grande e um domnio no convexo da forma de um dumbbell unido por um canal fino. Ele mostra aexistncia de uma variedade invariante finito dimensional exponencialmente atratora e a formareduzida das equaes diferenciais na variedade invariante.

Na tentativa de obter a existncia de padres, a primeira pergunta que se faz o que mudarno problema (1.0.1) (com convexo) para que padres sejam possveis. Se (1.0.1) vistocomo um modelo para reaes qumicas ocorrendo em um recipiente fechado e u representaa concentrao, raciocinando intuitivamente, rapidamente imaginamos como produzir taispadres.

Observe que du na equao (1.0.1) o termo de difuso que se ope a existncia degradientes de concentrao e faz com que os estados estveis sejam apenas homogneos(espacialmente constantes). Uma maneira de produzir padres introduzir no sistema algoque se oponha homogenizao, ou seja, uma obstruo ao fluxo de concentraes. Podemosalcanar isto das seguintes maneiras: Obstruo no domnio, Obstruo por membranasPermeveis e Obstruo fraca provocada por difusibilidade no constante, entre outrosmtodos.

fcil comprovar que os zeros da funo f so solues de equilbrio para (1.0.1).

Motivada pelo problema com condies de Neumann homogneas (1.0.1), Neus Cnsul[20], na sua tese de Doutorado, estudou a existncia de padres para equaes de difuso comcondies de fronteira no-homogneas do tipo

ut u t x 0

u f u # t x 0 "

(1.0.4)

Como no problema (1.0.1), os zeros da funo f so solues de equilbrio para o problema(1.0.4).

conhecido que a formulao abstrata de problemas de valor inicial para equaes dereao-difuso como

ut u f u # t x 0

u g u t x 0

u 0 x u0 x

(1.0.5)

num domnio limitado N , pode ser colocada como um problema de evoluo semi-linear

num espao de Banach adequado (veja por exemplo [6]).

Nesta tese tambm pretendemos dar nossa contibuio no estudo da existncia de padresobtidos por fluxo de concentrao na fronteira num domnio tipo dumbbell para o seguinte

3

Introduo

sistema

ut

N $ 1u f u em t x 0

N $ 1

u g u em t x 0

(1.0.6)

onde

denota a derivada normal exterior a fronteira de R (ver Figura 4.1),

L R com L, R N (N 2) domnios, R um canal fino que conecta L e R,

0 um parmetro positivo pequeno, 0 uma constante positiva, % N $ 1 o coeficientede difuso do sistema, f e g so funes no-lineares satisfazendo certas propriedades dedissipatividade que sero especificadas mais tarde.

Seja 2 o segundo autovalor do Laplaciano com condio de Neumann homognea em

2 e consideremos % 2 como sendo o coeficiente de difuso para o problema (1.0.6),cuja existncia de padres mostramo em [14]. Usando o mesmo coeficiente de difuso econsiderando

N , com N 2, tambm obtemos a existncia de padres para problema(1.0.6) (veja [13]). Em [15], estudamos a existncia de padres para o problema (1.0.6), ondeN $ 1 a taxa tima de convergncia do segundo autovalor 2 do operador Laplaciano comcondio de Neumann homognea em . Em [16], estudamos a existncia de padres para oproblema (1.0.6) quando o coeficiente de difuso da forma 1 % , onde 0 um parmetro.

Em todos os trabalhos mencionados acima usamos a teoria de variedades invariantes parademonstrar que a dinmica de (1.0.6) equivalente a dinmica de um sistema de duas equaesdiferenciais ordinrias na variedade invariante. A diferena destes trabalhos com os trabalhosde Consul e Sol-Morales ([21], [22]), alm da tcnica utilizada, que os equilbrios associadosao sistema de equaes diferenciais ordinrias, que corresponde ao padres de (1.0.6), soassintoticamente estveis.

1.1 Objetivos da teseNossos objetivos nesta tese so:

1. comparar a dinmica assinttica do problema perturbado (1.0.2) e a dinmica doproblema limite (1.0.3), para isto mostraremos que os atratores A so semi-contnuossuperiormente em 0, isto , a dinmica do problema (1.0.2) entra em qualquervizinhana de A0.

2. estudar a existncia de padres obtidos por fluxo de concentrao na fronteira numdomnio tipo dumbbell para o problema (1.0.6) quando g & 0 e difuso grande % N $ 1,onde 0 um parmetro.

4

1.2 Descrio dos resultados

1.2 Descrio dos resultadosEsta tese est organizada da seguinte maneira:

No Captulo 2, reunimos os conceitos bsicos para a elaborao desta tese tentando queesta seja auto-contida. Damos uma breve reviso da teoria de semigrupos lineares na seo 2.1.O problema de Cauchy abstrato visto na seo 2.2. A teoria geral de atratores vista na seo2.3. Na seo 2.4 estudamos as equaes de reao com condies de fronteira no-lineares.

No Captulo 3, estudamos a semi-continuidade superior dos atratores para o problema(P ) de reao-difuso com condio de fronteira homognea num domnio singularmenteperturbado do tipo Dumbbell com difusibilidade homognea. Estudamos nas sees 3.2 e3.2 o problema perturbado e o problema limite. Logo, na seo 3.4 estudamos a comparaodos operadores resolventes, dos semigrupos lineares e dos semigrupos no-lineares associadosa (1.0.2) e (1.0.3). Finalmente, na seo 3.5, estudamos a semi-continuidade superior deatratores. Este Captulo foi iniciado na visita ao Departamento de Matemtica Aplicada naUniversidad Complutense de Madrid junto com o professor Jose M. Arrieta.

O captulo 4 est dedicado ao estudo da existncia de padres para o problema parablico(4.1.1) com condies de fronteira no-linear num domnio tipo Dumbbell com o coeficientede difuso muito grande e reao na fronteira muito pequena. Estudamos a convergncia deautovalores e autofunes do operador Laplaciano num domnio tipo dumbbell, encontrando ataxa tima da convergncia do segundo autovalor (sees 4.2 e 4.3). Na seo 4.4, estudamos aequao limite para o problema perturbado (1.0.6). Mostramos teorema de trao uniforme (em) e existncia de variedades invariantes nas sees 4.5 e 4.6 respectivamente. Finalmente, naSeo 4.7, estudamos o padres para (1.0.6).

No captulo 5, fazemos algumas consideraes sobre os estudos feitos nesta tese e possveiscontinuaes.

5

CAPTULO

2Preliminares

N este captulo, apresentaremos a teoria bsica sobre semigrupos de operadores,os resultados para problemas de evoluo de reao-difuso com condies defronteira no-linear e as notaes necessrias compreenso deste trabalho.Introduziremos adequados espaos de fase e operadores para que nosso problema possa serescrito numa forma semilinear abstrata. Sero dadas respostas a questes sobre existncia,unicidade, regularidade de soluo, existncia e estabilidade dos equilbrios, entre outras. Paramaiores detalhes ver Pazy [40], Henry [28], Brezis [9], Cholewa e Dlotko [19], Amann [1],entre outros.

2.1 Operadores e Semigrupos

Operadores setoriais

Seja A : D A X

X um operador linear fechado (no necessariamente limitado) num espaode Banach X . O conjunto A dos nmeros complexos para os quais I A $ 1 existe e um operador limitado chamado de conjunto resolvente de A. O operador I A $ 1 chamado de operador resolvente de A associado a .

O conjunto complementar A ')(+* A chamado de espectro de A. O espectro pontualp A o conjunto de autovalores de A, isto , p A se e somente se existe 0 & x D A tal que Ax x. Claramente p A um subconjunto de A .

Definio 2.1.1 Seja A : D A , X

X um operador linear, dizemos que A um operador

setorial se

(i) A fechado e densamente definido,

7

Preliminares

(ii) para algum 0 pi % 2 , M - 1 e a

, o setor

Sa . 0/ 1( : 243 arg a 5352 pi & a 6

est no conjunto resolvente de A e vale a seguinte estimativa

7

7

I A $ 17

7

2

M3 a 3

para todo Sa . "

2.1.1 Semigrupos analticos

Sejam X um espao de Banach e L X 89/ T : X

X : T linear contnuo 6 o espao dosoperadores lineares contnuos de X em X com a norma usual

:

T:

supx ; X

sup

?

x?A@

1/

:

T x:

: x X 6"

Definio 2.1.2 Um semigrupo analtico num espao de Banach X uma famlia deoperadores / T t : t - 0 6B L X , satisfazendo

i T 0 I Identidade em L X C , T t T s T t s para t s - 0,

ii T t x

x quando t

0 D , para cada x X,

iii t

T t x real analtica em 0

t

para cada x X.

O gerador infinitesimal deste semigrupo o operador A : D A E X

X , definido por

Ax limt

0 F

T t x xt

D A GL

p3 3 r $ 1

X

L3 3 r

L

p3 3 r $ 1

X

3 3 L3 3 r "

Observe que t3 3 r $ 1u

4 r 1 53 3 r $ 2 p3 3 , ento

r 1 L3 3 r $ 2 p3 3

X

~3 3 L3 3 r " (2.4.18)

Por outro lado, 3 3 r 2

r23 3 r r 22 p3 3 . Com isto temos

3 3 r 2

X

3 3 r 2

r2

43 3 r $ 2 p3 3

X

~3 3 " (2.4.19)

Substituindo (2.4.19) em (2.4.18), temos

4 r 1 r2

L

3 3 r 2

2 L

3 3 r 2

2"

36

2.4 Equaes de reao-difuso com condies de fronteira no-lineares

Fazendo v : 3 3 r 2 e lembrando que p r

NN $ 2 , obtemos

4r 1

r2L

3v 3 2 L

v2 0 "

Escolhendo 0 tal que

4r 1

r2L

3v 3 2 L

v2 d

r 1r2:

v: 2

H1 ] ^

entor 1

r2:

v:

H1 ] ^ e L v2 "

Agora,

r 1r2:

v: 2

H1 ] ^ e L v2 L

v2 ]1rD

1r

^

L v2 rX

v2 r

e

L

v2 r

r

1 rX

L

v2 r

r

1 r

:

v: 2 r

L2 ] ^

X5:

v: 2 r

L2 ] ^

e C1:

v: 2 r

L2 ] ^

X5:

v: 2 r

H1 ] ^"

Como 2 2r

2r

, temosr 1

r2:

v: 2 r

H1 ] ^e C1

:

v: 2 r

L2 ] ^" (2.4.20)

Por outro lado r $ 1r2:

v: 2 r

L2N

Nr

2] ^

r $ 1r2:

:

LN p

Nr

2p] ^

.

Fazendo uso da imerso H1 V

L2N

Nr

2 , temos

r 1r2:

v: 2 r

H1 ] ^d

r 1r2:

v: 2 r

L2N

Nr

2] ^

r 1r2:

:

LN p

Nr

2p] ^" (2.4.21)

Voltando para (2.4.20) e usando v : 3 3 r 2, temos

r 1r2:

v: 2 r

H1 ] ^e C1

:

v: 2 r

L2 ] ^ C1 L

v2 1 r

C1 L

3 3 r 2

2

1 r

C1:

:

Lr ] ^ " (2.4.22)

37

Preliminares

Juntando (2.4.21) e (2.4.22), temos

r 1r2:

:

LN p

Nr

2p] ê C1

:

:

Lr ] ^ "

Mas 2 e r e NPN $ 2 , ento para cada 0, existe C p3 3 N P tal que

:

:

Lr ] ^ e :

:

LN p

Nr

2p] ^ C

:

:

L2 ] ^ "

Com isto,

r 1r2 C1 C

:

:

LN p

Nr

2p] ê C1 C

:

:

L2 ] ^

e portanto:

:

LN p

Nr

2p] ê K2 i k

:

:

L2 ] ^k

onde K2 : K2 p3 3 N p .

Agora, para todo q d 2, existe p0 i2N

ND

2

N2 tal que q

NP0N $ 2P0

, e consequentemente

:

:

Lq ] ^ e K2 i k :

:

L2 ] ^k

" (2.4.23)

Para k d 1, consideremos o conjunto Ak : 4/ x : x E k 6 . Como acima, para k lD , existe tal que

L

3 3 2 L

2 d:

: 2

H1 ] ^ "

Ainda, multiplicando a primeira equao de (2.4.14) por temos

L

3 3 2 L

2 "

Pela imerso H1 V

L2N

Nr

2 , existe C2 tal que

:

:

LN p

Nr

2p] ê C2

:

:

H1 ] ^ .

Por outro lado

:

: 2

H1 ] ^ :

:

H1 ] ^:

:

H1 ] ^ dC1:

:

L2N

Nr

2] ^

:

:

H1 ] ^

:

:

L1 ] ^ L 3 35e

:

:

L2N

Nr

2] ^

Ak

NF

22N

38


onde 2NND

2 o expoente conjugado de2N

N $ 2 . Ento,

:

:

L1 ] ^

Ak

$

NF

22N

:

:

H1 ] ^ e:

:

L2N

Nr

2] ^

:

:

H1 ] ^

e C2:

: 2

H1 ] ^

e C2 L 3 3 2 "

Agora, vamos estimar 3 3

2. Por um lado temos

L

3 3 2 e

:

:

Lq ] ^:

:

Lq ] ^

e por outro lado,

:

:

Lq ] ^

L

3 3

qqr

1

qr

1q

e

L

3 3q

qr

1

qr

1q

qqr

1X

Ak

r

1qr

1

qr

1q

e

:

:

L1 ] ^

Ak

r

1q

onde1

q $ 1q

1 q 1

1. Com isto,

:

:

Lq ] ^e

:

:

L1 ] ^

Ak

r

1q

e

:

:

L2N

Nr

2] ^

Ak

NF

22N $

1q"

Ento L

3 3 2 e C2

:

:

Lq ] ^X5:

:

H1 ] ^X

Ak

12D

1N $

1q

onde tomando q 2N e usando (2.4.23) temos

L3 3 2 e C2 i k

:

:

L2 ] ^k

:

:

H1 ] ^X

Ak

12D

12N"

Portanto

:

:

L1 ] ^

Ak

$

NF

22N

:

:

H1 ] ^ e C2 i k :

:

L2 ] ^k

Ak

12D

12N:

:

H1 ] ^

ou seja,:

:

L1 ] ^ e C2

Ak

1D

i k

:

:

L2 ] ^k

39

Preliminares

onde 32N . Logo, usando o Lema 5.1 de [35], obtemos

max / x : x 6qe

K:

:

L2 ] ^

onde trocando, por , e usando o mesmo argumento acima, obtemos

:

:

L ] ^ e K:

:

L2 ] ^ "

Usando (2.4.17), segue que:

:

L ] ^ e K, onde K : K p3 3 1 N p .O seguinte resultado uma adaptao do Lema B.1 (iv) em [7] e sua prova feita para

melhor entendimento do leitor

Lema 2.4.2 Sejam f L , com:

f:

L ] ^ 2 1, e u H1 uma soluo fraca do seguinte

problema elptico

u u f ;

u 0 "(2.4.24)

Ento:

u:

L ] ^ 2 k0 " (2.4.25)

Demonstrao. Definamos k0 : :

f:

L ] ^ 2 1 e : u k0 lD . Usando como uma funoteste para a equao (2.4.24) e usando integrao por partes, obtemos

L

3 3 2 L

2 e 0 "

Disto, segue que 0, implicando em u x Be k0. Com um argumento similar para u,obtemos o resultado desejado.

2.4.6 Estabilidade de equilbrios

Nesta seo, estudaremos as solues de equilbrio (ver Definio 2.3.5) para o problema deevoluo (2.4.1), considerado na seo 2.4.1, isto , estudaremos as solues do problema

u f u 0 em

u g u 0 em

(2.4.26)

onde N um domnio limitado com fronteira suave.

Definio 2.4.2 Suponhamos que existe uma vizinhaa aberta U do ponto de equilbrio u0 X tal que as solues de (2.4.7), que comeam dentro de U , existem globalmente para t d 0.

40


Dizemos que um ponto de equilbrio u0 estvel em X , se

I 0 5 0

:

v 0 ' u0:

X

f:

v t ' u0:

X

I t d 0

onde v t denota a soluo global em X de (2.4.7) com a condio inicial v 0 .

Dizemos que o ponto de equilbrio u0 assintoticamente estvel, se estvel e

:

v t ' u0:

X

0 quando t

"

Dizemos que o ponto de equilbrio u0 uniformemente assintoticamente estvel, se estvel

e existe uma vizinhana

V N v X ::

v 0 ' u0:

X

r O

tal que:

v t ' u0:

X

0 quando t

, uniformemente para cada v V .Dizemos que o ponto de equilbrio u0 instvel, se no estvel.

Muitos problemas de valor de fronteira, como o problema (2.4.26), surgem de princpiosvariacionais na fsica, isto , de problemas de minimizao de certos funcionais (tambmchamados de funcionais de energia), os quais tm um significado fsico. Aqui trataremosde funcionais diferenciveis no sentido de Frchet : X

, definidos num certo espaode Sobolev de funes X , cujos pontos crticos u coincidem com as solues fracas deuma equao diferencial parcial. Pontos crticos de so definidos como sendo as u Xsatisfazendo a chamada Equao de Euler associada a : A u 0, isto , A u v 0 paratoda v X . Pontos crticos de so do seguinte tipo: mnimo local, mximo local ou ponto desela.

Para estudar os pontos crticos de (isto , solues fracas do correspondente problema devalor na fronteira), importante saber a expresso exata para a derivada direcional de , a qual definida como

u v limt

0

1t` u tv ' u h\"

No clculo de variaes, esta expresso chamada da Primeira variao do funcional :X

.

Se um problema de valor na fronteira tal que, existe um funcional de energia cujos pontoscrticos coincidem com as solues fracas, ento dizemos que o problema de valor na fronteira do tipo variacional. Naturalmente, h muitos problemas de valor na fronteira que no so dotipo variacional.

O funcional de energia : H1

associado ao problema (2.4.26) definido por

u 12L

3u 3 2 dx >L

u dx >L

u d (2.4.27)

41

Preliminares

onde u Lu

0f s ds e u L

u

0g s ds.

Prova-se que o funcional de classe C 2 H1

. Seja u soluo de (2.4.1). Emparticular ut H1 e podemos derivar u com respeito a t, obtendo

ddt

u L

uut dx L

f u ut dx L

g u ut d "

Como u soluo de (2.4.1) (u H2 ), podemos usar a frmula de Green, obtendo

ddt

u 0L ut

2dx e 0

para toda soluo u, com a igualdade satisfeita quando ut 0. Portanto, o funcional decrescente no tempo, exceto nos equilbrios.

Sejam f g :0

funes de classe C 2 tais que f e g satisfazem a seguinte condio decrescimento

3 j u ' j v 532 c 3 u v 3t 1 3 u 3 $ 2 3 v 3 $ 2u

(GD)

onde j f g com expoentes f e g respectivamente, satisfazendo (2.4.12), com N 2 6.Ento F de classe C 1 H1 H $ 1 C .

Seja u0 um ponto de equilbrio de (2.4.8) e como F de classe C1, temos

F u0 v F u0 DF u0 v H v

com:

H v :

o :

v:

H1 ] ^ quando:

v:

H1 ] ^

0. Esta decomposio nos sugere considerar alinearizao do problema (2.4.8), isto ,

vt Av DF u0 v (2.4.28)

e relacionar a estabilidade do equilbrio u0 com o sinal do valor prprio do operador que apareceem (2.4.28).

Teorema 2.4.6 (Estabilidade e instabilidade por linearizao) Sejam u0 um ponto de equi-lbrio de (2.4.8) e B o espectro do operador B DF u0 ' A. Ento

(i) se B B/ Re

a 6 , para algum a

0, temos que u0 um ponto de equilbriouniformente assintoticamente estvel em H1

(ii) se B / Re 0 6& /0, temos que u0 um ponto de equilbrio instvel em H1 .

Este teorema nos d uma caracterizao sobre a estabilidade e instabilidade de um equilbrio.

42


Os operadores A : H1

H $ 1 e DF u0 : H1

H $ 1 so operadores lineareslimitados.

Como A o gerador infinitesimal de um semigrupo analtico, ento este satisfaz asseguintes propriedades: i A fechado e densamente definido (D A H1 ). ii O conjunto resolvente de A, A contm h e satisfaz a desigualdade

:

I A $ 1:

e

M

para todo , M d 1 e 0 tais que

:

e $ At:

e Me t para t d 0

onde e $ At o semigrupo gerado por A.Alm disso, o operador I A invertvel se . Podemos considerar DF u0 uma

perturbao relativamente limitada do gerador infinitesimal de um semigrupo analtico, e Pazy[40] prova que DF u0 ' A B tambm o gerador infinitesimal de um semigrupo analtico.

Pelo mesmo argumento acima, temos que B contm ( h ), para algum

, eseguinte desigualdade

:

I B $ 1:

e

M

vlida para todo . Alm disso, o operador I B invertvel.Agora seja k max / 6 tal que os seguintes operadores existam kI A $ 1 e kI B $ 1.

Sabemos que kI A $ 1 compacto e kI B $ 1 contnuo. Com isto, temos que o operador kI B $ 1 compacto, pois

kI B $ 1 kI DF u0 ' A $ 1t kI A DF u0 kI A

$ 1 kI A

u

$ 1

kI A $ 1 t I DF u0 kI A $ 1u

$ 1

kI A $ 1t

kI A kI B $ 1u

"

Consideremos o seguinte resultado de Kato [34].

Proposio 2.4.3 Seja A um operador fechado num espao de Banach E tal que o resolvente kI A $ 1 existe e compacto para algum k. Ento, o espectro de A consiste totalmente

de valores prprios isolados com multiplicidade algbrica finita e I A $ 1 um operadorcompacto para todo A .

Do fato do operador kI B $ 1 sr compacto e da Proposio 2.4.3, segue que o operador Btem espectro pontual, isto , B consiste s de valores prprios de B. Seja B um

43

Preliminares

valor prprio de B, isto Bv v v H1

ou equivalentemente

DF u0 v Av v " (2.4.29)

Agora multiplicando por H $ 1 e usando o produto de dualidade en L2 , temos

L

v v dx L

f u0 v v dx L

g u0 v ds L v dx " (2.4.30)

Se v H2 , podemos aplicar a frmula de Green, obtendo

L

v dx L

v ds L

f u0 v dx L

g u0 v ds L v dx "

Desta ltima equao observamos que v uma soluo fraca do problema linear de valorprprio

v f u0 v v em

v g Y u0 v em

(2.4.31)

em L2 .O seguinte resultado nos fala a respeito do maior valor prprio de B .

Teorema 2.4.7 O primeiro autovalor do operador B

1 supu H1

u 0

P3u 32 f A u0 u

2 dx g A u0 u

2 ds u

2 dx" (2.4.32)

Para demonstrar este teorema, usamos seguinte resultado geral para espaos de Hilbert.

Proposio 2.4.4 Sejam E um espao de Hilbert e j : E V

E uma incluso densa e contnua,

que vamos supor simtrica, isto , j u ` v \' j v ` u \ . Seja S : E

E um operador contnuo

com inversa contnua, tal que a forma quadrtica S u ` v \ seja simtrica e coerciva, isto ,

S u ` v \ S v ` u \ e S u ` u \d :

u: 2

E para 0, respectivamente. Ento, existe um produtoescalar equivalente,

PX

X

E , tal que SJ$ 1 um operador auto-adjunto no produto escalar dual

associadoPX

X

E

. Alm disso, o primeiro valor de seu espectro

1 supu Eu 0

S u ` u \j u ` u \

" (2.4.33)

Para provar este resultado necessitamos do seguinte lema.

44


Lema 2.4.3 Sejam E um espao de Hilbert e S : D S

E um operador auto-adjunto, positivo

e invertvel. Ento, o primeiro ponto do espectro pode calcular-se por uma das seguintes

maneiras

1 supu D S

u 0

Su u

u u

supu Eu 0

u u

S $ 1u u

" (2.4.34)

Observao 2.4.1 A primeira frmula em (2.4.34) conhecida como o Quociente deRayleigh.

O Teorema 2.4.7 nos d uma caracterizao da estabilidade do equilbrio u0 mais naturalque a do Teorema 2.4.6. Ento, a estabilidade do equilbrio u0 se reduz comprovar o sinal donumerador do quociente que aparece em (2.4.32) e que o denotaremos por I u .

Assim, se I u negativo para toda u H1 , temos que u0 estvel. Por outro lado, seexiste alguma u H1 tal que I u seja positivo, u0 instvel. Nos casos que s possamosprovar que I u e 0, para toda u H1 , falta algo mais para determinar a estabilidad de u0.

45

CAPTULO

3Semi-continuidade superior de atratores

N este captulo, vamos estudar uma equao de reao-difuso com condio deNeumann homognea em domnios singularmente perturbados, que consistem deuma regio fixa e um canal fino. Basicamente, estudaremos a semi-continuidadesuperior dos atratores, para estes problemas, quando a espessura do canal tende a zero.

3.1 IntroduoO prottipo de perturbao de domnio (conjunto aberto e conexo), que consideraremos nestecaptulo, o chamado de domnio tipo dumbbell o qual consiste de dois domnios disjuntosL e R unidos por um canal fino R o qual se aproxima a um segmento de reta quando oparmetro se aproxima a zero. Para fixar as idias, consideremos

N , N 2 e o canal dadopor R N x1 y : 0

x1

1 3 y 3

r x1 O , onde x x1 y W N , y x2

XCXCX

xN W N $ 1 ,

r C 1 0 1 e r x E 0 para todo x1 ` 0 1 \ ( veja b na Figura 3.1).

Denotemos por g x1 : w

Rx11

rN $ 1 x1 N $ 1 a medida de Lebesgue N 1 -dimensionalde Rx1, onde N $ 1 a medida de Lebesgue N 1 -dimensional da bola unitria em

N $ 1 eRx1

1

N

y : x1 y R1 O a seo de R1. Pela suavidade de R1, podemos supor que g umafuno suave e que existe um d0 0 tal que g x1 E- d0 para todo x1 ` 0 1 \ .

Seja R e consideremos o seguinte problema de reao-difuso

ut u f u em t x 0 un 0 em t x 0

u 0 x u0 em

(P )

onde n o vetor normal unitrio a , u0 a condio inicial dada e f satisfaz as seguintescondies:

47

Semi-continuidade superior de atratores

i . f :

uma funo de classe C 2,

ii . limsup

u

0

f u u

0.

Agora, vamos especificar o domnio singularmente perturbado considerado acima. Seja

N um conjunto aberto, limitado e suave fixo, tal que existe l 0 satisfazendo

bN x1 y : x21 3 y 3

2

l2 O N x1 y : x21 3 y 3

2

l2 x1

0 OS

bN x1 y : x1 1 23 y 3 2

l2 O N x1 y : x1 1 23 y 3 2

l2 x1 1 OS

N

x1 y : 0

x

1 3 y 3

lO

/0

com / 0 y : 3 y 3

l 6/ 1 y : 3 y 3

l 6q e R dado como acima. Assuma que r x1

l,para todo x1 ` 0 1 \ . Observe que no especificamos qualquer propriedade de conexidade em. Portanto podemos ter a situao a ou b na Figura 3.1.

Definamos o segmento de reta S lim

0R o 0 1 cujos pontos finais so p0 0 0

XCXCX

0

e p1 w 1 0

XCXCX

0 .

R

L

R

x1 1

l

N $ 1

x1 0

R

a b

Figura 3.1: Possibilidades do domnio

O problema limite de (P ) quando

0 o seguinte

wt w f w em t x 0

vn 0 em t x 0

vt 1g gvx x f v em t x 0 ! 0 1

v 0 w 0 v 1 w 1 "

(P0)

O objetivo deste captulo comparar a dinmica assinttica do problema perturbado P e a

48

3.2 Problema perturbado (P )

dinmica do problema limite P0.

3.2 Problema perturbado (P)Sob as hipteses acima, o problema (P ) est bem posto em X : C (ver Mora [37]).Alm disso, por (ii), o problema (P ) tem um atrator global A e os atratores so limitados emL . Isto nos permite cortar a no-linearidade f de tal modo que esta permanea limitadajunto com suas derivadas at segunda ordem sem mudar os atratores. Com estas consideraes,podemos supor, sem perda de generalidade, que f de classe C 2

satisfazendo (ii) e

f u

2 c1

f u

2 c2

I u

(3.2.1)

para algumas constantes positivas c1 e c2.

Como usual, C denota o espao de Banach consistindo de todas as funes em as quais so uniformemente contnuas e limitadas, com norma dada por

:

u:

C sup

x ; 3 u x 53"

Para um nmero inteiro k - 0, C k denota o espao de Banach de todas as funes u talque, Du C para 3 352 k, com a norma dada por

:

u:

C k

k

:

Du:

C

onde um multi-ndice.A imerso C l qV

Ck vale para l k; quando limitado esta imerso compacta. Para um no-inteiro k (k inteiro, 0

1), C denota o espaode Banach de todas as funes que pertencem a C ] e tal que as derivadas Du de ordem3 3C k satisfazem a condio de Hlder uniforme com expoente ; como usual a norma desteespao definida como

:

u:

C :

u:

C k

@

k`Du \

onde` v \ sup

x y x y

3 v x ' v y 533 x y 3

"

Tambm temos as seguintes imerses C k D +V

C k D (k - 0 inteiro, 0

1); estas imerses so compactas quando limitado. Para ter a seguinte imersoC k D 1 V

C k D (k - 0 inteiro, 0

1); quando N 1, vamos impor que o domnio satisfaz a seguinte condio:

49


(L). Existe uma constante finita L tal que, quaisquer dois pontos x y podem ser unidospor um arco poligonal inteiramente contido em de d x y B2 L 3 x y 3 , onde d x y adistncia entre os pontos x e y em

N .

No caso em que limitado, a condio (L) automaticamente satisfeita se umdomnio de classe C 1 D , 0

1.

O problema (P ) pode ser escrito como uma equao de evoluo abstrata do tipo semilinearcomo a equao (2.2.1), isto ,

u Au F u

u 0 u0

(3.2.2)

onde u agora uma varivel que toma valores no espao de Banach C , A : D A C

C um operador linear em C definido por

D A x N u C2 : u C u % n 0 em O

Au u u D A (3.2.3)

F : Y

C um operador no-linear, onde Y um subespao de Banach entre D A eC e u0 C o dado inicial.

O operador A setorial e a seguinte estimativa vale

7

7

7

A $ 17

7

7

C ] ^2 C %3 3 para

onde um setor no plano complexo e C uma constante que no depende de . Sendo Asetorial, ento A gera um semigrupo analtico N e $ A t : t - 0 O em C dado por

e $ A t 1

2piiL

e t A $ 1 d t 0 (3.2.4)

onde P A uma curva apropriada no plano complexo e vale a seguinte estimativa (vejaTeorema 2.2, [37])

7

7

7

e $ A tw7

7

7

C2 C:

w:

C

t - 0 w C (3.2.5)

para alguma constante C 0 que no depende de , isto , o semigrupo linear e $ At limitadode C em C .

Para maiores detalhes sobre gerao de semigrupos analticos em C k e as propriedadesacima, como tambm outras generalizaes, o leitor pode consultar Mora [37].

Seja u X

u0 T X

u0 a soluo de (P ), onde T X

u0 : ` 0 h

X um semigrupo

50

3.3 Problema limite (P0)

no-linear. Pela frmula da variao das constantes, temos

u t u0 T t u0 e$ A tu0 L

t

0e $ A ] t $ s ^ F T s u0 C ds " (3.2.6)

3.3 Problema limite (P0)Como estamos trabalhando com um domnio tipo dumbbell (ver a na Figura 3.1), isto , L R R , onde R como acima, daqui em diante pomos 0 B ,

L R,

q lim

0R o 0 1 , onde fixamos um sistema de coordenadas tais que o segmento de linha

unidimensional esteja contido no eixo x1.

Para entender melhor o problema (P ), vamos estudar primeiro o problema (P0) que olimite de (P ) quando

0.

Consideremos o seguinte espao de Banach X0 C L2 0 1 e definamos o operator

A0 : D A0 E X0

X0 por

D A0 z

w v X0 : w D N v H

1 0 1 gvx H1 0 1 v 0 H w 0 v 1 w 1

A0 w v z

w C1g gvx x } w v D A (3.3.1)

onde N o operador Laplaciano com condies de Neumann homogneas em .Sob as hipteses acima, o problema (P0) est bem posto em X0. Alm disso, pela condio

de dissipatividade da f , o problema (P0) tem um atrator global A0.

Proposio 3.3.1 O operador A0 definido por (3.3.1) satisfaz as seguintes afirmaes(i) D A0 denso em X0(ii) A0 um operador fechado

(iii) A0 tem resolvente compacto.

(iv) A0 um operador setorial.

Demonstrao. i seja w v C L2 0 1 , isto , w C e v L2 0 1 . Como D N C , existe

wn D N tal que wnC ] ^

w.

Seja zn x + xwn 1 'M 1 x wn 0 ento wn zn , D A0 . Seja zn C0 0 1 tal que

:

zn c v zn :

L2 ] 0 . 1 ^ e 1 % n, isto :

v c zn zn :

L2 ] 0 . 1 ^ e 1 % n. Colocando vn zn zn, temos

vn 0 wn 0 , vn 1 wn 1 e vnL2 ] 0 . 1 ^

v. Portanto wn vn E D A0 .

ii Seja wn vn D A0 tal que wn vn

w v e A wn vn

. Como wn D N e N fechado, temos que w D N e wn

w. Por outro lado vn

v e n

51


1g g vn x x

. Agora

1g g vn x x hn x 0 1

vn 0 wn 0 vn 1 wn 1 "

Fazendo a mudana zn vn n, onde n soluo do seguinte problema

1g g n x x 0 x 0 1

n 0 wn 0 n 1 wn 1

(3.3.2)

temos

1g g zn x x hn x 0 1

zn 0 zn 1 0 "

No difcil ver que

n wn 0 wn 1 ' wn 0

L

1

0

1g s

dsL

x

0

1g s

ds (3.3.3)

e, como wn 0

w 0 , wn 1

w 1 , segue que n

, onde soluo do seguinte problema

1g gx x 0 x 0 1

0 w 0 1 w 1 "(3.3.4)

Donde segue que zn

z v 0 , z 0 z 1 0, z H1 0 1 , gzx H1 0 1 . Ento v z H1 0 1 , gvx H1 0 1 , v 0 w 0 , v 1 w 1 .

iii . Como D A0 E C2N H

1 0 1 HV

C L2 0 1 , onde

C2N wN u C

2 : u % n 0 em O+

e a imerso de C 2N H1 0 1 em C L2 0 1 compacta, segue que A0 tem resolventecompacto.

iv . Sejam f g S X0. Resolver a equao w v A0 $ 1 f g equivalente resolver

52

3.3 Problema limite (P0)

A0 w v w f g , que equivalente ao seguinte sistema

w w f x wn 0 x

1g gvx x v g x 0 1

v 0 w 0 v 1 w 1 "

(3.3.5)

Da primeira parte de (3.3.5) temos que existe um nico w D N tal que

:

w:

C ] ^ 2C3 3:

f:

C ] ^ Sa .

onde Sa . N 1( :pi2

arg a

3pi2 O , 0

pi2 .

Fazendo a mudana de variveis z v , onde soluo do seguinte problema

1g gx x 0 x 0 1

0 w 0 1 w 1

na segunda parte do problema (3.3.5), temos

1g gzx x z g x 0 1

z 0 z 1 0

donde

:

z:

L2 ] 0 . 1 ^ 2C3 3:

g :

L2 ] 0 . 1 ^

:

v:

L2 ] 0 . 1 ^ 2C3 3

:

g:

L2 ] 0 . 1 ^ 3 3:

:

L2 ] 0 . 1 ^ :

:

L2 ] 0 . 1 ^

2

C3 3

:

g:

L2 ] 0 . 1 ^ 3 3:

w:

C ] ^ :

w:

C ] ^

2

C3 3

:

g:

L2 ] 0 . 1 ^ C:

f:

C ] ^ C3 3:

f:

C ] ^

2

C3 3

:

f:

C ] ^ :

g:

L2 ] 0 . 1 ^

com S a . N ( :pi2

arg a

3pi2 O , 0

pi2 e 0. Logo

:

w v :

C ] ^ L2 ] 0 . 1 ^ 2C :

f g :

C ] ^ L2 ] 0 . 1 ^ , onde Sa . S a . .

Sendo A0 um operador setorial, ento A0 gera um semigrupo analtico N e$ A0t : t - 0 O em

53


X0, onde

e $ A0t 1

2piiL

e t t A0 u

$ 1 d (3.3.6)

com P A0 uma curva apropriada no plano complexo.Agora vamos caracterizar os autovalores do operador A0. Para isto, queremos encontrar

e w v ,&4 0 0 tais queA0 w v ' w v 0 " (3.3.7)

A equao (3.3.7) equivalente ao seguinte sistema

w w x wn

0 x (3.3.8)

1g gvx x v x 0 1

v 0 w 0 v 1 w 1 "(3.3.9)

Denotemos, respectivamente, por N i Oi@

1, N i Oi@

1, os autovalores de (3.3.8), (3.3.10) epor N i O

i@

1, N i Oi@

1 as autofunes correspondentes

1g gvx x v x 0 1

v 0 v 1 0 "(3.3.10)

Proposio 3.3.2 A0 N i O

i@

1 bN i Oi@

1.

Demonstrao. Primeiro mostremos a incluso A0 q9N i O

i@

1 N i Oi@

1. De fato, se A0 , ento existe w v ,& 0 tal que (3.3.8), (3.3.9) valem, e portanto seguintes casos: w 0, ento N i O

i@

1, w & 0, ento N i O

i@

1.

ento N i Oi@

1 bN i Oi@

1.

Para a incluso N i Oi@

1 bN i Oi@

1 A0 analizamos os seguintes casos:Se i ento w v w 0 i ,&4 0 0 soluo para (3.3.7). Ento A0 .Se N i O

i@

1 *,N i Oi@

1 ento w v w i ,&w 0 0 soluo para (3.3.7), onde

soluo do seguinte problema

1g gx x i v x 0 1

0 0 1 1

(3.3.11)

Ento A0 .

54

3.4 Comparao dos problemas perturbado e limite

O problema (P0) tambm pode ser escrito como uma equao de evoluo abstrata do tiposemilinear como a equao (2.2.1), isto ,

z A0z F0 z

z 0 z0(3.3.12)

onde z agora uma varivel que toma valores no espao de Banach X0 e A0 : D A0 E X0

X0 um operador linear definido por (3.3.1).

Seja z X

u0 T0 X

z0 a soluo de (3.3.12), onde T0 X

u0 : ` 0 h

X0 um semigrupono-linear. Pela frmula da variao das constantes temos

z t u0 T0 t u0 e$ A0tz0 L

t

0e $ A0 ] t $ s ^ F0 T0 s z0 C ds " (3.3.13)


Antes de comear esta subseo, vamos apresentar alguns operadores que utilizaremos para acomparao dos problemas perturbado e limite.

Seja uma funo de X C , para comparar com uma funo do espao X0 C L2 0 1 definimos o seguinte operador

M : C

C L2 0 1

M x

x x

T x1 x1 0 1

(3.4.1)

ondeT x1 x x

1

x1

L

x1 x1 y dy

x1 N y : x1 y R O "(3.4.2)

Seja C L2 0 1 , para considerar como uma funo no espao C ,definimos o seguinte operador contnuo

E : C L2 0 1

L2

E x

x

x1 x1 y E R "

(3.4.3)

Observe que o operador E no leva o espao C C 0 1 no espao C . Gostaramos

55


de ter um operador que faa isto, para isto vamos necessitar do seguinte operador

EC

: C C 0 1

C

w v

EC w v M

w x

v x R

(3.4.4)

onde

v x v x1 h x1 z w 0 y v 0 C h 1 x1 z w 1 y v 1 C x R (3.4.5)

h s h s , h :

D

` 0 1 \ uma funo de classe C tais que

h s

1 para s ` 0 1 % 4 \

0 para s - 3 % 4

e 3 h Y s 532 C.

O operador EC

necessrio para ter boas estimativas en H1 H1 0 1 .

O objetivo desta seo mostrar a convergncia dos operadores resolvente, conse-quentemente a convergncia dos semigrupos lineares e, com ajuda da frmula da variaodas constantes, mostrar a convergncia dos semigrupos no-lineares, e portanto a semi-continuidade superior dos atratores.

3.4.1 Comparao dos operadores resolventes

Seja A um operador fechado densamente definido num certo espao de Banach X . Se R A : A I $ 1 o operador resolvente de A vale a identidade do resolvente

R A ' R A 4 R A R A

I A (3.4.6)

onde A o conjunto resolvente de A. Usando (3.4.6) temos o seguinte lema.

Lema 3.4.1 Seja A A0 , ento a seguinte igualdade vale

R A ' ER A0 M A A $ 1t R0 A ' ER0 A0 M u I EM EA0 A0

$ 1M "

(3.4.7)

Demonstrao. Da identidade (3.4.6), temos

R A I R A h R A R A0 I R A0 h R A0 "

56


Observe que R A e R A0 esto definidos em espaos diferentes, logo no tem sentidoescrever R A R A0 , mas tem sentido a seguinte expresso R A ER A0 M, ondeE e M so, respectivamente, os operadores definidos em (3.4.3) e (3.4.1).

R A ' ER A0 M I R A h R A ' E I R A0 h R A0 M

R A ' ER A0 M R A t R A ' ER A0 M u R A ER A0 M c ER A0 MER A0 M

I R A hWt R A ' ER A0 M u

R A ' ER A0 M ER A0 M

onde utilizamos que ME I(observe que EM & I). Desta ultima igualdade segue que

R A ' ER A0 M Wt I ER A0 M u I R A hWt R A ' ER A0 M u

e portanto

R A ' ER A0 M I R A $ 1t

R A ' ER A0 M u t I ER A0 M u "

Agora tomando 0, temos

R A ' ER A0 M I R0 A $ 1t

R0 A ' ER0 A0 M u t I ER A0 M u "

Observe que

I R0 A $ 1

AA$ 1 A

$ 1 $ 1

A A $ 1 $ 1 A A $ 1

I R A0 G I A0 $ 14 A0 A0

$ 1 A0

$ 1

A0 A0 $ 1

I ER A0 M I EM E I R A0 C M w I EM EA0 A0 $ 1M "

Com isto, temos

R A ER A0 M A A $ 1t

R0 A ' ER0 A0 M uB I EM EA0 A0 $ 1M

"

A identidade (3.4.7) nos diz que se conhecemos boas estimativas parat

R0 A ' ER0 A0 M u ,ento conheceremos boas estimativas para R A ' ER A0 M.

57


Usando o operador EC

em (3.4.7) chegamos a seguinte identidade

R A ' ER A0 M A A $ 1t R0 A ' EC R0 A0 M u I EM EA0 A0

$ 1M

A A $ 1 t EC E u R0 A0 M I EM EA0 A0 $ 1M

A A $ 1 t R0 A ' EC R0 A0 M u I EM

A A $ 1 t R0 A ' EC R0 A0 M u EA0 A0 $ 1M

A A $ 1 t EC E u A0 $ 1M (3.4.8)

onde utilizamos que ME I e R0 A0 A0 I.

Observe que vamos precisar estimar o operadort

R0 A ' EC R0 A0 M u , isto , vamosmostrar que

7

7 R0 A ' EC R0 A0 M7

7

L ] L ] ^.H1 ] ^ H1 ] R ^^

0 quando

0 (3.4.9)

ou seja, para toda f L com:

f:

L ] ^2 1,

7

7

t R0 A ' EC R0 A0 M u f7

7

H1 ] ^ H1 ] R ^

0 quando

0 " (3.4.10)

Mas isto equivalente estimar:

u w: 2

H1 ] ^ :

u v: 2

H1 ] R ^, onde u H1 a

soluo de

u u f em un 0 em

(3.4.11)

e w v E H1 H1 0 1 a soluo de

w w f em wn 0 em

(3.4.12)

1g gv x1 x1 v M f em 0 1

v 0 w 0 v 1 w 1 "(3.4.13)

A seguinte proposio d a resposta ao que estamos querendo

Proposio 3.4.1 Sejam f , u , w e v como acima. Ento existe uma constante C 0 tal que

:

u w: 2

H1 ] ^ :

u v: 2

H1 ] R ^2 C N " (3.4.14)

Para demonstrar esta proposio vamos necessitar de alguns lemas.

58


Alguns lemas auxiliares

Com relao ao operador M, definido em (3.4.1), vale o seguinte resultado.

Lema 3.4.2 Existe uma constante positiva C tal que, se H1 , ento temos

:

: 2

L2 ] R ^

:

M: 2

L2 ] R ^

:

M: 2

L2 ] R ^(3.4.15)

:

M : 2

L2 ] R ^2 C2

7

7

7

7

y

7

7

7

7

2

L2 ] R ^" (3.4.16)

Demonstrao. Observe que M C L2 0 1 e para considerar M como umelemento de C L2 R estendemos a segunda coordenada como sendo constante nadireo y.

:

: 2

L2 ] R ^

L

R3 3 2dx L

R3P M M 3 2dx

L

R3 M 3 2 2 L

R M M L

R3M 3 2 "

Por outro lado

L

R M M L

1

0L

x1 M Mdx1dy

L

1

0M x

L

1

1 $ 3 h 1 x1 53

2L

x13w 1 y ' v 1 53

2dydx1

2 CN D 1 "

63


Similarmente,

:

v v : 2

L2 ] R ^2 C L

03 h x1 53

2L

x13w 0 y ' v 0 53

2dydx1

C L1

1 $ 3 h 1 x1 53

2L

x13w 1 y ' v 1 53 2dydx1

C L

03 h x1 53

2L

x13yw 0 y 53 2dydx1

C L1

1 $ 3 h 1 x1 53

2L

x13yw 1 y 53 2dydx1

2 2CN D 1 % 2CN $ 1

onde utilizamos que 3w 0 y v 0 53p2 C , 3yw 0 y 53p2 C com 0 y H 0 e que 3w 1 y v 1 532 C , 3yw 1 y 532 C com 1 y 1 .

Para as duas ltimas desigualdades, observamos que

:

v: 2

L2 ] R ^

:

v v v: 2

L2 ] R ^

:

v v: 2

L2 ] R ^

:

v: 2

L2 ] R ^ 2 v v v L2 ] R ^ (3.4.25)

e

:

v: 2

L2 ] R ^

:

v v: 2

L2 ] R ^

:

v: 2

L2 ] R ^ 2 v v v L2 ] R ^ (3.4.26)

Mas,

v v v L2 ] R ^

2

:

v v:

L1 ] R ^2 CN D 1

e

v v v L2 ] R ^

2

7

7

7

7

vx1

vx1

7

7

7

7

L1 ] R ^2 CN

o qual prova o lema.

Agora j estamos em condies de demonstrar a Proposio 3.4.1.

Demonstrao da Proposio 3.4.1. As solues dos trs problemas (3.4.11), (3.4.12) e(3.4.13) podem ser obtidos pelo procedimento de minimizao. Isto , se definimos

min ; H1 ] ^

L

f dx =

min ; H1 ] ^

L

1

0M fdx1 : H

1 0 1

0 w p0 1 w p1

ento , e so atingidos nos pontos u , w , v respectivamente, e s nestes pontos.

Vamos encontrar primeiro uma relao entre os trs valores , e .

Se tomamos a funo

x w x x v x x R

como uma funo teste para , obtemos

212L

t

3 3 2 w2 u dx >L

fdx

12L

t3w 3 2 w2 u dx L

f wdx

12L

Rt3v 3 2 v2 u dx L

Rf vdx

12L

Rt3v 3 2 v2 u dx L

Rf v dx "

Usando (3.4.25) e (3.4.26), temos

12L

Rt3v 3 2 v2 u dx

12L

R

3v v v 32 v v v

2

dx

12L

Rt3v 3 2 v2 u dx O

N

N $ 112L

1

0t g x1 53 v 3

2 g x1 v

2 u dx1 O

N

e

L

Rf vdx L

Rfvdx L

Rf v v dx

N $ 1 L1

0g x1 M fv O

ND

1

Em particular, obtemos 2 N $ 1 O N " (3.4.27)

Da definio de temos

12L

t

3u 3 2 u2 u dx >L

fudx

12L

t3u 3 2 u2 u dx L

fudx

12L

Rt3u 3 2 u2 u dx L

Rf udx "

65


Mas

12L

3u 3 2 u2 dx >L

fudx 12L

t3u w w 3 2 u w w 2 u dx

>L

f u w w dx

12L

t3w 3 2 w2 u dx L

fwdx

12L

3u w 3 2 u w 2 dx

L

u w w L

u w w >L

f u w

12L

t3w 3 2 w2 u dx L

fwdx

12L

t3u w 3 2 u w 2 u dx

onde na ltima igualdade usamos integrao por partes do termo u w w e o fatoque w a soluo do problema elptico (3.4.12) em , isto ,

L

u w w L

u w

wn>L

u w w

L

u w z f w "

Tambm temos

12L

Rt3u 3 2 u2 u dx L

Rf udx

12L

Rt3u v v 3 2 u v v 2 u dx

>L

Rfv dx >L

Rf u v

12L

Rt3u v 3 2 u v 2 u

12L

Rp3v 3 2 v2

L

R u v v L

R u v v

>L

Rfv dx >L

Rf u v "

Mas

L

R u v v sL

R

ux1

vx1

vx1

L

R

ux1

Mux1

vx1

L

R

Mux1

vx1

vx1

I1 I2 "

Primeiro vamos analisar I1. Como estamos trabalhando com um canal de revoluo R / x1 y : 3 y 32 r x1 p6 , temos a seguinte identidade em R :

x1 Mu M t

ux1

r Y x1 r x1

yX

yu u " (3.4.28)

66


A prova desta relao como segue. Fixado x1, fazemos o seguinte mudana de variveisy r x1 z e obtemos

Mu x1 13x1 3

L

x1u x1 y dy

1N $ 1

L

B ] 0 . 1 ^u x1 r x1 z dz "

Tomando a derivada com relao a x1, temos

x1 Mu

1N $ 1

L

B ] 0 . 1 ^

ux1 x1 r x1 z r x1 zyu x1 r x1 z

dz "

Com a mudana de variveis acima, temos

x1 Mu

13x1 3

L

x1

ux1 x1 y

r x1 r x1

yyu x1 y

dy

o qual prova (3.4.28).

Em particular

I1 LR

ux1

Mux1

vx1

L

1

0

vx1L

x1

ux1

Mux1

dydx1

sL

1

0

vx13x1 3

M ux1

x1 Mu

ML

1

0

vx1L

x1

r Y x1 r x1

yyu x1 y dydx1

onde usamos (3.4.28) na ltima igualdade.

Usando agora que 3 r Y x1 C% r x1 5352 c e que 3 y 352 c , obtemos

3 I1 32 LR3 v x1 533yu 32 C

:

v :

L2 ] R ^

:

yu:

L2 ] R ^ 2 CNF

12:

v :

L2 ] 0 . 1 ^

:

yu:

L2 ] R ^"

Mas temos estimativas uniforme de:

v:

H1 ] 0 . 1 ^ . Portanto, temos que

3 I1 32 CNF

12:

yu:

2 CN D 1 14:

yu: 2

L2 ] R

e, observando que:

yu: 2

L2 ] R 2

:

u v: 2

L2 ] R ^, temos

3 I1 352 CND

1

14:

u v: 2

L2 ] R ^"

67


Por outro lado, observe que

I2 N $ 1L

1

0C Mu v g x1 v

0 N $ 1 L1

0 Mu v g x1 v ` Mu v g x1 v h\

10

0 N $ 1 L1

0 Mu v ` g x1 v g x1 M f \

N $ 1` Mu v g x1 v h\

10

sL

R u v v >L

R u v f L

R u Mu f N $ 1 ` Mu v g x1 v h\

10 "

Donde obtemos

L

Rp3u 3 2 u2 dx >L

Rf udx ML

Rp3v 3 2 v2 dx >L

fvdx

L

Rp3u v 3 2 u v 2 dx I1

onde 0 R u Mu f e [ N $ 1` Mu v g x1 v h\

10. Por (3.4.16) (Lema

3.4.2), obtemos

3 532:

u Mu:

L1 ] R ^2 C

Nr

12:

u Mu:

L2 ] R ^

2 CNF

12:

yu:

L2 ] R ^2 CN D 1 1 % 2

:

yu: 2

L2 ] R ^

2 CN D 1 1 % 4:

u v: 2

L2 ] R ^

Pelo Lema 3.4.5,

3 5352 C N N $ 1

3T 0 u v 533T1

u v 53 2 C N N 2 : u w

:

H1 ] ^ "

e portanto3 5352 C N N 1 % 2

:

u w: 2

H1 ] ^ "

Colocando juntas todas as estimativas de , e I1, obtemos

L

Rp3u 3 2 u2 dx L

Rf udx - L

Rp3v 3 2 v2 dx L

fvdx

1 % 2:

u v: 2

H1 ] R ^

12:

u w: 2

H1 ] ^ C N N"

Portanto,

- N $ 1 1 % 2:

u w: 2

H1 ] ^ 1 % 2:

u v: 2

H1 ] R ^ C N N "

68


Como obtemos 2 N $ 1 CN , ento

:

u w: 2

H1 ] ^ :

u v: 2

H1 ] R ^2 C N N

e em particular N $ 1 O N "

Observao 3.4.1 A estimativa (3.4.14) com ordem N $ 1 no suficiente, pois no dnenhuma informao sobre o comportamento de u no canal. Se u e v so uniformemente

limitadas em L , com u e v uniformemente limitadas (por exemplo u 1 e v 0),ento vale

:

u v: 2

H1 ] R ^2 C N $ 1. Portanto esta desigualdade no implica que u e v

estejam prximas em algum sentido como funes definidas em R .

No obstante, a estimativa do tipo:

u v: 2

H1 ] R ^2 C N d mais informao sobre o

comportamento de u no canal. Esta nos diz que realmente u e v tem que estar prximas em

algum sentido no canal. Uma norma relevante no canal seria

1N $ 1

:

u: 2

H1 ] R ^

no sentido que, se esta norma tenda a zero para alguna funo u , ento podemos assegurar

que a funo u realmente tem que estar perto de zero em algum sentido no canal.

Vamos estimar o terceiro termo do lado direito de (3.4.8),

Lema 3.4.7 Existem constantes positivas C, C tais que

7

7

t EC Eu

A0 $ 1M f

7

7

L2 ] ^2 C

N2 F

1 r2

:

f:

C ] ^

7

7 A A $ 1 t EC E u A0 $ 1M f

7

7

H1 ] ^] R ^2 C

N 2 1 2

:

f:

C ] ^

(3.4.29)

onde 0 2 1

1 e f C C R .

Demonstrao. Seja f C C R e denotemos por

K : 4 EC E A0 $ 1M f z z

onde z EC A0 $ 1M f e z E A0

$ 1M f .

69


Observe que A0 $ 1M f w w v equivalente ao seguinte sistema

w w f x wn 0 x

1g gv x1 x1 v M f x1 0 1

v 0 w 0 v 1 w 1

(3.4.30)

e z x1 y , v x1 ,I

x1 y { R e v x1 y U v x1 H h x1 z w 0 y v 0 CH h 1 x1 z w 1 y v 1 C ,

I

x1 y E R .

Como:

K: 2L2 ] ^

:

K: 2

L2 ] ^ :

K: 2

L2 ] R ^

:

K: 2

L2 ] R ^, ento s vamos estimar

:

K: 2

L2 ] R ^.

:

K: 2

L2 ] R ^

:

z z: 2

L2 ] R ^

L

R

z x ' z x1

2 dx1dy

L

0L

x1

h x1 w 0 y ' v 0 C

2 dx1dy

>L

1

1 $ L

x1

h 1 x1 w 1 y ' v 1 C

2 dx1dy

L

0L

x1

h x1

23w 0 y ' v 0 53

2 dx1dy

>L

1

1 $ L

x1

h 1 x1

23w 1 y ' v 1 53

2 dx1dy (3.4.31)

2 C1 L

0L

x13 y 3 2 sup

y ; x1

wy

2dx1dy

C1 L1

1 $ L

x13 y 3 2 sup

y ; x1

wy

2dx1 dy

2 2C1 L

0L

x13 y 3 2dx1dy L

1

1 $ L

x13 y 3 2dx1dy

:

w: 2C 1 ] ^ " (3.4.32)

Consideremos a transformao S : N $ 1 N $ 1 dada por S y z y y e observe que S x1

1'

x1 .

Com isto temos que

L

0L

x13 y 3 2dx1dy

2L

x1

y

2dy 3 Lx1

1

N $ 1 3 y 3 2dy N D 2N $ 1

70


onde N $ 1 a medida de Lebesgue (N-1) dimensional da bola unitria. Analogamente semostra que

L

1

1 $ L

x13 y 3 2dx1dy O

ND

2" (3.4.33)

Logo

:

K: 2

L2 ] R ^2 2C1

ND

2 : w: 2C 1 ] ^

:

K:

L2 ] R ^2 C2

] ND

2 ^ 2 : w:

C 1 ] ^ " (3.4.34)

As seguintes propriedades valem (ver Mora [37])

:

w:

C ] ^ 2C3 3:

f:

C ] ^ (3.4.35)

:

w:

C 1 ] ^ 2C3 3 1 2

:

f:

C ] ^ (3.4.36)

onde C uma constante que no depende de .

Usando (3.4.36) em (3.4.34), temos

:

K:

L2 ] R ^2 C3

] N D 2 ^ 2

3 3 1 2:

f:

C ] ^ " (3.4.37)

Por outro lado, como em (3.4.31),

:

K: 2

L2 ] R ^ L

0L

x1

h x1

23w 0 y ' v 0 53

2 dx1dy

>L

1

1 $ L

x1

h 1 x1

23w 1 y ' v 1 53

2 dx1dy

2 2C1:

w: 2C ] ^ L x1

dy 2C2:

w: 2C ] ^ L x1

dy

2 2 C1 C2 N : w

: 2C ] ^

e

:

K:

L2 ] R ^2 C2

N 2 : w:

C ] ^ " (3.4.38)

Usando (3.4.35) em (3.4.38), temos a seguinte estimativa

:

K:

L2 ] R ^2 C4

N 2

3 3:

f:

C ] ^ " (3.4.39)

71


Usando (3.4.37) e (3.4.39), temos a seguinte desigualdade de interpolao

:

K:

L2 ] R ^

:

K:

L2 ] R ^:

K: 1 $

L2 ] R ^

0

1

2

C4N 2

3 3:

f:

C ] ^ C3

] N D 2 ^ 2

3 3 1 2:

f:

C ] ^ 1 $

2 C4 C1 $ 3

N2 D

NF

22 ] 1 $ ^

3 3 D

] 1 $ ^ 2

:

f:

C ] ^

2 C5 N2 D

3 3 1 $2

:

f:

C ] ^ 0 2 1

1 " (3.4.40)

Isto mostra a primeira desigualdade em (3.4.29).

Para mostrar a segunda desigualdade em (3.4.29), denotemos por D A A $ 1K K A $ 1K . Como K % H1 , mas K H1 H H1 R , ento podemosestimar

:

K:

H1 ] ^ H1 ] R ^

:

K:

H1 ] R ^. Como j estimamos

:

K:

L2 ] R ^, s nos falta estimar

:

K:

L2 ] R ^. Como h x1

$ 1h A x % , h 1 x1 $ 1h AC 1 x1 C% , usando (3.4.33),

temos

:

K: 2

L2 ] R ^

:

z z : 2L2 ] R ^

sL

R

z x ' z x1 C

2 dx1dy

2

L

0

h x1

2L

x13w 0 y ' v 0 53

2 dx1dy

L

0

h x1

2L

x1

yw 0 y

2 dx1dy

>L

1

1 $

h 1 x1

2L

x13w 1 y ' v 1 53

2 dx1dy

>L

1

1 $

h 1 x1

2L

x1

yw 1 y

2 dx1dy

2 C1$ 2L

0L

x13 y 3 2 dx1dy

:

w: 2C 1 ] ^

C1 L

0L

x1dx1dy

:

w: 2C 1 ] ^

C1$ 2L

1

1 $ L

x13 y 3 2 dx1dy

:

w: 2C 1 ] ^

C1 L1

1 $ L

x1dx1dy

:

w: 2

2 2C1 N : w

: 2C 1 ] ^ 2C1

N : w: 2C 1 ] ^

2 CN:

w: 2C 1 ] ^

onde tambm usamos que

0 x1

dx1dy O N .

72


Usando (3.4.36) nesta ltima desigualdade, temos

:

K:

L2 ] R ^2 C6

N 2

3 3 1 2:

f:

C ] ^ " (3.4.41)

Como:

K: 2

H1 ] ^ H1 ] R ^ :

K: 2

H1 ] R ^

:

K: 2

L2 ] R ^

:

K: 2

L2 ] R ^, usando (3.4.40) e (3.4.41),

temos

:

K: 2H1 ] ^ H1 ] R ^ 2

C5 N2 D

3 3 1 $2

:

f:

C ] ^ 2

C6N 2

3 3 1 2:

f:

C ] ^ 2

2 C7N

3 3:

f: 2C ] ^

:

K:

H1 ] ^ H1 ] R ^2 C8

N 2

3 3 1 2:

f:

C ] ^ " (3.4.42)

Por outro lado, tambm temos de (3.4.39) que

7

7 A $ 1K7

7

H1 ] ^2 3 3

7

7

A $ 1K7

7

H1 ] ^243 3

13 3 1 2

:

K:

L2 ] R ^

2 3 3 1 2C4N 2

3 3:

f:

C ] ^

2 C5N 2

3 3 1 2:

f:

C ] ^ (3.4.43)

onde usando (3.4.39), (3.4.42) e (3.4.43), temos a seguinte estimativa

:

D:

H1 ] ^ H1 ] R ^2

:

K:

H1 ] ^ H1 ] R ^

7

7 A $ 1K7

7

H1 ] ^

2 C9N 2

3 3 1 2:

f:

C ] ^ " (3.4.44)

Agora vamos estimar o segundo termo do lado direito em (3.4.8)

7

7 A A $ 1 t R0 A ' EC R0 A0 M u EA0 A0 $ 1M

7

7

H1 ] ^ H1 ] R ^"

Para isto vamos necessitar dos seguintes resultados.

Lema 3.4.8 Existe uma constante C 0, tal que

i 7

7 EA0 A0 $ 1M f

7

7

L ] ^2 C:

f:

L ] ^,

ii 7

7 A A $ 1g7

7

H1 ] ^2 C:

g:

H1 ] ^.

73


Demonstrao.

i O operador E na verdade depende de , isto , E E e

E : L L 0 1

L

w v

E w v

w x

v x1 x1 y R

(3.4.45)

Logo, da definio de E , temos que:

E:

L ] L ] ^ L ] 0 . 1 ^. L ] ^^ 1 "

O operador M tambm depende de , isto , M M e

M : L

L L 0 1

f

M f x

f x 1

x1

L

x1f x1 y dy 0 1 "

(3.4.46)

Da definio de M , segue que:

M:

L ] L ] ^. L ] ^ L ] 0 . 1 ^^2 1 "

Com isso,

7

7 EA0 A0 $ 1M

7

7

L ] L ] ^. L ] ^^2 C

7

7 A0 A0 $ 17

7

L ] L ] ^ L ] 0 . 1 ^^(3.4.47)

Seja g C L 0 1 , tal que

A0 $ 1g w w v " (3.4.48)

A equao (3.4.48) equivalente ao seguinte sistema

w w g em wn 0 em

1g gv x1 x1 v Mg em 0 1

v 0 w 0 v 1 w 1

(3.4.49)

e, procedendo como na prova da Proposio 3.3.1 iv , obtemos

:

w:

C ] ^ 2C3 3:

g:

C ] ^

:

v:

C ] ^ 2C3 3

:

g:

C ] ^ :

g:

C ] 0 . 1 ^ "

Como A0 A0 $ 1 I A0

$ 1, ento

74


7

7 A0 A0 $ 1g7

7

C ] ^ L ] 0 . 1 ^ 7

7 g A0 $ 1g7

7

C ] ^ L ] 0 . 1 ^

2

:

g:

C ] ^ L ] 0 . 1 ^ C:

g:

C ] ^ L ] 0 . 1 ^

2 C:

g:

C ] ^ L ] 0 . 1 ^ "

Voltando para (3.4.47), temos

7

7 EA0 A0 $ 1M

7

7

L ] L ] ^. L ] ^^2 C (3.4.50)

onde C uma constante que no depende de e .

ii Observe que A A $ 1 I A $ 1. Seja f H1 , ento

7

7 A A $ 1 f7

7

H1 ] ^

7

7 f A $ 1 f7

7

H1 ] ^

2

:

f:

H1 ] ^3 3

7

7

A $ 1 f7

7

H1 ] ^

Agora A $ 1 f u equivalente a resolver o seguinte problema

u u f em wn 0 em "

(3.4.51)

De (3.4.51), temos:

u:

H1 ] ^2

C3 3:

f:

C ] ^ , isto ,

7

7

A $ 1 f7

7

H1 ] ^2

C3 3:

f:

C ] ^

onde a constante C independente de . Com isto temos

7

7 A A $ 1 f7

7

H1 ] ^2

:

f:

H1 ] ^ C:

f:

H 1 ] ^

2 1 C :

f:

H1 ] ^

C:

f:

H1 ] ^"

Portanto

7

7 A A $ 17

7

L ] H1 ] ^.H1 ] ^^2

C (3.4.52)

onde C uma constante que no depende de e .

75


Usando o Lema 3.4.8 e a Proposio 3.4.1 temos

7

7 A A $ 1 R0 A ' EC R0 A0 M E A0 A0 $ 1M

7

7

H1 ] ^ H1 ] R ^

2 C7

7 R0 A ' EC R0 A0 7

7

H1 ] ^ H1 ] R ^2 CN 2 " (3.4.53)

Agora vamos estimar o primeiro termo do lado direito em (3.4.8). De fato,

7

7 A A $ 1 t R0 A ' EC R0 A0 M u I EM f7

7

H1 ] ^ H1 ] R ^

2 M7

7 R0 A ' EC R0 A0 M7

7

L ] L ] ^.H1 ] ^ H1 ] R ^:

I EM f:

L ] ^

2 MC N 2:

f:

L ] ^(3.4.54)

Logo temos o seguinte teorema.

Teorema 3.4.1 Se f C C R , ento temos

7

7

R A ' ER A0 M f7

7

H1 ] ^ H1 ] R ^2 CN 2

:

f:

C ] ^ " (3.4.55)

Demonstrao. Usando (3.4.54), (3.4.53) e o Lema 3.4.7 temos

7

7

t R A ' ER A0 M u f7

7

H1 ] ^ H1 ] R ^

7

7 A A $ 1 t R0 A ' EC R0 A0 M u I EM f7

7

H1 ] ^ H1 ] R ^

7

7

t A A $ 1 t R0 A ' EC R0 A0 M u E A0 A0 M u f7

7

H1 ] ^ H1 ] R ^

7

7

A A $ 1 t EC E u A0 $ 1M

f7

7

H1 ] ^ H1 ] R ^

2 CN 2:

f:

C ] ^ CN 2 : f

:

C ] ^ C9N 2

3 3 1 2:

f:

C ] ^

2 C N 2:

f:

C ] ^ " (3.4.56)

3.4.2 Comparao dos semigrupos lineares

Nesta seo queremos comparar os semigrupos lineares associados aos problemas (P ) e (P0)respectivamente. A primeira dificuldade que enfrentamos que os semigrupos N e $ A t : t - 0 OeN

e $ A0 t : t - 0O

esto definidos em espaos diferentes, isto e $ At : X

X e e $ A0t : X0

X0.

Com os resultados da seo anterior, estamos em condies de estimar os semigruposlineares no sentido da proposio abaixo.

Proposio 3.4.2 Existem um nmero 0

1 e uma funo , com

0 quando

76


0, tais que

7

7

7

e $ At f Ee$ A0tM f

7

7

7

H1 ] ^ H1 ] R ^2 M eat t $

:

f:

L ] ^

t 0 (3.4.57)

onde f C C R e M 0.

Demonstrao. Seja f C C R . Ento

7

7 e $ A t f Ee$ A0tM f

7

7

H1 ] ^ H1 ] R ^

7

7

7

7

12piiL

e t

R A ER A0 M fd7

7

7

7

H1 ] ^ H1 ] R ^

2

12pi

L

e t

7

7

R A ER A0 M f7

7

H1 ] ^ H1 ] R ^d

2

C N 2

2pi

L

e t

d

:

f:

L ] ^

onde P A , P A0 uma curva adequada no plano complexo. Como P A P A0 0` a , com a 0 (perto do zero), podemos tomar

0/ ( ; P 1Q

i a

68"

Com esta curva temos que

e t

d

2 C10 eat t $ 1. Logo, temos

7

7 e $ At f Ee$ A0tM f

7

7

H1 ] ^ H1 ] R ^2 C11

N 2 eat t $ 1:

f:

L ] ^" (3.4.58)

Por outro lado,

7

7

7

e $ At f Ee$ A0tM f

7

7

7

H1 ] ^ H1 ] R ^2

7

7

7

e $ At f7

7

7

H1 ] ^

7

7

7

Ee $ A0tM f7

7

7

H1 ] ^ H1 ] R ^

2 C12 t$ 1 2 : f

:

L ] ^ C13 t

$ 1 2 : f:

L ] ^

2 C14 t$ 1 2 : f

:

L ] ^" (3.4.59)

De (3.4.58) e (3.4.59), obtemos a seguinte desigualdade de interpolao

7

7

7

e $ A t f Ee$ A0tM f

7

7

7

H1 ] ^ H1 ] R ^2 C15

N 2 $ eat t $ :

f:

L ] ^

(3.4.60)

onde 0

1 e 0

1.

3.4.3 Comparao dos semigrupos no-lineares

Agora podemos calcular T t ' ET0 t M .

Proposio 3.4.3 Existem uma constante positiva C e uma funo N , com N

0 quando

77


0, tais que

7

7 T t ' ET0 t M 7

7

H1 ] ^ H1 ] R ^2 C N t $ t 0 \

:

:

L2 ] ^2 R (3.4.61)

onde C C R e 0 0 .

Demonstrao.

7

7 T t ' ET0 t M 7

7

H1 ] ^ H1 ] R ^2

7

7 e $ A t Ee $ A0tM7

7

H1 ] ^ H1 ] R ^

L

t

0

7

7

7

i e $ A ] t $ s ^ F T s C E e $ A0 ] t $ s ^ F0 T0 s M Ck

7

7

7

H1 ] ^ H1 ] R ^ds " (3.4.62)

Somando e subtraindo o termo eA ] t $ s ^ F ET0 s M C no segundo termo do lado direito de(3.4.62), e lembrando que F0 T0 s M C MF ET0 s M C , temos

7

7 T t ' ET0 t M 7

7

H1 ] ^ H1 ] R ^2

7

7 e $ A t Ee $ A0tM7

7

H1 ] ^ H1 ] R ^

L

t

0

7

7 e $ A ] t $ s ^

F T s C F ET0 s M Ch7

7

H1 ] ^ H1 ] R ^ds

L

t

0

7

7

7

i e $ A ] t $ s ^ F ET0 s M C Ee$ A0 ] t $ s ^ MF ET0 s M C

k

7

7

7

H1 ] ^ H1 ] R ^

2 C15 N2 $ eat t $

:

:

L ] ^ C L L

t

0

7

7 T s ' ET0 s M 7

7

H1 ] ^ H1 ] R ^

C15 N2 $ L

t

0ea ] t $ s ^ t s $

7

7 F ET0 s M C7

7

H1 ] ^ H1 ] R ^

2 C16 N2 $ t $ ea F t C L L

t

0

7

7 T s ' ET0 s M 7

7

H1 ] ^ H1 ] R ^"

Pela desigualdade de Gronwall temos

7

7 T t ' ET0 t M 7

7

H1 ] ^ H1 ] R ^2 C17

N2 $ t $ e ] a F D L ^ t (3.4.63)

onde a D> a e L a constante de Lipschitz de F .

3.5 Semi-continuidade superior dos atratoresPrimeiro vamos enunciar a definio se semi-continuidade superior de atratores.

Definio 3.5.1 Dizemos que a familia de atratores N A : 0 2

0 O semi-continuasuperiormente em 0 no espao H1 H1 R se

supu ; A

infu0 ; A0

7

7 u u07

7

H1 ] ^ H1 ] R ^

0 quando

0 " (3.5.1)

78

3.5 Semi-continuidade superior dos atratores

O seguinte resultado nos d a semi-continuidade superior dos atratores

Proposio 3.5.1 Os atratores A so semi-contnuos superiormente em 0 no espaoH1 H1 R .

Demonstrao. Sejam 0 um nmero pequeno e u A . Como os atratores A solimitados uniformemente em e A0 atrai conjuntos limitados, ento existe um tempo 0 talque

dist t T0 A A0 u 2 % 2 uniformemente em "

Agora, se u A , pela propriedade de invarincia dos atratores, existe w A , tal queT w u .

Em particular

dist t u A0 u 2 dist t u T0 A u dist T0 A A0

2

7

7 T w ' ET0 Mw 7

7

dist T0 A A0

2 C N $ % 2 "

Escolhendo suficientemente pequeno, obtemos distt

u A0 u 2 , 0

2 .

Corolrio 3.5.1 Se denotarmos por E o conjunto de pontos de equilbrios de (P ), com ` 0 0 \ , ento

supu ; E

infu0 ; E0

7

7 u u07

7

H1 ] ^ H1 ] R ^

0 quando

0 " (3.5.2)

Demonstrao. Para mostrar a semi-continuidade superior do conjunto de pontos deequilbrio E , vamos provar que para qualquer sequncia de

0 e para qualquer u E , podemos extrair uma subsequncia, que ainda denotaremos por , e obter umu0 E0 tal que

7

7 u u07

7

H1 ] ^ H1 ] R ^

0 quando

0. De fato, da semi-continuidadesuperior dos atratores dada por (3.5.1), obtemos a existncia de um u0 A0 tal que7

7 u u07

7

H1 ] ^ H1 ] R ^

0 quando

0. Para mostrar que u0 E0, observamos que paraqualquer t 0,

7

7 u ET0 t u0 7

7

H1 ] ^ H1 ] R ^

7

7 u0 T0 t u0 7

7

H1 ] ^ , quando

0. Almdisso, para 0 fixo e qualquer t 0 , temos que

7

7 u ET t u0 7

7

H1 ] ^ H1 ] R ^

7

7 T t u ' Et0 t u0 7

7

H1 ] ^ H1 ] R ^

0 quando

0

onde usamos (3.4.61) e o fato de u ser ponto de equilbrio. Em particular temos que para cadat 0, u0 T0 t u0 , o qual implica que u0 ponto de equilbrio.

79

CAPTULO

4Padres induzidos por controles no-lineares

na fronteira

N este captulo estudaremos a existncia de equilbrios no-constantes estveis(padres) para equaes de reao-difuso com condies de fronteira no linearem domnios pequenos conectados por canais finos. Mostraremos a convergnciade autovalores e autovetores para o operador Laplaciano nestes domnios. Esta informao usada para mostrar que a dinmica assinttica da equao do calor neste domnio equivalentea dinmica assinttica de um sistema de duas equaes ordinrias fracamente acopladas. Asprincipais ferramentas usadas so a Teoria da variedade invariante e o Teorema do traouniforme no canal fino.

4.1 IntroduoNesta seo nosso objetivo estudar a existncia de padres para o seguinte problema

ut

N $ 1u f u em t x 0

N $ 1

u g u em t x 0

(4.1.1)

onde denota a derivada normal exterior a fronteira de R (ver Figura 4.1),com L R, L, R

N (N 2) domnios, R um canal fino que conecta L eR, 0 um parmetro positivo pequeno, 0 uma constante positiva, e f , g so funesno-lineares satisfazendo certas propriedades de dissipatividade que sero especificadas maistarde.

Existem vrios trabalhos em existncia de equilbrios estveis no-constantes paraproblemas de reao-difuso com condies de Neumann na fronteira. Matano [36], mostrou

81

Padres induzidos por controles no-lineares na fronteira

RRL

Figura 4.1: Domnio tipo Dumbbell

um importante resultado na existncia de padres para problemas de reao-difuso comcondies de Neumann homogneas na fronteira

ut u k f u em Du 0 em D

(4.1.2)

onde D um domnio no-convexo. Nesta direo esto tambm os trabalhos de Hale e Vegas[25] e Vegas [42].

Consul e Sla-Morales ([21],[22]) estenderam os resultados de Matano provando aexistncia de equilbrios estveis no-constantes para equaes de difuso com reao no-linear na fronteira

ut u em Du k f u em D "

(4.1.3)

Nos trabalhos de Jimbo [30, 31] foram estudados os equilbrios de (4.1.2) com coeficientede difuso homogneo. Ele deu um estudo detalhado da estrutura das solues no limitesingular e, em [29], considera o canal fino que une L em R com volume pequeno quandoo parmetro

0 e se aproxima de um segmento de reta. A tcnica usada nestes trabalhos similar a de Matano [36].

Jimbo e Morita, em [33], estudaram o problema de autovalores para o operador Laplacianocom condies de Neumann homogneas em um domnio

n que consiste de ksubdomnios fixos e canais finos que unem estes subdomnios. O volume de cada canal fino controlado por um pequeno parmetro 0 e estes canais finos tendem a um segmento

82

4.1 Introduo

de reta conectando estes subdomnios num certo sentido (alguns destes canais podem servazios). Eles caracterizaram os autovalores e autofunes para o operador neste domnio.Usando a teoria de variedades invariantes, eles mostraram que a dinmica para o problema dereao-difuso equivalente a dinmica de um sistema de equaes diferenciais ordinrias navariedade invariante.

Morita, em [38], estuda em detalhe o comportamento assinttico das solues para oproblema de reao-difuso de uma equao anloga a (4.1.2), em domnios parametrizadospor 0,

2 . Particularmente ele estudou a estrutura da dinmica global deste sistemapara pequeno. Usando a teoria das variedades invariantes, mostrou que a dinmica destesistema equivalente a um sistema de equaes diferenciais ordinrias reduzidas na variedadeinvariante.

Morita e Jimbo, em [39], estudaram a dinmica das solues para um sistema de reao-difuso num domnio de forma especfica. Aqui, o domnio tem k regies grandes Di i 1

XCXCX

k e os canais finos Qi . j conectando Di e D j se aproximam a um segmento de retaquando

0. Nestes domnios, os k primeiros autovalores de , com condio de Neumannhomognea na fronteira, tendem a zero quando

0, enquanto que, os k 1 - autovalorestendem ao infinito. Aqui eles mostraram que o comportamento assinttico do fluxo associadoao sistema de reao-difuso determinado por um sistema finito dimensional, isto , todasoluo se comporta assintoticamente como uma soluo de uma equao diferencial ordinria.Eles mostraram sob certas condies que existe uma variedade invariante de dimenso finitaque atrai exponencialmente toda soluo.

Existem vrios trabalhos em problemas de autovalores para o operador Laplaciano emdomnios perturbados, como por exemplo [8], [25], [30], [42] etc.

Neste trabalho, usaremos a teoria de variedades invariantes e um Teorema de TraoUniforme para mostrar que a dinmica de (4.1.1) equivalente a dinmica de d

comportamiento asintótico de problemas parabolicos

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