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1 Comissão Nacional de Energia Nuclear CENTRO DE DESENVOLVIMENTO DA TECNOLOGIA NUCLEAR Programa de Pós-Graduação em Ciência e Tecnologia das Radiações, Minerais e Materiais VORTICES MAGNÉTICOS EM MATERIAIS NANOESTRUTURADOS: EXPERIMENTO E SIMULAÇÃO Sofia de Oliveira Parreiras Dissertação apresentada ao Curso de Pós-Graduação em Ciência e Tecnologia das Radiações, Minerais e Materiais, como requisito parcial à obtenção do Grau de Mestre Área de concentração: Ciência e Tecnologia dos Materiais Orientador: Prof. Dr. Maximiliano Delany Martins Belo Horizonte 2012

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Comissão Nacional de Energia Nuclear

CENTRO DE DESENVOLVIMENTO DA TECNOLOGIA NUCLEAR

Programa de Pós-Graduação em Ciência e Tecnologia das Radiações,

Minerais e Materiais

VORTICES MAGNÉTICOS EM MATERIAIS

NANOESTRUTURADOS: EXPERIMENTO E SIMULAÇÃO

Sofia de Oliveira Parreiras

Dissertação apresentada ao Curso de Pós-Graduação em Ciência e Tecnologia

das Radiações, Minerais e Materiais, como requisito parcial à obtenção do

Grau de Mestre

Área de concentração: Ciência e Tecnologia dos Materiais

Orientador: Prof. Dr. Maximiliano Delany Martins

Belo Horizonte

2012

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AGRADECIMENTOS

A minha família por sempre ter me apoiado em todos os momentos.

Ao meu orientador Professor Maximiliano Delany Martins pela oportunidade e

disposição em ensinar.

Ao Doutor Flávio Garcia pelas sugestões e auxílio que tornaram possível a realização

desse trabalho.

Ao Professor Flávio Plentz por disponibilizar o laboratório e pela paciência em

ensinar.

Ao Professor Waldemar A. A. Macedo, Professor José Domingos e a todo o pessoal

do LFA por toda a ajuda e incentivo.

Ao Bruno, Elisa, Natália e Rafael que acompanharam de perto esse trabalho pelas

sugestões e apoio.

Ao Gabriel pela ajuda inestimável com as simulações e a todos do LNLS que me

receberam tão bem.

Aos colegas e professores da pós-graduação e a todos os que contribuíram direta ou

indiretamente na realização deste trabalho.

A CAPES pela bolsa de mestrado e ao CNPQ e a Fapemig pelo apoio financeiro

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RESUMO

O estudo de discos magnéticos com a configuração de vórtices magnéticos tem atraído

grande interesse científico recentemente. Nessa estrutura os spins formam circuitos fechados

no plano e, próximo ao centro do disco, se alinham perpendicularmente ao plano de forma a

reduzir a densidade de energia de troca. O grande potencial de aplicação de vórtices

magnéticos como, por exemplo, em memórias magnéticas e nanopartículas para o tratamento

de câncer, chama a atenção para a investigação das condições de estabilidade e o controle de

suas propriedades. Neste trabalho, estudamos a alteração que dois tipos diferentes de

anisotropia provocam nas propriedades de vórtices através de medidas de Microscopia de

Força Magnética (MFM) e simulações micromagnéticas utilizando o código OOMMF (NIST)

que aplica a equação de Landau-Lifshitz-Gilbert para simular a configuração de spin e

calcular a energia e a magnetização de microestruturas.

A primeira parte do trabalho envolveu o estudo da influência da anisotropia

magnetocristalina planar na estabilidade de vórtices magnéticos em discos de Co60Fe40 em

relação a discos de permalloy, que possui anisotropia magnetocristalina nula. Os resultados de

simulação micromagnética para discos com diâmetros entre 0,5 e 8 m mostraram que a

anisotropia favorece o alinhamento dos spins e a divisão da estrutura em domínios, reduzindo

a estabilidade do vórtice. Os resultados foram comprovados experimentalmente em medidas

de MFM de discos de Co60Fe40 com diâmetros entre 2 e 8 m.

Na segunda parte do trabalho foi estudada a influência do fenômeno de exchange bias

na dinâmica de vórtices magnéticos. Para isso foram realizadas simulações de discos de

Permalloy/Fe50Mn50 com diâmetro de 0,5 m variando o acoplamento magnético entre as

camadas. As simulações de curvas de histerese mostraram que o acoplamento aumenta a

estabilidade dos vórtices. Nas simulações de relaxação foi observado que devido ao exchange

bias o movimento girotrópico do núcleo apresenta uma frequência variável que aumenta com

o tempo, o que não acontece na ausência de exchange bias. Já nas simulações em que os

discos estão sujeitos a um campo magnético girante foi observado que a velocidade crítica em

que a polaridade do vórtice é invertida aumenta com o aumento do acoplamento e com o

aumento da frequência do campo. Essa velocidade pode ser escolhida em uma ampla faixa

escolhendo os valores do acoplamento magnético e da frequência de oscilação. Portanto é

possível controlar a velocidade crítica de inversão da polaridade de vórtices magnéticos

através do fenômeno de exchange bias.

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ABSTRACT

The study of magnetic dots with magnetic vortex spin configuration has recently

attracted great scientific interest. In this structure, the spins form closed circuits in the plane of

the magnetic dot and, near the center, align perpendicularly to the plane in order to reduce

exchange energy density. The great potential of applications of magnetic vortices (as for

example magnetic memories and nanoparticles for cancer treatment) draws attention for the

investigation of the stability conditions for the vortex configuration. In the case of soft

ferromagnetic materials in micron and submicron scales, small changes in shape, size and

material’s anisotropy can modify the energy equilibrium. In this work, we studied the change

of vortex proprieties in microsized dots due to two different types of anisotropy using the

code OOMMF (NIST) that applies the Landau-Lifshitz-Gilbert equation to simulate the spin

configuration and compute the energy and magnetization of microstructures. These results

were compared to Magnetic Force Microscopy (MFM) investigations of the magnetic

configuration in microsized dots prepared by lithographic process.

In the first part, we studied by numerical simulation the influence of planar

magnetocrystaline anisotropy in Co60Fe40 disks and compare to permalloy disks, material that

shows zero magnetocrystalline anisotropy. The results for disks with diameters between 0.5

and 8 m showed that the anisotropy favors spins alignment and domains division, reducing

vortex stability. The results for Co60Fe40 disks with diameters between 2 and 8 m were verify

experimentally by MFM measurements.

In the second part, we studied the influence of exchange bias in the magnetic vortex

dynamics. A series of micromagnetic simulations for Permalloy/Fe50Mn50 disks with 0.5 m

of diameter was done varying the magnetic coupling constant between the layers. The

hysteresis simulations showed that the vortex stability increases with the coupling constant. In

relaxation simulations we observed that the gyrotropic movement has a variable frequency

that increases with time, which is not observed when exchange bias is absent. Under a rotating

magnetic field, the critical velocity for vortex polarity reversion increases with the coupling

constant and frequency. Our results show that the critical velocity can be adjusted in a wide

range by selecting the magnetic coupling constant and the oscillating frequency, i.e., it is

possible to control the critical velocity for vortex polarity inversion through the exchange bias

coupling.

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SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO 7

1.1. OBJETIVOS

10

2. REFERENCIAL TEÓRICO 11

2.1. MAGNETISMO 11

2.2. ANISOTROPIA MAGNÉTICA 16

2.2.1. EXCHANGE BIAS 17

2.3. CONFIGURAÇÃO MAGNÉTICA 19

2.4. VÓRTICES MAGNÉTICOS 21

2.4.1. PROPRIEDADES DINÂMICAS – CURVA DE HISTERESE 24

2.4.2. PROPRIEDADES DINÂMICAS – MOVIMENTO GIROTRÓPICO 27

2.4.3. INTERAÇÕES ENTRE VÓRTICES MAGNÉTICOS 28

2.4.4. CONTROLE DAS PROPRIEDADES DOS VÓRTICES 30

2.4.5. INFLUÊNCIA DA ANISOTROPIA EM VÓRTICES MAGNÉTICOS 33

2.4.6. VÓRTICES MAGNÉTICOS E EXCHANGE BIAS 35

3. MATERIAIS E MÉTODOS 38

3.1. SIMULAÇÃO MICROMAGNÉTICA 38

3.2. FABRICAÇÃO DOS DISCOS 43

3.3. CARACTERIZAÇÃO 48

4. RESULTADOS PARA OS DISCOS DE Co60Fe40 E PERMALLOY 58

4.1. SIMULAÇÕES 58

4.2. MEDIDAS DE MFM 75

4.3. ANÁLISE DOS RESULTADOS 87

5. DISCOS DE MULTICAMADAS COM EXCHANGE BIAS 91

5.1. SIMULAÇÕES DE CURVAS DE HISTERESE 93

5.2. SIMULAÇÕES DE RELAXAÇÃO 94

5.3. SIMULAÇÕES DE CAMPO GIRANTE 96

6. CONCLUSÕES 104

7. REFERÊNCIAS 107

ANEXO I 110

ANEXO II 112

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1. INTRODUÇÃO

Materiais nanoestruturados têm atraído grande interesse de pesquisa nos últimos anos.

Devido a suas características de escala de comprimento extremamente pequena e baixa

dimensionalidade, em geral esses materiais apresentam propriedades novas e aumentadas em

relação a seus homólogos macroscópicos [1,2]. Nas nanoestruturas, os efeitos de superfície,

como os processos de catálise e reconstrução da superfície, se tornam mais relevantes devido

à alta razão superfície/volume. Também surgem efeitos quânticos que não são observados em

escala macroscópica, mas desempenham um papel importante no comportamento dos

materiais confinados em dimensões nanométricas.

Recentes avanços na área do magnetismo fazem com que as nanoestruturas

magnéticas tenham grande interesse tanto na área científica quanto nas aplicações

tecnológicas [1,3]. Por exemplo, estudos sobre temas como magnetorresistência gigante,

exchange bias, injeção de spin, dentre outros, demonstram a possibilidade de utilizar o spin

do elétron no processamento de informações (spintrônica) [1-3].

As propriedades magnéticas podem ser significativamente alteradas em relação ao

comportamento macroscópico quando as escalas de tamanho se tornam suficientemente

pequenas, com tamanhos comparáveis ou menores do que certos tamanhos característicos

como o livre caminho médio do portador e a espessura da parede de domínio magnética [1,2].

Um exemplo é o processo de reversão da magnetização que pode ser drasticamente

modificado em estruturas magnéticas confinadas aos tamanhos em que a formação de paredes

de domínio não é energeticamente favorável [1]. Essa redução de tamanho também pode levar

ao aparecimento de propriedades novas, inexistentes em materiais macroscópicos, que podem

ser manipuladas em função das características típicas da nanoestrutura, tais como tamanho,

forma e composição [1]. Uma quantidade significativa de trabalho tem sido feita pela

comunidade cientifica nos últimos anos em diferentes aspectos de nanoestruturas magnéticas

ordenadas, da fabricação a caracterização dessas estruturas, tanto teórica quanto

experimentalmente [1,2,4-10] e também utilizando simulação micromagnética [11-17].

O comportamento magnético de um material é determinado pela configuração de seus

momentos magnéticos. Essa configuração depende da competição entre diferentes energias: a

energia de interação de troca entre momentos magnéticos, a energia magnetostática, a energia

de anisotropia magnetocristalina e a energia de desmagnetização. A importância de cada um

desses termos de energia depende da estrutura e da composição do material. Em geral, a

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minimização da energia total favorece a divisão em domínios magnéticos, sendo que a

formação de uma estrutura de domínios fechados diminui bastante a energia, pois neste caso

não há fluxo magnético para fora do material [1,2,4,11,18,19]. Em um disco composto por um

material ferromagnético macio e que possui dimensões na escala microscópica, o domínio

fechado mais favorável energeticamente é a configuração de vórtice magnético [2,20].

Em uma configuração de vórtices magnéticos, os momentos formam circuitos de fluxo

fechados. Porém, próximo ao centro do disco a densidade da energia de troca é muito alta

tornando mais favorável aos momentos magnéticos de uma pequena região, o núcleo do

vórtice, se alinharem perpendicularmente ao plano do disco [3,11,21]. Duas importantes

propriedades dos vórtices são: a quiralidade e a polaridade. A quiralidade indica a orientação

dos momentos magnéticos no plano (sentido horário ou anti-horário) e a polaridade indica a

orientação dos momentos que estão alinhados perpendicularmente ao plano, e pode ser

positiva (momentos magnéticos saindo do plano) ou negativa (momentos magnéticos

entrando no plano). Portanto, são possíveis quatro configurações diferentes [2,4,5,6,8].

Várias aplicações tecnológicas de vórtices magnéticos têm sido estudadas nos últimos

anos como, por exemplo, o uso de vórtices em memórias magnéticas [22,23] e em aplicações

biomédicas [24,25]. Este potencial de aplicação tecnológica despertou o interesse científico

para o estudo das condições de formação e estabilidade dos vórtices magnéticos e do

controle/manipulação de suas propriedades.

Em materiais ferromagnéticos com dimensões nas escalas micro e submicrométrica,

pequenas alterações na forma, no tamanho e na composição do material alteram o equilíbrio

de energia. Dependendo de qual termo da energia prevalece (magnetostática, de anisotropia

ou de troca) ocorrerá, ou não, a divisão em domínios ou a formação de vórtices. Portanto, em

princípio, as propriedades magnéticas de nanoestruturas poderiam ser modificadas alterando a

forma, o tamanho e a composição da nanoestrutura [1,4,6,7,8,10]. Assim, uma das formas de

alterar as propriedades magnéticas de uma nanoestrutura é modificar o material de que é

produzida alterando, como consequência, sua anisotropia magnética.

Um exemplo de como a anisotropia pode alterar as propriedades de um vórtice é o

caso de multicamadas Co/Pt que apresentam anisotropia magnética perpendicular. A variação

da espessura das camadas altera essa anisotropia o que leva a uma modificação do diâmetro

do núcleo do vórtice e nas condições de estabilidade [8,26].

Nesse trabalho, foi estudado como duas formas diferentes de anisotropia modificam as

propriedades de vórtices magnéticos. A primeira parte do trabalho envolveu o estudo de como

a anisotropia magnetocristalina planar em discos de Co60Fe40 modifica a estabilidade de

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vórtices magnéticos e altera suas propriedades em relação a discos de permalloy, material que

possui anisotropia magnetocristalina nula. Existem muitos resultados na literatura para discos

de permalloy que indicam que a configuração remanente é sempre o vórtice magnético

[3,5,7,27,28], porém não existem dados para o Co60Fe40. Com o objetivo de investigar a

influência da anisotropia magnetocristalina na estabilidade de um vórtice magnético foram

realizadas simulações micromagnéticas de discos de permalloy (Py) e discos de Co60Fe40 com

diâmetros de 0,5, 1, 2, 4, 6 e 8 m e espessura de 20 nm. De modo complementar,

investigamos a configuração magnética em discos de Co60Fe40 com diâmetros de 2, 4, 6 e 8

m e 20 nm de espessura, preparados por litografia ótica (Laser Writer), utilizando

Microscopia de Força Magnética (MFM).

Outro modo de modificar as propriedades de um vórtice devido a anisotropia é através

da utilização de discos compostos por bicamadas sujeitas ao fenômeno de exchange bias ou

anisotropia de troca, em que uma das camadas é ferromagnética e a outra é

antiferromagnética. Nesse caso a curva de histerese é alterada, aumentando os valores dos

campos de nucleação e aniquilação do vórtice e, consequentemente, aumentando sua

estabilidade [14,15,16,29]. Os artigos publicados sobre esse tema envolvem somente aspectos

estáticos das propriedades de um vórtice. Não existe nenhum estudo relacionado com a

dinâmica dos vórtices magnéticos neste tipo de sistema, tema da segunda para deste trabalho.

O objetivo da segunda parte do trabalho foi estudar a influência do fenômeno de

exchange bias nas propriedades dinâmicas de vórtices magnéticos. Para isso foram realizadas

simulações micromagnéticas de discos de 0,5 m de diâmetro compostos por bicamadas de

Py/Fe50Mn50 em que cada camada possui 20 nm de espessura e o Fe50Mn50 apresenta uma

configuração de vórtice magnético com spins fixos devido ao efeito de exchange bias. As

simulações consideraram que existe um acoplamento magnético entre os spins na interface

entre as duas camadas. Para determinar a influência desse acoplamento nas propriedades dos

vórtices magnéticos, foram realizadas simulações com diferentes valores da constante de

acoplamento magnético: 2,510-4

; 2,010-4

; 1,510-4

; 1,010-4

; 0,510-4

e 0 J/m2. As

simulações abrangeram três aspectos: curvas de histerese, relaxação e campo girante.

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1.1. OBJETIVOS

Este projeto tem como objetivo investigar a influência de diferentes tipos de

anisotropia magnética na configuração de spins em discos magnéticos nanoestruturados

através de medidas de Microscopia de Força Magnética (MFM) e simulações

micromagnéticas.

Os objetivos específicos são:

Investigar, através de simulações micromagnéticas, utilizando o código

OOMMF (NIST), a influência da anisotropia magnética planar na configuração

magnética de materiais nanoestruturados na forma de discos de diferentes

diâmetros (na escala micrométrica). Como casos exemplos, serão estudados os

materiais Co60Fe40 e Permalloy (Ni80Fe20), que apresentam diferentes valores da

anisotropia.

Investigar experimentalmente, utilizando microscopia de força magnética, a

correlação da configuração magnética e a dimensão lateral em discos de

Co60Fe40.

Investigar a evolução da configuração magnética nos discos de Co60Fe40 com a

aplicação de um campo magnético externo.

Investigar através de simulações micromagnéticas, utilizando o código OOMMF

(NIST), o comportamento dinâmico da configuração de spins em materiais

nanoestruturados sujeitos ao fenômeno de exchange bias: discos com estrutura

de bicamada Permalloy/Fe50Mn50.

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2. REFERENCIAL TEÓRICO

O referencial teórico foi baseado nos livros de B. D. Cullity e C. D. Graham [30], S.

Blundell [31] e A. P. Guimarães [18,32].

2.1. MAGNETISMO

O magnetismo é um fenômeno que é conhecido a pelo menos 2500 anos, quando já se

sabia que a magnetita (Fe3O4) tinha o poder de atrair o ferro. No entanto, os princípios e

mecanismos que explicam esse fenômeno são muito complexos e só foram compreendidos

relativamente recentemente. Ferro, alguns tipos de aço e magnetita (ímã natural) são

exemplos bem conhecidos de materiais que possuem propriedades magnéticas. Porém, todos

os materiais são influenciados em maior ou menor grau pela presença de um campo

magnético. Isso acontece porque os átomos possuem momentos magnéticos que interagem

com o campo de diferentes formas, levando aos vários tipos de magnetismo.

O momento magnético é um objeto fundamental do magnetismo, e pode ser definido

como a corrente elétrica I que circula em um circuito infinitesimal de área

(1)

O momento magnético de um átomo pode ter três diferentes origens: o momento

angular orbital dos elétrons, o momento angular de spin dos elétrons e alterações no momento

orbital induzidas por um campo magnético. O momento orbital está associado com o

movimento orbital do elétron ao redor do núcleo. Este movimento é análogo ao de uma

corrente que flui em um fio que coincide com a órbita do elétron. Isso gera um efeito

magnético ao qual está associado um momento magnético. Já o momento de spin é um

momento angular intrínseco, relacionado com uma propriedade fundamental dos elétrons, que

faz com que eles se comportem como se estivessem girando ao redor do próprio eixo, o que

origina um momento magnético. Para o primeiro orbital de Bohr em um átomo de hidrogênio,

os momentos magnéticos orbital e de spin são iguais a

(2)

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e equivalem a uma quantidade fundamental denominada magnéton de Bohr

. (3)

A magnetização de um material está relacionada com o alinhamento dos momentos

magnéticos e é definida como o momento magnético total do material dividido por seu

volume.

Um campo magnético pode ser criado por um ímã ou por uma corrente elétrica. O

efeito desse ímã ou corrente em seu entorno é descrito pela indução magnética ou densidade

de fluxo magnético , que está relacionado com a força de Lorentz ( ) que age sobre uma

carga q que se move a uma velocidade

. (4)

A intensidade do campo magnético é definida a partir da magnetização e da indução

magnética da seguinte forma:

(5)

onde µ0 é uma constante denominada permeabilidade do vácuo.

Um material magnetizado possui em seu interior momentos magnéticos individuais.

Os pólos opostos desses momentos compensam uns aos outros. Somente os pólos da

superfície não se cancelam, como mostra a figura 1. Esses “pólos livres” geram dentro do

material um campo desmagnetizante , oposto a magnetização. Logo, a intensidade do

campo magnético dentro do material, para um campo magnético externo igual a , é dada

por

(6)

onde Nd é um tensor denominado fator de desmagnetização, que varia entre 0 e 1 e depende

da forma do corpo e do ângulo entre seus eixos de simetria e o campo .

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Figura 1 – (a) Momentos magnéticos em um material; (b) pólos livres na superfície [32].

A resposta de um material a um campo magnético de intensidade H pode ser medida

por sua suscetibilidade magnética χ ou por sua permeabilidade magnética μ

(7)

A permeabilidade relativa de um material é a permeabilidade em termos de μ0, e está

relacionada com a suscetibilidade

(8)

A classificação dos materiais está relacionada com os valores de suscetibilidade e

permeabilidade.

A. Diamagnetismo

Em um material diamagnético, a presença de um campo magnético externo induz uma

alteração no movimento dos elétrons orbitais de forma que é gerado um momento magnético

na direção oposta a do campo. Todos os materiais apresentam esse comportamento, mas o

momento gerado é tão pequeno que só é observado na ausência de todos os outros tipos de

magnetismo. O diamagnetismo é caracterizado por χ pequena e negativa, e μ ligeiramente

menor do que 1.

B. Paramagnetismo

Nos materiais paramagnéticos os átomos possuem momentos magnéticos orientados

aleatoriamente. Quando um campo externo é aplicado os momentos magnéticos tendem a se

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alinhar paralelamente a esse campo. Porém a agitação térmica se opõe a esse alinhamento e

tende a manter esses momentos orientados aleatoriamente. Com isso o alinhamento é apenas

parcial e a suscetibilidade é pequena e positiva. Os materiais paramagnéticos obedecem a Lei

de Curie

(9)

onde T é a temperatura e C é uma constante que depende do material. Materiais

paramagnéticos possuem χ pequena e positiva, e μ ligeiramente maior do que 1.

C. Ferromagnetismo

Materiais ferromagnéticos possuem um momento magnético não nulo mesmo na

ausência de um campo magnético externo. Em 1907, Pierre Weiss desenvolveu uma hipótese,

na tentativa de explicar o ferromagnetismo, segundo a qual cada momento individual é

orientado devido à influência de todos os outros momentos magnéticos através de um campo

magnético efetivo. Esse campo foi denominado campo molecular e nos materiais

ferromagnéticos seria forte o suficiente para alinhar espontaneamente os momentos

magnéticos do material.

O ferromagnetismo pode ser explicado através da interação de troca, que tem origem

eletrostática. Quando dois átomos (i e j) com spins Si e Sj são adjacentes o elétron i está se

movendo em torno do átomo i e o elétron j em torno do átomo j. Porém, como os elétrons são

indistinguíveis, eles podem trocar de posição. Isso gera uma energia de troca entre os átomos

que é dada por

(10)

onde Jex é denominada integral de troca. Se Jex é positiva, a energia de troca é menor para

spins paralelos e, portanto os spins tendem a se alinhar paralelamente, gerando o

ferromagnetismo.

A expressão (10) se aplica apenas a dois átomos, no caso de um cristal é necessário

somar em todos os pares de átomos. Como as forças de troca caem rapidamente com a

distância, essa soma pode ser restrita aos primeiros vizinhos. Se z é o número de coordenação

do cristal e todos os átomos tem o mesmo spin, então a energia de troca entre um átomo e os

primeiros vizinhos quando todos os spins estão paralelos é

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(11)

A constante de troca, que pode ser considerada um equivalente macroscópico da

energia de troca, está relacionada com a integral de troca para uma rede cristalina cúbica com

parâmetro de rede a, e pode ser expressa por

. (12)

A constante de troca determina o valor do comprimento de troca, que é a distância em

que as interações de troca dominam os campos magnetostáticos. Dentro do comprimento

detroca, a magnetização é uniforme e seu valor é determinado pela seguinte equação

(13)

onde é a permeabilidade do vácuo e é a magnetização de saturação do material [18].

Os materiais ferromagnéticos obedecem a Lei de Curie-Weiss

(14)

sendo TC uma constante denominada Temperatura de Curie que depende do material. Essa

equação é valida somente quando a temperatura é menor do que TC. Acima de TC, o

comportamento ferromagnético desaparece e o material passa a apresentar um comportamento

paramagnético. Materiais ferromagnéticos possuem χ e μ são grandes e positivos e são

funções de .

D. Antiferromagnetismo

Materiais antiferromagnéticos possuem Jex negativa e a energia de troca é menor para

spins antiparalelos, isso leva os momentos de átomos adjacentes a se alinharem

antiparalelamente de forma que a magnetização resultante é nula. Esses materiais obedecem a

Lei de Curie-Weiss com uma constante negativa, ou seja, o campo molecular tende a

desalinhar os momentos e cada momento se alinha na direção oposta ao adjacente. O

antiferromagnetismo é caracterizado por χ pequena e positiva, e μ ligeiramente maior do que

1. Esse comportamento desaparece acima da temperatura de Néel, quando o material se torna

paramagnético.

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E. Ferrimagnetismo

Materiais ferrimagnéticos são compostos de pelo menos dois tipos diferentes de

átomos os íons que possuem momentos magnéticos colineares. Em geral, alguns momentos se

acoplam antiparalelamente de forma que a magnetização resultante é diferente de zero. No

ferrimagnetismo, χ e μ são grandes e positivos e são funções de .

2.2. ANISOTROPIA MAGNÉTICA

Uma das formas de caracterizar um material magnético é através da curva de

magnetização em função de um campo magnético externo. Como está representado na figura

2, a forma da curva de magnetização é diferente para os diferentes tipos de materiais

magnéticos.

Figura 2 – Curvas de magnetização de um material (a) diamagnético, (b) paramagnético ou antiferromagnético e

(c) ferromagnético ou ferrimagnético [30].

Em materiais ferromagnéticos, a presença de anisotropia magnética pode alterar a

forma da curva de magnetização tornando-a dependente da direção de aplicação do campo. O

termo anisotropia magnética significa que as propriedades magnéticas dependem da direção

em que são medidas. Um material possui anisotropia quando sua energia interna depende da

direção de orientação da magnetização em relação aos eixos cristalográficos. Assim, a energia

é minimizada quando os momentos magnéticos do material estão alinhados em certas direções

preferenciais de magnetização, que são denominadas eixos de fácil magnetização.

A energia de anisotropia pode ter diferentes origens e pode ser intrínseca (anisotropia

magnetocristalina) ou extrínseca (anisotropia de forma, de superfície, de troca etc.). A energia

de anisotropia magnetocristalina surge devido ao acoplamento spin-órbita e é dada por

(15)

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onde K0, K1 e K2 são constantes e α1, α2 e α3 são os cossenos dos ângulos entre a magnetização

e os eixos do cristal.

2.2.1. EXCHANGE BIAS

Outra forma de anisotropia é o fenômeno de exchange bias, também denominado

polarização de troca, que surge da interação na interface entre um material ferromagnético

(FM) e um material antiferromagnético (AFM). Quando um sistema que possui essa interface

é aquecido até uma temperatura maior do que a temperatura de Néel do AFM e menor que a

temperatura de Curie do FM, e em seguida é resfriado na presença de um campo magnético

externo, a curva de histerese deixa de ser simétrica e sofre um deslocamento para campos

mais altos ou mais baixos devido a uma anisotropia unidirecional. Esse fenômeno foi

observado pela primeira vez por Meiklejohn e Bean, em 1956, quando estudavam partículas

de Co parcialmente oxidadas [33]. Essas partículas foram então resfriadas a 77 K na presença

de um forte campo magnético. A curva de histerese deslocada que foi medida nessa

temperatura pode ser observada na figura 3. Nesse caso, a interface em que o fenômeno

ocorre é entre a partícula de Co (FM) e a camada de óxido CoO (AFM) que recobre a

superfície da partícula.

Figura 3 – Curvas de histerese a 77 K de

partículas CoO medidas após (1) resfriamento

em um campo de 10 kOe na direção positiva e

(2) resfriamento na ausência de campo [33].

A explicação para esse deslocamento na histerese é que, acima de TN e abaixo de TC,

os momentos magnéticos do FM se alinham com o campo, enquanto que os momentos do

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18

AFM estão desordenados (fig. 4(i)). Quando a temperatura é reduzida abaixo de TN, os

momentos da interface do AFM se alinham ferromagneticamente com os momentos do FM

(fig. 4(ii)). Quando um campo na direção oposta é aplicado, os momentos FM tendem a girar

se alinhando com o campo, mas os momentos AFM permanecem fixos e exercem um torque

nos FM, girando os momentos na direção original (fig. 4(iii)). Isso dá origem a uma

anisotropia unidirecional que é a explicação do fenômeno de exchange bias. De acordo com

este modelo, a energia por área pode ser expressa por

(16)

onde é a constante de acoplamento efetivo, H é o campo aplicado, MFM é a magnetização

de saturação da camada FM, e são as espessuras das camadas FM e AFM, é a

constante de anisotropia da camada AFM, é o ângulo entre a magnetização da camada AFM

e o eixo de anisotropia AFM, é o ângulo entre magnetização da camada FM e o eixo de

anisotropia FM e é o ângulo entre o campo aplicado e o eixo de anisotropia FM.

Minimizando a equação (16) em relação à e , obtém-se que o campo de exchange

bias (deslocamento da curva de histerese) é igual a

. (17)

Figura 4 - Representação esquemática do

exchange bias, mostrando os filmes FM e AFM (i)

acima de TN, (ii) abaixo de TN com um campo H

aplicado na mesma direção do campo aplicado

durante o resfriamento, (iii) com um campo

aplicado na direção oposta antes da saturação, (iv)

após a inversão do FM e (v) com o campo

aumentando antes de saturação [34].

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19

2.3. CONFIGURAÇÃO MAGNÉTICA

A configuração dos momentos magnéticos de um sistema magnético depende da

competição entre diferentes energias: a energia de interação de troca entre momentos

magnéticos (Eex), a energia magnetostática do campo magnético (Ems), a energia de

anisotropia (EA) e a energia devido a um campo externo (Eext):

(18)

A importância de cada uma das energias associadas ao magnetismo depende do

tamanho, forma e propriedades do material. Materiais ferromagnéticos macios – como níquel,

cobalto e permalloy – com dimensões na escala micrométrica possuem energia de anisotropia

desprezível e energias de troca e magnetostática de magnitudes próximas. Com isso, pequenas

alterações na forma e no tamanho do material alteram o equilíbrio de energia e, deste modo, a

energia que irá prevalecer será a energia de troca ou a energia magnetostática [1,4,18,35,36].

Quando um material está espontaneamente magnetizado no seu eixo fácil, como na

figura 5(a), surgem pólos livres nos dois extremos do material, formando um dipolo. Esse

dipolo gera um campo magnético H intenso. A energia magnetostática devido a esse campo é

. (19)

A integral acima é avaliada em todo o espaço. Essa energia é muito grande e pode ser

reduzida pela metade quando se divide o cristal em dois domínios, como na figura 5(b). Se o

cristal se divide em quatro, a energia é reduzida a um quarto do valor inicial (fig. 5(c)). No

entanto essa divisão em domínios não pode continuar indefinidamente, pois a divisão em

domínios também acrescenta energia ao sistema, e haverá um tamanho de domínio em que

ocorrerá o equilíbrio de energia. Nas figuras 5(d) e 5(e) não existem pólos livres, o que é uma

característica das estruturas de domínio fechado. Nesse caso não há fluxo magnético para fora

do material e a energia magnetostática é nula.

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20

Figura 5 – Formação de domínios magnéticos [19].

Entre dois domínios com diferentes orientações existe uma região de transição que

separa as diferentes magnetizações. Essa transição é gradual porque a energia de troca é

menor quando a mudança é dividida entre muitos spins. Essa região é denominada parede de

domínio (fig. 6). A espessura da parede de domínio é determinada pelo balanceamento entre a

energia de troca (que tende a aumentar a espessura) e a energia de anisotropia (que tende a

diminuí-la) e é igual a

(20)

sendo A a constante de troca e K a constante de anisotropia.

Figura 6 – Estrutura de uma parede de domínio [32].

A divisão em domínios de um material está limitada ao diâmetro crítico, que é o

tamanho mínimo abaixo do qual o estado de menor energia é um monodomínio em que todos

os momentos magnéticos estão alinhados. Isso acontece porque abaixo do diâmetro crítico, o

aumento da energia de troca devido à formação de paredes de domínio é maior do que a

redução da energia magnetostática obtida com a divisão em domínios. Esse valor é um dos

comprimentos característicos de um material magnético. Para uma esfera, o diâmetro crítico é

dado por

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21

(21)

sendo A a constante de troca, K a constante de anisotropia e MS a magnetização de saturação.

Em partículas menores a energia de troca predomina e a minimização dessa energia

favorece o alinhamento dos momentos magnéticos levando a formação de monodomínios (fig.

5(a)). Partículas maiores, acima do diâmetro crítico Dcr, possuem energia magnetostática

maior e sua minimização leva a divisão em domínios (fig. 5(d)) [1,3]. No caso dos materiais

magnéticos macios, como a anisotropia é baixa, a largura das paredes de domínio é grande.

Em um disco de dimensões microscópicas, as pequenas dimensões tornam desfavorável a

formação de paredes de domínios. A formação de domínios fechados diminui bastante a

energia, pois não há fluxo magnético para fora do material. Nesse caso, o domínio fechado é o

vórtice magnético [4,6,37].

2.4. VÓRTICES MAGNÉTICOS

Em uma configuração de vórtice magnético, a minimização da energia se deve ao

ordenamento dos momentos magnéticos em circuitos fechados no plano. Assim, não há fluxo

magnético para fora da estrutura e a energia magnetostática é nula. Porém, os ângulos entre os

momentos aumentam gradativamente com a distância em relação ao centro do disco, o que

leva a um aumento da densidade da energia de troca. Isso leva os momentos de uma pequena

região central, o núcleo do vórtice, a se alinharem perpendicularmente ao plano. O ganho em

energia magnetostática devido a esse alinhamento é compensado pela redução da energia de

troca [2,3,5]. A figura 7 é uma representação gráfica da configuração de vórtice magnético em

um disco.

Figura 7 – Estrutura de um vórtice magnético [4].

O vórtice magnético é caracterizado por duas propriedades independentes: quiralidade

e polaridade. A quiralidade é o sentido de rotação dos momentos que formam circuitos

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22

fechados no plano e pode ser anti-horário ( 1c ) ou horário ( 1c ). Já a polaridade é a

direção dos momentos magnéticos do núcleo do vórtice, e pode ser positiva (momentos

saindo do plano, 1p ) ou negativa (momentos entrando no plano, 1p ). Por serem

independentes, a combinação entre quiralidade e polaridade gera quatro estados diferentes

[2,4,5,6,8], que estão representados na figura 8.

Figura 8 – Estados de um vórtice magnético [5].

A configuração de vórtices magnéticos não acontece exclusivamente em discos.

Também podem ser formados em estruturas com outras formas. No caso de uma elipse, por

exemplo, pode ocorrer a formação de mais de um vórtice na mesma estrutura. A figura 9

mostra uma comparação entre as configurações com um e dois vórtices no caso de uma elipse.

Figura 9 – Distribuição da magnetização para elipses apresentando (a) um vórtice e (b) dois vórtices [38].

O diâmetro do núcleo é determinado pelas propriedades magnéticas microscópicas e é

independente do diâmetro do disco. O diâmetro do núcleo varia pouco para diferentes

materiais, sendo da ordem de 10 nm [39,40]. A figura 10 mostra a primeira observação

experimental do núcleo de um vórtice, obtida por MFM em discos de permalloy. Na imagem

é possível distinguir a polaridade dos vórtices através do contraste claro ou escuro no centro

do disco [27].

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23

Figura 10 – Imagem de MFM de discos de permalloy com 1 m de diâmetro e 50 nm de espessura [27].

Exceto no caso de estruturas perfeitamente circulares, o MFM também pode ser

utilizado para determinar a quiralidade. Isto porque, em outras formas que não seja o círculo,

a imagem obtida apresenta quatro quadrantes alternando contrastes claro e escuro. São

possíveis dois padrões de alternância, correspondentes às duas diferentes quiralidades (por

exemplo, imagens (6) e (7) na figura 11) [4]. A explicação para isso é que nos círculos a

magnetização varia homogeneamente e a única contribuição para a imagem de MFM é a

componente perpendicular da magnetização. Para qualquer outra geometria, a variação não é

homogênea, o que gera um fluxo magnético detectável pelo MFM, gerando um contraste

crescente à medida que a forma se afasta da simetria circular [4,12].

Figura 11 – Imagens de MFM de elipses de permalloy com um dos eixos igual a 1μm e o outro crescente entre

(1) 1 μm e (8) 2 μm [4].

Devido a alta resolução espacial e sensibilidade, a técnica de MFM tem sido

extensivamente utilizada na caracterização de estruturas magnéticas nas escalas micro e

submicrométrica em geral e especificamente no caso de vórtices [3,5,14,26,27,41-43]. Mas,

além do MFM, outras técnicas também têm sido utilizadas no estudo de vórtices como, por

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24

exemplo, o Dicroísmo Circular Magnético por Raios-X (XMCD) [29,39,44] e a Microscopia

Lorentz [24,28].

Outra ferramenta bastante utilizada no estudo dos vórtices é a simulação

micromagnética, que pode ajudar na compreensão de resultados experimentais e também pode

ser utilizada para investigar casos que ainda não foram estudadas experimentalmente. As

simulações permitem determinar a configuração magnética de menor energia para uma

microestrutura [11-17] e, em sequência, obter uma imagem MFM calculada a partir da

configuração magnética [11,12,15,17]. Este método permite comparar os resultados de

simulação com as medidas experimentais. A figura 12 mostra uma comparação entre imagens

simuladas e experimentais de MFM.

Figura 12 – Comparação entre medidas de MFM e simulações para estruturas de 1x2 m2 com 70 nm de

espessura na presença de campos externos entre -50 e +50 mT: (a) medidas de MFM, (b) simulações do sinal de

MFM e (c) magnetização [17].

Tanto as simulações quanto as medidas experimentais têm sido utilizadas para

determinar em que condições um vórtice é energeticamente estável. Alguns artigos

apresentam diagramas de fase que indicam as dimensões (diâmetro e espessura) dos discos

nas quais ocorre a formação dos vórtices [26,35,41,45-47]. O estudo de estruturas com

diferentes formas e tamanhos e compostas por diferentes materiais tem como objetivo

modificar e controlar as propriedades dos vórtices.

2.4.1. PROPRIEDADES DINÂMICAS – CURVA DE HISTERESE

Uma das propriedades importantes dos vórtices é o seu comportamento em um campo

magnético externo. A figura 13 mostra como é possível distinguir um vórtice de outra

configuração magnética a partir da curva de histerese. Quando a configuração é um

monodomínio (fig. 13(a)), a aplicação de um campo externo apenas gira o domínio. Com isso,

a curva de histerese possui uma região central em que o domínio é girado. Para campos

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25

maiores, é atingida a saturação, que aparece como uma linha reta. Na figura 13(b) está

representa a curva para um vórtice. Nesse caso aparecem dois lóbulos e uma região central

linear [35,48].

Figura 13 – Curvas de histerese para círculos de

Supermalloy (Ni80Fe14Mo5) na configuração de

(a) um monodomínio e (b) um vórtice [35].

Este comportamento é melhor representado na figura 14, que mostra uma simulação

da curva de histerese para discos cuja configuração é o vórtice. Quando o campo é nulo os

discos estão no estado de vórtice, com magnetização nula (fig. 14(c)). Quando um pequeno

campo é aplicado, a fração dos momentos que estão alinhados na direção do campo aumenta e

o vórtice se desloca perpendicularmente a direção do campo (fig. 144(d)), e a magnetização

aumenta linearmente com o campo aplicado. Com o aumento do campo o vórtice continua a

se deslocar até desaparecer quando ocorre um aumento abrupto da magnetização. Nesta

situação, todos os momentos estão alinhados com o campo (fig. 11(e)). Quando o campo é

reduzido, o processo inverso acontece [2,3, 12, 22,35,48].

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26

Figura 14 – Simulação micromagnética do ciclo de histerese de discos magnéticos [2].

Várias técnicas de magnetometria têm sido utilizadas no estudo do comportamento dos

vórtices em um campo externo como, por exemplo, a Magnetometria de Efeito Kerr Magneto-

Óptico (MOKE) [14-16,21,35,41], a Magnetometria Micro-Hall [7,20] e SQUID (Dispositivo

Supercondutor de Interferência Quântica) [8,13,49]. Também existe um grande número de

trabalhos em que curvas de histerese são estudadas através de simulações micromagnéticas

[4,6,12,16,20,21,28]. A figura 15 mostra a combinação MOKE, MFM e simulação

micromagnética no estudo do processo de reversão da magnetização de discos de Co com 500

nm de diâmetro e 30 nm de espessura.

Figura 15 – Curva de histerese de discos de Co, juntamente com as imagens de MFM e de simulação

micromagnética indicados pelos pontos (i) a (v) [41].

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27

2.4.2. PROPRIEDADES DINÂMICAS – MOVIMENTO GIROTRÓPICO

A dinâmica de um vórtice está relacionada com o movimento de seu núcleo. Quando o

núcleo está deslocado do centro do disco, como na região (c) da figura 14, ele realiza um

movimento rotatório, denominado movimento girotrópico, em torno do centro do disco em

uma órbita circular (sem amortecimento) ou espiral (com amortecimento – figura 16). O

núcleo gira em uma frequência natural 0 da ordem de centenas de MHz, e o sentido da

rotação é determinado pela polaridade do vórtice. Esse movimento é descrito pela equação de

Thiele

(22)

onde é a posição do núcleo do vórtice, é o tensor de amortecimento e W(X) é a

energia potencial do vórtice deslocado. O primeiro termo é a giroforça, que é determinada

pela não uniformidade da distribuição da magnetização e é proporcional ao girovetor

onde a G é uma constante denominada giroconstante e é igual a:

(23)

sendo a razão giromagnética, MS a magnetização de saturação, L a espessura do disco, q a

quiralidade e p a polaridade do vórtice. É o balanceamento entre a giroforça e a força de

restauração devido à energia potencial que dá origem ao movimento girotrópico [44,48,50].

Figura 16 – Representação do movimento girotrópico em espiral [50].

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28

Quando o núcleo de um vórtice, inicialmente localizado no centro do disco, é excitado

por um campo magnético oscilatório, ele inicia um movimento girotrópico de frequência ,

se afastando do centro do disco. Nesse caso, o vórtice vai se mover a uma velocidade

, e estará sujeito a um campo magnético cinético denominado girocampo, cuja

componente na direção z é dada por

(24)

onde Rc é o raio do núcleo e F(r) é uma função que depende do perfil do núcleo do vórtice e

tem seu valor máximo dentro do núcleo. O girocampo possui um valor máximo que

é igual a

. (25)

Esse valor é de cerca de 1 kOe perto do núcleo do vórtice e é suficiente para deformar

significativamente o perfil do núcleo e inverter a polaridade em um valor crítico , onde

vc é a velocidade crítica do vórtice e é um parâmetro intrínseco da geometria do vórtice.

Quando o vórtice está sujeito a um campo oscilatório (ou corrente de spin polarizado), ele

absorve a energia do campo (ou corrente) e seu núcleo realiza um movimento girotrópico com

uma amplitude e uma velocidade crescentes, até atingir um valor crítico em que a polaridade é

invertida. Após a inversão, a energia absorvida é emitida na forma de ondas de spin, e a

velocidade e a amplitude diminuem abruptamente [51].

O comportamento dinâmico dos vórtices tem sido tema de vários artigos recentes, que

analisam o movimento girotrópico do núcleo e a inversão da polaridade do vórtice devido a

esse movimento [48,50-55].

2.4.3. INTERAÇÕES ENTRE VÓRTICES MAGNÉTICOS

A dinâmica de vórtices é muito importante porque leva à interação entre diferentes

vórtices. Por causa da configuração dos momentos magnéticos em um vórtice, essa interação

é desprezível no caso estático. Mas quando os vórtices estão excitados em um movimento

girotrópico, a oscilação do núcleo leva ao aparecimento de campos de dispersão, o que gera

um acoplamento entre os vórtices [44,56,57].

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29

Devido à configuração dos momentos magnéticos, somente o núcleo do vórtice gera

campos de dispersão. Isso faz com que a interação entre vórtices seja desprezível quando eles

estão no seu estado fundamental, estático. Porém, quando eles estão excitados em um

movimento girotrópico, aparecem cargas magnéticas na superfície devido ao movimento do

núcleo, o que leva a interação entre os vórtices [56].

Vórtices de dois discos podem ser acoplados através da interação magnetostática entre

eles. O deslocamento do núcleo do vórtice e seu movimento em um dos discos geram campos

que afetam a energia potencial do outro disco e pode levar a um movimento girotrópico

ressonante no segundo disco. Esse comportamento é similar ao de dois osciladores

harmônicos acoplados, em que as energias cinética e potencial de um dos osciladores pode ser

transferidas para o outro, mas a energia total, a soma das energias dos dois osciladores,

permanece constante.

Como em qualquer sistema de osciladores harmônicos acoplados, a frequência pode

aumentar ou diminuir devido ao acoplamento levando a um modo simétrico e um modo

assimétrico com frequências respectivamente maior e menor em relação ao caso em que não

há acoplamento. A diferença entre essas duas frequências está diretamente relacionada com a

energia de interação entre os vórtices. Essas duas frequências geram um padrão de batimento

com frequência na oscilação da posição do núcleo do vórtice [44].

A figura 17 mostra os resultados que Jung et al. [44] obtiveram através de simulação

para a relaxação de dois vórtices acoplados em discos de permalloy com 300 nm de diâmetro,

20 nm de espessura e 330 nm de separação entre os centros dos discos. O núcleo do disco 1

foi deslocado para (x1, y1) = (0, −37.5 nm) com um campo Hx = +15 mT. Os dois núcleos

então realizam um movimento girotrópico em espiral cuja trajetória está representada na fig.

17(b). Na fig. 17(c) é possível observar que as componentes x e y posição do núcleo oscilam

em um padrão de batimento devido a superposição de duas frequências ligeiramente

diferentes como pode ser observado no espectro FFT da fig. 17(d).

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30

Figura 17 – Resultados de simulação de dois vórtices acoplados. (a) configurações iniciais dos discos, (b)

trajetórias dos núcleos, (c) componentes x e y dos vetores de posição dos núcleos, (d) espectro FFT em função da

frequência das componentes x e y, (e) módulo do deslocamento do núcleo, (f) variação da energia potencial no

tempo [44].

2.4.4. CONTROLE DAS PROPRIEDADES DOS VÓRTICES

Nanoestruturas magnéticas possuem grande potencial de aplicação. Tecnologicamente,

conjuntos ordenados de nanoestruturas magnéticas são importantes em aplicações como

memória magnética de acesso aleatório (MRAM), mídia de gravação padronizada,

interruptores e sensores magnéticos, etc. [1,2,6,25]. Essas estruturas também podem ser

utilizadas em aplicações biomédicas, como agentes para realce de contraste em ressonância

magnética e alvos para administração de medicamentos, dentre outros [2,24,25]. Vórtices

magnéticos merecem especial atenção pela possibilidade de sua aplicação em memórias

magnéticas e em bioaplicações [5,22,23,25,36,48].

Uma potencial aplicação tecnológica dos vórtices magnéticos é uma memória de

acesso aleatório baseada em vórtices (Vortex Random Acess Memory – VRAM). Essa

memória magnética teria várias vantagens: tamanho reduzido, armazenamento de dois bits em

um único vórtice, devido aos quatro estados independentes e baixa interação entre vórtices

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31

adjacentes, o que gera estabilidade [5,6]. Além disso, os vórtices também são altamente

estáveis contra flutuações térmicas e campos magnéticos da ordem de mT [5,22].

Os vórtices também podem ser utilizados para o tratamento de câncer. Neste caso, são

utilizados discos magnéticos biocompatíveis, no estado de vórtice, que se ligam seletivamente

às células cancerígenas. Quando um campo magnético externo é aplicado, os discos se

alinham paralelamente à direção do campo. Se o campo é alternado, o disco gira de acordo

com a frequência do campo e, ao girar, exerce uma força mecânica que destrói a célula

[24,25]. Resultados recentes mostram que para um disco no estado de vórtice, um campo de

apenas 90 Oe com frequência entre 10 e 20 Hz é suficiente para destruir 90% das células

cancerígenas [25]. Esse processo está ilustrado na figura 18. Outra aplicação biológica dos

vórtices consiste em seu uso na liberação de fármacos. Nesse caso, o movimento de torção do

disco em um campo alternado induz a liberação dos fármacos que foram previamente

encapsulados dentro do disco [58].

Figura 18 – Processo de destruição de células cancerígenas utilizando vórtices magnéticos [25].

Os vórtices magnéticos também podem ser utilizados em nano-osciladores de torque

de spin (STNOs), estruturas que possuem um grande potencial de aplicações em osciladores

de alta frequência. Nesses osciladores, a ação de uma corrente spin-polarizada leva a uma

precessão constante da magnetização de uma camada livre. Através da magnetorresistência

gigante (GMR) ou da magnetorresistência de tunelamento (TMR), essa precessão gera uma

tensão oscilante com frequências da ordem de GHz em uma ampla faixa de corrente e campo

magnético. Diversas configurações de STNOs têm sido estudadas experimentalmente, dentre

elas estão uma camada livre magnetizada uniformemente no plano com uma camada fixa que

pode estar magnetizada no plano ou em uma configuração de vórtice. Ao comparar essas duas

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32

configurações, o uso de vórtice tem várias vantagens: maior agilidade, uma faixa mais ampla

de ajuste e uma maior potência de saída [52].

Devido a essas possíveis aplicações tecnológicas é extremamente importante

determinar as condições de formação dos vórtices e controlar suas propriedades. Muitos

trabalhos têm sido feitos no sentido de determinar em que condições um vórtice é

energeticamente estável. Alguns artigos apresentam diagramas de fase que indicam as

dimensões (diâmetro e espessura) das nanoestruturas em que ocorre a formação dos vórtices

[35,41,45-47]. Vórtices têm sido estudados não apenas em discos circulares, mas também em

estruturas com outros formatos, dentre os quais estão: triângulos [6,43,59], retângulos [12],

quadrados [4,43,60], anéis [4,20], pentágonos [43] e principalmente elipses [4,7,13,38].

Um exemplo de como a forma pode ser utilizada para controlar as propriedades de um

vórtice foi apresentada por Jaafar et al. [6], em que estruturas com geometria triangular são

utilizadas para controlar simultaneamente a polaridade e a quiralidade do vórtice. Ambas as

propriedades são determinadas de forma única pela ação combinada de campos no plano (fig.

19) e perpendicular ou aplicando pulsos de campos no plano com diferentes durações. Outra

forma de controlar as propriedades dos vórtices é modificando a composição dos discos.

Vórtices têm sido observados em discos compostos de diferentes materiais como Py

[6,7,10,20,28], Co [41,61], CoFe [42], FePt [62], Ni [63], Fe[49] e também em discos

compostos por multicamadas [8,14,15,16,21,26,29].

Figura 19 – Imagem de MFM em triângulos de Ni obtida após aplicar uma combinação de campos no plano e

perpendicular, produzindo vórtices com quiralidade no sentido horário e polaridade negativa [6].

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33

2.4.5. INFLUÊNCIA DA ANISOTROPIA EM VÓRTICES MAGNÉTICOS

Ao modificar a composição dos discos, a presença de uma anisotropia magnética pode

modificar as propriedades dos vórtices. Um exemplo disso é o trabalho de Szary et al. [21] em

que são estudados discos compostos de duas camadas ferromagnéticas separadas por um

espaçador isolante. Nesse caso, o acoplamento dipolar entre as duas camadas ferromagnéticas

altera o processo de reversão da magnetização. Foram estudados dois sistemas com discos

compostos por Cobalto/Isolante/Permalloy, em que (1) o Co exibia uma alta anisotropia

uniaxial (caso UA), e (2) o Co não possuía direção preferencial de anisotropia (caso RA). A

figura 20 mostra como os diagramas de fase são diferentes nos dois casos.

Figura 20 – Diagramas de fase para o caso (a) UA e (b) RA. As letras indicam as regiões em que ocorre A:

monodomínio, B: vórtice e C: configurações metaestáveis como “C”, “S” e “W” [21].

Outro exemplo é o caso de multicamadas Co/Pt, em que é introduzida uma anisotropia

magnética perpendicular. A variação do valor da anisotropia devido à alteração da espessura

das camadas leva a uma modificação do diâmetro do núcleo do vórtice (fig. 21) e também a

uma mudança nas condições de estabilidade, resultando em alterações no diagrama de fase

das configurações magnéticas (fig. 22) [8,26].

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34

Figura 21 – Variação do diâmetro do núcleo do vórtice em função da anisotropia perpendicular e imagem de

MFM de vórtices em discos de 1 m de diâmetro [26].

Figura 22 – Diagramas de fase para diferentes valores de anisotropia. As letras indicam as regiões em que

ocorre: (a) monodomínio no plano, (b) monodomínio perpendicular, (c) vórtice, (d) domínios circulares

concêntricos e (e) vórtice com uma componente perpendicular [26].

Um dos objetivos desse trabalho é determinar como a anisotropia em discos de

Co60Fe40 altera as propriedades magnéticas em comparação com discos de Py em que

não há anisotropia. Para isso foram realizadas simulações de discos de Py e Co60Fe40 e

também medidas experimentais de MFM em discos de Co60Fe40. De acordo com

resultados encontrados na literatura, em discos de Py a configuração remanente é o

vórtice [3,5,7,27,28], no entanto não existem dados para o Co60Fe40.

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35

2.4.6. VÓRTICES MAGNÉTICOS E EXCHANGE BIAS

Outra forma de modificar as propriedades do vórtice através da composição dos discos

é a utilização de bicamadas sujeitas ao fenômeno de exchange bias em que uma das camadas

é ferromagnética e a outra é antiferromagnética. A competição entre a energia magnetostática

e o acoplamento na interface pode modificar o processo de reversão da magnetização. Esse

processo vai ser determinado pela história termodinâmica dos discos [14,65,66].

Quando o exchange bias é induzido através de um tratamento térmico em que a

amostra é resfriada na presença de um campo magnético (Field Cooling – FC)

suficientemente grande para saturar os discos, resulta em uma dependência angular do

processo de reversão da magnetização. Quando a curva de histerese é medida ao longo da

direção de exchange bias, é obtida uma curva característica de vórtice, porém deslocada no

eixo do campo. Se o campo magnético é aplicado em um ângulo em relação à direção de FC,

o campo de nucleação do vórtice decresce progressivamente até que acima de um ângulo

crítico não ocorre mais nucleação de vórtice, sendo substituído por uma configuração em “S”

[14,64].

Se o tratamento térmico a que é submetida a amostra é modificado e os discos são

resfriados na ausência de campo magnético (Zero Field Cooling – ZFC), os vórtices

magnéticos que são espontaneamente formados na camada ferromagnética são impressos nos

spins da interface da camada antiferromagnética. Isso leva a um aumento na estabilidade do

vórtice, uma vez que os campos de nucleação e aniquilação aumentam em relação a discos

sem exchange bias [29,65,66].

Figura 23 – Curvas de histerese de discos de (a) Ta/Py/Pt (sem exchange bias); (b), (c), (d) e (e) Ta/Py/IrMn/Pt

(com exchange bias) medida em um campo magnético aplicado (b) ao longo da direção de FC, (c) a 75°, (d) a

80° e (e) a 90° da direção de FC [64].

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36

Sort et al. [14,16] também demonstraram que quando o processo de resfriamento é

realizado na presença de um campo magnético, mas esse campo é insuficiente para saturar a

magnetização, é possível imprimir vórtices deslocados na camada antiferromagnética. Nesse

caso, a histerese resultante apresenta um novo tipo de assimetria (fig. 24) em que a parte

central é curva com a presença de uma magnetização remanente. Com isso, a configuração na

remanência da camada ferromagnética também consiste em vórtices deslocados, porém mais

próximos ao centro do que na camada AFM (fig. 25).

Figura 24 – Curva de histerese de discos de Py/IrMn após ZFC (cinza),

FC a 2,5 mT (vermelho) e FC a 10 mT (azul) [16].

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37

Figura 25 – Simulações micromagnéticas das configurações na camada AFM após (a) ZFC, (b) FC a = 0° e 2,5

mT, (c) FC = 0° e a 10 mT, (d) FC a = 90° e 10 mT. (e)-(h) configurações da camada FM As linhas vermelhas

indicam a trajetória do vórtice quando é aplicado um campo na direção indicada por 0Happl [16].

O estudo de vórtices em discos sujeitos a exchange bias tem se concentrado em

determinar como o tratamento térmico altera a curva de histerese do disco. Não existe nenhum

estudo envolvendo o efeito de exchange bias e o movimento girotrópico do vórtice.

Este trabalho tem como um dos objetivos estudar através de simulações

micromagnética como a presença de exchange bias afeta o movimento girotrópico do

vórtice. Para isso foram feitas simulações de discos compostos de bicamadas de

permalloy/FeMn com diferentes valores da constante de acoplamento entre as duas

camadas.

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38

3. MATERIAIS E MÉTODOS

3.1. SIMULAÇÃO MICROMAGNÉTICA

As simulações micromagnéticas foram realizadas utilizando o código OOMMF (NIST)

[67,68]. Esse código aplica a equação de Landau-Lifshitz-Gilbert para simular a configuração

de spin e determinar a energia e a magnetização de microestruturas. Também é possível

realizar simulações dinâmicas em que a magnetização varia em função do tempo ou é

aplicado um campo magnético variante, como no caso de ciclos de histerese.

Para realizar a simulação é utilizada uma grade com células retangulares que

representam spins tridimensionais. Essa célula deve ter um tamanho dá ordem do

comprimento de troca do material simulado. Devem ser definidos na simulação todos os

termos de energia que atuam no material, assim como suas respectivas constantes e também a

configuração inicial, como pode ser observado no exemplo de um arquivo de simulação que

foi acrescentado no anexo I. A partir disso é determinada a magnetização inicial da estrutura

simulada.

A simulação é realizada por passos, sendo que a cada passo a magnetização é

atualizada utilizando o Método Euler progressivo de primeira ordem, de acordo com a

seguinte equação

(26)

onde a magnetização do próximo passo é dada pela soma da magnetização do passo

atual e do valor de multiplicado pelo tamanho h do passo. O valor de é

calculado em cada passo utilizando a equação de Landau-Lifshitz-Gilbert

(27)

onde MS é a magnetização de saturação, Heff é o campo magnético efetivo, é a relação

giromagnética de Landau-Lifshitz e é a constante de amortecimento.

Um passo é rejeitado se a energia total aumenta e, neste caso, o tamanho do próximo

passo é ajustado para metade do tamanho do passo rejeitado. A simulação prossegue até que

seja atingido o critério de conclusão, que deve ser definido no arquivo de simulação.

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39

A. Termos de Energia

Cada termo de energia que atua na estrutura simulada deve ser declarado em um bloco

específico no arquivo de simulação. Nos itens abaixo estão descritos todos os termos de

energia que foram utilizados nas simulações.

i. Energia de Anisotropia Uniaxial

Termo utilizado para simular a energia magnetocristalina uniaxial. O valor da

constante de anisotropia K1 em J/m3 e o eixo de direção da anisotropia devem ser declarados

no arquivo de simulação.

ii. Energia de Troca

Termo que determina a energia de troca entre cada célula da simulação e as seis

células mais próximas. É calculada a partir da seguinte equação

(28)

onde Ni é o conjunto das 6 células mais próximas da célula i, Aij é o coeficiente de troca entre

as células i e j em J/m, Δij é o tamanho do passo de discretização entre as células i e j (em

metros) e mi e mj são as direções de magnetização.

iii. Energia de Desmagnetização

Termo padrão da energia de desmagnetização, que assume uma magnetização

constante em cada célula e computa o campo de desmagnetização médio através da célula.

iv. Energia de troca entre duas superfícies

Termo de energia de troca bilinear e biquadrática de longo alcance, que foi utilizado

para simular acoplamento entre as camadas ferro e antiferromagnética devido ao exchange

bias. É determinado pela seguinte equação

(29)

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onde é o termo de energia de troca bilinear, e 2 é o termo de energia de troca biquadrático,

ambos em J/m2.

v. Energia Zeeman Uniforme

Termo utilizado para simular curvas de histerese. Consiste em uma lista com sete

valores, em que os três primeiros indicam o campo inicial, os três seguintes indicam o campo

final e o último indica o número de passos em que o campo varia do seu valor inicial até o

final.

vi. Energia Zeeman – Campo Girante

Termo que descreve um campo magnético que gira com módulo e frequência

constantes em torno do centro do disco no plano xy. O campo tem a seguinte forma

(30)

onde H0 é o valor do módulo do campo e é a frequência de rotação. Esse campo tem a

mesma forma do utilizado na ref. 55.

B. Discos de Co60Fe40 e permalloy

Para as simulações dos discos de Co60Fe40 e permalloy foram consideradas as energias

de anisotropia, troca e desmagnetização. Os parâmetros que foram utilizados nas simulações

estão indicados na tabela 1. Com relação ao tamanho da célula de interação, em x e em y

foram utilizadas dimensões dá ordem do comprimento de troca do material e em z foi

utilizada a espessura do disco (20 nm). De acordo com a eq. 13 e considerando as constantes

apresentadas na tabela 1, o valor do comprimento de troca para o permalloy e o Co60Fe40 pode

ser estimado em aproximadamente 5 nm e 4 nm, respectivamente. Foram feitas simulações de

discos com 20 nm de espessura e diâmetros de 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 1; 2; 4; 6 e 8 m. Além

disso, foram consideradas diferentes configurações de spin iniciais (aleatória, monodomínio,

vórtice etc.) para determinar a configuração de menor energia.

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41

Tabela 1 – Parâmetros usados na simulação dos discos de Co60Fe40 e permalloy.

Parâmetro Permalloy Co60Fe40

Coeficiente de troca, A 13 x 10

-12 J/m

(13 x 10-7

erg/cm)

30 x 10-12

J/m

(30 x 10-7

erg/cm)

Magnetização de saturação, MS

860 x 103 A/m

(10.8 x 103 Oe)

1600 x 103 A/m

(20.1 x 103 Oe)

Constante de anisotropia, K1 0 -30 x 10

3 J/m

3

(-300 x 103 erg/cm

3)

Constante de amortecimento, 0,5 0,5

Comprimento de troca (nm) 5,29 4,32

Tamanho da célula de interação (nm3) 5 5 20 4 4 20

A configuração de magnetização obtida a partir do OOMMF foi então utilizada para

calcular o gradiente da força magnética utilizando uma rotina escrita no programa MATLAB

e assim obter uma simulação da imagem que deveria ser obtida por Microscopia de Força

Magnética. Para realizar essa simulação é considerado que a sonda de MFM possui uma ponta

que pode ser representada por um dipolo magnético localizado a uma distância Z0 fixa em

relação à amostra. Já a amostra possui uma magnetização que é

determinada pelo arquivo omf. A imagem de MFM é geralmente obtida a partir da variação

da fase de oscilação da ponta ( ), sendo que essa variação pode ser expressa por [9,78]

(31)

onde Fz e Hz são as componentes na direção z da força magnética e do campo magnético.

Para realizar a simulação, foi utilizada a expressão que descreve o campo magnético de um

dipolo

(32)

onde e , a magnetização da ponta que é igual a no caso de uma

ponta que foi magnetizada na direção z. O programa considera que o gradiente da força

magnética na direção z é , onde f1, f2 e f3 são as

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42

componentes nas direções x, y e z da derivada de segunda ordem da equação (32). A imagem

simulada é obtida através da transformada rápida de Fourier (FFT) bi-dimensional de dFz,

fornecendo assim um mapeamento no espaço do gradiente da força magnética. O mapeamento

é feito utilizando uma escala em que a cor preta equivale a , a cor branca equivale a

e os valores intermediários são representados por graduações de cinza. O arquivo

utilizado pelo MATLAB para simular a imagem de MFM encontra-se no anexo II.

C. Discos de Py/FeMn sujeitos a Exchange bias

Para as simulações dos discos de Py/FeMn foram consideradas as energias de troca,

desmagnetização, troca entre duas superfícies e Zeeman. Foram feitas simulações de discos

com 0,5 m de diâmetro sendo que cada camada apresentava 20 nm de espessura. A camada

de FeMn foi simulada considerando uma camada fixa de spins na configuração de vórtice. Os

valores da constante de anisotropia, magnetização de saturação, constante de troca e tamanho

da célula de interação utilizados foram os mesmos que estão na tabela 1 para o permalloy.

Foram realizadas simulações para cinco valores diferentes de acoplamento, com energias de

troca de superfície iguais a 0, 0,510-4

, 1,010-4

, 1,510-4

, 2,010-4

e 2,510-4

J/m2.

i. Simulação de histerese

Primeiramente foram simuladas as curvas de histerese para cada valor de acoplamento.

A partir das histereses foram calculados os campos de nucleação e aniquilação do vórtice.

Para essas simulações foi utilizada uma constante de amortecimento igual a 0,5.

ii. Simulações de relaxação

Em seguida foram realizadas simulações do movimento dinâmico do vórtice. Para

isso, foram realizadas simulações em que o núcleo está inicialmente deslocado a uma

distância de 100 nm do centro do disco com a aplicação de um campo magnético no plano do

disco. Então esse campo é retirado e o vórtice passa por um processo de relaxação, em que o

núcleo realiza um movimento girotrópico em uma órbita espiral se aproximando do centro do

disco com uma frequência caraterística . Por se tratar de simulações dinâmicas, foi utilizada

uma constante de amortecimento igual a 0,01 e um número total de 1400 passos com duração

de 25 ps. A simulação com o OOMMF fornece os valores da magnetização em função do

tempo de simulação. Um algoritmo no programa MATLAB foi então utilizado para

determinar a posição do núcleo a partir dos valores de magnetização. Os valores da posição

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43

do núcleo em relação a tempo foram então analisados utilizando o programa ORIGIN, para

determinar o valor de .

iii. Simulações de campo girante

A partir da frequência determinada nas simulações de relaxação, foram realizadas

simulações dinâmicas em que o discos, inicialmente na configuração de vórtice, está sujeito a

um campo girante de frequência e amplitude igual a 1, 2, 3, 4, 5, 10, 12 e 15 mT. Também

nessas simulações foi utilizada uma constante de amortecimento igual a 0,01 e um número

total de 1400 passos com duração de 25 ps. Da mesma forma que nas simulações de

relaxação, um algoritmo no programa MATLAB foi utilizado para determinar a posição do

núcleo a partir dos valores de magnetização.

3.2. FABRICAÇÃO DOS DISCOS

A. Litografia

Os discos magnéticos foram fabricados utilizando o método de litografia. O processo

de litografia geralmente é feito a partir dos seguintes elementos: (i) um conjunto de padrões

na forma de uma máscara, as ferramentas para fabricar as máscaras e a metrologia para

assegurar as dimensões precisas; (ii) uma fonte de energia para realizar a transferência dos

padrões; (iii) um meio sensível para a gravação do padrão, geralmente um material capaz de

servir como resiste para os outros passos; e (iv) procedimentos confiáveis para detectar

defeitos [69,70].

Figura 26 – Escalas de comprimento

relativas a diferentes tipos de litografia.

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No processo de litografia, um material foto-sensível (resiste) é depositado sobre um

substrato ou filme magnético. Áreas selecionadas do resiste são então expostas a uma fonte de

radiação através de uma máscara. Após certo tempo de exposição as cadeias de polímeros das

regiões expostas são quebradas (resiste positivo) ou reticuladas (resiste negativo), transferindo

para a amostra uma imagem respectivamente positiva ou negativa da máscara.

O limite de resolução da litografia é determinado pelo comprimento de onda da fonte

de radiação que é utilizada. Na figura 26 são apresentadas as dimensões típicas relativas a

diferentes tipos de litografia. Na litografia óptica, ou fotolitografia, geralmente é utilizada luz

ultravioleta. A fotolitografia pode ser realizada de três diferentes modos, que estão

representados na figura 27. Pode ser utilizada uma máscara em contato físico com o resiste

(impressão por contato), uma máscara bastante próxima do resiste (impressão por

proximidade) ou o padrão pode ser projetado no resiste (litografia por projeção). No último

caso, um sistema de lentes é utilizado para projetar uma imagem no resiste [69,70].

Figura 27 – Litografia por (a)contato, (b) proximidade e (c) projeção [71].

A litografia por feixe de elétrons utiliza um feixe de elétrons no lugar dos fótons como

fonte de radiação. Isso proporciona uma resolução extremamente alta. Nesse caso o feixe é

controlado por um computador que permite escrever qualquer padrão no resiste. Uma das

principais vantagens dessa técnica é a possibilidade de fabricar padrões variados de estruturas

com formas bem definidas [70].

Uma técnica de litografia intermediária entre a fotolitografia e a litografia por feixe de

elétrons é a Escrita Direta por Laser (Laser Direct Write – LDW), que é uma técnica que não

utiliza máscara. A litografia é feita a partir da modificação localizada da superfície utilizando

um laser [72]. A figura 28 mostra a representação esquemática de um sistema de LDW. O

padrão de litografia é escrito a partir da movimentação precisa da amostra sob um feixe de

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45

laser com comprimento específico que está focalizado utilizando um microscópio ótico. O

mesmo equipamento pode ser utilizado para verificação do resultado após a litografia [73].

Está foi a técnica utilizada para fabricar as amostras neste trabalho. O equipamento utilizado

foi a LaserWriter LW405 da empresa MICROTECH disponibilizado pelo Prof. Flávio Plentz

do Grupo de Semicondutores do Departamento de Física da UFMG.

Figura 28 – Representação esquemática de um sistema de LDW [74].

A litografia foi realizada utilizando o processo lift-off e uma técnica de dois passos que

envolve a deposição de dois tipos de resiste: um resiste positivo e um resiste denominado

LOR (Lift-Off Resist). Nessa técnica, o LOR é depositado diretamente sobre o substrato (fig.

29(1)) e em seguida é depositado o resiste positivo (fig. 29(2)). Após a deposição, o padrão

de litografia é transferido para o resiste através da exposição de áreas selecionadas a uma

fonte de radiação (fig. 29(3)). Esse padrão é então revelado através da remoção das áreas do

resiste que foram expostas a radiação (fig. 29(4)). O próximo passo é a deposição do filme

magnético. O processo de lift-off utiliza a altura do resiste para quebrar o filme, que tem altura

inferior a do resiste (fig. 29(5)). Finalmente o resiste é removido deixando apenas o filme na

forma do padrão desejado (fig. 29(6)) [1,75].

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46

Figura 29 – Processo de litografia utilizando LOR. (1) Deposição do LOR, (2) deposição da resiste positivo,

(3) exposição a radiação, (4) remoção das áreas expostas, (4) deposição do filme magnético e

(6) remoção do resiste [75].

A litografia foi feita em um substrato de 15x15 mm2 de Silício (100) recoberto por

1000 Å de SiO2 com resistividade na faixa de 10-30 /cm. Foi depositada no silício uma

camada do resiste LOR 3B utilizando spin-coating a uma velocidade de 4500 rpm por 40

segundos e o substrato foi colocado em uma placa quente a 150 C por 5 minutos. Em seguida

foi depositada no silício uma camada do resiste positivo S1805 utilizando spin-coating a uma

velocidade de 8000 rpm por 40 segundos e o substrato foi colocado em uma placa quente a

100 C por 2 minutos.

A LaserWriter LW405 foi então utilizada para escrever na amostra quatro regiões de

3x3 mm2, e em cada uma

foi feito um arranjo de discos com um tamanho diferente de

diâmetro. Os diâmetros são: 2, 4, 6 e 8 m. Então foi realizada a revelação da litografia

utilizando o revelador MF321.

B. Deposição por Sputtering

Após a litografia, o material magnético foi depositado por sputtering. O fenômeno de

sputtering acontece quando um material alvo é bombardeado por partículas energéticas, por

exemplo, íons acelerados. Quando essas partículas colidem com os átomos da superfície,

esses átomos são ejetados da superfície [76], como mostra a figura abaixo.

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Figura 30 – Fenômeno de sputtering [76].

O sistema de deposição por sputtering utiliza um par de eletrodos (cátodo e ânodo). O

cátodo é coberto com o material alvo que será depositado e o substrato é posicionado no

ânodo. A câmara é preenchida com um gás, geralmente argônio. Ao aplicar tensão elétrica

entre os eletrodos é gerada uma descarga luminescente. Elétrons livres colidem com os

átomos de argônio, criando íons positivos que são acelerados em direção ao cátodo e, ao

colidir, arrancam átomos do alvo. Esses átomos são então depositados no substrato [76].

Figura 31 – Sistema de deposição por sputtering [76].

Foram depositados 21 Å de Rutênio a uma taxa de 0,58 Å/s, 200 Å de Co60Fe40 a uma

taxa de 1,75 Å/s e 30 Å de Tântalo a uma taxa de 0,68 Å/s. O resiste foi então removido

colocando a amostra em um béquer com o removedor PG Remover e esse béquer foi colocado

em uma placa quente a 60 C por 30 minutos.

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3.3. CARACTERIZAÇÃO

A morfologia e a configuração magnéticas das amostras produzidas foram

caracterizadas utilizando o equipamento de Microscopia de Varredura por Sonda (SPM),

modelo NTegra Aura, NT-MDT Co., disponível no Laboratório de Nanoscopia do CDTN.

Com ele, foram realizadas medidas de Microscopia de Força Atômica (AFM) e Microscopia

de Força Magnética (MFM). O equipamento é capaz de aplicar um campo magnético no plano

da amostra na faixa entre 0 e ±2kG. As medidas de MFM foram realizadas utilizando sondas

modelo NanoWorld MFMR (sonda de silício recoberta com cobalto, frequência de

ressonância nominal de 75 kHz e constante de mola nominal igual a 28 N/m).

A. Microscopia de Varredura por Sonda (SPM)

Em 1981, Gerd Binnig e Heinrich Rohrer apresentaram os resultados de uma nova

técnica de microscopia denominada Microscopia de Varredura por Tunelamento (STM) [77].

Por esta invenção, eles receberam o prêmio Nobel em 1986. A técnica é baseada no efeito

quântico de tunelamento dos elétrons através da barreira de potencial entre uma ponta

metálica e a amostra condutora. A corrente de tunelamento varia exponencialmente com a

distância entre a ponta e a amostra o que faz com que esta técnica possua alta resolução

espacial, alcançando resolução atômica em situações especificas. A partir da técnica de STM,

foram desenvolvidas várias outras técnicas com princípios de operação similares. Essas

técnicas recebem a denominação geral de Microscopias de Varredura por Sonda (SPM) [78].

As técnicas SPM se tornaram muito importantes na investigação da superfície de

sólidos por tornarem possível a investigação da morfologia e suas propriedades locais com

alta resolução espacial.

Figura 32- Diagrama de um microscópio de varredura por sonda [78].

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A figura 32 apresenta uma descrição geral e genérica de uma técnica de microscopia

de varredura por sonda. Utiliza-se uma sonda em forma de agulha, que se movimenta a uma

distância bem próxima da superfície, fazendo a varredura de uma área da amostra. Existem

vários tipos de microscópios de varredura, baseados em diferentes interações entre a ponta e a

amostra. Consideremos que uma determinada interação é caracterizada pelo parâmetro P, que

é uma função da distância z entre a ponta e a amostra, P=P(z). A aquisição da imagem

começa mantendo esse parâmetro constante, igual a P0, em um ponto da amostra. Em seguida,

a sonda é deslocada para outro ponto e sua interação com a amostra muda, logo o valor de P

também muda. Então, o sistema de realimentação (feedback system – FS), desloca a sonda de

certa distância z = z’ de forma a restaurar o valor P0, e assim controlar a distância entre a

ponta e a amostra. Esse procedimento é repetido enquanto a sonda se desloca por diferentes

pontos ao longo de uma linha, como está representado na figura 33, e os deslocamentos z’ em

relação à posição de equilíbrio P0 nos diferentes pontos são registrados. Quando a varredura

de uma linha termina, a sonda retorna a posição inicial e se desloca para repetir o processo ao

longo da próxima linha. Esse processo é repetido ao longo de toda a área varrida. Portanto, z’

é registrado como uma função das coordenadas i e j, nos diferentes pontos da amostra. Ao

final da varredura, os deslocamentos medidos, z’=f(i,j), permitem obter uma imagem

topográfica da superfície da amostra [78].

Figura 33 – Representação do processo de varredura de um SPM [78].

B. Microscopia de Força Atômica (AFM)

Em um microscópio de força atômica, inventado em 1986 por Gerd Binnig, Calvin F.

Quate e Christopher Herber [79], a força entre a sonda e a superfície da amostra é medida

utilizando sondas especiais feitas por um cantilever elástico com uma ponta fina no fim (fig.

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50

34). A força aplicada na ponta pela superfície faz com que o cantilever se curve. Ao medir

essa deflexão é possível calcular a interação entre a ponta e a amostra.

Figura 34 – Esquema da sonda utilizada no AFM [78].

A interação entre a ponta e a amostra pode ser descrita de maneira geral pelo potencial

de Lennard-Jones, que descreve a energia potencial entre dois átomos separados por uma

distância r,

(31)

onde r0 é a distância de equilíbrio entre os dois átomos, em que a energia é mínima e igual a

U0, como pode ser visto na representação gráfica do potencial de Lennard-Jones (figura 35).

O primeiro termo desse potencial é atrativo e se deve a interação dipolo-dipolo de longa

distância e o segundo é repulsivo e de curta distância devido ao princípio de exclusão de

Pauli. Portanto, a força entre a ponta e a amostra é atrativa para distâncias intermediárias e

repulsiva para pequenas distâncias.

Figura 35 – Potencial de Lennard-Jones [78].

A aquisição da imagem topográfica é feita medindo-se as pequenas deflexões do

cantilever devidas à variação da força de interação entre a ponta e a amostra ao longo da

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varredura. Essas deflexões são detectadas utilizando um sistema óptico em que um laser

incide no cantilever, é refletido e atinge um fotodiodo que é divido em quatro seções. A

deflexão do cantilever devido à força repulsiva ou atrativa gera uma diferença de corrente ΔIZ

nas quatro seções do fotodiodo. O sistema de realimentação do AFM mantém ΔIZ constante

de forma a manter a deflexão ΔZ do cantilever igual a um valor ΔZ0 previamente definido.

Dessa forma, a sonda se move ao longo da superfície e a topografia é determinada em função

da posição, ou seja, Z=f(x,y).

O AFM possui dois modos principais de operação: contato e semi-contato. No modo

contato, o ápice da ponta está em contato direto. Por definição, o contato direto entre a ponta e

a amostra corresponde à região na curva do potencial de Lennard-Jones em que o potencial é

positivo, ou seja, a força atuando na ponta é repulsiva. A força entre os átomos da ponta e da

amostra é contrabalanceada pela força elástica devido à deflexão do cantilever. Para isso são

utilizados cantilevers com pequena rigidez, o que resulta em alta sensibilidade e evita a

influência indesejável da ponta na amostra. Porém, o contato direto pode causar danos na

superfície e é inapropriado para amostras macias (materiais orgânicos e biológicos).

No modo de semi-contato o cantilever é forçado a oscilar perto da frequência de

ressonância, com amplitude da ordem de 10 a 100 nm. O cantilever é aproximado da

superfície de forma que a ponta entre em contato com a superfície no ponto mais baixo da

oscilação e as variações na amplitude e na fase da oscilação durante a varredura são

registradas. A interação se deve a soma das forças de Van der Waals e elástica. Durante a

varredura o sistema de realimentação mantém a amplitude da oscilação constante e a imagem

topográfica é feita a partir da tensão no sistema de realimentação [78].

C. Microscopia de Força Magnética (MFM)

A microscopia de força magnética foi inventada em 1987 por Y. Martin e H.K.

Wickramasinghe para a análise de propriedades magnéticas locais [78]. É uma técnica

derivada da AFM que utiliza uma ponta recoberta por um material ferromagnético, o que a

torna sensível a magnetização da amostra (fig. 36).

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52

Figura 36 – Ponta de MFM em uma amostra magnética [78].

A descrição do funcionamento do MFM pode ser simplificada assumindo que a ponta

é um dipolo magnético com momento m e, neste caso, a energia magnética devido à interação

com o campo magnético local H(r) será:

(32)

Logo, a força atuando na ponta é dada por:

(33)

Figura 37 – Interação da ponta com o campo magnético da amostra [78].

Em um campo magnético homogêneo, a força é nula. Já no caso de um campo não

uniforme a ponta é atraída/repelida pelas regiões da amostra em que a intensidade do campo é

maior. Geralmente a ponta é representada como uma superposição de dipolos que interagem

com o campo magnético da amostra (fig. 37). Neste caso, a energia e a força de interação são

dadas por:

(34)

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53

(35)

Logo, a componente z da força é:

(36)

A força atômica é de curto alcance e possui magnitude muito maior do que a

magnética de forma que quando a ponta está muito próxima da superfície da amostra a força

magnética é desprezível em relação à força atômica. Para realizar uma medida magnética é

necessário que a ponta esteja a uma distância grande o suficiente da amostra para que a força

magnética seja maior do que a força atômica. Geralmente o MFM opera utilizando uma

técnica de dois passos (fig. 38). No primeiro passo é determinada a topografia da amostra

através de uma medida de AFM. No segundo passo, a sonda é afastada da superfície para uma

posição onde a força magnética, tipicamente de longo alcance, supera a força atômica. O

resultado são duas imagens, uma topográfica e outra magnética [78].

Figura 38 – Técnica de aquisição de imagem em dois passos [78].

Existem dois modos de operação no MFM: estático e dinâmico. No modo estático é

feito um mapeamento da força magnética de interação entre a ponta e a amostra. No modo

oscilatório é feito um mapeamento das variações da amplitude ou da fase das oscilações do

cantilever. Essas variações estão relacionadas com o gradiente da força magnética, que é dado

por:

(37)

A amplitude e a fase da oscilação são iguais a:

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54

(38)

Logo, as variações da amplitude e da fase estão relacionadas com o gradiente da força

da seguinte forma:

(39)

Por medir o gradiente da força magnética, os modos oscilatórios possuem maior sensibilidade,

o que leva a melhores imagens. A figura 39 mostra a diferença entres as imagens obtidas por

AFM (a) e por MFM no modo estático (d) e no modo dinâmico medindo a fase (b) e a

amplitude (c).

Figura 39 – Imagens de um disco rígido de computador obtidas por (a) AFM, (b) MFM por contraste de fase, (c)

MFM por contraste de amplitude e (d) MFM no modo estático [78].

Devido a sua alta sensibilidade e resolução espacial de cerca de 50 nm, o MFM tem se

tornado uma das principais ferramentas para caracterizar de estruturas magnéticas. Sua

aplicação mais comum é a caracterização dos domínios magnéticos [9]. No caso de partículas

litografadas, tem sido muito utilizado para obter a estrutura de domínios

[1,3,5,6,9,10,12,38,41,80].

Portanto, através do MFM é possível verificar se a configuração magnética é um

vórtice, um monodomínio ou multidomínios. A figura 40 mostra a imagem típica que deve ser

obtida no caso de um monodomínio em uma elipse [76]. A estrutura apresenta um contraste

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55

branco/preto (“dipolo magnético”), em que o preto indica uma interação de repulsão entre a

ponta e a amostra e o branco indica atração [9,10,41].

Figura 40 – (a) distribuição da magnetização de uma elipse em estado de monodomínio e (b) imagem MFM

calculada para esta configuração [78].

A estrutura na configuração de vórtice apresenta uma imagem magnética com baixo

contraste e uma região mais clara ou escura no centro, com maior contraste, indicando a

presença de um fluxo magnético entrando ou saindo do plano do disco, como nas figuras 41 e

42. Portanto, o MFM pode ser utilizado para determinar a polaridade do vórtice

[2,9,10,41,80].

Figura 41 – Detecção de vórtices em discos de permalloy por MFM [2].

Figura 42 – Imagens de MFM de discos (a) de níquel no estado de monodomínio; (b) e (c) de permalloy no

estado de vórtices com diferentes polaridades [9].

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56

O equipamento de AFM do LabNano permite aplicar um campo magnético variável no

plano da amostra enquanto é feita a medida (Esta funcionalidade não é encontrada na maior

parte dos equipamentos de AFM). O campo é aplicado através de um eletroímã acoplado ao

microscópio, como está representado na figura 43 [81].

Figura 43 – Montagem do MFM. A seta 1 indica a cabeça de varredura e a seta 2 indica o eletroímã [81].

Devido a essa montagem é possível observar a evolução dos domínios magnéticos

com a aplicação de um campo externo [82]. Assim podem ser obtidas informações sobre

diferentes pontos da curva de histerese das estruturas. No caso dos vórtices, é possível

determinar os campos de nucleação (Hn) e aniquilação (Ha) do vórtice, como mostra a figura

44(a). Quando a configuração é de monodomínio, é possível determinar o campo em que

ocorre a saturação da magnetização, quando o domínio se alinha com o campo (fig. 44(b))

[41].

Figura 44 – Efeito da aplicação de um campo externo variável em discos de cobalto na configuração

de (a) vórtice e (b) monodomínio [41].

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57

No entanto, o MFM possui uma desvantagem: a interpretação das imagens, que tem

sido objeto de muita discussão. As imagens de MFM são representações do gradiente da força

magnética e, em princípio, não é possível determinar a distribuição da magnetização a partir

dos dados de MFM. Além disso, a interação da ponta com a amostra pode modificar a

configuração magnética e gerar imagens complexas, o que dificulta uma interpretação correta

e quantitativa [83,84]. No entanto, essa interpretação pode ser facilitada através da

comparação das imagens com resultados de simulação micromagnética. Em alguns trabalhos,

a distribuição da magnetização obtida com o OOMMF tem sido utilizada para calcular a

imagem correspondente de MFM através do calculo do gradiente da força magnética

perpendicular ao plano da simulação. Isso torna possível uma comparação direta com

resultados experimentais e, consequentemente, permite inferir a configuração da

magnetização que originou a imagem de MFM [17,84,85].

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4. RESULTADOS PARA OS DISCOS DE Co60Fe40 E PERMALLOY

Neste capitulo são descritos os resultados obtidos através de simulações

micromagnéticas para discos de permalloy e Co60Fe40 e os resultados das medidas de MFM de

discos de Co60Fe40. Também é apresentada uma análise comparativa entre as simulações para

os discos de permalloy com resultados experimentais encontrados na literatura, e entre as

simulações e as medidas de MFM para os discos de Co60Fe40. Por último é feita uma análise

de como a presença de uma anisotropia magnetocristalina no plano dos discos de Co60Fe40

modificou a configuração magnética em relação ao permalloy que não possui essa anisotropia.

4.1. SIMULAÇÕES

Foram realizadas simulações para obter a configuração magnética de menor energia

para discos de Co60Fe40 e permalloy com diâmetros de 0,5, 1, 2, 4, 6 e 8 m. Para cada

diâmetro foram feitas simulações partindo de diferentes configurações iniciais. No caso do

permalloy as configurações iniciais foram: magnetização aleatória, vórtice, monodomínio no

plano, monodomínio na direção (001), monodomínio na direção (111) e 2 domínios no plano.

Já no caso do Co60Fe40 a presença de uma anisotropia no plano (para as simulações foi

escolhida a direção (100)) faz com que seja necessário distinguir a direção dos domínios no

plano. Assim as configurações iniciais nesse caso foram: magnetização aleatória, vórtice,

monodomínio na direção (100), monodomínio na direção (010), monodomínio na direção

(001), monodomínio na direção (110), monodomínio na direção (111), 2 domínios na direção

(100) e 2 domínios na direção (010). Apenas no caso dos discos com diâmetro de 8 m, o

tempo extremamente longo necessário para realizar cada simulação impediu a realização de

todas essas simulações. Nesse caso só foram realizadas simulações com duas configurações

iniciais: magnetização aleatória e vórtice.

Os resultados são apresentados em tabelas, onde estão indicadas a configuração

inicial, a configuração final e a energia da configuração final. Para cada configuração obtida é

apresentada uma figura da configuração de spin em que o contraste de cor indica a

magnetização na direção (100). Também são apresentadas as imagens simuladas de MFM,

nesse caso o contraste de cor indica o gradiente da magnetização na direção (001).

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A. Discos de 0,5 m de diâmetro

Os resultados obtidos para os discos de permalloy de 0,5 m de diâmetro se encontram

na tabela 2 e na figura 45. A configuração fundamental é o vórtice magnético cuja energia é

quase seis vezes menor do que a configuração em “S”, configuração com o segundo menor

valor de energia. Isso é indicativo da alta estabilidade do vórtice magnético.

Tabela 2 – Resultados das simulações para círculos de permalloy de 0,5 m de diâmetro.

Configuração Inicial Configuração Final Energia (10-17

J)

Magnetização aleatória Vórtice 1,2618

Vórtice Vórtice 1,2618

Monodomínio no plano Monodomínio no plano 8,2011

Monodomínio na direção (001) Monodomínio na direção (001) 163,4577

Monodomínio na direção (111) Domínio em “S” 7,2294

2 domínios no plano Vórtice 1,2618

Figura 45 – Imagens de configuração de

spin (esquerda) e imagens simuladas de

MFM (direita) obtidas por simulação

micromagnética para discos de

permalloy de 0,5 m de diâmetro com as

configurações de (a) domínio em “S”,

(b) monodomínio no plano, (c)

monodomínio na direção (001) e (d)

vórtice.

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60

Os resultados obtidos para os discos de Co60Fe40 de 0,5 m de diâmetro se encontram

na tabela 3 e na figura 46. Pelos valores de energia, a configuração fundamental também é o

vórtice magnético. Mas nesse caso, a configuração de spins desvia um pouco em relação à

simetria circular que é encontrada no permalloy como pode ser observado pelo aumento da

região branca na fig. 46(e) em comparação com a fig. 45(d). Isso se deve a presença da

anisotropia planar que favorece o alinhamento dos spins na direção (010). A imagem

simulada de MFM nesse caso é bem diferente, com o aparecimento de duas regiões pretas e

duas regiões brancas intercaladas.

A configuração que possui o segundo menor valor de energia é a de três domínios que

possui mais do que o dobro da energia. Apesar dessa diferença ser menor que no caso do

permalloy, ainda é suficiente para garantir a estabilidade do vórtice.

Tabela 3 – Resultados das simulações para círculos de Co60Fe40 de 0,5 m de diâmetro.

Configuração Inicial Configuração Final Energia (10-17

J)

Magnetização aleatória Vórtice 8,6702

Vórtice Vórtice 8,6702

Monodomínio na direção (100) 3 domínios na direção (010) 18,9482

Monodomínio na direção (010) Monodomínio na direção (010) 28,7694

Monodomínio na direção (001) Monodomínio na direção (001) 565,8498

Monodomínio na direção (110) Domínio em “S” 27,7992

Monodomínio na direção (111) 3 domínios na direção (010) 18,9482

2 domínios na direção (100) Vórtice 8,6702

2 domínios na direção (010) Vórtice 8,6702

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Figura 46 – Imagens de configuração de spin (esquerda) e imagens simuladas de MFM (direita) obtidas por

simulação micromagnética para discos de Co60Fe40 de 0,5 m de diâmetro com as configurações de (a) 3

domínios na direção (010), (b) domínio em “S”, (c) Monodomínio na direção (010), (d) monodomínio na direção

(001) e (e) vórtice.

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B. Discos de 1 m de diâmetro

Os dados para os discos de permalloy de 1 m de diâmetro também possuem o vórtice

magnético como configuração de menor energia, conforme apresentado na tabela 4 e na figura

47. A diferença de energia em relação às outras configurações é muito grande, sendo que o

domínio em “S” possui uma energia mais de sete vezes maior do que o vórtice.

Tabela 4 – Resultados das simulações para círculos de permalloy de 1 m de diâmetro.

Configuração Inicial Configuração Final Energia (10-17

J)

Magnetização aleatória Vórtice 1,8317

Vórtice Vórtice 1,8317

Monodomínio no plano Monodomínio no plano 17,4858

Monodomínio na direção (001) Monodomínio na direção (001) 685,4603

Monodomínio na direção (111) Domínio em “S” 14,0172

2 domínios no plano Vórtice 1,8317

Figura 47 – Imagens de configuração

de spin (esquerda) e imagens simuladas

de MFM (direita) obtidas por

simulação micromagnética para discos

de permalloy de 1 m de diâmetro com

as configurações de (a) domínio em

“S”, (b) monodomínio no plano, (c)

monodomínio na direção (001) e (d)

vórtice.

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Para os discos de Co60Fe40 de 1 m de diâmetro (tab. 5 e na fig. 48), da mesma forma

que os discos de 0,5 m, a configuração de menor energia é um vórtice com um desvio na

simetria. Mas com o aumento do diâmetro também ocorreu um aumento nesse desvio. Isso

pode ser percebido pelo aumento da região branca da configuração de spin e pelo aumento da

região cinza da imagem simulada de MFM na fig. 48(e) em comparação com a fig. 47(e). A

diferença de energia entre a configuração com três domínios e o vórtice diminuiu em relação

aos discos de 0,5 m mas continua sendo grande.

Tabela 5 – Resultados das simulações para círculos de Co60Fe40 de 1 m de diâmetro.

Configuração Inicial Configuração Final Energia (10-17

J)

Magnetização aleatória Vórtice 24,8854

Vórtice Vórtice 24,8854

Monodomínio na direção (100) 3 domínios na direção (010) 40,1742

Monodomínio na direção (010) Monodomínio na direção (010) 62,9586

Monodomínio na direção (001) Monodomínio na direção (001) 2371,473

Monodomínio na direção (110) Domínio em “S” 62,22606

Monodomínio na direção (111) 3 domínios na direção (010) 40,1742

2 domínios na direção (100) Vórtice 24,8854

2 domínios na direção (010) Vórtice 24,8854

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Figura 48 – Imagens de configuração de spin (esquerda) e imagens simuladas de MFM (direita) obtidas por

simulação micromagnética para discos de Co60Fe40 de 1 m de diâmetro com as configurações de (a) 3 domínios

na direção (010), (b) domínio em “S”, (c) Monodomínio na direção (010), (d) monodomínio na direção (001) e

(e) vórtice.

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C. Discos de 2 m de diâmetro

Novamente para os discos de permalloy, a configuração fundamental é o vórtice. Os

resultados das simulações para os discos de 2 m de diâmetro se encontram na tabela 6 e na

figura 49. A diferença de energia em relação as outras configurações é ainda maior do que nos

discos menores.

Tabela 6 – Resultados das simulações para círculos de permalloy de 2 m de diâmetro.

Configuração Inicial Configuração Final Energia (10-17

J)

Magnetização aleatória Vórtice 2,8204

Vórtice Vórtice 2,8204

Monodomínio no plano Monodomínio no plano 36,2909

Monodomínio na direção (001) Monodomínio na direção (001) 2817,6998

Monodomínio na direção (111) Domínio em “S” 26,6162

2 domínios no plano Vórtice 2,8204

Figura 49 – Imagens de configuração

de spin (esquerda) e imagens simuladas

de MFM (direita) obtidas por

simulação micromagnética para discos

de permalloy de 2 m de diâmetro com

as configurações de (a) domínio em

“S”, (b) monodomínio no plano, (c)

monodomínio na direção (001) e (d)

vórtice.

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Os resultados dos discos de Co60Fe40 de 2 m de diâmetro estão na tabela 7 e na figura

50. Mais uma vez pode ser observado um aumento na região do vórtice em que os spins estão

alinhados na direção (010) devido ao aumento do diâmetro (fig. 50(e)). Pelos valores de

energia, essa continua sendo a configuração fundamental, mas agora a diferença de energia da

configuração de três domínios é bem menor, de menos de 30%.

Tabela 7 – Resultados das simulações para círculos de Co60Fe40 de 2 m de diâmetro.

Configuração Inicial Configuração Final Energia (10-17

J)

Magnetização aleatória 4 vórtices e 1 antivórtice 116,0280

Vórtice Vórtice 74,5504

Monodomínio na direção (100) 3 domínios na direção (010) 95,8090

Monodomínio na direção (010) Monodomínio na direção (010) 136,5275

Monodomínio na direção (001) Monodomínio na direção (001) 9753,0667

Monodomínio na direção (110) Domínio em “S” 135,6691

Monodomínio na direção (111) 3 domínios na direção (010) 95,8090

2 domínios na direção (100) Vórtice 74,5504

2 domínios na direção (010) Vórtice 74,5504

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Figura 50 – Imagens de configuração de spin (esquerda) e imagens simuladas de MFM (direita) obtidas por

simulação micromagnética para discos de Co60Fe40 de 2 m de diâmetro com as configurações de (a) 3 domínios

na direção (010), (b) 4 vórtices e 1 antivórtice, (c) domínio em “S”, (d) Monodomínio na direção (010), (e)

monodomínio na direção (001) e (f) vórtice.

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D. Discos de 4 m de diâmetro

Os dados obtidos para os discos de permalloy de 4 m de diâmetro (tab. 8 e fig. 51) do

mesmo modo indicam que a configuração de menor energia é o vórtice magnético. Mais uma

vez ocorreu um aumento na diferença de energia entre as outras configurações e a

configuração em “S” possui uma energia mais de 10 vezes maior do que o vórtice.

Tabela 8 – Resultados das simulações para círculos de permalloy de 4 m de diâmetro.

Configuração Inicial Configuração Final Energia (10-17

J)

Magnetização aleatória Vórtice 4,7144

Vórtice Vórtice 4,7144

Monodomínio no plano Monodomínio no plano 74,2182

Monodomínio na direção (001) Monodomínio na direção (001) 11448,6527

Monodomínio na direção (111) Domínio em “S” 50,2026

2 domínios no plano Vórtice 4,7144

Figura 51 – Imagens de configuração

de spin (esquerda) e imagens simuladas

de MFM (direita) obtidas por

simulação micromagnética para discos

de permalloy de 4 m de diâmetro com

as configurações de (a) domínio em

“S”, (b) monodomínio no plano, (c)

monodomínio na direção (001) e (d)

vórtice.

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No caso dos discos de Co60Fe40 a configuração de menor é o vórtice, mas nesse caso o

aumento da região com spins na direção (010) indica a formação de dois domínios (fig. 52(f)).

Pelos valores de energia da tabela 9, houve uma redução na diferença de energia entre o

vórtice e outras configurações, especialmente em relação a configuração com 3 domínios que

nesse caso possui uma energia apenas 16% maior.

Tabela 9 – Resultados das simulações para círculos de Co60Fe40 de 4 m de diâmetro.

Configuração Inicial Configuração Final Energia (10-17

J)

Magnetização aleatória 4 domínios na direção (010) 284,1775

Vórtice Vórtice 210,0315

Monodomínio na direção (100) 2 vórtices deslocados 321,4839

Monodomínio na direção (010) Monodomínio na direção (010) 296,7402

Monodomínio na direção (001) Monodomínio na direção (001) 39631,3579

Monodomínio na direção (110) Domínio em “S” 295,8322

Monodomínio na direção (111) 3 domínios na direção (010) 243,2151

2 domínios na direção (100) Vórtice 210,0315

2 domínios na direção (010) Vórtice 210,0315

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Figura 52 – Imagens de configuração de spin (esquerda) e imagens simuladas de MFM (direita) obtidas por

simulação micromagnética para discos de Co60Fe40 de 4 m de diâmetro com as configurações de (a) 2 vórtices

deslocados, (b) 3 domínios na direção (010), (c) domínio em “S”, (d) Monodomínio na direção (010), (e)

monodomínio na direção (001) e (f) vórtice.

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E. Discos de 6 m de diâmetro

As simulações dos discos de permalloy de 6 m, mais uma vez resultaram no vórtice

(fig. 53(c)) como configuração de menor energia, de acordo com os dados da tabela 10.

Tabela 10 – Resultados das simulações para círculos de permalloy de 6 m de diâmetro.

Configuração Inicial Configuração Final Energia (10-17

J)

Magnetização aleatória Vórtice 6,5753

Vórtice Vórtice 6,5753

Monodomínio no plano Monodomínio no plano 112,2909

Monodomínio na direção (001) Monodomínio na direção (001) 25910,9098

Monodomínio na direção (111) Domínio em “S” 88,4331

2 domínios no plano Vórtice 6,5753

Figura 53 – Imagens de configuração de spin (esquerda) e imagens simuladas de MFM (direita) obtidas por

simulação micromagnética para discos de permalloy de 6 m de diâmetro com as configurações de (a) domínio

em “S”, (b) monodomínio no plano, (c) monodomínio na direção (001) e (d) vórtice.

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Nos discos de Co60Fe40 a configuração de menor energia é a de vórtice em que este

separa dois domínios (fig. 54(f)), que são formados devido a anisotropia que favorece o

alinhamento dos spins na direção (010). Porém, de acordo com os dados da tabela 11, a

configuração com 3 domínios possui uma energia muito próxima da configuração de vórtice,

sendo a que a diferença de energia entre essas duas configurações é de apenas 12%.

Tabela 11 – Resultados das simulações para círculos de Co60Fe40 de 6 m de diâmetro.

Configuração Inicial Configuração Final Energia (10-17

J)

Magnetização aleatória 3 domínios na direção (010) 415,6926

Vórtice Vórtice 371,0403

Monodomínio na direção (100) 2 vórtices deslocados 464,4066

Monodomínio na direção (010) Monodomínio na direção (010) 468,7183

Monodomínio na direção (001) Monodomínio na direção (001) 89685,8492

Monodomínio na direção (110) Domínio em “S” 467,5700

Monodomínio na direção (111) 2 vórtices deslocados 532,6443

2 domínios na direção (100) Vórtice 371,0403

2 domínios na direção (010) Vórtice 371,0403

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Figura 54 – Imagens de configuração de spin (esquerda) e imagens simuladas de MFM (direita) obtidas por

simulação micromagnética para discos de Co60Fe40 de 6 m de diâmetro com as configurações de (a) 2 vórtices

deslocados, (b) 3 domínios na direção (010), (c) domínio em “S”, (d) Monodomínio na direção (010), (e)

monodomínio na direção (001) e (f) vórtice.

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74

F. Discos de 8 m de diâmetro

Para os discos com 8 m de diâmetro, o grande número de células de interação da

simulação faz com que esta seja muito demorada. Nesse caso só foram realizadas simulações

com as configurações iniciais: magnetização aleatória e vórtice. Para os discos de permalloy

ambas deram como resultado a configuração de vórtice (tab. 12 e fig. 55).

Tabela 12 – Resultados das simulações para círculos de permalloy de 8 m de diâmetro.

Configuração Inicial Configuração Final Energia (10-17

J)

Magnetização aleatória Vórtice 8,4013

Vórtice Vórtice 8,4013

Figura 55 – Imagens de configuração de spin (esquerda) e imagens simuladas de MFM (direita) obtidas por

simulação micromagnética para discos de permalloy de 8 m de diâmetro com a configuração de vórtice.

No caso dos discos de Co60Fe40, a simulação partindo de uma magnetização aleatória

resultou em uma configuração de 3 domínios (fig. 56(a)) e a simulação partindo de um vórtice

resultou em um vórtice separando dois domínios (fig. 56(b)) da forma similar ao obtido para

discos de 6 m de diâmetro. Pelos dados da tabela 13, o vórtice possui menor energia, mas o

aumento de energia para a configuração de 3 domínios é muito pequeno, de apenas 11%.

Tabela 13 – Resultados das simulações para círculos de Co60Fe40 de 8 m de diâmetro.

Configuração Inicial Configuração Final Energia (10-17

J)

Magnetização aleatória 3 domínios na direção (010) 607,2091

Vórtice Vórtice 547,4374

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75

Figura 56 – Imagens de configuração de spin (esquerda) e imagens simuladas de MFM (direita) obtidas por

simulação micromagnética para discos de Co60Fe40 de 8 m de diâmetro com as configurações de (a) 3 domínios

na direção (010), e (b) vórtice.

4.2. MEDIDAS DE MFM

A amostra analisada consiste em discos de Co60Fe40 com diâmetros são: 2, 4, 6 e 8 m.

Foram realizadas medidas de MFM utilizando sondas MFMR. Em algumas das medidas

foram aplicados campos de até 200 G.

A. Discos de 2 m de diâmetro

Para os discos de 2 m, a imagem magnética obtida (fig. 57(b)) não está muito bem

definida. Pela imagem da fig. 58(b), pode-se perceber a presença de quatro regiões com

contraste branco e preto intercaladas o que é similar a imagem simulada de MFM de um

vórtice fig. 58(c). De acordo com as simulações essa é a configuração de menor energia.

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76

Figura 57 – Imagem (a) topográfica e (b) magnética sem campo aplicado de 12x12 m2 mostrando círculos de 2

m de diâmetro.

Figura 58 – Imagem (a) topográfica e (b) magnética de 4x4 m2 mostrando círculos de 2 m de diâmetro, (c)

imagem simulada de MFM e (d) imagem de configuração de spin de um vórtice.

A figura 59 mostra a evolução da configuração magnética da fig. 58(b) com a

aplicação de um campo magnético externo na direção indicada pela seta. Na fig. 59(a) o disco

apresenta uma configuração de vórtice na ausência do campo. Com a aplicação de um campo

crescente (fig. 59(b) e 59(c)) o vórtice se desloca na direção perpendicular ao campo

magnético, até que em um campo de 30 G só ficam uma região clara e uma escura (fig. 59(d))

que aumentam com o aumento do campo (fig. 59(e)), para formar uma configuração de

monodomínio em um campo de 100 G (fig. 59(f)).

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77

Figura 59 – Imagens magnéticas de 4x4 m2 do disco da figura 57(b) com um campo magnético externo de (a) 0

G, (b) 10 G, (c) 20 G, (d) 30 G, (e) 50 G e (f) 100 G. A seta indica a direção do campo

B. Discos de 4 m de diâmetro

Para os discos de 4 m de diâmetro, os resultados obtidos experimentalmente indicam

que os discos estão no estado de vórtice, como pode ser observado nas figuras 60 e 61. A

imagem magnética (fig. 61(b)) apresenta duas regiões com contraste claro e duas regiões com

contraste escuro, o que é similar a imagem de MFM simulada (fig. 61(c)). Também nesse

caso, os resultados de simulação indicam que essa é a configuração de menor energia.

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78

Figura 60 – Imagem (a) topográfica e (b) magnética sem campo aplicado de 16x16 m2 mostrando círculos de 4

m de diâmetro.

Figura 61 – Imagem (a) topográfica e (b) magnética de 7x7 m2 mostrando círculos de 4 m de diâmetro, (c)

imagem simulada de MFM e (d) imagem de configuração de spin de um vórtice.

A figura 62 mostra a evolução da configuração magnética da fig. 61(b) com a

aplicação de um campo magnético externo na direção indicada pela seta. Na fig. 62(a) o disco

apresenta uma configuração de vórtice na ausência do campo. Com a aplicação de um campo

magnético (fig. 62(b)) o vórtice se desloca na direção perpendicular ao campo aplicado. O

aumento do campo faz com que a configuração se modifique (fig. 62(c)) até formar uma

estrutura com um contraste branco/preto em um campo de 70 G (fig. 62(d)) que aumenta com

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79

o aumento do campo (fig. 62(e)) até formar uma configuração de monodomínio (fig. 62(e) e

61(f)).

Figura 62 – Imagens magnéticas de 7x7 m2 do disco da figura 60(b) com um campo magnético externo de (a) 0

G, (b) 30 G, (c) 50 G, (d) 70 G, (e) 100 G e (f) 200 G. A seta indica a direção do campo

C. Discos de 6 m de diâmetro

A imagem da figura 63(b) foi obtida para os discos de 6 m de diâmetro. Alguns

discos como o do canto inferior esquerdo, que está destacado por um círculo e é mostrado

mais detalhadamente na figura 64(b) apresentam um contraste no centro, o que é indicativo da

presença de um vórtice magnético. Já em outros discos, como o da figura 65(b), ocorreu a

formação de domínios magnéticos no plano do disco, orientados preferencialmente em uma

direção. Essa configuração foi obtida nas simulações que começaram a partir de uma

configuração de spins aleatória (fig. 64(c)) devido a existência de uma anisotropia planar. No

entanto, conforme pode ser observado na tabela 11, a configuração de vórtice apresenta uma

menor energia. Portanto, nem todos os discos estão na configuração de menor energia.

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80

Figura 63 – Imagem (a) topográfica e (b) magnética sem campo aplicado de 50x50 m2 mostrando círculos de 6

m de diâmetro.

Figura 64 – Imagem (a) topográfica e (b) magnética de 10x10 m2 mostrando círculos de 6 m de diâmetro, (c)

imagem simulada de MFM e (d) imagem de configuração de spin de dois domínios separados por um vórtice.

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Figura 65 – Imagem (a) topográfica e (b) magnética de 8x8 m2 mostrando círculos de 6 m de diâmetro, (c)

imagem simulada de MFM e (d) imagem de configuração de spin de três domínios.

Na figura 66 pode-se observar a evolução da configuração magnética do disco da

figura 65(b) em um campo magnético externo. Inicialmente (fig. 66(a) e 66(b)) a configuração

consiste em um vórtice. Com o aumento do campo o vórtice se desloca (fig. 66(c), 66(d) e

66(e)) levando ao aumento de um dos domínios e a redução do outro até esse domínio

desaparecer em um campo de 80 G quando a configuração magnética passa a ser um

monodomínio.

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Figura 66 – Imagens magnéticas de 10x10 m2 do disco da figura 63(b) com um campo magnético externo de

(a) 0 G, (b) 10 G, (c) 20 G, (d) 50 G, (e) 70 G e (f) 80 G. A seta indica a direção do campo

Para a configuração de 3 domínios da figura 65(b), a evolução com o campo pode ser

observada na figura 67. Nesse caso, com a aplicação do campo um dos domínios diminui

progressivamente até desaparecer em um campo de 100 G.

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83

Figura 67 – Imagens magnéticas de 10x10 m2 do disco da figura 64(b) com um campo magnético externo de

(a) 0 G, (b) 20 G, (c) 30 G, (d) 50 G, (e) 70 G e (f) 100 G. A seta indica a direção do campo

D. Discos de 8 m de diâmetro

Para os discos de 8 m de diâmetro, a imagem de MFM (fig. 68 (b)), apresentou duas

configurações diferentes. Em alguns discos, como o do canto superior direito, apresentam

uma faixa mais escura no centro, que parece indicar a presença de uma parede de domínio,

que divide o disco no meio em dois domínios. Um desses discos está na fig. 69(b) juntamente

com a imagem simulada de MFM para a configuração obtida para dois domínios separados

por um vórtice (fig. 69(c)). Em outros discos, como o do canto inferior esquerdo, é observada

a formação de domínios magnéticos no plano do disco, orientados preferencialmente em uma

direção. A fig. 70 apresenta uma imagem mais detalhada de um desses discos e também a

imagem simulada de MFM da configuração com 3 domínios. De forma similar aos discos de

6 m, essa configuração foi obtida nas simulações que começaram a partir de uma

configuração de spins aleatória e se deve a existência de uma anisotropia planar.

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Figura 68– Imagem (a) topográfica e (b) magnética sem campo aplicado de 50x50 m2 mostrando círculos de 8

m de diâmetro.

Figura 69 – Imagem (a) topográfica e (b) magnética de 12x12 m2 mostrando círculos de 8 m de diâmetro sem

campo aplicado, (c) imagem simulada de MFM e (d) imagem de configuração de spin dois domínios separados

por um vórtice.

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Figura 70 – Imagem (a) topográfica e (b) magnética de 15x15 m2 mostrando círculos de 8 m de diâmetro sem

campo aplicado, (c) imagem simulada de MFM e (d) imagem de configuração de spin de três domínios.

Na figura 71 está representada a evolução da configuração magnética da figura 69(b)

em um campo externo. Inicialmente são observados dois domínios de tamanhos similares (fig.

71(a)). A presença do campo faz com que um desses domínios aumente progressivamente até

que em um campo de 40 G (fig. 71(e)) só é observado um domínio.

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86

Figura 71 – Imagens magnéticas de 12x12 m2 do disco da figura 68(b) com um campo magnético externo de

(a) 0 G, (b) 10 G, (c) 20 G, (d) 30 G, (e) 40 G e (f) 100 G. A seta indica a direção do campo.

Para o disco com três domínios da fig. 70(b), a evolução em um campo magnético

externo está representada figura 72. A fig. 72(a) mostra a configuração na ausência do campo

em que é observado um domínio central ligeiramente desalinhado na direção horizontal.

Quando é aplicado um campo de 10 G na direção indicada pela seta, o domínio se alinha

nessa direção como pode ser observado na fig. 72(b). Quando é aplicado um campo de 20 G,

é observado um domínio central mais largo até que no final da imagem (na região esquerda, já

que a varredura foi realizada da direita para a esquerda) essa configuração muda. Quando é

realizada uma nova varredura com esse mesmo campo (fig. 72(d)) é possível observar que a

nova configuração apresenta uma parede de domínio que divide o disco em dois domínios.

Para um campo de 50 G (fig. 72(e)), essa parede se desloca para cima, aumentando o domínio

de baixo. Em um campo de 100 G (fig. 72(f)) a parede desaparece, o que indica que a

magnetização está saturada e o disco está em uma configuração de monodomínio.

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Figura 72 – Imagens magnéticas 15x15 m2 do disco da figura 69(b) com um campo magnético externo de (a) 0

G e (b) 10 G, (c) 20 G durante a mudança de configuração, (d) 20 G após a mudança, (e) 50 G e (f) 100 G. A

seta indica a direção do campo

4.3. ANÁLISE DOS RESULTADOS

Pelos dados de simulação obtidos para os discos de permalloy, o vórtice é a

configuração magnética mais estável para todos os tamanhos estudados. Isso pode ser

confirmado por resultados experimentais encontrados na literatura [3,5,27,28], em que foram

observados vórtices em discos de permalloy. Especialmente pelos trabalhos de Schneider et

al. [28] em que foram estudados discos com 20 nm de espessura e diâmetros entre 150 nm e 1

m e de Pulwey et al. [5] em que foram estudados discos com 21 nm de espessura e diâmetros

entre 200 nm e 2 m.

Em comparação com o permalloy, os discos de Co60Fe40, na faixa de diâmetros de 0,5

a 8 m, também apresentam o vórtice magnético como a configuração de menor energia.

Porém, a presença da anisotropia magnetocristalina gera um desvio na simetria circular do

vórtice levando ao aparecimento de duas regiões com spins orientados em sentidos opostos.

Essas regiões aumentam com o aumento do diâmetro até uma configuração em que parece

ocorrer a divisão em dois domínios, como pode ser observado na tabela 14. Também por

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88

causa da presença da anisotropia pode ocorrer uma divisão em três domínios, dependendo da

configuração inicial da simulação. Essa configuração possui energia muito maior do que o

vórtice para diâmetros menores, mas com o aumento do diâmetro a diferença de energia

diminui até 12% (11%) para os discos com diâmetros de 6 m (8 m). Os resultados obtidos

para as configurações que possuem os menores valores de energia (vórtice/dois domínios e

três domínios) estão sumarizados na tabela 14 e na figura 73. O desvio da simetria circular do

vórtice faz com que as imagens de MFM simuladas para os vórtices apresentem duas regiões

claras e duas regiões escuras intercaladas ao invés de apresentar apenas uma pequena região

central clara ou escura indicando a polaridade que é característica dos vórtices e foi obtida nas

simulações para o permalloy.

Figura 73 – Gráfico da energia para a configuração de spins de menor energia em discos de permalloy (Py) e

Co60Fe40 em função do diâmetro do disco. Valores obtidos por simulação numérica, conforme detalhes

apresentados no texto. A linha unindo os pontos é apenas um guia para os olhos.

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89

Tabela 14 – Configurações de spin de menor energia obtidas por simulação micromagnética.

Diâmetro (m) Permalloy - Vórtice Co60Fe40

Vórtice/2 domínios

Co60Fe40

3 domínios

0,5

1

2

4

6

8

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90

As medidas de MFM dos discos de Co60Fe40 com diâmetro de 2 e 4 m revelaram a

presença de vórtices com um contraste similar ao das imagens simuladas, confirmando assim

os resultados de simulação. Para os discos de 6 e 8 m foram observadas duas configurações:

vórtice/dois domínios e três domínios, o que indica que nem todos os discos estão na

configuração de menor energia. Isso é explicado pela pequena diferença de energia entre as

duas configurações que foi obtida através das simulações. Em ambos os casos as imagens

experimentais de MFM são similares às simuladas.

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91

5. DISCOS DE MULTICAMADAS COM EXCHANGE BIAS

Neste capítulo são descritos os resultados obtidos através de simulações

micromagnéticas para discos compostos por bicamadas, em que uma das camadas é

ferromagnética (Permalloy, Py – Ni80Fe20) e a outra antiferromagnética (Fe50Mn50).

Tipicamente este sistema apresenta acoplamento magnético dos spins na interface entre as

camadas ferromagnética e antiferromagnética, chamado efeito de exchange bias. Foram

simulados discos de 0,5 m de diâmetro e camadas de 20 nm de espessura. A configuração

dos spins na camada antiferromagnética foi mantida fixa segundo uma configuração de

vórtice magnético. Esta configuração equivale ao que é obtido experimentalmente quando os

discos são submetidos a um tratamento térmico do tipo Zero Field Cooling (ZFC), em que a

amostra é aquecida até uma temperatura maior do que a temperatura de Néel do Fe50Mn50 e

menor que a temperatura de Curie do Permalloy. Neste caso, uma configuração de vórtices

magnéticos é formada espontaneamente na camada ferromagnética enquanto que na camada

antiferromagnética os spins estão orientados aleatoriamente. Quando a amostra é resfriada na

ausência de campo magnético, a configuração dos spins na camada ferromagnética é impressa

nos spins da camada antiferromagnética próximos à interface, de forma que esses spins ficam

fixos na configuração de vórtice.

De acordo com Choe et al. [86] e Yuan et al. [87], filmes finos de Py/FeMn em que a

camada de Py possui 20 nm de espessura, apresentam uma curva de histerese com um

deslocamento de cerca de 50 G. Para determinar o valor do acoplamento magnético que gera

esse deslocamento, foram realizadas diversas simulações de curvas de histerese de retângulos

com dimensões de 1 0,2 m2 e espessuras de 20 nm em que a constante de acoplamento foi

variada até se obter uma curva com o deslocamento desejado. O deslocamento de 50 G foi

obtido na simulação com constante de acoplamento igual a 2,510-4

J/m2, cuja curva de

histerese está representada na figura 74. No entanto foi observada uma alta coercividade de

900 G enquanto que filmes para um filmes finos de Py/FeMn a coercividade é de cerca de 5

G. Essa diferença é explicada pelo fato de ter sido simulada uma microestrutura ao invés de

um filme contínuo. De acordo com resultados encontrados na literatura [88-90], curvas de

histerese de microestruturas apresentam um aumento drástico no valor da coercividade. De

acordo com Cowburn et al. [90] a curva de histerese apresenta uma dependência com a forma

e as dimensões da microestrutura, sendo que a coercividade de retângulos de superpermalloy

(Ni80Fe14Mo5) apresenta um aumento de cerca de duas ordens de grandeza (fig. 75(B) e fig.

75(D)) em relação a um filme não-estruturado do mesmo material (fig. 75(A)). Esse resultado

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92

é similar ao que foi obtido neste trabalho para retângulos de Py/FeMn em relação aos

resultados encontrados na literatura para filmes finos.

Figura 74 – Curva de histerese de um retângulo de Py(20 nm)/FeMn(20 nm) com dimensões de 10,2 m.

Figura 75 – Curvas de histerese de

estruturas de superpermalloy

(Ni80Fe14Mo5). (A) Filme contínuo com 6

nm de espessura, (B) Retângulos de

8040 nm2 e 10 nm de espessura, (C)

quadrados de 150x150 nm2 e 5 nm de

espessura, (D) retângulos de 300x150

nm2

e 3 nm de espessura, (E) triângulos

de 200 nm e 5 nm de espessura e (F)

pentágonos de 200 nm e 3 nm de

espessura [90].

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93

As simulações dos discos foram realizadas para seis valores diferentes da constante de

acoplamento magnético σ variando do valor máximo de 2,510-4

J/m2 até zero. Os valores

simulados foram 2,510-4

; 2,010-4

; 1,510-4

; 1,010-4

; 0,510-4

e 0 J/m2.

Experimentalmente, o acoplamento com valores menores do que o máximo pode ser obtido

acrescentando-se uma camada não-magnética entre o Py e o FeMn, com espessura apropriada.

5.1. SIMULAÇÕES DE CURVAS DE HISTERESE

A figura 76 apresenta as curvas de histerese obtidas a partir dos dados de simulação

numérica da configuração magnética em função do valor da constante de acoplamento

magnético. Essas simulações foram realizadas variando o campo entre +150 mT e –150mT,

com passos de 0,5 mT. Os valores dos campos de nucleação e aniquilação do vórtice foram

determinados a partir destas curvas de histerese. Como pode ser observado na figura 77 e na

tabela 15, os valores aumentam linearmente com o aumento do acoplamento, o que indica que

o acoplamento leva a um aumento da estabilidade do vórtice. O aumento dos valores dos

campo de nucleação e aniquilação devido ao exchange bias está de acordo com resultados

encontrados na literatura [29,65,66], no entanto não existe nenhuma análise de como esses

valores variam com a alteração da constante de acoplamento.

Tabela 15 – Campos de nucleação e aniquilação do vórtice.

Constante de acoplamento

magnético (10-4

J/m2)

Campo de Nucleação (mT) Campo de aniquilação

(mT)

0,0 3,5 67,0

0,5 18,0 73 ,0

1,0 25,5 80,0

1,5 33,0 86,5

2,0 41,0 93,0

2,5 47,0 99,5

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Figura 76 – Gráficos de histerese para discos de bicamadas permalloy/Fe50Mn50 com diferentes valores da

constante de acoplamento magnético .

Figura 77 – Campos de nucleação e aniquilação do vórtice.

5.2. SIMULAÇÕES DE RELAXAÇÃO

Em seguida foram realizadas simulações da dinâmica do vórtice. Para isso, foram

realizadas simulações em que o núcleo está inicialmente deslocado a uma distância de 100 nm

do centro do disco devido a aplicação de um campo magnético no plano do disco. Então esse

campo é retirado e o vórtice passa por um processo de relaxação, em que o núcleo realiza um

movimento girotrópico se aproximando do centro do disco. Nesse movimento, o núcleo

descreve uma órbita espiral em que o núcleo oscila com uma frequência caraterística e uma

amplitude decrescente. As simulações realizadas tiveram 1400 passos em que cada passo

representa um intervalo de 25 ps na evolução da magnetização, totalizando assim uma

simulação de 35 ns da dinâmica de relaxação.

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95

A simulação com o OOMMF fornece os valores da magnetização em função do tempo

de simulação. Um algoritmo no programa MATLAB é então utilizado para determinar a

posição do núcleo a partir dos valores de magnetização. Na figura 78 estão representados os

gráficos do deslocamento do vórtice na direção x em função do tempo para os diferentes

valores de acoplamento.

Figura 78 – Gráficos de relaxação para uma constante de acoplamento igual a – (a) 0 J/m2; (b) 0,5x10

-4 J/m

2;

(c) 1,0x10-4

J/m2; (d) 1,5x10

-4 J/m

2; (e) 2,0x10

-4 J/m

2 e (f) 2,5x10

-4 J/m

2.

Na ausência de acoplamento (fig. 78(a)), a frequência de oscilação do núcleo é

constante. Porém, nas simulações em que há um acoplamento entre as camadas ferro e

antiferromagnéticas, a frequência de oscilação aumenta com o tempo. Foram realizadas

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diversas tentativas de encontrar uma equação que proporcionasse um ajuste das curvas obtidas

nos gráficos de relaxação, porém não foi obtida nenhuma curva que fornecesse um bom

ajuste. Então, em cada um dos gráficos foi feito um ajuste de um cosseno amortecido no

começo e no final da simulação para determinar as frequências mínima e máxima de

oscilação. Assim, a curva oscila com uma frequência que aumenta progressivamente entre os

dois limites calculados. A equação que foi utilizada para o ajuste é:

(40)

onde X é o deslocamento em x, A é a amplitude máxima da oscilação, t é o tempo, t0 é a

constante de amortecimento, xc é o tempo de início do movimento e f é a frequência de

oscilação. Os valores obtidos para as frequências máxima e mínima estão na tabela 16, ambas

as frequências aumentam com o aumento do acoplamento. O objetivo de calcular esses

valores foi determinar os valores de frequência para realizar simulações em que o vórtice está

sujeito a um campo girante.

Tabela 16 – Frequências máximas e mínimas de oscilação do núcleo do vórtice.

Constante de

Acoplamento (10-4

J/m2)

Frequência Mínima

(GHz)

Frequência Máxima

(GHz)

0,0 0,359 0,359

0,5 0,457 0,581

1,0 0,561 0,849

1,5 0,681 1,140

2,0 0,858 1,449

2,5 0,978 1,690

5.3. SIMULAÇÕES DE CAMPO GIRANTE

A partir das frequências obtidas pelas simulações de relaxação foram realizadas

simulações em que o disco, inicialmente na configuração de vórtice com o núcleo no centro

do disco, está sujeito a um campo aplicado como descrito pela equação (30). Foram realizadas

simulações com campos de módulo igual a 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 e 12 mT. Em relação

à frequência, para cada valor de acoplamento foram realizadas simulações com quatro valores

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97

diferentes, variando entre os valores máximo e mínimo que foram obtidos nas simulações de

relaxação.

O objetivo dessas simulações é determinar o raio crítico em que ocorre a inversão da

polaridade do vórtice. Para isso, primeiramente é determinado o momento em que essa

inversão ocorre. A inversão aparece como uma descontinuidade no gráfico da magnetização

em função do tempo, conforme pode ser observado na figura 79. A inversão é indicada por

um círculo vermelho. Em seguida, calcula-se a posição do núcleo em função do tempo a partir

dos dados da simulação, utilizando um algoritmo no programa MATLAB. A figura 80

apresenta um exemplo dessa curva, que possui duas partes distintas, antes e após a inversão.

No entanto, devido a uma limitação do MATLAB, essa curva não permite determinar a

posição do núcleo no momento da inversão. Por isso, para determinar o valor do raio crítico, é

realizado o ajuste de uma curva de Boltzman na primeira parte da curva. Foi escolhida uma

curva de Bolzmann por que essa curva se ajusta com exatidão aos dados da simulação. O raio

crítico é então determinado pelo valor do ajuste de Boltzmann no instante em que ocorre a

inversão, que foi obtido pelo gráfico de magnetização.

Figura 79 – Gráfico da magnetização em função do tempo. O círculo vermelho indica o instante em que ocorreu

a inversão do vórtice.

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98

Figura 80 – Gráfico da posição do núcleo em função do tempo. A curva vermelha é um ajuste gaussiano para

determinar o raio crítico de inversão da polaridade do vórtice magnético.

Os valores obtidos para o raio crítico a partir das simulações encontram-se nas tabelas

17 a 22. Para cada valor da constante de acoplamento e frequência foi calculada a média do

raio crítico obtido a partir de cada campo simulado. A medida que σ e f aumentam, são

necessários campos maiores para que ocorra a inversão da polaridade do vórtice, apenas na

simulação com σ=0 a inversão ocorreu para todos os campos simulados.

Tabela 17 – Resultados das simulações com σ = 0 J/m2.

Campo (mT) Raio Crítico (nm)

f=0,359GHz

1 151,339236

2 143,99776

3 147,311122

4 148,036832

5 148,393964

6 148,266546

7 155,672122

8 142,930044

9 153,522994

10 147,71029

11 139,459746

12 147,616573

Média 148±4

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99

Tabela 18 – Resultados das simulações com σ = 0,510-4

J/m2.

Campo (mT) Raio Crítico (nm)

f=0,450GHz f=0,500GHz f=0,550GHz f=0,600GHz

2 127,695909 --- --- ---

3 128,718618 120,777158 --- ---

4 125,937899 119,700987 112,652729 ---

5 132,70506 125,522601 113,014465 108,612036

6 131,894447 127,680071 110,408555 114,107293

7 137,048228 125,86375 121,497269 108,930653

8 128,927905 124,588368 121,02029 108,146643

9 136,116015 128,67452 118,250579 108,615398

10 137,430541 123,937321 116,843415 108,352133

11 134,595676 123,898208 113,149803 111,183761

12 135,364905 121,619435 122,526321 121,752817

Média 132±4 124±3 117±4 111±4

Tabela 19 – Resultados das simulações com σ = 1,010-4

J/m2.

Campo (mT) Raio Crítico (nm)

f=0,550GHz f=0,650GHz f=0,750GHz f=0,850GHz

2 107,466055 --- --- ---

3 114,069336 --- --- ---

4 113,218005 100,395704 --- ---

5 107,831086 97,3162015 90,0710031 ---

6 106,761911 98,161753 96,0690913 ---

7 109,292137 96,9499523 89,8700997 ---

8 105,542955 96,7229562 92,8333616 83,7507004

9 109,214421 95,5047391 99,453785 85,0862388

10 109,176604 94,5645437 87,4735743 82,3959945

11 107,838822 100,544689 88,29961 80,1037502

12 109,202583 105,240369 97,0177263 86,1978895

Média 109±2 98±3 92±4 84±2

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Tabela 20– Resultados das simulações com σ = 1,510-4

J/m2.

Campo (mT) Raio Crítico (nm)

f=0,700GHz f=0,850GHz f=1,000GHz f=1,150GHz

3 92,5220778 --- --- ---

4 88,3717917 --- --- ---

5 93,9603514 81,752895 --- ---

6 91,7523746 84,4843894 --- ---

7 86,9053804 80,0178238 --- ---

8 86,7056119 82,5580455 70,9572196 ---

9 96,8252905 84,0126403 71,5310342 ---

10 88,487223 77,4987652 78,2766111 66,0094837

11 89,9155945 74,478268 75,6695115 68,8199419

12 92,6708002 83,2330359 76,9806393 68,1825633

Média 91±3 81±3 75±3 68±1

Tabela 21 – Resultados das simulações com σ = 2,010-4

J/m2.

Campo (mT) Raio Crítico (nm)

f=0,850GHz f=1,050GHz f=1,250GHz f=1,450GHz

3 80,1450808 --- --- ---

4 77,675464 --- --- ---

5 76,9646772 --- --- ---

6 78,6063746 66,331466 --- ---

7 81,3916648 69,1210031 --- ---

8 77,4742666 66,3123575 59,4623571 ---

9 81,6972409 69,3836609 62,5625123 ---

10 72,27273824 61,9638696 58,917888 ---

11 72,25689301 60,7656651 56,0220587 50,2241002

12 75,8458761 65,5153904 60,4036362 53,7883128

Média 77±3 66±3 59±2 52±2

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101

Tabela 22 – Resultados das simulações com σ = 2,510-4

J/m2.

Campo (mT) Raio Crítico (nm)

f=0,950GHz f=1,200GHz f=1,450GHz f=1,700GHz

3 72,9183866 --- --- ---

4 73,9433879 --- --- ---

5 74,2912901 --- --- ---

6 72,4656785 61,0039951 --- ---

7 70,1074617 62,076066 --- ---

8 67,1073547 60,9510428 --- ---

9 68,4085969 60,6297621 --- ---

10 75,740251 59,8201212 54,9145195 ---

11 67,8334713 57,803408 52,2464001 46,4648884

12 67,9197808 58,7230709 56,2219034 47,4679169

Média 71±3 60±1 54±2 47,0±0,5

A velocidade crítica em que a inversão aconteceu é determinada pelo produto entre a

frequência do campo e o raio crítico:

(41)

A tabela 23 apresenta os valores que foram calculados para a velocidade crítica através

da equação (41). Esses resultados também são mostrados na figura 81.

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102

Tabela 23 – Resultados da velocidade crítica.

Sigma (10-4

J/m2) Frequência (GHz) Velocidade Crítica (m/s)

0 0,359 334±9

0,5

0,450 373±11

0,500 390±9

0,550 404±14

0,600 418±15

1,0

0,550 377±7

0,650 406±12

0,750 434±19

0,850 449±11

1,5

0,700 400±13

0,850 433±16

1,000 471±19

1,150 491±7

2,0

0,850 411±16

1,050 435±20

1,250 463±16

1,450 474±18

2,5

0,950 424±18

1,200 454±8

1,450 494±18

1,700 502±5

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103

Figura 81 – Gráfico da dependência da velocidade crítica para a inversão do vórtice em função da frequência do

campo aplicado e do acoplamento magnético, de acordo com os resultados de simulação micromagnética

(detalhes no texto).

Os resultados das simulações mostram que a velocidade crítica aumenta com o

aumento do acoplamento e com o aumento da frequência do campo. Pode-se perceber pela

figura 81 que essa velocidade pode ser escolhida em uma ampla faixa apenas determinando os

valores adequados de acoplamento e frequência.

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104

6. CONCLUSÕES

Este trabalho teve como objetivo estudar como a anisotropia magnética altera as

propriedades de um vórtice magnético em nanoestruturas na forma de discos. Foram

estudados dois tipos de anisotropia: a anisotropia magnetocristalina e a polarização de troca

(exchange bias).

No primeiro caso, investigamos a influência da anisotropia magnetocristalina na

estabilidade da configuração de vórtice magnético. Para isso, foram realizadas simulações

numéricas da configuração dos spins em discos de permalloy, que possuem anisotropia

magnetocristalina nula e discos de Co60Fe40 que possuem anisotropia magnetocristalina

planar. Os discos estudados possuem diâmetros de 0,5, 1, 2, 4, 6 e 8 m. Os resultados das

simulações indicaram que, nos discos de permalloy, o vórtice é sempre a configuração

magnética de menor energia. Por outro lado, nos discos de Co60Fe40, a configuração

magnética de menor energia é uma estrutura similar ao vórtice, porém apresenta um desvio da

simetria circular devido ao aparecimento de duas regiões com spins orientados em sentidos

opostos. O aumento do diâmetro dos discos leva ao aumento dessas regiões o que origina uma

estrutura de dois domínios. Também é possível a divisão do disco em três domínios,

configuração que apresenta energia apenas ligeiramente superior. A diferença de energia entre

essas duas configurações diminui com o aumento do diâmetro: em discos de 6 m (8 m) a

diferença de energia é de apenas 12 % (11%). A partir desses resultados é possível concluir

que a presença da anisotropia favorece o alinhamento dos spins no plano e a divisão em

domínios, ou seja, a estabilidade do vórtice magnético é reduzida devido à anisotropia

magnetocristalina planar nos discos de Co60Fe40.

Os resultados obtidos através das simulações para os discos Co60Fe40 foram

confirmados através de medidas de MFM em discos com 2, 4, 6 e 8 m de diâmetro. Nos

discos com 2 e 4 m de diâmetro foram observados vórtices magnéticos similares aos obtidos

por simulação. Já nos discos com 6 e 8 m de diâmetro foram observadas duas configurações:

vórtice/dois domínios e três domínios. A existência dessas duas configurações pode ser

explicada pela pequena diferença em energia para os dois casos, como observado nos

resultados de simulação micromagnética.

O segundo caso estudado foi como o exchange bias altera as propriedades dinâmicas

dos vórtices magnéticos. Foram realizadas simulações micromagnéticas de discos de 0,5 m

de diâmetro compostos por bicamadas Py/Fe50Mn50 em que cada camada possui 20 nm de

espessura. O Fe50Mn50 apresenta uma configuração de vórtice magnético com spins fixos

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105

devido ao exchange bias. Esse sistema apresenta um acoplamento magnético dos spins na

interface entre as camadas. Foram realizadas simulações com seis valores diferentes da

constante de acoplamento magnético : 2,510-4

; 2,010-4

; 1,510-4

; 1,010-4

; 0,510-4

e 0

J/m2. Essas simulações envolveram três aspectos: curvas de histerese, relaxação e campo

girante.

Através da simulação de curvas de histerese da camada de Py, foi observado que os

valores dos campos de nucleação e aniquilação de vórtices nessa camada aumentam

linearmente com o aumento do acoplamento magnético. A partir disso é possível concluir que

o acoplamento magnético leva a um aumento da estabilidade de vórtices, o que está de acordo

com resultados da literatura. Isso pode ser explicado pela presença de um vórtice magnético

fixo na camada de Fe50Mn50 que induz a configuração de vórtice na camada de Py, levando a

um aumento do campo magnético necessário para modificar a configuração magnética.

No estudo da relaxação do vórtice, foi considerada uma configuração inicial em que o

núcleo do vórtice da camada de Py está inicialmente deslocado a uma distância de 100 nm do

centro do disco, devido à aplicação de um campo magnético no plano do disco. Após esse

campo ser retirado, o vórtice passa por um processo de relaxação, em que o núcleo realiza um

movimento girotrópico se aproximando do centro do disco em uma órbita espiral. Essa órbita

apresenta uma frequência característica e uma amplitude decrescente. Na ausência de

acoplamento, essa frequência é constante. Porém a presença do acoplamento magnético faz

com que a frequência varie, aumentando com o tempo. Como durante a simulação o núcleo se

aproxima do centro do disco, isso significa que a frequência de oscilação aumenta com a

redução da distância entre o núcleo e o centro do disco. Uma possível explicação seria a

presença de vórtice na camada de Fe50Mn50, fixo no centro do disco. O núcleo desse vórtice

exerce uma força de atração no núcleo do vórtice na camada ferromagnética. A força aumenta

com a aproximação dos dois, vórtices levando a um aumento da frequência de oscilação. Nas

simulações também foi observado que os valores obtidos para as frequências máxima e

mínima de oscilação aumentam com o aumento do acoplamento magnético.

O último aspecto analisado foi o comportamento dos discos de Py/Fe50Mn50 na

presença de um campo magnético girante. Foram realizadas simulações com campos

magnéticos de módulo igual a 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 e 12 mT e com quatro valores de

frequência, variando entre os valores máximo e mínimo que foram obtidos nas simulações de

relaxação. Nessas simulações a camada de Py apresenta uma configuração de vórtice em que

o núcleo inicialmente está no centro do disco. O campo girante faz com que o núcleo do

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106

vórtice inicie um movimento girotrópico em espiral, se afastando do centro do disco até que a

distância do núcleo em relação ao centro do disco atinge um valor limite, chamado raio

crítico, em que ocorre a inversão da polaridade do vórtice. Nas simulações, foram obtidos os

valores dos raios críticos para cada valor de acoplamento e de frequência de oscilação do

campo. Em cada caso, foi calculada a velocidade crítica em que ocorre a inversão, a partir do

produto entre o raio crítico e a frequência de oscilação. Os resultados das simulações

mostraram um aumento da velocidade crítica com o aumento do acoplamento magnético e da

frequência do campo. Assim, o exchange bias permite um controle da velocidade crítica de

inversão da polaridade de um vórtice magnético em uma ampla faixa de valores uma vez que

é possível selecionar essa velocidade a partir dos valores de acoplamento magnético e

frequência de oscilação do campo. Esse resultado é inédito já que não existe na literatura

nenhum estudo envolvendo a dinâmica de vórtices com exchange bias e também não existe

nenhum estudo em que é obtido controle similar da velocidade crítica.

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107

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[56] S. Sugimoto et al., Phys. Rev. Lett. 106, 197203 (2011).

[57] J. Shibata, K. Shigeto and Y. Otani, Phys. Rev. B 67, 224404 (2003).

[58] D.H. Kim et al., J. of Mater. Chem. 21, 8422 (2011).

[59] F. Montoncello and F. Nizzoli, J. Appl. Phys. 107, 023906 (2010).

[60] R.D, Gomez et al., J. Appl. Phys. 85, 4598 (1999).

[61] Yu. P. Ivanov et al, Phys. Solid State 52, 1694 (2010).

[62] Z J Yan et al, J. Phys. D: Appl. Phys. 44, 185002 (2011).

[63] F. Nasirpouri, A. Nogaret and S. J. Bending, IEEE Trans. Magn. 47, 4695 (2011).

Page 109: Comissão Nacional de Energia Nuclear CENTRO DE … · Porém, próximo ao centro do disco a densidade da energia de troca é muito alta tornando mais favorável aos momentos magnéticos

109

[64] J. Sort et al., Phys. Rev. Lett. 95, 067201 (2005).

[65] J. Sort et al., Appl. Phys. Lett. 88, 042502 (2006).

[66] M. Tanase et al., Phys. Rev. B 79, 014436 (2009).

[67] M. J. Donahue and D. G. Porter, http://math.nist.gov/oommf/

[68] M. J. Donahue and D. G. Porter, OOMMF User's Guide, Version 1.2a3, National

Institute of Standards and Technology (Gaithersburg, 2010).

[69] M. Geissler and Y. Xia, Adv. Mater. 16, 1249 (2004).

[70] T. Ito and S. Okazaki, Nature 406, 1027 (2000).

[71] R. P. Seisyan, Tech. Phys. 56, 1061 (2011).

[72] E. Forsén et al., Microelectron. Eng. 73-74, 491 (2004).

[73] http://www.microtechweb.com/

[74] T.K.S. Wong et al., Mater. Sci. Eng., B 55, 71 (1998).

[75] Positive Lift Off Resist LOR10B Spec Sheet 2, http://www.nanofab.utah.edu/ProcessInformation

[76] K. Wasa, M. Kitabatake and H. Adachi, Thin Film Materials Technology: Sputtering of

Compound Materials, William Andrew (2004).

[77] G. Binnig, H. Rohrer, Ch. Gerber, and E. Weibel, Phys. Rev. Lett. 49, 57 (1982)

[78] V.L. Mironov, Fundamentals of Scanning Probe Microscopy, The Russian Academy of

Sciences Institute of Physics of Microstructures (Nizhniy Novgorod, 2004).

[79] G. Binnig, C.F. Quate and Ch. Herber, Phys. Rev. Lett 56, 930 (1986).

[80] J.M. García-Martín et al., J. Phys. D: Appl. Phys. 37, 965 (2004).

[81] NTEGRA Aura Probe NanoLaboratory Instruction Manual, NT-MDT (2006).

[82] M. Jaafar et al., Ultramicroscopy 109, 693 (2009).

[83] M. Ozel, Eur. Phys. J. B 27, 161 (2002).

[84] S. McVitie et al., J. Appl. Phys. 90 (10), 5220 (2001).

[85] M. Barthelmess et al., J. Appl. Phys. 95 (10), 5641 (2004).

[86] G. Choe and S. Gupta, IEEE Trans. Magn. 33, 3691 (1997).

[87] S.J. Yuan, Y.X. Sui and S.M. Zhou, Eur. Phys. J. B 44, 557 (2005).

[88] O. Fruchart et al. Phys. Rev. B 57 (4), 2596 (1998).

[89] J.P. Jamet et al., Phys. Rev. B 57 (22), 14320 (1998).

[90] R. P. Cowburn, Europhys. Lett. 48 (2), 221 (1999).

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110

ANEXO I – Exemplo de um arquivo OMF de entrada para as simulações

# MIF 2.1

# MIF

set pi [expr 4*atan(1.0)]

set mu0 [expr 4*$pi*1e-7]

set alpha 0.5 Definição de constantes que

set t_Co60Fe40 20e-9 serão utilizadas na simulação set diameter 2e-6

proc Ellipse { Ms x y z } {

set xrad [expr {2.*$x - 1.}]

set yrad [expr {2.*$y - 1.}] Determinação da geometria set test [expr {$xrad*$xrad+$yrad*$yrad}]

if {$test>1.0} {return 0}

return $Ms

}

Specify Oxs_BoxAtlas:atlas [subst {

xrange {0 $diameter} Determinação das

yrange {0 $diameter} dimensões zrange {0 $t_Co60Fe40}

}]

Specify Oxs_RectangularMesh:mesh [subst {

cellsize {4e-9 4e-9 $t_Co60Fe40} Determinação da

atlas :atlas célula de interação }]

Specify Oxs_UniaxialAnisotropy {

axis { 1 0 0 }

K1 -30E3

}

Specify Oxs_UniformExchange {

A 30e-12

} Determinação dos

termos de energia Specify Oxs_LinearScalarField:zheight {

vector {0 0 1}

norm 1.0

}

Specify Oxs_Demag {}

Specify Oxs_RungeKuttaEvolve:evolve [subst {

alpha $alpha Definição da dinâmica

start_dm 0.01 da simulação }]

Specify Oxs_TimeDriver [subst {

basename circulo2_Co60Fe40_20_uniform_x

vector_field_output_format {text %#.17g}

evolver :evolve

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111

mesh :mesh

stopping_dm_dt 0.10 Definição do critério

stage_count 0 conclusão da simulação

Ms { Oxs_ScriptScalarField { atlas :atlas Definição da

script {Ellipse 1600E3} } } magnetização de saturação

m0 { 1 0 0 } Definição da configuração

checkpoint_cleanup done_only inicial normalize_aveM_output 1

}]

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112

ANEXO II – Arquivo do MATLAB para simulação de imagem de MFM

clear all;

format short;

OmfDir = 'C:\Users\fnac\%colocar a localizacao do arquivo%';

Files = dir([OmfDir '\%colocar o nome do arquivo%.omf']);

a = 1; %a corresponde ao numero de linhas do cabecalho do arquivo omf

while strcmp(DimFile(a),'# Begin: Data Text')==0

a=a+1;

disp(a);

end

Header1 = char(DimFile(1:a)); %cabecalho do arquivo omf

b = 1;

posnode = 1;

LengthHeader = size(Header1,2); %numero maximo de caracteres que existe no

cabcalho do aquivo omf

for n = 1:a

if (strcmp(Header1 (n, 1:8), '# xnodes') ~= 0)

posnode = n;

for i = 1:3

Nodes(:,i) = str2double(Header1(i+n-1, 10:LengthHeader));

%determina o numero de celulas em cada dimensao

StepSize(:,i) = str2double(Header1(i+2+n, 13:LengthHeader));

%determina o tamanho da celula em cada dimensao

end;

end;

if (strcmp(Header1 (n, 10:31), 'Total simulation time:') ~= 0)

T = n; %determina a linha do cabecalho que contem o tempo de

simulacao

end;

end;

LayerLength = Nodes(1)*Nodes(2); %determina a area da amostra - numero de

celulas em x vezes o em y

dimX = Nodes(1);

dimY = Nodes(2);

%xnodes eh o numero de celulas em x

xnodes = Nodes(1);

ynodes = Nodes(2);

znodes = Nodes(3);

Data = DimFile';

B = size(Data,1);

Matriz = Data(a+1:B-2,:);%Data contem apenas os dados do arq oommf sem o

cabecalho e sem as linhas finais

tam = size(Matriz,1);%tam eh o numero de linhas de Matriz(apenas dados)

xstepsize = StepSize(1);

ystepsize = StepSize(2);

zstepsize = StepSize(3);

for a=1:tam;

%ta na primeira linha

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113

linha = cell2mat(Matriz(a));

%linha contem os dados do OOMMF(-0.000 0.000 0.000)

%agora, queremos separar os valores em 3 colunas(mx, my, mz)

b=0;%reinicializa b, pois ele vai somar em todas as linhas

tam_linha = size(linha,2);

for z = 1:tam_linha

compara = strcmp(linha(z),' ');

b=b+compara;

if compara ==1

comeco(b)=z;%comeco vai guardar o comeco de mx, my e mz

end

end

mx(a) = str2num(linha(comeco(1)+1:comeco(2)-1));

my(a) = str2num(linha(comeco(2)+1:comeco(3)-1));

mz(a) = str2num(linha(comeco(3)+1:tam_linha));

end

%mx, my e mz sao as colunas de magnetizacao do arquivo omf

%nx e ny são o numero de celulas na direcao x e y

nx = xnodes;

ny = ynodes;

nz = znodes;

num_lin = size(mx,2)/nz;

col_mx = mx(:,1:num_lin);

Matriz_mx = reshape(col_mx,nx,ny);

%Matriz_mx eh feita para que mx seja distribuido da mesma forma que a

amostra real

col_my = my(:,1:num_lin);

Matriz_my = reshape(col_my,nx,ny);

col_mz = mz(:,1:num_lin);

Matriz_mz = reshape(col_mz,nx,ny);

%nesta parte desejamos plotar mz e as posicoes x e y

%o tamanho do vetor mz eh (size(mx,2)/nz), o que no nosso caso eh

1e4(nx.ny)

%entao nos temos que criar um vetor que varie de

%0:nx, 0:nx... ny vezes(coluna x) e outro que va em passos(coluna y).

%coluna x - o tamanho deve ser nx.ny

enao = nx*ny;

posicao_x = zeros(enao,1);

posicao_y = zeros(enao,1);

salto = nx;%pula para a proxima linha de varredura da amostra (coordenada

x)

for jj=1:ny

for xx=1:nx

posicao_x(xx + salto,1) = xstepsize*0.5*(2*xx - 1);

posicao_y(xx + salto,1) = ystepsize*0.5*(2*jj - 1);

end

end

%% Comeco dos calculos

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xstep = xstepsize;

ystep = ystepsize;

Z0=100e-9;%distancia entre a ponta e a amostra

Mx = 0;

My = 0;

Mz = 1;

%Mx, My e Mz são as componentes em x, y e z da magnetização da ponta

X = ones(nx,ny);

Y = ones(nx,ny);

for i = 1 : nx

for j = 1 : ny

X(i,j) = xstep*(i-nx/2);

Y(i,j) = ystep*(j-ny/2);

end

end

f1=X.*(105./(X.^2+Y.^2+Z0^2).^(9/2)*Z0^3 ...

-45./(X.^2+Y.^2+Z0^2).^(7/2)*Z0);

f2=Y.*(105./(X.^2+Y.^2+Z0^2).^(9/2)*Z0^3 ...

-45./(X.^2+Y.^2+Z0^2).^(7/2)*Z0);

f3=Z0*(105./(X.^2+Y.^2+Z0^2).^(9/2)*Z0^3 ...

-45./(X.^2+Y.^2+Z0^2).^(7/2)*Z0) ...

-45./(X.^2+Y.^2+Z0^2).^(7/2).*Z0.^2 ...

+ 9./(X.^2+Y.^2+Z0^2).^(5/2);

dFz=f3+f2+f1;

max_matr = max(max(dFz));

min_matr = min(min(dFz));

dFz = (dFz-min_matr)/(max_matr-min_matr);

x = xstepsize:xstepsize:(nx*xstepsize);

y = ystepsize:ystepsize:(ny*ystepsize);

[X,Y] = meshgrid(x,y);

xlabel('x(nm)','fontsize',12,'fontweight','b')

ylabel('y(nm)','fontsize',12,'fontweight','b')

zlabel('dFz','fontsize',12,'fontweight','b')

%propriedades da figura

axis([0 (dimX*xstepsize) 0 (dimY*ystepsize) -1 1 ]);

shading interp;

colorbar;

a1 = fft2(f1);

b1 = fft2(Matriz_mx);

a2 = fft2(f2);

b2 = fft2(Matriz_my);

a3 = fft2(f3);

b3 = fft2(Matriz_mz);

c1 = b1.*a1;

c2 = b2.*a2;

c3 = b3.*a3;

A = real(ifft2(c1+c2+c3));

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B = [[A; A] [A; A]];

dFz =

B(fix(xnodes/2+2):fix(3*xnodes/2+1),fix(ynodes/2+2):fix(3*ynodes/2+1));

%esta parte serve para normalizar dFz, do contrário o contraste fica ruim

max_matr = max(max(dFz));

min_matr = min(min(dFz));

if (dFz >= 0)

dFz = (dFz)/(max_matr);

else

dFz = (dFz)/(-min_matr);

end;

%parece que dFz esta invertido. Entao eh calculada a matriz transposta

dFz=dFz';

figure(1);

imshow(dFz,[-1 1]);%gera uma imagem com uma escala em cinza de dFz -

imagem de MFM

figure(2);

surf(Matriz_mz);%gera um grafico 3D de mz

figure(3)

surf(dFz); %gera um grafico 3D de dFz

figure(4)

contourf(X,Y,dFz);%gera um grafico de contorno de dFz

colorbar('location','eastoutside');

xlabel('x(nm)','fontsize',12,'fontweight','b')

ylabel('y(nm)','fontsize',12,'fontweight','b')