COLÉGIO PEDRO II - CAMPUS SÃO CRISTÓVÃO III APROFUNDAMENTO DE MATEMÁTICA – 2014

PROFESSORES: MARIA HELENA / WALTER TADEU

AULA 5: Trigonometria

RESUMO

Triângulo Retângulo: Diversas aplicações trigonométricas relacionam-se os comprimentos dos lados de

um triângulo recorrendo a determinadas relações dependentes de ângulos internos. Assim, apresentam-se de seguida algumas relações trigonométricas com esse fim.

a) Seno de : É o quociente do comprimento do cateto oposto ao ângulo

pelo comprimento da hipotenusa do triângulo, ou seja,

h

y

hipotenusa

oposto cateto)(sen .

b) Cosseno de : É o quociente do comprimento do cateto adjacente ao

ângulo pelo comprimento da hipotenusa do triângulo, ou seja,

h

x

hipotenusa

adjacente cateto)cos( .

c) Tangente de : É o quociente dos comprimentos do cateto oposto pelo

cateto adjacente, ou seja,

x

y

x

h

h

y

h/x

h/y

adjacente cateto

oposto cateto)tan( .

Relação fundamental da trigonometria: 1h

y

h

xhyx

2

2

2

2222 .

Ângulos notáveis: Podemos determinar seno, cosseno e tangente de alguns ângulos. Esses ângulos chamados de notáveis são: 30°, 45° e 60°. A partir das definições de seno, cosseno e tangente, vamos determinar esses valores para os ângulos notáveis. Considere um triângulo equilátero de lado l e um quadrado de lado l.

ARCOS NA CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA

RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NO CÍRCULO

Observe as semelhanças nos triângulos sombreados à esquerda e direita. As razões serão apresentadas sempre dos lados opostos aos ângulos congruentes partindo do Triângulo OAP.

Tangente

Cotangente

Secante

Cossecante

Resumo das propriedades das principais funções trigonométricas

Seno de x: Função ímpar, positiva no 1º e 2º Quadrantes, negativa no 3º e 4º Quadrantes.

Monotonia: crescente no 1º e 4º Quadrantes, decrescente no 2º e 3º Quadrantes.

Domínio: ] –∞ , +∞ [

Imagem: [–1 ; +1]

Período: 2

Cosseno de x: Função par, positiva no 1º e 4º Quadrantes, negativa no 2º e 3º Quadrantes.

Monotonia: crescente no 3º e 4º Quadrantes, decrescente no 1º e 2º Quadrantes.

Domínio: ] –∞ , +∞ [.

Imagem: [–1 ; +1].

Período: 2

Tangente de x: Função ímpar, estritamente crescente em todo o domínio. Positiva no 1º e 3º Quadrantes, negativa no 2º e 4º Quadrantes.

Domínio: IR-{k+/2, k = 0, ±1, ±2,...}.

Imagem: ]–∞ ,+∞[.

Período: .

Cotangente de x: Função ímpar, estritamente decrescente em todo o domínio. Positiva no 1º e 3º Quadrantes, negativa no 2º e 4º Quadrantes.

Domínio: IR-{k, k = 0, ±1, ±2,...}.

Imagem:] –∞ , +∞ [.

Período: .

Secante de x: Função par , positiva no 1º e 4º Quadrantes, negativa no 2º e 3º Quadrantes. Os sinais seguem os da função f(x) = cos x.

Monotonia: crescente no 1º e 2º Quadrantes, decrescente no 3º e 4º Quadrantes.

Domínio: IR-{k+/2, k = 0, ±1, ±2,...}.

Imagem: ]–∞ , -1] U [1, +∞[ ou IR- ]-1, 1[

Período: 2.

Cossecante de x: Função ímpar, positiva no 1º e 2º Quadrantes, negativa no 3º e 4º Quadrantes.

Monotonia: crescente no 2º e 3º Quadrantes, decrescente no 1º e 4º Quadrantes.

Domínio: IR-{k, k = 0, ±1, ±2,...}.

Imagem: ]–∞ , -1] U [1, +∞[ ou IR- ]-1, 1[

Período: 2 OBS: Uma função é par se f(-x) = f(x) e ímpar se f(-x) = - f(x).

Fórmulas de adição e subtração

Sejam OA e OB dois vetores com origem no ponto O e

extremidade no ponto A e B, respectivamente, e que fazem ângulos

e com o eixo dos X, respectivamente.

Os triângulos assinalados são semelhantes e temos as relações:

i)

cos.senDE

cosOE)1OB(OB

OEcos

sen.OEDEOE

DEsen

ii)

cos.senBF

cos.BEBFBE

BF

OE

ODcos

senBE)1OB(OB

BEsen

iii)

cos.sencos.sen)(sen

DEBFBC)DEFC(FCBFBC

)(senBC)1OB(OB

BC)(sen

Para calcular o seno da diferença, basta utilizar o fato que: sensen )( e cos)cos( .

Temos: cos).(sencos.sencos).(sen)cos(.sen))((sen)(sen .

Para calcular a fórmula para o cosseno da soma, observamos na figura que:

i)

cos.cosOD

cosOE)1OB(cosOBOE

cos.OEOD

ii)

sen.senCD

senBE

sen.BECDsenBE

CD)FECD(

BE

FEsen

.

Logo,

sen.sencos.cos)cos(

FEODOC)FECD(CDODOC

)cos(OC)1OB(OB

OC)cos(

.

Temos: sen.sencos.cossen).(sen)cos(.cos))(cos()cos( .

Para o cálculo de )tg( dividindo )( sen e )cos( por )cos.(cos :

i)

tgtg1

tgtg

cos.cos

sen.sen

cos.cos

cos.cos

cos.cos

cos.sen

cos.cos

cos.sen

sen.sencos.cos

cos.sencos.sen)tg( .

ii)

tgtg1

tgtg

cos.cos

sen.sen

cos.cos

cos.cos

cos.cos

cos.sen

cos.cos

cos.sen

sen.sencos.cos

cos.sencos.sen)tg( .

iii)

2tg1

tg2

tgtg1

tgtg

sen.sencos.cos

cos.sencos.sen)2tg()tg(,Se .

OUTRAS FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS

Fórmulas de duplicação Fórmulas de bissecção

cos.sen22sen

2

cos1)2/(sen

22 sencos2cos 2

cos1)2/cos(

2tg1

tg2)2(tg

cos1

cos1)2/(tg

Fórmulas de transformação

2cos

2sen2sensen

2cos

2sen2sensen

2cos

2cos2coscos

2sen

2sen2coscos

coscos

)(sentantan

coscos

)(sentantan

Exercícios Resolvidos

1) Simplifique a expressão: cos(x + y).cos y + sen(x + y).sen y

Solução. Desenvolvendo as operações de acordo com as relações fundamentais e simplificando, temos:

xcosseny)yx(senycos)yxcos(

.xcos)yseny(cosxcosxcosysenysenycossenxycossenxsenyycosxcos

seny.xcossenyycossenxycos.senxsenyycosxcosseny)yx(senycos)yxcos(2222

.

2) Calcule o valor: a) cos 105º b) tg 75º

Solução. Aplicando as fórmulas da soma e diferenças de arcos, temos:

a) 4

62

2

2.

2

3

2

2.

2

1º45senº60senº45cosº60cos)º45º60cos()º105cos(

.

b) 2339

3369

33

33.

3

33

3

33

)1.(3

31

13

3

º45tgº.30tg1

º45tgº30tg)º45º30(tg)º75(tg

.

3) Sendo senx = 4/5 e cosy = 12/13, em 0 x /2 e 0 y /2, determine: a) sen (x + y) b) tg (x – y)

Solução. Sabendo que sen2x + cos2x = 1, calculamos as raízes positivas de cosx e seny.

i) 5

3

25

9

25

1611cos 2 xsenx ii)

13

5

169

25

169

1441cos1 2 yseny .

a) 65

63

65

1548

5

3.

13

5

13

12.

5

4coscos)(

xsenyysenxyxsen .

b) 56

33

56

65.

65

33

65

5665

33

)yxcos(

)yx(sen)yx(tg

.

QUESTÕES

1. (UERJ) Um holofote está situado no ponto A, a 30 metros de altura, no alto de uma torre perpendicular ao plano do chão. Ele ilumina, em movimento de vaivém, uma parte desse chão, do ponto C ao ponto D, alinhados à base B, conforme demonstra a figura a seguir. Se o ponto B dista 20 metros de C e 150 metros de D,

a medida do ângulo CÂD corresponde a:

a) 60° b) 45° c) 30° d) 15°

2. (UERJ) Observe a bicicleta e tabela trigonométrica. Os centros das rodas estão a uma distância PQ igual

a 120cm e os raios PA e QB medem

respectivamente 25cm e 52cm. De acordo com a tabela, qual o valor do

ângulo POA

?

a) 10º b) 12º c) 13º d) 14º

3. (ENEM) Considere um ponto P em uma circunferência de raio r no plano cartesiano. Seja Q a projeção ortogonal de P sobre o eixo X, como mostra a figura, e suponha que o ponto P percorra, no sentido anti-

horário, uma distância rd sobre a circunferência. Então o ponto Q percorrerá, no eixo X, uma distância

dada por:

a)

r

dsenr 1 b)

r

dr cos1 c)

r

dtgr 1 d)

r

dsenr. e)

r

dr cos.

4. (UERJ) Considere o triângulo ABC mostrado, onde os ângulos A, B e C estão em progressão aritmética crescente. Determine os valores de cada um desses ângulos, respectivamente, sabendo que:

a) 2

33senCsenBsenA

; b) BC.2AB .

5. Considere um relógio cujo ponteiro maior mede 3 e determina um círculo centrado na origem de um

referencial cartesiano ortogonal. No instante em que o relógio marcar exatamente 3h10min, a extremidade do ponteiro maior estará indicando o ponto cujas coordenadas são:

a)

2

3,

2

3 b)

2

3,

4

3 c)

4

3,

2

3 d)

2

3,

2

3

6. (UERJ) Alguns cálculos matemáticos ficam mais simples quando usamos identidades, tais como:

a2 – b2 = (a + b)(a – b); a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 e a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2)

Considerando essas identidades, calcule o valor numérico racionais mais simples da expressão:

º15senº15cos 66 .

7. (FUVEST) No triangulo acutâgulo ABC, ilustrado na figura, o comprimento do lado

BC mede 5

15 , o ângulo interno de vértice C mede α, e o angulo interno de vértice B

mede α/2. Sabe-se, também, que 2cos(2α) + 3cosα + 1 = 0.

Nessas condições, calcule: a) o valor de senα; b) a medida do lado AC.

8. (UERJ) Considere o ângulo segundo o qual um observador vê uma torre. Esse ângulo duplica quando ele se aproxima 160m e quadruplica quando ele se aproxima mais 100m, como mostra o esquema: A altura da torre, em metros, equivale a:

a) 96

b) 98

c) 100

d) 102

9. (UERJ) O preço dos produtos agrícolas oscila de acordo com a safra de cada um: mais baixo no período da colheita, mais alto na entressafra. Suponha que o preço aproximado P, em reais, do quilograma de

tomates seja dado pela função 7,2101t.360

2sen.8,0)t(P

na qual t é o número de dias contados de

1º de janeiro até 31 de dezembro de um determinado ano. Para esse tempo, calcule:

a) o maior e o menor preço do quilograma de tomates;

b) os valores t para os quais o preço P seja igual a R$3,10.

10. (UERJ Se α, β e α + β são três ângulos diferentes de Zk,k2

, então

tg.tg1

tgtgtg .

Se a, b e c são três ângulos agudos, sendo 2tgb e 5

4cbatg , calcule cbatg .

11. (UERJ) A imagem mostra uma pessoa em uma asa-delta. O esquema abaixo representa a vela da asa-delta, que consiste em dois triângulos isósceles ABC e ABD congruentes, com AC = AB = AD. A medida de AB corresponde ao comprimento da quilha. Quando esticada em um plano, essa vela forma um ângulo

CÂD = 2. Suponha que, para planar, a relação ideal seja de

10dm2 de vela para cada 0,5kg de massa total. Considere, agora, uma asa-delta de 15kg que planará com uma pessoa de 75kg. De acordo com a relação ideal, o comprimento da quilha, em metros, é igual à raiz quadrada de:

a) 9 cos b) 18 sen c) cos

9 d) sen

18

12. (UERJ) Um ciclista pedala uma bicicleta em trajetória circular de modo que as direções dos deslocamentos das rodas mantêm sempre um ângulo de 60°. O diâmetro da roda traseira dessa bicicleta é igual à metade do diâmetro de sua roda dianteira. O esquema a seguir mostra a bicicleta vista de cima em um dado instante do percurso. Admita que, para uma volta completa da bicicleta, N1 é o número de voltas dadas pela roda traseira e N2 o número de voltas dadas pela roda dianteira em torno de seus respectivos eixos de rotação.

A razão

2

1

N

Né igual a:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4

13. (UERJ) Uma máquina possui duas engrenagens circulares, sendo a distância entre seus centros A e B igual a 11cm, como mostra o esquema.Sabe-se que a engrenagem menor dá 1000 voltas no mesmo tempo em que a maior dá 375 voltas, e que os comprimentos dos dentes de ambas têm valores desprezíveis. A medida, em centímetros, do raio da engrenagem menor equivale a:

a) 2,5 b) 3,0 c) 3,5 d) 4,0

Respostas: 1) b; 2) c; 3) b; 4) 30º, 60º e 90º; 5) d; 6)

16

13 ; 7) a)

4

15 ; b)

15

152 8) a; 9) a) maior:R$3,50; menor: R$1,90 ; b) 131 ou

251 dias; 10) – 32; 11) d; 12) a; 13) b;