COLÉGIO PEDRO II - CAMPUS SÃO CRISTÓVÃO III APROFUNDAMENTO DE MATEMÁTICA – 2014
PROFESSORES: MARIA HELENA / WALTER TADEU
AULA 5: Trigonometria
RESUMO
Triângulo Retângulo: Diversas aplicações trigonométricas relacionam-se os comprimentos dos lados de
um triângulo recorrendo a determinadas relações dependentes de ângulos internos. Assim, apresentam-se de seguida algumas relações trigonométricas com esse fim.
a) Seno de : É o quociente do comprimento do cateto oposto ao ângulo
pelo comprimento da hipotenusa do triângulo, ou seja,
h
y
hipotenusa
oposto cateto)(sen .
b) Cosseno de : É o quociente do comprimento do cateto adjacente ao
ângulo pelo comprimento da hipotenusa do triângulo, ou seja,
h
x
hipotenusa
adjacente cateto)cos( .
c) Tangente de : É o quociente dos comprimentos do cateto oposto pelo
cateto adjacente, ou seja,
x
y
x
h
h
y
h/x
h/y
adjacente cateto
oposto cateto)tan( .
Relação fundamental da trigonometria: 1h
y
h
xhyx
2
2
2
2222 .
Ângulos notáveis: Podemos determinar seno, cosseno e tangente de alguns ângulos. Esses ângulos chamados de notáveis são: 30°, 45° e 60°. A partir das definições de seno, cosseno e tangente, vamos determinar esses valores para os ângulos notáveis. Considere um triângulo equilátero de lado l e um quadrado de lado l.
ARCOS NA CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NO CÍRCULO
Observe as semelhanças nos triângulos sombreados à esquerda e direita. As razões serão apresentadas sempre dos lados opostos aos ângulos congruentes partindo do Triângulo OAP.
Tangente
Cotangente
Secante
Cossecante
Resumo das propriedades das principais funções trigonométricas
Seno de x: Função ímpar, positiva no 1º e 2º Quadrantes, negativa no 3º e 4º Quadrantes.
Monotonia: crescente no 1º e 4º Quadrantes, decrescente no 2º e 3º Quadrantes.
Domínio: ] –∞ , +∞ [
Imagem: [–1 ; +1]
Período: 2
Cosseno de x: Função par, positiva no 1º e 4º Quadrantes, negativa no 2º e 3º Quadrantes.
Monotonia: crescente no 3º e 4º Quadrantes, decrescente no 1º e 2º Quadrantes.
Domínio: ] –∞ , +∞ [.
Imagem: [–1 ; +1].
Período: 2
Tangente de x: Função ímpar, estritamente crescente em todo o domínio. Positiva no 1º e 3º Quadrantes, negativa no 2º e 4º Quadrantes.
Domínio: IR-{k+/2, k = 0, ±1, ±2,...}.
Imagem: ]–∞ ,+∞[.
Período: .
Cotangente de x: Função ímpar, estritamente decrescente em todo o domínio. Positiva no 1º e 3º Quadrantes, negativa no 2º e 4º Quadrantes.
Domínio: IR-{k, k = 0, ±1, ±2,...}.
Imagem:] –∞ , +∞ [.
Período: .
Secante de x: Função par , positiva no 1º e 4º Quadrantes, negativa no 2º e 3º Quadrantes. Os sinais seguem os da função f(x) = cos x.
Monotonia: crescente no 1º e 2º Quadrantes, decrescente no 3º e 4º Quadrantes.
Domínio: IR-{k+/2, k = 0, ±1, ±2,...}.
Imagem: ]–∞ , -1] U [1, +∞[ ou IR- ]-1, 1[
Período: 2.
Cossecante de x: Função ímpar, positiva no 1º e 2º Quadrantes, negativa no 3º e 4º Quadrantes.
Monotonia: crescente no 2º e 3º Quadrantes, decrescente no 1º e 4º Quadrantes.
Domínio: IR-{k, k = 0, ±1, ±2,...}.
Imagem: ]–∞ , -1] U [1, +∞[ ou IR- ]-1, 1[
Período: 2 OBS: Uma função é par se f(-x) = f(x) e ímpar se f(-x) = - f(x).
Fórmulas de adição e subtração
Sejam OA e OB dois vetores com origem no ponto O e
extremidade no ponto A e B, respectivamente, e que fazem ângulos
e com o eixo dos X, respectivamente.
Os triângulos assinalados são semelhantes e temos as relações:
i)
cos.senDE
cosOE)1OB(OB
OEcos
sen.OEDEOE
DEsen
ii)
cos.senBF
cos.BEBFBE
BF
OE
ODcos
senBE)1OB(OB
BEsen
iii)
cos.sencos.sen)(sen
DEBFBC)DEFC(FCBFBC
)(senBC)1OB(OB
BC)(sen
Para calcular o seno da diferença, basta utilizar o fato que: sensen )( e cos)cos( .
Temos: cos).(sencos.sencos).(sen)cos(.sen))((sen)(sen .
Para calcular a fórmula para o cosseno da soma, observamos na figura que:
i)
cos.cosOD
cosOE)1OB(cosOBOE
cos.OEOD
ii)
sen.senCD
senBE
sen.BECDsenBE
CD)FECD(
BE
FEsen
.
Logo,
sen.sencos.cos)cos(
FEODOC)FECD(CDODOC
)cos(OC)1OB(OB
OC)cos(
.
Temos: sen.sencos.cossen).(sen)cos(.cos))(cos()cos( .
Para o cálculo de )tg( dividindo )( sen e )cos( por )cos.(cos :
i)
tgtg1
tgtg
cos.cos
sen.sen
cos.cos
cos.cos
cos.cos
cos.sen
cos.cos
cos.sen
sen.sencos.cos
cos.sencos.sen)tg( .
ii)
tgtg1
tgtg
cos.cos
sen.sen
cos.cos
cos.cos
cos.cos
cos.sen
cos.cos
cos.sen
sen.sencos.cos
cos.sencos.sen)tg( .
iii)
2tg1
tg2
tgtg1
tgtg
sen.sencos.cos
cos.sencos.sen)2tg()tg(,Se .
OUTRAS FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS
Fórmulas de duplicação Fórmulas de bissecção
cos.sen22sen
2
cos1)2/(sen
22 sencos2cos 2
cos1)2/cos(
2tg1
tg2)2(tg
cos1
cos1)2/(tg
Fórmulas de transformação
2cos
2sen2sensen
2cos
2sen2sensen
2cos
2cos2coscos
2sen
2sen2coscos
coscos
)(sentantan
coscos
)(sentantan
Exercícios Resolvidos
1) Simplifique a expressão: cos(x + y).cos y + sen(x + y).sen y
Solução. Desenvolvendo as operações de acordo com as relações fundamentais e simplificando, temos:
xcosseny)yx(senycos)yxcos(
.xcos)yseny(cosxcosxcosysenysenycossenxycossenxsenyycosxcos
seny.xcossenyycossenxycos.senxsenyycosxcosseny)yx(senycos)yxcos(2222
.
2) Calcule o valor: a) cos 105º b) tg 75º
Solução. Aplicando as fórmulas da soma e diferenças de arcos, temos:
a) 4
62
2
2.
2
3
2
2.
2
1º45senº60senº45cosº60cos)º45º60cos()º105cos(
.
b) 2339
3369
33
33.
3
33
3
33
)1.(3
31
13
3
º45tgº.30tg1
º45tgº30tg)º45º30(tg)º75(tg
.
3) Sendo senx = 4/5 e cosy = 12/13, em 0 x /2 e 0 y /2, determine: a) sen (x + y) b) tg (x – y)
Solução. Sabendo que sen2x + cos2x = 1, calculamos as raízes positivas de cosx e seny.
i) 5
3
25
9
25
1611cos 2 xsenx ii)
13
5
169
25
169
1441cos1 2 yseny .
a) 65
63
65
1548
5
3.
13
5
13
12.
5
4coscos)(
xsenyysenxyxsen .
b) 56
33
56
65.
65
33
65
5665
33
)yxcos(
)yx(sen)yx(tg
.
QUESTÕES
1. (UERJ) Um holofote está situado no ponto A, a 30 metros de altura, no alto de uma torre perpendicular ao plano do chão. Ele ilumina, em movimento de vaivém, uma parte desse chão, do ponto C ao ponto D, alinhados à base B, conforme demonstra a figura a seguir. Se o ponto B dista 20 metros de C e 150 metros de D,
a medida do ângulo CÂD corresponde a:
a) 60° b) 45° c) 30° d) 15°
2. (UERJ) Observe a bicicleta e tabela trigonométrica. Os centros das rodas estão a uma distância PQ igual
a 120cm e os raios PA e QB medem
respectivamente 25cm e 52cm. De acordo com a tabela, qual o valor do
ângulo POA
?
a) 10º b) 12º c) 13º d) 14º
3. (ENEM) Considere um ponto P em uma circunferência de raio r no plano cartesiano. Seja Q a projeção ortogonal de P sobre o eixo X, como mostra a figura, e suponha que o ponto P percorra, no sentido anti-
horário, uma distância rd sobre a circunferência. Então o ponto Q percorrerá, no eixo X, uma distância
dada por:
a)
r
dsenr 1 b)
r
dr cos1 c)
r
dtgr 1 d)
r
dsenr. e)
r
dr cos.
4. (UERJ) Considere o triângulo ABC mostrado, onde os ângulos A, B e C estão em progressão aritmética crescente. Determine os valores de cada um desses ângulos, respectivamente, sabendo que:
a) 2
33senCsenBsenA
; b) BC.2AB .
5. Considere um relógio cujo ponteiro maior mede 3 e determina um círculo centrado na origem de um
referencial cartesiano ortogonal. No instante em que o relógio marcar exatamente 3h10min, a extremidade do ponteiro maior estará indicando o ponto cujas coordenadas são:
a)
2
3,
2
3 b)
2
3,
4
3 c)
4
3,
2
3 d)
2
3,
2
3
6. (UERJ) Alguns cálculos matemáticos ficam mais simples quando usamos identidades, tais como:
a2 – b2 = (a + b)(a – b); a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 e a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2)
Considerando essas identidades, calcule o valor numérico racionais mais simples da expressão:
º15senº15cos 66 .
7. (FUVEST) No triangulo acutâgulo ABC, ilustrado na figura, o comprimento do lado
BC mede 5
15 , o ângulo interno de vértice C mede α, e o angulo interno de vértice B
mede α/2. Sabe-se, também, que 2cos(2α) + 3cosα + 1 = 0.
Nessas condições, calcule: a) o valor de senα; b) a medida do lado AC.
8. (UERJ) Considere o ângulo segundo o qual um observador vê uma torre. Esse ângulo duplica quando ele se aproxima 160m e quadruplica quando ele se aproxima mais 100m, como mostra o esquema: A altura da torre, em metros, equivale a:
a) 96
b) 98
c) 100
d) 102
9. (UERJ) O preço dos produtos agrícolas oscila de acordo com a safra de cada um: mais baixo no período da colheita, mais alto na entressafra. Suponha que o preço aproximado P, em reais, do quilograma de
tomates seja dado pela função 7,2101t.360
2sen.8,0)t(P
na qual t é o número de dias contados de
1º de janeiro até 31 de dezembro de um determinado ano. Para esse tempo, calcule:
a) o maior e o menor preço do quilograma de tomates;
b) os valores t para os quais o preço P seja igual a R$3,10.
10. (UERJ Se α, β e α + β são três ângulos diferentes de Zk,k2
, então
tg.tg1
tgtgtg .
Se a, b e c são três ângulos agudos, sendo 2tgb e 5
4cbatg , calcule cbatg .
11. (UERJ) A imagem mostra uma pessoa em uma asa-delta. O esquema abaixo representa a vela da asa-delta, que consiste em dois triângulos isósceles ABC e ABD congruentes, com AC = AB = AD. A medida de AB corresponde ao comprimento da quilha. Quando esticada em um plano, essa vela forma um ângulo
CÂD = 2. Suponha que, para planar, a relação ideal seja de
10dm2 de vela para cada 0,5kg de massa total. Considere, agora, uma asa-delta de 15kg que planará com uma pessoa de 75kg. De acordo com a relação ideal, o comprimento da quilha, em metros, é igual à raiz quadrada de:
a) 9 cos b) 18 sen c) cos
9 d) sen
18
12. (UERJ) Um ciclista pedala uma bicicleta em trajetória circular de modo que as direções dos deslocamentos das rodas mantêm sempre um ângulo de 60°. O diâmetro da roda traseira dessa bicicleta é igual à metade do diâmetro de sua roda dianteira. O esquema a seguir mostra a bicicleta vista de cima em um dado instante do percurso. Admita que, para uma volta completa da bicicleta, N1 é o número de voltas dadas pela roda traseira e N2 o número de voltas dadas pela roda dianteira em torno de seus respectivos eixos de rotação.
A razão
2
1
N
Né igual a:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4
13. (UERJ) Uma máquina possui duas engrenagens circulares, sendo a distância entre seus centros A e B igual a 11cm, como mostra o esquema.Sabe-se que a engrenagem menor dá 1000 voltas no mesmo tempo em que a maior dá 375 voltas, e que os comprimentos dos dentes de ambas têm valores desprezíveis. A medida, em centímetros, do raio da engrenagem menor equivale a:
a) 2,5 b) 3,0 c) 3,5 d) 4,0
Respostas: 1) b; 2) c; 3) b; 4) 30º, 60º e 90º; 5) d; 6)
16
13 ; 7) a)
4
15 ; b)
15
152 8) a; 9) a) maior:R$3,50; menor: R$1,90 ; b) 131 ou
251 dias; 10) – 32; 11) d; 12) a; 13) b;