MANUAL DE FÓRMULAS TÉCNICAS 1

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CÁLCULO INTEGRAL Definição de Integração Integração: operação inversa da derivação. O cálculo integral tem por objetivo achar uma função F(x) tal que a derivada F’(x) seja igual a uma função dada f(x).

)()()(' xfdx

xdFxF ==

donde, por integração “A integral indefinida”

∫ += CxFdxxf )()( A constante de integração C desaparece no momento da derivação, pois a derivada de uma constante é nula. Interpretação geométrica da integral definida

Como a figura indica, há uma infinidade de curvas y = F(x) de inclinação y’ = f(x). Todas as curvas são idênticas mas deslocadas paralelamente ao eixo y. A todo valor de C corresponde uma só curva. Se a curva passa por um ponto (xo, yo), encontra-se:

)( oo xFyC −=

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“A integral definida” A forma geral da integral definida é:

)()()()( aFbFxFdxxfb

a

b

a

−==∫

Diz-se então que se integra entre os limites a e b: introduzir x = b, depois x = a em F(x) e subtrai o segundo valor do primeiro. Integração – Regras Gerais

∫ −≠++

=+

1,1

1

nseCnxdxx

nn

∫ += Cxxdx ln

[ ]∫ ∫ ∫±=± dxxvdxxudxxvxu )()()()(

∫ += Cxudxxuxu )(ln)()('

[ ]∫ += Cxudxxuxu 2)(21)(').(

Integração por Partes

∫ ∫−= dxxvxuxvxudxxvxu )().(')().()(').( Método de substituição

∫ ∫= dzzzfdxxf )(.)]([)( ϕϕ onde )(zx ϕ= e dzzdx )('ϕ= Exemplo:

dxxxF 53)( −=

Façamos , onde zx =− 53 3' ==dxdzz

Obtém-se 3dzdx = , integral em função de z:

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∫ +== CzzdzzxF92

31)(

Substituindo z por seu valor

CxxxF +−−= 53)53(92)(

Integrais Fundamentais (sem a constante de integração C)

∫ = xx edxe xxxdxx −=∫ lnln

∫ =a

adxax

x

ln ∫ −=

−)ln( ax

axdx

∫ ≠−−

−=

−−)(ln1

))((ba

bxax

babxaxdx

∫ ≠−−

−=− − )1(

))(1(1

)( 1 naxnax

dxnn

)(ln21coth1

22 axaxax

aaxar

aaxdx

>+−

=−=−∫

)(ln21arctan1

22 axxaxa

aax

axadx

<−+

==−∫

∫ =+ a

xaax

dx arctan122 )(ln

21 22

22 axax

xdx+=

+∫

∫ ++

=+ a

xaaxa

xax

dx arctan21

)(2)( 3222222

∫ ∫ −− +−−

++−

=+ 1222122222 )()1(2

32))(1(2)( nnn ax

dxna

naxna

xax

dx

3

32 xdxx =∫ x

xdx 2=∫

∫ =− a

xarcsenxa

dx22

∫ +=+

baxabax

dx 2

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∫ −+==−

22

22(lnarccos axx

axh

ax

dx

∫ ++==+

22

22(lnarccos axx

axh

ax

dx

∫ +−=−axarcsenaxaxdxxa

22

22222

∫ −−=−axhaaxxdxax arccos

22

22222

∫ ++=+axarcsenhaaxxdxax

22

22222

xdxxsen cos−=∫

)2(41

22 xsenxdxxsen −=∫

)3(cos121cos

433 xxdxxsen +−=∫

dxxsenn

nxsenxn

dxxsen nnn ∫∫ −− −+−= 21 1.cos1

)(cos1)( axa

dxaxsen −=∫

xsendxx =∫ cos

)2(41

2cos2 xsenxdxx +=∫

)3(121

43cos3 xsenxsendxx +=∫

dxxn

nxxsenn

dxx nnn ∫∫ −− −+= 21 cos1cos.1cos

)(1)(cos axsena

dxax =∫

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∫ −= xdxx coslntan ∫ −= )(cosln1)(tan axa

dxax

∫ −= xxdxx tantan 2

∫ ∫ ≠−−

= −−

)1(tan1

tantan 21

ndxxn

xdxx nn

n

∫ = xsendxx lncot ∫ = )(ln1)(cot axsena

dxax

∫ −= xxdxx cotcot 2

∫ ∫ ≠−−

−= −−

)1(cot1

cotcot 21

ndxxn

xdxx nn

n

∫ =2

tanln xxsen

dx ∫ −= xxsen

dx cot2

∫ ∫ ≠−−

+−

−= −− )1(12cos.

11

21 nxsen

dxnn

xsenx

nxsendx

nnn

∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

42tanln

cosπx

xdx ∫ = x

xdx tan

cos2

∫ ∫ ≠−−

+−

= −− )1(cos1

2cos

.1

1cos 21 n

xdx

nn

xxsen

nxdx

nnn

∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

+ 42tan

1πx

xsendx ∫ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=

− 42cot

1πx

xsendx

∫ =+ 2

tancos1

xx

dx ∫ −=− 2

cotcos1

xx

dx

)()(2

)()(2

)()()( bababxaxsen

babxaxsendxbxsenaxsen ≠

−−

+++

−=∫

)()(2

)(cos)(2

)(cos)(cos)( bababxax

babxaxdxbxaxsen ≠

−−

−++

−=∫

)()(2

)()(2

)()(cos)(cos bababxaxsen

babxaxsendxbxax ≠

−−

+++

=∫

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dxaxxanax

axdxaxsenx n

nn )(cos)(cos)( 1∫∫ −+−=

dxaxsenxanaxsen

axdxaxx n

nn )()()(cos 1∫∫ −−=

21. xxarcsenxdxxarcsen −+=∫

21arccos.arccos xxxdxx −−=∫

)1ln(21arctan.arctan 2xxxdxx +−=∫

)1ln(21cot.cot 2xxarcxdxxarc ++=∫

∫ = xdxxsenh cosh

∫ −=2

)2(412 xxsenhdxxsenh

∫ ∫ −− −−= dxxsenh

nnxsenhx

ndxxsenh nnn 21 1.cosh1

∫ = )(cosh1)( axa

dxaxsenh

∫ = xsenhdxxcosh

∫ +=2

)2(41cosh 2 xxsenhdxx

∫ ∫ −− −+= dxx

nnxxsenh

ndxx nnn 21 cos1cosh.1cosh

∫ = )(1)(cosh axsenha

dxax

∫ = xdxx coshlntanh

∫ −= xxdxx tanhtanh 2

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∫ ∫ ≠+−

−= −− )1(tanhtanh1

1tanh 21 ndxxxn

dxx nnn

∫ = )(coshln1)(tanh axa

dxax

∫ = xsenhdxx lncoth

∫ −= xxdxx cothcoth 2

∫ ∫ ≠+−

−= −− )1(cothcoth1

1coth 21 ndxxxn

dxx nnn

∫ = )(ln1)(coth axsenha

dxax

∫ =2

tanhln xxsenh

dx

∫ −= xxsenh

dx coth2

∫ = xex

dx arctan2cosh

∫ = xx

dx tanhcosh 2

∫ +−= 1. 2xxarcsenhxdxxarcsenh

∫ −−= 1arccos.arccos 2xxhxdxxh

( )∫ −+= 21ln21arctan.arctan xxhxdxxh

( )∫ −+= 1ln21coth.coth 2xxarcxdxxarc

∫ ∫ −−+

+−

++

= dxxxsennm

nxxsennm

dxxxsen nmnmnm 211 cos.1cos.1cos.

Para n ímpar, a integral restante vale:

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1cos.

1

+=

+

∫ mxsendxxxsen

mm

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Referência Bibliográfica GIECK, Kurt. Manual de fórmulas técnicas. São Paulo: Hemus Livraria Editora

Ltda. 2 ed. 1979