UNIFACS – UNIVERSIDADE SALVADORDEAR – Departamento de Engenharia e ArquiteturaDisciplina: Cálculo Integral

2ª Lista de Exercícios

1) Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule as que são convergentes

a) ; b) ; c) ; d) ; e) ;

f) ; g) ;

2) Esboce a região e encontre a área (se a área for finita)

a) S = b) S =

c) S =

3) Determine os valores de p para os quais a integral converge, para os quais diverge e avalie a

integral quando ela convergir .

4) A vida média M de um átomo numa substância radioativa é definida como sendo

, onde k é uma constante negativa que depende da substância. Sabendo que para o isótopo

radioativo do carbono, , k = 0,00012, calcule a vida média de um átomo de .

5) Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em torno do eixo Ox, da região R delimitada pelos gráficos das equações dadas abaixo:

a) y = x +1, x = 0 , x = 2 e y = 0 b) y = x e y = x2

c) y = x2 e y = x3 d) y = , x = 1, x = 2, e y = 0

e) y = x3, x = -1, x = 1, e y = 0 f) y = x2 +1, x = 0, x = 2 e y = 0

g) y = , x = 2, x = 5 e y = 0 h) y = cosx, y = senx , x = 0 e x =

6) Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em torno do eixo y = 2 da região limitada por y = ; y = 2; e x = 2

1

1

x

y

z

eixo de revolução

7) Calcular o volume gerado pela rotação da região y = 3 , 1≤ x ≤ 3 , em torno da reta y =2

8) Calcular o volume gerado pela rotação da região y =1/2 x + 2 , 1≤ x ≤ 2 , em torno da reta y =1

Obs: Não confundir o cálculo acima com o do volume gerado pela rotação da região determinada por y=1, y =1/2 x + 2 , 1≤ x ≤ 2 em torno do eixo Ox. Melhor dizendo, não confundir as integrais

9) Considere a região R limitada pelas curvas e y = x. Dê apenas a expressão da integral ( indicando os limites de integração), que permite calcular o volume do sólido obtido, nos seguintes casos:

a) R gira em torno de OY; b) R gira em torno de x = 1; c) R gira em torno de y = 2;

10) Considere R a região limitada pela curva e a reta y = 2, no 1º quadrante. Dê a expressão da integral ( indicando os limites de integração) que permite calcular o volume gerado pela rotação de R em torno de:

a) 0Y; b) y = 3; c) x = 1

11) Considere a região R limitada pela curva as retas x = 2 e y = 2. Esboce a região R e

a) Encontre o volume do sólido obtido pela rotação de R em torno de y = 2.

b) Dê a expressão da integral ( indicando os limites de integração) que permite calcular o volume gerado pela rotação de R em torno de:

b1) y = 0; b2) y = 3; b3) x = 0; b4) x = 2

12) Calcular o comprimento de arco das seguintes curvas:

2

2

x

y

z

x

y

y = 2

y=3

x

y

z

x

y

y = 1

a) y = 5x – 2, ; b) y = , 0 c) y = 0 d) y =

, ; e) dos pontos P(0,0) a

13) Encontre o comprimento de arco da curva entre os pontos adjacentes da intersecção com o eixo OX.

Respostas:

1) a) 1/12 ; c) 1; e) . As demais divergem

2) a) e b) 2e c) 1

3) converge se p e , diverge se p .; 4) M 8.333

5) a) b) u.v. c) u.v d) u.v e) u.v f ) u.v g) u.v.

h) u.v.

6) u.v. 7) 2 u.v. 8) u.v.

9) a) V= b) c)

10) a) b) c)

11) a) u.v. b1) ; b2) ; b3)

b4) 12) a) u.c. b) 12 u.c. c) Observe que é o comp. de ¼ do círculo

de raio 2. d) e) 13)

3

3

x

y