problemario de cÁlculo integral primer …...problemario de cÁlculo integral primer departamental...

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

CECyT 7 “CUAUHTÉMOC”

ACADEMIA DE MATEMÁTICAS

TURNO MATUTINO

PROBLEMARIO DE CÁLCULO INTEGRAL PRIMER

DEPARTAMENTAL

INTEGRANTES:

Beltrán Ramírez Tomás Adolfo

Flores Huerta Mario Luis

Miranda Morales José Arnulfo

Romero Flores Alicia

http://www.google.com.mx/imgres?sa=X&biw=853&bih=386&tbm=isch&tbnid=zoS44_Uvo9ghkM:&imgrefurl=http://wwwconpeporg-presidencia.blogspot.com/2011/04/celebra-ipn-75-anos-de-su-fundacion.html&docid=M_m_iYqKVj5RxM&imgurl=http://2.bp.blogspot.com/-hM-b9i5MOXE/TbM7jOt0kRI/AAAAAAAAAFU/8TlvoAxGKSk/s250/Logo+IPN.jpg&w=250&h=250&ei=ycOCUpqaDefL2QXKtIHIBA&zoom=1&ved=1t:3588,r:16,s:0,i:134&iact=rc&page=3&tbnh=144&tbnw=149&start=12&ndsp=8&tx=52&ty=81

Capítulo I. Diferenciales

ACTIVIDAD DE ENSEÑANZA .1.1

Instrucciones: Lee con atención la siguiente teoría y toma nota de lo que juzgues

importante. Si hay una parte de la lectura que no entiendas, en la primera oportunidad que

tengas pregúntale a tu profesor. En una hoja en blanco resuelve los ejercicios de la actividad

de enseñanza que se presentan.

Incremento de una función

Recuerda que uno de los objetivos fundamentales del cálculo infinitesimal es estudiar cómo varía una función cuando el valor de su variable independiente cambia.

Si “X” es la variable independiente de la función y=f(x) y su valor cambia desde X1 hasta X2, el aumento o disminución que experimenta dicha variable se llama incremento de X y se denota por ∆x. Así tenemos:

∆x=X2-X1

Cuando la variable independiente de y=f(x) experimenta un incremento ∆x, generalmente la función también experimenta un aumento o disminución de su valor, el cual se denomina incremento de la función y se denota por ∆y, es decir:

∆y=f(x2)-f(x1)

Como ∆x=X2 –X1, por lo tanto, X2=∆x+X1, Así tenemos que:

∆y=f(X1 +∆x)-f(X1)

La palabra incremento la usamos para referirnos tanto a un aumento como a una disminución.

Consideremos que la función y=f(x) es derivable sobre el intervalo a≤ x≤ b. En un punto X de dicho intervalo, la derivada de Y con respecto a X se define por la expresión:

𝑓´(𝑥) =𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑙𝑖𝑚

∆𝑥=>0

∆𝑦

∆𝑥

Hasta ahora hemos utilizado la expresión 𝑑𝑦

𝑑𝑥 como un símbolo para denotar la derivada

de yy con respecto a X. Ahora definiremos el concepto de diferencial de manera que dx y dy tenga significados por separado. Esto no permitirá considerar la expresión

𝑑𝑦

𝑑𝑥 como la

razón de dy y dx, donde dx es la diferencial de la variable dependiente y.

Definición de la diferencial dx.

Si y=f(x) es una función derivable en X y la diferencial de la variable independiente coincide con su incremento de X; o sea:

dx=∆x

Definición de la diferencial dy.

Si y=f(x) es una función derivable en X y dx es el diferencial de X, del diferencial dy que corresponde a la variable dependiente y se define como:

dy =f´(x)dx

De acuerdo con la expresión anterior, el valor de la diferencial dy depende del valor de X y del de dx; o sea que dx es otra variable independiente de dy.

Si en la expresión dy=f´(x) dx, dx es diferente de cero y dividimos ambos miembros de la igualdad por dx obtenemos:

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑓´(𝑥)𝑑𝑥

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑓´(𝑥)

De acuerdo con la expresión anterior, la derivada f´(x) puede considerarse como el cociente de la diferencial de la función (dy) entre la diferencial de X. o sea, entre dx.

Actividad de Aprendizaje 1.1.

Resuelve las siguientes diferenciales. En la primera oportunidad que tengas pregúntale a tu profesor

las dudas que se te presenten.

1. 𝑓(𝑥) = 3

2. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 2

3. 𝑓(𝑥) =4𝑥

3

4

4. 𝑓(𝑥) =3𝑥5 + 5𝑥 + 6

𝑥 + 1

5. 𝑓(𝑥) = (𝑥8 − 2)2

3⁄

6. 𝑓(𝑥) = √2𝑥 + 8

7. 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑠𝑒𝑛 3𝑥

8. 𝑓(𝑥) = ln (𝑥8 + 3𝑥)

9. 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑒𝑥

10. 𝑓(𝑥) = 92𝑥 + 𝑒2𝑥3

11. 𝑓(𝑥) =𝑠𝑒𝑛 3𝑥

cos 6𝑥

12. 𝑓(𝑥) = √6𝑥55

13. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 ln 𝑥

14. 𝑓(𝑥) = ln (𝑥8 + 3𝑥 + 2)

9. 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑒𝑥

10. 𝑓(𝑥) = 92𝑥 + 𝑒2𝑥3

11. 𝑓(𝑥) =𝑠𝑒𝑛 3𝑥

cos 6𝑥

12. 𝑓(𝑥) = √6𝑥55

13. 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 𝑥

14. 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 + 2

15.𝑓(𝑥) = −6𝑥

3

3

16. 𝑓(𝑥) =3(𝑥5+5𝑥)+6𝑥

2𝑥+1

17. 𝑓(𝑥) = (𝑥8 − 2) −3

2⁄

18. 𝑓(𝑥) = √𝑠𝑒𝑛𝑥

19. . 𝑓(𝑥) = −3/22𝑥 + 𝑒−2𝑥4

20. 𝑓(𝑥) =𝑡𝑎𝑛 3𝑥

cot 3𝑥

Capitulo II. Integración

Competencia General: Resuelve problemas con integrales de una variable real,

mediante el teorema fundamental del cálculo y los métodos de integración, en su entorno

académico, social y global.




tengas pregúntale a tu profesor.

La integración y la diferenciación están íntimamente relacionadas. La naturaleza de esta relación es una de las ideas más importantes en matemáticas, y su descubrimiento (hecho por Leibniz y Newton de manera independiente, y mejorado por Cauchy y Riemann posteriormente). Sigue siendo uno de los avances más importantes de los tiempos modernos.

Conocemos varias operaciones inversas, como adición y sustracción; multiplicación y división; elevación a potencias y extracción de raíces y ahora agregamos diferenciación e integración.

El cálculo integral surgió de la necesidad de resolver el problema de la obtención de áreas de figuras planas. Para ello se aproximaba exhaustivamente la figura cuya área se deseaba calcular mediante polígonos de áreas conocidas y apareció el concepto de integral. Con esta idea apareció el concepto de Integral Definida. Se llama Integral Definida de la función 𝑓(𝑥) = 0 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑎 𝑦 𝑏 (a estos dos valores se les denomina límites de integración), al área de la porción de plano limitada por la gráfica de la función, el eje 𝑥 y las rectas paralelas 𝑥 = 𝑎 𝑦 𝑥 = 𝑏

Otra aplicación fue predecir la posición futura de un objeto en movimiento a partir de una ubicación

conocida y la fórmula de su función velocidad. Este es un ejemplo claro en el cual se debe determinar

una función a partir de una fórmula de su razón de cambio (velocidad) y de uno de sus valores

(posición inicial). De aquí surgió el concepto de Integral Indefinida y primitiva de una función.

Otra aplicación fue predecir la posición futura de un objeto en movimiento a partir de una ubicación

conocida y la fórmula de su función velocidad. Este es un ejemplo claro en el cual se debe determinar

una función a partir de una fórmula de su razón de cambio (velocidad) y de uno de sus valores

(posición inicial). De aquí surgió el concepto de Integral Indefinida y primitiva de una función.

Función primitiva de una función

Dada una función cualquiera 𝑓(𝑥) definida en un intervalo cerrado [𝑎, 𝑏], se llama función primitiva de 𝑓(𝑥) a otra función 𝐹(𝑥) cuya derivada sea 𝑓(𝑥) en dicho intervalo. Es decir 𝐹′(𝑥) =𝑓(𝑥) para toda “x” de [𝑎, 𝑏]. Así:

La función 𝑠𝑒𝑛 𝑥 es una primitiva de cos 𝑥 puesto que (𝑠𝑒𝑛 𝑥)′ = cos 𝑥

La función 𝑙𝑛|𝑥| es una primitiva de 1

𝑥 , ya que (𝑙𝑛|𝑥|)′ =

1

𝑥

La derivada de 𝑥3

3 es (

𝑥3

3) =

1

3∙ 3𝑥2 = 𝑥2; así

𝑥3

3 es una primitiva de la función 𝑥2

Propiedades de las primitivas de una función Primera propiedad

Si 𝐹(𝑥) es una primitiva de 𝑓(𝑥) y 𝐶 una constante cualquiera (un número), la función 𝐹(𝑥) +𝐶 es otra primitiva de 𝑓(𝑥) Demostración

Basta recordar que la derivada de una suma de funciones es igual a la suma de las derivadas de las funciones, y que la derivada de una constante es siempre es cero. (F(𝑥) + 𝐶)′ = F′(𝑥) + 𝐶′ = 𝑓(𝑥) + 0 = 𝑓(𝑥) Por ejemplo: Hallar tres primitivas de la función de cos 𝑥; Se sabe que 𝑠𝑒𝑛 𝑥 es una primitiva de cos 𝑥

Tres primitivas de cos 𝑥 son, por ejemplo; 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 3; 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 𝑙𝑛2; 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝜋

3

Segunda propiedad

Si una función tiene una primitiva, entonces tiene infinitas primitivas.

Demostración

Si 𝐹(𝑥) es una primitiva de 𝑓(𝑥) , para cualquier constante C, 𝐹(𝑥) + 𝐶 es otra primitiva según la anterior propiedad. Así, hay tantas primitivas como valores se le quieran dar a C.

Tercera Propiedad

Dos primitivas de una misma función se diferencian en una constante. Esto es, sí 𝐹(𝑥 ) 𝑦 𝐺(𝑥) son primitivas de la función 𝑓(𝑥), entonces 𝐹(𝑥) − 𝐺 (𝑥) = 𝐶 Demostración Hay que recordar que si una función 𝑓(𝑥)definida en un intervalo cualquiera tiene derivada cero en todos los puntos, entonces la función 𝑓(𝑥) es constante. Es decir, si 𝑓′(𝑥) = 0, entonces 𝑓(𝑥) = 𝐶. Pues bien, si 𝐹(𝑥) es una primitiva de 𝑓(𝑥), 𝐹′(𝑥)𝑓(𝑥); si 𝐺(𝑥) es otra primitiva de 𝑓(𝑥), 𝐺′(𝑥) = 𝑓(𝑥). Restando miembro a miembro, 𝐹′(𝑥) − 𝐺′(𝑥) = [𝐹(𝑥) − 𝐺(𝑥)]′ = 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥) = 0, donde se deduce que 𝐹(𝑥) − 𝐺(𝑥) = 𝐶

pítulo III. Integral indefinida de una función

Competencia particular: Resuelve integrales indefinidas, mediante el concepto de

antiderivada y transformaciones algebraicas.




tengas pregúntale a tu profesor. Se llama integral indefinida de una función 𝑓(𝑥), al conjunto de todas las primitivas de la función 𝑓(𝑥), y se simboliza: ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

Está expresión se lee “integral de efe de equis diferencial de equis” Por las propiedades de la función primitiva, si 𝐹(𝑥) es una primitiva de 𝑓(𝑥),

∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝐶

Donde C, representa una constante llamada constante de integración. Por ejemplo: Calcular ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥; Puesto que una primitiva de cos 𝑥 es 𝑠𝑒𝑛 𝑥, entonces:

∫ cos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝐶 Hallar:

∫1

x dx,

Una primitiva de 1

𝑥 es 𝑙𝑛|𝑥|, por consiguiente.

∫1

𝑥 𝑑𝑥 = ln|𝑥| + 𝐶

Hallar: ∫ 𝑥2 𝑑𝑥

Por ser 𝑥3

3 una primitiva de 𝑥2, por consiguiente

∫ 𝑥2 𝑑𝑥 = 𝑥3

3+ 𝐶

La diferenciación y la integración son operaciones inversas.

Por tanto, si 𝑑

𝑑𝑥 𝑒 ∫ … 𝑑𝑥 e se consideran como símbolos de operación, son inversos uno del otro.

O si empleamos diferenciales 𝑑 y ∫ es inverso el uno del otro. Cuando 𝑑 antecede a ∫ ambos signos se anulan mutuamente; pero cuando ∫ antecede a 𝑑 eso en general, no será cierto.

Constante de integración e integral indefinida.

Por ser 𝑑 (𝑥4) = 4𝑥3 𝑑𝑥 , tenemos que ∫ 4𝑥3 𝑑𝑥 = 𝑥3

Por ser 𝑑(𝑥4 + 𝑎) = 4𝑥3 𝑑𝑥, 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 ∫ 4𝑥3𝑑𝑥 = 𝑥4 + 𝑎

Por ser𝑑(𝑥4 − 5) = 4𝑥3𝑑𝑥 , tenemos que ∫ 4𝑥3𝑑𝑥 = 𝑥4 − 5

En general, como

(𝑥4 + 𝑐) = 4𝑥3 𝑑𝑥, tenemos que∫ 4 𝑥3𝑑𝑥 = 𝑥4 + 𝐶 ; siendo c una constante

La constante arbitraria c se llama constante de integración y es una cantidad independiente de la variable de integración. Puesto que podamos dar a c cuántos valores queramos, se sigue que sí en

una expresión diferencial dada tiene una integral, tiene también una infinidad de integrales que difieren solo en constantes. Por tanto:

∫ 𝑓´(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥) + 𝐶 , puesto que 𝐶 es desconocida e indefinida, la expresión 𝑓(𝑥) + 𝐶, se llama integral indefinida de 𝑓´(𝑥) 𝑑𝑥

Capítulo IV. Integrales Inmediatas.

Objetivo: Obtiene la antiderivada de funciones con una variable real, mediante el

empleo del formulario en su entorno académico.


Instrucciones: Lee con atención la siguiente teoría y toma nota de lo que juzgues importante. Si hay

una parte de la lectura que no entiendas, en la primera oportunidad que tengas pregúntale a tu

profesor. En una hoja en blanco resuelve los ejercicios de la actividad de enseñanza que se

presentan.

En cálculo diferencial se obtuvieron fórmulas para obtener la derivada y la diferencial de una función, en cálculo integral se trabaja también con fórmulas que se obtienen de manera sencilla de las formulas diferenciales ya conocidas. Estas fórmulas reciben el nombre de integrales inmediatas, sí: 𝐹(𝑥)𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑒𝑛𝑔𝑎 𝑢𝑛𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑓´(𝑥), 𝑠𝑒 𝑙𝑙𝑎𝑚𝑎 𝑖𝑛𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙

𝑖𝑛𝑑𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎, ó 𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑓(𝑥) Para denotar la integral indefinida de𝑓´(𝑥), se realiza de la siguiente manera∫ 𝑓′(𝑥)𝑑𝑥 (no se entiende)

Para poder demostrar las formulas es conveniente tomar en cuenta Si U, V y W son funciones de la misma variable, entonces tenemos: La integral de una suma algebraica de diferenciales es igual a la suma algebraica de las integrales de sus diferenciales. 1)∫(𝑑𝑢 + 𝑑𝑣 − 𝑑𝑤) = ∫ 𝑑𝑢 + ∫ 𝑑𝑣 − ∫ 𝑑𝑤 La integral de una constante por la diferencial de una función, Si “a” es una constante, entonces tenemos: 2) ∫ 𝑎 𝑑𝑢 = 𝑎 ∫ 𝑑𝑢 La integral de una constante por la diferencial de una función es igual a la constante por la integral de la diferencial de una función. Demostración de la formula. 3) ∫ 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝐶

Sea Integrando en ambos miembros de la igualdad se tiene ∫ 𝑑(𝑥) = ∫ 𝑑𝑥

En el primer miembro de la igualdad la integral antecede a la diferencial por ser operaciones inversas, se anulan mutuamente, por lo tanto: 𝑥 + 𝐶 = ∫ 𝑑𝑥 Finalmente

∫ 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝑐 Demostración de la formula

4) ∫ 𝑢𝑛 𝑑𝑢 =𝑢𝑛+1

𝑛+1

Sea 𝑑(𝑢𝑛+1) = (𝑛 + 1)𝑢𝑛𝑑𝑢 Transponiendo términos se tiene.

1

(𝑛 + 1)𝑑(𝑢𝑛+1) = 𝑢𝑛 𝑑𝑢

Integrando en ambos miembros de la igualdad se tiene

1

(𝑛 + 1)∫ 𝑑(𝑢𝑛+1) = ∫ 𝑢𝑢 𝑑𝑢

En el primer miembro de la igualdad la integral antecede a la diferencial por ser operaciones inversas se anulan mutuamente, por lo tanto: 𝑢𝑛+1

𝑛 + 1+ 𝐶 = ∫ 𝑢𝑛 𝑑𝑢

Finalmente

∫ 𝑢𝑛 𝑑𝑢 =𝑢𝑛+1

𝑛+1+ 𝐶 𝑛 ≠ −1

Siendo la variable una función de la variable. Cuando u=x , entonces, la integral se reduce a

5)∫ 𝑥𝑛 𝑑𝑥 =𝑥𝑛+1

𝑛+1 +C 𝑛 ≠ −1

Demostración de la formula

6) ∫𝑑𝑢

𝑢= ln 𝑢 + 𝐶

Sea 𝑑(ln 𝑢) =𝑑𝑢

𝑢


∫ 𝑑(ln 𝑢) = ∫𝑑𝑢

𝑢

En el primer miembro de la igualdad la integral antecede a la diferencial por ser operaciones inversas se anulan mutuamente, por lo tanto:

ln(𝑢) + 𝐶 ∫𝑑𝑢

𝑢

Finalmente

∫𝑑𝑢

𝑢= ln(𝑢) + 𝐶

Demostración de la formula

7) ∫ 𝑎𝑛 𝑑𝑢 = 𝑎𝑢

ln 𝑎+ 𝐶

Sea 𝑑(𝑎𝑢) = 𝑎𝑢 ln 𝑎 𝑑𝑢 Transponiendo términos se tiene.

1

ln 𝑎 𝑑(𝑎𝑢) = 𝑎𝑢 𝑑𝑢


1

ln 𝑎∫ 𝑑(𝑎𝑢) = ∫ 𝑎𝑢 𝑑𝑢

En el primer miembro de la igualdad la integral antecede a la diferencial por ser operaciones inversas se anulan mutuamente, por lo tanto: 𝑎𝑢

ln 𝑎+ 𝐶 = ∫ 𝑎𝑢 𝑑𝑢

Finalmente

∫ 𝑎𝑢 𝑑𝑢 =𝑎𝑢

ln 𝑎+ 𝐶

Si a=e entonces, ln e=1, por lo tanto 8) ∫ 𝑒𝑢 𝑑𝑢 = 𝑒𝑢 + 𝐶 Demostración 9)∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑢 𝑑𝑢 = − cos 𝑢 + 𝐶 Sea u una función de la variable x. Sabemos que 𝑑(cos 𝑢) = − 𝑠𝑒𝑛 𝑢 𝑑𝑢 Integrando ambos miembros se tiene

∫ 𝑑(cos 𝑢) = ∫ −𝑠𝑒𝑛 𝑢 𝑑𝑢

En el primer miembro la integral antecede a la diferencial, por lo tanto:

cos 𝑢 + 𝐶 − ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑢 𝑑𝑢

Transponiendo términos:

∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑢 𝑑𝑢 = − cos 𝑢 + 𝐶

Demostración 10) ∫ cos 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑛 𝑢 + 𝐶 Sea “u” una función de la variable”. Sabemos que 𝑑(𝑠𝑒𝑛 𝑢) = cos 𝑢 𝑑𝑢 Integrando ambos miembros se tiene

∫ 𝑑(𝑠𝑒𝑛 𝑢) = ∫ cos 𝑢 𝑑𝑢


𝑠𝑒𝑛 𝑢 + 𝐶 = ∫ cos 𝑢 𝑑𝑢

Por lo tanto:

∫ cos 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑛 𝑢 + 𝐶

Demostración 11)∫ 𝑠𝑒𝑐2 𝑢 𝑑𝑢 = tan 𝑢 + 𝐶 Sea “U” una función de la variable “X”. Sabemos que 𝑑(tan 𝑢) = 𝑠𝑒𝑐2 𝑢 𝑑𝑢 Integrando ambos miembros se tiene

∫ 𝑑(tan 𝑢) = ∫ 𝑠𝑒𝑐2 𝑢 𝑑𝑢


tan 𝑢 + 𝐶 ∫ 𝑠𝑒𝑐2 𝑢 𝑑𝑢

Se tiene

∫ 𝑠𝑒𝑐2 𝑢 𝑑𝑢 = tan 𝑢 + 𝐶

Demostración 12) ∫ 𝑐𝑠𝑐2 𝑢 𝑑𝑢 = − cot 𝑢 + 𝐶 Sea “U” una función de la variable “X”. Sabemos que 𝑑(cot 𝑢) = −𝑐𝑠𝑐2 𝑢 𝑑𝑢 Integrando ambos miembros se tiene:

∫ 𝑑(cot 𝑢) = − ∫ 𝑐𝑠𝑐2 𝑢 𝑑𝑢


cot 𝑢 + 𝐶 = − ∫ 𝑐𝑠𝑐2 𝑢 𝑑𝑢


∫ 𝑐𝑠𝑐2 𝑢 𝑑𝑢 = − cot 𝑢 + 𝐶

Demostración 13) ∫ sec 𝑢 tan 𝑢 𝑑𝑢 = sec 𝑢 + 𝐶

Sea “U” una función de la variable”. Sabemos que 𝑑(sec 𝑢) = sec 𝑢 tan 𝑢 𝑑𝑢 Integrando ambos miembros se tiene

∫ 𝑑(sec 𝑢) = ∫ sec 𝑢 tan 𝑢 𝑑𝑢

𝐸𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑚𝑖𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑐𝑒𝑑𝑒 𝑎 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙, 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜:

𝑠𝑒𝑐 𝑢 + 𝐶 ∫ 𝑠𝑒𝑐 𝑢 𝑡𝑎𝑛 𝑢 𝑑𝑢

𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜:

∫ 𝑠𝑒𝑐 𝑢 𝑡𝑎𝑛 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑐 𝑢 + 𝐶

𝐷𝑒𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛

14) ∫ 𝑐𝑠𝑐 𝑢 𝑐𝑜𝑡 𝑢 𝑑𝑢 = − 𝑐𝑠𝑐 𝑢 + 𝐶

𝑆𝑒𝑎 “𝑈” 𝑢𝑛𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 “𝑋”. 𝑆𝑎𝑏𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑑(𝑐𝑠𝑐 𝑢) = − 𝑐𝑠𝑐 𝑢 𝑐𝑜𝑡 𝑢 𝑑𝑢

𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑚𝑖𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜𝑠 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒:

∫ 𝑑(csc 𝑢) = − ∫ csc 𝑢 cot 𝑢 𝑑𝑢


csc 𝑢 + 𝐶 = − ∫ csc 𝑢 cot 𝑢 𝑑𝑢


∫ csc 𝑢 cot 𝑢 𝑑𝑢 = − csc 𝑢 + 𝐶

Demostración

15. − ∫ tan 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑙𝑛|sec 𝑢| + 𝐶

∫ tan 𝑢 𝑑𝑢 = ∫𝑠𝑒𝑛 𝑢

cos 𝑢 𝑑𝑢

Pero Haciendo 𝑣 = cos 𝑢 , entonces 𝑑𝑣 = −𝑠𝑒𝑛 𝑢 𝑑𝑢, también −𝑑𝑣 = 𝑠𝑒𝑛 𝑢 𝑑𝑢

∫𝑠𝑒𝑛 𝑢

cos 𝑢 𝑑𝑢 = ∫ −

𝑑𝑣

𝑣= − ∫

𝑑𝑣

𝑣= −𝑙𝑛|𝑣| + 𝐶 = −𝑙𝑛|cos 𝑢| = 𝑙𝑛|sec 𝑢| + 𝐶

Por lo tanto:

∫ tan 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑙𝑛|sec 𝑢| + 𝐶

Demostración

16. − ∫ cot 𝑢 𝑑𝑢 = ln|𝑠𝑒𝑛 𝑢| + 𝐶

Pero

∫ cot 𝑢 𝑑𝑢 = ∫cos 𝑢

𝑠𝑒𝑛 𝑢 𝑑𝑢

Haciendo 𝑣 = 𝑠𝑒𝑛 𝑢, entonces𝑑𝑣 = cos 𝑢 𝑑𝑢

∫cos 𝑢

𝑠𝑒𝑛 𝑢 𝑑𝑢 = ∫

𝑑𝑣

𝑣= 𝑙𝑛|𝑣| + 𝐶 = 𝑙𝑛|𝑠𝑒𝑛 𝑢| + 𝐶

Por lo tanto:

∫ cot 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑙𝑖𝑛|𝑠𝑒𝑛 𝑢| + 𝐶

Demostración

17) ∫ sec 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑙𝑛|sec 𝑢 + tan 𝑢| + 𝐶

Multiplicando y dividiendo la integral por sec 𝑢 + tan 𝑢 se tiene:

∫ sec 𝑢 𝑑𝑢 = ∫sec 𝑢 (sec 𝑢 + tan 𝑢)

(sec 𝑢 + tan 𝑢) 𝑑𝑢

Haciendo 𝑣 = sec 𝑢 + tan 𝑢, entonces 𝑑𝑣 = (sec 𝑢 tan 𝑢 + 𝑠𝑒𝑐2 𝑢)

∫sec u (sec 𝑢 + tan 𝑢)

(sec 𝑢 + tan 𝑢) 𝑑𝑢 = ∫

𝑑𝑣

𝑣= ln 𝑣 + 𝐶 = ln (sec 𝑢 + tan 𝑢) + 𝐶

∫ sec 𝑢 𝑑𝑢 = ln(sec 𝑢 + tan 𝑢) + 𝐶

Demostración

18) ∫ csc 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑙𝑛|csc 𝑢 − cot 𝑢| + 𝐶

Multiplicando y dividiendo la integral por csc 𝑢 − cot 𝑢se tiene:

∫ csc 𝑢 𝑑𝑢 = ∫csc 𝑢 (csc 𝑢 − cot 𝑢)

(csc 𝑢 − cot 𝑢)𝑑𝑢

Haciendo 𝑣 = csc 𝑢 − 𝑐𝑜 𝑢, entonces 𝑑𝑣 = (− csc 𝑢 𝑐𝑜 𝑢 + 𝑐𝑠𝑐2𝑢) 𝑑𝑣 = csc 𝑢(csc 𝑢 − cot 𝑢)

∫csc 𝑢 (csc 𝑢 − cot 𝑢)

(csc 𝑢 − cot 𝑢) 𝑑𝑢 = ∫

𝑑𝑣

𝑣 𝑑𝑣 = ln 𝑣 + 𝐶 = 𝑙𝑛(csc 𝑢 − cot 𝑢) + 𝐶

∫ sec 𝑢 𝑑𝑢 = ln(sec 𝑢 + tan 𝑢) + 𝐶

Demostración

19) ∫𝑑𝑢

𝑢2 + 𝑎2=

1

𝑎 𝑎𝑟𝑐 tan

𝑢

𝑎+ 𝐶

De la diferencial de 𝑎𝑟𝑐 tan𝑢

𝑎 tenemos:

𝑑(𝑎𝑟𝑐 tan𝑢

𝑎) =

𝑑 (𝑢𝑎

)

1 + (𝑢𝑎

)2 =

𝑑𝑢𝑎

1 +𝑢2

𝑎2

=

𝑑𝑢𝑎

𝑎2 + 𝑢2

𝑎2

=𝑎 𝑑𝑢

𝑎2 + 𝑢2

1

𝑎𝑑 (𝑎𝑟𝑐 tan

𝑢

𝑎) =

𝑑𝑢

𝑎2 + 𝑢2

Integrando 1

𝑎∫ 𝑑(𝑎𝑟𝑐 tan

𝑢

𝑎) = ∫

𝑑𝑢

𝑎2 + 𝑢2

1


𝑢

𝑎+ 𝐶 = ∫

𝑑𝑢

𝑎2 + 𝑢2

Por lo tanto

∫𝑑𝑢

𝑎2 + 𝑢2=

1


𝑢

𝑎+ 𝐶

Demostración

20) ∫𝑑𝑢

𝑢2 − 𝑎2𝑑𝑢 =

1

2𝑎𝑙𝑛 |

𝑢 − 𝑎

𝑢 + 𝑎| + 𝐶

Utilizando

1

𝑢2 − 𝑎2=

1

2𝑎[

1

𝑢 − 𝑎−

1

𝑢 + 𝑎]

Integrando ambos miembros:

∫1

𝑢2 − 𝑎2𝑑𝑢 = ∫

1

2𝑎[

1

𝑢 − 𝑎−

1

𝑢 + 𝑎] 𝑑𝑢 =

1

2𝑎∫

1

𝑢 − 𝑎𝑑𝑢 −

1

2𝑎∫

1

𝑢 + 𝑎𝑑𝑢

=1

2𝑎𝑙𝑛⌈𝑢 − 𝑎⌉ −

1

2𝑎𝑙𝑛⌈𝑢 + 𝑎⌉ + 𝐶

Aplicando las propiedades de los logaritmos en el segundo miembro se tiene:

∫𝑑𝑢

𝑢3 − 𝑎3=

1

2𝑎𝑙𝑛 |

𝑢 − 𝑎

𝑢 + 𝑎| + 𝐶

Demostración

21) ∫𝑑𝑢

𝑎2 − 𝑢2=

1

2𝑎𝑙𝑛 |

𝑎 + 𝑢

𝑎 − 𝑢| + 𝐶

Utilizando 1

𝑎2 − 𝑢2=

1

2𝑎[

1

𝑎 + 𝑢−

1

𝑎 − 𝑢]

Integrando ambos miembros:

∫1

𝑎2 − 𝑢2= ∫

1

2𝑎[

1

𝑎 + 𝑢−

1

𝑎 − 𝑢] 𝑑𝑢 =

1

2𝑎∫

1

𝑎 + 𝑢 𝑑𝑢 −

1

2𝑎∫

1

𝑎 − 𝑢 𝑑𝑢

=1

2𝑎𝑙𝑛|𝑎 + 𝑢| −

1

2𝑎𝑙𝑛 |

𝑎 + 𝑢

𝑎 − 𝑢| + 𝐶

Aplicando las propiedades de los logaritmos en el segundo miembro se tiene:

∫𝑑𝑢

𝑎2 − 𝑢2=

1

2𝑎𝑙𝑛 |

𝑎 + 𝑢

𝑎 − 𝑢| + 𝐶

Demostración

22) ∫𝑑𝑢

√𝑎2 − 𝑢2= 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛

𝑢

𝑎+ 𝐶

De la diferencial de 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝑢

𝑎 , se tiene

𝑑 (𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝑢

𝑎) =

𝑑 (𝑢𝑎

)

√1 − (𝑢𝑎

)2

=

𝑑𝑢𝑎

√1 −𝑢2

𝑎2

=

𝑑𝑢𝑎

√𝑎2 − 𝑢2

𝑎2

=𝑑𝑢

√𝑎2 − 𝑢2

Integrando ambos miembros de la igualdad se tiene:

∫ 𝑑 (𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝑢

𝑎) = ∫

𝑑𝑢

√𝑎2 − 𝑢2

𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝑢

𝑎+ 𝐶 = ∫

𝑑𝑢

√𝑎2 − 𝑢2

Por lo tanto

∫𝑑𝑢

√𝑎2 − 𝑢2= 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛

𝑢

𝑎+ 𝐶

Demostración

23) ∫𝑑𝑢

√𝑢2 ± 𝑎2= 𝑙𝑛 |𝑢 + √𝑢2 ± 𝑎2| + 𝐶

Sea 𝑣2 = 𝑢2 ± 𝑎2 , entonces 2𝑣 𝑑𝑣 = 2𝑢 𝑑𝑢 , también 𝑣𝑑𝑣 = 𝑢 𝑑𝑢 Sumando 𝑣 𝑑𝑢 a ambos miembros de la igualdad 𝑣 𝑑𝑣 + 𝑣𝑑𝑢 = 𝑢𝑑𝑢 + 𝑣𝑑𝑢 Factorizando ambos miembros 𝑣(𝑑𝑣 + 𝑑𝑢) = (𝑣 + 𝑢)𝑑𝑢 Despejando 𝑑𝑢

𝑣=

𝑑𝑣 + 𝑑𝑢

𝑣 + 𝑢

También 𝑑𝑢

𝑣=

𝑑𝑣

𝑣+

𝑑𝑢

𝑢

De donde

∫𝑑𝑢

√𝑢2 ± 𝑎2= ∫

𝑑𝑢

𝑣= ∫

𝑑𝑣 + 𝑑𝑢

𝑣 + 𝑢= ∫

𝑑(𝑣 + 𝑢)

𝑣 + 𝑢= 𝑙𝑛|𝑢 + 𝑣| + 𝐶 = 𝑙𝑛 |𝑢 + √𝑢2 ± 𝑎2| + 𝐶

Por lo tanto:

∫𝑑𝑢

√𝑢2 ± 𝑎2ln |𝑢 + √𝑢2 ± 𝑎2| + 𝐶

FORMULAS DE INTEGRALES INMEDIATAS

1.-∫(𝑑𝑢 + 𝑑𝑣 − 𝑑𝑤) = ∫ 𝑑𝑢 + ∫ 𝑑𝑣 − ∫ 𝑤 14.∫ csc 𝑢 𝑐𝑜𝑡 𝑢 𝑑𝑢 = − csc 𝑢 + 𝐶

2.- ∫ 𝑎 𝑑𝑢 = 𝑎 ∫ 𝑑𝑢

15.∫ tan 𝑢 𝑑𝑢 = ln|sec 𝑢| + 𝐶 = − ln cos 𝑢 + 𝐶

3.-∫ 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝐶

16.- ∫ cot 𝑢 𝑑𝑢 = ln|𝑠𝑒𝑛 𝑢| + 𝐶

4.- ∫ 𝑢𝑛𝑑𝑢 =𝑢𝑛+1

𝑛+1+ 𝐶 𝑛 ≠ −1

17.-∫ sec 𝑢 𝑑𝑢 = ln|sec 𝑢 + tan 𝑢| + 𝐶

5.- ∫ 𝑥𝑛𝑑𝑥 =𝑥𝑛+1

𝑛+1+ 𝐶 𝑛 ≠ −1

18.- ∫ csc 𝑢 𝑑𝑢 = ln(csc 𝑢 − cot 𝑢) + 𝐶

6.-∫𝑑𝑢

𝑢= ln 𝑢 + 𝐶

19.-∫𝑑𝑢

𝑢2+𝑎2 =1


𝑢

𝑎+ 𝐶

7.-∫ 𝑎𝑢 𝑑𝑢 =𝑎𝑢

ln 𝑎+ 𝐶

20.-∫𝑑𝑢

𝑢2−𝑎2 =1

2𝑎𝑙𝑛

𝑢−𝑎

𝑢+𝑎+ 𝐶 (𝑢 > 𝑎)

8.∫ 𝑒𝑢𝑑𝑢 = 𝑒𝑢 + 𝐶 21.-∫𝑑𝑢

𝑎2−𝑢2 =1

2𝑎ln

𝑎+𝑢

𝑎−𝑢+ 𝐶 (𝑢 > 𝑎)

9.-∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑢 𝑑𝑢 = − cos 𝑢 + 𝐶

22.-∫𝑑𝑢

√𝑎2−𝑢2= 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛

𝑢

𝑎+ 𝐶

10.- ∫ cos 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑛 𝑢 + 𝐶

23.-∫𝑑𝑢

𝑢2±𝑎2 = 𝑙𝑛 (𝑢 + √𝑢2 ± 𝑎2) + 𝐶

11.-∫ 𝑠𝑒𝑐2 𝑢 𝑑𝑢 = tan 𝑢 + 𝐶

24.- ∫ √𝑎2 − 𝑢2𝑑𝑢 =𝑢

2√𝑎2 − 𝑢2 +

𝑎2

2 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛

𝑢

𝑎+ 𝐶

12.-∫ 𝑐𝑠𝑐2 𝑢 𝑑𝑢 = − cot 𝑢 + 𝐶 25.∫ √𝑢2 ± 𝑎2𝑑𝑢 =𝑢

2√𝑢2 ± 𝑎2 +

𝑎2

2 𝑖𝑛(𝑢 + √𝑢2 ± 𝑎2 + 𝐶

13.-∫ sec 𝑢 tan 𝑢 𝑑𝑢 = sec 𝑢 + 𝐶


Tema: Reglas básicas de integración

La derivación de una función elemental es directa, sólo requiere de un uso sistemático de las reglas aprendidas en el curso de cálculo diferencial, el resultado de dichas reglas de derivación siempre será una función elemental. La integración (anti derivación) es un proceso algo complejo, ya que implica diversas técnicas acompañadas en la mayoría de los casos de un gran manejo de algebra y trigonometría, y aun así no siempre se obtiene una función elemental, un claro ejemplo es

la función 𝑒−𝑥2 la cual no es elemental.

Dos de las principales técnicas de integración son el cambio de variable y la integración por partes, el uso eficaz del método de cambio de variable depende en gran medida del conocimiento que se tenga de algebra y de la pronta familiarización que se tenga con las

fórmulas de integración en su forma estándar, de momento nos limitaremos a trabajar con

fórmulas elementales de integración conocidas como integrales inmediatas que son la base

para deducir fórmulas más complejas.

Resuelve las siguientes Integrales. En la primera oportunidad que tengas pregúntale a tu

profesor las dudas que se te presenten.

1. ∫ 𝑥4 𝑑𝑥

2. ∫𝑑𝑥

𝑥2

3. ∫ 𝑥2

3⁄ 𝑑𝑥

4. ∫𝑑𝑥

√𝑥

5. ∫𝑑𝑥

√𝑥3

6. ∫ 3 𝑎𝑦2 𝑑𝑦

7. ∫2 𝑑𝑡

𝑡2

8. ∫ √ 𝑎𝑥 𝑑𝑥

9. ∫𝑑𝑥

√2 𝑥

10. ∫ √3 𝑡 𝑑𝑡3

11. ∫(𝑥3

2⁄ − 2 𝑥2

3⁄ + 5√𝑥

− 3) 𝑑𝑥

12. ∫4 𝑥2 − 2√𝑥

𝑥𝑑𝑥

13. ∫ (𝑥2

2−

2

𝑥2) 𝑑𝑥

14. ∫ √𝑥 (3 𝑥 − 2) 𝑑𝑥

15. ∫𝑥3 − 6 𝑥 + 5

𝑥𝑑𝑥

16. ∫ √𝑥 − 5√𝑥23

𝑑𝑥

17. ∫(𝑦3 − 10𝑦2 + 1) 𝑑𝑦

18. ∫(3

𝑥2−

1

𝑥)𝑑𝑥

19. ∫(−1

√𝑥3 +

2

5𝑥

−4

3 )𝑑𝑥

20. ∫𝑥5−3𝑥3+𝑥2

𝑥2𝑑𝑥

Actividad de Auto Aprendizaje 4.1.

Tema: Integrales de funciones algebraicas

Se entiende por integración de funciones algebraicas aquellas funciones que necesitan un proceso

algebraico elemental para que pueda ser integrada, en este tema, solo se trataran integrales en cuya

función se requiere emplear el método algebraico de completar el trinomio cuadrado perfecto, para

poder utilizar algunas de las fórmulas de integración básica y obtener el resultado.

Resuelve las siguientes Integrales. En la primera oportunidad que tengas pregúntale a tu

profesor las dudas que se te presenten

1. ∫𝑑𝑥

𝑥2+4𝑥+3= 1

2⁄ 𝑙𝑛 (𝑥+1

𝜋+3) + 𝑐

2. ∫𝑑𝑥

2𝑥−𝑥2−10= −

1

3arctg (

𝑥−1

3) + 𝐶

3. ∫3 𝑑𝑥

𝑥2−8𝑥+25= arctg (

𝑥−4

3) + 𝑐

4. ∫𝑑𝑥

√3𝑥−𝑥2−2= 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(2𝑥 − 3) + 𝑐

5. ∫𝑑𝑣

𝑣2−6𝑣+5= 1 4⁄ 𝑙𝑛 (

𝑣−5

𝑣−1) + 𝑐

6. ∫𝑑𝑥

2𝑥2−2𝑥+1= arctg(2𝑥 − 1) + 𝑐

7. ∫𝑑𝑥

√15+2𝑥−𝑥2= 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (

𝑥−1

4) + 𝑐

8. ∫𝑑𝑥

𝑥2+2𝑥=

1

2ln (

𝑥

𝑥+2) + 𝐶

9. ∫𝑑𝑥

4𝑥−𝑥2 = 14⁄ ln (

𝑥

𝑥−4) + 𝐶

10. ∫𝑑𝑥

√2𝑥−𝑥2= 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛(𝑥 − 1) + 𝑐

11. ∫𝑑𝑠

√2𝑎𝑠+𝑠2= ln(𝑠 + 𝑎 + √2𝑎𝑠 + 𝑠2) + 𝑐

12. ∫𝑑𝑦

𝑦2+3𝑦+1=

1

√5ln (

2𝑦+3−√5

2𝑦+3+√5) + 𝐶

13. ∫𝑑𝑥

1+𝑥+𝑥2 =2

√3arctg (

2𝑥+1

√3) + 𝑐

14. ∫𝑑𝑥

√1+𝑥+𝑥2= ln (𝑥 +

1

2+ √1 + 𝑥 + 𝑥2) + 𝑐

15. ∫𝑑𝑥

4𝑥2+4𝑥+5=

1

4arctg (

2𝑥+1

2) + 𝑐

16. ∫𝑑𝑥

𝑥2+6𝑥+5=

1

4𝑙𝑛 |

𝑥+1

𝑥+5| + 𝑐

17. ∫𝑥 𝑑𝑥

√𝑥2−25= (𝑥2 − 25)

1

2+c

18. ∫𝑥+2

(𝑥+1)√𝑥+3𝑑𝑥 = 2√𝑥 + 3 +

1

√2𝑙𝑛 |

𝑥+5−2√2(𝑥+3)

𝑥+1| + 𝑐

19. ∫𝑑𝑥

𝑥2+25=

1

5𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛

𝑥

5+ 𝑐

20. ∫𝑑𝑥

√4−49𝑥2=

1

7𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛

7𝑥

2+ 𝑐

Capítulo V. Integración por cambio de variable

Objetivo: Resuelve integrales reducibles a inmediatas, a través de transformaciones

algebraicas, empleando el método de cambio de variable en su entorno académico.





de enseñanza que se presentan. Este método consiste en transformar la integral dada en otra más sencilla mediante un cambio de

variable independiente. Aunque algunos casos tienen un método preciso, es la práctica, en general,

la que proporciona la elección del cambio de variable más conveniente.

Muchas integrales de apariencia complicada se pueden reducir a integrales inmediatas de la forma

∫ 𝑢𝑛 𝑑𝑢 = 𝑢𝑛+1

𝑛+1+ 𝐶, para esto es necesario distinguir, dentro de la integral dada, el factor que puede

ser considerado como 𝑢, que es generalmente el que está afectado por algún exponente, y en base

a esto, hallar y completar, si es necesario, la diferencial 𝑑𝑢.

Ejemplo:

1. ∫ 𝑥 √𝑥2 + 5 𝑑𝑥

Ordenando y expresando la raíz en forma de potencia fraccionaria

∫ 𝑥 √𝑥2 + 5 𝑑𝑥 = ∫(𝑥2 + 5)12 𝑥 𝑑𝑥

Haciendo 𝑢 = 𝑥2 + 5 entonces 𝑑𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑥 ∴ 𝑑𝑢

2= 𝑥 𝑑𝑥

Sustituyendo ambas expresiones

= 1

2∫(𝑢)

12 ⁄ 𝑑𝑢

Integrando se tiene

= 1

2∫(𝑢)

12 ⁄ 𝑑𝑢 =

1

2 𝑢

12

+1

12

+ 1 + 𝐶 =

𝑢 32

3+ 𝐶

Finalmente

∫ 𝑥 √𝑥2 + 5 𝑑𝑥 = √(𝑥2 + 5)3

3+ 𝐶

2. ∫𝑥 𝑑𝑥

√4𝑥2 − 7

Ordenando y expresando la raíz en forma de potencia fraccionaria

∫𝑥 𝑑𝑥

√4𝑥2 − 7= ∫(4𝑥2 − 7)−

1 2 𝑥 𝑑𝑥

Haciendo 𝑢 = 4𝑥2 − 7 entonces 𝑑𝑢 = 8𝑥 𝑑𝑥 ∴ 𝑑𝑢

8= 𝑥 𝑑𝑥


1

8∫(𝑢)−

12

8 𝑑𝑢

Integrando

1

8∫(𝑢)−

12

8 𝑑𝑢 =1

8 𝑢

12

12

+ 𝐶

Finalmente

∫𝑥 𝑑𝑥

√4𝑥2 − 7=

√4𝑥2 − 7

4 + 𝐶

3. ∫𝑥2 + 1

√𝑥3 + 3𝑥 𝑑𝑥

∫𝑥2 + 1

√𝑥3 + 3𝑥 𝑑𝑥 = ∫(𝑥3 + 3𝑥)−

12 (𝑥2 + 1) 𝑑𝑥

Sea 𝑢 = 𝑥3 + 3𝑥 entonces 𝑑𝑢 = (3𝑥2 + 3) 𝑑𝑥 ∴ 𝑑𝑢

3= 3(𝑥2 + 1) 𝑑𝑥


1

3∫ 𝑢−

12 𝑑𝑢 =

1

3 𝑢

12

12

+ 𝐶


Resuelve las siguientes integrales. En la primera oportunidad que tengas pregúntale a tu profesor


1.∫ √𝑎 + 𝑏𝑥 𝑑𝑥

2. ∫𝑑𝑦

√𝑎 − 𝑏𝑦

3.∫(𝑎 + 𝑏𝑡)2 𝑑𝑡

4.∫ 𝑥 (2 + 𝑥2)2 𝑑𝑥

5. ∫ 𝑦 (𝑎 − 𝑏𝑦2) 𝑑𝑦

6. ∫ 𝑡 √2 𝑡2 + 3 𝑑𝑡

7. ∫ 𝑥 (2 𝑥 + 1)2 𝑑𝑥

8. ∫4 𝑥2 𝑑𝑥

√𝑥3 + 8

9. ∫6 𝑧 𝑑𝑧

(5 − 3 𝑧2)2

10. ∫(√𝑎 – √𝑥 )2 𝑑𝑥

√𝑥

11. ∫ √𝑥 (√𝑎 − √𝑥)2 𝑑𝑥

12. ∫𝑡3 𝑑𝑡

√𝑎4 + 𝑡4

13. ∫𝑑𝑦

(𝑎 + 𝑏𝑦2)3

14. ∫𝑥 𝑑𝑥

(𝑎 + 𝑏𝑥2)3

15.∫𝑡2 𝑑𝑡

(𝑎+𝑏𝑡3)2

16.∫2𝑥−3

(𝑥2−3𝑥+6)2𝑑𝑥

17.∫(𝑥2 + 2) √𝑥3 + 6𝑥 − 3𝑑𝑥

18. ∫2𝑥

√6−5𝑥23 𝑑𝑥

19. ∫𝑒𝑥

√𝑒𝑥−5𝑑𝑥

21. ∫𝑒𝛳𝑑𝛳

𝑎+𝑏𝑒𝛳

𝑐𝑜𝑛 𝑎 𝑦 𝑏 𝑐𝑡𝑒𝑠.

Actividad de Enseñanza 6.1.

Integrales que Contienen Funciones Trigonométricas

Se trata de integrales en las que aparecen las funciones trigonométricas:

sen 𝑥 , cos 𝑥, tan 𝑥 , cot 𝑥 , sec 𝑥 𝑦 csc 𝑥. Para resolver este tipo de integrales es necesario aplicar el

método de integración de cambio de variable, en ocasiones estas funciones pueden aparecer dentro

de una expresión racional 𝑃(𝑥)

𝑄(𝑥), el tal caso la mayoría de las veces el problema se resuelve haciendo

un cambio de variable en el denominador, de no poder hacer el cambio de variable se tiene que

aplicar alguna identidad trigonométrica que me exprese la función en términos de alguna de las

fórmulas de integración establecidas.

Ejemplo:

∫ 𝑆𝑒𝑛 2𝑥 𝑑𝑥 =

Haciendo 𝑢 = 2𝑥 entonces 𝑑𝑢 = 2 𝑑𝑥 ∴ 𝑑𝑢

2= 𝑑𝑥


∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑢 1𝑑𝑢

2=

Sacamos la constante

1

2∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑢 𝑑𝑢

Aplicando la formula ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑢 𝑑𝑢 = − cos 𝑢 + 𝐶

= −1

2cos 𝑢 + 𝐶

Finalmente se sustituye el valor de la variable “u”

−𝟏

𝟐𝐜𝐨𝐬 𝟐𝒙 + 𝑪




1. ∫ 𝑠𝑒𝑛2𝑥

3𝑑𝑥

2. ∫ cos(𝑏 + 𝑎𝑥) 𝑑𝑥

3. ∫ csc2(𝑎 − 𝑏𝑥) 𝑑𝑥

4. ∫ sec𝜃

2tg

𝜃

2𝑑𝜃

5. ∫ csc𝑎𝛷

𝑏ctg

𝑎𝛷

𝑏𝑑𝛷

6. ∫ 𝑒𝑥 ctg 𝑒𝑥 𝑑𝑥

7. ∫ sec2 2𝑎𝑥 𝑑𝑥

8. ∫ tg𝑥

3𝑑𝑥

9. ∫𝑑𝑡

tg 5𝑡

10. ∫𝑑𝜃

𝑠𝑒𝑛24𝜃

11. ∫𝑑𝑦

ctg 7𝑦

12. ∫𝑠𝑒𝑛√𝑥 𝑑𝑥

√𝑥

13. ∫𝑑𝑡

sin2 3𝑡

14. ∫𝑑𝜙

cos 4 𝜙

15. ∫𝑎𝑑𝑥

cos2 𝑏𝑥

16. ∫ (sec 2𝜃 − csc𝜃

2) 𝑑𝜃

17.∫𝑠𝑒𝑛𝑥+𝑐𝑜𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥

18. ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝛿3 − 4)(𝛿2) 𝑑𝛿

19. ∫ 𝑐𝑜𝑡𝑦

2𝑑𝑦

20. ∫𝑐𝑠𝑐2√𝑧

√𝑧𝑑𝑧


Integrales que Contienen Funciones Exponenciales

La función exponencial es quizás la función más eficiente en términos de las operaciones de cálculo. La función exponencial, 𝑦 = 𝑒𝑥 es su propia derivada y su propia integral. Las funciones exponenciales se pueden integrar utilizando las siguientes fórmulas:

∫ 𝑒𝑢𝑑𝑢 = 𝑒𝑢 + 𝐶

∫ 𝑎𝑢𝑑𝑢 =𝑎𝑢

ln 𝑎+ 𝐶

Ejemplo:

∫ 𝑎4𝑥𝑑𝑥 =

Haciendo 𝑢 = 4𝑥 entonces 𝑑𝑢 = 4 𝑑𝑥 𝑦 𝑎 = 𝑎 ∴ 𝑑𝑢

4= 𝑑𝑥


∫ 𝑎𝑢 1𝑑𝑢

4=


1

4∫ 𝑎𝑢 𝑑𝑢

Aplicando la formula ∫ 𝑎𝑢

𝑑𝑢 =1

4

𝑎𝑢

ln 𝑎+ 𝐶

= 1

4

𝑎𝑢

ln 𝑎𝐶


𝟏

𝟒

𝒂𝟒𝒙

𝒍𝒏 𝒂+ 𝑪

Ejemplo 2:

∫ 𝑥2𝑒𝑥3𝑑𝑥 =

Haciendo 𝑢 = 𝑥3 entonces 𝑑𝑢 = 3𝑥2𝑑𝑥 ∴ 𝑑𝑢

3= 𝑥2 𝑑𝑥


∫ 𝑒𝑢 1𝑑𝑢

3=


1

3∫ 𝑒𝑢 𝑑𝑢

Aplicando la formula 𝑒𝑢 𝑑𝑢 = 𝑒𝑢 + 𝐶

1

3∫ 𝑒𝑢 𝑑𝑢 =

1

3𝑒𝑢 + 𝐶

=


1𝑒𝑥3

3+ 𝐶




1. ∫ 5 𝑒𝑎𝑥 𝑑𝑥

2. ∫3 𝑑𝑥

𝑒𝑥

3. ∫4 𝑑𝑡

√𝑒𝑡

4. ∫ 𝑐𝑎𝑥 𝑑𝑥

5. ∫𝑑𝑥

42𝑥

6. ∫ 𝑥2𝑥3 𝑑𝑥

7. ∫ (𝑒𝑥 + 4

𝑒𝑥) 𝑑𝑥

8. ∫𝑒𝑥 𝑑𝑥

𝑒𝑥 − 2

9. ∫ 𝑥 ( 𝑒𝑥2+ 2) 𝑑𝑥

10. ∫𝑒√𝑥 − 3

√𝑥 𝑑𝑥

11. ∫ 𝑡 2𝑡2 𝑑𝑡

12. ∫𝑎 𝑑𝜃

𝑏3𝜃

13. ∫ 6 𝑥𝑒−𝑥2𝑑𝑥

14. ∫(𝑒2𝑥)2 𝑑𝑥

15. ∫𝑥2 𝑑𝑥

𝑒𝑥3

16.∫ 9𝑥+1𝑑𝑦

17. ∫ 𝑒𝑠𝑒𝑛𝑧𝑐𝑜𝑠𝑧𝑑𝑧

18. ∫ 𝑥(2−3𝑥2)𝑑𝑥

19. ∫(72𝑡 − 𝑒−𝑡)𝑑𝑡

20. ∫ √𝑒−𝑥3𝑑𝑥


Integrales que Contienen Funciones Propias

La integración de funciones racionales, son aquellas integrales cuyo integrando son cocientes de polinomios en donde el numerador es siempre menor que el denominador. Algunas de las integrales que se resuelven no son de este tipo hasta aplicarles un cambio de variable. Algunas integrales tienen como resultado un logaritmo. Esto es, las integrales en las que el numerador del integrando puede escribirse como la derivada del denominador y, por tanto, su resolución es inmediata. Por ejemplo

∫𝑥

1 + 𝑥2𝑑𝑥 =

1

2ln|1 + 𝑥2| + 𝐶

Existen básicamente tres tipos de integrales de funciones racionales según el tipo del integrando. Cada uno de estos tipos tiene su propio método de resolución. Suponga que se tiene la integral

∫𝑃(𝑥)

𝑄(𝑥)𝑑𝑥

Donde, 𝑃(𝑥) y 𝑄(𝑥) son polinomios, como ya se habia mencionado hay tres tios de fracciones de funciones racionales en esta sección solo se tratara el siguiente caso: Si el grado de 𝑃(𝑥) es mayor o igual al grado de 𝑄(𝑥), se realiza la división de polinomios y posteriormente se integra termino a termino

Ejemplo:

∫𝑑𝑥

𝑥 − 1=

Haciendo 𝑢 = 𝑥 − 1 entonces 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 ∴ 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥


∫ 𝑑𝑢

𝑢=

Aplicando la formula∫𝑑𝑢

𝑢= 𝑙𝑛|𝑢| = +𝐶

𝑙𝑛|𝑢| + 𝐶


𝑙𝑛|𝑥 − 1| + 𝐶

Ejemplo 2:

∫3𝑥

𝑥2 + 2 𝑑𝑥 =

Sacamos la constante fuera del símbolo de integración

3 ∫𝑥

𝑥2 + 2 𝑑𝑥 =

Haciendo 𝑢 = 𝑥2 + 2 entonces 𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥 ∴ 𝑑𝑢

2= 𝑑𝑥


3 ∫

𝑑𝑢2𝑢

=

Sacamos la constante fuera del símbolo de Integral

3

2∫

𝑑𝑢

𝑢=

Aplicando la formula∫𝑑𝑢

𝑢= 𝑙𝑛|𝑢| = +𝐶

3

2𝑙𝑛|𝑢| + 𝐶


3

2𝑙𝑛|𝑥2 + 2| + 𝐶




1. ∫(2 𝑥 + 3) 𝑑𝑥

𝑥2 + 2

2. ∫(𝑥2 + 2) 𝑑𝑥

𝑥3 + 1

3. ∫4 𝑑𝑥

2 𝑥 + 3

4. ∫𝑒2𝑠 𝑑𝑠

𝑒3𝑠 + 1

5. ∫𝑎𝑒𝜃 + 𝑏

𝑎𝑒2𝜃 − 𝑏𝑑𝜃

6. ∫(2 𝑥 + 7) 𝑑𝑥

𝑥2 + 3

7. ∫(𝑥2 + 2) 𝑑𝑥

𝑥3 + 2

8. ∫(𝑥3 + 3) 𝑑𝑥

𝑥4 + 3𝑥

9. ∫3 𝑑𝑥

2 + 3𝑥

10. ∫(𝑥2 − 4) 𝑑𝑥

𝑥4

11. ∫(𝑒𝑡 + 2)𝑑𝑡

𝑒2𝑡 + 2𝑡

12.∫ (𝑒𝑥

𝑒𝑥+4) 𝑑𝑥

13.∫2

√9𝑦2+8𝑑𝑦

14. ∫𝑒2𝑡

𝑒2𝑡+3𝑑𝑡

15. ∫ 3𝑥𝑡𝑎𝑛(1 + 𝑥2)𝑑𝑥

16. ∫𝑠𝑒𝑛𝑦+3𝑐𝑜𝑠𝑦

2+𝑐𝑜𝑠𝑦−3𝑠𝑒𝑛𝑦𝑑𝑦

17. ∫3𝑒2𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑒2𝑥𝑑𝑥

18. ∫5𝑐𝑜𝑠2𝑧𝑡𝑎𝑛𝑧

1+𝑐𝑜𝑠2𝑧𝑑𝑧

19. ∫𝑠𝑒𝑐𝜋

3𝑡𝑎𝑛𝜋𝑑𝜋

20. ∫𝑑𝑥

√4𝑥2+4𝑥+10

Capítulo VII.INTEGRAL POR PARTES

Objetivo: Resuelve Integrales por el método de integración por partes, en su entorno





de enseñanza que se presentan.

Ahora vamos a ver uno de los métodos de integración más importantes del cálculo integral,

llamado integración por partes. Este método se aplica, principalmente, a integrales que

contienen productos, y en ciertas ocasiones a integrales que contienen cocientes de

funciones.

Sean u y v funciones de la misma variable, entonces, según la diferencial de un producto, se tiene: 𝑑(𝑢 ∙ 𝑣) = 𝑢 𝑑𝑣 + 𝑣 𝑑𝑢

Despejando el término 𝑢 𝑑𝑣 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑑(𝑢 ∙ 𝑣) − 𝑣 𝑑𝑢 Integrando ambos miembros, se obtiene

∫ 𝑢 𝑑𝑣 = ∫ 𝑑(𝑢 ∙ 𝑣) − ∫ 𝑣 𝑑𝑢

Esta es la fórmula de integral por partes

∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢 ∙ 𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢

Para aplicar en la práctica, se separa el integrando en dos partes; una de ellas se iguala a 𝑢 y la otra junto con 𝑑𝑥 a 𝑑𝑣. Por esta razón este método se denomina integración por partes. Es conveniente tener en cuenta los dos criterios siguientes: 1.- La parte que se iguale a 𝑑𝑣 debe de ser fácilmente integrable. 2.- L a integral ∫ 𝑣 𝑑𝑢 no debe de ser más complicada que ∫ 𝑢 𝑑𝑣 A continuación se tiene un cuadro que puede ser útil de cómo y cuándo hay que seleccionar las partes 𝑢 y 𝑑𝑣 del integrando. Cuando se tenga:

Función Algebraica y Función Trigonométrica o Exponencial

Función Algebraica y Función Trigonométrica Inversa

Función Exponencial y Función Trigonométrica

Función Algebraica Función Logarítmica

Ejemplos: 1. ∫ 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥

Sea

𝑢 = 𝑥 𝑑𝑣 = cos 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑣 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥

Sustituyendo estas expresiones en la fórmula de integración por partes se tiene:

cos

u v v du

x x dx x sen x sen x dx

Integrando = 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − (− cos 𝑥) + 𝑐 = 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + cos 𝑥 + 𝐶 2. ∫ 𝑥 ln 𝑥 𝑑𝑥 Sea

𝑢 = ln 𝑥 𝑑𝑣 = 𝑥 𝑑𝑥

𝑑𝑢 =𝑑𝑥

𝑥 𝑣 =

𝑥2

2

Sustituyendo estas expresiones en la fórmula de integral por partes:

2 2

ln ln2 2

uv v du

x x dxx x dx x

x

Ordenando se tiene:

2 1ln

2 2

xx x dx

Integrando

= 𝑥2 ln 𝑥

2−

𝑥2

4+ 𝐶

3. ∫ 𝑥 cos 3𝑥 𝑑𝑥 Sea

𝑢 = 𝑥 𝑑𝑣 = cos 3𝑥 𝑑𝑥

𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑣 =1

3𝑠𝑒𝑛 3𝑥


1 1cos 3 3 3

3 3u du

v v

x x dx x sen x sen x dx

Ordenando

= 𝑥 𝑠𝑒𝑛 3𝑥

3−

1

3 ∫ 𝑠𝑒𝑛 3𝑥 𝑑𝑥

Integrando

= 𝑥 ∙1

3𝑠𝑒𝑛 3𝑥 −

1

9(− cos 3𝑥) + 𝐶

= 1

3𝑥 𝑠𝑒𝑛 3𝑥 +

1

9cos 3𝑥 + 𝐶

Finalmente

= 𝑥 𝑠𝑒𝑛 3𝑥

3+

cos 3𝑥

9 * C

4. ∫ 𝑒𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 Sea

𝑢 = 𝑒𝑥 𝑑𝑣 = sen 𝑥 𝑑𝑥

𝑑𝑢 = 𝑒𝑥𝑑𝑥 𝑣 = −𝑐𝑜𝑠 𝑥


cos cosx x x

u duv v

e sen x dx e x x e dx

Ordenando = 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + ∫ 𝑒𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 La integral ∫ 𝑣 𝑑𝑢 , es muy similar con la que empezamos a integrar, la cual la resolvemos también por partes Sea

𝑢 = 𝑒𝑥 𝑑𝑣 = cos 𝑥 𝑑𝑥

𝑑𝑢 = 𝑒𝑥𝑑𝑥 𝑣 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 Sustituyendo estas expresiones en la fórmula de integración por partes se tiene:

cosx x x xe sen x dx e x e sen x sen x e dx

Ordenando = 𝑒𝑥 cos 𝑥 + 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑥 − ∫ 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 Observamos que, otra vez aparece la integral original. Por lo tanto, pasamos esta última integral al primer miembro de la igualdad, para obtener.

2 cosx x xe sen x dx e x e sen x C

Despejando

cos

2

x xx e x e sen x

e sen x dx C

Finalmente

cos

2

x

xe sen x x

e sen x dx C

5. ∫ 𝑥2𝑒−𝑥𝑑𝑥

Sea 𝑢 = 𝑥2 𝑑𝑣 = 𝑒−𝑥𝑑𝑥 𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥 𝑣 = − 𝑒−𝑥

Sustituyendo estas expresiones en la fórmula de integral por partes

2 2 2x x x

vu duv

x e dx x e e x dx

= − 𝑥2𝑒−𝑥 + 2 ∫ 𝑥𝑒−𝑥 𝑑𝑥 Podemos notar que la integral que resulto es muy similar con la que empezamos a integrar, el grado de la variable se disminuyó en un grado la cual también la resolvemos por partes Sea

𝑢 = 𝑥 𝑑𝑣 = 𝑒−𝑥𝑑𝑥

𝑑𝑢 = 𝑥 𝑑𝑥 𝑣 = − 𝑒−𝑥 Sustituyendo estas expresiones en la fórmula de integral por partes tenemos

2 2 2x x x x

u v duv

x e dx x e x e e dx

= − 𝑥2𝑒−𝑥 − 2 𝑥𝑒−𝑥 + 2 ∫ 𝑒−𝑥𝑑𝑥

Integrando

= −𝑥2𝑒−𝑥 − 2 𝑥𝑒−𝑥 − 2𝑒−𝑥 + 𝐶 Factorizando finalmente se tiene:

∫ 𝑥2𝑒−𝑥𝑑𝑥 = −𝑒−𝑥(𝑥2 + 2𝑥 + 2) + 𝐶 6. ∫ 𝑥2𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 Sea

𝑢 = 𝑥2 𝑑𝑣 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥

𝑑𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑥 𝑣 = − cos 𝑥 Sustituyendo estas expresiones en la fórmula de integral por partes tenemos

2 2 cos cos 2

u duv v

x sen x dx x x x x dx

= −𝑥2 cos 𝑥 + 2 ∫ 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 Podemos notar que la integral que resulto es muy similar con la que empezamos a integrar, el grado de la variable se disminuyó en un grado la cual también la resolvemos por partes Sea

𝑢 = 𝑥 𝑑𝑣 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥

𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑣 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 Sustituyendo estas expresiones en la fórmula de integral por partes

2 2 cos 2

u v v du

x sen x dx x x x sen x sen x dx

2 cos 2 2x x x sen x sen x dx

Integrando finalmente se tiene: ∫ 𝑥2𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑥2 cos 𝑥 + 2𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 2 cos 𝑥 + 𝐶 7. ∫ 3𝑥 𝑎𝑟𝑐 tan 3𝑥 𝑑𝑥 Sea

𝑢 = 𝑎𝑟𝑐 tan 3𝑥 𝑑𝑣 = 3 𝑥 𝑑𝑥

𝑑𝑢 = 3 𝑑𝑥

1 + 9𝑥2 𝑣 =

3

2 𝑥2

Sustituyendo estas expresiones en la fórmula de integral por partes

2

2 23 3 33 tan 3 tan 3

2 2 1 9u

v v du

dxx arc x dx arc x x x

x

Ordenando

= 3

2𝑥2 𝑎𝑟𝑐 tan 3𝑥 −

9

2 ∫

𝑥2𝑑𝑥

1+9𝑥2

Efectuando la división en el integrando se tiene:

= 3

2 𝑥2 𝑎𝑟𝑐 tan 3𝑥 −

9

2 ∫ (

1

9−

1

9

1+9 𝑥2 ) 𝑑𝑥

Separando las integrales y reduciendo términos semejantes se tiene:

= 3


1

2 ∫ 𝑑𝑥 +

1

2∫

𝑑𝑥

1+ 9𝑥2

Integrando finalmente se tiene:

∫ 3𝑥 𝑎𝑟𝑐 tan 3𝑥 𝑑𝑥 = 3


1

2 𝑥 +

1

6 𝑎𝑟𝑐 tan 3𝑥 + 𝐶




1. ∫ 𝑥 𝑐𝑜𝑠2 2𝑥 𝑑𝑥 = 2. ∫ 𝑥2 cos 𝑥 𝑑𝑥 = 3. ∫ 𝑎𝑟𝑐 sen 𝑚𝑥 𝑑𝑥 =

4. ∫ 𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑡𝑔 𝑥

2 𝑑𝑥 =

5. ∫ 𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑠1

𝑥 𝑑𝑥 =

6. ∫ 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑐 1

𝑦 𝑑𝑦 =

7. ∫ 𝑎𝑟𝑐 csc 𝑛𝑡 𝑑𝑡 =

8. ∫ 𝑎𝑟𝑐 sen √𝑥

2 𝑑𝑥 =

9. ∫ 𝑥3 arc sen 𝑥 𝑑𝑥 =

10. ∫ 𝑒3𝑥 cos𝑥

3𝑑ɵ. =

11. ∫ arc sen 𝑥 𝑑𝑥

√1 − 𝑥2=

12. ∫ arc tg √𝑥 𝑑𝑥

𝑥2=

13. ∫ 𝑒−ɵ cosɵ

2𝑑ɵ =

14. ∫ 𝑒1

5 sen 𝜋𝑡 𝑑𝑡 =

15. ∫ 𝑥 𝑠𝑒𝑐2 𝑥

2 𝑑𝑥 =

16. ∫ 𝑥𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥 = 17. ∫ 𝑥2𝑒𝑥𝑑𝑡 = 18. ∫ 𝑒𝑧𝑐𝑜𝑠𝑧𝑑𝑧 =

19. ∫ 𝑦𝑠𝑒𝑛𝑦

2𝑑𝑦 =

20. ∫𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥

√𝑥𝑑𝑥 =

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