Círculo de Mohr para tensões planas Topo | Fim

São repetidas abaixo as igualdades para as tensões normais e transversais conforme primeiro tópico da página anterior.

σ = (σy + σx) / 2 + [ (σy − σx) cos 2φ ] / 2 + τxy sen 2φ.

τ = [ (σy − σx) sen 2φ ] / 2 − τxy cos 2φ.

Elas podem ser rearranjadas para

σ − [ (σy + σx) / 2 ] = [ (σy− σx) / 2 ] cos 2φ + τxy sen 2φ.

τ = [ (σy − σx) / 2 ] sen 2φ − τxy cos 2φ.

Fazendo d = (σy − σx) / 2 e elevando ambas ao quadrado e somando,

{ σ − [ (σy + σx) / 2 ] }2 + τ2 =

d2 cos2 2φ + τxy2 sen2 2φ + 2 d cos 2φ τxy sen 2φ + d2 sen2 2φ + τxy

2 cos2 2φ − 2 d sen 2φτxy cos 2φ.

Portanto, { σ − [ (σx + σy) / 2 ] }2 + τ2 = d2 + τxy2= [ (σx − σy) / 2 ]2 + τxy

2.

A tensão média é dada pela expressão σm = (σx + σy) / 2 #A.1#.

Considera-se também R2 = [ (σx − σy) / 2 ]2 + τxy2 #B.1#.

E a equação anterior fica resumida a

(σ − σm)2 + τ2 = R2 #C.1#. Onde σm e R são dados pelas expressões anteriores #A.1# e #B.1#.

A igualdade acima permite concluir que, num sistema de coordenadas ortogonais (σ τ), os valores das tensões normais e transversais estão em um círculo de raio R e centro em (σm, 0). É denominado círculo de Mohr em homenagem ao engenheiro alemão Otto Mohr.

A Figura 01 dá exemplo de um círculo de Mohr traçado a partir de um determinado conjunto de valores σx, σy e τxy.

Fig 01O centro do círculo é determinado pela tensão média. Assim, OC = σm = (σy + σx)/2. E o raio é definido conforme #B.1#.

Se OI é igual a σy, IE é igual a τyx. O ponto diametralmente oposto (F) corresponde a σx e τxy (que é igual em móduloa τyx, conforme página anterior).

Observar a diferença de 180º que corresponde a 2φ, isto é, o ângulo de 90º entre os eixos x e y.

OA é a tensão mínima σ2 e OB a máxima σ1. Assim, CB e CA representam os planos principais.

Notar que a tensão de cisalhamento τ é nula em B e em A, conforme página anterior. As direções de cisalhamentos máximo e mínimo (CH e CG) estão deslocadas de 2φ = 90° ( ou φ = 45°) dos planos principais, também conforme página anterior.

O ângulo entre CB e CE (2φp) representa o ângulo φp entre oplano y e o principal 1.

Fig 02Nas direções de máximo e mínimo cisalhamento (CG e CH), as tensões normais são idênticas e iguais a σm.

Pela simetria do círculo, pode-se notar que a soma σx + σy é constante.

Alguns casos particulares para o círculo de Mohr são exibidos na Figura 02: tração simples em (a), compressão simples em (b) e cisalhamento simples em (c).

Círculo de Mohr - Resumo Topo | Fim

Este tópico procura apresentar resumidamente os conceitos e igualdades anteriores na intenção de facilitar o uso prático do círculo de Mohr.

Em (a) da Figura 01, há um elemento submetido a um estado plano de tensão. O círculo de Mohr correspondente é traçado num sistema de coordenadas ortogonais τ σ (tensão de cisalhamento x tensão normal) com os parâmetros:

Fig 011) Centro em (σm, 0), onde σm = (σx + σy) / 2 #A.1#, ou seja, σm é a tensão normal média.

2) Raio dado por R2 = [ (σx − σy) / 2 ]2 + τxy2 #A.2#.

Portanto, o círculo de Mohr pode ser traçado com as equações acima a partir de um estado conhecido de tensões σx, σy e τxy (lembrar que τxy = τyx).

As tensões principais, σ1 e σ2, são dadas pela interseção do círculo com o eixo horizontal, conforme pontos A e B da figura. Pode-se então escrever

σ1, 2 = σm ± R #B.1#.

Em (b) da Figura 01, há indicação das tensões principais, que atuam ao longo dos respectivos eixos principais xp e yp. Conforme visto em página anterior, são as tensões normais máxima e mínima atuantes no elemento (e não há cisalhamento nas direções principais). φp é o deslocamento angular, em relação aos eixos principais, do estado de tensão (a) considerado.

Fig 02O ponto C corresponde às tensões no eixo X do elemento (a) da figura. Pode ser facilmente determinado a partir dos valores das tensões e do círculo traçado.

No círculo de Mohr, os deslocamentos angulares são o dobro dos deslocamentos físicos. Assim, o eixo Y de (a) da Figura 01, que é deslocado de 90º de X, é deslocado de 180º no círculo, ou seja, é representado pelo ponto D. E o ângulo do eixo principal φp corresponde a 2 φp no círculo.

Os pontos extremos na vertical (E e F) indicam as tensões máxima e mínima de cisalhamento. Desde que, no círculo, estão deslocadas de 90º em relação aos eixos principais (A e B), conclui-se que fisicamente estão a 45º dos eixos principais, conforme deduzido em página anterior.

Considera-se agora a Figura 02. Das propriedades geométricas da circunferência, deduz-se que, se o ângulo AOC é 2 φp, o ângulo ABC é a metade desse valor, isto é, φp. Então, a direção da tensão principal pode ser graficamente determinada pela reta que passa pelos pontos B e C.

Convenções: no elemento (a) da Figura 01, ocorrem tensões normais (σx e σy) positivas (tração). O cisalhamento é também positivo com as direções indicadas. Notar que o deslocamento angular 2 φp no círculo de Mohr ocorre em direção oposta ao deslocamento físico φp. Algumas publicações usam convenção contrária para o cisalhamento e os deslocamentos angulares passam a ter a mesma direção.