Exercícios Resolvidos

1 - Sejam os complexos z1=(2x+1) + yi e z2=-y + 2iDetermine x e y de modo que z1 + z2 = 0Temos que:z1 + z2 = (2x + 1 -y) + (y +2) = 0logo, é preciso que:2x+1 - y =0 e y+2 = 0Resolvendo, temos que y = -2 e x = -3/2

2 - Determine x, de modo que z = (x+2i)(1+i) seja imaginário puroEfetuando a multiplicação, temos que: z = x + (x+2)i + 2i2

z= (x-2) + (x+2)iPara z ser imaginário puro é necessário que (x-2)=0, logo x=2

3 - Qual é o conjugado de z = (2+i) / (7-3i)? Efetuando a divisão, temos que:z = (2+i) / (7-3i) . (7+3i) / (7+3i) = (11 + 3i) / 58O conjugado de Z seria, então z- = 11/58 - 13i/58

4 - Os módulos de z1 = x + 201/2i e z2= (x-2) + 6i são iguais, qual o valor de x? Então, |z1|= (x2 + 20)1/2 = |z2| = [(x-2)2 + 36]1/2

Em decorrência, x2 + 20 = x2 - 4x + 4 + 3620 = -4x + 404x = 20, logo x=5

5 - Escreva na forma trigonométrica o complexo z = (1+i) / iEfetuando-se a divisão, temos: z = [(1+i). -i] / -i2 = (-i -i2) = 1 - iPara a forma trigonométrica, temos que: |z|= (1 + 1)1/2 = 21/2

sen t = -1/21/2 = - 21/2 / 2cos t = 1 / 21/2 = 21/2 / 2 Pelos valores do seno e cosseno, verificamos que t = 315ºLembrando que a forma trigonométrica é dada por: z = r(cos t + i sen t), temos que:z = 21/2( cos 315º + i sen 315º )

Exercícios por assunto

A) ADIÇÃO, SUBTRAÇÃO, MULTIPLICAÇÃO E IGUALDADE

1. O produto ( 5 + 7 i ) . ( 3 - 2 i ) vale:

a. 1 + 11ib. 1 + 31ic. 29 + 11i Xd. 29 - 11ie. 29 + 31i

2. O número complexo z = x + ( x2 - 4 ) i é real se, e somente se:

a. x 0b. x = 2 Xc. x 2d. x 0 e x 2e. x = 0

3. Qual é o valor de m, real, para que o produto ( 2 + m i ) . ( 3 + i ) seja um imaginário puro ?

a. 5b. 6Xc. 7d. 8e. 10

4. O produto ( x + y i ) . ( 2 + 3 i ) é um número real, quando x e y são reais e:

a. x - 3y = 0b. 2y - 3x = 0c. 2x + 2y = 0d. 2x + 3y = 0e. 3x + 2y = 0 X

5. Sejam os números complexos z1= 2x + 3 i e z2= 2 + y i, onde x e y são números reais. Se z1=z2, então o produto x . y é:

a. 6b. 4c. 3Xd. -3 e. -6

6. O produto ( 1 - i ) . ( x + 2 i ) será um número real quando x for:

a. -2b. -1

c. 0d. 1e. 2X

7. Se z = 2 + 2 i é um número complexo, então w = z + z i é:

a. 4 i Xb. 4 - 4 ic. 4d. - 4 + 4 ie. 4 + 4 i

8. Para que o número z = ( x - 2 i ) . ( 2 + x i ) seja real, devemos ter: ( x IR )

a. x = 0b. x = 1/2c. x = 2 Xd. x = 4e. nda

9. Se f(z) = z2 - z + 1 então f ( 1 - i ) é igual a:

a. ib. - i + 1c. i - 1d. i + 1e. -i X

10. Se o número complexo z é então z2 é:

a.

b. X

c.d. 1e. -1

11. Os números reais x e y que satisfazem a equação 2x + ( y -3) i = 3y - 4 x i são tais que:

a. x + y = 7b. x - y = 3/14 Xc. x.y = 10

d.e. yx = 32

12. Determinando-se os valores reais de m e n de modo que se tenha 2 ( m - n ) + i ( m + n ) - i = 0 pode-se afirmar que a soma de m e n é igual a:

a. -1 b. 0 Xc. 1d. 2e. 3

13. Sejam os números complexos z1 e z2 , onde z2 = 3 i e z1 . z2 = -9 + 6 i . Então z1 + z2 vale:

a. 2 + 6 i b. 2 - 6 i Xc. -3 + 3 id. -3 - 3 ie. 9 i

14. Sejam os números complexos w = ( x - 1 ) + 2 i e v = 2x + ( y -3 ) i, onde x, y IR. Se w = v, então:

a. x + y = 4 b. x . y = 5 Xc. x - y = -4d. x = 2ye. y = 2x

15. O número complexo z que satisfaz a igualdade ( 2 + i ) z + 7 + 5 i = 8 - 3 i é:

a.

b. X

c.

d.

e.

16. Se o número complexo 2 + i é uma das raízes da equação x2 + kx + t = 0, sendo k e t números reais, então o valor de k + t é:

a. -2b. -1c. 0d. 2e. 1X

B) CONJUGADO, DIVISÃO E POTÊNCIAS

1. A forma mais simples do número complexo é:

a. -i Xb. -1 - ic. 1 + id. -1 + ie. 0

2. O valor de i1996 é de:

a. 1Xb. -1c. id. -ie. 499

3. Dado o número complexo z = 3 - 4i, então (z)-1 vale:

a. 3 + 4ib. -3 - 4i

c.

d. X

e.

4. Se o número complexo z é tal que z = i45 + i28 então z é igual a:

a. 1 - ib. 1 + i Xc. -1 + id. -1 - ie. i

5. O conjugado de vale:

a. 1 - 2ib. 1 + 2ic. 1 + 3id. -1 + 2i Xe. 2 - i

6. Se z = 4 + 2i, então vale:

a. 6 + ib. 1 + 8ic. -8 + 8i Xd. 1 - 8ie. 12 + 6i

7. Se o número complexo z é tal que z = 3 - 2i, então ( )2 é igual a:

a. 5b. 5 - 6ic. 5 + 12i Xd. 9 + 4ie. 13 + 12i

8. Considere os números complexos z = 2 - i e . Então, se indica o complexo conjugado de w :

a. z = - wb. z = c. z = - d. z = 1/we. z = w X

9. O conjugado do número complexo , é:

a. 1 - i Xb. -1 - ic. -1 + id. -ie. i

10. Seja , onde i2 = -1 , então z é igual a:

a. 6i/5 Xb. i/20c. 2i/15d. 0e. 5i

11. Se , então z + + z . vale:

a. 0Xb. 1c. -1d. -1/2e. 1/2

12. Sabendo que i = e que n = i + i2 + i3 + ... + i78, então :

a. n = 0

b.

c.d. n = i - 1 Xe. n = 1 - i

13. Indica-se por Re(z) e Im (z) as partes real e imaginaria de um número complexo

z, respectivamente. Se então :

a. Re(z) = - 3/2b. Im(z) = - 3/2c. Re(z) = - 1/2d. Im(z) = 1/2e. Re(z) = 3/2 X

14. O número complexo z, que verifica a equação iz + 2 + 1 - i = 0 , é:

a. -1 - i Xb. -1 + 2ic. -1 + id. 1 - ie. -1 - 2i

15. Se = 1+i, então o número complexo z é:

a. 1 - 2ib. -1 + ic. 1 - id. 1 + i Xe. -1 + 2i

16. Seja o número complexo . Então, z1980 vale:

a. 1Xb. -1c. id. -ie. -2i

 

17. Sejam os números reais x e y tais que 12 - x + ( 4 + y ) . i = y + xi. O conjugado do número complexo z = x + yi é:

a. 4 + 8ib. 4 - 8ic. 8 + 4id. 8 - 4i Xe. -8 - 4i

18. Se i é a unidade imaginaria, então: é igual a:

a. 1 + ib. 0Xc. 1 - id. ie. 1

C) MÓDULO

1. Sendo z1 = 7 - 2i e z2 = -3 + 5i, então | z1 + z2 | vale:

a. 2b. 3c. 4d. 5Xe. 6

2. O módulo do número z = 5 - 2i é:

a. 20b. Xc. 81d. 27e. 29

3. O módulo do número complexo z, tal que . z = 7 é igual a:

a. 49b. 7c. 2d. Xe. 14

4. O módulo de vale:

a. 0b. 1X

c.d. 1/2e. 1/4

5. Dados os números complexos z = 1 + 2i e w = 4 - 3i, o valor da expressão z2 + |w| é igual a:

a. 1 + 7i

b. 6 - 4ic. 10 + 4id. 2 + 4i Xe. 2 - 4i

6. Sejam Z, W, U e V números complexos, tais que Z = 1 + i, W = 4 + i, U =

7 + i e V = - i, o valor da expressão é:

a.b. 2c. 1/2 Xd. 3e. 2

7. O módulo do número complexo z = ( 1 - 3 i ) . ( - 1 ) é:

a. 2b. 2c. 4d. 5 Xe. 15/2

8. O módulo do complexo Z, tal que Z2 = i é:

a. 0b. /2c. 1Xd.e. 2

9. Sendo z1 = i3 e z2 = 1/i3 , então | z1 + z2 | vale:

a. 1b.c. 0Xd. 2e. 2

10. O módulo do número complexo cos a - i sen a é:

a. -1b. -ic. id. i4Xe. 0

11. O módulo do número complexo é:

a. 1/16b. 1/8c. 1/4d. 1/2 Xe. 2

12. O módulo de , para a e b reais é:

a. a2 + b2

b. 2c. 1Xd. a2 - b2

e. 0

13. Se os números complexos z1 = 2 - i e z2 = x + i, x real e positivo, são tais que | z1 .z2 |2 = 10, então x é igual a:

a. 5b. 4c. 3d. 2e. 1X

14. Seja o número complexo z = 1 + 2xi, onde x IR+ . Se o número complexo de z é igual a 7, então x pertence ao intervalo:

a. (- , 1 )b. [ 1, 3 ]c. ( 3, 5 ) Xd. ( 8, ) e. [ 5, 8 ]

15. Se z + 1/z = -1, então o módulo de z é:

a. 1/2b. 0c. 1Xd. 2e. 4

D) FORMA POLAR OU TRIGONOMÉTRICA

1. Na figura abaixo, o ponto P é a imagem de um número complexo z, representado no plano de Gauss

Nessas condições, o módulo de z é igual a:

a.

b. 2c. 3d. 10e. 5X

 2. A forma trigonométrica do complexo z = -1 + i é dada por:

a. X

b.

c.

d.

e.

 3. Seja z um número complexo, cujo afixo P está representado abaixo no plano de Argand- Gauss

A forma trigonométrica do número z é:

a.   ( cos 150º + i sen 150º ) Xb. ( cos 30º + i sen 30º )c. ( - cos 150º + i sen 150º )d. ( cos 120º + i sen 120º )e. ( - cos 60º + i sen 60º )

4. O número complexo z = -2-2ié escrito na forma trigonométrica como :

a.

b.

c. X

d.

e.

 5. Na figura, o ponto P é o afixo de um número complexo z, no plano de Argand-Gauss. A forma trigonométrica de z é:

   

a. 4. ( cos 300º + i sen 300º ) Xb. 4. ( cos 60º + i sen 60º )c. 16. ( sen 330º + i cos 330 º )d. 2. ( sen 300º + i cos 300º )e. cos ( -60º) + i sen ( -60º )

 6. O argumento do número complexo z = -2 + 2i é:

a. 120ºb. 150º Xc. 210º

d. 300ºe. 330º

7. O número complexo escrito na forma a + bi é:

a. 2 + ib. - + ic. - -id. - i Xe. 2 - i

8. A forma trigonométrica do número complexo i - é:

a.

b.

c.

d.

e. X

9. A forma trigonométrica do número complexo z = - + i é:

a. sen 30º + i cos 30ºb. 2. ( cos 60º + i sen 60º )c. 2. ( cos 30º + i sen 30º )d. 2. ( cos 120º + i sen 120º )e. 2. ( cos 150º + i sen 150º ) X

10. Na figura abaixo, o ponto P é a imagem do número complexo Z, no plano de Argand-Gauss. Então, Z é igual a:

 

a. 1 + ib. + i X

c.

d.

e.

 11. Seja z o produto dos números complexos e . Então, o módulo e o argumento de z são, respectivamente:

a. 4 e 30ºb. 12 e 80ºc. 8 e 90ºd. 6 e 90º Xe. 2 e 30º

12. Sendo e , a representação trigonométrica de é:

a. X

b.

c.

d.

e.

13. Na figura, o ponto P é o afixo de um número conjugado z, no plano de Argand-Gauss. Então o argumento principal de z2 é: 

a. 0ºb. 30ºc. 60º Xd. 45ºe. 90º

14. Se o módulo de um número complexo é igual a e seu argumento ;e igual a

, a expressão algébrica desse número é:

a. 1 + ib. 2 ic. 1 - id. ie. -1 - i X

15. A forma trigonométrica do número complexo é:

a.

b.

c. X

d.

e.

Bloco 1

1) Calcule o número complexo i126 + i-126 + i31 - i180

2) Sendo z = 5i + 3i2 - 2i3 + 4i27 e w = 2i12 - 3i15 , calcule Im(z).w + Im(w).z .

3) UCMG - O número complexo 2z, tal que 5z + = 12 + 6i é:

4) UCSal - Para que o produto (a+i). (3-2i) seja real, a deve ser:

5) UFBA - Sendo a = -4 + 3i , b = 5 - 6i e c = 4 - 3i , o valor de ac+b é:

6) Mackenzie-SP - O valor da expressão y = i + i2 + i3 + ... + i1001 é:

7) Determine o número natural n tal que (2i)n + (1 + i)2n + 16i = 0.Resp: 3Clique aqui para ver a solução.

8) Calcule [(1+i)80 + (1+i)82] : i96.240

Resp: 1+2i

9) Se os números complexos z e w são tais que z = 2-5i e w = a+bi , sabendo-se que z+w é um número real e z.w.é um imaginário puro , pede-se calcular o valor de b2 - 2a. Resp: 50

10) Se o número complexo z = 1-i é uma das raízes da equação x10 + a = 0 , então calcule o valor de a.Resp: 32i

11) Determine o número complexo z tal que iz + 2 . + 1 - i = 0.

12) O valor da expressão E = x-1 + x2, para x = 1 - i , é:a)-3i b)1-i c) 5/2 + (5/2)i d) 5/2 - (3/2)i e) ½ - (3/2)i

13) Simplificando-se a expressão E = i7 + i5 + ( i3 + 2i4 )2 , obtêm-se:a) -1+2i b) 1+2i c) 1 - 2i d) 3 - 4i e) 3 + 4i

14) Se m - 1 + ni = (3+i).(1 + 3i), então m e n são respectivamente:a) 1 e 10 b) 5 e 10 c) 7 e 9 d) 5 e 9 e) 0 e -9

15) A soma de um numero complexo z com o triplo do seu conjugado é igual a -8 - 6i. O módulo de z é:a) √13b) √7c) 13 d) 7 e) 5

16 ) Seja z = 1+i , onde i é a unidade imaginária. Podemos afirmar que z8 é igual a:a) 16 b) 161 c) 32 d) 32i e) 32+16i

17) Sabendo que (1+i)22 = 2i, então o valor da expressão y = (1+i)48 - (1+i)49 é:a) 1 + i b) -1 + i c) 224 . i d) 248 . i e) -224 . i

GABARITO:

1) -3 - i    2) -3 + 18i  

3) 4 + 3i   4) 3/2   5) -2 + 18i   6) i   7) 3   8) 1 + 2i  9) 50   10) 32i   11) -1 - i 12) B    13) D    14) A    15) A   16) A    17) E

Bloco 2

1) O produto (5 + 7i) (3 - 2i) vale: a) 1 + 11ib) 1 + 31ic) 29 + 11id) 29 - 11ie) 29 + 31i  2) Se f(z) = z2 - z + 1, então f(1 - i) é igual a: a) ib) -i + 1c) i - 1d) i + 1e) -i 

3) Sendo i a unidade imaginária (i2 = -1) pergunta-se: quantos números reais a

existem para os quais (a + 1)4 é um número real? a) 1b) 2c) 3d) 4e) infinitos

 4) Sendo i a unidade imaginária o valor de i10 + i-100 é: a) zerob) ic) -id) 1e) -1  5) Sendo i a unidade imaginária, (1 - i )-2 é igual a: a) 1b) -ic) 2id) -i/2e) i/2  6) A potência (1 - i )16 equivale a: a) 8b) 16 - 4ic) 16 - 16id) 256 - 16ie) 256 

7) Se os números complexos z1 = 2 - i e z2 = x + 1, x real e positivo, são tais que |z1 . z2|2 = 10 então x é igual a:   a) 5

b) 4c) 3d) 2e) 1

 8) O módulo do complexo cos a - i . sen a é: a) -1b) -ic) id) i4e) i5  9) Calcular as raízes quadradas do número complexo 5 - 12i.  10) Achar o conjunto-verdade, em R, da equação x8 - 17x4 + 16 = 0. 

Resolução:

01. C 02. C 03. C 04. A05. E 06. E 07. E 08. D

 09.3 - 2i; -3 + 2i

10. V = {1, i, -1, -i, 2, 2i, -2, -2i}

Bloco 3

1. Sejam os complexos z = 2x – 3ie t = 2 + yi, onde x e y são números reais. Se z = t, então o produto x.yé A) 6 B) 4 C) 3 D) –3 E) –6

2. Qualo é o quociente de (8 + i)/(2 - i) é igual a A) 1 + 2i B) 2 + i C) 2 + 2i D) 2 + 3i E) 3 + 2i 3. Dadas as alternativas abaixo

I. i2 = 1 II. (i + 1)2 = 2i III. 4 + 3i = 5 IV. (1 + 2i).(1 – 2i) = 5 pode-se dizer que

A) todas as alternativas acima estão corretas B) todas as alternativas acima estão erradas C) as alternativas I e III estão erradas D) as alternativas II, III e IV estão corretasE) as alternativas I e III estão corretas

4. Se I é um número complexo e Ī o seu conjugado, então, o número de soluções da equação Ī = I2 é:

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 5. Os complexos u e I, de módulo igual a 1, são representados no plano de Argand-

Gauss por dois pontos simétricos em relação ao eixo real. Vale então a relação A) u.Ī= 1 B) u. I = 1C)u +Ī = 0 D)u. I = 0E)n.r.a

6. O módulo do complexo z, tal que z2 = i, éA) 0 B) (√2)/2 C) 1 D) √2 E) 2

7. Qual o valor de m, real, para que o produto (2 + mi).(3 + i) seja um imaginário puro?

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 10 8. O conjugado de (2 - i)/i vale

A) 1 – 2i B) 1 + 2i C) 1 + 3i D) –1 + 2i E) 2 - i 9. Se n é um inteiro, então o conjunto solução em Z, da equação in + i-n = 0, onde i =√−1, é:

A) {n Є Z/ n é ímpar}B) {n Є Z/ n é par}C) {n Є Z/ n > 0}D) {n Є Z/ n < 0}E) Z

10. Qual o valor de m, real, para que o produto (2 + mi).(3 + i) seja um imaginário puro?

A)  5 B)  6 C) 7 D) 8 E) 1011. Calcule o número complexo i126 + i-126 + i31 - i180

12. Sendo z = 5i + 3i2 - 2i3 + 4i27 e w = 2i12 - 3i15 , calcule Im(z).w + Im(w).z . 13. O número complexo 2z, tal que 5I + Ī = 12 + 6i é:

14. Para que o produto (a + i).(3 - 2i) seja real, a deve ser: 15. Sendo a = -4 + 3i , b = 5 - 6i e c = 4 - 3i , o valor de ac + b é: 16. O valor da expressão y = i + i2 + i3 + ... + i1001 é: 17. Determine o número natural n tal que (2i)n + (1 + i)2n + 16i = 0.18. Calcule [(1 + i)80 + (1 + i)82] : i96.240

19. Se os números complexos z e w são tais que z = 2 - 5i e w = a + bi, sabendo-se que z + w é um número real ez.w.é um imaginário puro , pede-se calcular o valor de b2 - 2a.

20. Se o número complexo z = 1 - i é uma das raízes da equação x10 + a = 0, então calcule o valor de a.

21- Determine o número complexo I tal que iI+ 2.Ī + 1 - i = 0. 22. Se z = (cos q + i senq)é um número complexo na forma trigonométrica,

mostra-se que zn = rn(cos q + i sennq) para todo n ∈N . Essa fórmula é conhecida como fórmula de DeMoivre.

A) Demonstre a fórmula de DeMoivre para n = 2, ou seja, demonstre que z2 = r2(cos 2q + i sen 2q).

B) Determine todos os valores de n, n Є IN, para os quais  (√3 + i)n  seja imaginário puro.

23. A) Dado o número complexo na forma trigonométrica I = 2[cos (3π/8) + i sen(3π/8)],

escreva os números complexos Ī,I2 e na forma trigonométrica.B) No plano complexo da figura abaixo, marque e identifique os números I, Ī, I2 e no

item acima.

Nessa figura, os ângulos formados por dois raios consecutivos quaisquer têm a mesma medida.

24. Por três pontos não-colineares do plano complexo, z1, z2 e z3, passa uma única circunferência.

Sabe-se que um ponto z está sobre essa circunferência se, e somente se, for um número real.

Seja C a única circunferência que passa pelos pontos z1 = 1, z2 = -3i e z3 = -7 + 4ido plano complexo.

Assim sendo, determine todos os pontos do plano complexo cuja parte real é igual  a –1  e que estão sobre a circunferência C.

25. Observe esta figura:

    Nessa figura, OP = 2 e OQ = 4. Sejam z e w, respectivamente, os números complexos representados geometricamente pelos pontosP e Q.  

Considerando esses dados, escreva o número complexoz11 / i.w5na forma a + bi, em que a e b são números reais.

26. O valor da expressão E = x-1 + x2, para x = 1 - i, é:a) -3i b) 1 – i c) 5/2 + (5/2)i d) 5/2 - (3/2)i e) ½ - (3/2)i

27. Simplificando-se a expressão E = i7 + i5 + ( i3 + 2i4 )2 , obtêm-se:a) -1 + 2i b) 1 + 2i c) 1 - 2i d) 3 - 4i e) 3 + 4i

28. Se m - 1 + ni = (3 + i).(1 + 3i), então m e n são respectivamente:a) 1 e 10 b) 5 e 10 c) 7 e 9 d) 5 e 9 e) 0 e -9

29. A soma de um número complexo z com o triplo do seu conjugado é igual a -8 - 6i. O módulo de z é:

a) 13b) 7 c) 13 d) 7 e) 5 30. Seja  z = 1 + i, onde i é a unidade imaginária. Podemos afirmar que z8 é igual a:

a) 16 b) 161 c) 32 d) 32i e) 32 + 16i 31. Sabendo que (1 + i)2 = 2i, então o valor da expressão y = (1 + i)48 - (1 + i)49é:

a) 1 + i b) -1 + i c) 224 .i d) 248 . i e) -224 . i

Resposta:1)D 2)E 3)D 4)E 5)B 6)C 7)B 8)D 9) A 10) B 11) -3 - i 12) -3 + 18i 13) 4 + 3i 14) 3/2 15) -2 + 18i 16) i 17) 3 18) 1 + 2i 19) 50 20) 32i 21) -1 - i 24) –1 + 4i e -1 – 4i 26) B 27) D 28) A 29) A 30) A 31) E

Material sobre complexos: questionamentos importantes

http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/euler/index.htm