Módulo 3Cartas de controle para variáveis: construção e

interpretação. Estudos de normalidade, estabilidade e capacidade.

Cartas de controle – Sistema americano(Walter Shewhart - 1927)

� Segundo Shewhart, o processo sob controle supõe (premissas):

�Que a característica de qualidade tem uma Distribuição Normal(segundo a proposição de Gauss), e que essa distribuição permaneceestável no tempo (média e desvio padrão constantes).

� A partir daí, Shewhart elaborou o modelo gráfico das cartas de controle, coma faixa de estabilidade (controle), entre os limites superior e inferior decontrole do processo, LSC e LIC, equivalendo à média, mais ou menos 3desvios padrões da linha média (LM), ou seja, contendo cerca de 99,7% dosdados. Esse modelo é válido até hoje.

Zona I

Zona I

Zona II

Zona II

LM

LIC

LSC

x

x

x

x

x

x

x

x

99,73%

µµµµ-3σσσσ

µµµµ+3σσσσ

µµµµ

N°°°° da amostra (ou tempo)

Cartas de controle - Componentes

� Cada carta usa um parâmetro (um para indicar a centralização do processo, média oumediana, e outro para indicar a sua variação, amplitude total ou desvio padrão), contém:

�Uma escala da medição, no eixo vertical, numa dada unidade de medida;

�Uma escala de tempo (ou ordem seqüencial da amostra), no horizontal;

�Os limites inferior e superior de controle do processo (LIC e LSC), em conjuntocom a linha média (LM);

�A projeção dos valores amostrais de um parâmetro, através de pontos unidos porsegmentos de reta, para permitir a análise da tendência.

Cartas de controle - Construção

Coleta de dados

Cálculo dos limites de controle

Análise de

estabilidade

Análise de

capacidade

Ação

no

local

Ação

no

sistema

Controle contínuo do

processo

Sim

Não

Não

Sim

O fluxo mostrado vale para qualquer tipo de carta (variável ou atributo).

Limites de controle e de especificação

� Limites de controle do processo (LIC e LSC):�Resultam do processo de fabricação empregado;

�Refletem o que o processo é capaz de realizar;

�Só são usados nas cartas de controle, para se analisara estabilidade do processo.

� Limites de especificação (LIE e LSE):�São estabelecidos pelo cliente ou pela engenharia;

�Representam aquilo que se exige do produto, para queele atenda a finalidade desejada;

�Só são usados em análises de capacidade, apósgarantir-se que o processo está estabilizado.

�É um erro freqüente, usar esses dois tipos de limites simultaneamente. Recomenda-se nunca misturá-los, ou seja, limites de controle nas cartas de controle e limites de especificação só nas análises de capacidade!!!

Cartas de controle - Tipos

� Cartas para variáveis: envolvem medições decaracterísticas, de processos ou de produtos. Exemplos:velocidade de avanço de um torno, temperatura de umbanho, Ph de uma mistura, vazão de um tanque,pressão de um condensador, espessura de uma chapa,dureza de um material, medida de um torque, etc.

� Cartas para atributos: envolvem classificações dosprodutos, em duas categorias. Exemplos: produtobom/ruim, lote aprovado/rejeitado, calibrador passa/não-passa, uma lâmpada acende/não acende, etc.

� Cada um desses tipos tem pelo menos quatro subtipos,que serão analisados detalhadamente. Neste Módulo 3,nossa preocupação é conhecer as Cartas para variáveis.

Cartas para variáveis

Resultado

Ambiente de

trabalho

Métodos de

trabalho

Pessoal

Máquinas e

equipamentos Materiais

Medição do resultado

processo, numa dada

unidade de medição (mm,

kgf, ºC, etc)

Processo

Cartas de

controle

Cartas para variáveis - Tipos

� Cartas X e R (Média e amplitude), as mais usadas, pela razoável simplicidade;

� Cartas X e S (Média e desvio padrão), as mais precisas, embora envolvam cálculos mais difíceis;

� Cartas X e R (Mediana e amplitude), as mais imprecisas, mas recomendadas quando se tem pessoal com baixa escolaridade;

� Cartas Xind e Rmóvel (Valor individual e amplitude móvel), recomendadas para medições demoradas, assim como para ambientes homogêneos.

Obs.: Sempre usadas aos pares, sendo uma para análise de centralização e a outra análise de dispersão.

~

Cartas para variáveis - Comparações

Exige cuidados especiais, quando a distribuição do processo não se apresenta simétrica. Não é tão sensível às alterações do processo.

Para medições demoradas, caras e testes destrutivos. Adequada para materiais com certa homogeneidade num certo ponto ou momento.

Xind, Rmóv

Mediana é um estimador mais fraco que a média.

Mais fácil no controle contínuo, com menos cálculos.

X, R

S apresenta maior dificuldade de cálculo (uso de calculadora).

S é mais seguro para analisar a variação do processo.

X, S

R indica com menos segurança a variabilidade do processo.

Facilidade na elaboração dos cálculos.

X, R

DesvantagensVantagensTipo

~~

Fluxograma do CEP - Variáveis

Possível se-parar em sub-

grupos?

Usar carta deval. individuais

As médiaspodem ser cal-

culadas?

O tam. daamostra é seis

ou mais?

As variân-cias podem ser cal-

culadas?

Usar carta deMediana/Ampl.

Usar carta deMédia/Ampl.

Usar carta deMédia/Var.

Usar carta deMédia/Ampl.

Sim

Não

Não

Sim

Sim

Não

Sim

Não

Variáveis

Definircaracterística

Variáveis ouAtributos?

Variáveis

Cartas para variáveis – Condições básicas

1. Verificar se o processo está sob controle (estável).

� É a fase inicial do programa de controle;

� Os limites de controle são calculados, com base nosvalores obtidos nas amostras iniciais;

� A variação dos valores amostrais, além daquela atribuídaao acaso, indica falta de estabilidade.

2. Verificar se o processo permanece sob controle.

� Visa manter a fabricação, em certo nível de qualidade;

� A variação dos valores amostrais deve manter as posições dos limites de controle (em caso negativo, o processo perdeu estabilidade, ou seja, saiu de controle).

Cartas da média e da amplitude(Amostragem)

� Tamanho da amostra (n):

�Três a cinco elementos (deve ser constante);

�Deve-se ter a mínima variação, entre os elementos da amostra.

� Freqüência da amostragem:

�A princípio, ela deve ocorrer em intervalos curtos;

�À medida que o processo estabiliza, a freqüência pode serdiminuída (maior tempo entre amostras).

� Quantidade de amostras (k):

�20 a 25 amostras são suficientes, para se ter uma boa estimativada localização e da dispersão da população (pelo menos 80 dadosmedidos).

Cartas X e R - ExemploC l i e n t e :

C a r a c t e r í s t i c a :

N o m e d a O p e r a ç ã o :

C o r :

E s p e c i f i c a ç ã o d e E n g e n h a r i a :

C ó d i g o :

E q u i p . / M a q . N o :

S e t o r :

X = L S C = L I C =A m o s t r a : U n i d a d e s p o r :M É D I A S

A M P L I T U D E SR = L S C = L I C =

D a t a

H o r a

1

2

3

4

5

X - b a r r a

R

C i a . X Y Z

D i â m e t r o d o e i x o

U s i n a g e m d o e i x o

P r a t a

( 1 0 + / - 0 , 5 ) m m

1 . 0 2 . 3 6 . 4 4 - 0 9

3 0 3

T o r n e a r i a

3 h o r a

2 8 / 0 2 2 8 / 0 2 2 8 / 0 2 2 8 / 0 2 2 8 / 0 2 2 8 / 0 2 2 8 / 0 2 2 8 / 0 2 2 8 / 0 2 2 8 / 0 2 2 8 / 0 2 2 8 / 0 2

7 : 0 0 8 : 0 0 9 : 0 0 1 0 : 0 0 1 1 : 0 0 1 2 : 0 0 1 3 : 0 0 1 4 : 0 0 1 5 : 0 0 1 6 : 0 0 1 7 : 0 0 1 8 : 0 0

1 0 , 6 9

1 0 , 8 0

1 0 , 3 9

1 0 , 2 0

1 0 , 6 2 7

0 , 4 1

1 0 , 3 0

1 0 , 7 2

1 0 , 4 0 7

0 , 5 2

1 0 , 4 2

1 0 , 6 1

1 0 , 5 4

1 0 , 5 2 3

0 , 1 9

1 0 , 9 8

1 0 , 2 7

1 0 , 5 0

1 0 , 5 8 3

0 , 7 1

1 0 , 6 1

1 0 , 5 2

1 0 , 6 7

1 0 , 6 0 0

0 , 1 5

1 0 , 5 7

1 0 , 4 6

1 0 , 5 0

1 0 , 5 1 0

0 , 1 1

1 0 , 4 4

1 0 , 2 9

9 , 8 6

1 0 , 1 9 7

0 , 5 8

1 0 , 2 0

1 0 , 2 9

1 0 , 4 1

1 0 , 3 0 0

0 , 2 1

1 0 , 4 6

1 0 , 7 6

1 0 , 7 4

1 0 , 6 5 3

0 , 3 0

1 0 , 1 1

1 0 , 3 3

1 0 , 9 8

1 0 , 4 7 3

0 , 8 7

1 0 , 2 9

1 0 , 5 7

1 0 , 6 5

1 0 , 5 0 3

0 , 3 6

1 0 , 8 3

1 1 , 0 0

1 0 , 6 5

1 0 , 8 2 7

0 . 3 5

1 0 , 5 1 7

0 , 3 9 7 n ã o h á1 , 0 2 2

0 , 0 0

0 , 5 0

1 , 0 0

1 , 5 0

M é d i a

L S C

1 0 , 9 2 3 1 0 , 1 1 1

1 0 , 0 0

1 0 , 2 5

1 0 , 5 0

1 0 , 7 5

1 1 , 0 0 L S C

L I C

M é d i a

6

X

R

Cabeçalho

Carta da média

Carta da amplitude

Dados medidos

Média e amplitude

Amostra e limites da

média

Limites da amplitude

Diário de bordo - Exemplo

� Todas as modificações de pessoas, ambiente, materiais, máquinas ou métodos devem ser anotadas pelo operador.

� Tais anotações ajudarão na análise da estabilidade e na tomada de eventuais ações corretivas para sinais de instabilidade assinalados na carta. Incentivar o operador a preenchê-lo corretamente.

� Normalmente é colocado no verso das cartas de controle.

ComentárioHoraData

Cartas X e R – Limites de controle

k

X....XXX k21 +++

=

n

X...XXX n21 +++

= R = Xmáximo - Xmínimo

LSC

LIC

LM

k

R...RRR k21 +++

=

A) Cálculo da média e da amplitude, de cada amostra, feito pelos operadores, e colocação nas cartas:

B) Cálculos das médias das médias e das amplitude, feitos pelos analistas do CEP, e colocação nas cartas, além dos quatro limites de controle (onde A2, D3 e

D4 são tabelados, em função do tamanho das amostras):

R . DLIC

R . DLSC

3R

4R

=

=

R . AXLIC

R . AXLSC

2X

2X

−=

+=

Cartas para variáveis – Tabelas de fatores

Carta Carta A2 d2 D3 D4 A3 C4 B3 B4

2 1,880 1,128 - 3,267 2,659 0,7979 - 3,2673 1,023 1,693 - 2,574 1,954 0,8862 - 2,5684 0,729 2,059 - 2,282 1,628 0,9213 - 2,2665 0,577 2,326 - 2,114 1,427 0,9400 - 2,0896 0,483 2,534 - 2,004 1,287 0,9515 0,030 1,9707 0,419 2,704 0,076 1,924 1,182 0,9594 0,118 1,8828 0,373 2,847 0,136 1,864 1,099 0,9650 0,185 1,8159 0,337 2,970 0,184 1,816 1,032 0,9693 0,239 1,76110 0,308 3,078 0,223 1,777 0,976 0,9727 0,284 1,71611 0,285 3,173 0,256 1,744 0,927 0,9754 0,321 1,679

Tamanho Amostra

Cartas ( e R ) Cartas ( e S )Carta R Carta S

__

X__

X__

X__

X

Carta Carta XA2 d2 D3 D4 E2 d2 D3 D4

2 1,880 1,128 - 3,267 2,660 1,128 - 3,2673 1,187 1,693 - 2,574 1,772 1,693 - 2,5744 0,796 2,059 - 2,282 1,457 2,059 - 2,2825 0,691 2,326 - 2,114 1,290 2,326 - 2,1146 0,548 2,534 - 2,004 1,184 2,534 - 2,0047 0,508 2,704 0,076 1,924 1,109 2,704 0,076 1,9248 0,433 2,847 0,136 1,864 1,054 2,847 0,136 1,8649 0,412 2,970 0,184 1,816 1,010 2,970 0,184 1,81610 0,362 3,078 0,223 1,777 0,975 3,078 0,223 1,777

Tamanho Amostra

Cartas de Medianas ( e R ) Carta de Individuais ( Xind e Rmov )

Carta R Carta RX~

X~

~

Interpretação das cartas para variáveis, segundo o Manual do CEP da 1ª. edição

Ponto acima ou abaixo dos limites de controle

7 ou mais ciclos consecutivos entre os limites

Muitos (ou poucos) pontos concentrados perto da média (ideal: 2/3 dos pontos no terço central)

Tendência crescente(ou decrescente) de 7 ou mais pontos consecutivos

7 ou mais pontos consecutivos acima (ou abaixo) da linha média, mesmo estando entre os limites

Exemplos de interpretação –Carta das médias

-4

- Ajuste de máquina diferente;- Mudança no processo, no método ou na matéria prima;- Quebra de componente da máquina.

- Mudança de temperatura (gradual);- Desgaste do equipamento;- Desgaste do ferramental.3

- Erro na marcação dos pontos;- Dados estimados ou forjados;- Instrumento de medição não adequado.

- Matéria prima não uniforme;- Oscilação no fornecimento de energia para o equipamento.

Exemplos de interpretação –Carta das amplitudes

-4

- Equipamento sobrecarregado;- Quebra de componente da máquina;- Instrumento de medição desregulado.

- Matéria prima muito heterogênea;- Aplicação de métodos diferentes;- Quebra de componente.

- Mudanças de turno;- Alternância entre dispositivos/operadores.

- Perda na uniformidade na MP;- Desgaste do equipamento;- Instrumentos de medição danificados.

Critérios para causas especiais –(Segundo o Manual da 2ª. edição)

� 1 ponto fora de 3 desvios padrão da linha central

� 7 pontos consecutivos no mesmo lado da linha central

� 6 pontos seguidos, todos crescentes ou decrescentes (?)

� 14 pontos seguidos, alternadamente acima e abaixo

� 2 pontos em 3 acima de 2 desvios padrão da linha central (mesmolado)

� 4 pontos em 5 acima de 1 desvio padrão da linha central (mesmo lado)

� 15 pontos consecutivos dentro de 1 desvio padrão da linha central(qualquer lado)

� 8 pontos consecutivos acima de 1 desvio padrão da linha central(qualquer lado)

� (?): Este valor 6 ainda é passível de acerto, pois o manual não deixaclaro se vai manter o antigo valor 7, ou se altera para 6.

Minitab – Cartas X e R

Indicar coluna

de dados

Indicar tamanho

da amostra

Stat > Control charts > Variables charts for subgroups > Xbar- R

Minitab – Definição dos testes

Xbar - R Chart > Options > Tests

5 testes

(TS 16949 – Ed. 1)

3 outros testes

(TS 16949 – Ed. 2)

Xbar R: Options – Estimate e Scale - Stamp (opcional)

Usado quando se quer eliminar

amostras do cálculo de

parâmetros

Usado para

PPAP

Usado para cartas R

Indicar (opcional) a coluna

identificadora das amostras (título)

Minitab - Cartas

Sample

Sample M

ean

10987654321

100

80

60

40

__X=76,35

UCL=109,22

LCL=43,48

Sample

Sample Range

10987654321

60

45

30

15

0

_R=17,48

UCL=57,10

LCL=0

1

Xbar-R Chart of Diâmetro

Pontos vermelhos, eventuais,

indicam sinais de instabilidade

Detalhamento na janela de sessão

(“session”)

Exercício – Peso de uma peça, em gramas

Dia 6 Dia 7 Dia 8 Dia 9 Dia 10 Dia 11 Dia 12 Dia 13 Dia 14 Dia 1513 10,1 12,2 10,8 9,8 11,2 9,2 10,4 10,8 1211 11 10,5 11,2 13 13 11 11,4 9,2 11,312 11,5 9,3 11,1 13,1 10,1 11,3 11,8 11,4 11,9

12,5 9,7 10,8 12,8 11,2 12 10,2 11,2 12 11,610,5 12,5 11,5 10 10,8 11,1 9,3 10 10,2 10,39,5 11,2 12,7 9,5 11 9,3 11,7 10,2 10,4 12,511 11 9,5 11,5 11,5 10,2 12,4 10,5 9,4 12

11,6 9 11,1 11,4 13,5 12,5 9,8 13,4 10,5 12,413,7 10,4 11,2 12,8 11,2 10,5 13,4 11,2 11,2 119,8 10,8 11 13,1 12,6 11 11,2 10,5 10,6 10,3

Dia 16 Dia 17 Dia 18 Dia 19 Dia 20 Dia 21 Dia 22 Dia 23 Dia 24 Dia 2512,5 12,4 11,3 10,8 10,8 11,4 10,6 11,4 10,7 11,3

9,1 13,4 11,6 13,1 12,6 10,2 11,2 12,2 10,5 99,6 14 11,2 11,2 11,3 11,4 9,8 11,8 9,7 11,210,4 12,6 12,2 11,8 9,4 9,4 11,2 12,7 10,5 10,49,3 11,3 11,2 11,5 13 13 12 11,7 11,5 1410,8 11,5 10,7 11,7 11,5 10,8 10,2 12,6 10,2 11,212,9 10,8 10,4 9,8 10,7 9,4 11,9 11,5 10,2 11,514,2 10,2 12,8 10,5 10,2 11,2 10,3 10,7 11,4 10,111 10,5 11,2 10 12,2 11,5 10,2 10,2 10,7 1310 11,8 11 12,6 11,8 13,6 10,9 13,6 10 11,4

Dadas as 20 amostras diárias, com 10 peças cada, construir e interpretar as cartas da média e da amplitude. A seguir, analisar a capacidade (histograma).

Exercício do peso - Cálculos

Média 11,5 10,7 11,0 11,4 11,8 11,1 11,0 11,1 10,6 11,5Ampl. 4,2 3,5 3,4 3,6 3,7 3,7 4,2 3,4 2,8 2,2Média 11,0 11,9 11,4 11,3 11,4 11,2 10,8 11,8 10,5 11,3Amplit. 5,1 3,8 2,4 3,3 3,6 4,2 2,2 3,4 1,8 5,0

1) Na tabela acima, estão calculadas as médias e amplitudes, das 20 amostras.

2) Então: Média das médias = (11,5 + 10,7 + 11,0 + ....)/20 ≅ 11,205g;

Média das amplitudes = (4,2 + 3,5 + 3,4 + ....)/20 ≅ 3,475g.

3) Daí: Carta das médias – LSC = 11,205 + 0,308 x 3,475 ≅ 12,276g;

LIC = 11,205 – 0,0308 x 3,475 ≅ 10,134g.

Carta das amplitudes – LSC = 1,777 x 3,475 ≅ 6,175;

LIC = 0,223 x 3,475 ≅ 0,775.

onde: 0,308, 1,777 e 0,223 são tirados da tabela do slide 17 (amostra = 10).

4) Construir os 2 gráficos, lançando os limites (LIC e LSC), as linhas médias (LM), os pontos (cada média e cada amplitude) e unir os pontos.

5) Analisar os gráficos, com base nos 5 testes (ou 8) mostrados no slide 18. Neste caso, o processo foi aprovado em todos, donde ele é considerado estável (vide próximo slide).

Exercício do peso – Solução (cartas)

Dia 24Dia 22Dia21Dia 18Dia 16Dia 14Dia 12Dia 10Dia 8Dia 6

12,0

11,5

11,0

10,5

10,0

Data

Média amostra

l

__X=11,205

LSC=12,276

LIC=10,134

Dia 24Dia 22Dia21Dia 18Dia 16Dia 14Dia 12Dia 10Dia 8Dia 6

6,0

4,5

3,0

1,5

0,0

Data

Amplitude amostra

l

_R=3,475

LSC=6,175

LIC=0,775

Carta Xbar-R do Peso

�Processo estável (sob controle), pois foi aprovado em todos os 5 testes (ou 8).

�Perceba que nenhum ponto saiu em vermelho.

Exercício do peso – Solução (histograma)

� Supondo que o cliente tenha como especificação do peso 9,5 a 13,5g, analisar,através do histograma, se o processo é capaz (atende as necessidades do cliente).

14,2513,5012,7512,0011,2510,509,759,00

25

20

15

10

5

0

Peso

Frequência

LSE=13,5LIE=9,5

Média 11,21

D.Padrão 1,135

N 200

Histograma do Peso

Apesar do processo ser estável, ele não atende às especificações do cliente (LIE e LSE), daí ele não ser considerado capaz. Depois, veremos como obter os índices de capacidade (Cp e Cpk) e as porcentagens de rejeição.

Cartas média e desvio padrão (X e S)

� Os cálculos são semelhantes à carta anterior, porém o cálculo de S (desvio padrão) émais difícil, embora tenha mais precisão para estimar a variação.

� As constantes A3, B3 e B4 são dadas nas tabelas já mostradas.

amostra) cada(p/ 1n

)X(XS

k

X...XXX

2

i

ik21

−

−=

+++=

∑

S.BLIC

S.BLSC

3S

4S

=

=

S.AXLIC

S.AXLSC

3X

3X

−=

+=

Média e desvio padrão

MINITAB:

Stat > Control charts > Variables charts for subgroups

> Xbar- S

Exercício – Peso (média e desvio padrão)

� Usando os mesmos dados do exercício anterior (peso), construir as cartas damédia e do desvio padrão.

� Para facilitar, estamos fornecendo, para cada amostra, sua média e seudesvio padrão:

� Respostas (vide próximo slide):

�A3 = 0,976; B3 = 0,284; B4 = 1,716 (para n = 10);

�Média das médias = 11,205g;

�Média dos desvios padrões = 1,093g;

�LSC = 12,271g e LIC = 10,139g (carta das médias);

�LSC = 1,876g e LIC = 0,310g (carta dos desvios padrões);

�Processo sob controle (estável).

Média 11,5 10,7 11,0 11,4 11,8 11,1 11,0 11,1 10,6 11,5 D.P. 1,4 1,0 1,1 1,2 1,2 1,2 1,4 1,0 0,9 0,8 Média 11,5 10,7 11,0 11,4 11,8 11,1 11,0 11,1 10,6 11,5 D.P. 1,4 1,0 1,1 1,2 1,2 1,2 1,4 1,0 0,9 0,8

Exercício do peso, com D.P. - Resposta

Dia 24Dia 22Dia21Dia 18Dia 16Dia 14Dia 12Dia 10Dia 8Dia 6

12,0

11,5

11,0

10,5

10,0

Data

Média amostra

l

__X=11,205

LSC=12,271

LIC=10,139

Dia 24Dia 22Dia21Dia 18Dia 16Dia 14Dia 12Dia 10Dia 8Dia 6

2,0

1,5

1,0

0,5

Data

Desv

io padrã

o amostra

l

_S=1,093

LSC=1,876

LIC=0,310

Carta Xbar-S do Peso

Interpretação: Processo estável.

Carta de valores individuais e amplitude móvel (Xind e Rmov)

� Trabalha-se com valores individuais do processo, sendo os mesmos plotadosdiretamente na carta e a amplitude (Rmov) geralmente é calculada para cada par sucessivo de dados registrados, sendo denominada amplitude móvel.

etc ,3221ik21 )X(X ),XX(:R

k

X...XXX −−

+++=

R.DLIC

R.DLSC

3R

4R

=

=

R.EXLIC

R.EXLSC

2X

2X

−=

+=

Valor individual e

amplitude móvel

MINITAB:

Stat > Control charts > Variables charts for individuals > I-MR

Exercício - Baterias

�Na fabricação da massa para usar em placas de baterias automotivas, mede-se o percentual de chumbo livre na massa (valores na tabela, em %).

�Admitindo que a especificação para esse chumbo seja de 25 a 32 %, pede-se analisar se o processo está estável e capaz. Usar carta de individuais.

Dia 11/jan 11/jan 11/jan 11/jan 11/jan 11/jan 12/jan 12/jan 14/jan 14/janHora 8 9 10 11 13 14 9 10 8 9Valor 26 28 24 21 24 23 25 24 26 24

Dia 14/jan 14/jan 14/jan 16/jan 16/jan 16/jan 16/jan 17/jan 17/jan 17/janHora 10 11 13 13 14 15 16 13 14 15Valor 25 26 25 24 25 24 26 24 25 23

�Dados: Média dos valores individuais = 24,6%; Média das amplitudes móveis = 1,737%; A3 = 2,660; D3 = 0; D4 = 3,267 (para n = 2, pos a amplitude móvel foi calculada para cada par (2) de valores consecutivos.

�Respostas: Processo estável, com limites da carta de individuais = 29,22% e 19,98%, e limites da carta de amplitude móvel = 5,675 e 0.

�Lembrar que: estabilidade é diferente de capacidade!!!

Exercício das baterias – Resposta (cartas)

17-14h16-16h16-14h14-13h14-10h14-8h12-9h11-13h11-10h11-8h

28

26

24

22

20

Dia-horas

Valor individual

_X=24,6

LSC=29,22

LIC=19,98

17-14h16-16h16-14h14-13h14-10h14-8h12-9h11-13h11-10h11-8h

6,0

4,5

3,0

1,5

0,0

Dia-horas

Amplitude m

óvel

__MR=1,737

LSC=5,675

LIC=0

Carta I-MR da % Pb

Interpretação: Processo estável (ou sob controle).

Exercício das baterias – Histograma

323028262422

7

6

5

4

3

2

1

0

% Pb

Frequência

LIE=25 LSE=32

Média 24,6

D. Padrão 1,465

N 20

Histograma da % Pb

Apesar do processo ser estável, ele não atende às especificações do cliente (LIE e LSE), daí ele não ser considerado capaz. Depois, veremos como obter os índices de capacidade (Cp e Cpk) e as porcentagens de rejeição.

Carta da mediana e da amplitude (X , R)

~

� Substitui a carta da média e da amplitude, quando o operador tem uma dificuldade muito grande em realizar o cálculo da média.

� As constantes das fórmulas são dadas nas mesmas tabelas já mostradas.

k21k21 k / )R .... RR(R

k

X~

...X~

X~

X~

+++=+++

=

R.DLIC

R.DLSC

3R

4R

=

=

R.A~

X~

LIC

R.A~

X~

LSC

2X~

2X~

−=

+=

Obs.: O Minitab não tem essa opção.

Capacidade do processo

� A análise da capacidade do processo é feita através do cálculo de alguns medidores, como Cpk Cp, Ppk, Pp.

� LIE e LSE = limites de especificação, inferior e superior (cliente).

� Antes de se iniciar a análise de capacidade, é necessário realizar o estudo de sua normalidade e de sua estabilidade!!!

LSELIE LSELIE

Processo capaz de cumprir as especificações

Processo não capaz de cumprir as especificações

Capacidade, para PPAP (Pp e Ppk )

� O índice Pp analisa apenas a relação entre a variabilidade doprocesso e os limites de especificação (LIE e LSE).

� O PPAP (Processo de aprovação de peças de produção) é usadopara aprovar amostras, junto ao cliente, antes de produzir em rotina.

� O índice Ppk denota a variabilidade do processo e, também, acentralização dos valores analisados, em relação às especificações(fornece mais informações do que o Pp).

onde: = estimativa do desvio padrão do processo

n = número de elementos da amostra

σ̂6

LIELSEPp

−=

1n

)X(Xσ̂

2

i

−

−=∑

σ̂3

LIEX;

σ̂3

X - LSEMínPpk

−=

Capacidade, para Rotina (Cp e Cpk )

�O índice Cp analisa apenas a relação entre a variabilidade doprocesso e os limites de especificação (LIE e LSE).

�O índice Cpk denota a variabilidade do processo e, também, acentralização dos valores analisados, em relação às especificações(fornece mais informações do que o Cp).

onde:

= desvio padrão estimado, inerente ao processo

d2 = tabelado, em função de n (tamanho da amostra)

σ̂6

LIELSECp

−= [ ]ps pipk C e CMín C =

σ̂3

LIEXCpi

−=

σ̂3

XLSECps

−=

2d

Rσ̂ =

Exemplo: Comparação entre Cpk e Cp

A) Cpk :

B) Cp :

Caso 1Cpk = 2,67

Caso 2Cpk = 3,33

Caso 3Cpk = 1,33

Caso 4Cpk = 0,67

Caso 5Cpk = 0

Cp = 3,33 Cp = 3,33 Cp = 3,33 Cp = 3,33 Cp = 3,33

Caso 1X = 1,002σσσσ = 0,001

Caso 2X = 1,000σσσσ = 0,001

Caso 3X = 1,006σσσσ = 0,001

Caso 4X = 0,992σσσσ = 0,001

Caso 5X = 1,010σσσσ = 0,001

LSE = 1,010

LIE = 0,990

Tolerância1,000 ± 0,010

Interpretações dos indicadores

� Pp e Ppk ≥ 1,67: O processo atende às especificações, iniciar produção;

� 1,33 ≤ Pp e Ppk < 1,67: O processo atende às especificações, tendocuidado com características importantes, até obter Cpk ≥ 1,33;

� Ppk < 1,33: O processo não atende às especificações (tentar melhorá-lo, antes de colocá-lo em produção).

� Cp e Cpk ≥ 1,33: O processo atende às especificações.

� Cpk < 1,33: O processo não atende às especificações e necessita demelhoria (há refugos e retrabalho).

� Observações:�Cp é sempre maior ou igual a Cpk.

�Quanto maior o Cpk, menor a variabilidade e mais centrado o processo seencontra, com relação às especificações.

�Quando o processo está centrado, e tem pequena variabilidade: Cp = Cpk.

�Os cálculos de Cp e de Cpk só têm validade, se o processo seguir umadistribuição normal (idem para Pp e Ppk).

PPAP

Rotina

Capacidade de máquina (Cm e Cmk)

−−

=−

=σ̂3

LIEX ;

σ̂3

XLSEminC

σ̂6

LIELSEC mkm

$σσσσ = estimativa do desvio padrão total do processo e n = nº de elementos do processo 1n

)X(Xσ̂

2

i

−

−=∑

Interpretações:�Cm e Cmk ≥ 1,67: A máquina atende à necessidade, iniciar o run-at-rate.�1,33 ≤ Cm e Cmk < 1,67: A máquina atende à necessidade, iniciar o run-at-rate tendo cuidado especial com as características mais importantes do processo até que um Pmk ≥ 1,67 seja atingido.�Cmk < 1,33: A máquina não atende à necessidade, deve-se tentar melhorá-la, antes de iniciar o run-at-rate.�Aqui, o número de amostras é pequeno (intenção é conhecer só a variabilidade da máquina), donde a coleta deve ser feita num curto espaço de tempo.

Relação entre Cpk , σ (Sigma) e PPM

CPK ±

Sigma

% dentro da

tolerância

Quant. de

defeitos

(PPM)

0,33 1 68,268948 317.310

0,67 2 95,4499876 45.500

1,00 3 99,7300066 2.699

1,33 4 99,9936628 64

1,67 5 99,9999425 0,6

2,00 6 99,9999998 0,002

Capacidade do processo, no Minitab

Indicar a coluna

de dados

Indicar o tamanho

da amostra

Indicar LIE

Indicar LSE

Stat > Quality tools > Capability analysis > Normal

Minitab (estimate e options)

Usado para o Cpm

(indicar um valor)

Escolher as formas

Within usado para

rotina e Overall para

PPAP

Usada para carta Xbar e R

Usada para carta Xbar e S

Usada para PPAP

Usada para carta Xind, Rmov

Normalmente usa-se 2

Exercício do peso - Resolução

1. Já havíamos visto, no cálculo da estabilidade: Média das médias amostrais =11,205g e média das amplitudes = 3,475g.

2. Os limites da especificação são dados pelo cliente: 9,5 e 13,5g.

3. Então o desvio padrão inerente do processo (within):

4. Índice Cp = (13,5 – 9,5) / (6 x 1,13) ≅ 0,59 < 1,33 (não capaz).

5. Cpi = (11,205 – 9,5)/(3 x 1,13) ≅ 0,50 Cps = (13,5 – 11,205)/(3 x 1,13) ≅ 0,68,daí o índice Cpk = 0,50 (menor dos dois) < 1,33 (não capaz).

6. Rejeições, usando a tabela da distribuição normal, calculando antes o escorereduzido, z = (Xi - µ)/σ:

� zs = (13,5 -11,205)/1,13 = 2,03, então 2,11% (tabela), acima do LSE;

� Zi = (9,5 -11,205)/1,13 = -1,51, então 6,55% (tabela), abaixo do LIE.

7. Comparar esses cálculos manuais, com os do Minitab (próximo slide).

1,13g83,475/3,07/dRσ̂ 2 ≅==

Minitab – Exemplo do peso

14,2513,5012,7512,0011,2510,509,759,00

LIE LSE

LIE 9,5

LSE 13,5

Média amostral 11,205

Amostra N 200

D.Padrão (Within) 1,12898

Dados do processo

C p 0,59

C pi 0,50

C ps 0,68

C pk 0,50

C apacidade potencial (Within)

% < LIE 6,50

% > LSE 3,00

% Total 9,50

Performance observ ada

% < LIE 6,55

% > LSE 2,10

% Total 8,65

Performance Within (teórica, normal)

Capacidade do processo (Peso)

Performance observada é baseada no histograma e a “within” na curva

normal

Índices de capacidade

Processo não capaz.

Capacidade para outras cartas de variáveis

� As expressões de cálculo de Pp , Ppk , Cp e Cpk são as mesmas.

� Apenas o cálculo do desvio padrão inerente do processo, no caso deCp e Cpk , muda:

onde: C4 e d2 são tabelados, em função do tamanho da amostra (n).

� As interpretações continuam sendo as mesmas.

casos) demais (nos /dRσ̂

S),X carta da caso (no /CSσ̂

2

4

=

=

Minitab, capacidade “sixpack”

Stat > Quality tools > Capability sixpack > Normal

191715131197531

12

11

10

Média amostral

__X=11,205

LSC=12,276

LIC=10,134

191715131197531

5,0

2,5

0,0Amplitude amostral

_R=3,475

LSC=6,175

LIC=0,775

2015105

14

12

10

Amostra

Valores

14,25

13,50

12,75

12,00

11,25

10,509,

759,00

LSL USL

LSL 9,5

USL 13,5

Specifications

1412108

Within

O v erall

Specs

D.Padrão 1,12898

C p 0,59

C pk 0,5

Within (rotina)

D. Padrão 1,13539

Pp 0,59

Ppk 0,5

C pm *

O verall (PPA P)

Capacidade sixpack do processo (Peso)Carta Xbar (médias)

Carta R (amplitudes)

Últimos 20 grupos

Histograma da capacidade

PPNPv : < 0,005

Capacidade (plotagem)

Fim do Módulo 3