Estudos de Controle – Espaço de Estados

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Teorias Controle

• Teoria de Controle Moderno

• Entradas e saídas múltiplas, podendo ser variantes no tempo.

• Abordagem no domínio do tempo.

• Possibilidade de lidar com sistemas não-lineares.

• Base no conceito de estado.

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Definições

• Estado:

• É o menor conjunto de variáveis de estado que determinam completamente o comportamento do sistema.

• Variáveis de estado:

• Especificado o estado inicial em 𝑡 = 𝑡0 e a entrada para 𝑡 ≥ 𝑡0, determinam o comportamento do sistema para 𝑡 ≥ 𝑡0.

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Definições

• Vetor de estado:

• Possui como componentes as variáveis de estado.

• Determinam o estado do sistema para qualquer instante 𝑡 ≥ 𝑡0, dada a entrada e o estado inicial.

• Espaço de estados:

• Espaço cujos eixos coordenados representam as variáveis de estado (um eixo para cada variável).

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Análise no espaço de estados

• Envolve três tipos de variáveis:

• Variáveis de entrada;

• Variáveis de saída;

• Variáveis de estado.

• O sistema dinâmico deve conter elementos que memorizem seus dados.

• Integradores, em um sistema de controle de tempo contínuo , servem como dispositivos de memória. Portanto, a saída desses integradores podem ser consideradas variáveis de estado.

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Análise no espaço de estados

• O número de variáveis de estado é igual ao número de integradores.

• Supondo um sistema com:

• r entradas: 𝑢1 𝑡 , 𝑢2 𝑡 , … , 𝑢𝑟 𝑡 ;

• m saídas: 𝑦1 𝑡 , 𝑦2 𝑡 , … , 𝑦𝑚 𝑡 ;

• n variáveis de estado: 𝑥1 𝑡 , 𝑥2 𝑡 , … , 𝑥𝑛 𝑡

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Equações no espaço de estados

• O sistema pode ser escrito como: 𝑥 1 𝑡 = 𝑓1(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛; 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑛; 𝑡) 𝑥 2 𝑡 = 𝑓2 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛; 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑛; 𝑡

⋮ 𝑥 𝑛 𝑡 = 𝑓𝑛(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛; 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑛; 𝑡)

𝑦1 𝑡 = 𝑔1(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛; 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑛; 𝑡) 𝑦2 𝑡 = 𝑔2 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛; 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑛; 𝑡

⋮ 𝑦𝑚 𝑡 = 𝑔𝑚(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛; 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑛; 𝑡)

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Equações no espaço de estados

• Definindo:

𝒙 𝑡 =

𝑥1(𝑡)𝑥2(𝑡)⋮

𝑥𝑛(𝑡)

, 𝒚 𝑡 =

𝑦1(𝑡)𝑦2(𝑡)⋮

𝑦𝑚(𝑡)

, 𝒖 𝑡 =

𝑢1(𝑡)𝑢2(𝑡)⋮

𝑢𝑟(𝑡)

,

𝒇(𝒙, 𝒖, 𝑡) =

𝑓1(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛; 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑛; 𝑡) 𝑓2(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛; 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑛; 𝑡)

⋮𝑓𝑛(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛; 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑛; 𝑡)

,

𝒈(𝒙, 𝒖, 𝑡) =

𝑔1(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛; 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑛; 𝑡) 𝑔2(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛; 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑛; 𝑡)

⋮𝑔𝑚(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛; 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑛; 𝑡)

,

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Equações no espaço de estados

• Equação de estado: 𝒙 𝑡 = 𝒇 𝒙, 𝒖, 𝑡

• Equação de saída: 𝒚 𝑡 = 𝒈 𝒙, 𝒖, 𝑡

• Se as funções vetoriais 𝒇 ou 𝒈 envolverem explicitamente o tempo t, então o sistema é chamado de variante no tempo.

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Equações no espaço de estados

• Se as equações forem linearizadas em torno de um ponto de operação, temos:

𝒙 𝑡 = 𝑨 𝑡 𝒙 𝑡 + 𝑩 𝑡 𝒖(𝑡) 𝒚 𝑡 = 𝑪 𝑡 𝒙 𝑡 + 𝑫 𝑡 𝒖(𝑡)

• 𝑨 𝑡 é chamada de matriz de estado, 𝑩 𝑡 de matriz de entrada, 𝑪 𝑡 de matriz de saída e 𝑫 𝑡 de matriz de transmissão direta.

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Equações no espaço de estados

• Se as funções vetoriais 𝒇 ou 𝒈 não envolverem explicitamente o tempo t, então o sistema é chamado de invariante no tempo.

• Nesse caso, temos: 𝒙 𝑡 = 𝑨𝒙 𝑡 + 𝑩𝒖(𝑡) 𝒚 𝑡 = 𝑪𝒙 𝑡 + 𝑫𝒖(𝑡)

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Equações no espaço de estados

• Exemplo:

• Admitimos que o sistema é linear.

• A força externa u(t) é a entrada.

• O deslocamento y(t) da massa m é a saída.

• O deslocamento é medido a partir da posição de equilíbrio, na ausência da força externa.

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Equações no espaço de estados

• Exemplo:

• Equação dinâmica do sistema: 𝑚𝑦 + 𝑏𝑦 + 𝑘𝑦 = 𝑢

• Sistema de segunda ordem, com dois integradores e duas variáves de estado:

𝑥1 𝑡 = 𝑦 𝑡 𝑥2 𝑡 = 𝑦 (𝑡)

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Equações no espaço de estados

• Equação de estado: 𝑥 1 = 𝑥2

𝑥 2 = −𝑘

𝑚𝑥1 −

𝑏

𝑚𝑥2 +

1

𝑚𝑢

• Equação de saída: 𝑦 = 𝑥1

• Diagrama de blocos:

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Equações no espaço de estados

• Forma vetorial-matricial:

𝑥 1𝑥 2

=0 1

−𝑘

𝑚−𝑏

𝑚

𝑥1𝑥2

+ 01

𝑚

𝑢

𝑦 = 1 0𝑥1𝑥2

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Função de Transferência

• Podemos encontrar 𝐺 𝑠 =𝑌(𝑠)

𝑈(𝑠) para a equação

do espaço de estados, considerando um sistema de entrada e saída únicas:

𝒙 𝑡 = 𝑨𝒙 𝑡 + 𝑩𝒖(𝑡) 𝑦 𝑡 = 𝑪𝒙 𝑡 + 𝐷𝑢(𝑡)

𝒔𝑿(𝑠) = 𝑨𝑿 𝑠 + 𝑩𝑈(𝑠) 𝑌 𝑠 = 𝑪𝑿 𝑠 + 𝐷𝑈 𝑠

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Função de Transferência

• Isolando 𝑿(𝑠): 𝒔𝑿 𝑠 − 𝑨𝑿 𝑠 = 𝑩𝑈(𝑠) 𝒔𝑰 − 𝑨 𝑿 𝑠 = 𝑩𝑈 𝑠

𝑿(𝑠) = 𝒔𝑰 − 𝑨 −1𝑩𝑈(𝑠)

• Substituindo em 𝒀 𝑠 : 𝑌 𝑠 = 𝑪 𝒔𝑰 − 𝑨 −1𝑩𝑈(𝑠) + 𝐷𝑈 𝑠 𝑌 𝑠 = [𝑪 𝒔𝑰 − 𝑨 −1𝑩 + 𝐷]𝑈(𝑠)

𝐺 𝑠 =𝑌(𝑠)

𝑈(𝑠)= 𝑪 𝒔𝑰 − 𝑨 −1𝑩 + 𝐷

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Função de Transferência

• Exemplo:

• Considerando o sistema mecânico anterior, podemos encontrar G(s):

𝐺 𝑠 = 𝑪 𝒔𝑰 − 𝑨 −1𝑩 + 𝐷

𝐺 𝑠 = 1 0𝑠 00 𝑠

−0 1

−𝑘

𝑚−𝑏

𝑚

−1 01

𝑚

𝐺 𝑠 = 1 0𝑠 −1𝑘

𝑚𝑠 +

𝑏

𝑚

−1 01

𝑚

𝐺 𝑠 = 1 01

𝑠2 +𝑏𝑚 𝑠 +

𝑘𝑚

𝑠 +𝑏

𝑚1

−𝑘

𝑚𝑠

01

𝑚

𝐺 𝑠 =1

𝑚𝑠2 + 𝑏𝑠 + 𝑘

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Matriz de Transferência

• Considerando um sistema com múltiplas entradas e saídas:

𝑮 𝒔 =𝒀(𝒔)

𝑼(𝒔)= 𝑪 𝒔𝑰 − 𝑨 −1𝑩 + 𝑫

• Como o vetor de entrada tem dimensão r e o vetor de saída tem dimensão m, a matriz de transferência terá dimensões m x r.

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