Capítulo 2 – Movimento Retilíneo2.1 – Deslocamento, tempo e velocidade média

Exemplo: Descrever o movimento de um carro que anda em linha reta

Antes de mais nada, temos que: - Modelar o carro como uma partícula- Definir um referencial: eixo orientado e origem

0 x

0

x

0

x

t

x1

t1

x2

t2

0

x

t

x1

t1

x2

t2

x3

t3

0

x

t

x1

t1

x2

t2

x3

t3

x4

t4

0

x

t

x1

t1

x2

t2

x3

t3

x4

t4

x5=

t5

0

x

t

x1

t1

x2

t2

x3

t3

x4

t4

x5=

t5

Deslocamento entre t1 e t2: 12 xxx

Velocidade média:

tx

ttxxv x

12

12m

x

t Inclinação: 0

tx

0

x

t

x1

t1

x2

t2

x3

t3

x4

t4

x5=

t5

Entre t3 e t4: 034

34m

tx

ttxxv x

0x

t

0

x

t

x1

t1

x2

t2

x3

t3

x4

t4

x5=

t5

Entre t1 e t5: 015

15m

tx

ttxxv x

0xt

Atenção: Velocidade média não é a distância

percorrida dividida pelo tempo

2.2 – Velocidade instantâneaQual a velocidade em um instante de tempo?

0

x (m)

20

1

25)( ttx Exemplo:

t (s)2

5

m/s151

52012

)1()2( :2s e 1s Entre

m

xxv

tt

x

0

x (m)

11,25

1

25)( ttx Exemplo:

t (s)1,5

5

m/s151

52012

)1()2( :2s e 1s Entre

m

xxv

tt

x

m/s5,125,0

525,1115,1

)1()5,1( :s 1,5 e 1s Entre

m

xxv

tt

x

0

x (m)

11,25

1

25)( ttx Exemplo:

t (s)1,5

5

m/s151

52012

)1()2( :2s e 1s Entre

m

xxv

tt

x

m/s5,125,0

525,1115,1

)1()5,1( :s 1,5 e 1s Entre

m

xxv

tt

x

0

x (m)

6,05

1

25)( ttx Exemplo:

t (s)1,1

5

m/s151

52012

)1()2( :2s e 1s Entre

m

xxv

tt

x

m/s5,125,0

525,1115,1

)1()5,1( :s 1,5 e 1s Entre

m

xxv

tt

x

m/s5,101,0

505,611,1

)1()1,1( :s 1,1 e 1s Entre

m

xxv

tt

x

0

x (m)

1

dtdx

txv

tx

0

lim

t (s)

5

Velocidade instantânea:

25)( ttx Exemplo:

m/s 10)1( :s 1 Em

10)(

x

x

vt

tdtdxtv

Derivada de é nt 1nnt

Graficamente: inclinação da reta tangente no gráfico xt

dtdx

txv

tx

0

lim

Obtendo a velocidade graficamente a partir do gráfico xt :x

t

vx

t

0xv

dtdx

txv

tx

0

lim

Obtendo a velocidade graficamente a partir do gráfico xt :x

t

t

maxxv

No ponto de inflexão do gráfico xt, a velocidade é máxima (ou mínima)vx

dtdx

txv

tx

0

lim

Obtendo a velocidade graficamente a partir do gráfico xt :x

t

t

0xv

No ponto de máximo (ou mínimo) do gráfico xt, a velocidade é nulavx

dtdx

txv

tx

0

lim

Obtendo a velocidade graficamente a partir do gráfico xt :x

t

t

0xv

vx

dtdx

txv

tx

0

lim

Obtendo a velocidade graficamente a partir do gráfico xt :x

t

t

minxv

vx

Distinção entre velocidade (“velocity”) e velocidade escalar (“speed”)

Velocidade escalar (média ou instantânea) é a distância

percorrida dividida pelo tempo

• Para a velocidade escalar, usaremos o símbolo • Sempre positiva• Velocidade escalar instantânea é o módulo do vetor

velocidade instantânea

v

2.3 – Aceleração instantânea e aceleração média Aceleração média:

tv

ttvva xxx

x

12

12m

0

v1x

t

xv

v2x

t2t1

xv

t

2

2

0lim

dtxd

dtdv

tva xx

tx

Aceleração instantânea:

0

v1x

t

xv

t1

Graficamente: inclinação da reta tangente no gráfico vt , curvatura no gráfico xt

dtdxvx

Obtendo a aceleração graficamente a partir dos gráficos vt e xt :

2

2

dtxd

dtdva x

x

x

t

t

ax

t

vx

2.4 – Movimento com aceleração constante

t

axSe a aceleração é constante, então a aceleração instantânea é igual à aceleração média:

12

12m tt

vvaa xxxx

Fazendo (velocidade inicial): xx vvttt 0112 e 0,

tavvt

vva xxxxx

x

00

0t

vx

v0x

Se a velocidade varia linearmente com o tempo, então a velocidade média em um intervalo de tempo é igual à media aritmética entre as velocidades inicial e final:

t

vx

v0x

0

20 xx vv

=

Áreas iguais

2000

mxx

xvv

txxv

Assim:

tvvxx xx

2

00

Sabemos que : tavv xxx 0

ttavvxx xxx

200

0

200 2

1 tatvxx xx

t

x

x0Inclinação: xv0

Inclinação: xv

Outra equação útil, para problemas que não envolvem o tempo:

x

xxxxx a

vvttavv 00

Substituindo em: 200 2

1 tatvxx xx

2

0000 2

1

x

xxx

x

xxx a

vvaa

vvvxx

20000 22 xxxxxx vvvvvxxa

200

22000 2222 xxxxxxxx vvvvvvvxxa

020

2 2 xxavv xxx

Equações do movimento com aceleração constante:

tavv xxx 0

tvvxx xx

2

00

200 2

1 tatvxx xx

020

2 2 xxavv xxx

Caso particular: aceleração nula

constante 0 xx vv

tvxx x 0

2.5 – Queda livreAristóteles (séc. IV a.C.): “Quatro Elementos” (Água, Ar, Terra e Fogo), cada um com seu “lugar natural”. Corpos mais pesados deveriam cair mais rapidamente

Galileu: “Discursos e Demonstrações Matemáticas sobre Duas Novas Ciências” (1638), escrito em forma de diálogos

Salviati (Galileu): “Aristóteles diz que uma bola de ferro de 100 libras, caindo de 100

cúbitos, atinge o solo antes que uma bala de uma libra tenha caído de um só cúbito. Eu

digo que chegam ao mesmo tempo. Fazendo a experiência, você verifica que a maior precede a menor por 2 dedos; você não

pode querer esconder nesses 2 dedos os 99 cúbitos de Aristóteles…”

Resultados obtidos apenas através de argumentações lógicas são completamente

vazios de realidade. Porque Galileu enxergou isso, e particularmente porque ele

propagou repetidamente esta idéia pelo mundo científico, ele é o pai da física moderna – de fato, de toda a ciência

moderna.

Einstein

Demonstração: Experimento de Galileu com plano inclinado (trilho

de ar)

Filme: queda livre na Lua (Apolo 15, NASA)http://www.youtube.com/watch?v=5C5_dOEyAfk

Aceleração da gravidade: g ≈ 9,8 m/s2

y2m/s 8,9 gay

g

Equações da queda livre: gtvv yy 0

tvv

yy yy

20

0

200 2

1 gttvyy y

020

2 2 yygvv yy

Medição de g: Vídeo “Physics Demonstrations in Mechanics” I.2

Método (1): Medição do tempo de queda por uma altura d partindo do repouso

y

y0

y

0,0 0 yvt

0yv

yyd 0

200 2

1 gttvyy y

dyygt 02

21

2

2tdg

Método (2): Medição da velocidade após cair de uma altura d partindo do repouso

y

y0

y

0,0 0 yvt

0yv

yyd 0

020

2 2 yygvv yy

dv

g y

2

2

gdvy 22

2.6 – Velocidade e posição por integraçãoJá sabemos calcular: dt

dvadtdxvx

Como resolver o problema inverso?

xva

Suponha que a aceleração varie com o tempo da seguinte forma:

t

ax

0

Vamos dividir o intervalo entre t1 e t2 em pequenos intervalos de duração Δt

t1 t2 Δt

tva x

x

mSabendo que ,

a variação da velocidade em cada intervalo é

tav xx m

t

ax

0 t1 t2 Δt

tva x

x

mSabendo que ,

a variação da velocidade em cada intervalo é

tav xx m

xam

Note que é a área do retângulo sombreado tav xx m

Desta forma, somando-se todas as pequenas variações de velocidade, obtemos a variação total de velocidade entre t1 e t2 como a soma das áreas de todos os retângulos.

t

ax

0 t1 t2

No limite a soma das áreas dos retângulos torna-se a área sob a curva

0t

xam

Δt

)(tax

xv

Esta área é integral definida da função entre os instantes e

)(tax 1t 2t

2

1

12

t

txxxx dtavvv

Se tomamos , então , de modo que:

Podemos executar um procedimento completamente análogo a esse para obter o deslocamento a partir da velocidade:

t

xxx dtavv0

0

01 t xx vv 01

t

xdtvxx0

0

Desta forma, resolvemos o problema inverso:

avx

xva Por derivação Por integração

A integral é a operação inversa da

derivada

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