capítulo 11 cinemÁtica das partÍculas x p o x o movimento de uma partícula ao longo de uma reta...

Capítulo 11 CINEMÁTICA DAS PARTÍCULAS

x

PO

x

O movimento de uma partícula ao longo de uma reta é chamado de movimento retilíneo. Para definir a posição P da partícula, escolhe-se uma origem fixa O e um

sentido positivo. A distância x de O a P, com o sinal apropriado, define completamente a posição da partícula sobre a reta e é chamada de coordenada de posição da partícula.

x

PO

x

A velocidade v da partícula é dada pela derivada temporal da coordenada de posição x,

v = dxdt

e a aceleração a é obtida pela diferenciação de v em relação a t,

a = dvdt

ou a = d 2xdt 2

A aceleração a também pode ser expressa como

a = v dvdx

x

PO

x

v = dxdt a = dv

dt

ou a =d 2xdt 2 a = v dv

dxou

A velocidade v e a aceleração a são representadas por números algébricos os quais podem ser positivos ou negativos. Um valor positivo de v indica que a partícula move-se no sentido positivo, e um valor negativo indica que ela move-se no sentido negativo.

Um valor positivo de a pode indicar que a partícula esta sendo acelerada (movendo-se mais rápido) na direção positiva, ou que esteja sendo desacelerada (movendo-se mais devagar) na direção negativa. O valor positivo ou negativo de a deve ser devidamente interpretado.

+-

Dois tipos de movimento são frequentemente encontrados: movimento retilíneo uniforme, no qual a velocidade v da partícula é constante e

x = xo + vt

e o movimento retilíneo uniformemente acelerado, no qual a aceleração a da partícula é constante

v = vo + atx = xo + vot + at21

2

v2 = vo + 2a(x - xo )2

x

O

xA

xB

xB/A

A B

Quando duas partículas A e B movem-se ao longo da mesma reta, o movimento relativo de B em relação a A pode ser considerado. Representando por xB/A a coordenada de posição relativa de B em relação a A, temos

xB = xA + xB/A

Diferenciando em relação a t, obtemos

vB = vA + vB/A aB = aA + aB/A

onde vB/A e aB/A representam, respectivamente, a velocidade relativa e a aceleração relativa de B em relação a A.

A

B

C

xAxB

xC

Quando vários blocos são conectados por cordas inextensíveis, é possível escrever uma relação linear entre suas coordenadas de posição. Relações similares podem então ser escritas para as velocidades e acelerações, sendo utilizadas para analisar o movimento desses blocos.

Algumas vezes é conveniente utilizar uma solução gráfica em problemas que envolvem o movimento retilíneo de uma partícula. Essas soluções envolvem as curvas x - t, v - t , e a - t .

a

tv

tx

t

t1 t2

v1

v2

t1 t2

v2 - v1 = a dtt1

t2

x1

x2

t1 t2

x2 - x1 = v dtt1

t2

Para um dado instante t,

v = inclinação da curva x - t a = inclinação da curva v - t

enquanto que para um dado intervalo de t1 a t2,

v2 - v1 = área sob a curva a - t x2 - x1 = área sob a curva v - t

x

y

rP

Po

O

v

s

O movimento curvilíneo de uma partícula trata do movimento de uma partícula ao longo de uma trajetória curvilínea. A posição P da partícula em um dado instante é definida pelo vetor posição r que liga a origem O do sistema de coordenadas ao ponto P.

A velocidade v da partícula é definida pela relação

v = drdt

O vetor velocidade é tangente a trajetória da partícula, e tem intensidade v igual a derivada temporal do comprimento s do arco descrito pela partícula

v = dsdt

x

y

rP

Po

O

v

s

v = drdt

Em geral, a aceleração a da partícula não é tangente sua trajetória. A aceleração é definida pela relação

v = dsdt

a = dvdtx

y

rP

Po

O

a

s

x

y

zi

jk

vx

vy

vz

xiyj

zk

P

x

y

zi

jk

r

ax

ay

az

P

Representando por x, y, e z as coordenadas retangulares da partícula P, os componentes retangulares da velocidade e aceleração P são iguais, respectivamente, às primeiras e segundas derivadas em relação a t das coordenadas correspondentes:

vx = x vy = y vz = z . . .

ax = x ay = y az = z .. .. ..

r

A utilização de componentes retangulares é particularmente eficiente no estudo do movimento de projéteis.

x

y

z

x’

y’

z’

A

B

rA

rB rB/A

Para duas partículas A e B que se movem no espaço, consideramos o movimento relativo de B em relação a A , ou mais precisamente, em relação a um sistema móvel de coordenadas fixado em A e em translação com A. Representando por rB/A o vetor de posição relativa de B com relação a A , temos

rB = rA + rB/A

Representando por vB/A e aB/A , respectivamente, a velocidade relativa e a aceleração relativa de B com relação a A, temos que vB = vA + vB/A

aB = aA + aB/A

e

x

yC

P

an = en

O

v 2

at = et

dvdt

Em alguns casos é conveniente decompor a velocidade e a aceleração da partícula P em componentes que sejam os retangulares x, y, e z . Para uma partícula P movendo-se ao longo de uma trajetória plana, fixamos a P os vetores unitários et tangente à trajetória e en normal à trajetória e apontando para o centro de curvatura desta.

A velocidade e a aceleração são expressas em termos das componentes tangencial e normal. A velocidade da partícula é

v = vet

A aceleração é

a = et + env2

dvdt

v = vet

Nestas equações, v é a velocidade da partícula e é o raio de curvatura da trajetória. O vetor velocidade v é sempre tangente a trajetória. O vetor aceleração a consiste do componente tangencial at , e do componente normal an apontado para o cento de curvatura da trajetória

a = et + env2

dvdt

x

yC

P

an = en

O

v 2

at = et

dvdt

x

P

O

e

r = r er

erQuando a posição da partícula P movendo-se em um plano é definida por suas coordenadas polares r e , é conveniente usar os componentes radial e transversal dirigidos, respectivamente, ao longo do vetor posição r da partícula e na direção obtida pela rotação de r de 90o no sentido anti-horário.

Os vetores unitários er e e são fixados a P e são dirigidos, respectivamente, nas direções radial e transversal. A velocidade e a aceleração da partícula em termos das componentes radial e transversal são

v = rer + re

. .

a = (r - r2)er + (r + 2r)e

... .. . .

x

P

O

e

r = r er

er v = rer + re

. .

a = (r - r2)er + (r + 2r)e

... .. . .

Nestas equações os pontos representam a diferenciação em relação ao tempo. Os componentes escalares da velocidade e da aceleração nas direções radial e transversal são, portanto

vr = r v = r. .

ar = r - r2 a = r + 2r... .. . .

É importante notar que ar não é igual a derivada temporal de vr, e que a não é igual a derivada temporal de v.

Exercício Resolvido 11.2

Determinar:a) A velocidade v e a elevação y da bola

acima do solo para qualquer instante tb) A elevação máxima atingida pela bola

e o correspondente instante t c) O instante em que a bola atingirá o solo

e a velocidade correspondente

Uma bola é arremessada para cima com uma velocidade de 10 m/s a partir da janela de um prédio localizada a 20 m de altura.

SOLUÇÃO:

• Integrar duas vezes para encontrar v(t) e y(t).

• Resolver para o instante t em que a velocidade é zero (instante de máxima elevação) e calcular a altura.

• Resolver para o instante t em que a altura é zero (instante de impacto no solo) e calcular a velocidade.

tvtvdtdv

adtdv

ttv

v81.981.9

sm81.9

00

2

0

ttv

2s

m81.9sm10

2

21

00

81.91081.910

81.910

0

ttytydttdy

tvdtdy

tty

y

22s

m905.4sm10m20 ttty

SOLUÇÃO:

• Integrar duas vezes para encontrar v(t) e y(t).

0sm81.9

sm10 2

ttv

s019.1t

22

22

s019.1sm905.4s019.1

sm10m20

sm905.4

sm10m20

y

ttty

m1.25y

• Resolver para o instante t em que a velocidade é zero (instante de máxima elevação) e calcular a altura.


0sm905.4

sm10m20 2

2

ttty

1.243s 3.28s

tt

s28.3sm81.9

sm10s28.3

sm81.9

sm10

2

2

v

ttv

sm2.22v



O mecanismo usado para reduzir o recuo em certos tipos de armas consiste de um pistão preso ao cano e que se move em um cilindro cheio de óleo. Quando o cano recua com velocidade inicial v0, o pistão se move e o óleo é forçado através de orifícios no pistão, causando um desaceleração do pistão e do cano a uma taxa proporcional à velocidade de ambos.

Determinar v(t), x(t), e v(x).

kva

• Integrar a = v dv/dx = -kv para encontrar v(x).

SOLUÇÃO:

• Integrar a = dv/dt = -kv para encontrar v(t).

• Integrar v(t) = dx/dt para encontrar x(t).

ktv

tvdtkvdvkv

dtdva

ttv

v

00ln

0

ktevtv 0

tkt

tkt

tx

kt

ek

vtxdtevdx

evdtdxtv

00

00

0

0

1

ktekv

tx 10

SOLUÇÃO:

• Integrar a = dv/dt = -kv para encontrar v(t).

• Integrar v(t) = dx/dt para encontrar x(t).

• Integrar a = v dv/dx = -kv para encontrar v(x).

kxvv

dxkdvdxkdvkvdxdvva

xv

v

0

00

kxvv 0

• Alternativamente,

0

0 1v

tvkv

tx

kxvv 0

0

0

ou kt kt v tv t v e e

v

ktekvtx 10com

e

então


A polia D esta presa a um colar que é puxado para baixo a 3 in./s. Em t = 0, o colar A move-se para baixo partindo de K com aceleração constante e velocidade inicial nula. Sabendo que a velocidade do colar A é 12 in./s ao passar por L, determine a variação na elevação, velocidade e aceleração do bloco B quando o colar A passa por L.

SOLUÇÃO:

• Definir a origem na superfície horizontal superior, com sentido positivo para baixo.

• O colar A esta em movimento retilíneo uniformemente acelerado. Resolver a aceleração e tempo t até alcançar L.

• A polia D esta em movimento retilíneo uniforme. Calcular a posição no tempo t.

• O movimento do bloco B depende do movimento do colar A e da polia D. Montar a relação de movimento e calcular a posição do bloco B no tempo t.

• Diferenciar a relação de movimento duas vezes para desenvolver as equações para velocidade e aceleração do bloco B.

2

20

20

2

sin.9in.82

sin.12

2

AA

AAAAA

aa

xxavv

s 333.1sin.9

sin.12 2

0

tt

tavv AAA

SOLUÇÃO:

• Definir a origem na superfície horizontal superior, com sentido positivo para baixo.

• O colar A esta em movimento retilíneo uniformemente acelerado. Resolver a aceleração e tempo t até alcançar L.

in. 4s333.1s

in.30

0

DD

DDD

xx

tvxx

0in.42in.8

02

22

0

000

000

BB

BBDDAA

BDABDA

xx

xxxxxx

xxxxxx

in.160 BB xx

• A polia D esta em movimento retilíneo uniforme. Calcular a posição no tempo t.

• O movimento do bloco B depende do movimento do colar A e da polia D. Montar a relação de movimento e calcular a posição do bloco B no tempo t. O comprimento total do cabo permanece constante

0s

in.32s

in.12

02

constant2

B

BDA

BDA

v

vvv

xxx

sin.18Bv

0sin.9

02

2

B

BDA

v

aaa

2sin.9Ba

• Diferenciar a relação de movimento duas vezes para desenvolver as equações para velocidade e aceleração do bloco B.


Um motorista percorre a seção curva de uma estrada a 60 mph. O motorista freia causando uma desaceleração constante.

Sabendo que após 8 s a velocidade foi reduzida para 45 mph, determine a aceleração carro imediatamente após os freios terem sido acionados.

SOLUÇÃO:

• Calcular as componentes tangencial e normal da aceleração.

• Determinar a intensidade e direção da aceleração.

ft/s66mph45ft/s88mph60

2

22

2

sft10.3

ft2500sft88

sft75.2

s 8sft8866

va

tva

n

t

2222 10.375.2 nt aaa2s

ft14.4a

75.210.3tantan 11

t

naa

4.48

SOLUÇÃO:

• Calcular as componentes tangencial e normal da aceleração.

• Determinar a intensidade e direção da aceleração.


A rotação do braço OA de 0,9m de comprimento é definida por = 0.15t2

onde esta em radianos e t em segundos. O colar B desliza ao longo do braço de modo que r = 0.9 - 0.12t2 onde r esta em metros.

Após o braço OA ter girado 30o, determine (a) a velocidade do colar, (b) a aceleração do colar, e (c) a aceleração relativa do colar em relação ao braço.

SOLUÇÃO:

• Calcular o tempo t para = 30o.

• Calcular as posições radial e angular, e a primeira e segunda derivada no tempo t.

• Calcular velocidade e aceleração em coordenadas cilíndricas.

• Calcular a aceleração em relação ao braço.

s 869.1rad524.0300.15 2

tt

2

2

sm24.0

sm449.024.0m 481.012.09.0

r

trtr

2

2

srad30.0

srad561.030.0rad524.015.0

tt

SOLUÇÃO:

• Calcular o tempo t para = 30o.

• Calcular as posições radial e angular, e a primeira e segunda derivada no tempo t.

rr

r

aaaaa

rra

rra

122

2

2

2

22

2

tan

sm359.0

srad561.0sm449.02srad3.0m481.0

2sm391.0

srad561.0m481.0sm240.0

6.42sm531.0 a

rr

r

vvvvv

rv

srv

122 tan

sm270.0srad561.0m481.0

m449.0

0.31sm524.0 v

• Calcular velocidade e aceleração em coordenadas cilíndricas.

2sm240.0ra OAB

• Calcular a aceleração em relação ao braço.

O movimento do colar em relação ao braço é linear e definido pela coordenada r

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