capítulo 11 cinemÁtica das partÍculas x p o x o movimento de uma partícula ao longo de uma reta...
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Capítulo 11 CINEMÁTICA DAS PARTÍCULAS
x
PO
x
O movimento de uma partícula ao longo de uma reta é chamado de movimento retilíneo. Para definir a posição P da partícula, escolhe-se uma origem fixa O e um
sentido positivo. A distância x de O a P, com o sinal apropriado, define completamente a posição da partícula sobre a reta e é chamada de coordenada de posição da partícula.
x
PO
x
A velocidade v da partícula é dada pela derivada temporal da coordenada de posição x,
v = dxdt
e a aceleração a é obtida pela diferenciação de v em relação a t,
a = dvdt
ou a = d 2xdt 2
A aceleração a também pode ser expressa como
a = v dvdx
x
PO
x
v = dxdt a = dv
dt
ou a =d 2xdt 2 a = v dv
dxou
A velocidade v e a aceleração a são representadas por números algébricos os quais podem ser positivos ou negativos. Um valor positivo de v indica que a partícula move-se no sentido positivo, e um valor negativo indica que ela move-se no sentido negativo.
Um valor positivo de a pode indicar que a partícula esta sendo acelerada (movendo-se mais rápido) na direção positiva, ou que esteja sendo desacelerada (movendo-se mais devagar) na direção negativa. O valor positivo ou negativo de a deve ser devidamente interpretado.
+-
Dois tipos de movimento são frequentemente encontrados: movimento retilíneo uniforme, no qual a velocidade v da partícula é constante e
x = xo + vt
e o movimento retilíneo uniformemente acelerado, no qual a aceleração a da partícula é constante
v = vo + atx = xo + vot + at21
2
v2 = vo + 2a(x - xo )2
x
O
xA
xB
xB/A
A B
Quando duas partículas A e B movem-se ao longo da mesma reta, o movimento relativo de B em relação a A pode ser considerado. Representando por xB/A a coordenada de posição relativa de B em relação a A, temos
xB = xA + xB/A
Diferenciando em relação a t, obtemos
vB = vA + vB/A aB = aA + aB/A
onde vB/A e aB/A representam, respectivamente, a velocidade relativa e a aceleração relativa de B em relação a A.
A
B
C
xAxB
xC
Quando vários blocos são conectados por cordas inextensíveis, é possível escrever uma relação linear entre suas coordenadas de posição. Relações similares podem então ser escritas para as velocidades e acelerações, sendo utilizadas para analisar o movimento desses blocos.
Algumas vezes é conveniente utilizar uma solução gráfica em problemas que envolvem o movimento retilíneo de uma partícula. Essas soluções envolvem as curvas x - t, v - t , e a - t .
a
tv
tx
t
t1 t2
v1
v2
t1 t2
v2 - v1 = a dtt1
t2
x1
x2
t1 t2
x2 - x1 = v dtt1
t2
Para um dado instante t,
v = inclinação da curva x - t a = inclinação da curva v - t
enquanto que para um dado intervalo de t1 a t2,
v2 - v1 = área sob a curva a - t x2 - x1 = área sob a curva v - t
x
y
rP
Po
O
v
s
O movimento curvilíneo de uma partícula trata do movimento de uma partícula ao longo de uma trajetória curvilínea. A posição P da partícula em um dado instante é definida pelo vetor posição r que liga a origem O do sistema de coordenadas ao ponto P.
A velocidade v da partícula é definida pela relação
v = drdt
O vetor velocidade é tangente a trajetória da partícula, e tem intensidade v igual a derivada temporal do comprimento s do arco descrito pela partícula
v = dsdt
x
y
rP
Po
O
v
s
v = drdt
Em geral, a aceleração a da partícula não é tangente sua trajetória. A aceleração é definida pela relação
v = dsdt
a = dvdtx
y
rP
Po
O
a
s
x
y
zi
jk
vx
vy
vz
xiyj
zk
P
x
y
zi
jk
r
ax
ay
az
P
Representando por x, y, e z as coordenadas retangulares da partícula P, os componentes retangulares da velocidade e aceleração P são iguais, respectivamente, às primeiras e segundas derivadas em relação a t das coordenadas correspondentes:
vx = x vy = y vz = z . . .
ax = x ay = y az = z .. .. ..
r
A utilização de componentes retangulares é particularmente eficiente no estudo do movimento de projéteis.
x
y
z
x’
y’
z’
A
B
rA
rB rB/A
Para duas partículas A e B que se movem no espaço, consideramos o movimento relativo de B em relação a A , ou mais precisamente, em relação a um sistema móvel de coordenadas fixado em A e em translação com A. Representando por rB/A o vetor de posição relativa de B com relação a A , temos
rB = rA + rB/A
Representando por vB/A e aB/A , respectivamente, a velocidade relativa e a aceleração relativa de B com relação a A, temos que vB = vA + vB/A
aB = aA + aB/A
e
x
yC
P
an = en
O
v 2
at = et
dvdt
Em alguns casos é conveniente decompor a velocidade e a aceleração da partícula P em componentes que sejam os retangulares x, y, e z . Para uma partícula P movendo-se ao longo de uma trajetória plana, fixamos a P os vetores unitários et tangente à trajetória e en normal à trajetória e apontando para o centro de curvatura desta.
A velocidade e a aceleração são expressas em termos das componentes tangencial e normal. A velocidade da partícula é
v = vet
A aceleração é
a = et + env2
dvdt
v = vet
Nestas equações, v é a velocidade da partícula e é o raio de curvatura da trajetória. O vetor velocidade v é sempre tangente a trajetória. O vetor aceleração a consiste do componente tangencial at , e do componente normal an apontado para o cento de curvatura da trajetória
a = et + env2
dvdt
x
yC
P
an = en
O
v 2
at = et
dvdt
x
P
O
e
r = r er
erQuando a posição da partícula P movendo-se em um plano é definida por suas coordenadas polares r e , é conveniente usar os componentes radial e transversal dirigidos, respectivamente, ao longo do vetor posição r da partícula e na direção obtida pela rotação de r de 90o no sentido anti-horário.
Os vetores unitários er e e são fixados a P e são dirigidos, respectivamente, nas direções radial e transversal. A velocidade e a aceleração da partícula em termos das componentes radial e transversal são
v = rer + re
. .
a = (r - r2)er + (r + 2r)e
... .. . .
x
P
O
e
r = r er
er v = rer + re
. .
a = (r - r2)er + (r + 2r)e
... .. . .
Nestas equações os pontos representam a diferenciação em relação ao tempo. Os componentes escalares da velocidade e da aceleração nas direções radial e transversal são, portanto
vr = r v = r. .
ar = r - r2 a = r + 2r... .. . .
É importante notar que ar não é igual a derivada temporal de vr, e que a não é igual a derivada temporal de v.
Exercício Resolvido 11.2
Determinar:a) A velocidade v e a elevação y da bola
acima do solo para qualquer instante tb) A elevação máxima atingida pela bola
e o correspondente instante t c) O instante em que a bola atingirá o solo
e a velocidade correspondente
Uma bola é arremessada para cima com uma velocidade de 10 m/s a partir da janela de um prédio localizada a 20 m de altura.
SOLUÇÃO:
• Integrar duas vezes para encontrar v(t) e y(t).
• Resolver para o instante t em que a velocidade é zero (instante de máxima elevação) e calcular a altura.
• Resolver para o instante t em que a altura é zero (instante de impacto no solo) e calcular a velocidade.
tvtvdtdv
adtdv
ttv
v81.981.9
sm81.9
00
2
0
ttv
2s
m81.9sm10
2
21
00
81.91081.910
81.910
0
ttytydttdy
tvdtdy
tty
y
22s
m905.4sm10m20 ttty
SOLUÇÃO:
• Integrar duas vezes para encontrar v(t) e y(t).
0sm81.9
sm10 2
ttv
s019.1t
22
22
s019.1sm905.4s019.1
sm10m20
sm905.4
sm10m20
y
ttty
m1.25y
• Resolver para o instante t em que a velocidade é zero (instante de máxima elevação) e calcular a altura.
• Resolver para o instante t em que a altura é zero (instante de impacto no solo) e calcular a velocidade.
0sm905.4
sm10m20 2
2
ttty
1.243s 3.28s
tt
s28.3sm81.9
sm10s28.3
sm81.9
sm10
2
2
v
ttv
sm2.22v
• Resolver para o instante t em que a altura é zero (instante de impacto no solo) e calcular a velocidade.
Exercício Resolvido 11.3
O mecanismo usado para reduzir o recuo em certos tipos de armas consiste de um pistão preso ao cano e que se move em um cilindro cheio de óleo. Quando o cano recua com velocidade inicial v0, o pistão se move e o óleo é forçado através de orifícios no pistão, causando um desaceleração do pistão e do cano a uma taxa proporcional à velocidade de ambos.
Determinar v(t), x(t), e v(x).
kva
• Integrar a = v dv/dx = -kv para encontrar v(x).
SOLUÇÃO:
• Integrar a = dv/dt = -kv para encontrar v(t).
• Integrar v(t) = dx/dt para encontrar x(t).
ktv
tvdtkvdvkv
dtdva
ttv
v
00ln
0
ktevtv 0
tkt
tkt
tx
kt
ek
vtxdtevdx
evdtdxtv
00
00
0
0
1
ktekv
tx 10
SOLUÇÃO:
• Integrar a = dv/dt = -kv para encontrar v(t).
• Integrar v(t) = dx/dt para encontrar x(t).
• Integrar a = v dv/dx = -kv para encontrar v(x).
kxvv
dxkdvdxkdvkvdxdvva
xv
v
0
00
kxvv 0
• Alternativamente,
0
0 1v
tvkv
tx
kxvv 0
0
0
ou kt kt v tv t v e e
v
ktekvtx 10com
e
então
Exercício Resolvido 11.5
A polia D esta presa a um colar que é puxado para baixo a 3 in./s. Em t = 0, o colar A move-se para baixo partindo de K com aceleração constante e velocidade inicial nula. Sabendo que a velocidade do colar A é 12 in./s ao passar por L, determine a variação na elevação, velocidade e aceleração do bloco B quando o colar A passa por L.
SOLUÇÃO:
• Definir a origem na superfície horizontal superior, com sentido positivo para baixo.
• O colar A esta em movimento retilíneo uniformemente acelerado. Resolver a aceleração e tempo t até alcançar L.
• A polia D esta em movimento retilíneo uniforme. Calcular a posição no tempo t.
• O movimento do bloco B depende do movimento do colar A e da polia D. Montar a relação de movimento e calcular a posição do bloco B no tempo t.
• Diferenciar a relação de movimento duas vezes para desenvolver as equações para velocidade e aceleração do bloco B.
2
20
20
2
sin.9in.82
sin.12
2
AA
AAAAA
aa
xxavv
s 333.1sin.9
sin.12 2
0
tt
tavv AAA
SOLUÇÃO:
• Definir a origem na superfície horizontal superior, com sentido positivo para baixo.
• O colar A esta em movimento retilíneo uniformemente acelerado. Resolver a aceleração e tempo t até alcançar L.
in. 4s333.1s
in.30
0
DD
DDD
xx
tvxx
0in.42in.8
02
22
0
000
000
BB
BBDDAA
BDABDA
xx
xxxxxx
xxxxxx
in.160 BB xx
• A polia D esta em movimento retilíneo uniforme. Calcular a posição no tempo t.
• O movimento do bloco B depende do movimento do colar A e da polia D. Montar a relação de movimento e calcular a posição do bloco B no tempo t. O comprimento total do cabo permanece constante
0s
in.32s
in.12
02
constant2
B
BDA
BDA
v
vvv
xxx
sin.18Bv
0sin.9
02
2
B
BDA
v
aaa
2sin.9Ba
• Diferenciar a relação de movimento duas vezes para desenvolver as equações para velocidade e aceleração do bloco B.
Exercício Resolvido 11.10
Um motorista percorre a seção curva de uma estrada a 60 mph. O motorista freia causando uma desaceleração constante.
Sabendo que após 8 s a velocidade foi reduzida para 45 mph, determine a aceleração carro imediatamente após os freios terem sido acionados.
SOLUÇÃO:
• Calcular as componentes tangencial e normal da aceleração.
• Determinar a intensidade e direção da aceleração.
ft/s66mph45ft/s88mph60
2
22
2
sft10.3
ft2500sft88
sft75.2
s 8sft8866
va
tva
n
t
2222 10.375.2 nt aaa2s
ft14.4a
75.210.3tantan 11
t
naa
4.48
SOLUÇÃO:
• Calcular as componentes tangencial e normal da aceleração.
• Determinar a intensidade e direção da aceleração.
Exercício Resolvido 11.12
A rotação do braço OA de 0,9m de comprimento é definida por = 0.15t2
onde esta em radianos e t em segundos. O colar B desliza ao longo do braço de modo que r = 0.9 - 0.12t2 onde r esta em metros.
Após o braço OA ter girado 30o, determine (a) a velocidade do colar, (b) a aceleração do colar, e (c) a aceleração relativa do colar em relação ao braço.
SOLUÇÃO:
• Calcular o tempo t para = 30o.
• Calcular as posições radial e angular, e a primeira e segunda derivada no tempo t.
• Calcular velocidade e aceleração em coordenadas cilíndricas.
• Calcular a aceleração em relação ao braço.
s 869.1rad524.0300.15 2
tt
2
2
sm24.0
sm449.024.0m 481.012.09.0
r
trtr
2
2
srad30.0
srad561.030.0rad524.015.0
tt
SOLUÇÃO:
• Calcular o tempo t para = 30o.
• Calcular as posições radial e angular, e a primeira e segunda derivada no tempo t.
rr
r
aaaaa
rra
rra
122
2
2
2
22
2
tan
sm359.0
srad561.0sm449.02srad3.0m481.0
2sm391.0
srad561.0m481.0sm240.0
6.42sm531.0 a
rr
r
vvvvv
rv
srv
122 tan
sm270.0srad561.0m481.0
m449.0
0.31sm524.0 v
• Calcular velocidade e aceleração em coordenadas cilíndricas.
2sm240.0ra OAB
• Calcular a aceleração em relação ao braço.
O movimento do colar em relação ao braço é linear e definido pela coordenada r