Fundamentos de Física – Volume I – Mecânica – 8ª Edição

Halliday, Resnick e Walker

Capítulo II – Movimento retilíneo

Resolvido por Nelson Poerschke

*01. Um automóvel viaja em uma estrada retilínea por 40 km a 30 km/h. Em seguida, continuando no mesmo sentido, percorre outros 40 km a 60 km/h.

a) Qual é a velocidade média do carro durante este percurso de 80 km?

푣 = ∆∆

→ ∆푡 = ∆ = /

= 1,33 ℎ = 1ℎ 20 00"

푣 = ∆∆

→ ∆푡 = ∆ = /

= 0,67 ℎ = 0ℎ 40 00"

∆ = ∆ + ∆ = 40푘푚 + 40푘푚 = 80푘푚

∆ = ∆ + ∆ = 1ℎ 20 00 + 0ℎ 40 00" = 2ℎ

푣 = ∆∆

=

= 40 푘푚/ℎ

b) Qual é a velocidade escalar média do carro durante este percurso de 80 km?

푠 = ∆∆

=

= 40 푘푚/ℎ

Neste caso, em que o sentido do deslocamento é o mesmo para os dois ∆ a velocidade escalar é igual à velocidade média.

c)Trace o gráfico de x em função de t e mostre como calcular a velocidade média a partir do gráfico.

A linha azul (contínua) indica as velocidades médias do deslocamento nos percursos 1 e 2,

enquanto a linha vermelha (tracejada) indica a velocidade média dos dois percursos.

*02. Um carro sob uma ladeira com uma velocidade constante de 40 km/h e desce a ladeira com uma velocidade constante de 60 km/h. Calcule a velocidade escalar média de ida e volta.

Não sabemos o tempo nem a distânçia, mas sabemos as duas velocidades e 푣 = , então:

Ds = Distância da subida ; ts = tempo da subida ; e vs = velocidade da subida Dd = Distância da descida ; td = tempo da descida ; e vd = velocidade da descida

= =

/ /=

/=

/= 2 × / = 48 푘푚/ℎ

*03. Durante um espirro, os olhos podem se fechar por até 0,50 s. Se você está dirigindo um carro a 90 km/h e espirra, quanto o carro pode se deslocar até você abrir novamente os olhos?

푣 = ∆∆

→ ∆푥 = ∆푡 × 푣

∆푥 = 0,50 푠 × 90 푘푚/ℎ ×

×

= 12,5 푚

*04. Em 1992, um recorde mundial de velocidade em uma bicicleta foi estabelecido por Chris Huber. Deu tempo para percorrer um trecho de 200 m foi de apenas 6,509 s, ao final do qual ele comentou: “Cogito ergo zoom!” (Penso, logo corro!). Em 2001, Sam Whittingham quebrou o recorde de Huber em 19 km/h. Qual foi o tempo gasto por Whittingham para percorrer os 200 m.

Huber

푣 = ,

= 30,73 푚/푠 ×

×

= (110,63 푘푚/ℎ)

Whittingham 110,63 + 19 = 129,63 km/h = 36,01 m/s

푣 = ∆∆

→ ∆푡 = ∆ = , /

= 5,554 푠

*05. A posição de um objeto que se move ao longo de um eixo x é dada por 푥 = 3푡 − 4푡 + 푡 , onde x está em metros e t em segundos. Determine a posição do objeto para os seguintes valores de t:

a) t = 1s

푥 = 3푡 − 4푡 + 푡 → 푥 = 3(1)− 4(1 ) + 1 = 0

b) t = 2s

푥 = 3푡 − 4푡 + 푡 → 푥 = 3(2)− 4(2 ) + 2 = 6− 16 + 8 = −2 m

c) t = 3s

푥 = 3푡 − 4푡 + 푡 → 푥 = 3(3)− 4(3 ) + 3 = 9− 36 + 27 = 0

d) t = 4s

푥 = 3푡 − 4푡 + 푡 → 푥 = 3(4)− 4(4 ) + 4 = 12 − 64 + 64 = 12 m

e) Qual o deslocamento do objeto entre t = 0 s e t = 4 s?

푡 = 0푠 → 푥 = 3푡 − 4푡 + 푡 = 3(0)− 4(0 ) + 0 = 0 ∆푥 = 푥 − 푥 = 12 − 0 = 12 m

f) Qual a velocidade média para o intervalo de tempo de t = 2s a t = 4s?

∆푥 = 푥 − 푥 = 12 − (−2) = 14 m ∆푡 = 푡 − 푡 = 4 푠 − 2푠 = 2 푠

푣 = ∆∆

→ 푣 =

= 7 푚/푠

g) Faça o gráfico de x em função de t para 0 ≤ t ≤ 4 s e indique como a resposta do item f) pode ser determinada a partir do gráfico.

O eixo vertical x determina a posição enquanto o eixo horizontal t determina o tempo. Os

pontos (t, x) = (2, -2) e (4, 12) indicam as posições em t = 2s e t = 4s.

*06. Calcule a velocidade média nos dois casos seguintes:

a) Você caminha 73,2 m a uma velocidade de 1,22 m/s e depois corre 73,2 m a 3,05 m/s em uma pista reta.

푣 = ∆∆

= , ,,

,,

,= ,

,,

= ,,

,= 146,4 × ,

,= 1,74 푚/푠

b) Você caminha 1,0 min com uma velocidade de 1,22 m/s e depois corre 1,0 m a 3,05 m/s em uma pista reta.

Distância = velocidade x tempo

푣 = ∆∆

= ( , / )×( ) ( , / )×( )

= 2,14 푚/푠

b) Faça o gráfico de x em função de t nos dois casos e indique como a velocidade média pode se determinada a partir do gráfico.

(a) (b) Encontrando os pontos (t, x) no gráfico e aplicando a fórmula da vmed.

**07. Em uma corrida de 1 km, o corredor 1 da raia 1 (com o tempo de 2 min e 27,95 s) parece ser mais rápido que o corredor 2 da raia 2 (cujo tempo é 2 min e 28,15s). Entretanto, o comprimento L2 da raia 2 pode ser ligeiramente maior que o comprimento L1 da raia 1. Qual é o maior valor da diferença L2-L1 para a qual a conclusão de que o corredor 1 é mais rápido é verdadeira?

Corredor 1 – 2 min 27,95 s = 147,95 s Corredor 2 – 2 min 28,15 s = 148,15 s

푠 = 푠 = =

퐿 퐿 = − 1 então

퐿 − 퐿 = , ,

− 1 = 0,00135 × 1000 푚 = 1,35 푚

Para que o corredor 1 seja mais rápido, a raia dois não pode ser mais longa do que 1001,35 m.

**08. Para estabelecer um recorde de velocidade em uma distância d (em linha reta), um carro deve percorrer a distância primeiro em um sentido (em um tempo t1) e depois no sentido oposto (em um tempo t2).

a) Para eliminar o efeito do vento e obter a velocidade do carro vc na ausência de vento, devemos calcular a média aritmética de d/t1 e d/t2 (método 1) ou devemos dividir d pela média aritmética de d/t1 e d/t2?

A velocidade efetiva é a velocidade do carro mais a velocidade do vento, logo:

em um sentido usamos a equação 푣 + 푣 = e no outro sentido 푣 − 푣 =

juntando as duas equações e dividindo por 2, temos:

푣 = + ;

O que nos remete ao método 1.

b) Qual é a diferença percentual dos dois métodos se existe um vento constante na pista e a razão entre a velocidade do vento (Vv) e a velocidade do carro (Vc) é 0,0240?

Se usarmos o método 2, teremos a seguinte equação:

푣 = ( ) = = = = 푣 1 −

Comparando os dois métodos:

= = (0,0240) = 5,76 × 10

**09. Você tem que dirigir em uma via expressa para se candidatar a um emprego em outra cidade, a uma distância de 300 km. A entrevista foi marcada para as 11:15 h da manhã. Você planeja dirigir a 100 km/h e parte às 8:00 h da manhã para ter algum tempo de sobra. Você dirige na velocidade planejada durante os primeiros 100 km, depois um trecho da estrada em obras o obriga a reduzir a velocidade para 40 km/h por 40 km. Qual a menor velocidade que você deve manter no restante da viagem para chegar a tempo para a entrevista?

100 km a 100 km/h = 1 hora 40 km a 40 km/h = 1 hora Você utilizou 2 h para percorrer 140 km. Para chegar a tempo, às 11:15 h, restam 160 km e 1,25 h (passar hms para hora decimal).

푣 = ∆∆

= ,

= 128 푘푚/ℎ

**10. Situação de pânico. A Fig. 2-22 mostra uma situação na qual muitas pessoas tentam escapar por uma porta de emergência que está trancada. As pessoas se aproximam da porta com uma velocidade Vs – 3,50 m/s, têm d = 0,25 m de espessura e estão separadas por uma distância L = 1,75m. A figura 2-22 mostra a posição das pessoas no instante t = 0. (As respostas mostram com que rapidez as pessoas podem se colocar em uma situação de perigo).

a) Qual é a taxa média de aumento da camada de pessoas que se comprimem contra a porta?

∆푡 =

R = taxa média do aumento da camada de pessoas

푅 = ∆

= = = ( , )×( , / ),

= 0,50 푚/푠

b) Em que instante e espessura da camada chega a 5,0 m?

D = 5,0 m/s

푡 = = , /

= 10 푠

**11. Dois trens, cada um com velocidade de 30 km/h, trafegam em sentidos opostos na mesma linha férrea retilínea. Um pássaro capaz de voar 60 km/h parte da frente de um dos trens, quando eles estão separados por 60 km, e se dirige em linha reta para o outro trem. Ao chegar ao outro trem, o pássaro faz meia volta e se dirige para o primeiro trem, a assim por diante. (Não temos a menor ideias da razão pela qual o pássaro se comporta dessa forma.) Qual é a distância total que o pássaro percorre até os trens colidirem?

A soma das velocidade dos dois trens é 30 km/h + 30 km/h = 60 km/h. Como a distância entre eles é de 60 km:

푡 = = /

= 1 ℎ.

Se o pássaro voa a 60 km/h, em uma hora voará:

푑 = = /

= 60 푘푚

**12. Onda de choque no trânsito. Quando o trânsito é intenso, uma redução brusca de velocidade pode se propagar como um pulso, denominado onda de choque, ao longo de uma fila de carros, no sentido do movimento dos carros, no sentido oposto ou permanecer estacionária. A Fig. 2-23 mostra uma fila de carros regularmente espaçados que estão se movendo a uma velocidade V = 25,00 m/s em direção a uma fila de carros mais lentos, uniformemente espaçados, que estão se movendo a uma velocidade Vl = 5,0 m/s. Suponha que cada carro mais rápido acrescenta um comprimento L = 12,0 m (comprimento do carro mais a distância mínima de segurança) à fila de carros mais lentos ao se juntar à fila, e suponha que reduz bruscamente a velocidade no último momento.

a) Para que distância d entre os carros mais rápidos a onda de choque permanece estacionária?

푡 = = , /

= 2,4 푠 ;

este é o tempo que os carros lentos necessitam para se moverem 12,0 m. Os carros rápidos necessitam de: 푑 = 푉푡 − 퐿 → 푑 = (25 푚/푠)(2,4 푠) − 12,0 푚 = 48 푚

b) Se a distância é duas vezes maior que esse valor, quais é a velocidade da onda de choque?

Seja 푑 = 96 푚 a separação inicial em 푡 = 0 . Após um tempo t, os carros lentos e o rápido estão viajando a 푥 = 푉 푡 e o carro rápido

junta-se à linha movendo uma distância 푑 + 푥 a partir de:

푡 = =

obtemos

푥 = 푑 → 푥 = , /, / , /

(96,0 푚) = 24,0 푚

que por sua vez resulta

푡 = , , /

= 4,80 푠

Uma vez que o carro lento moveu-se de ∆푥 = 푥 − 퐿 = 24 푚 − 12,0 푚 = 12 푚

푣 = ∆ = , ,

= 2,50 푚/푠

c) Se a distância é duas vezes maior que esse valor, quais é o sentido da onda de choque (o sentido do movimento dos carros ou contrário ao movimento dos carros)?

Uma vez que x > L, a direção da onda de choque é a mesma do deslocamento dos carros.

***13. Você dirige do Rio a São Paulo metade do tempo a 55 km/h e a outra metade a 90 km/h. Na volta, você viaja metade da distância a 55 km/h e a outra metade a 90 km/h. Qual é a velocidade escalar média:

a) do Rio para São Paulo?

푠 = ∆∆

→ 푠 =( / × ) ( / × )

=( / / )

=

=( / / )

= / / = 72,5 푘푚/ℎ

b) de São Paulo para o Rio?

푠 = ∆∆

→ 푠 = = → 푠 = / /

= , /

=

= , /

= × /,

= 68,3 푘푚/ℎ

c) na viagem inteira?

푠 = ∆∆

→ 푠 = = → 푠 =, / , /

= , , , /

= , , /

= × , /,

= 70,3 푘푚/ℎ

d) Qual é a velocidade média na viagem inteira?

푣 = ∆∆

=∆

= 0

e) Plote o gráfico de x em função de t para o item a) supondo que o movimento ocorre no sentido positivo do eixo dos x. Mostre como a velocidade média pode ser determinada a partir do gráfico.

A linha contínua (azul) com inclinação 55 liga a origem a (t1, x1) e na continuação com

inclinação 90, liga de (t1, x1) a (t, d). A linha pontilhada azul ligando da origem a (t, d) indica a velocidade média.

*14. A função posição x(t) de uma partícula que está se movendo ao longo do eixo x é: x = 4,0 – 6,0t², com x em metros e t em segundos.

a) em que instante a partícula para momentaneamente?

푣(푡) = ( ) 4,0 − 6,0푡 = −12푡

푣(푡) = 0 → −12푡 = 0 → 푡 = = 0

A partícula para quando a velocidade é zero. Isto acontece em t = 0.

b) em que posição a partícula para momentaneamente?

푥(푡) = 4,0− 6푡 푥(0) = 4,0 − 6(0) = 4 Em t = 0 a partícula para em x = 4 m.

c) e d) em que instante negativo e em que instante positivo a partícula passa pela origem?

푥(푡) = 4,0− 6푡

4,0− 6푡 = 0 → −6푡 = −4 → 푡 = ± = ±0,82 푠

e) Plote o gráfico de x(t) para o intervalo de -5s a +5s.

f) Para deslocar a curva para a direita no gráfico. Devemos acrescentar o termo +20t ou -20t ao x?

+ 20t desloca a curva para a direita, conforme o gráfico a seguir.

g) Esse valor aumenta ou diminui o valor de x para o qual a partícula para momentaneamente?

푥(푡) = 4,0 + 20푡 − 6푡

푣(푡) = ( ) 4,0 + 20푡 − 6,0푡 = 20− 12푡

푣(푡) = 0 → 20− 12푡 = 0 → 푡 = = 1,67

푥(1,67) = 4,0 + 20(1,67)− 6(1,67) = 20,67 aumenta

*15. a) Se a partícula é dada por 푥 = 4 − 12푡 + 3푡 (onde 푡 está em segundos e 푥 em metros), qual é a velocidade da partícula em 푡 = 1 푠?

푣(푡) = 4 − 12푡 + 3푡 = −12 + 6푡

푣(1) = −12 + 6(1) = −6 푚/푠

b) O movimento nesse instante é no sentido positivo ou negativo de x?

푡 = 1 푠, 푉 < 0 , logo o movimento está no sentido negativo de x.

c) Qual é a velocidade escalar da partícula nesse instante?

Em 푡 = 1 푠 a velocidade escalar é |v| = 6 m/s.

d) A velocidade escalar está aumentando ou diminuindo nesse instante?

Observando o gráfico de v(t), velocidade é negativa até 푡 = 2푠. Como a velocidade

escalar é |v|, à medida que v se aproxima de zero pela esquerda, a velocidade escalar vai diminuindo.

e) Existe algum instante no qual a velocidade se anula? Caso a resposta seja afirmativa, para que valor de t isso acontece?

Sim. Ainda observando o gráfico, quando 푡 = 2,푣 = 0.

f) Existe algum instante após 푡 = 3 푠 no qual a partícula está se movendo no sentido negativo de x? Caso a resposta seja afirmativa, para que valor de t isso acontece?

Não, ainda observando o gráfico, quando 푡 = 2,푣 = 0 e a partir daí, quando 푡 = [2, + ∞), 푣 = [0, +∞) .

*16. A posição de um elétron que se move ao longo do eixo x é dada por 푥 = 16푡푒 푚, onde t está em segundos. A que distância está o elétron da origem quando para momentaneamente?

푥 = 16푡푒 푚

푣 = exp(푏푥) = 푏 exp (푏푥)

푣 = = ( ) × 푒 + (19푡) ×

푣 = 16(1− 푡)푒 = 5,9 푚

**17. A posição de uma partícula que se move ao longo do eixo x é dada em centímetros por 푥 = 9,75 + 1,50푡 , onde t está em segundos. Calcule:

a) a velocidade média entre o intervalo de tempo t = 2,00 s a t = 3,00 s.

푣 = ∆∆

푡 = 2 푠 → 푥(푡) = 9,75 + 1,50푡 → 푥(2) = 21,75 푐푚 푡 = 3 푠 → 푥(푡) = 9,75 + 1,50푡 → 푥(3) = 50,25 푐푚

푣 = , ,

= ,

= 28,5 푐푚/푠

b) a velocidade instantânea em t = 2,00 s.

푣 = (9,75 + 1,50푡 ) = 4,5푡

푣 = 4,5푡 → 푣 = 4,5(2) = 18 푐푚/푠

c) a velocidade instantânea em t = 3,00 s.

푣 = 4,5푡 → 푣 = 4,5(3) = 40,5 푐푚/푠

d) a velocidade instantânea em t = 2,50 s.

푣 = 4,5푡 → 푣 = 4,5(2,5) = 28,1 푐푚/푠

e) a velocidade instantânea quando a partícula está na metade da distância entre suas posições em t = 2,00 s e t = 3,00 s.

푡 = 2 푠 → 푥(푡) = 9,75 + 1,50푡 → 푥(2) = 21,75 푐푚 푡 = 3 푠 → 푥(푡) = 9,75 + 1,50푡 → 푥(3) = 50,25 푐푚

, , = , = 14,25 + 21,75 = 36 푐푚

9,75 + 1,50푡 = 36 → 푡 = ,,

→ 푡 = 17,5 = 2,60 푠

푣 = 4,5푡 → 푣 = 4,5(2,60) = 30,4 푐푚/푠

f) plote o gráfico de x em função de t e indique suas respostas graficamente.

A resposta da letra a) corresponde à velocidade média entre t = 2 e t = 3. As letra b), c) e d) e e) correspondem às linhas tangentes aos respectivos tempos, não

plotadas no gráfico mas facilmente identificáveis.

*18. a) Se a posição de uma partícula é dada por 푥 = 20푡 − 5푡 , onde x está em metros e t em segundos, em que instante(s) a velocidade da partícula é zero?

푣 = ( ) (20푡 − 5푡 ) = 20− 15푡

20 − 15푡 = 0 → 푡 = → 푡 = ±√1,33 ≈ ±1,2 s

A velocidade da partícula é zero quando t = -1,2 s e t = 1,2 s.

b) Em que instante(s) a aceleração a é zero?

푎 = ( ) (20 − 15푡 ) = −30푡

−30푡 = 0 → 푡 = = 0

A aceleração a é zero, ou seja a velocidade é constante quando t = 0 s.

c) Para que intervalo de tempo (positivo ou negativo) a aceleração a é negativa?

-30t é negativa sempre que t > 0, então o intervalo é (0, + ∞).

d) Para que intervalo de tempo (positivo ou negativo) a aceleração a é positiva?

-30t é positiva sempre que t < 0, então o intervalo é (−∞, 0).

e) Trace os gráficos de x(t); v(t); e a(t).

*19. Em um certo instante de tempo, uma partícula tinha uma velocidade de 18 m/s no sentido positivo de x; 2,4 s depois a velocidade era de 30 m/s no sentido oposto.

Qual foi a aceleração média da partícula durante este intervalo de 2,4 s?

푎 = = / /,

= /,

= −20푚/푠

*20. A posição de uma partícula que se move ao longo do eixo x é dada por 푥 = 12푡 − 2푡 , onde x está em metros e t em segundos. Determine:

a) a posição da partícula em 푡 = 3,0 푠.

푥 = 12푡 − 2푡 → 푥(3) = 12(3,0 푠) − 2(3,0 푠) → 푥 = 54 푚

b) a velocidade da partícula em 푡 = 3,0 푠.

푣 = ( ) (12푡 − 2푡 ) = 24푡 − 6푡 → 푣(3) = 24(3,0푠)− 6(3,0푠) = 18 푚/푠

c) a aceleração da partícula em 푡 = 3,0 푠.

푎 = 푑푣(푡)푑푡

(24푡 − 6푡 ) = 24 − 12푡 → 푎(3) = 24 − 12(3,0푠) = −12 푚/푠

d) Qual é a coordenada positiva máxima alcançada pela partícula?

x se desloca para a direita até que v reduzir a zero, quando muda o sentido.

24푡 − 6푡 = 0 as raízes desta equação são 0 e 4. Eliminando t = 0 resta t = 4. 푥 = 12푡 − 2푡 → 푥(4) = 12(4,0 푠) − 2(4,0 푠) → 푥 = 64 푚

e) Em que instante de tempo ela é alcançada?

em t = 4 s.

f) Qual é a velocidade positiva máxima alcançada pela partícula?

A velocidade aumenta enquanto houver aceleração e chega ao máximo quando a = 0.

24 − 12푡 = 0 → 푡 = = 2 푠

푣 = 24푡 − 6푡 → 푣(2) = 24(2)− 6(2) = 24 푚/푠

g) Em que instante de tempo ela é alcançada?

em t = 2 s.

h) Qual é a aceleração da partícula no instante em que a partícula não está se movendo (além do instante t = 0)?

Em t = 4s, verificamos nas letras d) e e) que a partícula muda o sentido. Nesse instante ela para momentaneamente.

푎 = 24 − 12푡 → 푎(4) = 24 − 12(4,0푠) = −24 푚/푠

i) Determine a 푣 da partícula entre t = 0 s e t = 3,0 s.

푥 = 12푡 − 2푡 → 푥(0) = 12(0 푠) − 2(0 푠) → 푥 = 0 푚 푥 = 12푡 − 2푡 → 푥(3,0) = 12(3,0 푠) − 2(3,0 푠) → 푥 = 54 푚

푣 = ∆∆

= ,

=

= 18 푚/푠

**21. A posição de uma partícula que se desloca ao longo do eixo x varia com o tempo de acordo com a equação 푥 = 푐푡 − 푏푡 , onde x está em metros e t em segundos. Quais são as unidades:

a) da constante c?

comprimento/tempo² ou 푚/푠

b) da constante b?

comprimento/tempo³ 푚/푠 Suponha que os valores numéricos de c e b sejam, respectivamente 3,0 e 2,0,

c) Em que instante a partícula passa pelo maior valor positivo de x?

A partícula atinge o maior valor positivo de x quando a v declina até zero. 푥 = 3푡 − 2푡

푣 = ( ) 3푡 − 2푡 = 6푡 − 6푡

6푡 − 6푡 = 0 as raízes são 0 e 1; t = 0 e t = 1. 푥(0) = 3(0) − 2(0) = 0 m 푥(1) = 3(1) − 2(1) = 1 m A partícula atinge o maior valor de x (1,0 m) quando t = 1 s.

d) De t = 0,0 s até t = 4,0 s, qual é a distância percorrida pela partícula?

푥(0) = 3(0) − 2(0) = 0 m 푥(1) = 3(1) − 2(1) = 1 m 푥(4) = 3(4) − 2(4) = −80 푚 A particular se movimenta da origem até = 1,0 m e muda de sentido e em t = 4,0 s sua

posição é x = - 80 m. Então a partícula percorre: 1,0 m + 1,0 m + 80 m = 82 m.

e) Qual é o seu deslocamento?

푥 = 0 e 푥 = −80 ∆푥 = 푥 − 푥 → ∆푥 = −80 − 0 = −80 푚

Determine a velocidade da partícula nos instantes:

f) 푡 = 1,0 푠?

푣 = ( ) 3푡 − 2푡 = 6푡 − 6푡 → 푣(1) = 6(1)− 6(1) = 0

g) 푡 = 2,0 푠?

푣 = ( ) 3푡 − 2푡 = 6푡 − 6푡 → 푣(2) = 6(2)− 6(2) = −12 푚/푠

h) 푡 = 3,0 푠?

푣 = ( ) 3푡 − 2푡 = 6푡 − 6푡 → 푣(3) = 6(3)− 6(3) = −36 푚/푠

i) 푡 = 4,0 푠?

푣 = ( ) 3푡 − 2푡 = 6푡 − 6푡 → 푣(4) = 6(4)− 6(4) = −72 푚/푠

Determine a aceleração da partícula nos instantes:

j) 푡 = 1,0 푠?

푎 = ( ) (6푡 − 6푡 ) = 6 − 12푡 → 푎(1) = 6 − 12(1) = −6 푚/푠

k) 푡 = 2,0 푠?

푎 = ( ) (6푡 − 6푡 ) = 6 − 12푡 → 푎(2) = 6 − 12(2) = −18 푚/푠

i) 푡 = 3,0 푠?

푎 = ( ) (6푡 − 6푡 ) = 6 − 12푡 → 푎(3) = 6 − 12(3) = −30 푚/푠

l) 푡 = 4,0 푠?

푎 = ( ) (6푡 − 6푡 ) = 6 − 12푡 → 푎(4) = 6 − 12(4) = −42 푚/푠

**22. De 푡 = 0 a 푡 = 5,00 푚푖푛 um homem fica em pé sem se mover; de 푡 = 5,00 푚푖푛 a 푡 = 10,0 푚푖푛 ele caminha em linha reta com uma velocidade de 2,2 m/s. Quais são:

a) Sua velocidade média 푣 no intervalo de tempo de 2,00 min a 8,00 min?

푣 = ∆∆

= ( ∆ ) ( ∆ )( ) ( )

= ( , , ) ( , , ), ,

=

= ( , ) ( , ), ,

= ( , / × ) ( )

= /

= 1,1 푚/푠

b) Sua aceleração média 푣 no intervalo de tempo de 2,00 min a 8,00 min?

푎 = ∆∆

= ( ) ( )( ) ( )

= , / /, ,

= , /

= 6,11 × 10 푚/푠

c) Sua velocidade média 푣 no intervalo de tempo de 3,00 min a 3,00 min?

푣 = ∆∆

= ( ∆ ) ( ∆ )( ) ( )

= ( , , ) ( , , ), ,

=

= ( , ) ( , ), ,

= ( , / × ) ( )

= /

= 1,47 푚/푠

d) Sua aceleração média 푣 no intervalo de tempo de 3,00 min a 9,00 min?

푎 = ∆∆

= ( ) ( )( ) ( )

= , / /, ,

= , /

= 6,11 × 10 푚/푠

e) Plote x(t) e v(t) e indique como as respostas de a) a d) podem ser obtidas a partir do gráfico.

*23. Um elétron possui uma aceleração constante de +3,2 m/s². Em certo instante, sua velocidade é de 9,6 m/s. Qual é sua velocidade:

a) 2,5 s antes do instante considerado?

푣 = 푣 + 푎푡 푣 = 9,6 푚/푠 + (3,2푚/푠 )(−2,5푠) = 1,6 m/s

b) 2,5 s depois do instante considerado?

푣 = 푣 + 푎푡 푣 = 9,6 푚/푠 + (3,2푚/푠 )(2,5푠) = 17,6 m/s

*24. Um múon (uma partícula elementar) penetra em uma região com uma velocidade de 5,0 x 106 m/s a passa a ser desacelerado a uma taxa de 1,25 x 1014 m/s2.

a) Qual a distância percorrida pelo múon até parar?

푣 = 푣 + 2푎(푥 − 푥 ) 푣 = 0 푒 푥 = 0

푥 =

Como a partícula desacelera até parar, a aceleração é negativa.

푥 = , × /( , × / )

= 0,100 푚

b) Trace os gráficos de x(t) e v(t).

푣 = 푣 + 푎푡 → 푣 − 푎푡 = 푣 → 0 − (−1,25 x 10 )푡 = 5,0 x 10 m/s

푡 = , /( , )

= 4,00 × 10 푠 = 40 푛푠

푥 = 푣 푡 + 푎푡

푥 = (5,0 x 10 m/s)(4,00 × 10 푠) + (−1,25 x 10 )(4,00 × 10 푠)

푥 = 0,100 푚

*25. Suponha que uma nave espacial se move com uma aceleração constante de 9,8 m/s², o que dá aos tripulantes uma sensação de gravidade normal durante o voo.

a) Se a nave parte do repouso, quanto tempo leva para atingir um décimo da velocidade da luz, que é 3,0 x 108 m/s?

푣 = 푣 + 푎푡 , × / = 0 + (9,8 푚/푠 )푡

푡 = , × /, /

= 3,06 × 10 푠 표푢 3,06 × 10 푠 ×

×

= 35,43 푑푖푎푠

b) Que distância a nave percorre nesse tempo?

푥 = 푣 푡 + 푎푡

푥 = (0) + (9,8 푚/푠 )(3,06 × 10 푠) → 푥 = 4,59 × 10 푚 표푢 45,9 푏푖푙ℎõ푒푠 푑푒 푘푚

*26. Em uma estrada seca, um carro com pneus novos é capaz de frear com uma desaceleração constante de 4,92 m/s².

a) Quanto tempo esse carro, inicialmente se movendo a 24,6 m/s, leva para parar?

푣 = 푣 + 푎푡 푣 = 24,6 푚/푠 + (−4,92 푚/푠 )푡

−(−4,92푚/푠 )푡 = 24,6 푚/푠 → 푡 = , /, /

= 5,00 푠

b) Que distância o carro percorre nesse tempo?

푣 = 푣 + 2푎(푥 − 푥 ) Como o carro vai parar, v = 0. Como queremos saber a distância percorrida a partir da

freada, x0 = 0. Então

푥 = = ( , / )( , / )

= 61,5 m

c) Trace os gráficos de x(t) e de v(t) durante a desaceleração.

*27. Um elétron com velocidade inicial 푣 = 1,50 × 10 푚/푠 penetra em uma região de comprimento 퐿 = 1,00 푐푚, onde é eletricamente acelerado (Fig. 2-24), e sai dessa região com 푣 = 5,70 × 10 푚/푠. Qual é a aceleração do elétron, supondo que a mesma seja constante?

푣 = 푣 + 2푎(푥 − 푥 )

(푥 − 푥 ) = 1 푐푚 ×

= 0,01 푚

−2푎(0,01 푚) = 푣 = (1,50 × 10 푚/푠) − (5,70 × 10 푚/푠) −0,02푎 = 2,25 × 10 푚/푠 − 3,249 × 10 푚/푠

푎 = , × / , × /,

= 1,62 × 10 푚/푠

*28. Cogumelos lançadores. Alguns cogumelos lançam esporos usando um mecanismo de catapulta. Quando o vapor d’água do ar se condensa em um esporo preso a um cogumelo, uma gota se forma de um lado do esporo e uma película de água se forma do outro. O peso da gota faz o esporo se curvar, mas, quando a película atinge a gota, a gota d’água se espalha bruscamente pelo filme, e o esporo volta tão depressa à posição inicial que é lançado no ar. Tipicamente, o esporo atinge uma velocidade de 1,6 m/s em um lançamento de 5,0 µm; em seguida, a velocidade é reduzida a zero em 1,00 mm pelo atrito com o ar. Usando esses dados e supondo que a aceleração é constante, determine a aceleração em unidades de g.

a) durante o lançamento.

푣 = 0; 푣 = 1,6 푚/푠 푥 = 0 푥 = 5,0 휇푚 = 5,0 × 10 푚 푣 = 푣 + 2푎(푥 − 푥 )

−2푎(푥 − 푥 ) = 푣 − 푣 푎 =( )

푎 = ( , / )( , × )

= , /×

= 2,56 × 10 푚/푠 ×, /

= 2,61 × 10 푔

b) durante a redução da velocidade.

푣 = 1,6 푚/푠; 푣 = 0 푥 = 0 푥 = 1,00 푚푚 = 1,0 × 10 푚 푣 = 푣 + 2푎(푥 − 푥 )

−2푎(푥 − 푥 ) = 푣 − 푣 푎 =( )

푎 = ( , / )( , × )

= , /×

= 1,28 × ×, /

= −1,31 × 10 푔

O sinal negativo representa a desaceleração.

*29. Um veículo elétrico parte do repouso e acelera em linha reta a uma taxa de 2,0 m/s² até atingir a velocidade de 20 m/s. Em seguinda o veículo desacelera a uma taxa constante de 1,0 m/s² até parar.

a) Quanto tempo transcorre entre a partida e a parada?

푇 . 푣 = 0; 푣 = 20 푚/푠 푎 = 2,0 푚/푠 푥 = 0 푇 . 푣 = 20 푚/푠; 푣 = 0 푚/푠 푎 = −1,0 푚/푠

푇 . 푣 = 푣 + 푎푡 → 푡 = = / , /

= 10 푠

푇 . 푣 = 푣 + 푎푡 → 푡 = = /, /

= 20 푠

푇 + 푇 = 10 푠 + 20 푠 = 30 푠

b) Qual é a distância percorrida pelo veículo desde a partida até a parada?

푇 . 푣 = 0; 푣 = 20 푚/푠 푎 = 2,0 푚/푠 푥 = 0 푡 = 10푠

푣 = 푣 + 2푎(푥 − 푥 ) (푥 − 푥 ) =

(푥 − 0) = ( / )( , / )

→ 푥 = / /

= 100 푚

푇 . 푣 = 20 푚/푠; 푣 = 0 푚/푠 푎 = −1,0 푚/푠 푥 = 100 푚 푡 = 10푠

푣 = 푣 + 2푎(푥 − 푥 ) (푥 − 푥 ) =

(푥 − 100푚) = ( / )( , / )

→ 푥 = / /

+ 100푚 = 300 푚

*30. O recorde mundial de velocidade em terra foi estabelecido pelo coronel John P. Stapp, em março de 1954, a bordo de um trenó foguete que se deslocou sobre trilhos a 1020 km/h. Ele e o trenó foram freados até parar em 1,4 s (Fig 2-7). Qual foi a aceleração experimentada por Stapp durante a frenagem, em unidades de g?

1020 푘푚/ℎ ×

×

= 283,33 푚/푠

푣 = 0; 푣 = 283,33 푚/푠 푎 =? 푥 = 0 푡 = 1,4 푠 푣 = 푣 + 푎푡

푎 = = , / ,

= 202,38 푚/푠 × , /

= 20,65 푔

*31. Uma certa cabina de elevador percorre uma distância máxima de 190 m e atinge uma velocidade máxima de 305 m/min. A cabina pode acelerar a partir do repouso e desacelerar de volta ao repouso a uma taxa de 1,22 m/s².

a) Qual é a distância percorrida pela cabina enquanto acelera a partir do repouso até a velocidade máxima?

푣 = 0; 푣 = 5,08 푚/푠 푎 = 1,22푚/푠 푥 = 0 푡 = ?

푣 = 푣 + 2푎(푥 − 푥 ) (푥 − 푥 ) =

푥 = ( , / ) ( , / )

= 10,6 푚

b) Quanto tempo a cabina leva para percorrer a distância de 190 m, sem paradas, partindo do repouso e chegando com velocidade zero?

305 푚/푚푖푛 ×

= 5,08 푚/푠

푣 = 0; 푣 = 5,08 푚/푠 푎 = 1,22푚/푠 푥 = 0 푡 = ?

푣 = 푣 + 푎푡 → 푡 = = , / , /

= 4,16 푠

Como a aceleração e a desaceleração ocorrem na mesma taxa: 푥 = 푥 ; 2(10,6 푚) = 21,2 푚 푒 푡 = 푡 ; 2(4,16 푠) = 8,32 푠 190 푚− 21,2 푚 = 168,8 푚

푡 = ∆ = , , /

= 33,36푠

푡 + 푡 + 푡 = 4,16 푠 + 4,16 푠 + 33,4 푠 = 41,7 푠

*32. Os freios do seu carro podem produzir uma desaceleração de 5,2 m/s². a) Se você dirige a 137 km/h e avista um policial rodoviário, qual é o tempo mínimo

necessário para que o carro atinja a velocidade máxima permitida de 90 km/h? (A resposta revela a inutilidade de frear ou tentar impedir que sua alta velocidade seja detectada por um radar ou por uma pistola de laser).

137 푘푚/ℎ ×

×

= 38,06 푚/푠

90 푘푚/ℎ ×

×

= 25 푚/푠

푣 = 38,06 푚/푠; 푣 = 25 푚/푠 푎 = −5,2 푚/푠 푥 =? 푡 = ?

푣 = 푣 + 푎푡 → 푡 = = ( / ) ( , / ), /

= , /, /

= 2,5 푠

b) Trace os gráficos de x(t) e de v versus t durante a desaceleração.

푥 = 38푡 + 0,5(−5,2)푡 = 38푡 − 2,6푡 푣 = 38− 5,2푡

*33. Um carro que se move a 56,0 km/h está a 24,0 m de uma barreira quando o motorista aciona os freios. O carro bate na barreira 2,00 s depois.

a) Qual é o módulo da aceleração constante do carro antes do choque? 푣 = 15,6 푚/푠; 푣 =? 푎 =? 푥 = 0 푥 = 24,0 푚 푡 = 2,00 푠

푥 − 푥 = 푣 푡 + 푎푡 → 푎 = ( ) = [ , ( , / × , )]×( , )

= −3,6 푚/푠

|푎| = 3,6 푚/푠 b) Qual é a velocidade do carro no momento do choque? 푣 = 푣 + 푎푡 → 푣 = 15,6 푚/푠 + (−3,6 푚/푠 ) × (2,00 푠) = 8,4푚/푠

**34. Um carro se move ao longo do eixo x por uma distância de 900 m, partindo do repouso (em x = 0) e terminando em repouso em (x = 900 m). No primeiro quarto do percurso a aceleração é de +2,25 m/s². Nos outros três quartos a aceleração passa a ser -0,750 m/s². Quais são:

a) o tempo necessário para percorrer os 900 m?

∆푥 = 푉 푡 + 푎 (푡 ) 푎 = 2,25 푚/푠 ; ∆푥 = 푚 푒 푣 = 0

225 푚 = 0(푡 ) + (2,25 푚/푠 )(푡 ) → (푡 ) = ( ), /

= 200 푠

푡 = √200 푠 = 14,14 푠

∆푥 = 푣 푡 − 푎 (푡 ) 푎 = −0,750 푚/푠 ; ∆푥 = ( ) 푚 푒 푣 = 0

675 푚 = 0(푡 ) − (−0,75 푚/푠 )(푡 ) → (푡 ) = ( ), /

= 1800 푠

푡 = √1800 푠 = 42,43 푠

푡 + 푡 = 14,14 + 42,43 = 56,6 푠

b) a velocidade máxima? 푣 = 푣 + 2푎 ∆푥

푣 = 0 + 2(2,25 푚/푠 )(225 푚) = 1012,5 푚 /푠

푣 = 1012,5푚 /푠 = 31,82 푚/푠

**35. A figura 2-25 mostra o movimento de uma partícula que se move ao longo do eixo x com aceleração constante. A escala vertical do gráfico é definida por 푥 = 6,0 푚.

a) Qual é o módulo da aceleração da partícula? 푥 = −2,0 푚 푥 = 6,0 푚 푣 = 0 푡 = 2,0 푠

푥 − 푥 = 푣 푡 + 푎푡 → 6,0푚− (−2,0 푚) = 푣 (2,0 푠) + 푎(2,0푠)

8,0 푚 = 0 + 푎(4,0 푠 ) → 푎 = ( , )( , )

= 4,0 푚/푠

b) Qual é o sentido da aceleração da partícula? Como o resultado da letra a) indica um valor positivo, a aceleração da partícula está no

sentido positivo do eixo dos x.

**36. a) Se a aceleração máxima que pode ser tolerada pelos passageiros de um metrô é 1,34 m/s² e duas estações de metrô estão separadas por uma distância de 806 m, qual é a velocidade máxima que o metrô pode alcançar as estações?

푥 = 0 푥 = 806 푚 푣 = 0 푣 =? 푎 = 1,34 푚/푠 Consideremos que o trem poderá acelerar a uma taxa de 1,34 m/s² até a metade do

percurso e depois deverá desacelerar a uma taxa de -1,34 m/s² para parar na estação seguinte. Então, com 푣 = 0, o trem aumentará de velocidade até 403 m, quando começará a

reduzi-la. 푣 = 푣 + 2푎 ∆푥 → 푣 = 0 + 2(1,34 푚/푠 )(403 푚) = 32,9 푚/푠

b) Qual é o tempo de percurso? Há que se perceber que o tempo 푡 para acelerar o trem até atingir a metade do percurso é

igual ao tempo 푡 para desacelerar o trem até pará-lo.

푣 = 푣 + 푎푡 → 푡 =

푡 = , / , /

= 24,53 푠 푡푒푚푝표 푡표푡푎푙 = 푡 + 푡 = 2(24,53) = 49,1 푠

c) Se o metrô para por 20 s em cada estação, qual é a máxima velocidade escalar média do metrô de uma partida à próxima?

푆 = ∆푥∆푡 =

806 푚49,1 푠 + 20,0 푠 = 11,7 푚/푠

**37. Os carros A e B se movem no mesmo sentido em pistas vizinhas. A posição x do carro A é dada na Fig. 2-26, do instante t = 0 ao instante t = 7,0 s. A escala vertical do gráfico é definida por xs = 32,0 m. Em t = 0, o carro B está em x = 0, com uma velocidade de 12 m/s e uma aceleração negativa aB.

a) Qual deve ser o valor de aB para que os carros estejam lado a lado (ou seja, tenham o

mesmo valor de x) em t = 4,0 s? Carro A 푥 = 28 푚 푡 = 4푠 Carro B 푥 = 0 푚 푥 = 28 푚 푣 = 12 푚/푠 푎 = ? 푡 = 4푠

푥 − 푥 = 푣 푡 + 푎푡 → 푎 = [∆ ( )]

푎 = [∆ ( )] = [ ( , / )( )]( )

=

= −2,5 푚/푠

b) Para esse valor de aB quantas vezes os carros ficam lado a lado? 푥 = 28 푚 = 20 + 2푡

푥 −푥 = (28 푚− 0) = 12푡 + 푎 푡 = 12푡 − 1,25푡

푥 = 푥 20 + 2푡 = 12푡 − 1,25푡 1,25푡 − 10푡 + 20 = 0

√100− 100 = 0, logo esta equação do 2º grau possui apenas uma raiz: 4, portanto os carros ficam lado a lado, apenas uma vez, em t = 4s.

c) Plote a posição x do carro B em função do tempo t na Fig. 2,26.

A posição x do carro A é uma reta, tangente à parábola que representa a posição x do

carro B em t = 4s.

d) Quantas vezes os carros ficariam lado a lado se o módulo da aceleração fosse maior do que a resposta da letra a)?

a) = −2,5 푚/푠 푥 = 28 푚 = 20 + 2푡 Se o valor de a) fosse = −3,0 푚/푠

푥 −푥 = 12푡 + 푎 푡 = 12푡 − 1,5푡

20 + 2푡 = 12푡 − 1,5푡 → 1,5푡 − 10푡 + 20 = 0 → ∄ 푠표푙푢çã표 푒푚 ℝ

e) Quantas vezes os carros ficariam lado a lado se o módulo da aceleração fosse menor do que a resposta da letra a)?

a) = −2,5 푚/푠 푥 = 28 푚 = 20 + 2푡 Se o valor de a) fosse = −2,0 푚/푠

푥 −푥 = 12푡 + 푎 푡 = 12푡 − 1푡

20 + 2푡 = 12푡 − 1푡 → 푡 − 10푡 + 20 = 0

√100− 80 > 0, logo os carros ficariam lado a lado duas vezes.

**38. Você está se aproximando de um sinal de trânsito quando ele fica amarelo. Você está dirigindo na maior velocidade permitida no local, 푣 = 55 푘푚/ℎ; o módulo da maior taxa de desaceleração que o seu carro é capaz é 푎 = 5,18 푚/푠 , e o seu tempo de reação para começar a frear é de 푇 = 0,75 푠. Para evitar que a frente do seu carro invada o cruzamento depois de o sinal mudar para vermelho, você deve frear até parar ou prosseguir a 55 km/h se a distância até o cruzamento e a duração da luz amarela são, respectivamente:

a) 40 m e 2,8 s? 푣 = 15,28 푚/푠 푎 = − 5,18 푚/푠 푣 = 0 푡 = 2,8 푠

푥 − 푥 = (푣 + 푣)푡

푥 − 푥 = (15,28 푚/푠 + 0)2,8푠 = 42,78 푚

Dá para passar, mas é uma situação de risco, pois o sinal mudará quando estiver no meio do cruzamento.

푑 = 푣 × 푡 = (15,28 푚/푠)(0,75푠) = 11,46푚 푣 = 푣 + 2푎(푥 − 푥 )

(푥 − 푥 ) = = ( , ) /( , / )

= , /, /

= 22,54 m

22,34 푚 + 11,46 푚 = 33,8 푚 É uma distância segura para parar o carro antes do cruzamento.

b) 32 m e 1,8 s? 푣 = 15,28 푚/푠 푎 = − 5,18 푚/푠 푣 = 0 푡 = 1,8 푠

푥 − 푥 = (푣 + 푣)푡

푥 − 푥 = (15,28 푚/푠 + 0)1,8푠 = 27,50 푚

Não dá para prosseguir direto. 푑 = 푣 × 푡 = (15,28 푚/푠)(0,75푠) = 11,46푚 푣 = 푣 + 2푎(푥 − 푥 )

(푥 − 푥 ) = = ( , / )( , / )

= , /, /

= 22,54 m

22,34 푚 + 11,46 푚 = 33,8 푚 Não dá para parar antes do cruzamento. Nenhuma das duas estratégias funciona.

**39. Dois trens se movem no mesmo trilho quando os condutores subitamente notam que eles estão indo um de encontro ao outro. A Fig. 2-27 mostra as velocidade v dos trens em função do tempo t enquanto estão sendo freados, a escala vertical do gráfico é definida por vs = 40,0 m. O processo de desaceleração começa quando a distância entre os trens é de 200 m. Qual é a distância entre os trens depois que eles param?

1º trem 푣 = 40 푚/푠 푣 = 0 푡 = 5푠

푣 = 푣 + 푎푡 → 푎 = = /

= −8,0 푚/푠

푣 = 푣 + 2푎(푥 − 푥 ) → (푥 − 푥 ) = = ( / )( , / )

= / /

= 100,0 푚

1º trem 푣 = 30 푚/푠 푣 = 0 푡 = 4푠

푣 = 푣 + 푎푡 → 푎 = = /

= −7,5 푚/푠

푣 = 푣 + 2푎(푥 − 푥 ) → (푥 − 푥 ) = = ( / )( , / )

= / /

= 60,0 푚

200 푚− (100 푚 + 60 푚) = 40 푚 A distância entre os trens, depois que eles param é de 40 m.

**40. Na figura, um carro vermelho e um carro verde, iguais exceto pela cor, movem-se um em direção ao outro em pistas vizinhas e paralelas a um eixo x. Em t = 0, o carro vermelho está em 푥 = 0 e o carro verde está em 푥 = 220. Se o carro vermelho tem uma velocidade constante de 20 km/h, os carros se cruzam em x = 44,5 m, se tem uma velocidade constante de 40 km/h, eles se cruzam em x = 76,6 m.

a) Qual é a velocidade inicial do carro verde?

Em 푡 = 0; 푑 = 220 푚

푣 = 20 푘푚/ℎ = 5,56 푚/푠 푥 = 44,5 푚 푡 = = ,,

= 8,00 푠 푎 = 0

푣 = 40 푘푚/ℎ = 11,11 푚/푠 푥 = 76,6 푚 푡 = = ,,

= 6,89 푠 푎 = 0

푑 − 푥 = 푣 푡 + 푎푡 → 푣 =( ) ( )

=( , ) ( , )

,= 21,94 푚/푠 − (4,00 푠)푎

푑 − 푥 = 푣 푡 + 푎푡 → 푣 =( ) ( )

=( , ) ( , )

,= 20,81 푚/푠 − (3,45 푠)푎

21,94 푚/푠 − (4,00푠)푎 = 20,81 푚/푠 − (3,45 푠)푎 → 1,13 푚/푠 − (0,55 푠)푎 =

푎 = , /,

= 2,0 푚/푠

푑 − 푥 = 푣 푡 + 푎푡 → 푣 =( ) ( )

=( , ) ( , / )( , )

,= 13,9 푚/푠

A v0 do carro verde é - 13,9 m/s A velocidade negativa em virtude do deslocamento ser no sentido negativo de x.

b) Qual é a aceleração do carro verde? Conforme cálculos da letra a), averde = -2,0m/s (o valor negativo em virtude do

deslocamento ser no sentido negativo de x)

**41. A figura da questão anterior mostra um carro vermelho e um carro verde se moverem um em direção ao outro. A figura a seguir é um gráfico do movimento dos dois carros que mostra suas posições x0verde = 270 m; e x0vermelho = -35,0 m, no instante t = 0. O carro verde tem uma velocidade constante de 20,0 m/s e o carro vermelho parte do repouso. Qual é o módulo da aceleração do carro vermelho?

A posição dos carros em função do tempo é:

푥 (푡) = 푥 = 푎 푡 = (−35,0 푚) + 푎 푡

푥 (푡) = 푥 = 푥 + 푣 푡 = (270푚) − (20푚/푠)푡 Onde nós substituímos a velocidade do carro verde em lugar da aceleração. Os dois carros passam um pelo outro em t = 12,0 s. Isto implica que:

(270 푚) − (20 푚/푠)(12,0 푠) = (−35,0 푚) + 푎 (12,0 푠)

30,0 푚 = (−35,0 푚) + 푎 (12,0 푠) → 푎 = ( , , )

= 0,90 푚/푠

***42. Quando um trem de passageiros de alta velocidade que se move a 161 km/h faz uma curva, o maquinista leva um susto ao ver que uma locomotiva entrou indevidamente nos trilhos através de um desvio e se encontra a uma distância D = 676 m à frente. A locomotiva está se movendo a 29,0 km/h. O maquinista do trem de alta velocidade imediatamente aciona os freios.

a) Qual é o valor mínimo do módulo da desaceleração (supostamente constante) para que a

colisão não ocorra? 퐷 = 676 푚 푣 = 44,72 푚/푠 푣 = 8,06 푚/푠 푣 = 0 Chamaremos a velocidade inicial do trem de 푣 e a velocidade da locomotiva de 푣 , que

também é a velocidade final do comboio formado pelo trem e pela locomotiva caso elas não colidam. ∆푥 será a distância original entre eles (D), mais a distância percorrida pela locomotiva.

Então:

= ∆ = = + 푣

Substituindo t de por 푣 = 푣 + 푎푡 isolando 푡 = e substituindo na equação anterior, teremos

= ( ) + 푣 o que leva a 푎 = − 푣 = (푣 − 푣 )

Então

푎 = −( )

(8,06 푚/푠 − 44,72 푚/푠) = − 0,994 푚/푠

b) Suponha que o maquinista está em x = 0 quando, em t = 0, avista a locomotiva. Desenhe as curvas de x(t) para a locomotiva e para o trem de alta velocidade para os casos em que a colisão é evitada por pouco e a colisão ocorre por pouco.

|푎| = 0,994 푚/푠

A diferença entre o 1º e o 2º caso é que a curva, no primeiro caso tangencia a reta,

enquanto no outro a curva corta a reta.

***43. Você está discutindo no telefone celular enquanto segue um carro de polícia não identificado, a 25 m de distância; os dois carros estão a 110 km/h. A discussão distrai sua atenção do carro de polícia por 2,0 s (tempo suficiente para você olhar para o celular e exclamar: “eu me recuso a fazer isso!”). No início desses 2,0 s o policial começa a frear subitamente a 5,0 m/s².

a) Qual é a distância entre os dois carros quando você volta a prestar atenção no trânsito. Supondo que você leva outros 0,40 s para perceber o perigo e começar a frear.

110 푘푚/ℎ

= 30,56 푚/푠

O carro de polícia freia durante 2,0 s.

푥 − 푥 = 푣 푡 + 푎푡

∆푥 = (30,56 푚/푠)(2,0 푠) + (−5,0 푚/푠 (2,0 푠) = 51,12 푚

Começo a frear depois de 2,0 s: (30,56 m/s)(2,00 s) = 61,12 m 51,12 + 25,0 – 61,12 = 15,0 m

b) Supondo que você leva outros 0,40 s para perceber o perigo e começar a frear, se você também freia a 5,0 m/s², qual é sua velocidade quando bate no carro de polícia?

2,0 s + ,040 s = 2,40 s (30,56 m/s)(2,40 s) = 73,34 m O carro de polícia freia durante 2,4 s.

푥 − 푥 = 푣 푡 + 푎푡

∆푥 = (30,56 푚/푠)(2,4 푠) + (−5,0 푚/푠 (2,4 푠) = 58,94 푚

Então, quando começo a frear estou a:

58,94 m + 25,00 m – 73,34 m = 10,6 m

Em t = 2,4 s, a velocidade do carro de polícia é: 푣 = 푣 + 2푎(푥 − 푥 ) 푣 = 푣 + 푎푡 푣 = 30,56 푚/푠 + (−5,0 푚/푠 )(2,4 푠) = 18,56 푚/푠 Então:

푥 − 10,6 푚 = 18,56 푚/푠 (푡 − 푡 ) + (−5,0 푚/푠 )(푡 − 푡 )

푥 = 30,56 푚/푠 (푡 − 푡 ) + (−5,0 푚/푠 )(푡 − 푡 )

Subtraindo as equações = 10,6 = (30,56− 18,56)(푡 − 푡 ) → 푡 − 푡 = 0,883 푠 푣 = 30,56 푚/푠 + 푎(푡 − 푡 ) 푣 = 30,56 푚/푠 + (−5,0 푚/푠 )(0883 푠) = 26,13 푚/푠

*44. Gotas de chuva caem 1700 m de uma nuvem até o chão.

a) Se elas não estivessem sujeitas à resistência do ar, qual seria sua velocidade ao atingir o solo?

푣 = 0 푣 = ? 푎 = −9,8 푚/푠 ∆푦 = −1700 푚 푣 = 푣 + 2푎∆푦

푣 = 0 + 2(−9,8 푚/푠 )(−1700 푚) → 푣 = ±√33320 = ±182,54 푚/푠 Utilizaremos o valor negativo, pois o deslocamento é no sentido negativo do eixo do y. R = - 182,54 m/s

b) Seria seguro caminhar na chuva? Não, mas na situação real a resistência do ar reduz muito a velocidade e aliado à pequena

massa da gota de chuva, não se torna perigos andarmos na chuva. (b) No, but it is hard to make a convincing case without more analysis. We estimate the mass of a raindrop to be about a gram or less, so that its mass and speed (from part (a)) would be less than that of a typical bullet, which is good news. But the fact that one is dealing with many raindrops leads us to suspect that this scenario poses an unhealthy situation. If we factor in air resistance, the final speed is smaller, of course, and we return to the relatively healthy situation with which we are familiar

*45. Em um prédio em construção, uma chave de grifo chega ao solo som uma velocidade de 24 m/s.

a) De que altura o operário a deixou cair? 푣 = −24 푚/푠 푣 = 0 푦 = ? 푦 = 0 푔 = 9,8 푚/푠 푣 = 푣 − 2푔(푦 − 푦 )

푣 = 푣 − 2푔(푦 − 푦 ) → (푦 − 푦 ) =

∆ = = − /( , / )

= − ( / ), /

= − /, /

= −29,39 푚

O operário deixou cair a chave de 29,39 m de altura.

b) Quanto tempo durou a queda?

푣 = 푣 + 푎푡 → 푡 = → 푡 = /, /

= 2,45 푠

c) Esboce os gráficos de y, v e a em função de t para a chave de grifo.

*46. Um desordeiro joga uma pedra verticalmente para baixo com uma velocidade inicial de 12,0 m/s, a partir do telhado de um edifício, 30,0 m acima do solo.

a) Quanto tempo leva a pedra para atingir o solo? 푣 = −12,0 푚/푠 푣 = ? 푎 = 푔 = 9,8 푚/푠 ∆푦 = − 30,0 푚

푦 − 푦 = 푣 푡 − 푔푡 → ∆푦 = 푣 푡 − 푔푡 → 푡 = ± ∆

mas, t > 0, logo

푡 = / ( / ) ( , / )( , ), /

= 1,54 s

b) Qual é a velocidade da pedra no momento do choque? 푣 = 푣 + 푎푡 푣 = (−12푚/푠) + (−9,8 푚/푠 )(1,54 푠) = −27,1 푚/푠 O sinal negativo indica que o deslocamento é no sentido negativo do eixo y.

*47. a) Com que velocidade deve ser lançada uma bola verticalmente a partir do solo para que atinja uma altura máxima de 50 m?

푣 =? 푣 = 0 푎 = −푔 = 9,8 푚/푠 ∆푦 = 50,0 푚

푣 = 푣 − 2푔∆푦 푣 = 0 푣 = 2푔∆푦 = 980 푚 /푠 = 31,3 푚/푠

b) Por quanto tempo permanece a bola no ar?

푣 = 푣 − 푎푡 → 푡 = = , / , /

= 3,19 푠

a bola leva 3,19 s de y = 0 até y = 50 m e tempo igual para retornar ao solo, então 2(3,19 s) = 6,38 s

c) Esboce os gráficos de y, v e a em função de t para a bola. Nos dois primeiros gráficos indique o instante no qual ela atinge a altura de 50 m.

*48. Um tatu assustado pula verticalmente para cima, subindo 0,544 m nos primeiros 0,200 s.

a) Qual é a velocidade do animal a o solo? 푣 =? 푣 = 0 푎 = 푔 = 9,8 푚/푠 ∆푦 = 0,544 푚 푡 = 0,200 푠

푦 − 푦 = 푣 푡 − 푔푡 → 푣 = ∆

푣 = , ( , / )( , )

, = 3,70 푚/푠

b) Qual é a velocidade na altura de 0,544 m? 푣 = 푣 − 푔푡 푣 = 3,70 푚/푠 − (9,8 푚/푠 )(0,200 푠) = 1,74 푚/푠

c) Qual é a altura do salto?

푣 = 푣 + 2푔(푦 − 푦 ) → ∆푦 =

∆푦 = ( , / )( , /

= , /, /

= 0,698 푚

*49. Um balão de ar quente está subindo a uma taxa de 12 m/s e está a 80 m acima do solo quando um tripulante deixa cair um pacote.

a) Quanto tempo o pacote leva para atingir o solo? Quando o pacote é solto, continua a subir por algum tempo com 푣 = à velocidade do

balão quando o pacote foi solto.

푣 = 푣 − 푔푡 → 푡 = → 푡 = /, /

= 1,22 푠

A altura total que o pacote atinge é:

푦 − 푦 = 푣 푡 + 푔푡

푦 − 80 푚 = 12 (1,22푠) + (−9,8 푚/푠 )(1,22푠)

푦 = (12 푚/푠)(1,22푠)− ( , / )( , ) + 80 푚 = 87,35 푚

Agora podemos calcular o tempo em queda livre que o pacote leva para chegar ao chão.

푦 − 푦 = 푣 푡 + 푔푡

0 − 87,35 푚 = (9,8 푚/푠 )푡 → 푡 = ( , ), /

= 4,22 푠

Não podemos esquecer o 1,22 s que o pacote subiu inicialmente. Então, 4,22 푠 + 1,22 푠 = 5,44 푠 Este é o tempo que o pacote leva para chegar ao solo desde o momento em que foi solto.

b) Com que velocidade o pacote chega ao solo? 푣 = 푣 + 2푔(푦 − 푦 )

푣 = 0 + 2(9,8 푚/푠 )(−87,35 푚) → 푣 = − 1712푚 /푠 = − 41,38 푚/푠

O valor negativo para a velocidade indica que o deslocamento é no sentido negativo do eixo y.

**50. Um parafuso se desprende de uma ponte em construção e cai 90 m até chegar ao solo.

a) Em quanto tempo o parafuso percorre os últimos 20% da queda? A v do parafuso quando atinge 80% da queda é a v0 do parafuso ao iniciar os últimos

20%. 20% = (90 푚)(0,2) = − 18 푚 80% = (90 푚)(0,8) = − 72 푚 푣 = 푣 + 2푔∆푦

푣 = 0 + 2(9,8 푚/푠 )(−72 푚) → 푣 = − 1411,2 푚 /푠 = − 37,57 푚/푠

푦 − 푦 = 푣 푡 + 푔푡

−18 푚 = (−37,57 푚/푠)푡 + (9,8 푚/푠 )푡 =

= (4,9 푚/푠 )푡 + (37,57 푚/푠)푡 − 18 푚 = 0

Aplicando Báskara para encontrar as raízes:

푡 = , / ± , / , /, /

= 0,45 푠

b) Qual é a velocidade quando começa os últimos 20% da queda? 푣 = 푣 + 2푔∆푦

푣 = 0 + 2(9,8 푚/푠 )(−72 푚) → 푣 = − 1411,2 푚 /푠 = − 37,57 푚/푠

O valor negativo para a velocidade indica que o deslocamento é no sentido negativo do eixo y.

c) Qual é a velocidade quando atinge o solo? 푣 = 푣 + 2푔∆푦

푣 = 0 + 2(9,8 푚/푠 )(−90 푚) → 푣 = − 1764 푚 /푠 = − 42 푚/푠

O valor negativo para a velocidade indica que o deslocamento é no sentido negativo do eixo y.

**51. Uma chave cai verticalmente de uma ponte que está 45 m acima da água A chave atinge um barco de brinquedo que está se movendo com velocidade constante e se encontrava a 12 m do ponto de impacto quando a chave foi solta. Qual é a velocidade do barco?

A chave:

푦 − 푦 = 푣 푡 + 푔푡 푡 = ∆ 푡 = ( ), /

푡 = 3,03 푠

O barco:

푥 − 푥 = 푣푡 − 푎푡

Mas a = 0, então

푣 = = ,

= 3,96 푚/푠

**52. No instante t = 0, uma pessoa deixa cair a maçã 1 de uma ponte; pouco tempo depois, a pessoa joga a maçã 2 verticalmente para baixo no mesmo local. A figura mostra a posição vertical y

das duas maçãs em função do tempo durante a queda até a estrada que passa por debaixo da ponte. Qual a velocidade aproximada com a qual a maçã 2 foi jogada para baixo.

Maçã 1 푡 = 2,0 푠 − 0 푠 = 2,0 푠

푦 − 푦 = 푣 푡 + 푎푡

∆푦 = 푎푡 = (9,8 푚/푠 )(2,0 푠) = 19,6 푚

Maçã 2 푡 = 2,25 푠 − 1,0 푠 = 1,25 푠

푦 − 푦 = 푣 푡 + 푎푡

푣 = ∆

= ( , / )( , ) , ,

≈ 9,6 푚/푠

**53. Quando um balão científico desgarrado está subindo a 19,6 m/s, um dos instrumentos se desprende e cai em queda livre. A figura mostra a velocidade vertical do instrumento em função do tempo desde alguns instantes antes de se desprender até o momento em que atinge o solo.

a) Qual é a altura máxima que o instrumento atinge em relação ao ponto em que se

desprendeu? O instrumento ainda tem velocidade vertical positiva durante 2,0 s e sua v0 é igual à do

balão. A altura que o instrumento atinge além do ponto em que se desprendeu é:

푦 − 푦 = 푣 푡 + 푔푡

푦 − 0 푚 = (19,6 푚/푠)(2,0 푠) + (−9,8 푚/푠 )(2,0 푠)

푦 = (19,6 푚/푠)(2,0푠) − ( , / )( , ) = 19,6 푚

b) A que altura acima do solo o instrumento se desprendeu? O tempo total desde que o instrumento se desprendeu até atingir o solo é 6,0 s, conforme

a figura.

푦 − 푦 = 푣 푡 + 푔푡

∆푦 = (19,6 푚/푠)(6,0 푠) + (−9,8 푚/푠 )(6,0 푠) = − 59 푚 |∆푦| = 59 푚

**54. A figura mostra a velocidade v em função da altura y para uma bola lançada verticalmente para cima ao longo de um eixo y. A distância d = 0,40 m. A velocidade na altura yA é vA. A velocidade na altura yB é vA/3. Determine a velocidade vA.

푣 = 푣 + 2푔∆푦 → 푣 = 푣

푣 = 푣 + 2(−9,8 푚/푠 )(0,40 푚)

( 푣 ) − 푣 = 2(−9,8 푚/푠 )(0,40 푚) → − 푣 = 2(9,8 푚/푠 )(0,40 푚)

푣 = ( , / )( , ) = → 푣 = √8,82 = 2,97 푚/푠 ≈ 3,0푚/푠

**55. Uma bola de argila úmida cai 15,0 m até o chão e permanece em contato com o solo por 20,0 ms antes de parar completamente.

a) Qual é o módulo da aceleração média da bola durante o tempo de contato com o solo? (trate a bola como uma partícula.

Primeiramente calculamos a velocidade com que a bola chega ao chão.

푣 = 푣 + 2푔∆푦 → 푣 = 0 + 2(−9,8 푚/푠 )(15,0 푚) → 푣 = − 284푚 /푠 = −17,1 푚/푠

Sabendo v, v0 e t, calculamos a aceleração.

푣 = 푣 + 푎푡 → 푎 = → 푎 = ( , / ),

= 850 푚/푠

|푎| = 850 푚/푠

b) A aceleração média é para cima ou para baixo? Para cima, pois o seu sinal é positivo.

**56. Deixa-se cair uma pedra em um rio, a partir de uma ponte situada 43,9 m acima da água. Outra pedra é atirada verticalmente para baixo 1,0 s após a 1ª ter sido deixada cair. As pedras atingem a água ao mesmo tempo.

a) Qual foi a velocidade inicial da 2ª pedra? O tempo que a segunda pedra leva para chegar à água é o tempo da primeira menos 1,0 s.

푡 ª → 푦 − 푦 = 푣 푡 + 푔푡

푡 = ( ) = ( , ), /

= 2,99 푠

푡 ª = 2,99 푠

푡 ª = 2,99 푠 − 1,0 푠 = 1,99 푠

푣 2ª 푝푒푑푟푎 → 푦 − 푦 = 푣 푡 + 푔푡

푣 = ( ) = ( , ) ( , / )( , )( , )

= 12,3 푚/푠

b) Plote a velocidade em função do tempo para as duas pedras, supondo que t = 0 é o instante que se deixou cair a primeira pedra?

**57. Para testar a qualidade de uma bola de tênis, você a deixa cair ao chão de uma altura de 4,00 m. Depois de quicar, ela atinge uma altura de 2,00 m. Se a bola permanece em contato com o piso por 12,0 ms.

a) Qual é o módulo da aceleração média durante este contato? 푣 = 푣 + 2푔∆푦 → 푣 = 0 + 2(−9,8 푚/푠 )(4,00 푚)

푣 = − 78,4푚 /푠 = −8,85 푚/푠

A aceleração média da bola em contato com o chão é 푎 = ( )

∆, onde v1 é a

velocidade com que ela chega ao chão e v2 a velocidade com que ela sobe depois do quique cima até atingir 2,00 m.

푣 = 푣 + 2푔∆푦 → 푣 = 0 + 2(−9,8 푚/푠 )(−2,00 푚 + 4,00 푚)

푣 = 78,4푚 /푠 = 6,26 푚/푠

푎 = ( )

∆= , / ( , / )

, = 1259,2 푚/푠

b) A aceleração média é para cima ou para baixo? Para cima, pois o seu sinal é positivo.

**58. Uma pedra é lançada verticalmente para cima, a partir do solo, no instante t = 0. Em t = 1,5 s ela ultrapassa o alto de uma torre; 1,0 s depois, atinge a altura máxima. Qual é a altura da torre?

O tempo total do deslocamento ascendente da pedra é 2,5 s. Com os dados que temos podemos calcular a velocidade inicial.

푣 = 푣 + 푔푡 푣 = −푔푡 → 푣 = −(−9,8 푚/푠 )(2,5 푠) = 24,5 푚/푠 Agora, sabendo a velocidade inicial, calculamos a altura da torre.

푦 − 푦 = 푣 푡 + 푔푡

∆푦 = (24,5 푚/푠)(1,5 푠) + (−9,8 푚/푠 )(1,5 푠) = 25,7 푚

**59. A água pinga de um chuveiro em um piso situado 200 cm abaixo. As gotas caem a intervalos de tempo regulares (iguais), com a primeira gota atingindo o piso quando a 4ª gota começa a cair. Quando a primeira gota atinge o piso, a que distância do chuveiro se encontra:

a) a segunda gota? Colocaremos y no piso e y0 no bocal do chuveiro.

푦 − 푦 = 푣 푡 + 푔푡 → −2,00 푚 = 푔푡 → 푡 = (∆ ) = ( , ), /

= 0,639 푠

Neste momento a gota 4 começa a cair. Pela regularidade da queda das gotas podemos concluir que:

, = 0,213 푠 que é o tempo entre cada gota caindo.

Então a segunda gota encontra-se a 0,213 s do piso, o que significa que ela está caindo a 0,426 s, que poderemos chamar de t2:

푦 − 푦 = 푣 푡 + 푔푡 → ∆푦 = 푔푡 = ( , / )( , ) = −0,889 푚 ≈ 89 푐푚

Concluímos que a 2ª gota encontra-se a 89 cm de distância do bocal do chuveiro. O sinal negativo indica que está no sentido negativo do eixo do y.

b) a terceira gota? Chamando o tempo da terceira gota de t3, e sabendo que o tempo entre as gotas é 0,213 s,

verificamos que 푡 = 0,213 푠. Logo:

푦 − 푦 = 푣 푡 + 푔푡 → ∆푦 = 푔푡 = ( , / )( , ) = −0,222 푚 ≈ 22 푐푚

Concluímos que a 3ª gota encontra-se a 22 cm de distância do bocal do chuveiro. O sinal negativo indica que está no sentido negativo do eixo do y.

**60. Um objeto cai de uma altura h a partir do repouso. Se ele percorre uma distância de 0,50 h no último 1,00 s, determine

a) o tempo da queda. 푡 − 푡 = 1,00 푠,표푛푑푒 푡 é 표 푡푒푚푝표 푛표 푐ℎã표. 푦 − 푦 = 0,50 ℎ,표푛푑푒 푦 푖푛푑푖푐푎 표 푐ℎã표. Considerando que y e h denotam a mesma distância, temos ℎ − 푦 = 0,50 ℎ . −푦 = 0,50ℎ − ℎ (−1) → 푦 = −0,50ℎ + ℎ → 푦 = 0,50ℎ

푦 − 푦 = 푣 푡 + 푔푡′ → 푡 = =

푦 − 푦 = 푣 푡 + 푔푡 → 푡 = =

Usando y = h e y’ = 0,50 h, dividindo as duas equações, fazendo t’ – t = 1,00 e multiplicar cruzando, temos:

= =( , )

= 0,50 → , = 0,50 → 푡 − 1,00 = 푡 0,50 = ,√ ,

= 3,41 푠

b) a altura da queda.

푦 − 푦 = 푣 푡 + 푔푡 → 푦 = 푔푡 → 푦 = ( , / )( , ) = −56,98 푚

|푦| = 56,98 푚 O sinal negativo indica que a direção da queda é no sentido negativo do eixo do y.

c) Explique a solução fisicamente inaceitável da equação do segundo grau em t usada para resolver o problema.

Porque a resposta do problema implicaria em um tempo negativo, o que é fisicamente inaceitável.

**61. Um gato sonolento observa um vaso de flores que passa por uma janela aberta, primeiro e depois descendo. O vaso permanece à vista por um tempo total de 0,50 s, e a altura da janela ´r 2,00m . Que distância acima do topo da janela o vaso atinge?

푦 − 푦 = 퐿

푦 − 푦 = 푣푡 − 푎푡 → 푙 = 푣푡 − 푔푡 → 푣 = − 푔푡

A distância h que o pote sobe acima da janela tem v = 0 quando atinge o ponto mais alto. 푥 − 푥 = ℎ

푣 = 푣 + 2푎(푥 − 푥 ) → ℎ =

Substituindo 푣 por ( − 푔푡) , teremos:

ℎ =( )

=( ,

, ) ( , / )( , )

( , / )= , /

, /= 2,34 푚

***62. Uma bola é lançada verticalmente para cima a partir da superfície de outro planeta. O gráfico de y(t) para a bola é mostrado na figura, onde y é a altura da bola acima do ponto de lançamento e t = 0 s no instante em que a bola é lançada. A escala vertical é definida por v = 30,0 m. Quais são os módulos:

a) da aceleração em queda livre do planeta?

Observando o gráfico sabemos que 푦 − 푦 = 25,0 푚 e que o tempo no qual a bola atinge o ponto mais alto é 2,5 s.

푥 − 푥 = 푣 푡 + 푎푡 → 푔 = ( ) ( ) =

= 푔 = ( , )( , )

= 8,0 푚/푠

b) da velocidade inicial da bola?

푦 − 푦 = (푣 + 푣)푡 → 푣 = ( ) = ( ),

= 20 푚/푠

***63. Uma bola de aço cai do telhado de um edifício e passa por uma janela, levando 0,125 s para passar do alto à base da janela, uma distância correspondente a 1,20 m. A bola quica em uma calçada e torna a passar pela janela, de baixo para cima, em 0,125 s. Suponha que o movimento para cima seja exatamente o inverso da queda. O tempo que a bola gasta abaixo da janela é de 2,00 s. Qual é a altura do edifício?

H = altura do edifício v1 = borda superior da janela y1, t1, tudo na borda superior da janela. y2, t2, tudo na borda inferior da janela. y2 – y1 = 1,20 m t2 – t1 = 0,125 s

푥 − 푥 = 푣 푡 + 푎푡 → 푦 − 푦 = 푣 (푡 − 푡 ) + 푔(푡 − 푡 ) =.

= 푣 = ( ) ( )( )

=( , ) ( , / )( , )

,= ,

, = 8,99 푚/푠

Sabendo a velocidade na borda superior, e v0 = 0, podemos encontrar o valor de y1:

푣 = 푣 + 2푎(푥 − 푥 ) → 푣 = 2푔푦 → 푦 = = ( , / )( , / )

= 4,12 푚

A bola atinge o terreno em y3 que é igual à altura do edifício, então 푦 = ℎ Como o deslocamento da bola depois de quicar no solo é simétrico à queda, e o tempo

gasto entre as passagens de descida e subida pela borda inferior da janela é 2,00 s, podemos dizer que 푡 − 푡 = , = 1,00 푠. Isso significa que:

푡 − 푡 = 1,00 푠 + 0,125 푠 = 1,125 푠 .

푥 − 푥 = 푣 푡 + 푎푡 → 푦 − 푦 = 푣 (푡 − 푡 ) + 푔(푡 − 푡 ) =

= 푦 − 4,12 푚 = 8,99 푚/푠(1,125 푠) + (9,8 푚/푠 )(1,125) =

= 푦 = (8,99 푚/푠)(1,125 푠) + (9,8 푚/푠 )(1,125) + 4,12 푚 = 20,44 푚

푦 = ℎ = 20,44 푚

***64. Ao pegar um rebote, um jogador de basquete pula 76,0 cm verticalmente. Qual o tempo total (da subida e descida) que o jogador passa:

a) nos 15 cm mais altos? A velocidade inicial do jogador é: 푣 = 0 푣 =? 푥 − 푥 = 0,76 푚 푣 = 푣 + 2푎(푥 − 푥 ) → 푣 = 0 + 2(9,8푚/푠 )(0,76 푚) =

= 푣 = 2(9,8푚/푠 )(0,76 푚) = 3,86 푚/푠

Quando o jogador atinge y1, isto é 0,76 푚 – 0,15 푚 = 0,61 푚, sua velocidade é v1.

푣 = 푣 + 2푎(푥 − 푥 ) → 푣 = 푣 + 2푎(푥 − 푥 ) → 푣 = 푣 + 2푎(푥 − 푥 )

= 푣 = (3,86 푚) + 2(9,8 푚/푠 )(0,61 푚) = 1,71 푚/푠

Fazendo v1 de v0 para o ∆푦 = 0,76 m – 0,61 = 0,15 m.

푥 − 푥 = (푣 + 푣)푡 → 푡 = ( )( )

= ( , )( , / )

= , , /

= 0,175 푠

0,175 s é o tempo que o jogador se desloca de 0,61 m até 0,76 m, então multiplicamos por dois porque os 15 cm mais alto compreende a ida e a volta. Então (0,175 s)(2) = 0,35 s

b) nos 15 cm mais baixos do salto? 푣 = 0 푣 = 3,86 푚/푠 푥 − 푥 = 0,15 푚 푡 = ?

푥 − 푥 = 푣 푡 − 푎푡 → 0,15 푚 = (3,85 푚/푠)푡 − (9,8 푚/푠 )푡 =

(4,9 푚/푠 )푡 − (3,85 푚/푠)푡 + 0,15 푚 = 0

푥 = ±√ = ( , / )± ( , / ) ( , / )( , )( , / )

= , / ± , /, /

=

푥 = 0,75 푠 푒 푥 = 0,041 푠 Usamos a menor das duas raízes positivas, pois a maior é impossível. Como o jogador sobe e desce nestes 0,15 m inferiores, multiplicamos 0,041 s por dois. (0,041 푠)2 = 0,082 푠 = 82 푚푠

*65. No exemplo 2-9 do texto, qual é a velocidade a) da cabeça, quando possui aceleração máxima?

Na figura, vemos que a cabeça começa a acelerar a partir do repouso (v0 = 0) em T0 = 110

ms e atinge um valor máximo de 90 m/s² em t1 = 160 ms. A área desta região é

á푟푒푎 = (160 − 110) × 10 푠 . (90 푚/푠 ) = 2,25 푚/푠

b) do corpo, quando a cabeça possui aceleração máxima? Vou dividir a área sob a curva do tronco em três regiões: - De 40 a 100 ms

á푟푒푎 = (100 − 40) × 10 푠 . (50 푚/푠 ) = 1,50 푚/푠

- De 100 a 120 ms á푟푒푎 = (120− 100) × 10 푠 . (50 푚/푠 ) = 1,00 푚/푠 - De 120 a 160 ms

á푟푒푎 = (160 − 120) × 10 푠 . (50 푚/푠 + 20 푚/푠 ) = 1,40 푚/푠

푣 − 푣 = 1,50 푚/푠 + 1,00 푚/푠 + 1,40 푚/푠 = 3,90 푚/푠

*66. Uma salamandra captura a presa lançando a língua como um projétil: a parte traseira da língua se projeta bruscamente para a frente, desenrolando o resto da língua até que a parte dianteira atinge a presa, capturando-a. A figura mostra o módulo a da aceleração em função do tempo t durante a fase de aceleração do lançamento em uma situação típica. As acelerações indicadas são: a1 = 100 m/s² e a2 = 400 m/s². Qual é a velocidade da língua no final da fase de aceleração?

푣 = á푟푒푎

푣 = (0,01푠)(100푚/푠 ) + (0,01푠)(100푚/푠 ) + (0,01푠 + 400푚/푠 ) + (0,01 푠)(500푚/푠 )

푣 = 6,0 푚/푠

**67. Que distância percorre em 16 s um corredor cujo gráfico velocidade-tempo é mostrado na figura? A escala vertical do gráfico é definida por vs = 8,0 m.

Podemos dividir a área em 4 setores diferentes: 2 retângulos e dois quadrados. 퐴 = 퐴 + 퐴 + 퐴 + 퐴

퐴 = ( ) + 8(8) + ( ) + 4(6) = 100 푚

∆푥 = 100 푚

**68. Em um soco direto, no caratê, o punho começa em repouso na cintura e é movido rapidamente para frente até o braço ficar completamente estendido. A velocidade v(t) do punho está representada na figura para o caso de um lutador experiente. Qual é a distância percorrida pelo punho desde o início do golpe até:

a) o instante t = 50 ms?

Neste caso, para ficar mais claro, detalhei a parte do gráfico que interessa.

Podemos dividir a área em três setores diferentes. 퐴 = 퐴 + 퐴 + 퐴

퐴 = ( , ) + 2(0,04 푠) + ( , ) = 0,13 푚

∆푥 = 0,13 푚 b) o instante em que a velocidade do punho é máxima?

A velocidade do punho é máxima em 120 ms. Detalhe do gráfico entre 50 ms e 120 ms.

Detalhamento do gráfico entre 50 ms e 120 ms.

Podemos dividir a área em quatro setores diferentes, dois retângulos e dois triângulos.

퐴 = 4(0,07 푠) + ( , ) + 1(0,03푠) + , ( , ) = 0,368 푚

∆푥 = 0,13 푚 + 0,368 푚 = 0,498 푚 ≈ 0,50 푚

**69. Quando uma bola de futebol é chutada na direção de um jogador e o jogador a desvia de cabeça, a aceleração da cabeça durante a colisão pode ser relativamente grande. A figura mostra a aceleração a(t) da cabeça do jogador de futebol sem e com capacete, a partir do repouso. No instante t = 7,0 ms, qual é a diferença entre as velocidades da cabeça sem e com capacete?

Sem capacete

퐴 = ( , ) + ( , , ) + ( , , ) + ( , ) = 0,82

푣 = 0,82 푚/푠 Com capacete

퐴 = ( , ) + 1(0,04) + ( , , ) + ( , ) = 0,26

푣 = 0,26 푚/푠 A diferença é 0,82 m/s – 0,26 m/s = 0,56 m/s

***70. Duas partículas se movem ao longo do eixo x. A posição da partícula 1 é dada por 푥 =6,00푡 + 3,00푡 + 2,00, onde x está em metros e t em segundos; a aceleração da partícula 2 é dada por 푎 = −8,00푡, onde a está em metros por segundo ao quadrado e t em segundos. No instante t = 0 a velocidade é de 20 m/s. Em que instante as duas partículas têm a mesma velocidade?

Partícula 1:

푣 = (6,00푡 + 3,00푡 + 2,00) = 12,00푡 + 3,00

Partícula 2: 푎 = −8,00푡 푣 = 푣 + ∫푎 푑푡 = 20,0 = ∫(−8,00푡)푑푡 = 20,0 − 4,00푡 Então: 12,00푡 + 3,00 = 20,0− 4,00푡 → 4,00푡 + 12,00푡 − 17,00

푥 = ±√ = , ±√ , ,,

= , ± ,,

=

푥 = 1,05 푠 푒 푥 = −4,05 푠 Utilizamos o valor positivo. As velocidades se igualam quando t = 1,05s

71. No instante em que um sinal de trânsito fica verde um automóvel começa a se mover com uma aceleração constante de a = 2,2 m/s². No mesmo instante um caminhão, que se move com uma velocidade constante de 9,5 m/s, ultrapassa o automóvel.

a) A que distância do sinal o automóvel ultrapassa o caminhão? O carro, 푣 = 0

푥 − 푥 = 푣 푡 + 푎푡 → ∆푥 = 푎푡

O caminhão, 푎 = 0 ∆푥 = 푣푡

푎푡 = (푣푡) → 푎푡 = 2푣푡 → = 2푣 → 푎푡 = 2푣

푡 = = ( , / ), /

= 8,6 푠

∆푥 = 푣푡 → ∆푥 = (9,5 푚/푠)(8,6 푠) = 82 푚 b) Qual é a velocidade do automóvel nesse instante? 푣 = 0 ∆푥 = 82 푚 푎 = 2,2 푚/푠

푣 = 푣 + 2푎(푥 − 푥 ) → 푣 = √2푎∆푥 = 2(2,2 푚/푠 )(82,0 푚) = 18,99 푚/푠

ou 푣 = 푎푡 = (2,2푚/푠 )(8,6 푠) = 18,92 푠 A pequena diferença se dá devido às aproximações.

72. A figura mostra parte de uma rua na qual se pretende controlar o tráfego para permitir que um grupo de veículos atravesse vários cruzamentos sem parar. Suponha que os primeiros carros do grupo tenham acabado de chegar ao cruzamento 2, onde o sinal abriu quando estavam a uma distância d do cruzamento 2. Eles continuam a se mover a uma certa velocidade vp (a velocidade máxima permitida) até chegarem ao cruzamento 3. As distâncias entre os cruzamentos são D23 e D12.

a) Quanto tempo depois que o sinal do cruzamento 2 foi aberto o sinal do cruzamento 3 deve

abrir para que abra quando os primeiros carros do grupo estão a uma distância d do cruzamento 3? A velocidade constante é igual à razão do deslocamento em função do tempo decorrido.

Assim, para que o veículo viajando a uma velocidade vp constante ao longo da distância D23, o atraso de tempo deve ser 푡 = .

b) Suponha que o grupo tenha encontrado o sinal fechado no cruzamento 1. Quando o sinal do cruzamento 1 abre, os carros da frente precisam de um certo tempo adicional para atingir a velocidade de cruzeiro vp com uma certa aceleração a. Quanto tempo depois que foi aberto o sinal do cruzamento 1 o sinal do cruzamento 2 deve abri para que o sinal do cruzamento 2 abra quando os primeiros carros do grupo estão a uma distância d do cruzamento 2?

O tempo requerido para o carro acelerar a partir do zero para uma velocidade de cruzeiro é 푡 = .

Durante este intervalo de tempo a distância percorrida é: ∆푥 = = .

O carro, em seguida, se move com velocidade vp ao longo da distância 퐷 − ∆푥 − 푑 até chegar à intersecção 2 e o tempo decorrido é 푡 = ( ∆ )

Assim, o tempo de atraso para abrir o sinal da intersecção 2 é: 푡 = 푡 + 푡 + 푡

푡 = 푡 + + ( ∆ ) = 푡 + +( )

= 푡 + + ( )

73. Em um videogame, um ponto é programado para se deslocar na tela de acordo com a função 푥 = 9,00푡 − 0,750푡 , onde x é a distância em centímetros em relação à extremidade esquerda da tela e t é o tempo em segundos. Quando o ponto chega a uma das extremidades da tela, x = 0 ou x = 15 cm, o valor de t é zerado e o ponto começa novamente a se mover de acordo com a função x(t).

a) Em que instante após o início do movimento o ponto se encontra momentaneamente em repouso?

A velocidade é a derivada da posição.

푣 = (9,00푡 − 0,750푡 ) = 9,00 − 2,25푡

O ponto se encontra em repouso quando v = 0.

9,00 − 2,25푡 = 0 → 푡 = ,

= 2,00 푠

푣 = 0 푞푢푎푛푑표 푡 = 2,00 푠 b) Para que valor de x isso acontece.

Basta substituir t na equação: 푥 = 9,00푡 − 0,750푡 , 푥(2) = 9,00(2,00)− 0,750(2,00) = 12 푐푚 = 0,12 푚

c) Qual é a aceleração do ponto (incluindo o sinal) no instante em que isso acontece? A aceleração é a derivada da velocidade.

푎 = (9,00 − 2,25푡 ) = 4,5 푡 → 푎 = 4,5(2,00 푠) = 9,00 푚/푠 .

d) O ponto está se movendo para a direita ou para a esquerda pouco antes de atingir o repouso?

Quando de t < 2,00 s, v > 0, portanto o ponto estava se movendo para a direita. e) O ponto está se movendo para a direita ou para a esquerda pouco depois de atingir o

repouso?

Quando de t > 2,00 s, v < 0, portanto o ponto se movendo para a esquerda. f) Em que instante t > 0 o ponto atinge a extremidade da tela pela primeira vez?

x = 0 ou x = 15 cm 푥 = 9,00푡 − 0,750푡 9,00푡 − 0,750푡 = 15 → 푡(9,00 − 0,750푡 ) = 15

푡 =, ,

74. Deixa-se cair uma bola de chumbo em um lago de um trampolim situado 5,20 m acima da superfície d’água. A bola atinge a água com uma certa velocidade e conserva esta velocidade até chegar ao fundo do lago, o que ocorre 4,80 s após começar a cair.

a) Qual é a profundidade do lago? 푣 = 0 ∆푦 = 5,20 푎 = − 9,80 푚/푠 Queremos saber o módulo da velocidade com que a bola atinge a água.

푣 = 푣 + 2푎(푥 − 푥 ) → 푣 = 2푎∆푦 = 2(−9,8 푚/푠 )(5,20 푚) = −10,1 푚/푠 |푣| = 10,1 푚/푠

푥 − 푥 = (푣 + 푣)푡 → 푡 = ( )( )

= ( , ), /

= , , /

= 1,03 푠

4,80 s – 1,03 s = 3,77 s, é o tempo que a bola leva da superfície até o fundo. Nesse trecho, sua velocidade é constante, então v = vméd .

푣 = ∆ → ∆푦 = (푣 é )푡 = (10,1푚/푠)(3,77 푠) = 38,1 푚

b) Qual é o módulo da vméd da bola durante a queda? ∆푦 = −38,1 푚− 5,20 푚 = −43,3 푚 푡 = 4,80 푠

푣 = ∆ = , ,

= −9,02 푚/푠

|푉 é | = 9,02 푚/푠 c) Qual é o sentido (para cima ou para baixo) da vméd da bola durante a queda?

Como colocamos nosso sistema de coordenadas com a origem no trampolim, o sentido da velocidade negativo, isto é para baixo.

d) Suponha que toda a água do lago seja drenada. A bola é agora lançada do trampolim com uma certa velocidade inicial e novamente chega ao fundo em 4,80 s. Qual é o módulo da velocidade inicial da bola?

푦 − 푦 = 푣 푡 + 푎푡 → 푣 푡 = ∆푦 − 푔푡 → 푣 =∆

→ 푣 = ∆ −

푣 = , ,

− ( , / )( , ) = −14,5 푚/푠

e) Qual é o sentido da velocidade inicial da bola? Para cima.

75. O cabo que sustenta o elevador de obra vazio arrebenta quando o elevador está em repouso no alto de um edifício de 120 m de altura.

a) Com que velocidade o elevador chega ao solo?

푣 = 푣 + 2푎(푦 − 푦 ) → 푣 = 2푎∆푦 = 2(9,8 푚/푠 )(120 푚) = 48,5 푚/푠

b) De quanto tempo é a queda?

푦 − 푦 = 푣 푡 + 푎푡 → 푡 = ( ) = ( ), /

= 4,95 푠

c) Qual a velocidade do elevador ao passar pelo ponto médio da queda?

푣 = 푣 + 2푎(푦 − 푦 ) → 푣 = 2푎∆푦 = 2(9,8 푚/푠 )(60 푚) = 34,3 푚/푠

d) Por quanto tempo o elevador estava caindo ao passar pelo ponto médio?

푦 − 푦 = 푣 푡 + 푎푡 → 푡 = ( ) = ( ), /

= 3,50 푠

76. Deixa-se cair dois diamantes da mesma altura, com 1,0 s de intervalo. Quanto tempo após o primeiro diamante começar a cair a distância entre eles é 10 m?

O diamante 1 se desloca em 푦 = − 푔푡 .

O diamante 2 se desloca em 푦 = − 푔(푡 − 1) .

푦 − 푦 = 10 푚.

푦 − 푦 = − 푔(푡 − 1) − − 푔푡 → 푦 − 푦 = − 푔(푡 − 1) + 푔푡

− 푔(푡 − 1) + 푔푡 = 10 푚 → 푡 = 10 푚 + 푔(푡 − 1)

푡 = ( )

→ 푡 = + 푡 − 2푡 + 1 → 푡 = + 푡 − 2푡 + 1

푡 − 푡 + 2푡 = + 1 → 2푡 = + 1 → 푡 =

푡 = + 0,5 = 1,5 푠

77. Se um arremessador de beisebol lança uma bola rápida com uma velocidade horizontal de 160 km/h, quanto tempo a bola leva para atingir a base principal, situada a 18,4 m de distância?

160 푘푚/ℎ

= 44,44 푚/푠

푡 = ∆ → 푡 = , , /

= 0,41 푠

78. Um próton está se movendo ao longo do eixo x de acordo com a equação 푥 = 50푡 + 10푡 , onde x está em metros e t em segundos.

a) Calcule a velocidade média do próton durante os primeiros 3,0 s do movimento. Primeiro encontramos a posição do próton em t = 0 e em t = 3,0 s. 푥(0) = 50(0) + 10(0) = 0 푥(3) = 50(3) + 10(3) = 240 푚 ∆푥 = 240 푚

푣 = ∆ = ,

= 80,0 푚/푠

b) Calcule a velocidade instantânea do próton em t = 3,0 s do movimento. 푥 = 50푡 + 10푡

푣 = (50푡 + 10푡 ) = 50 + 20 푡

푣 (3) = 50 + 20(3) = 110 푚/푠 c) a aceleração instantânea do próton em t = 3,0 s.

푎 = (50 + 20푡) = 20

푎 (3) = 20 푚/푠 A aceleração é constante.

d, e, f) Trace o gráfico de x(t) e mostre como a resposta do item a), b) e c) podem ser obtidas através do gráfico.

Podemos visualizar facilmente a posição, a velocidade e a aceleração em função do tempo, observando o gráfico.

78. Uma motocicleta está se movendo a 30 m/s quando o motociclista aciona os freios, imprimindo à motocicleta uma desaceleração constante. Durante o intervalo de 3,0 s imediatamente após o início da frenagem a velocidade diminui para 15 m/s. Que distância percorre a motocicleta desde o início da frenagem até parar?

푣 = 푣 + 푎푡 → 푎 =(푣 − 푣 )

푡 =(15 푚/푠) – (30 푚/푠)

3,0 푠 = −5,0 푚/푠

Agora que sabemos o valor da aceleração:

푣 = 푣 + 2푎(푥 − 푥 ) → ∆푥 = − = − ( / )( , / )

= 90 푚

80. Um piloto voa horizontalmente a 1300 km/h a uma altura h = 35 m acima do solo inicialmente plano. No instante t = 0, o piloto começa a sobrevoar um terreno inclinado para cima de um ângulo 휃 = 43º. Se o piloto não mudar a trajetória do avião, em que instante t o avião se chocará com o solo?

∆푥 = = , °

= 465,49 푚

푡 = ∆ = , , /

= 1,29 푠

81. Um jogador de shuffleboard usa um taco para imprimir a um disco uma aceleração constante, a partir do repouso, que faz o disco atingir uma velocidade de 6,0 m/s após percorrer uma distância de 1,8 m. Em seguida, o disco perde contato com o taco e perde velocidade com uma desaceleração constante de 2,5 m/s² até parar.

a) Quanto tempo o disco passa em movimento? O problema consiste em duas partes: A primeira: 푣 = 0 푣 = 6,0 푚/푠 푥 = 0 푥 = 1,8 푚

푥 − 푥 = (푣 + 푣)푡 푡 = (∆ ) = ( , ), /

= 0,6 푠

A segunda: 푣 = 6,0 푚 푣 = 0 푎 = −2,5 푚/푠

푣 = 푣 + 푎푡 푡 = = ( , / ), /

= 2,4 푠

O tempo total é 푡 + 푡 = 0,6 푠 + 2,4 푠 = 3,0 푠 b) Qual é a distância percorrida pelo disco?

푥 − 푥 = 푣 푡 + 푎푡 → ∆푥 = (6,0 푚/푠)(2,4 푠) + (−2,5 푚/푠 )(2,4 푠)

∆푥 = 7,2 푚 A distância total é ∆푥 + ∆푥 = 1,8 푚 + 7,2 푚 = 9,0 푚

82. A aceleração da cabeça de uma cobra cascavel ao dar um bote pode chegar a 50 m/s². Se um carro tivesse a mesma aceleração, quanto tempo levaria para atingir a velocidade de 100 km/h a partir do repouso?

푣 = 27,78 푚/푠 푣 = 0 푎 = 50 푚/푠

푣 = 푣 + 푎푡 → 푡 = = , / /

= 0,556 푠

83. Um jato comercial deve atingir uma velocidade de 360 km/h para decolar. Qual é a menor aceleração constante necessária para que o avião decole de uma pista com 1,80 km de extensão?

푣 = 푣 + 2푎(푥 − 푥 ) → 푎 = ( )(∆ )

= ( / )( )

= 2,78 푚/푠

84. Um motorista aumenta a velocidade do carro de 25 km/h para 55 km/h em 0,50 min, mantendo uma aceleração constante. Um ciclista aumenta a velocidade da bicicleta de 0 para 30 km/h em 0,50 min, mantendo uma aceleração constante. Quais são os módulos da

a) aceleração do carro? ∆푣 = 55 푘푚/ℎ − 25 푘푚/ℎ = 30 푘푚/ℎ = 8,33 푚/푠

0,50 푚푖푛

= 30 푠

푎 = ∆∆

= , /

= 0,28 푚/푠

b) aceleração da bicicleta? ∆푣 = 30 푘푚/ℎ − 0 = 30 푘푚/ℎ = 8,33 푚/푠

0,50 푚푖푛

= 30 푠

푎 = ∆∆

= , /

= 0,28 푚/푠

85. O tempo necessário para frear um carro pode ser dividido em duas partes: o tempo de reação do motorista começar a frear e o tempo necessário para que a velocidade chegue a zero depois que o freio é acionado. A distância total percorrida por um carro é de 56,7 m, quando a velocidade inicial é de 80,5 km/h, e de 24,4 m quando a velocidade inicial é de 48,3 km/h. Supondo que a aceleração permanece constante depois que o freio é acionado, determine;

Chamaremos o tempo de reação como 푡 e o tempo de frenagem como 푡 . O movimento do carro durante o 푡 é a velocidade constante e vamos chamá-la de 푣 .

푥 = 푣 푡 + 푣 푡 + 푎푡

Depois que os freios são aplicados a velocidade do carro é dada por 푣 = 푣 + 푎푡

Usando esta equação com v = 0, eliminamos 푡 a partir da primeira equação e obtemos

푥 = 푣 푡 − + → 푥 = 푣 푡 −

E usamos esta equação para cada uma das velocidades iniciais.

푥 = 푣 푡 − e

푥 = 푣 푡 −

Resolvendo estas equações simultaneamente, para 푡 e para a, temos

푡( )

e

푎 = −

a) o tempo de reação do motorista? 80,5 km/h = 22,36 m/s 48,3 km/h = 13,42 m/s 푥 = 56,7 푚 푣 = 22,36 푚/푠 푥 = 24,4 푚 푣 = 13,42 푚/푠

푡( )

= ( , / ) ( , ) ( , / ) ( , )( , / ( , / )( , / , / )

= 0,74 푠

b) o módulo da aceleração?

푎 = − = − ( , / )( , / ) ( , / )( , / )( , / )( , ) ( , / )( , )

= −6,2 푚/푠

|푎| = 6,2 푚/푠

85. Um trem vermelho a 72 km/h e um trem verde a 144 km/h estão na mesma linha, retilínea e plana, movendo-se um em direção ao outro. Quando a distância entre eles é de 950 m, os dois maquinistas percebem o perigo e acionam os freios, fazendo com que os dois trens sofram uma desaceleração de 1,0 m/s². Os trens conseguem frear a tempo de evitar uma colisão? Caso a resposta seja negativa, determine as velocidades dos trens no momento da colisão; caso seja positiva, determine a distância final entre os trens.

Como a desaceleração é a mesma para os dois trens, supomos que o de menor velocidade pare antes, caso não colida. Então

푣 = 푣 + 2푎(푥 − 푥 ) → ∆푥 = = ( / )( / )

= / /

= 200푚

Fazemos o mesmo para o outro trem

푣 = 푣 + 2푎(푥 − 푥 ) → ∆푥 = = ( / )( / )

= / /

= 800푚

Não foi possível evitar a colisão, pois 800 m + 200 m = 1000 m, 50 m a mais do que o espaço que os trens dispunham.

푣 = 푣 + 2푎(푥 − 푥 )

푣 = 푣 + 2푎∆푥 = (−40푚/푠) + 2(1,0푚/푠 )(200푚− 950푚) = 10 푚/푠

O trem vermelho já estava parado quando o trem verde colidiu a 10 m/s.

86. No instante t = 0, um alpinista deixa cair um grampo, sem velocidade inicial, do alto de um paredão. Após um curto intervalo de tempo seu companheiro de escalada, que está 10 m acima, lança outro grampo para baixo. A figura mostra as posição y dos grampos durante a queda em função do tempo t. Com que velocidade o segundo grampo foi lançado?

O grampo 1 tem 푦 = 0 푒 푡 = 3,0 푠

푦 − 푦 = 푣 푡 + 푎푡 → 푦 = ( , / )( , ) = 44,1 푚

Pelo gráfico, aparentemente o grampo dois foi lançado 1,0 s depois, 10 m acima, então . 푦 = 푦 + 10 푚 = 44,1 푚 + 10,0 푚 = 54,1 푚 푡 = 3,0 푠 − 1,0 푠 = 2,0 푠

푦 − 푦 = 푣 푡 + 푎푡 54,1 푚 = 푣 (2,0 푠) + ( , / )( , )

푣 (2,0 푠) = 54,1 푚− ( , / )( , ) → 푣 = , ,

= 17,3 푚/푠

O segundo grampo foi lançado com uma velocidade de 17,3 m/s.

88. Uma pedra é lançada verticalmente para cima a partir da borda do terraço de um edifício. A pedra atinge a altura máxima 1,60 s após ter sido lançada. Em seguida, após quase se chocar com o edifício, a pedra chega ao solo 6,00 s após ter sido lançada. Em unidade do SI:

a) com que velocidade a pedra foi lançada? Sabemos que na altura máxima a velocidade é zero. 푣 = 푣 + 푎푡 → 푣 = −푎푡 → 푣 = −(−9,8 푚/푠 )(1,6 푠) = 15,7 푚/푠

b) qual a altura máxima atingida pela pedra em relação ao terraço?

푣 = 푣 + 2푎(푦 − 푦 ) → 푦 − 푦 = = ( , / )( , / )

= 12,5 푚

c) Qual a altura do edifício? O ttotal desde o lançamento é = 6,00 s. A pedra subiu 1,6 s. Então 6,0 s – 1,6 s = 4,40s.

푦 − 푦 = 푣 푡 + 푎푡 → ∆푦 = 0 + ( , / )( , ) = 94,86 푚− 12,5 푚 = 82,36푚

89. A aceleração de uma partícula ao longo de um eixo x é 푎 = 5,0 푡, com t em segundos e a em metros por segundo ao quadrado. Em t = 2,0 s, a velocidade da partícula é +17 m/s. Qual é a velocidade da partícula em t = 4,0 s?

푎 = → 푣 = 푎푑푡

푣 = ∫ 푎푑푡 = ∫ (5,0푡)푑푡 + 퐶 = 2,5푡 + 퐶

푣 = 2,5푡 + 퐶 → 2,5(2) + 퐶 = 17 → 퐶 = 17 − 10 = 7 Em t = 4,0 s: 푣 = 2,5푡 + 7 → 푣(4) = 2,5(4) + 7 = 47 푚/푠

90. Um trem partiu do repouso com aceleração constante. Em um certo instante estava se movendo a 30 m/s; 160 m adiante, estava se movendo a 50 m/s. Calcule:

a) a aceleração para percorrer os 160 m mencionados.

푣 = 푣 + 2푎(푥 − 푥 ) → 푎 = ( )

푎 = ( )

= ( / ) ( / )( )

= /

= 5,0 푚/푠

b) o tempo necessário para percorrer os 160 m mencionados.

푥 − 푥 = (푣 + 푣)푡 → 푡 = ( )( )

푡 − 푡 = ( )( )

= ( ) / /

= /

= 4,0 푠

c) o tempo necessário para atingir a velocidade de 30 m/s. como o trem parte do repouso a v0 = 0.

푣 = 푣 + 푎푡 푡 = = /, /

= 6,0 푠

d) a distância percorrida desde o repouso até o instante em que o trem atingiu a velocidade de 30 m/s.

Como o trem partiu do repouso, x0 = 0.

푥 − 푥 = (푣 + 푣)푡 → 푥 = (푣 + 푣)푡

푥 = (푣 + 푣)푡 = (30 푚/푠)(6,0 푠) = 90 푚

e) Trace os gráficos de x(t) e v(t), de t = 0 até o instante em que o trem atingiu a velocidade de 50 m/s.

91. Um carro de corrida é capaz de acelerar de 0 a 60 km/h em 5,4 s. a) Qual é a aceleração média, em m/s², durante este intervalo?

푎 = = /

,

= , /,

= 3,09 푚/푠

b) Qual é a distância percorrida pelo carro em 5,4 s, supondo que a aceleração seja constante?

푥 − 푥 = (푣 + 푣)푡 푥 = ( , / )( , ) = 45,0 푚

c) Quanto tempo o carro leva para percorrer uma distância de 0,250 km, a partir do repouso, mantendo uma aceleração constante igual ao valor do item a)?

0,250 km = 250 m 푥 = 0 푣 = 0

푥 − 푥 = 푣 푡 + 푎푡 → 푡 = = ( ), /

= 12,7 푠

92. Trenós a jato, montados em trilhos retilíneos e planos, são usados para investigar os efeitos de grandes acelerações sobre seres humanos. Um destes trenós pode atingir uma velocidade de 1600

km/h em 1,8 s a partir do repouso. Determine. a) a aceleração (supostamente constante) em unidades de g. 푣 = 1600 푘푚/ℎ = 444,44 푚/푠 푣 = 0 푡 = 1,8 푠

푣 = 푣 + 푎푡 푎 = = , /,

= , /, /

= 25,2 푔

a) a distância percorrida.

푥 − 푥 = (푣 + 푣)푡 → 푥 = ( , / )( , ) = 400 푚

93. A figura mostra um dispositivo simples que pode ser usado para medir o seu tempo de reação: uma tira de papelão marcada com uma escala de dois pontos. Um amigo segura a tira na vertical, com o polegar e o indicador no ponto da direita da figura. Você posiciona o polegar e o indicador no outro ponto (a esquerda da figura), sem encostar na tira. Seu amigo solta a tira e você tenta segurá-la assim que percebe que ela começa a cair. A marca na posição em que você segura a tira corresponde ao seu tempo de reação.

a) A que distância do ponto inferior você deve colocar a marca de 50,0 ms?

Chamaremos a marca de 50,0 ms de D1.

푥 − 푥 = 푣 푡 + 푎푡 → 퐷 = ( , / )( , × ) = 0,0123 푚 = 1,23 푐푚

b) A que distância do ponto inferior você deve colocar a marca de 100,0 ms? Chamaremos a marca de 100,0 ms de D2.

푥 − 푥 = 푣 푡 + 푎푡 → 퐷 = ( , / )( , × ) = 0,049 푚 = 4,9 푐푚 = 4퐷

c) A que distância do ponto inferior você deve colocar a marca de 150,0 ms? Chamaremos a marca de 150,0 ms de D3.

푥 − 푥 = 푣 푡 + 푎푡 → 퐷 = ( , / )( , × ) = 0,11 푚 = 11 푐푚 = 9퐷

d) A que distância do ponto inferior você deve colocar a marca de 200,0 ms? Chamaremos a marca de 200,0 ms de D3.

푥 − 푥 = 푣 푡 + 푎푡 → 퐷 = ( , / )( , × ) = 0,196 푚 = 19,6 푐푚 = 16퐷

e) A que distância do ponto inferior você deve colocar a marca de 250,0 ms? Chamaremos a marca de 250,0 ms de D3.

푥 − 푥 = 푣 푡 + 푎푡 → 퐷 = ( , / )( , × ) = 0,306 푚 = 30,6 푐푚 = 25퐷

Enquanto o tempo aumenta numa PA a distância aumenta numa PG.

94. A figura mostra a aceleração a em função do tempo t para uma partícula que se move ao longo de um eixo x. A escala vertical do gráfico é definida por as = 12,0 m/s². No instante t = -2,0 s a velocidade da partícula é 7,0 m/s. Qual é a velocidade da partícula no instante t = 6,0 s.

A velocidade pode ser encontrada calculando-se a área sob a curva da aceleração em função do tempo.

á푟푒푎 = (8)(14) = 56 푚/푠

푣 + 56 푚/푠 = 7 푚/푠 + 56 푚/푠 = 63 푚/푠

95. Um vagonete de minério é puxado para o alto de uma encosta a 20 km/h e então puxado ladeira abaixo a 35 km/h até a altura inicial. (O tempo gasto para inverter o movimento no alto da encosta é tão pequeno que pode ser desprezado.) Qual a velocidade média do carrinho no percurso de ida e volta, ou seja, desde a altura inicial até voltar à mesma altura.

= =

/ /=

/=

/= 2 / = 25,45 푘푚/ℎ

96. A duração de um piscar de olho é da ordem de 100 ms. Que distância um avião de combate MiG-25 “Foxbat” percorre durante um piscar de olhos do piloto se a velocidade média do avião é 3400 km/h.

3400 푘푚/ℎ

= 944,44 푚/푠

100 푚푠

= 0,10 푠

푣 = ∆∆

→ ∆푥 = 푣 푡 = (944,44 푚/푠)(0,10 푠) = 94,4 푚

97. Quando a velocidade máxima permitida na New York Thruway foi aumentada de 55 milhas por hora para 65 milhas por hora, quanto tempo foi economizado por um motorista que dirigiu 700 km entre a entrada de búfalo e a saída da cidade de Nova York na velocidade máxima permitida?

55 푚푖푙ℎ푎푠/ℎ표푟푎 ,

= 24,44 푚/푠

65 푚푖푙ℎ푎푠/ℎ표푟푎 ,

= 28,89 푚/푠

700 km = 7 x 105 m

푣 − 푣 = ∆∆

− ∆∆

→ ∆푡 = ∆ − ∆

∆푡 = , × , /

− , × , /

= 2,4 × 10 푠 − 2,9 × 10 푠 = − 4412 푠 = − 1 ℎ 13 min 32 푠

O sinal negativo indica que ele está gastando menos tempo.

98. Um motociclista que está se movendo ao longo de um eixo x na direção leste tem uma aceleração dada por a = 6,1 – 1,2t m/s² para 0 ≤ t ≤ 6,0 s. Em t = 0, a velocidade e a posição do motociclista são 2,7 m/s e 7,3 m.

a) Qual a velocidade máxima atingida pelo motociclista. A equação da velocidade é obtida pela integração da equação da aceleração

푣 − 푣 = ∫ 푎푑푡′ 푣 = 푣 + ∫ (6,1− 1,2푡′)푑푡′ = 6,1푡 − 0,6푡

푣 = 푣 + 6,1푡 − 0,6푡 → 푣 = 2,7 + 6,1푡 − 0,6푡 A velocidade é máxima quando a aceleração chega a zero, portanto:

푎 = 6,1 − 1,2푡 = 0 → 푡 = ,,

= 5,08 푠

푣 = 2,7 + 6,1푡 − 0,6푡 푣(5,08) = 2,7 + (6,1)(5,08)− (0,6)(5,08) = 18,2 푚 b) Qual é a distância percorrida pelo motociclista entre t = 0 e t = 6,0 s?

Para encontrar a equação da posição, integramos a equação da velocidade.

푥 − 푥 = ∫ 푣푑푡′ = ∫ (푣 + 6,1 − 1,2푡′)푑푡′ = 2,7푡 + 3,05푡 − 0,2푡

푥 = 2,7푡 + 3,05푡 − 0,2푡 → 푥(6) = 2,7(6) + 3,05(6) − 0,2(6) = 82,8 푚

99. Um certo malabarista normalmente arremessa bolas verticalmente até uma altura H. A que altura as bolas devem ser arremessadas para passarem o dobro de tempo no ar?

푡 = 푡푒푚푝표 푑푒 푠푢푏푖푑푎 푣 = 0

푥 − 푥 = 푣 푡 + 푎푡 퐻 = 푔푡 푡 =

O tempo total no ar é 2ts. (subida e descida)

푡 = 2 퐻 = 푔푡

Considerando dois lances, um para altura H1 tempo total t1 e outro altura H2 para tempo total t2, e montamos uma relação:

= =

a partir do que podemos concluir que se t2 = 2t1 (como é exigido pelo problema), então H2 = 2²H1 = 4H1.

100. Um carro que se move com aceleração constante percorreu em 6,00 s a distância de 60,0 m que separa dois pontos. Sua velocidade ao passar pelo segundo ponto era de 15,0 m/s.

1º ponto, x = 0 2º ponto, x = 60,0 m a) Qual era a velocidade no primeiro ponto?

푥 − 푥 = (푣 + 푣)푡 → 푥 = (푣 + 푣)푡 → 푥 = (15,0 푚/푠 + 푣 )(6,00 푠)

60,0 푚 = (15,0 푚/푠 + 푣 )(3,00 푠) → 20,0 푚 = 15,0 푚 + 푣 → 푣 = 5,00 푚/푠 b) Qual era o módulo da aceleração?

푣 = 푣 + 푎푡 → 푎 = = , / , /,

= 1,67 푚/푠

c) A distância do primeiro ponto ao ponto onde o carro se encontrava em repouso? Considerando-se o ponto 1 na origem do sistema de coordenadas, presume-se que a

distância ao ponto anterior a ele seja negativo e a velocidade = 0.

푣 = 푣 + 2푎(푥 − 푥 ) → 푥 − 푥 = − = − ( , / )( , / )

= −7,49 푚

d) Trace os gráficos de x(t) e v(t) para o carro, desde o repouso (t = 0) até o segundo ponto. Precisamos saber o tempo, anteror a zero, do carro em repouso.

푣 = 푣 + 푎푡 → 푡 = = , /, /

= − 2,99 푠

101. Deixa-se cair uma pedra de um penhasco com 100 m de altura. Quanto tempo a pedra leva para cair:

a) Nos primeiros 50 m?

푦 − 푦 = 푣 푡 + 푎푡 푐표푚 푣 = 0 푡 = = ( ), /

= 3,19 푠

b) Nos 50 m seguintes? Simplesmente calculamos o total do tempo para 100 m e subtraímos os primeiros 50 m.

푦 − 푦 = 푣 푡 + 푎푡 푐표푚 푣 = 0 푡 = = ( ), /

= 4,52 푠

4,52 푠 − 3,19 푠 = 1,33 푠

102. A distância entre duas estações de metrô é de 1110 m. Se um trem acelera a +1,2 m/s² a partir do repouso durante a primeira metade da distância e depois desacelera a -1,2 m/s² na segunda metade, quais são:

a) o tempo de percurso entre as estações? O tempo gasto na aceleração é o mesmo gasto na desaceleração. Metade do percurso é

550 m. Chamaremos o tempo, a velocidade e a aceleração da primeira metade de t1, v1 e a1, respectivamente.

푥 − 푥 = 푣 푡 + 푎푡 푐표푚 푥 = 0 푒 푣 = 0

푡 = = ( ), /

= 30,3 푠

O tempo total de uma estação à outra é 2(30,3 s) = 60,6 s. b) a velocidade máxima do trem?

Ela ocorre no final da 1ª parte do percurso. 푣 = 푣 + 푎푡 푣 = 푣 + 푎 푡 = (1,2 푚/푠)(30,0 푠) = 36,4푚/푠

c) trace os gráficos de x(t), v(t) e a(t) para o percurso entre as duas estações?

103. Um certo velocista é capaz de atingir uma velocidade máxima de 11/0 m/s. Se o atleta parte do repouso com aceleração constante, atinge a velocidade máxima em 12,0 m. Em seguida mantém esta velocidade máxima durante o resto de uma corrida de 100 m.

a) Qual é o tempo do atleta em uma prova de 100 m rasos? Este problema é resolvido em duas partes. A primeira, com aceleração constante e v0 = 0

e v = 11,0 m/s, de 0 a 12,0 m. A segunda, dos 12,0 m aos 100 m, com velocidade constante de 11,0 m/s e aceleração 0.

푥 − 푥 = (푣 + 푣)푡 푡 = ( )( )

= ( , ), /

= 2,18 푠

푣 = ∆ 푡 = ∆ = /

= 8,00 푠

푡 + 푡 = 2,18 푠 + 8,00 푠 = 10,18 푠 b) Para melhorar o tempo o corredor tenta diminuir a distância necessária para atingir a

velocidade máxima. Qual deve ser essa distância para que ele consiga reduzir o tempo para 10 s? Aqui, 푡 + 푡 = 10,0 s, e estamos querendo localizar o ponto onde o corredor atinge a

velocidade máxima.

푥 − 푥 = (푣 + 푣)푡 푥 = (0 + 11,0 푚/푠)푡

푣 = ∆ 100 푚− 푥 = (11,0 푚/푠)(10,0 푠 − 푡 )

Igualando as duas equações e isolando t1:

(0 + 11,0 푚/푠)푡 = − 11,0 (10,0 푠 − 푡 ) − 100푚

푡 = 1,8 푠 104. Uma partícula parte da origem em t = 0 e se move no sentido positivo do eixo x. O gráfico da velocidade da partícula em função do tempo é mostrado na figura. A escala vertical do gráfico é definida por vs = 4,0 m/s.

a) Qual é a coordenada da partícula em t = 5,0 s?

Calculamos a posição da partícula por meio da área sob a curva do gráfico. 퐴 = 퐴 + 퐴 + 퐴

퐴 = ( ) + 2(4) + ( ) = 15 푚

∆푥 = 15 푚 b) Qual é a velocidade da partícula em t = 5,0 s?

Diretamente no gráfico: v = 2,0 m/s. c) Qual é a aceleração da partícula em t = 5,0 s?

No intervalo de 4,0 s ≤ t ≤ 6,0 s, a velocidade decresce uniformemente, a uma taxa de . Logo, 푎 = − 2,0 푚/푠².

d) Qual é a velocidade média da partícula entre t = 1,0 s e t = 5,0 s?

푣 = ∆∆

= ( ) ( ) =

= 3,5 푚/푠

d) Qual é a aceleração média da partícula entre t = 1,0 s e t = 5,0 s?

푣 = ∆∆

= ( ) ( ) = / /

= 0

105. Uma pedra é lançada verticalmente para cima. Durante a subida ela passa por um ponto A com velocidade v e por um ponto B, 3,00 m acima de A, com velocidade 푣. Calcule:

a) Qual é a velocidade máxima alcançada pela pedra acima do ponto B? 푦 = 푦 + 3

푣 = 푣 − 2푔푦 → 푣 + 2푔(푦 + 3) = 푣

푣 = 푣 + 2푔푦 → 푣 + 2푔푦 = 푣 Igualando as duas equações obtemos:

푣 + 2푔푦 + 6푔 = 푣 + 2푔푦 푡푒푚표푠: 6푔 = 푣 → 3푣 = 4(6푔)

푣 = ( ) = 8,85 푚/푠

b) Qual é a altura máxima alcançada pela pedra acima do ponto B?

푣 = 푣 + 2푔(푦 − 푦 ) → 푦 − 푦 = = ( , )( , / )

= 4,00 푚

4,00 m acima do ponto A, indica que a pedra alcança 1,00 m acima do ponto B.

106. Deixa-se cair uma pedra, sem velocidade inicial, do alto de um edifício de 60 m. A que distância do solo está a pedra 1,2 s antes de chegar ao solo?

Primeiro calculamos o tempo total para chegar ao solo.

푦 − 푦 = 푣 푡 − 푔푡 → 푡 =∆

= = = ( ), /

= 3,5 푠

Agora, desse valor, subtraímos 1,2 s, e encontramos 2,3 s, e usamos h como

푦 − ℎ = − 푔푡 푦 = − (9,8 푚/푠)(2,3 푠) + 60 푚 = 34,1 푚

107. Um trenó a vela está se movendo para leste com velocidade constante quando uma rajada de vento produz uma aceleração constante para leste durante 3,0 s. O gráfico de x(t) aparece na figura, onde t = 0 é tomado como sendo o instante em que o vento começou a soprar, e o sentido positivo do eixo x aponta para leste.

a) Qual é a aceleração do trenó durante o intervalo de 3,0 s?

As v0, v e a não estão explícitos no gráfico. Como a aceleração é constante, escolhemos dois pontos quaiquer da curva no gráfico.

푥 − 푥 = 푣 푡 + 푎푡

16 푚− 0 = 푣 (2,0 푠) + 푎(2,0 푠)

27 푚− 0 = 푣 (3,0 푠) + 푎(3,0 푠)

2푣 + 2푎 = 16 . (−3) 3푣 + 4,5푎 = 27 . (2) →

→ ( )

푣 = 6

Resolvendo o sistema encontramos a = 2,0 m/s² e v0 = 6,0 m b) Qual é a velocidade do trenó no final do intervalo de 3,0 s?

푥 − 푥 = 푣푡 − 푎푡 27 푚− 0 = 푣(3,0 푠)− (2,0 푚/푠 )(3,0 푠) = 12 푚/푠

c) Se a aceleração permanece constante por mais 3,0 s, qual é a distância percorrida pelo trenó neste segundo intervalo de 3,0 s?

3,0 푠 ≤ 푡 ≤ 6,0 푠

푦 − 푦 = 푣 푡 + 푎푡 → ∆푦 = (12,0 푚/푠)(3,0 푠) + (2,0 푚/푠 )(3,0푠) = 45 푚

108. Uma bola é lançada verticalmente para baixo do alto de um edifício com 36,6 m de altura. A bola passa pela extremidade superior de uma janela que está 12,2 m acima do solo 2,00 s após o lançamento. Qual é a velocidade da bola ao passar pela extremidade inferior da janela?

Montamos nosso referencial de modo que 푦 = 36,6 푚 e 푦 = 12,2 푚:

푦 − 푦 = 푣 푡 + 푎푡 12,2 푚− 36,6 푚 = 푣(2,00푠) + (9,8 푚/푠 )(2,00) =

푣 = ( , ) ( , / )( , ),

= −22,0 푚/s

|푣| = 22,0 푚/푠

109. A velocidade de uma bala de fuzil é de 640 m/s quando sai do cano da arma, que tem 1,20 m de comprimento. Supondo que a aceleração seja constante, determine o tempo que a bala permanece no cano da arma após ser disparada.

Assumimos que 푣 = 0; 푣 = 640 푚/푠; 푒 ∆푥 = 1,2 푚

푥 − 푥 = (푣 + 푣)푡

1,2 푚 = (0 + 640 푚/푠)푡 → 푡 = ( , ) /

= 3,75 × 10 푠 표푢 3,8 푚푠

110. Um pára-quedista salta de um avião e percorre 50 m em queda livre. Em seguida abre o pára-quedas e sofre uma desaceleração constante de 2,0 m/s², chegando ao solo com uma velocidade de 3,0 m/s.

a) Quanto tempo o pára-quedista passa no ar? Como v0 = 0 e ∆y é negativo (para baixo).

푦 − 푦 = 푣 푡 − 푎푡 → −∆푦 = − 푔푡 → 푡 = ∆ = ( ), /

3,19 푠

A velocidade do pára-quedista quando abre o pára-quedas é:

푣 = 푣 + 2푎(푥 − 푥 ) 푣 = 2푔ℎ = 2(9,8 푚/푠 )(50 푚) = 31 푚/푠

Chamaremos a velocidade de chegada ao solo de v2. O tempo decorrido desde a abertura do pára-quedas até a chegada ao solo é:

푣 = 푣 + 푎푡 푡 = 푡 = ( / ) – ( , / ), /

= 14 푠

Então, como o pára-quedista passou 3,19 s até o pára-quedas ser acionado mais 14 s após o seu acionamento, o tempo total que o pára-quedista ficou no ar é:

푡 + 푡 = 3,19 푠 + 14 푠 = 17,19 푠 b) Qual era a altitude do avião no momento do salto? 푦 − 푦 = ℎ

Com o pára-quedas aberto o pára-quedista caiu:

푣 = 푣 + 2푎(푦 − 푦 ) ℎ = = ( / ) ( , / )

( , / )= 238 푚

Considerando que o pára-quedista caiu 50 m antes do pára-quedas abrir a altitude do avião era. No momento do salto:

238 m = 50 m = 288 m

111. O Laboratório de Pesquisa de Gravidade Nula, no centro de pesquisas Glenn, da NASA, dispõem de uma torre de queda livre com 145 m de altura. Trata-se de uma torre vertical evacuada na qual, entre outras possibilidades, pode-se deixar cair uma esfera com 1 m de diâmetro contendo um conjunto de instrumentos.

a) Durante quanto tempo a esfera permanece em queda livre? Assumimos a v0 = 0; y = 0 e y0 = 145 m

푦 − 푦 = 푣 푡 + 푎푡 푡 = ∆ = ( ), /

= 5,44 푠

b) Qual é a velocidade da esfera imediatamente antes de atingir um dispositivo de captura na base da torre? a = -g = -9,8 m/s².

푣 = 푣 + 2푔(푦 − 푦 ) 푣 = 푣 + 2푔(푦 − 푦 ) =

2(푔)(∆푦) = − 2(9,8 푚/푠 )(145 푚) = −53,31 푚/푠

c) Ao ser capturada, a esfera sofre uma desaceleração média de 25 g quando sua velocidade é reduzida a zero Qual a distância percorrida pela esfera durante a desaceleração?

25 g = 245 m/s²; v0 = -53,31 m/s e v = 0

푣 = 푣 + 2푎(푦 − 푦 ) ∆푦 = = ( , / )( / )

= , / /

= −5,80 푚

Os valores negativos indicam que o sentido do deslocamento é no sentido negativo do eixo y.

112. Uma bola é lançada verticalmente para baixo de uma altura h com uma velocidade inicial v0. a) Qual é a velocidade da bola quando atinge o solo?

Como a bola é lançada para baixo ela possui uma v0 negativa e y0 = h.

푣 = 푣 + 2푎(푦 − 푦 ) 푣 = (−푣 ) − 2푔(푦 − 푦 ) = 푣 + 2푔ℎ A raiz positiva indica o módulo da velocidade.

b) Quanto tempo a bola leva para chegar ao solo? Usando a fórmula quadrática:

푦 − 푦 = 푣 푡 + 푎푡 푡 = ( ) ∆ =

Onde a raiz é positiva para encontrar t > 0. Com y = 0 e y0 = h.

푡 =

Antes de calcular as respostas dos itens c) e d), verifique se os valores devem ser maiores, menores ou iguais aos valores dos itens a) e b).

c) Qual seria a resposta do item a) se a bola fosse lançada para cima, da mesma altura e com a mesma velocidade inicial?

Se fosse lançada para cima com a mesma velocidade inicial e altura h, em seguida, (na ausência de atrito do ar) voltaria à altura h, com a mesma velocidade para baixo e, por conseguinte, produziria a mesma velocidade final (antes de atingir o solo) como na parte (a ).

d) Qual seria a resposta do item b) se a bola fosse lançada para cima, da mesma altura e com a mesma velocidade inicial?

Tendo que viajar até o alto e descer novamente até h, antes de começar a descida certamente exige mais tempo do que na parte (b).

푦 − 푦 = 푣 푡 + 푎푡 푡 = ∆ =

Onde a raiz é positiva para encontrar t > 0. Com y = 0 e y0 = h.

푡 =

113. Um carro que é freado quando está se movendo a 200 km/h em uma auto-estrada percorre 170 m antes de parar. Supondo que a desaceleração seja constante, determine o módulo da aceleração:

a) em unidades do SI?

200 푘푚/ℎ

= 55,56 푚/푠

Consideramos que a aceleração é oposta à direção da velocidade inicial e que a v = 0.

푣 = 푣 + 2푎(푥 − 푥 ) 푎 = −∆

= − ( , / )( )

= −9,08 푚/푠

b) em unidades de g?

푎 = , /, /

= 0,926 푔

c) Qual é o tempo Tp que o carro leva para parar depois que os freios são acionados?

푥 − 푥 = (푣 + 푣)푇 푇 = (∆ )

= ( ), /

= 6,12 푠

O tempo de reação Tr é o tempo que o motorista leva para perceber uma emergência e começar a frear. Se Tr = 400 ms:

d) Quanto vale Tp em unidades de Tr?

푇 = ,×

→ 푇 = 15,3푇

e) Do tempo que o carro leva para parar, a maior parte do tempo se deve à reação do motorista ou ao processo de frenagem?

푇 > 푇 logo a maior parte do tempo se deve ao processo de frenagem.

Óculos escuros atrasam os sinais visuais enviados ao córtex visual no cérebro, aumentando o valor do Tr.

f) No caso extremo em que o Tr aumenta de 100 ms, que distância adicional percorre o carro durante esse aumento do tempo de reação?

∆퐷 = 푣 ∆푇 = (55,6푚/푠)(0,100 푠) = 5,56 푚

114. O esporte em que uma bola se move mais depressa é o jai alai, no qual as velocidade medidas chegam a 303 km/h. Se um jogador profissional de jai alai se defronta com uma bola a essa velocidade e pisca involuntariamente, deixa de ver a cena por cerca de 100 ms. Que distância a bola percorre durante esse piscar de olhos?

∆푥 = 푣∆푡 = 303 푘푚/ℎ

100 푚푠 = 8,42 푚