cap5 notas aulas valente

PAVF

c

1999 105

Metodos com indicac~ao a-priori

Classicac~ao dos metodos a-priori

Metodos com informac~oes cardinais

{ Metodos baseados em func~oes utilidades

{ Metodos baseados em limitantes

Metodos com informac~oes cardinais/ordinais

{ Metodos lexicogracos

{ Programac~ao por metas

PAVF

c

1999 106

Classicac~ao dos metodos a-priori

Caractersticas

Informac~oes sobre prefere^ncias s~ao passadas ao analis-

ta antes (a-priori) da soluc~ao de problema

O decisor fornece as informac~oes durante ou apos a

modelagem matematica do problema

O decisor aceita a soluc~ao encontrada pelo analista

Tipos de informac~oes

Cardinal :

As prefere^ncias do decisor s~ao baseadas em informac~oes

numericas:

Trade-o implcito :

O decisor indica nveis (valores) desejaveis para os

objetivos

Trade-o explcito :

O decisor indica relac~oes (trade-os) desejaveis

entre os objetivos

Ordinal e/ou cardinal :

As prefere^ncias do decisor s~ao baseadas em informac~oes

de ordem (prioridade), podendo estarem combinadas

com informac~oes cardinais

PAVF

c

1999 107

Metodos baseados em func~oes utilidades

Estruturac~ao de prefere^ncias

Sejam y

1

; y

2

2 R

m

. Ent~ao y

1

e y

2

s~ao comparaveis

pelo decisor se e somente se apenas uma das sentencas e

verdadeira:

a) y

1

y

2

: o decisor e indiferente entre y

1

e y

2

b) y

1

y

2

: o decisor e prefere y

1

a y

2

c) y

1

y

2

: o decisor e prefere y

2

a y

1

pode-se estruturar prefere^ncias do decisor atraves de

curvas de indifere^nca ou isoprefere^ncia

a soluc~ao do problema pode ser caracterizada como:

determinar y

2 Y tal que

y

y; 8 y 2 Y

PSfrag replacements

Y

0 y

1

y

2

y

1

y

2

y

3

y

y

1

y

2

y

3

y

curvas de indifere^nca

PAVF

c

1999 108


Denic~ao - Func~ao utilidade

Uma func~ao u, que associa um real u(y) a cada y 2 R

m

,

e chamada de func~ao utilidade se

a) y

1

y

2

, u(y

1

) = u(y

2

)

b) y

1

y

2

, u(y

1

) u(y

2

)

as curvas de indifere^nca do decisor podem ser vistas

como curvas de nvel da sua func~ao utilidade

existem tecnicas apropriadas para levantar u a partir

de informac~oes numericas (cardinais)

hipotese simplicadoras facilitam a obtenc~ao de u's

Denic~ao - Independe^ncia prefere^ncial

u e preferencialmente independente se o grau de utilida-

de de um objetivo independe dos valores assumidos pelos

demais

Viabiliza formas especiais para u

{ Aditiva: u(y) =

m

X

i=1

u

i

(y

i

)

{ Linear: u(y) =

m

X

i=1

w

i

y

i

, w

i

0; i = 1; 2; : : : ;m

PAVF

c

1999 109


Crtica a u's lineares

PSfrag replacements

Y

2

Y

1

0 y

1

y

2

y

1

1

y

2

1

y

1

2

y

2

2

Suponha que iguais ponderac~oes (w

1

= w

2

) tenham sido

atribudas aos objetivos

Se o espaco dos objetivos assume a forma Y

1

, o ponto

y

1

= (y

1

1

; y

1

2

) reete o julgamento a-priori do decisor

Se o espaco dos objetivos assume a forma Y

2

, o ponto

y

2

= (y

2

1

; y

2

2

) n~ao reete o julgamento a-priori

Ponderac~oes n~ao reetem importa^ncia no sentido pro-

porcional

PAVF

c

1999 110


Vantagens

Quando e possvel obter u, o problema se reduz a re-

solver

minimizar

x2

u(f(x))

Mesmo quando n~ao e possvel obter u explicitamente,

mas o problema e convexo, obter

x

= arg min

x2

u(f(x))

e equivalente a determinar w

2W tal que

x

= arg min

x2

< w

; f(x) >

Muitos metodos exploram esta propriedade, adaptan-

do interativamente os valores dos w

i

's; no caso da

situac~ao 'Y

2

', um procedimento seria

'aumentar w

2

; diminuir w

1

'

PAVF

c

1999 111


Propriedades globais de u

Algumas propriedades globais s~ao uteis na determinac~ao

de u:

N~ao-decrescimento: para quaiquer y

1

; y

2

tais que y

1

y

2

, obtem-se u(y

1

) u(y

2

);

Diferenciabilidade: u e diferenciavel; se u e n~ao-decrescente

e diferenciavel, ent~ao du=dy 0

Convexidade: u e convexa

Se u e diferenciavel sobre , ent~ao existe

r

x

u(f(x)) =

"

df

dx

#

T

du

df

e a unica quantidade desconhecida e du=df

Se x

0

2 n~ao e a soluc~ao do problema (r

x

u(f(x

0

)) 6=

0) e u e n~ao-decrescente e diferenciavel, ent~ao para pelo

menos um k

@u

@f

0

k

> 0

PAVF

c

1999 112


Plano tangente

O plano tangente a uma curva de indifere^nca num ponto

y = y

0

e

M(y

0

) := fz :

"

du

dy

0

#

T

z = 0g

PSfrag replacements

0 y

1

y

2

y

1

y

2

y

0

1

y

0

2

y

0

y

du

dy

0

u cte

M(y

0

)

Da equac~ao do plano tangente,

"

du

dy

0

#

T

z =

"

du

dy

0

#

T

(y y

0

) =

m

X

i=1

@u

@y

0

i

(y

i

y

0

i

) = 0

Dividindo pela quantidade de refere^ncia @u=@y

0

1

> 0,

0

1

+

0

2

0

2

+ +

0

m

0

m

= 0

0

i

:= y

i

y

0

i

;

0

i

:=

@u=@y

0

i

@u=@y

0

1

PAVF

c

1999 113


Se o decisor e indiferente as variac~oes

0

1

e

0

i

nos ob-

jetivos i e 1, mantidos os demais constantes

0

i

=

0

1

0

i

; i = 2; 3; : : : ;m

0

i

; i = 2; 3; : : : ;m s~ao as taxas marginais de substituic~ao

do decisor no ponto y = y

0

A partir de

0

i

; i = 2; 3; : : : ;m, a direc~ao do gradiente

de u em y = y

0

e aproximada por

du

dy

0

=

@u

@y

0

1

=

2

6

6

6

6

6

6

4

1

0

2

.

.

.

0

m

3

7

7

7

7

7

7

5

Obtenc~ao dos

0

i

's: num ponto y = y

0

, xa-se

0

1

> 0

como refere^ncia; para cada i, o decisor informa

0

i

> 0 tal

que

(y

0

1

; : : : ; y

0

i

; : : : ; y

0

m

) (y

0

1

0

1

; : : : ; y

0

i

+

0

i

; : : : ; y

0

m

)

mantidos os demais objetivos constantes. Calcula-se ent~ao

0

i

=

0

1

=

0

i

; i = 2; 3; : : : ;m

PAVF

c

1999 114


Teoricamente e possvel obter x

e

0 satisfazendo

as KTC do problema de minimizac~ao de u sobre :

"

df

dx

#

T

du

df

+

p

X

i=1

j

g

j

(x

) = 0

g

j

(x

) 0;

j

g

j

(x

) = 0; j = 1; 2; : : : ; p

Alguns metodos (interativos, Cap. 5) seguem esta linha

Teorema

Sejam f

1

; f

2

; : : : ; f

m

func~oes convexas sobre convexo

e u uma func~ao convexa n~ao-decrescente sobre um conjun-

to convexo C Y . Ent~ao u e convexa sobre

Prova: Para quaisquer x

1

; x

2

2 e qualquer 2 [0; 1],

u[f(x

1

+ (1 )x

2

)] u[f(x

1

) + (1 )f(x

2

)]

u[f(x

1

)] + (1 )u[f(x

2

)]

A primeira desigualdade deriva da convexidade das f 's e

do n~ao-decrescimento de u. A segunda, da convexidade de

u sobre C 2

PAVF

c

1999 115


Exemplo: Seja u(f(x)) := max

1im

ff

i

(x)g

PSfrag replacements

x

f

1

f

2

e ()

u

Teorema

Seja u uma func~ao n~ao-decrescente sobre Y . Ent~ao pelo

menos uma soluc~ao de

P

u

: minimizar

x2

u(f(x))

e eciente.

Prova: Suponha x

uma soluc~ao otima do P

u

e x

0

uma

soluc~ao otima do problema auxiliar

minimizar

x2

m

X

i=1

f

i

(x)

s.a f

j

(x) f

j

(x

); j = 1; 2; : : : ;m

PAVF

c

1999 116

Metodos baseados em limitantes

Prova (cont): Ent~ao x

0

2 e () pois, caso contrario, a

otimalidade de x

0

seria falseada. Como f(x

0

) f(x

), a

soluc~ao factvel x

0

tambem resolve P

u

pois

u(f(x

0

)) u(f(x

))

dado que u e n~ao-decrescente 2

Metodos baseados em limitantes

requerem que o decisor, 1) selecione um objetivo de

refere^ncia i, e 2) forneca nveis f

j

's e f

j

's aceitaveis

para os objetivos restantes. Em seguida resolve-se

minimizar

x2

f

i

(x)

s.a f

j

f

j

(x) f

j

; 8 j 6= i

desvantagens: especicar a-priori f

j

's e f

j

's que, 1)

tornem o problema factvel, e 2) tornem uma soluc~ao

do problema satisfatoria para o decisor

normalmente usados em conjunto com outros metodos

multiobjetivos

PAVF

c

1999 117

Metodos lexicogracos

Fomulac~ao classica

Assumem que o decisor possui uma hierarquia para

os objetivos: os objetivos podem ser priorizados numa

lista ordenada, por exemplo, P := ff

1

; f

2

; : : : ; f

m

g

Minimiza-se a primeira func~ao da lista P sujeito a

1

:= :

minimizar

x2

1

f

1

(x)

Seja

2

:= fx : f

1

(x) = min

x2

f

1

(x)g. Para i =

2; 3; : : : ;m resolve-se sequencialmente

minimizar

x2

i

f

i

(x)

Este tipo de minimizac~ao e representada como

minlex

x2

P

onde 'minlex' signica 'minimizac~ao lexicograca' da

lista P

Apenas informac~ao ordinal e utilizada

A soluc~ao nal e muito sensvel a ordenac~ao

PAVF

c

1999 118


Exemplo:

PSfrag replacements

x

f

1

f

2

x

1

x

2

x

3

Na situac~ao da gura, se P := ff

1

; f

2

g, ent~ao

1

=

fx : x

1

x x

2

g,

2

= fx

2

g e x

= x

2

Se P := ff

2

; f

1

g, ent~ao

1

=

2

= fx

3

g e x

= x

3

Variante do metodo lexicograco

A i-esima minimizac~ao na lista P e denida como

minimizar

x2

f

i

(x)

s.a f

j

(x) (1 +

j

)f

j

; j = 1; 2; : : : ; i 1

onde os f

j

's s~ao os valores otimos ate ordem i 1 e os

j

's (

j

0; 8 j) s~ao tolera^ncias em relac~ao aos f

j

's

PAVF

c

1999 119


Exemplo:

PSfrag replacements

x

f

1

f

2

f

1

(1 + )f

1

x

1

x

2

x

3

x

4

Se P := ff

1

; f

2

g, ent~ao a variante do metodo lexico-

graco fornece x

= x

4

, que do ponto de vista de f

2

e melhor que x

2

Observac~oes

A racionalidade do metodo lexicograco baseia-se no

fato de que os individuos tendem a priorizar decis~oes

A soluc~ao pelo metodo lexicograco e sensvel a orde-

nac~ao

A aplicac~ao do metodo quando dois ou mais objetivos

possuem aproximadamente a mesma prioridade pode

levar a soluc~oes insatisfatorias

A variante do metodo lexicograco busca reduzir sen-

sibilidade a ordenac~ao

PAVF

c

1999 120

Programac~ao por metas

Caractersticas

Utilizac~ao coordenada de informac~oes ordinais e car-

dinais (metas)

O decisor fornece metas para os objetivos e prioriza

minimizac~oes de desvios em relac~ao as metas

Soluc~oes ecientes para problemas multiobjetivos li-

neares atraves de metodos do tipo simplex

Formulac~ao classica

minimizar

x;d

+

;d

0

@

m

X

i=1

(d

+

i

+ d

i

)

p

1

A

1=p

; p 1

s.a f

i

(x) d

+

i

+ d

i

= t

i

; i = 1; 2; : : : ;m

d

+

i

0; d

i

0; d

+

i

d

i

= 0; i = 1; 2; : : : ;m

x 2

t

i

: meta (goal, target) para o objetivo i estipulada

pelo decisor

d

+

i

> 0 : indica que o objetivo i cou acima de t

i

na quan-

tidade d

+

i

d

i

> 0 : indica que o objetivo i cou abaixo de t

i

na quan-

tidade d

i

PAVF

c

1999 121


Interpretac~ao

PSfrag replacements

f

i

f

i

f

i

(d

+

i

= d

i

= 0)t

i

d

+

i

d

i

Na formulac~ao classica, minimiza-se alguma (p) dista^ncia

de d

+

+ d

a origem

Assume que os desvios em relac~ao as metas s~ao igual-

mente importantes

Se o decisor for capaz de priorizar desvios, obtem-se a

formulac~ao alternativa

minlex

x;d

+

;d

f

1

(d

+

; d

);

2

(d

+

; d

); : : : ;

k

(d

+

; d

)g

s.a f

i

(x) d

+

i

+ d

i

= t

i

; i = 1; 2; : : : ;m

d

+

i

0; d

i

0; d

+

i

d

i

= 0; i = 1; 2; : : : ;m

x 2

onde

1

;

2

; : : : ;

k

s~ao func~oes dos desvios d

+

; d

PAVF

c

1999 122


Problemas lineares

Assuma que f

1

; f

2

; : : : ; f

m

s~ao func~oes lineares sobre o

poliedro

:= fx 2 R

n

: Ax = b; x 0g

onde A 2 R

pn

e b 2 R

p

s~ao matrizes dadas. Note que

f(x) =

2

6

6

6

6

6

6

4

f

1

(x)

f

2

(x)

.

.

.

f

m

(x)

3

7

7

7

7

7

7

5

= Cx; C 2 R

mn

e cada linha de C representa um objetivo

Assuma que

1

;

2

; : : : ;

m

s~ao func~oes lineares de d

+

; d

.

O modelo linear de programac~ao por metas seria

minlex

x;d

+

;d

f

1

(d

+

; d

);

2

(d

+

; d

); : : : ;

k

(d

+

; d

)g

s.a

n

X

j=1

a

ij

x

j

+

i

+

i

= b

i

; i = 1; 2; : : : ; p

n

X

j=1

c

ij

x

j

d

+

i

+ d

i

= t

i

; i = 1; 2; : : : ;m

+

i

0;

i

0;

+

i

i

= 0; i = 1; 2; : : : ; p

d

+

i

0; d

i

0; d

+

i

d

i

= 0; i = 1; 2; : : : ;m

x 0

PAVF

c

1999 123


Objetivos e restric~oes s~ao tratadas atraves do mesmo

formalismo

A minimizac~ao dos desvios

+

;

e sempre prioritaria

em relac~ao aos demais

Exemplo

Considere o problema

maximizar

x

f(x) = 0:4x

1

+ 0:3x

2

s.a g

1

(x) = x

1

+ x

2

400

g

2

(x) = 2x

1

+ x

2

500

x

1

0; x

2

0

Modelo de programac~ao por metas

minlex f(

+

1

+

+

2

); d

1

g

s.a x

1

+ x

2

+

1

+

1

= 400

2x

1

+ x

2

+

2

+

2

= 500

0:4x

1

+ 0:3x

2

+ d

1

d

+

1

= 240

+

i

0;

i

0;

+

i

i

= 0; i = 1; 2

d

+

1

0; d

1

0; d

+

1

d

1

= 0

x

1

0; x

2

0

PAVF

c

1999 124


PSfrag replacements

0

250

400

400 600

500

800

P

x

1

x

2

+

1

1

+

2

2

d

+

1

d

1

d

1

= 110

A minimizac~ao de

1

:=

+

1

+

+

2

fornece a regi~ao onde

+

1

=

+

2

= 0 e

1

= 0. Em seguida, resolve-se

minimizar d

1

s.a x

1

+ x

2

+

1

+

1

= 400

2x

1

+ x

2

+

2

+

2

= 500

0:4x

1

+ 0:3x

2

+ d

1

d

+

1

= 240

+

i

0;

i

0;

+

i

i

= 0; i = 1; 2

d

+

1

0; d

1

0; d

+

1

d

1

= 0

x

1

0; x

2

0

1

(

+

1

;

+

2

) =

1

PAVF

c

1999 125


Exemplo (cont.)

A soluc~ao e encontrada no ponto P= (100; 300), onde

+

1

=

+

2

= 0 garante

1

=

1

= 0, e

2

= d

1

= 110

Considere o problema alternativo

minlex f(

+

1

+

+

2

); d

2

; d

1

g

s.a x

1

+ x

2

+

1

+

1

= 400

2x

1

+ x

2

+

2

+

2

= 500

0:4x

1

+ 0:3x

2

+ d

1

d

+

1

= 240

x

1

+ d

+

2

d

2

= 300

PSfrag replacements

0

d

2

= 50

250 300 400

400

600

500

800

P

x

1

x

2

+

1

1

+

2

2

d

+

1

d

1

d

+

2

d

2

d

1

= 140

Soluc~ao: x

1

= 250; x

2

= 0;

+

1

=

+

2

= 0; d

1

=

140; d

2

= 50

PAVF

c

1999 126


Propriedades

Factibilidade: restric~oes s~ao tratadas como metas prio-

ritarias, podendo ou n~ao ser atendidas; os modelos de

programac~ao por metas s~ao sempre factveis

Implementabilidade: sempre que um desvio associado

a uma meta prioritaria for positivo, a soluc~ao obtida

n~ao e implementavel

Soluc~oes limitadas: a soluc~ao de um problema de pro-

gramac~ao por metas e sempre limitada

Implementac~ao atraves do metodo Simplex

minimiza-se

1

atraves do Simplex; eventualmente ocor-

rem soluc~oes multiplas

as multiplas soluc~oes de

1

est~ao expressas no tableau

otimo obtido

os custos relativos de

2

s~ao representados na base

otima obtida

minimiza-se

2

de forma a n~ao degradar o valor otimo

de

1

minimiza-se cada func~ao de forma a n~ao degradar os

valores obtidos nos passos anteriores ate que a lista de

desvios se esgote

PAVF

c

1999 127


Seja d := (d

+

; d

); d 2 R

q

e

S :=

2

4

A D

1

C D

2

3

5

; S 2 R

rv

onde D

1

2 R

pq

e D

2

2 R

mq

s~ao matrizes de 0's, 1's e

-1's relativas aos desvios; r := p+m, v := n+ q. O vetor

global de metas e

g :=

2

4

b

t

3

5

; t 2 R

r

Assuma que o modelo linear de programac~ao por metas

possui a seguinte forma cano^nica:

x

1

x

p

x

p+1

x

n

d

1

d

q

1 0 s

1;p+1

s

1;n

s

1;n+1

s

1;v

g

1

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

0 1 s

r;p+1

s

r;n

s

r;n+1

s

r;v

g

r

0 0

h

1;p+1

h

1;n

h

1;n+1

h

1;v

z

1

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

0 0

h

k;p+1

h

k;n

h

k;n+1

h

k;v

z

k

Cada variavel possui associada uma coluna de custos re-

lativos (coluna nula se a variavel e basica)

PAVF

c

1999 128


Relativamente a base correspondente,

s

ij

: representac~ao de s

ij

(S := fs

ij

g)

g

i

: representac~ao de g

i

(goal)

h

ij

: custo relativo de

i

, variavel j

z

i

: valor de

i

O seguinte algoritmo e utilizado para obter o mnimo

lexicograco de f

1

;

2

; : : : ;

k

g:

1: Encontre uma soluc~ao basica factvel inicial; obtenha

os custos relativos de

1

;

2

; : : : ;

k

; faca l = 1

2: Se os custos de

l

forem n~ao-negativos, va para o passo

5. Sen~ao, va para o passo 3

3: Se nas colunas de custos relativos, todos os custos

negativos de

l

forem precedidos por pelo menos um

custo positivo de

i

; i = 1; 2; : : : ; l 1, va para o

passo 5. Caso contrario, va para o passo 4

4: Escolha uma variavel com custo negativo para entrar

na base; faca a atualizac~ao da base; repita o processo

enquanto houver custos negativos n~ao precedidos por

custos positivos; va para o passo 5

5: O valor de

l

n~ao pode continuar a ser reduzido: faca

l = l + 1. Se l > k pare; sen~ao, volte ao passo 2

PAVF

c

1999 129


Exemplo

minlex f(

+

1

+

+

2

); d

2

; d

1

g

s.a x

1

+ x

2

+

1

+

1

= 400

2x

1

+ x

2

+

2

+

2

= 500

0:4x

1

+ 0:3x

2

+ d

1

d

+

1

= 240

x

1

+ d

+

2

d

2

= 300

1

e minimizada na base inicial

x

1

x

2

+

1

+

2

d

+

1

d

+

2

1

2

d

1

d

2

b

1 1 -1 0 0 0 1 0 0 0 400

2 1 0 -1 0 0 0 1 0 0 500

0.4 0.3 0 0 -1 0 0 0 1 0 240

1 0 0 0 0 -1 0 0 0 1 300

0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

representac~ao de

2

;

3

na base otima de

1

x

1

x

2

+

1

+

2

d

+

1

d

+

2

1

2

d

1

d

2

b

1 1 -1 0 0 0 1 0 0 0 400

2 1 0 -1 0 0 0 1 0 0 500

0.4 0.3 0 0 -1 0 0 0 1 0 240

1 0 0 0 0 -1 0 0 0 1 300

0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0

-1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 -300

-0.4 -0.3 0 0 1 0 0 0 0 0 -240

PAVF

c

1999 130


Exemplo (cont.)

Soluc~ao basica inicial, otima para

1

:

1

= 400;

2

= 500; d

1

= 240; d

2

= 300

+

1

=

+

2

= d

+

1

= d

+

2

= 0 (

1

= d

+

1

+ d

+

2

= 0)

x

1

= x

2

= 0

Na base corrente,

2

possui um custo relativo negativo;

se x

1

entrar na base, melhora o valor de

2

; a variavel

2

deve deixar a base

A mudanca de base n~ao altera o valor otimo de

1

x

1

x

2

+

1

+

2

d

+

1

d

+

2

1

2

d

1

d

2

b

0 0.5 -1 0.5 0 0 1 -0.5 0 0 150

1 0.5 0 -0.5 0 0 0 0.5 0 0 250

0 0.1 0 0.2 -1 0 0 -0.2 1 0 140

0 -0.5 0 0.5 0 -1 0 -0.5 0 1 50

0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0

0 0.5 0 -0.5 0 1 0 0.5 0 0 -50

0 -0.1 0 0 1 0 0 0.2 0 0 -140

N~ao e possvel melhorar

2

sem degradar

1

; n~ao e

possvel melhorar

3

sem degradar

2

; a base corrente e

o mnimo lexicograco:

1

= 150;

2

= 0; d

1

= 140; d

2

= 50

+

1

=

+

2

= d

+

1

= d

+

2

= 0

x

1

= 250; x

2

= 0

PAVF

c

1999 131


Exemplo - Zeleny (1982)

minlex fd

1

; (d

+

2

+ d

2

); d

3

g

s.a 4x

1

+ 3:2x

2

d

+

1

+ d

1

= 12

x

1

1:5x

2

d

+

2

+ d

2

= 0

2x

1

+ 4x

2

+ d

3

= 12

3x

1

+ 3x

2

+ d

4

= 12

Tableau inicial

x

1

x

2

d

+

1

d

+

2

d

1

d

2

d

3

d

4

b

4 3.2 -1 0 1 0 0 0 12

1 -1.5 0 -1 0 1 0 0 0

2 4 0 0 0 0 1 0 12

3 3 0 0 0 0 0 1 12

0 0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 1 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1 0 0

Forma cano^nica

x

1

x

2

d

+

1

d

+

2

d

1

d

2

d

3

d

4

b

4 3.2 -1 0 1 0 0 0 12

1 -1.5 0 -1 0 1 0 0 0

2 4 0 0 0 0 1 0 12

3 3 0 0 0 0 0 1 12

-4 -3.2 1 0 0 0 0 0 -12

-1 1.5 0 2 0 0 0 0 0

-2 -4 0 0 0 0 0 0 -12

PAVF

c

1999 132


Exemplo (cont.)

A func~ao

1

n~ao atingiu o valor otimo

Escolhe-se x

1

para entrar na base; d

2

deixa a base; apos

pivoteamento, obtem-se o novo tableau

x

1

x

2

d

+

1

d

+

2

d

1

d

2

d

3

d

4

b

0 9.2 -1 4 1 -4 0 0 12

1 -1.5 0 -1 0 1 0 0 0

0 7 0 2 0 -2 1 0 12

0 7.5 0 3 0 -3 0 1 12

0 -9.2 1 -4 0 4 0 0 -12

0 0 0 1 0 1 0 0 0

0 -7 0 -2 0 2 0 0 -12

1

ainda pode ser melhorada; x

2

entra e d

1

sai da base

x

1

x

2

d

+

1

d

+

2

d

1

d

2

d

3

d

4

b

0 1 -0.11 0.43 0.11 -0.42 0 0 1.3

1 0 -0.16 -0.35 0.16 0.35 0 0 1.9

0 0 0.77 -1 -0.77 1 1 0 2.9

0 0 0.82 0.22 -0.82 0.22 0 1 2.2

0 0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 1 0 1 0 0 0

0 0 -0.77 1 0.77 -1 0 0 -2.9

1

e

2

atingem seus valores otimos;

3

pode ser melho-

rada com d

+

1

na base (sai d

4

)

PAVF

c

1999 133


Exemplo (cont.)

Tableau nal

x

1

x

2

d

+

1

d

+

2

d

1

d

2

d

3

d

4

b

0 1 0 0.4 0 -0.4 0 0.1 1.6

1 0 0 -0.4 0 0.4 0 0.2 2.4

0 0 0 -0.8 0 0.8 1 -0.9 0.8

0 0 1 -0.3 -1 0.3 0 1.2 2.7

0 0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 1 0 1 0 0 0

0 0 0 0.8 0 -0.8 0 0.9 -0.8

N~ao e possvel melhorar

3

sem degradar

2

; a base

corrente e o mnimo lexicograco do problema

x

1

= 2:4; x

2

= 1:6; d

+

1

= 2:7; d

3

= 0:8

d

+

2

= d

1

= d

2

= d

4

= 0

1

= d

1

= 0;

2

= d

+

2

+ d

2

= 0;

2

= d

3

= 0:8

Ecie^ncia

Soluc~oes de problemas de programac~ao por metas n~ao

s~ao necessariamente ecientes

Soluc~oes ecientes s~ao geralmente obtidas quando as

metas n~ao s~ao atingidas

PAVF

c

1999 134


Variante

Um metodo popular baseado nos mesmos princpios e

conhecido como metodo da realizac~ao das metas

Formulac~ao do problema

minimizar

s.a f

i

(x) w

i

t

i

; i = 1; 2; : : : ;m

x 2 ; 2 R

t

i

: meta para o objetivo i

w

i

0 : ponderac~ao para o desvio do objetivo i; assume-

se w 2W

Interpretac~ao

PSfrag replacements

0

y

1

y

2

w

t

t

1

t

2

f

1

f

2

t+ w

Y

PAVF

c

1999 135


Propriedades

A variac~ao de w sobre W pode dar origem a e (),

mesmo que o problema n~ao seja convexo

Quanto menor w

i

, maior a importa^ncia atribuda a

meta t

i

O problema pode ser reformulado como (w > 0)

minimizar

s.a (1=w

i

)(f

i

(x) t

i

); i = 1; 2; ::;m

x 2 ; 2 R

ou ainda

minimizar

x2

max

i

f

i

(f

i

(x) t

i

)g

onde

i

:= 1=w

i

Minimiza-se a norma innito ponderada entre o ponto

t = (t

1

; t

2

; : : : ; t

m

) e o conjunto de soluc~oes factveis

O resultado e uma soluc~ao eciente (em geral) que

reete os valores relativos entre w

1

; w

2

; : : : ; w

m

cap5 notas aulas valente

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