cap5 - parte 3 - intervalo da média

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Inferência Estatística – Parte 1 Inferência Estatística – Parte 1 Intervalo de Confiança Intervalo de Confiança da da Média Média Prof. Gercino Monteiro Filho Prof. Gercino Monteiro Filho

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Page 1: Cap5 - Parte 3 - Intervalo Da Média

Inferência Estatística – Parte 1Inferência Estatística – Parte 1

Intervalo de ConfiançaIntervalo de Confiança

dada

MédiaMédiaProf. Gercino Monteiro FilhoProf. Gercino Monteiro Filho

Page 2: Cap5 - Parte 3 - Intervalo Da Média

Intervalo de Confiança para a Intervalo de Confiança para a MédiaMédia

Condições iniciais:Condições iniciais:

X seja a variável em análise;X seja a variável em análise;

X tenha distribuição normal, isto é:X tenha distribuição normal, isto é:

Seja uma amostra aleatória Seja uma amostra aleatória independente de xindependente de x

),(N~X 2σµ

n321 X,...,X,X,X

Page 3: Cap5 - Parte 3 - Intervalo Da Média

I. C. da a MédiaI. C. da a Média Pelas condições iniciais e as propriedades de Pelas condições iniciais e as propriedades de

estimadores, tem que:estimadores, tem que:

Aplicando propriedades da normal chega a:Aplicando propriedades da normal chega a:

σµ

n,N~X

2

)1,0(N~

n

XZ

σµ−

=

Page 4: Cap5 - Parte 3 - Intervalo Da Média

I. C. da a MédiaI. C. da a Média Usando os modelos matemáticos da Usando os modelos matemáticos da

Distribuição Normal chega a:Distribuição Normal chega a:

Ao qual fazendo as devidas simplificações Ao qual fazendo as devidas simplificações teremos:teremos:

( ) α−=

µ−<−=<<− 1z

n

XzPzZzP 0000

Page 5: Cap5 - Parte 3 - Intervalo Da Média

I. C. da a MédiaI. C. da a Média O intervalo matemático:O intervalo matemático:

É chamado de Intervalo de Confiança da média É chamado de Intervalo de Confiança da média ao nível de significância α.ao nível de significância α.

nzXa

nzX:De 00

σ×+

σ×−

Page 6: Cap5 - Parte 3 - Intervalo Da Média

I. C. da a Média - LimitesI. C. da a Média - Limites

01. O primeiro membro, isto é:

n

zX 0

σ×−

é chamado de limite inferior; 02. O segundo membro, isto é:

n

zX 0

σ×+

é chamado de limite superior;

Page 7: Cap5 - Parte 3 - Intervalo Da Média

Erro Padrão de EstimativaErro Padrão de Estimativa

01. Somente o número: n

σ é chamado de

Erro Padrão ou ainda Desvio Padrão da Média;

02. Enquanto que o número: n

z 0

σ× é

chamado de Erro Padrão de Estimativa,conhecido como Margem de Erro, Simbolizado pela letra: e;

Page 8: Cap5 - Parte 3 - Intervalo Da Média

ComentárioComentário

Note que pelo modelo matemático que foi Note que pelo modelo matemático que foi

deduzido, para encontrar o Intervalo de deduzido, para encontrar o Intervalo de

Confiança para a média μ é necessário que Confiança para a média μ é necessário que

conheça o valor da variância populacional, mas conheça o valor da variância populacional, mas

se utiliza é uma amostra é obvio que esta se utiliza é uma amostra é obvio que esta

variância é desconhecida, assim sendo para variância é desconhecida, assim sendo para

encontrar o intervalo de confiança parte do encontrar o intervalo de confiança parte do

teorema:teorema:

Page 9: Cap5 - Parte 3 - Intervalo Da Média

IC da Média Variância DesconhecidaIC da Média Variância Desconhecida

( ) então,dodesconhecicom,,N~XSe 22 σσµ

n

sX

tµ−

=

Possui uma distribuição denominada t-Student

com (n-1) graus de liberdade.

Page 10: Cap5 - Parte 3 - Intervalo Da Média

Propriedades da Distribuição t-StudentPropriedades da Distribuição t-Student

P1. O teorema acima afirma que se a variância

populacional for desconhecida, para

construir o intervalo de confiança da média

usa a distribuição t e não a normal;

P2. A curva do gráfico é simétrica e semelhante

à da distribuição N(0,1), porém um pouco

mais longa.

Page 11: Cap5 - Parte 3 - Intervalo Da Média

Propriedades da Distribuição t-StudentPropriedades da Distribuição t-Student

P3. Quando o número de graus de liberdade é um

valor suficientemente grande, a distribuição

t-Student se aproxima da Normal Padrão.

P4. Por P3, se o número de graus de liberdade for

acima de 35, quando usar tabelas, usa a

distribuição N(0,1) para encontrar valores da

distribuição t-Student.

Page 12: Cap5 - Parte 3 - Intervalo Da Média

Intervalo de Confiança da media Intervalo de Confiança da media com variância desconhecidacom variância desconhecida

Pelas características vistas chega a:Pelas características vistas chega a:

t com distribuição t-Student com (n-1) graus de t com distribuição t-Student com (n-1) graus de liberdade.liberdade.

n

stX

n

stX 00 ×+<µ<×−

Page 13: Cap5 - Parte 3 - Intervalo Da Média

IC Média - ExemploIC Média - Exemplo Pesquisa: Pesquisa: Fazer avaliação de recuperação de Fazer avaliação de recuperação de

pacientes submetidos a cirurgias cardíacas.pacientes submetidos a cirurgias cardíacas. Acadêmica Roberta Rubiane Vaz TeodoroAcadêmica Roberta Rubiane Vaz Teodoro

Quanto ao tempo de cirurgia, os valores encontrados Quanto ao tempo de cirurgia, os valores encontrados do sexo feminino foram (min):do sexo feminino foram (min):

200200 265265 345345 210210 240240 230230 250250 270 270 205205 265265 210210 325 230325 230 220220 255255 285 285 295295 260260 220220 250250 130130 230230 240 280 240 280 310310 225225 250250 255255 260260 200200 270270 235 235 195195 230 230

Construa o intervalo de confiança para o tempo Construa o intervalo de confiança para o tempo médio de duração deste tipo de cirurgia, para o sexo médio de duração deste tipo de cirurgia, para o sexo feminino ao nível de 5,0% de significância.feminino ao nível de 5,0% de significância.

Page 14: Cap5 - Parte 3 - Intervalo Da Média

IC Média – Exemplo - SoluçãoIC Média – Exemplo - Solução Estimativas pontuais:Estimativas pontuais: Da Média:Da Média:

Da variânciaDa variância

3,245

34

8340

34

230...210345265200x ==

+++++=

134

)3,245230(...)3,245265()3,245200(s

2222

−−++−+−

=

92,4015,1654s:PadrãoDesvio15,1674s 2 ===

Page 15: Cap5 - Parte 3 - Intervalo Da Média

IC Média – Exemplo - SoluçãoIC Média – Exemplo - Solução

Variância desconhecida usa a t-StudentVariância desconhecida usa a t-Student Graus de Liberdade: 34 – 1 = 33;Graus de Liberdade: 34 – 1 = 33; Na tabela ao Nível de 5,0% obteve: t = 2,0345Na tabela ao Nível de 5,0% obteve: t = 2,0345 O Intervalo é:O Intervalo é:

Chega a:Chega a:

34

92,400345,23,245

34

92,400345,23,245 ×+<µ<×−

57,25902,231 <µ<

Page 16: Cap5 - Parte 3 - Intervalo Da Média

Intervalo de ConfiançaIntervalo de Confiançada da

MédiaMédia

FIMFIM