20+ Operaes Unitrias I Notas de Aula Centro de Tecnologia Departamento de Engenharia Qumica Captulo 2 2.1 - Fluidodinmica da Partcula Mecanismo do movimento da partcula Equao para o movimento unidimensional Velocidade terminal Coeficiente de Arraste Equao do movimento para partculas esfricas Critrio para determinao do Regime de Escoamento Correlaes empricas para o coeficiente de arraste Determinao da velocidade terminal partir do coeficiente de arraste Efeito de populao Exerccios 2.2 - Separao Slido-Fluido em Sistemas Diludos: Classificao e Separao por densidades no campo gravitacional Elutriao Cmaras Gravitacionais; decantao. Separao centrfuga: Ciclones e Hidrociclones Centrifugao Separao eletromagntica Exerccios 21 Fluidodinmica da Partcula Introduo-Muitasetapasdeprocessos,especialmenteasseparaesmecnicas,envolvemo movimentodepartculasslidas,ougotasdeumlquido,atravsdeumfluido-lquidoougs- escoandoouestagnado.Soexemplosdistoaremoodepsefumosdoar,oudeumgsde chamin, a remoo dos slidos de lquidos residuais antes de sua descarga nos sistemas pblicos dedrenagem,ouaindaarecuperaodanvoacidadogsperdidonumaplantaindustrialde produo de cido. Dinmica da Partcula Slida em Suspenso - Para que uma partcula se desloque atravs de um fluido, necessrio que exista uma diferena de densidade entre a partcula e o fluido e, obviamente, queumaforaexternaatuesobreosistemaproporcionandoomovimentorelativoslido-fluido.A foraexternanormalmenteagravitacional,mas,quandoapartculamuitopequena,tornandoa gravidadeineficazparamov-laatravsdofluido,aplica-seumaforacentrfuga.Quantomaiora diferena de densidades, mais eficaz o processo. Se o fluido e a partcula tm densidades iguais, o empuxo causado por sua imerso ser igual fora externa, e ela no se mover atravs do fluido. Pelo menos trs foras atuam sobre uma partcula submersa num fluido: 1.Foraexterna,FE Impulsoradapartcula,podeserdeorigem gravitacional ou centrfuga.2.Foradeempuxo,FBDescritapeloprincpiodeArchimedes, paralela fora externa e tem sentido contrrio. 3.Foradearraste,FD-seapresentasemprequeocorremovimento relativo slido-fluido; ope-se ao movimento da partcula, atuando na mesma direo do seu deslocamento e em sentido oposto. Em princpio, a direo do movimento da partcula em relao ao fluido pode no ser paralela direodasforasexternaedeempuxo;entoaforadearrastefazumngulocomasoutras duas.Nestecaso,aforadearrastedeverserdecompostaemcomponentes,resultandoum escoamentobidirecional,complicandootratamentodamecnicadoescoamentodapartcula.Na literaturaexistemequaesdisponveisparaomovimentobidirecional,masaquiconsideraremos apenasomovimentounidirecional,ondeaslinhasdeaodetodasasforasqueatuamsobrea partcula so colineares. Movimento unidirecional de partculas submersas num fluido Considere uma partcula de massa m, movendo-se atravs de um fluido sob ao de uma fora externa FE. Sejam U a velocidade relativa, FB o empuxo sobre a partcula e FD a fora de arraste. A fora resultante sobre a partcula ser: = D B E i F F F F 22A acelerao da partcula d(m.v)/dt" e, como a massa constante, o movimento de slidos atravs de fluidos se fundamenta no conceito do movimento de queda livre dos corpos: = = D B E i F F Fdtdvmdtdvm F ou A fora externa dada pela Lei de Newton: EE ma F =onde aE a acelerao externa (gravitacional ou centrfuga)queatuasobre apartcula.Aforadeempuxo, peloprincpiodeArchimedes,igual ao peso do volume de fluido deslocado pela partcula. O volume da partcula ( m /S ) e igual ao volume de fluido deslocado. Logo, a massa de fluido deslocado : e, portanto, a fora de empuxo ser: a fora de arraste dada por: (2.4)22U C AFD PD=ondeCDocoeficientedearraste,adimensional,APareaprojetadadapartcula,medidana direo perpendicular direo do escoamento e U a velocidade relativa slido-fluido, ou seja, U = u-v.Substituindoessesvalores,obtm-seaequaodomovimentoparaapartculaslida submersa num fluido: Simplificando, a) equao do movimento da partcula no campo gravitacional: Sobaodocampogravitacional,aaceleraoexternaaEaaceleraodagravidade,g=981 cm/s2 e a equao 2-6 torna-se b) equao do movimento sob campo centrfugo: Umaforacentrfugaaparecesemprequeadireodomovimentodapartculamudada.A acelerao centrfuga, no movimento circular, aE = r 2 , sendo r o vetor posio e a acelerao angular (radianos/segundo). Substituindo na equao 2-6,||.|

\|= .SFmm(2.3)ESB a m F||.|

\|=(2.5) 22U C Aa m madtdvmD pESE =(2.6) . 22mU C Aadtdv D pSF SE =||||.|

\|( )a) - (2.6212mU C A gdtdv D PSF S =( )b) - (2.6 2122mU C ArdtdvD PS =23 Velocidadeterminal-Nasedimentaogravitacionalgconstante,masoarrastesobrea partcula aumenta sempre que a velocidade aumenta. Na equao do movimento, observa-se que a aceleraodecrescecomotempoeaproxima-sedezero.Apartculaalcanarapidamenteuma velocidade constante, mxima sob as circunstncias, denominada velocidade terminal. A equao para a velocidade terminal, no campo gravitacional, obtida desprezando-se, na equao do movimento, a acelerao instantnea da partcula (dv/dt = 0), que na prtica da ordem de um dcimo de segundo. A expresso resultante : ( )(2.7) 2 =D PtC s Am s gvNocampocentrfugo,avelocidadedependedoraioeaaceleraonoconstantesea partcula estiver se movimentando em relao ao fluido. Nos vrios usos prticos da fora centrfuga, entretanto, dv/dt muito pequeno comparado com os outros dois termos da equao 2-7 e pode ser desprezado.Avelocidadeterminalnocampocentrfugo,aumraioqualquerdado,podeentoser definida pela equao: ( )(2.8) 2 =s C Am s rvD PtCoeficiente de Arraste Ousodasequaesanterioresrequerquesejamestimadosvaloresnumricosparao coeficientedearraste,CD.OgrficodaFigura1mostraacurvaexperimentaldocoeficientede arraste em funo do nmero de Reynolds, Re, para esferas. Parapartculasnoesfricas,soobtidascurvasparacadaformadiferentedepartcula,em funodaesfericidade.Essascurvas,naprtica,aplicam-sesomenteparaumaorientao especificadadapartcula.Partculasnoesfricas,emquedalivre,tmsuaorientao constantementealterada,consumindoenergiaeaumentandooarrasteefetivosobreapartcula, fazendo com que o coeficiente de atrito, CD, seja maior que no escoamento do fluido ao redor de uma 24partculaestacionria.Assim,avelocidadeterminal,especialmenteparapartculasemformade discos, ser menor do que a estimada nas curvas obtidas para partculas com orientao fixa. No tratamento a seguir as partculas sero consideradas esfricas, pois uma vez conhecido o coeficientedearrasteparaomovimentolivredestaespcie,osmesmosprincpiosaplicam-sea quaisquer formas.(Pettyjohn and Christiansen: Chem. Eng. Prog., 48:157(1948)) Quandoaspartculasestoaumadistnciasuficientedasparedesdorecipienteedeoutras partculas,demodoqueseumovimentonosejaafetadoporelas,oprocessochamado sedimentao livre. Se o movimento da partcula impedido por outras partculas, o que fatalmente ocorrerquandoaspartculasestoprximasumasdasoutras,mesmoquenoemtrajetrias colidentes, o processo chamado sedimentao retardada (ou impedida). O coeficiente de arraste na sedimentao retardada maior que na sedimentao desimpedida. Quando as partculas so de tamanho muito reduzido (2 -3 m) aparece o efeito do movimento Browniano,queummovimentoaleatrioprovocadopelochoquedapartculacommolculasdo fluidoqueacerca.Esseefeitopredominasobreaforadagravidadeempartculasde0,1mou menores.Omovimentorandmicodapartculatendeasuprimiroefeitodaforaexternaeoseu deslocamentopodenoocorrer.Aaplicaodeumaforacentrfugareduzoefeitorelativoao movimento Browniano. 1.-SEDIMENTAOLIVREEquaodomovimentoparapartculas esfricas Se a partcula uma esfera de dimetro DP, sua massa obtida do produto da densidade pelo volume, ouSubstituindo m e DP na equao 2-7 Na velocidade terminal, a partcula no tem acelerao, ento (dv/dt) = 0, e Ocoeficientedearrastegeradopelomovimentorelativoentreofluidoeumaesferaslida movendo-se sob ao da gravidade ser, portanto, 4Ae62P 3PSp D Dm= =( )) 2.9 ( . 43 .P St DSSEDv Cadtdv =( )PtD sEDv Ca2.43= ( )) 2.10 (. 342TP F SDvD gC =25Aequaoacimanopermiteaestimativadiretadavelocidadeterminalumavezqueo coeficiente de arraste uma funo do nmero de Reynolds, CD = (Re), que por sua vez funo diretadavelocidadeedotamanhodapartculaRe=(,Dp,vT,-1).Esteproblemapodeser contornado pela utilizao de mtodos grficos ou analticos, conforme descreveremos a seguir. 1.1 ESTIMATIVA DA VELOCIDADE TERMINAL POR MTODO GRFICO Admitiremosqueapartculaapresentaumcertograude"uniformidade".Sejaodimetroda esferadeigualvolume,Dp,adimensocaractersticadapartcula;daequaoanterior,para movimento no campo gravitacional, ( )2.10 Eq.. 342TDvg s DpC =Aplicando as propriedades do logaritmo equao, ( )) log( 234log log t D vgDp sC ((

=Podemoseliminarvtnaexpressoacima,tomandoologaritmodonmerodeReynolds correspondente velocidade terminal: ) log( log Re log t vDp+||.|

\|=e assim, ( )((

+ =2334log Re log 2 logg s DpCDFigura 2 Coeficiente de arraste x nmero de Reynolds para partculas de diferentes formas26Estaaequaodeumaretadeinclinao2,passandopelospontosRe=1eCD= ( )233 4 Dp s g .Comoaexpressonocontmvt.,possveldeterminar-seavelocidade terminal traando a reta definida por estes pontos no Grfico CD x Re . A perpendicular ao eixo das abscissas,traadaapartirdainterseodestaretacomacurvadeesfericidadeapropriada,daro valornumricodonmerodeReynoldscorrespondentevelocidadeterminaldestapartculade tamanho conhecido (veja a Figura 2). Conhecido o nmero de Reynolds, se determina ento vt. Estimativa de Dp partir da velocidade terminal: Por procedimento anlogo se obtm uma expresso independente do tamanho da partcula, Dp. A equao : ( )((

+ =3 234log Re log logvs gCDAexpressoacimacorrespondetambmaequaodeumareta,deinclinao+1,passando pelo ponto Re = 1 e CD =( )3 23 4 v s g . A interseo desta reta com a curva de esfericidade adequada dar o nmero de Reynolds na velocidade terminal, a partir do qual se obtm Dp. 1.2 MTODOS ANALTICOS: 2.1 Equaes aproximadas para clculo do coeficiente de arraste de esferas Apesar da relao CD x R e na Figura 2 ser uma curva contnua, para simplificar osclculos,elapodesersubstitudaportrslinhasretassemperdaconsidervelna 27preciso[McCabe-Smith,1976].Cadaumadessaslinhascobreumafaixadefinidade nmeros de Reynolds, como mostrado pelas linhas tracejadas na Figura 2-3 As equaes para as linhas retas e as faixas do nmero de Reynolds onde cada uma se aplica, so: Regio de Stokes:Re < 2 Re24= D Cp t D D v F = 3 ( ) =18p EtD s avRegio Intermediria: 2 < Re < 500 6 , 0Re18= D C( )4 , 0 6 , 0 4 , 131 , 2 = p t D D v F( )43 , 0 29 , 071 , 0 14 , 1 71 , 0153 , 0 =s D avp EtRegio de Newton: 500 < Re < 200.000 44 , 0 = D C( ) =255 , 0 p t D D v F( )2 / 175 , 1((

=p e D s avtCritrioparaidentificaroregimedeescoamento(K)Quandosedeseja estimaravelocidadeterminaldeumapartculadedimetroconhecido,eovalor numrico de Reynolds desconhecido (pois funo de DP e vt), a escolha da equao adequada s poder ser feita por tentativas. Neste caso, para identificar em que regio ocorreromovimentodapartcula,elimina-seotermodevelocidadenaexpressodo nmerodeReynolds,substituindovt pelaequaocorrespondenteaoregimelaminar resultando, para a faixa da lei de Stokes: ( ) ( )23 218 18Re = ==S Ep pS E ptp a D D a DvD28Pelas consideraes feitas anteriormente, a lei de Stokes aplica-se para nmeros deReynoldsmenoresque2.Umcritrioconvenienteparaidentificaodoregimede escoamento pode ser obtido fazendo-se Ento, da equao anterior, 3 , 3 36 K2, Re para18Re33= = = =K Se o tamanho da partcula conhecido, o K pode ser calculado e, se K < 3,3 aplica-se a lei de Stokes (regime laminar).Procedendo de modo anlogo para a regio onde vale a lei de Newton, obtm-se Re = 1,74K1,5. Fazendo Re = 500 (limite inferior da regio) e resolvendo, d K = 43,6. Ento,seKmaiorque3,3emenorque43,6,oescoamentoocorrenaregio intermediria. Se o valor de K est compreendido entre 43,6 e 2.360 a Lei de Newton vlida. Quando K maior que 2.360, o coeficiente de arraste pode mudar abruptamente compequenasmudanasnavelocidadedofluido.Sobessascondiesavelocidade terminal calculada da equao 2-10, estimando-se o valor de CD na Figura 3. QUADRORESUMO-Critrioparaidentificaroregime em que ocorre o movimento da partcula (McCabe-Smith)( )32 =s aeD K pK < 3,3 - Lei de Stokes (regime laminar) 3,3 < K < 44 - Regio intermediria 44 < K < 2360 - Lei de Newton (regime turbulento) K > 2360 Re > 200.000 (turbulncia na camada limite) EXEMPLO -Gotas de leo de 15 m de dimetro devem ser separadas de sua mistura com ar,porsedimentao.amassaespecficadoleo0,90,eoaresta70F(21,1C)e1 atm. O tempo de sedimentao disponvel de 1 minuto. Que altura dever ter a cmara para permitir a sedimentao dessas partculas? (McCabe-Smith, exemplo 7.1, p.156). SOLUO-Osefeitosdofluxodentrodasgotaseoperodoinicialdeaceleraoso desprezados. Alm disso, a densidade do ar muito pequena em comparao com a das gotas de modo que p pode ser usada em lugar de (P - ). A densidade do ar a 70 F e 1 atm. 0,018 cP (0,018 x 6,72 x 10-4) = 1,21 x 10-5 lb/ft-s. A densidade das partculas (0.90 x 62,37) = 56,1 lb/ft3 K x = =4 92 1032 17 56 1 0 0751 21 100 4795,( , ),, , , x x2x-103( )32 =S EpaD K29O movimento das gotas est bem dentro da regio da lei de Stokes, ento: ( ) =18p EtD s avEm 1 minuto, as partculas sedimentam 0,02 x 60 = 1,2 ft (0,37m), ento a altura da cmara no dever ser maior que este valor. Outramaneiradeeliminaradificuldadeaoseestimarocoeficientedearrastena equao 2.10, pelo fato deste ser funo da esfericidade e do nmero de Reynolds, (cuja determinao implica conhecimento de vT e Dp ), a utilizao do nmero de Galileu: Como se pode ver, esse grupo adimensional independe da velocidade terminal, vt. QUADRO III - Pontos de transio para Ga REGIMENGa Laminar Intermedirio Newton < 60 entre 60 e 140.000 > 140.000 Um outro grupo adimensional, independente do dimetro da partcula e funo da velocidade terminal, CD / Re: v ft s m s t = =32,17 4,92 10 56,1181,21 10x 2x 10x xx- 5( ), / ( , / ) 0 020 0 006122 2=g DGaP( )222 222.34Re = =P TTSDD vvgC Ga( )2.11 34Re232 =E P SDa DC( )t PtS P Dv D vg D C.2..34Re =( )) 2.12 (34Re32Ua C E S D =30QUADRO IV - Pontos de transio para CD/Re REGIMENGa Laminar Intermedirio Newton > 7,5 entre 7,5 e 0,00115 < 0,00115 Aequao11podeserusadaparaoclculodevt,poisCDRe2noincluiesta varivel; j a equao 12 deve ser utilizada no clculo de Dp j que o adimensional CD/Re independe do dimetro. Em ambos os casos, vt e Dp so obtidos a partir do nmero de Reynolds (Tabelas 1 a 4; grficos 2 e 3) AscorrelaesnasTabelasIaIVaplicam-seaomovimentodepartculas isomtricasisoladasemfluidosnewtonianos.EmboraaTabelaIIIincluaapartcula esfrica,nosclculoscompartculasdestaformadeve-seusaraTabelaIIparamaior preciso. A Tabela IV fornece diretamente a expresso para clculos da velocidade relativa partcula - fluido e do dimetro da partcula, quando prevalece o regime de Stokes (Re < 0,5) ou o de Newton (103 < Re < 2x105) Tabela I - Partcula esfrica isolada; correlaes de Coelho & Massarani (1996) com basenosdadosdeLapple&Shepherd(1940)ePettyjohn&Christiansen (1948). Re < 5x104 Descrion Valor mdio e desvio padro nnnCD((

+|.|

\|= 43 , 0Re24 0,63 ( )( )09 , 0 00 , 1Reexp Re =cor nnCnC D D1243 , 0Re24ReRe22 ((

|.|

\|+|.|

\|= 0,95 ( )( )06 , 0 00 , 1Reexp Re =cor n nCnC D D1Re43 , 02Re24Re((

||.|

\|+||.|

\|= 0,88 ( )( )09 , 0 00 , 1exp =cor CCDD onde ( ) ( )3 2D232.34ReC ,34Re , ReUa D aCU DFEF SPE F SFDF P = ==31Tabela 2 - Partcula isomtrica isolada: correlaes de Coelho & Massarani (1966) com base nos dados de Pettyjohn & Christiansen (1948) 0,65 < 1e Re < 5x104 Descrio n Valor mdio e desvio padro nnKnKCD1Re2421((

+ |.|

\|= 0,85 13 , 0 00 , 1exp =DcorDCC ( )nnCKnC K D D1Re2Re24Re21((

||.|

\|+||.|

\|= 1,2 ( )( )10 , 0 00 , 1Reexp Re =cor nnKCnC K D D12 Re24ReRe2221((

|.|

\|+|.|

\|= 1,3 ( )( )14 , 0 100exp Re =cor CD Onde: = |.|

\| = 88 , 4 31 , 5 e 065 , 0log 843 , 02101 K K Tabela 3 - Fluidodinmica da partcula isomtrica isolada; clculo da velocidade e do dimetro da partcula (Pettyjohn & Christiansen, 1948) 0,65 < 1 Varivel a ser estimada Regime de Stokes Re < 0,5 Regime de Newton 103 < Re < 5 x 104 CD Re241K K2 U ( ) 1821PF SED a K ( )234KD a P E F S DP ( )E FSa KU 118 ( )ESFaU K 4322 no campo gravitacional, b = g = 981 cm/s2; no campo centrfugo, b = r.2 ( ) ( )3 2D232.34ReC ,34Re , ReUa D aCU DFEF SPE F SFDF P = ==32 Influncia da presena de fronteiras rgidas Tabela 4 - Efeito de parede na fluidodinmica da partcula isomtrica em fluido newtoniano (Almeida, 1995): 0,65 < < 1 e 0 < DP/DT 0,5 =v DpRe tPTPDDvvk = =e < 0,1 (Francis, 1933) 4475 , 0 11((

= P k 0,1 103 = =+= 281 , 0 10 17 , 1, 91 , 8Re 1103 79 , 2x B e AAkBP >103 (Francis, 1933) 2 31 = P k ( ) = |.|

\| = = < = ==88 , 4 31 , 5 ,065 , 0log 843 , 034, 35 Re0,85 n ,) () 54 , 3 exp( 24Re210 12 121K KvgDCv DK C KtP SDt PnnnD 2. SEDIMENTAO OBSTADA: PARTCULA ESFRICA E EFEITO DE POPULAO Quandoumfluidocontmmuitaspartculasemsuspenso,ocorreuma interfernciamtuanomovimentodestas,eavelocidadedesedimentaomuito menordoqueaprevistapelasequaesdeduzidassobahiptesedemovimentolivre daspartculas.Apartculasedimenta,nestecaso,atravsdeumlodooususpensode outras partculas no fluido, ao invs do fluido puro.Um aumento na concentrao da suspenso acarreta uma substancial reduo na velocidadeterminaldoconjuntodepartculas,fatoimportantenoestudodaseparao slido-fluido.Umacorrelaoclssica,deRichardsoneZaki(1954),vlidapara porosidades inferiores a 75%: nv v t t =33ondevtavelocidadeterminaldapartculadiluioinfinita,isto,escoando livrementeseminterfernciadeoutraspartculasoudasvizinhanas,eoexpoenten um parmetro que depende do nmero de Reynolds Ren < 0,24,65 0,2 14,4 Re-0,03 1-5004,4 Re-0,1 > 5002,4 Para sistemas de baixa porosidade a velocidade terminal pode ser calculada com auxlio do Grfico mostrado na figura abaixo (Massarani, 1979, p.57): Emborasepossaconsideraravelocidadededeposioconstanteparatodasas partculas,serdiferentedeacordocomaconcentraodasuspenso.Paradefinira velocidade da suspenso pode-se recorrer sua porosidade, , introduzindo-a na frmula de Stokes para regime laminar. A equao resultante : ( )(13) 182SUSPP SUSPSsusD gv =sendosusesusamassaespecficaeaviscosidadedasuspenso.Ovalordesus calculado pela mdia ponderada de p (partcula) e (lquido), ou seja, 34( )( ) ( ) ) 2.14 ( e 1 = + = SSUSP SSSUSP Quantoviscosidadedasuspenso,vriastemsidoastentativasdecorrelao, uma das quais a seguinte (Coulson, vol. II, p.189 e Foust, p. 452) Substituindo (14) e (15) em (13), vem: A viscosidade tambm pode ser corrigida pelo fator emprico P (McCabe-Smith, p.). A relao entre P e , entretanto, no conhecida em toda a faixa de nmeros de Reynolds. Para partculas esfrica escoando em regime laminar, Utilizando este fator de correo, a velocidade terminal de uma suspenso de partculas esfricas, em regime laminar, ser dada por: A viscosidade a ser empregada na equao acima a do fluido puro, pois o efeito da concentraodeslidossobreaviscosidadesercorrigidopelarelaoP /.Esta equao s aplica-se para regime laminar, ou seja, quando o critrio de sedimentao, K, formenorque3,3.Paraasedimentaoretardada,ocritrioparaidentificaodo regime de escoamento fica... Parte II: Separao slido-fluido em sistemas diludos Finalidade: Promover a separao de partculas suspensas em fluidos (ou, inversamente, mant-lasemsuspenso),paravazesdefinidasemfunodacapacidadedeproduo fixada ) 2.15 ( 10) 1 ( 82 , 1 = SUSP( )) 2.16 ( 18102 2) 1 ( 82 , 1 = g DvSPSUSP) 1 ( 19 , 4 = eP =|.|

\|18.2. . PSUSPSP ESUSPD av( )3 , 3.3 122((

=p m S m EPaD K35Quadro 1 Campos de fora para separao de partculas slidas Dimenso (m)DesignaoCampos de fora 0,1FumosEltrico 0,1 a 0,4 Fumos Eltrico Filtros de pano Lavadores de poeira 1 a 10 Poeiras Eltrico Filtros de pano Lavadores de poeira 10 a 100 Poeiras Centrfugo Filtros de pano Filtros recobertos viscosos 100 a 1000PoeirasCentrfugo Gravidade > 1000PoeirasGravidade PARTE DOIS Separao slido-fluido em Sistemas Diludos 2.I - Campo Gravitacional 2.I.1ELUTRIAO-aoperaodeseparao(ouclassificaoportamanhos)de partculas,obtidamedianteumacorrenteascendentedelquidoemcontracorrentecom os slidos. Quando o objetivo a classificao por tamanhos de partculas de um nico material homogneo, a separao obtida com base apenas na diferena de velocidades terminais das diversas partculas: aquelas que tiverem uma velocidade de queda menor que a velocidade de ascenso do lquido sero arrastadas por este, enquanto que as de maior velocidade sedimentaro e sero coletadas no fundo do vaso. Quandosetratadeumamisturadedoismateriaisdiferentes,aseparao conseguidaemfunodotamanhodaspartculasedadiferenadedensidadesentre estas. Assim, as partculas mais densas sedimentaro com maior velocidade, devendo a velocidade de ascenso do lquido ser ajustada num valor entre a velocidade terminal da menorpartculadomaterialmaisdenso,eamaiorpartculadomaterialmenosdenso. Quando isto possvel, a sedimentao completa. 4 3 4 3 gD C gDC s A D A sBD B = DDC C ABBADA DB lifica nd36Sejam dois materiais A e B, sendo A mais denso que B. Se a faixa de tamanhos for grande,possvelqueavelocidadeterminaldasmaiorespartculasdeBsejam superioressdasmenorespartculasdeA.Ocorrendoisto,evidentementeaseparaono ser completa. O intervalo de separao possvel (razo de separao) pode ser determinado partirdarelaoentreasdimensesdaspartculasdeAeBquetmmesmavelocidade terminal. Ento, igualando as velocidades terminais de A e B, DDD vD vABBABBA A= 2424 Ocorrem dois casos extremos: a) No regime laminar, (para baixos valores do nmero de Reynolds), CD = 24/ Re. Substituindo e simplificando a expresso resultante, temos: b)Nocasodepartculasdemesmaesfericidadesedimentandoaaltosnmerosde Reynolds(altavazoougrandesdimenses),ocoeficientedearraste aproximadamente constante e igual a 0,44. Desse modo, teremos: DDABBA= 0.5 Concluso:aseparaodedoismateriaisdiferentesserpossvelsearazode separao for maior do que: D D A B B A > n sendon = 0,5 no regime laminar 0,5 < n < 1,0 no regime de transio n = 1,0 no regime turbulento EXEMPLO: Uma mistura de galena (densidade 7.500 kg/m3) e slica (densidade 2.650 kg/m3), deveserseparadaporElutriao.Amisturatemdimensesentre0,7e0,8mm. Admitindoqueaesfericidadedeambososmateriaisamesmaeiguala0,806, determine: a)Qualavelocidadedaguaparasetercomoprodutoagalenapura(admitir sedimentao livre a 20C. viscosidade = 0,001 N.s/m2). b)Qualointervalodedimensesdagalenaobtidacomoproduto?(Foust, exemplo 22.2 p.543) 37 2.I-2CMARASGRAVITACIONAIS-Ascmarasgravitacionaisecmarasdepoeira, destinam-se separao de partculas relativamente grandes em suspenso num lquido ounumgs.Arepresentaoesquemticadestesequipamentosmostradanafigura abaixo: A separao, a baixas concentraes de slido, pode ser estudada atravs da anlise do comportamento dinmico das partculas individuais. A tendncia de uma partcula, ao ser atirada num fluido escoando entre placas paralelas, cair e ser arrastada ao mesmo tempo, como indica a Figura a seguir: A suspenso, ao sair da tubulao e ser introduzida na cmara,encontraumareadisponvelaoescoamento muitasvezesmaior,havendoemconseqnciauma reduobruscanavelocidade,tendendoentoosslidos suspensos a sedimentar, de acordo com o tamanho, numa posiomaisprximaoumaisafastadadopontode alimentao. Desprezando a acelerao da partcula e decompondo a equao do movimentoem suas componentes, resulta: componente x: comoagravidadenotemcomponentenoeixox,oprimeirotermodoladodireitoda igualdade se anula e,para que a expresso seja verdadeira necessrio que ux= vx, isto,acomponentedavelocidadedofluidoigualcomponentedavelocidadeda partcula, na direo x. componente Y =+ Av u vPP FxF Dx x 38 No h movimento de fluido na direo perpendicular ao escoamento, ento, uy = 0. Por definio, o mdulo da diferena de velocidades : Como uy = 0 e ux = vx, resulta Substituindo esses valores na equao do movimento, chega-se a Sefizermos,naexpressoacima,ovolumeeareaiguaisaosdeumaesfera, obteremos a expresso geral para a velocidade terminal como na Lei de Newton. Dimetro da menor partcula que pode ser coletada na cmara: Odimetrocrticodeseparaopodeserobtidoseanalisarmosacondiodea menorpartcula,lanadanacondiomaisdesfavorvel,sercoletada.Admite-seque esta partcula sedimenteAdmite-se que esta partcula sedimente na extremidade oposta dacmara,ouseja,eml = L.Otemponecessrioparaqueapartculadedimetro crtico percorra na direo x a distncia L : uLt =onde u a velocidade mdia do fluido entre as placas, relativa vazo Q. (HBQu = ).Otemponecessrioparaqueapartculadedimetrocrticopercorranadireoya distncia H, : t vHt =0 2= + VgAu v C u vPP FyF Dy y u v u v u v x x y y = + 2 2u v v v v y y t = = =2v vV gA Cy tp pp D= = 2 39Paraapartculasercoletada,estestemposdevemseriguais.Igualando-seas expresses,obtemosaequaoparaoclculodavelocidadeterminaldapartculade dimetro crtico: Lu Hvt =Como nos interessa o dimetro dessa partcula, podemos estim-lo atravs do grupo CD/ReoucomauxliodogrficoCDxRe.Avelocidadepodetambmserdadaem funo da vazo, como: proj AQBLQvt = =O dimetro crtico est relacionado s condies de operao (vazo da suspenso) e sdimensesdoequipamento.Partculasmaioresqueaquelasdedimetrocrticoso tambmcoletadascomeficinciade100%;asmenores,comeficinciainferior.No escoamento lento de partculas esfricas, teremos: EXEMPLO:Umasuspensodiludadecalemgua,contmareiacomoprodutoindesejvel. Determinaracapacidadedaunidadeabaixoesquematizadaparaaseparaocompletada areia (m3 suspenso /h). No h efeito de populao pois a suspenso bem diluda. Determine tambm a percentagem de cal perdida na separao. DADOS: Faixa granulomtrica da areia = 70 < Da < 250 m Para a cal: esfericidade= 0,80; densidade = 2,2 g/cm3 Para a areia: esfericidade = 0,7; densidade = 2,6 g/cm3 Temperatura de operao = 30C Anlise granulomtrica das partculas de cal Dp(m)20304050607080100 % < Dp1528485464727888 (G.Massarani,ProblemasemSistemasParticuladosIV,PublicaoDidtica-PDD03/82,COPPE/UFRJ,p.17, 1982) D HugLHQgV SS= 1818 sendoV=HBL 40 SOLUO: Dimetro crtico da areia = 0,70mvt = Lu H s cmHLvus cmDpvtt/ 27 , 2/ 17 , 0. Re= === Q = uHB = 2,04x104 cm3/s = 73,4 m3s b) Clculo da quantidade de cal depositada: Qual o dimetro da partcula que sedimenta com velocidade terminal de 0,17 cm/s? A determinao pode ser feita com auxlio do grfico CD / Re x Re: m cm xvDpt = ==64 10 47 , 6Re3 Nogrficodadistribuio(% D e a eficincia global obtidaporintegraogrfica(dadapelaordenadatalqueareaasejaiguala rea b) II.2-2 CENTRFUGAS Existemtrstiposprincipaisdecentrifugadoresquesedistinguempelafora centrfugadesenvolvida,pelafaixadeproduoqueseobtmepelaconcentraodos slidos que podem ser operados (Foust, p.548, 1982): 1. Centrfuga Tubular - Gira com elevada velocidade de rotao, atingindo foras centrfugas da ordem de 13.000 vezes a fora da gravidade, porm opera com pequenas capacidades,nafaixade3a30litros/minuto.Comonodispesdedispositivopara remoocontnuadeslidos,operaintermitentementecompequenasconcentraesde slidos. 2.CentrifugadoraDiscos-Esteequipamentode tamanhomaiorqueoanterior,masatingemenorvelocidade derotao,desenvolvendoumaforacentrfugaat7.000 vezesmaiorqueadagravidade..Podeserprojetadapara operar at 5.000 gal/h (310 l/min), com quantidade moderada deslidosquesodescarregadoscontinuamentenuma corrente concentrada. 3.CentrifugadorDecantadorContnuo-Destina-seaseparaodesistemas slido-lquido,operandocomoumespessador(aserestudadonocaptulo4).Operam D()frao > D D/D50 100,8750,710,25 200,5601,421 300,3402,131 400,2002,841 500,0903,551 600,0204,251 700,0004,461 53com slidos at uma taxa de 50 ton./h. So construdos com dimetros variando entre 4 e 54 polegadas. Estas mquinas podem ser utilizadas como classificadores, ajustando-se as taxas de alimentao e velocidade do vaso de modo que as partculas pequenas no tenham tempo de sedimentar e saiam com o filtrado. A Centrfuga decantadora provoca forascentrfugas3.000vezesmaiorquea dagravidade,com velocidadesque voat 6.000 rpm, permitindo efetuar separaes de partculas na faixa de 1 mcron. Clculos da Centrifugao Naseoanteriorestabelecemosqueaexpressodavelocidadeterminalpara uma partcula no campo centrfugo dada por Vamosagoraestabelecerarelaoentreo dimetrodecorte,Dpceaspropriedadesfsicasdo sistemaslido-fluido,asdimensesdoequipamentoeas condiesdeoperao.Sejaacentrfugadecantadora tubular mostrada na figura abaixo. As hipteses de clculo so: a) As partculas esto igualmente espalhadas em z = 0,independentementedotamanho;atrajetria assinalada na figura representa a partcula Dpc coletada com eficincia de 50%, onde e portanto, b) Prevalece o regime de Stokes c) Movimento empistonado do fluido na centrfuga. Em relao trajetria crtica assinalada na figura, o tempo necessrio para que a partcula percorra a distncia L na vertical e o tempo necessrio para que a partcula percorra a distncia radial de R1 a R RR R12022=v vr m A Ct RsD S =2 R R R R2121202 = t LuLQR R== 20254Combinandoasexpressesparaotempoefazendo 2022021 3lnR RR RRR+= ,resulta para o dimetro de corte Dpc: Explicitando a vazo da alimentao, e multiplicando e dividindo a expresso resultante por 2g, vem: vtavelocidadeterminaldapartculadedimetroDpcnocampogravitacionaleum fator caracterstico da centrfuga. No caso da centrfuga tubular, Para a centrfuga de discos, onde n o nmero de canais formados por discos adjacentes e o ngulo de inclinao dos discos O resultado expresso pela equao que relaciona a vazo velocidade terminal e aofator,sugerequenaampliaodeescala(scale-up)entrecentrfugasdomesmo tipo, operando com uma mesma suspenso (Perry-Green, 1984, p.19-96) Separao lquido-lquido Os vertedores de sada constituem-se no parmetro mais importante na separao lquido-lquido:elescontrolamovolumedelquidoretidonocentrifugador,odimetro crticodaspartculaseindicamseaseparaopossvel.Nafiguraabaixo,so mostradosdiagramasesquemticosdecentrfugastubularesparaaseparaoslido-lquido e lquido-lquido. D Q k LRRs pc 1 22 20,5= +18 30 Q kgDL g s = 2 31pc 22022t 18R +R2Q = 2(v ) vv dr dt t dr v t kD R R RttRo R pc = = = =

-2S2 1 1 118 ln = 2 2 123 33g nrrgcot = +L g RR 22 223 0QQ 1 2=55 Localizao da Interface lquido-lquido Sejam: r1 - raio da interface da camada leve r2 - raio da interface lquido-lquido r3 - raio da borda externa do vertedor r4 - raio da superfcie do lquido leve jusante do vertedor. O equilbrio de foras provocadas pelas presses hidrostticas nos permite escrever: = =rfriErfrirfRiAdm aAdFdP. dm = (2 r L) dr = =rfrirfrirfrirdrrLrLdr rdP2222 ) ( ( )2 222i f r r P =Emr2(interfaceentreasduascamadas),a pressoamesmaemambososladosda interface. Temos ento para a fase pesada: ( )242222r r PPP =para a fase leve:( ) PLL P r r P = =212222 56( )( )21222422r rr rPL=||.|

\| Portanto, para haver a separao das fases a interface deve estar num raio menor que r3 emaiorqueoraiodotopodasuperfciedolquidopesadojusantedovertedor,ou seja: r4 < r2 < r3. Exemplo: Na refinao primria de leos vegetais, o leo cru parcialmente saponificado com um lcali e o leo refinado imediatamente separado, mediante centrifugao do sabo formado.Numdestesprocessos,adensidadedoleo0,92g/cm3eaviscosidade20 centipoise;adensidadedafasesabode0,98g/cm3 eaviscosidade300centipoise. Procura-sesepararumadestasfasesnumcentrifugadortubularde2polegadasde dimetrointernoe30polegadasdecomprimento,girandoa18.000rpm.Oraiodo vertedor por onde transborda a fase leve r1 = 0,50 in e o do vertedor da fase pesada r4=0,510in.Determinealocalizaodainterfacelquido-lquidonointeriorda centrfuga.(Foust et alli. Exemplo 22.4, p554, 1982). Soluo: ( )( )21222422r rr rPL=||.|

\| 2 222 2250 , 051 , 098 , 092 , 0=rr 0,939(r22- 0,250) = r22 - 0,260 r22 = 0,426 2.III - Separao Eletrosttica Hugo Arruntegui .pp237-246 Sendohojeoconsumodematrias-primasindustrializadascadavezmais elevado,existindooproblemadaescassezdosmateriaisbsicosecustosascendentes, tornou-seeconomicamenteviveloempregodosseparadoreseletrostticospara recuperaresepararminrios,materiaiseprodutosquenopassadoeramconsiderados de difcil beneficiamento e considerados como rejeito. Aatualizaotecnolgicaparticipoudiretamenteparaosucesso,desenvolvendo equipamentos cada vez mais aperfeioados, dependendo porm das propriedades fsicas equmicasdosmateriaisdaalimentao,paradefinirosistemamaisapropriadode processamento. 57Os diferentes parmetros que agem sobre os resultados finais de uma separao eletrosttica de certas misturas de materiais, obrigam em muitos casos utilizar processos gravimtricos e magnticos, anteriores ao emprego dos separadores eletrostticos. Como exemplo,pode-secitaroprocessamentodemineraisdecassiterita,pirita,magnetita, slica,etc.,daregiodeSoJooDelRei,cujoprocessamentoseefetuavanuma instalaocomequipamentospararealizarumaseparaomagnticaprimria, completando-seoprocessocomumaseparaoeletrosttica,obtendo-seemcada operaoprodutosdiferentes,deacordocom aspropriedadesmagnticaseletrostticas dos diferentes minerais. Enquantooutrosequipamentosefetuamseparaespordiferenadepeso especficooudesusceptibilidademagntica,osseparadoreseletrostticosutilizama diferenadecondutibilidadeeltrica.Oselementossoclassificados,segundoa condutibilidade em condutores e no-condutores. Osseparadoreseletrostticoseeletrodinmicosutilizamaaodeumcampo eltrico de alta tenso, permitindo por via seca, a classificao de partculas minerais em condutoras e no-condutoras. Descrio Geral dos Separadores Eletrostticos e Eletrodinmicos Soequipamentosfabricadoscomperfiladoselaminadosdeao-carbono, soldados, formando uma estrutura resistente. So compostos das seguintes peas: Moegas(Hoppers)-Fabricadasemaocarbono,amoegadealimentaopossui regulagemdedescargaefechorpido.Amoegadedescargapossuidivisores queseparamosprodutostratados.Quandoaalimentaodefluxodifcil, aplica-se um alimentador vibratrio para alimentar os rolos. Rolos - So fabricados em ao carbono ou inox, com dimetro varivel de 15 a 30 cm. Os rolossomontadossobrerolamentossuperdimensionados,protegidoscontrao p, com rotao varivel de 50 at 400 rpm. O rolo e a armao so ligados terra evitando qualquer descarga eltrica. Eletrodos-Emnmerodetrsparacadarolo,sofabricadoscomtubodealumnio, possuindoregulagemdeposicionamento. Oeletrododinmicopossuiumfiode tungstniomontadoaolongodotubo,trabalhandocomcorrentecontnua,em conjunto com o esttico. 58Oeletrododelimpezamontadodebaixodorolo(quedestacaosmateriaisno condutores do rolo), tambm possui um fio de tungstnio montado ao longo do tubo. Este eletrodo trabalha com corrente alternada. Todosesteseletrodossomontadossobrematerialisolante,evitandoqualquer descarga direta na armao. Fenmenos e Efeitos dos Eletrodos Numfiometlicofino,ligadoaumafontedecorrente contnuadealtatenso,criaaoseuredorumcampocircular dealtogradiente(efeitocorona)traduzindo-seemuma emisso de ons. Quandoaspartculastransportadaspelosrolosso submetidasaestaconstanteeltrica,adquiremcargasde magnitude varivel e com a mesma polaridade da fonte. Aspartculascondutorasperdemrapidamentesuacargaaoentrarememcontato comoroloesopoucoounodesviadasdesuatrajetrianormal.Aspartculasno mantmsuacargapormaistempoeaderemaosrolos,queastransportamemsua rotao, separando-as assim dos condutores, devido a esse fenmeno de fixao. Seofiometlicofinosubstitudoporumcilindrode dimetromaior,ogradientedocampoobtidomaisfraco.As partculascondutoraslevadaspelorolonocamporecebem instantaneamenteacarganormaleasnocondutorasrecebem uma carga reduzida, libertando-se do rolo com facilidade. Aspartculascondutorasremovidaspeloeletrodocilndrico seguemsuatrajetrianatural,separando-sedasnocondutoras,devidoaofenmenoda deflexo(desvio) (eletrodo esttico). 59Associandoosdoistiposdeeletrodosmencionados,os separadores eletrostticos e eletrodinmicos Mineralmaq possuem uma capacidade superior de separao, com menos problemas de temperatura e umidade dos produtos alimentados. Tambmhoefeitodaumidaderelativadoarambiente torna-se praticamente nulo (eletrodo dinmico) Transformadores-Normalmentesoutilizadosdois transformadoresparacadaseparador:umparaacorrente contnua e outro para a corrente alternada Operao Almdadiferenadecondutibilidadedaspartculas,quepermiteasuaseleo, existemoutrosfatoresqueagemsobreaseparaoeletrosttica,taiscomo:a granulometria,adensidadeeaformadaspartculas,quemodificamatrajetria, influenciados pela fora centrfuga e pelo peso. A umidade, a temperatura, o estado da superfcie das partculas e a presena de impurezas aderentes s partculas a serem separadas, alteram parcialmente a separao. Asmisturasdeprodutosquepodemsertratadosnosseparadoreseletrostticos devemserdafaixagranulomtricade6a200mesh,necessitandoutilizarumafaixa granulomtricamaisestreitaparaosfinosougrossosouquandoasdiferenasde condutibilidadeentreosmateriaissopequenas.Atemperaturadetratamento freqentemente elevada, entre 50 e 120C. A superfcie das partculas deve ser limpa, sem p, o que exige s vezes lavagens anterioresseparaoeletromagntica.Oestadodasuperfciecontaminadapodeser modificadocomumasimpleslavagemdegualimpaouporreaesqumicas, empregando vapores de cidos e outros produtos. Outros fatores importantes que afetam uma boa separao so: a) o dimetro dos rolosusados;b)avelocidadedosrolos;c)onmerodepasses;d)aalimentaoea posio dos divisores regulveis sobre as moegas de coleta. Principais aplicaes: Separao de scheelita da pirita ou wolframita Separao da Monasita de Ilmenita 60Concentrao de Vermiculita Enriquecimento de concentrados de fosfato Limpeza de carvo. EXERCCIOS 1)Dispe-sedeumconjuntode3ciclonesemparalelonaconfiguraoLapple,em razovel estado de conservao. O dimetro do ciclones 20 in. Estimar: a) A capacidade do conjunto b) O dimetro da partcula que coletada com eficincia de 95% c) A potncia do soprador usado na operao Considerarqueogstenhaaspropriedadesfsicadoara200Ce1atmequeas partculas slidas tenham densidade 3 g/cm3. Resposta Capacidade da bateria de ciclones: 87 m3/min Dimetro da partcula com eficincia de 95% = 20 microns Potncia do soprador: 3 cv (eficincia 0,5). 2)Estuda-seapossibilidadedereduziroteordecinzasdeumcarvoatravsda separaoemhidrocicloneoperandoemfasedensa.Aalimentaocontm2partes de carvo para 1 de cinzas, em massa. A concentrao volumtrica de carvo e cinzas naalimentaode5%.Carvoecinzasapresentamamesmadistribuio granulomtrica: Estimar o teor de cinzas do concentrado de carvo (overflow) que deve ser alcanado numa bateria de hidrociclone em paralelo de 2 in de dimetro, nas configuraes (a) Bradley e (b) Rietema, operando a uma queda de presso de 45 psi. Fornecer tambm a capacidade de cada hidrociclone. Densidade do carvo e cinzas, respectivamente, 1.25 e 2.10 g/cm3 Propriedades do fluido: densidade 1,21 g/cm3 e viscosidade 2,7 cP. Resposta: Fixando a relao entre os dimetros de descarga (underflow) e da parte cilndrica do hidrociclone em 0,15, na operao a 45 psi: ConfiguraoBradleyRietema Q por hidrociclone(m3/h)1,901,904,74 Relao % vazes62,398,2 X D= 121 5exp,1,35Demm61(overflow/alimentao) % carvo no underflow58,841,1 % carvo nooverflow75,475,6 Total % de carvo perdido pelo underflow 46,416,0 3)Determinaravelocidadedesedimentaodeumasuspensodepartculasesfricas devidro,30mcronsdedimetro,emglicerina.Sabe-sequeaconcentraode slidosde300g/litrodesuspenso,asdensidadesdoslidoedolquidoso respectivamente 2,6 g/cm3 e 1,3 g/cm3 e que a viscosidade do lquido 18 centipoise. 4)Foi conduzido no laboratrio um ensaio de separao de argila (s = 2,64 g/cm3) de uma suspenso aquosa, em centrfuga tubular. Propriedades do fluido: = 1,0 g/cm3 e = 1 cP. Dimenses da centrfuga: R0 = 1,1 cm, R = 2,2 cm, L = 20 cm; Nmero de rotaesdacentrfuga:20.000rpm.Capacidadeparaobterumsobrenadante satisfatrio: 8 cm3/s. Determinaraproduodacentrfugaindustrialoperandocomamesmasuspensoa 15.000rpm.SuasdimensessoR0=5,21cm,R=8,16cmeL=73,4cm. Determinar,tambm, o dimetro de corte d50 (dimetro da partcula que coletada comeficinciade50%)(L.Svarovsky,Solid-liquidSeparation,Butterworths, Londers, p.132, 1977). 5)O separador de poeira abaixo esquematizado opera em 3 compartimentos. Estimar a faixadedimetrosdaspartculasretidasemcadacompartimento.Dados:Vazode gs=5.000ft3/min(ara20Ce1atm);densidadedaspartculas,s=3g/cm3; esfericidade = 0,75