Cap. 7. Princípio dos trabalhos virtuais

1. Energia de deformação interna1.1 Definição e pressupostos adoptados1.2 Densidade da energia de deformação interna1.3 Caso particular: Lei constitutiva é representada pela recta1.4 Energia de deformação interna

2. Existência da solução do problema de elasticidade linear3. Unicidade da solução do problema de elasticidade linear4. Energia de deformação externa5. Lei de conservação da energia6. Energia potencial7. Princípios variacionais8. Princípio dos trabalhos virtuais

8.1 Princípio dos deslocamentos virtuais8.2 Princípio das forças (tensões) virtuais

9. Ligação do Princípio dos trabalhos virtuais aos Princípios variacionais

Energia acumulada no corpo elástico devido ao trabalho das forças externas,usa-se o termo “acumulada” porque no caso de elasticidade depois de removeras cargas, o MC volta ao seu estado inicial com a libertação desta energia

1. Energia de deformação interna

1. Comportamento do material elástico

2. Lento e gradual aumento das cargas

3. Campo de temperatura mantém-se constante(processo de deformação adiabático)

iU

Energia de deformação interna pode-se chamar energia potencial elástica ou energia potencial das forças internas

1.1 Definição e pressupostos adoptados

Pressupostos

W=0, estado inicial, sem carga, sem solicitações,

estado naturalTem que se estabelecer um nível zero

1.2 Densidade da energia de deformação interna

Densidade tem o sentido de “por unidade de volume do material”

0

T dW

W

*W

d

d

Leiconstitutiva

Densidade da energia complementar de deformação interna

0

T d*W *WW

Adrien-Marie Legendre (1752-1833)

T*WWTransformação de Legendre

Nas expressões costuma-se omitir a “barra”

W

George Green  (1793-1841)

*W

Equações constitutivas podem-se determinar a partir de energia de deformação

1.3 Caso particular: Lei constitutiva é representada pela recta

TTTTE C2

1

2

1W

D2

1

2

1*W TTTETTT

Existem deformações iniciais da origem térmica

TD*W

TC

W

T

*W

W

E

Válido igualmente para a lei não-linear

C2

1

2

1W TT

T

2

1*WWOmitindo as deformações iniciais térmicas

D2

1

2

1*W TT

1.4 Energia de deformação interna

Energia complementar de deformação interna

V

i WdVU

V

i dV*W*U

W é forma quadráticaem termos da deformação

W* é forma quadráticaem termos da tensão

2. Existência da solução do problema de elasticidade linear

Analogiac/ corpo rígido

Equilíbrio Estável

Energia potencial aumenta

EquilíbrioIndiferente

Energia potencialé igual

EquilíbrioInstável

Energia potencialdiminui

Para deslocara esfera

para assegurar a estabilidade do MC, ou seja para assegurar a existênciada solução do problema de elasticidade é preciso que seja satisfeito

W tem que ser forma quadrática, elíptica ou positivamente definida, ou seja odeterminante da matriz de rigidez e de flexibilidade tem que ser positivo ou nulo

Caso mais simples, lei constitutiva linear, não há deformações iniciais (cap. 6)

02

1*WW T

Condição necessária

3. Unicidade da solução do problema de elasticidade linear

Designa-se:

21 uu*u

0*0f&0f 21

0dV**V

T Analisa-se:

Pressuposto: existem duas soluções diferentesdo mesmo problema de valores de fronteira

21 uu

Prova pela contradição

2121TT uu*u* Equações Deformações - deslocamentos

2121C*C* Equações Constitutivas

Equações de Equilíbrio

Émile Clapeyron (1799-1864)

Teorema de divergência

s

T

V

T dSvndVv

Teoremas em analogia com a integração por partes

b,a

bab,a

dxdx

xdfxgxgxfdx

dx

xdgxf

Teorema de Clapeyron ou de Green

V

T

s

T

V

TT

V

T

dVudSn̂u

dVudV

1f & Extensão para 3D

Voltando a prova de unicidade da solução

S

T

V

T

S

T

V

T

dS*t*udV**udS*n̂*u

dV** (Teorema de Clapeyron)

uu02

01 Sem0*uSemuu&uu

pp02

01 Sem0*tSempt&pt

21 uu Quando ØSu

21 uu Quando ØSu

No 1º problema de valores de fronteira as soluções de deslocamento diferem pelo

movimento de corpo rígido (as cargas tem que assegurar o equilíbrio global)

SSS pu 0dV**V

T 21 21 &

0dS*t*udS*t*upu S

T

S

T + Condições de fronteira

4. Energia de deformação externa

= trabalho das forças externas

eU

Ex.: Uma força concentrada

w

0

e dwwPU

P

0

e dPPw*U

P

w

assumindo que o deslocamento aumenta proporcionalmente com o aumento da força: P=kw e w=P/k

Pw2

1kw2

1dwkwdwwPU 2w

0

w

0

e

Pw2

1

k

P

2

1dP

k

PdPPw*U

2P

0

P

0

e

dSpudVfu2

1U 0S

T

V

Te

p

dSut2

1*U 0S

Te

u

Caso geral Impostos

Quando as condições geométricas são homogéneas, ou seja

ei UU uSem0u

Quando as condições estáticas são homogéneas e as forças de volume nulas

*U*U ei Vem0f&Sem0t p

6. Energia potencial

Energia potencial das forças exteriores

dSpudVfuL 0S

T

V

T

p

dSut*L 0S

T

u

Energia potencial complementar das forças exteriores

eU2L

*U2*L e

Energia potencial = - trabalho mecânicono sistema conservativo

5. Lei de conservação da energia

dSpudVfudVWLU 0S

T

V

T

V

i

p

dSutdV*W*L*U* 0S

T

V

i

u

Energia potencial total

Energia potencial complementar total

Deslocamentos geometricamente admissíveis

1. são contínuos e derivadas são contínuas em partes2. satisfazem as condições de fronteira geométricas3. deformações admissíveis calculam-se usando as relações deformações - deslocamentos

Tensões estaticamente admissíveis

1. são contínuos e derivadas são contínuas em partes2. satisfazem as condições de fronteira estáticas3. satisfazem as condições de equilíbrio

7. Princípios variacionais

Princípio de Lagrange

Princípio de Castigliano

De todos os campos dos deslocamentos (e das deformações)geometricamente admissíveis acontece aquele, que dá mínimo ao funcional

*

De todos os campos das tensõesestaticamente admissíveis acontece aquele, que dá mínimo ao funcional

Carlo Alberto Castigliano (1847-1884)

8. Princípio dos trabalhos virtuais

Deslocamentos geometricamente admissíveis

Tensões estaticamente admissíveis

Sem qualquer ligação entre si pelas relações constitutivas

dSutdSupdVufdV 0S

T

S

T0V

T

V

T

up

Prova directamente pelo teorema de Clapeyron

V

T

s 0T

s

T0

V

T

s

T

V

T

s

T

V

TT

V

T

V

T

dVfudSpudStu

dVfudStu

dVudSn̂u

dVudVdV

pu

Virtual = não real, mas não precisa de ser infinitesimal

8.1 Princípio dos deslocamentos virtuais

dSupdVufdVpS

T0V

T

V

T

uSem0u

Real, ou seja estaticamente admissível

dSutdSuup

dVuufdV

0S

T

S

T0

V

T

V

T

up

dSutdSupdVufdV 0S

T

S

T0V

T

V

T

up

ei U2U2

Deslocamento virtual u

uT

PTV para uu

PTV para u

u Real, ou seja geometricamente admissível u0 Semuu 2

uu geometricamente admissível u0 Semuuu 2

3

8.2 Princípio das forças (tensões) virtuais

pSem0t

dSuttdSup

dVufdV

0S

T

S

T0

V

T

V

T

up

dSutdSupdVufdV 0S

T

S

T0V

T

V

T

up

u Real, ou seja geometricamente admissível

dSutdVuS

0T

V

T *U2*U2 ei

PTV para

PTV para

Tensão virtual

0

Real, ou seja estat. admiss. p0 Sempt 2 0f 3

E. adm. p0 Semptt 2 0f 3

n̂t

9. Ligação do Princípio dos trabalhos virtuais aos Princípios variacionais

Princípio de Lagrange

dSpudVfudVWLU 0S

T

V

T

V

i

p

0dSpudVfudVu 0S

T

V

T

V

T

p

PDV

Princípio de Castigliano

dSutdV*W*L*U* 0S

T

V

i

u

0dSutdV* 0S

T

V

T

u

PFV

,uu

u geometricamente admissível

u real 0

,tt

* estaticamente admissível

real 0*