cap. 7. princípio dos trabalhos virtuais · 1.2 densidade de energia de deformação interna 1.3...

Sebenta da Disciplina MMC, Zuzana Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2016

Cap. 7. Princípio dos trabalhos virtuais

1. Energia de deformação interna

1.1 Definição e pressupostos adoptados

1.2 Densidade de energia de deformação interna

1.3 Caso particular: Lei constitutiva é representada pela recta

1.4 Energia de deformação interna

2. Existência da solução do problema de elasticidade linear

3. Unicidade da solução do problema de elasticidade linear

4. Energia potencial

5. Princípios variacionais

6. Princípio dos trabalhos virtuais

6.1 Princípio dos deslocamentos virtuais

6.2 Princípio das forças (tensões) virtuais

7. Relação entre o Princípio dos trabalhos virtuais e os Princípios variacionais


1. Energia de deformação interna

1.1 Definição e pressupostos adoptados

Neste capítulo adoptar-se-ão os seguintes pressupostos:

1. Comportamento do material perfeitamente elástico

2. Lento e gradual aumento das forças aplicadas (carregamento mecânico)

3. Campo de temperatura mantém-se constante (processo de deformação adiabático)

O segundo pressuposto serve para evitar os efeitos dinâmicos.

A energia de deformação interna, corresponde à energia acumulada no corpo elástico devido ao

trabalho das forças aplicadas. Usa-se o termo “acumulada”, porque no caso de elasticidade

perfeita, depois de remover as cargas, o meio contínuo volta ao seu estado inicial com a

libertação desta energia, possuindo no final deste processo a energia de deformação no valor

igual como antes de aplicação de cargas. A energia de deformação interna pode chamar-se,

energia potencial elástica ou energia potencial das forças internas. Sendo a energia potencial, é

preciso estabelecer para a sua definição o nível zero, que se chama o estado natural, e

habitualmente corresponde ao estado do corpo sem cargas, sem tensões e deformações.

1.2 Densidade de energia de deformação interna

Em primeiro lugar, define-se a densidade de energia de deformação interna. A palavra

“densidade” neste contexto significa, “por unidade de volume”. Esta calcula-se de acordo com o

gráfico em baixo.

No caso da lei constitutiva não linear e deformações térmicas nulas, o gráfico que representa a

lei constitutiva começa da origem, e representa-se por uma curva. Assume-se que o

carregamento provoca um estado cujo nível final de tensões e de deformações é e . A

energia acumulada ao longo do processo de carregamento e que corresponde ao trabalho das

forças internas, é dada por:


0

T

W d

Ou seja, o trabalho elementar num estado intermédio cujo nível de tensão é ,é dado por

T

d . Os trabalhos elementares têm que se “somar”, o que corresponde à

integração e à forma final mostrada na equação acima.

Nota-se que o cálculo poder-se-ia efectuar de modo semelhante, considerado como o trabalho

elementar a multiplicação T

d ou seja, o trabalho de um dado nível de

deformações num incremento de tensão. Neste caso, a soma dos trabalhos elementares dava

0*

T

W d

Que se chama, a densidade de energia de deformação complementar.

De acordo com a figura, pode-se concluir que a densidade W corresponde à área do gráfico

abaixo da curva constitutiva, e *W à área acima. Nota-se que os valores, W e *W no caso da

lei constitutiva não linear, não são iguais. Salienta-se que para a entidade *W usa-se o

adjectivo “complementar”, no entanto, não existe nenhuma palavra particular que destaque

W .

A transformação de Legendre confirma que, *T

W W ou seja, ao “rectângulo”

completo. Nota-se no entanto que esta relação é valida em 3D e o gráfico da figura representa

uma simplificação do comportamento unidimensional, ou relação entre as medidas de tensão

dadas no Capítulo 5. A transformação de Legendre costuma-se apresentar sem a barra que

designa o estado final, ou seja *T

W W

As definições acima permitem estabelecer as relações constitutivas numa forma mais geral,

válida para as leis não-lineares.

W

e

*W

1.3 Caso particular: Lei constitutiva é representada pela recta

Assume-se que existam deformações iniciais de

origem térmica, e a lei constitutiva é representada

pela recta. O gráfico correspondente mostra-se na

figura ao lado.


Neste caso simples, pode-se verificar a validade das relações

W

e

*W

. Para isso, a densidade de energia de deformação tem que se exprimir em

função de deformação, e a densidade de energia de deformação complementar em função de

tensão. De acordo com a figura:

1 1

2 2

TTE T TW C

ou seja

TW

C

1 1

*2 2

T T T TT E TW D

ou seja

*T

WD

Assumindo que não há deformações iniciais térmicas, as densidades de energias são iguais, ou

seja, *W W . Como isso representa um dos casos mais comuns, costuma-se às vezes omitir a

diferença entre W e *W ,e diz-se simplesmente 1

*2

T

W W . Mais correctamente:

1 1

2 2

T T

W C ou seja, é forma quadrática em função de deformação;

1 1

*2 2

T T

W D é forma quadrática em função de tensão.

1.4 Energia de deformação interna

A energia de deformação interna, calcula-se usando a densidade de energia pela integração

sobre o volume do meio contínuo. Novamente distinguem-se as duas formas:

i

V

U WdV energia de deformação interna

* *i

V

U W dV energia de deformação interna complementar.


2. Existência da solução do problema de

elasticidade linear

Para assegurar a existência da solução do problema de elasticidade, no caso de elasticidade

linear, é necessário que seja satisfeito:

1

* 02

T

W W ou seja, as formas quadráticas definidas anteriormente têm que ser

positivamente definidas (elípticas), ou seja, o determinante da matriz de rigidez (e

consequentemente de flexibilidade) tem que ser positivo ou nulo.

3. Unicidade da solução do problema de

elasticidade linear

Para assegurar a solução única, é preciso que, 1

* 02

T

W W .

Prova:

Assume-se que existam duas soluções distintas do mesmo problema de elasticidade linear. Ou

seja 1 2

u u e verifica-se no interior que

1 1T

u , 1 1

C , 10f

2 2T

u , 2 2

C , 20f

e na fronteira u

S

1

0u u ,

2

0u u

e na fronteira p

S

1

0t p ,

2

0t p

Define-se o campo 1 2*u u u

Para este campo pode se definir:


1 2 1 2* *

T T

u u u

e também

1 2 1 2* *C C

O novo campo de tensão verifica as equações de equilíbrio homogéneas:

1 2 1 2* 0f f

e condições de fronteira homogéneas

1 2

0 0* 0u u u u u na

uS

1 2

0 0* 0t t t p p na

pS

e por isso, os campos * correspondem a uma solução do problema homogéneo. Assim

* * 0T

. Deriva-se em seguida:

ˆ* * * * * * * *T T T T

V S V SdV u n dS u dV u t dS

Na primeira igualdade da relação acima, usou-se o teorema de Clapeyron, que é uma extensão

da integração por partes para 3D.

* * * * * *u p

T T T

S S Su t dS u t dS u t dS

mas o campo *u é nulo na u

S e *t na p

S . Isso implica que * * 0T

VdV .Visto

que * * 0T

tem que se concluir que * * 0T

em qualquer ponto do corpo,

ou seja 1 2

e 1 2

.

Apenas no caso em que Øu

S pode acontecer que 1 2

não implica 1 2

u u e

pode haver infinitas soluções que diferem entre si apenas pelo movimento do corpo rígido, mas

o campo de tensão e de deformação é igual. Quando Øu

S existe apenas uma única solução

do problema de elasticidade linear.

Voltando ao teorema de Clapeyron, nota-se que este não representa nenhuma relação

mecânica mas tem a sua base puramente matemática; às vezes chama-se também teorema de

Green e corresponde a uma extensão da integração por partes em 3D:


ˆT

T T T T

V V s V

T T

s V

dV u dV u n dS u dV

u t dS u f dV

apenas a última linha envolve a definição do vector das tensões (componentes cartesianas) e as

equações de equilíbrio.

Recorda-se a forma da integração por partes:

, ,

b

aa b a b

dg x df xf x dx f x g x g x dx

dx dx

A correspondência verifica-se entre o intervalo em 1D e o domínio (o volume do corpo V) em

3D; entre a “fronteira” do intervalo (pontos “a” e “b”) e a superfície do domínio “S”. O efeito da

normal exterior à superfície não é muito óbvio em 1D, mas é esse efeito que causa o valor

negativo no limite inferior do intervalo.

Quando uma das funções é identicamente igual a “1”, 1f , o teorema é conhecido com o

teorema de divergência.

T T

V sv dV n v dS

4. Energia potencial

A energia potencial total corresponde à soma da energia potencial das forças externas e

internas. A energia potencial das forças internas foi introduzida nas secções anteriores. Sabe-se

da disciplina de Dinâmica do corpo rígido que a energia potencial das forças externas equivale

ao negativo do trabalho mecânico no sistema conservativo. Define-se

A energia potencial das forças externas, ou seja, das forças aplicadas na forma de carregamento

na forma de forças de volume f e de superfície 0p :

0p

T T

V SL u f dV u p dS

a integração efectua-se pelo volume completo, ou seja, sobre o volume onde as cargas são

aplicadas, e pela parte de superfície p

S onde são aplicadas as forças de superfície.

A energia potencial complementar das forças exteriores corresponde por isso ao complemento,

ou seja, ao negativo do trabalho do vector das tensões sobre deslocamentos impostos:

0*

u

T

SL t u dS


Em resumo, a energia potencial total corresponde a:

0p

T Ti

V V SU L W dV u f dV u p dS

e a energia potencial complementar total

0* * * *

u

Ti

V SU L W dV t u dS

No caso da energia potencial, nota-se que os deslocamentos e deformações tomam a posição da

variável, ou seja, do campo incógnito. Por isso, representa um funcional e define-se

Campo de deslocamento cinematicamente admissível:

é cada campo de deslocamento que verifica as seguintes condições:

1. é contínuo e as derivadas são contínuas em trechos

2. satisfaz as condições de fronteira cinemáticas (geométricas)

3. o campo de deformações admissíveis calcula-se via equações deformação-deslocamento

A condição 3. faz parte da definição, no entanto não está a induzir nenhuma restrição ao campo

analisado.

No caso da energia potencial complementar, as tensões tomam a posição da variável, ou seja do

campo incógnito. Por isso * representa um funcional e define-se

Campo de tensão estaticamente admissível:

é cada campo de tensão que verifica as seguintes condições:

1. é contínuo e as derivadas são contínuas em trechos

2. satisfazem as condições de fronteira estáticas

3. satisfazem as condições de equilíbrio

Nota-se que a exigência da continuidade está significativamente reduzida comparando com a

formulação clássica. Relativamente aos deslocamentos, a primeira derivada é necessária para

determinar a deformação. É possível considerar deformações contínuas em partes, porque o

integral que define a energia potencial ainda está definido. Relativamente às tensões, a primeira

derivada é necessária nas equações de equilíbrio.


5. Princípios variacionais

Princípio de Lagrange

Do conjunto de todos os campos de deslocamentos cinematicamente admissíveis, ocorre que o

mesmo fornece ao funcional de energia potencial o valor mínimo.

Princípio de Castigliano

Do conjunto de todos os campos de tensões estaticamente admissíveis, ocorre que o mesmo

fornece ao funcional de energia potencial complementar * o valor mínimo.

6. Princípio dos trabalhos virtuais

Neste contexto, a palavra “virtual” significa “não real” e não tem nada a ver com o facto de

representar entidade física, infinitesimal ou finita.

Voltando ao teorema de Clapeyron, vê se que:

0 0u p

T T T T

V s s VdV u t dS u p dS u f dV

para todos os campos de deslocamentos cinematicamente admissíveis e todos os campos de

tensão estaticamente admissíveis. É importante salientar que neste caso, as tensões e as

deformações não têm rigorosamente nenhuma ligação entre si. E por isso a equação exprime

trabalho virtual, ou seja, não real. A equação acima, representa o princípio dos trabalhos virtuais

em palavras: para todos os campos de deslocamentos cinematicamente admissíveis e todos os

campos de tensão estaticamente admissíveis, o trabalho virtual das forças internas equivale ao

trabalho virtual das forças externas. Este princípio na sua forma, formulação geral não se usa

muito porque utiliza os dois campos como virtuais. Usa-se mais nas suas duas formas distintas. É

preciso atribuir a um dos campos a propriedade de campo real, e deixar o outro na função de

campo virtual.

6.1 Princípio dos deslocamentos virtuais

Assume-se o campo de tensão real e o campo de deslocamentos virtual na forma

u u onde u é real.

Neste caso:

0u u em

uS e

T

u

0u u u em u

S e T T

u u u , ou seja


T

u e 0u em u

S

Escrevendo o PTV para os campos e u u e depois para e u

0 0p u

T T

V V

T T

S S

dV f u u dV

p u u dS t u dS

0 0p u

T T T T

V V S SdV f u dV p u dS t u dS

e subtraindo as duas equações:

0p

T T T

V V SdV f u dV p u dS

obtivemos o princípio dos deslocamentos virtuais. Nota-se que o campo u tem que verificar

as condições de fronteiras cinemáticas homogéneas.

6.2 Princípio das forças (tensões) virtuais

Tal como no Capítulo 6, podemos ver que em vez de “tensões” usa-se habitualmente a palavra

“forças”.

Assume-se o campo de deslocamentos real u e o campo de tensões virtual na forma

onde é real.

Neste caso:

0t p em p

S e 0f

0t t p em p

S e 0f , ou seja

0 e 0t em p

S

Escrevendo o PTV para os campos e u e depois para e u

0 0p u

T T

V V

TT

S S

dV f u dV

p u dS t t u dS

0 0p u

T T T T

V V S SdV f u dV p u dS t u dS


e subtraindo as duas equações:

0u

T T

V SdV t u dS

obtivemos o princípio das forças virtuais. Nota-se que o campo tem que verificar as

condições de fronteiras estáticas homogéneas e as equações de equilíbrio também

homogéneas, ou seja, com as forças de volume nulas.

É preciso salientar que vulgarmente usa-se sempre o princípio dos trabalhos virtuais (PTV), sem

a distinção em PDV e PFV. Por exemplo, na Dinâmica dos corpos rígidos falou-se em PTV. Neste

caso, não havendo deformações, a parte esquerda da equação é nula. Na parte direita

assumiram-se tensões reais (na forma de reacções externas e internas) e deslocamentos virtuais

aplicados a um mecanismo com um grau de liberdade cinemática. O objectivo era calcular uma

das reacções. Para simplificação do cálculo, assumiram-se os deslocamentos virtuais na forma

infinitesimal. Visto que o movimento de um mecanismo com um grau de liberdade cinemática é

possível descrever usando um parâmetro, era possível testar “todos” os campos de

deslocamento virtual.

7. Relação entre o Princípio dos trabalhos virtuais e

os Princípios variacionais

Princípio de Lagrange

0p

T Ti

V V SU L W dV u f dV u p dS

Foi dito que o campo de deslocamento real fornece ao funcional o valor mínimo, ou seja as

variações nulas, 0 .

0

00

p

p

T T

V V S

T T T

V V S

Wu dV u f dV u p dS

dV u f dV u p dS

A última equação corresponde ao princípio dos deslocamentos virtuais.

Princípio de Castigliano

0* * * *

u

Ti

V SU L W dV t u dS

Foi dito que o campo de tensão real fornece ao funcional o valor mínimo, ou seja as variações

nulas, * 0 .


0

0

**

0

u

u

T

V S

T T

V S

WdV t u dS

dV t u dS

A última equação corresponde ao princípio das forças virtuais.

cap. 7. princípio dos trabalhos virtuais · 1.2 densidade de energia de deformação interna 1.3...

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