_ VIBRAÇÕES TRANSVERSAIS EM PLACAS

CIRCULARES DE ESPESSURA UIUFORME

COM CARREGAMENTO RADIAL

ARNO BLASS

Tese submetida ao Corpo Docente da Coor-­

denação dos Programas P6s-Graduados de E!! •. genharia da Uniyersidade Federal do Rio

de Janeiro, como parte dos requisitos pa­

ra obtenção do Grau de Mestre em Ciências

(M. Se.).

Aprovada por

Fevereiro de 1968

Ao Professor Luiz Bevilacqua,

orientador dêste trabalho;

A todos, pessoas ou instituições,

a quem, de uma forma ou de outra,

devo, pela meta que hoje cumpro.

'

Professor João David Ferreira Lima

Professor Gaspar Erich Stemmer

Sua atuação esclarecida à frente da

Universidade Federal de Santa Cata­

rina, e de sua Escola de Engenharia

Industrial, criaram as condições p~ A

ra nossa vinda a esse curso.

'

Sumário . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . 1

Capítulo I - Équaç~o geral das vibrações trans-

versais de placas de espessura uniforme •

Capítulo II - Placa circular apoiada em sua pe­

riferia, e uniformemente comprimida ao loa

goda mesma • • • • • • • • • • • • • • •

Capítulo III - Placa circular com furo, engast~

da num eixo, e uniformemente comprimida ao

longo da periferia • • • • • •

Conclusão ••

Bibliografia

Nomenclatura

• • • • • • •• • • •

Figuras

Anexos

• • • • • • • • •

• • • • • • • • •

• • 7' • • • • • . . . • • • • • • • • . . .

•

•

• • • • • •

• • • • •

• • • • • •

• • .• • •

• • . • • . • • • • •

3

20

24

38

40

41

42

44

Tabelas, • •

Diagramas , •

• • • • • • • • • • • • • •

• • • • • • • • • . . . . . . 47

•• 52

tudo das

O presente trabalho representa uma introdução ao e.!!, ~C-5 de 1

vibrações transversais de espessura uniforme, com

carregamento radial, e visa iornecer elementos para a resolu­

ção do problema das vibrações transversais em discos girantes

como, por exemplo, é o caso de rotores de turbinas.

Inicialmente é instituida a equação diferencial que

descreve o fenômeno, de forma geral, aplicável a placas de e~

pessura uniforme, mas sem limitação quanto à forma ou tipo de

carregamento. Para tanto, foi empregado o método da energia.

Esta equação é obtida diretamente em coordenadas P2

lares e é, a seguir, particulariza.da para os casos axi-simé­

tricos.

Resolve-se, depois, o problema da placa circular,

' sem furos, apoiada em sua periteria, e uniformemente comprimi

aa ao longo da mesma.~ possível, nestas condições, obter-se

uma solução analítica. A equação que fornece os autovalores é

constituida, porém, por cocientes de funções de Bessel, de m2

do que a obtenção das freqüências de vibbação do sistema, e

da carga de instabilidade, deve ser feita num~ricamente.

O problema abordado em seguida, é o da placa circu­

lar engastada num eixo, e uniformemente comprimida ao longo

da periferia. t obtida a equação diferencial, e um valor a­

proximado da primeira freqüência de vibração do sistema, pe-

2

lo método de Rayleigh-Ritz. O problema foi resolvido numeri­

camente, num caso particular, empregando-se o computador di­

gital IBM-1130, do Departamento de Cálculo Científico da Co­

ordenação dos Proframas P6s-Graduados de Engenharia da UFRJ• N A • para relaçoes de diametros entre a eixo e a placa iguais a

0,4, 0,3 e 0,2, obtendo-se, em cada caso, os dois primei­

ro& modos de vibração. No trabalho é descrita a técnica em­

pregada para a determinação das freqüências, e feita uma

comparação entre os resultados obtidos.

As freqüências foram obtidas com auxílio da curva

indicatriz, cuja obtenção é descrita no decorrer do tràbalho,

e que parece ser um instrumento mais expedito do que o·méto­

do de Rayleigh-Ritz, no estudo de sistemas contínuos.

CA~!TULO=I=-=:E>2UAÇÃO=GERAL=DAS=VIBRAQÔES=TRANSVERSAIS=DE

PLACAS DE ESPESSURA UNIFORME ================-==--=-----=

Serão consideradas neste estudo apenas placas finas,

isto é, para ap quais a espessura é pequena, relativamente às

demais dimensões.

Considerando, inicialmlBnte, o caso mais geral, de

placas com carregamento transversal e lateral, torna-se posa!

vel equacionar três parcelas de energia de deformação:

a- Energia de deformação devida à flexão- da placa;

b- Energia de deformação devida ao carregamento trans­

versal;

c- Energia de deformação devida ao carregamento lateral,

A - Energia de deformação devida à flexão da placa

Devido à suposição de que a espessura da placa é pe

quena, relativamente às demais dimensões, e restringindo-nos

exclusivamente ao estudo de pequenas deformações, podemos ad­

mitir como válidas as afirmações seguintes:

A

1- Os pontos situados sobre uma normal à superfície mé-

dia, permanecem, após a deformação, sÔbre uma reta

normal à superfície média deformada; .

2- A superfície média deformada não é sujeita a alonga-

•

5

podemos exprimir as componentes de deformação de um ponto si­

tuado a uma distância~ da superfície média, em termos dos

deslocamentos u, v, w, obtendo: - - -€ = -r

(1-I)

Em virtuda da hip6tese (3), e considerando <ç des­

prezável em relação ~s demais tensões, podemos escrever, de

acÔrdo com a Lei de Hooke, e introduzindo as relações acima,

E Ez 1/J. aw i)2 w'.'\ 1:t-e = º'fre = 2(l+~)·frQ = i+~·r\r·'ã9 - ar~~)=

= Ez(l-v).1(1.~ _ ~2w)

(l-v2) r r oQ drdQ

A energia de deformação se exprime por

v = if ff.) (crr~ + 'J'"QeQ + -rret,é)dV

(2-I)

onde a integração deve ser extendida ao longo de todo o volE­

me da placa. Introduzindo nesta as expresãões (1-I) e (2-I),

obtemos, então, a energia de deformação devida à flexão da

placa:

6

Integrando relativamente à variável z, entre -h/2 e

+h/2, somando e subtraindo ao integrando as parcelas

e

considerando que o Laplaciano, em coordenadas polares, se ex­

prime por

e que a rigidez à flexão das placas se define por

obtemos, finalmente,

onde dS = r.dr.dQ. Esta é a expressão que procuramos, e que

usaremos mais adiante. A integral dupla deve ser extendida ao A

longo de toda a superfície da placa.

1

B - Energia de deformação devida ao carregamento transversal

Supondo que cyr' o-9 e ""t;r~ são as tensões reativas

produzidas pelo carregamento transversal, temos, a partir

das relações (2-I), e supondo, novanente, que çrz' ""tz9 e -Czr

são desprezáveis em presença das demais tensões, que

e 1"re 2,;.9 tre = T = -,-<1 + v)

Introduzindo estas relações na expressão (2-I), ob­

temos, então, a energia de deformação devida ao carregamento

transversal:

v, = l/Jfi;{ + o.2 - 2"","• + 2<1 + ,rc,..~ av

Somando e subtraindo ao integrando a parcela 2<Jr(fi'

integrando relativamente a~. e considerando que Nr = h<Tr,

N9 = h<ie e Nr9 = h"'S.,Q são as fôrças distribuidas ao longo

da espessura da placa, para cada par (r, 9), obtemos, final-

mente,

vt = ~ ((~Nr + N9) 2 + 2(1 + v)(Nr92 - Nxft9)]ds

)~S)

C - Energia de deformação devida ao carregamento lateral

(4-I)

Suponhamos, agora, aplicada a carga lateral. Isto

provocará flexão adicional da placa, e, portanto, deformação

adicional da superfície média, que não pode, agora, serdes­

prezada, já que, por pequena que seja essa deformação adicio .... nal, sua combinação com as fôrças finitas Nr• N9 e NrQ pode

dar origem a parcelas de energia de deformação da mesma or-

8

dem da energia devida à flexão.

de deslocamento de um Sejam~. y, ! as componentes

ponto da superfície média nas direções!:.• Q e z, respectiva-- -mente. Considerando o elemento linear AB dessa superfície mf

dia na direção!• pode-se observar, da fig. II, que o along~

mento de AB devido · ao deslocamento ~ é expresso por ~~dr •'

O alongamento do mesmo elemento linear devido ao deslocamen­

to! é ~~;)2dr, como se pode observar da comparação do

comprimento de A1B1 com o comprimento de sua projeção sÔbre

o eixo!:.• Assim sendo, o alongamento total unitário na dire­

ção der de um elemento tomado na sua superf'ície média da pl~

ca será

Anàlogamente, pela fig. III,

ç.!. _ U + 1 ÕV + 1 (1 ãw\ !! - - r r•ã'Q ~ ~J

(5-I)

obtém-se, na direção e,

(6-I)

Considerando, agora, a deformação angular no plano

médio, devida à flexão, concluímos, comparando, na fig. IV, A

os angulos AOT·e A1 01 T',

tos~ e y é expressa por

que a parcela devida aos deslocame!! 1 ÕU 3v V r•ã'Q + ãr - r. Para determinar a

parcela devida ao deslocamento w, tomamos dois elementos in--finitesimaie OA, radial, e OB, tangencial (fig. IV). Tiremos

0T tangente a OB por o. Devido aos deslocamentos na direção

!:• êstes elementos assumem as posições o1A1 , o1B1 (não repre­

sentada na figura) e o1T1·, respectivamente. A diferença entre

o ângulolt/2 e o ângulo A1o1T1é a deformação angular corres-

9

pondente ao deslocamento!• Para determinar esta diferença,· A

consideraremos o angulo reto A1o1T2, em que T2o1 é paralelo ,.

a T10'. Girando o plano)A1o1T2 ao redor de o1A1 de um angulo

~.~9, fazemo-lo coincidir com o plano A1o1'1]_, e trazemos o

ponto T2 à posição c. O deslocamento1f2C é expresso por

(~.~9)rd8 e é inclinado relativamente à vertical T2T1 do ân-aw é aw l i)w gulo or• Conseqüentemente, T1C igual a ~·r·õe•rde, e o

A - . angulo co1T1, que representa a deformaçao angular correspon-- - l ~w aw dente ao deslocamento!• é, entao, r·ã"r·~. Somando esta às

deformações produzidas pelos deslocamentos!! e!, obtemos

1 1 ÕU Jv V 1 ~W aw r re = r·,e' + Fr - r + r·ãr·ãe (7-I)

As expressões (5-I), (6-I) e (7-I) representam as

componentes da distorsão adicional na superfície média da pl~

ca, em virtude de pequenos deslocamentos. Considerando-as mu!

to pequenas em comparação com as componentes ~r' ~9 e Íre• ~

sadas ma obtenção da fórmula (4-I), podemos supor que as fôr­

ças Nr' N8 e Nre permanecem constantes durante a flexão. Com

esta hipótese, a energia de deformação adicional da placa, d~

vida~ distorsão produzida na superfície média por flexão se­

rá

-e introduzindo nesta expressao os resultados obtidos anterior-

mente, obtemos, ao final,

10

D - Instituição da Equação Diferencial

A equação diferencial geral das vibrações transver­

sais de placas é obtida a partir do Princípio de Hamilton:

onde

J.;~vf + vt +JVq, - T)dt = ~!.dt (9-I) o ,/t:

Vf' Vt e Vq, representam as energias de deformação já ob­

tidas, e representadas pelas f6rmulae (3-I),

(4-I) e (8-I);

T é a energia cinética, expressa por

T = ! rhf!s) (w)2dS ' (10-I)

sendo f a massa específica do material da

placa, e~ a espessura da mesma, suposta

constante; e

ÍA é a variação dontrabalho das fôrças externas, expres­

sa por

óA = (( q(r,9)6wd8 ,

)Jcs> (11-I)

em que ,Cr,9) é a carga que atua sÔbre a pl!!;

ca.

Calculemos as variações mencionadas no primeiro mem­

bro da equação (9-I), levando em conta que as variações deu -e~. e de suas derivadas, sãodesprezáveis em face das varia-

-çoes de:! e de suas derivadas. Obtemos:

'

T = rh r r w ÓW dS "JJcs)

Levando em conta que

11

(12-))

(13-I)

(14-I)

(15-I)

e utilizahdo os êlementos contidos no Anexo I, podemos rees­

crever as expressões (12-I) a (15-I) na forma que segue:

(18-I)

As expressões (16-I) e (17-I) precisam, ainda, ser

modificadas, para servirem ao fim que almejamos. Trabalhando

inicialmente sÔbre ~Vf' e de~ominando ~Vf, bVf e bVf, re~ · 1 2 . J

pectivamente, a cada uma das integrais que comparecem no se-

gundo membro da (16-I), podemos escrever,

Teorema de Green, em coordenadas polares,

pela aplicação do

a &vf , que 2

(19-I)

pnde a integral simples deve ser ef~tuada ao longo do contôr­

no da placa, e onde ll representa a direção normal, e! a dire ,.,, . .... ....

çao tangencial a esse contorno, congorme a fig. V.

Outrossim, considerando que

13

õáw õôw àdw "Sr = ~.cosr - rs·sen<p

e que

<)bw (º!w aSw ) ãB" = 'fn".sen'f + "'5ã"•cosr r

e, ainda, que, pelo Teorema de Green

ff.ir~~l) + ·.:'}, ··1:-'º"r + .,.•enr)•· pondo, em nosso caso,

obtemos

ê)~w K 2 õw 2 ,,2w ·) 2 ( ?iw 1 ê>w 1 o2w~ ~ + -:;-- "J!l- - -.- cos r + ~ - -.- - --:!·~ senrostp +

os r ÕQ r õr3Q àr r 3r r ê)Q /-

(20-I)

14 N Nesta expressao, a segunda parcela pode ser integr~

da por partes:

j, ;)J . )º;.f(r,Q)ds = áw.f(r,Q) - ( ÔW~~.ds,

(C) )(e) (21-I)

e já que ôw se anula no contÔrno da placa, o primeiro têrmo

do segundo membro de (21-I) se anula. Assim sendo, coletando

os resultados obtidos em (19-I), (20-I) e (21-I), e levando­

os à f6rmula (16-I), escrevemos, finalmente:

àVf = D (( \74w ów dr dQ + D ( (v2w.'f: - ~~!w.bw)ds -)Jcs) V<c}

f~~w ~(l õw l a2

w~ . r D(l - ~ - -.-. + :,:·~ coa + (C) Jn r elr r C,Q

( 2 ÕW 2 o2w ) ~2w 2 J

+ ;;,:·ae - ;·orOe senr cosf + ar2.sen jJ -

<: <) ~~2 ~w 2 ã2w ) 2 + - ow.- :,:·- - -.- cos os r ÕQ r oroQ

(02w · l Ow l o2

~ l + \'or2 - ;·h - ;;:·oe senr cosrJ +

~ Í/J. à2w · l · õ3w')

+ w 19·àe2 - -;,·or'JQ2 coscp +

(1 c3w + 2 ow 2 ô

2w ~ iplld (22-I)

+ ;·Ôr2dQ ;,-·ae - ;;,:·~r'Oe)senr cos,,ij a

Tomando a equação ·(17-I) e pondo, anàlogamente,

e

podemos reescrever, também, b'\t na forma

6Vn = ( ~ )<e)

+ Q. 0 w + ~.~ àw r dr dQ N -~2 2N 2 ~

~ ae2 r ôrãe

15

(23-I)

Coletando os resultados representados pelas equações

(18-I), (22-I) e (23-I), e levando-os~ eqqação (9-I), repre­

sentativa do Princípio de Hamilton, obtemos:

/iaf•w · rr~:2 + ;-~:) + ~-~2 + ~"'-~J +

+ jbw - q(r,9~w r dr d9 +

+ ifrw- (l -V)~~•:: + ;z.~~)coof +

+ f.2.ow - 2.a2w~senrcos(/) + q2w.sen2,]l_lów.ds + \~ Oe r àràe) / or2 ]J õn

+ D ( -Íc1 - v) .L ~\:~w - 2• J2w )cos2

i:p + :lcc)1 <Js ~ ae r .3rdQ ,

16

Já que 3w foi tomado arbitr~riamente, a equação a­

cima será satisfeita para quaisquer valores de 6w no interior • ~iw.

da placa ou em seu contorno, e para qualquer valor de ãn" no

contôrno da placa, desde que sejam satisfeitas as condições

+ rhw - q(r,Q) = o (24-I)

~

l õw l ~ 2w1 2 = (l - \>) -.- + ""2'·~ cos "(/) +

r cJr r dQ . 1

(; õw 2 Õ~w ) õ

2w 2 ~ + ""2'·- - -.- sen; cosr + ~-sen (/J õe r àrõe ar J.

(25-I)

,ií/2w -ti, ~Ç aw 2 a

2w ) 2 - = (1 - V) - ""2'•- - -.- cos (IJ +

dn os dQ r orõQ 1

(o2w l ôw l · ?iw) f~ + ~ - -.- - ""2'·~ seng, cos

àr r dr r ae ,

_ 1. õ w _ 1 • e w cos + LI

2 J

(;, ae2 ~ àr;)e2) f

(l ôJw 2 aw 2 õ

2w ) ~} + -. 2-. + :J•- - ""2'·- sen(O +

r OI' oQ r oQ r ÕrdQ ,_

+ .!F/Nr.õw + Nre·ow)cos(/1 +~."'tf!.. + Nre:~)senipl D L\: õr r ae 1 \; ÕQ or IJ

(26-I)

A equação (2.4-I) constitui a equação diferencial

das vibrações transversais de placas com carregamento trans­

versal e lateral, enquanto que as equações (25-I) e (26-I)

constituem as condições de contôrno, devendo, por isso mesmo, • ser ~alculadas no contorno da placa.

17 A estas se devem adicionar, ainda, as condições in!

ciais, que determinam a deflexão da placa, e seu estado de v~

lmcidade, no instante t = O:

w(r, e, O)= f(r, Q)

e (27-I) • w(r, e, O)= g(r, Q).

E - Particularização a placas c:ii.rculares e casos axi-simétricos

Quando se tem uma placa circular, o ângulo f I entre

o vetor posição de um ponto do contôrno da placa e a normal ao

contôrno (Ver fig. V) é constante e nulo, desde que se tome o

polo do sistema de referência no centro da placa. Outrossim, a

direção r coincide com a direção normal ao contôrno, e por is­

so, as condições.de contôrno mencionadas ao final da página

anterior se simplificam, respectivamente, para

n2 (1 ~w 1 ()2wo v w = (1 - V) -.- + ~·~

r Õr r c)Q

e

ã~w ={1 (N • ..!! + Nre . ..!!) + ~r nt r r r Q

[l ::1~2 clw 2 o2

w ) 1 o2w 1 a3w J} + (1 - \>) -.~ ~·- - -.- - :::;·~ + ~· 2

r oe o e r à roe r ôe r àroe

Se particularizarmos ainda mais, para o ca~o de vi­

brações axi-simétricas, as derivadas em ~elação a Q se anulam,

e a equação diferencial e suas condições de contôrno se rees­

crevem na forma

18 ..-4 2 •• uv·w - Nr.'\/ w + thw - q(r) = O

(28-I)

n2w = 1 - v ~ V r ·ur e (No contôrno)

onde, agora,

.,-,4 (';/-., 1 O' ')(~2w 1 ôw) V -w = ~ + -.- ~ + -.- =

ôr r àr or ror

Q4W = Jr4 +

em que s6 ainda escrevemos derivadas parciais porque a equa-

-çao diferencial depende, ainda, do tempo.

Por mera conveniência operaçional, vamos fazer uma

mudança de variável, para o caso das vibrações axi-simétricas

em placas circulares, adimensionalizando a variável livre."

Pondo

onde reé o raio externo da placa, temos, para g = 1, 2, ••• ,

como válidas as relações

e 1 dn -.-

ren tn

-e, portanto, arequaçao diferencial de (28-I) se reescreve na

forma

enquanto que as condições de A

contorno passam a ser

1· - Y õw ,;,, .-

i ºF e ~Qfw = Nr(e).~ (No contÔrno).

df D Ôf

Nestas expressoes, Nr e q

mo funções de f, e os símbolos '7r4w

passam a ser expressos c2

e vtw indicam que êstes

19

operadores são, também, expressos em função da variável f• Supondo, finalmente, a possibilidade de se en~on­

trar uma solução com variáveis separadas,

w ~ • t > = w c1 > • e1urt • (29-I)

onde uré a freqüência de vibração da placa, para a qual

w~. t) = -ur2wcr, t) •

vem, ap6s descartarmos o fator comum -il.ll"t e •

D~ - N(\)re2~2w - !hre4ar2w - re4q(\) = o

ou, deixando de usar~ nos operadores, o Índice r· como, de

resto, faremos nos capítulos seguintes, e dividindo ambos os N

membros da equaçao diferencial por D, obtemos finalmente:

-r 4.:l.=o e D

(JQ-I)

l com esta equação que trabalharemos nos próximos

capítulos. A mudança de variável permitiu, como já se disse,

adimensionalizar a variável livre, o que equivale a se reso! A

ver o ppoblema como se o raio da placa fosse unitário.

CAPITULO II+ PLACA CIRCULAR APOIADA EM SUA PERIFERIA E UMI-=====================================================~======= FORMEMENTE COMPRIMIDA AO LONGO DA MESMA ========-===---=----=-======--==--=-===

N

Vamos resolver, agora, empregando a eq.l!açao difereg

cial instituída no capítulo anterior, na sua forma (30-I), o

caso de uma placa circular de espessura uniforme, sem furos, ll

niformemente comprimida em sua periferia, e apoiada ao longo

da mesma (fig. VI). Devido à possibilidade de se conseguir,

neste caso, uma solução analítica, obteremos importantes sub-_

sídios que servirão de elementos orientativos no caso aborda­

do a seguir.

A

Levando em conta que, devido à inexistencia de car-

regamento transversal,

q e,) = o •

e que a fôrça produzida pelo carregamento lateral uniforme se

exprime por

N

podemos reescrever a equaçao diferencial na forma 2 4

°\74w + Pohre .'í/2w - thre ,W'2w = O D D

com as condições de contôrno

a) W(O) finito;

b) Mr(O) = Mg(O);

e) W(l) = O;

d) ~(l) =o;

(1-II)

(2-II)

e com as condições iniciais f(r) e g(f), no sentido dado nas

• 21

equações (27-I). Pondo

p hr 2 o e 2D A = e (3-II)

ficamos com

\/4w + 2Aí/2W - Buf!w = O , (4-II)

que é uma equação diferencial linear, ordinária, onde A e B"

são constantes positivas, e cuja equação característica é

u2 + 2Au - Bl.& 2 = O ,

que tem raízes

-.ex. = - A - ·yA2 + Bu.,-2

0 = - A+ VA2 + BW-2 (5-II)

Observamos que, na forma posta, d,. e 0 são positivos.

A equação pode, então, ser reescrita na forma

e, portanto, pode ser desdobrada no sistema

('í/2 + D()Z = o

<V2 - ~)W = z

ou, de outra forma, 2

d Z + ! . .@ -+c(Z = o ~ f df (6-II) 2 ' d W + 1 dW e>w z • ~ -.- - = df f t Da primeira das equações de (6-II) vem que

22

e levando êste resultado~ segunda equação, resulta

onde as duas primeiras parcelas representam a solução da e­

quação homogênea, enquanto que as outras duas constituem uma

solução particular da equação não homogênea,

Pela condição (a), de (2-II), há que impor K2 = K4 nulos, resultando, então, pela condição (t),

1o(fF)

K3 = - Kl'Jo(j~) •

com o que a solução fica send.o

portanto

[i Io(~) J w• = K1L'ÚrI1 <v'e'r) + R Jo (~). Jl <~r ~

; .• •,~r.<~fl -fr,<rfrl. ~:~:it,.<Yõir) -7.,,_<i<f~} A condição (b) é equivalente a escrever-se

W' (p•~ lim W" (p) = lim ' r-0

' r° F ~ N

e, em nosso caso, constata-se que esses limites sao iguais a

sendo, port~nto, satisfeita a condição.

Sendo

°" • -nr.2[!~ + ;-~ '

a condição (d) pode ser

d2W + v dW ~ -.-df P df r=1

escrita na fonna

= o •

ou seja, em nosso caso, ap6s divisão por K1I0

(((3'),

23

1. Jl ('/2) 11 (VB°')J D< + B - (1 -v)L~ºJo(\0:') +W1·ro('fG"')j = o (7-II)

~

Esta equaçao vai fornecer os autovalores do proble-

ma. Vemos, pelas relações (5-II), que o< e~ dependem da fre­

quência, cabendo, pois, pesquisar os valores de oY para os quais

é satisfeita a (7-II). Denotando por W"í• i = i, 2, ••• ,

valores, então,

~ r . I0(~) l

w =1~i ºiLio<~r) - Jo(~C?l,i_')ºJo(V~1~~ •

A

esses

onde o(i e ~i são os valores de o< e (1 correspondentes à freqflê!!

eia C..,-i, respectivamente, sendo dados pelas relações (5-II).

Cisão constantes a detenninar.

Já que as expressões decx e 0 envolvem, também, a

constante A, definida em (4-II), que tem a carga radial p0

co­

mo um de seus fatôres, estabelece-se, na (7-II), uma interrela

ção entre a carga aplicada e as freqüências de vibração do

sistema, e essa equação vai se:vvir, portanto, para a determi­

nação da carga de instabilidade. Operando, por exemplo, com o

processo da "regula falsa", num caso em que

A = 2p ~. , o e -4 2 B = 4.10 s,

e fazendo-se os cálculos a mão, foram obtidos, para a primeira

freqüência, os resultados apresentados no Diagrama I. Como se

observa,·o comportamento é similar ao que ocorre no caso de

.barras comprimidas.

"

' COM=FURO.._=ENGASTADA=NUM=EIXO.._=E=UNIFORMEMENTE.COM-

PRIMIDA AO LONGO DA PERIFERIA ===--=--====-------=-----==-=

A - Introdução

Retomando a equação diferencial (30-I), consideremos

agora o caso de uma placa circular, de espessura uniforme, com

furo, engastada num eixo, e uniformemente comprimida ao longo

da periferia, conforme a fig. VII.

Consider11t1do a inexistência de carregamento transver

sal, e que a fÔrça produzida pelo carregamento lateral unifor -me se exprime, agora, por

~ fo2

) Nr = - 1 - J'o .::\1 - ( •

(:!:-III)

onde f'o é a relação entre o raio do eixo e o raio externo da

placa, podemos escrever a equação diferencial na fonna - .

v4w + Poiu;~2

2 . (1 - fo;.Jy72w - ru:: 4~ w-2~ = O (2-III) D(] - Iº ) \ f J D

com as condições de contôrno

a) W(f0

) = O;

b) w• (f0

) = O;

c) ~(1) = O; (3-III)

d) Qr(l) = O ,

onde Mr e Qr representam, respectivamente, o momento fletor e

25

o esfôrço cortante radiais, na placa.

A solução analítica da equação (2-III) é-complexí~

sima, e por isso mesmo, inviável. E tentada, por isso, a s~

lução numérica: por intermédio do computador digital IBM 1130

do Departamento de Cálculo Científico da COPPE. Para orien-'

tar êste trabalho, é feita, anteriormente, uma análise da

primeira frequência de vibração do sistema, em função de fo' num caso particular, por intermédio do método de Ritz, afim

de oferecer elementos orientativos para o trabalho que ses~

guir.·

A

B- Fregüencias 1 pelo Método de Rayleigh-Ritz

Para obter a primeira freqüência de vibrações do

sistema, vamos considerar como solução aproximada a função

(4-III)

onde~ é uma constante. Esta função não é solução da equação

diferencial e,' mesmo, deixa de satisfazer a duas das condi­

çoes de contôrno. Igualmente torna-se i~possível obter rel~

ções adicionais, a impor em substituição às condições de cog

tôrno não respeitadas. Nestas condições, o resultado que fÔ»

obtido não estará em boa concordância com a primeira freqUêu

eia real do sistema. Podemos, porém, afirmar que o resultado A

obtido é um majorante daquela freqUencia, e isso servirá p~ • ra nos deftnir uma ordem de grandeza, um ponto de partida,~

~ A

baixo do qual se testarao valores de freqUencia, quando se

pretender resolver a equação diferencial.

Evidentemente, a razão de não se testar uma função

que satisfaça mais requisitos, oferecendo, assim, um result~

26

do mais acurado, está na complexidade que o problema assumi­

ria.

Tomando as expressoes das energias obtidas no Cap.

I, equações (3-I), (4-I), (8-I) e (10-I), e particularizando­

as para os casos axi-simétricos de vibra.ção, temos, conside­

rando, novamente, que a solução seja do tmpo da equação (29-

I),

-:itdt i~ ? __ 2 1 dW d2

W~ Vf = ne D (V-w) - 2(1 - \1).-.-.~ dr fº rdrdr

Vo = rce -icut N dW dr + ,._ 10

r rr

+ " (1 [Nr. ~~ + Ne.~ + Nre{~ - ~~r Jro T = -rj:.e-jjqt;y-hul f w2dr

b )~ • . Limitando-nos, como já foi reiterado, às pequenas

deformações, podemos desprezar Vt e a segunda parcela de Ve, e, por conseqüência, escrever, em têrmos da variável f• con­

siderando, já, a expressão (1-III):

7tDe-iwt f-~d2W 1 dW)2 . 1 dW d

2~l vf = re2 -;fo~df2 + r·df _ __=_2<:- v).f.df.df2Jfdr

vt • - .,,.-,,,"; f ••• 2(1 -~1 (~\ 2 pdp

j fo 1 - io . f j df} \ 1 -

T = - tre-i.Wt· hw2re ~ f w2pd1 -)ro

A N

A freqüencia pode ser escrita, entao, na forma

donde, então, finalmente, pondo +e ~ = h , vem, ap6s as sim-

plificações possíveis:

())'2 _ 10 l f.2 E (1 + 3v + - 'P'e2• (1 - fo2)2[_9º (1 - -J2)~2\ 1 - 1º2

+ (1" ~.2> 2 + (1 -'r.'>~ - ·~ ' A carga de instabilidade, nestas condições, expres-

Particularizando, então, para uma placa de aço, quan -do, então,

28

E ;,. 2100 kg'/mm.2 ') = 0,3 ,

6 -9 2; 4 r= 0,79 .10 kg.a mm (5-III)

num caso em que

re = 500 mm

p0

= l kg/mr/,

~ = 20 (6-III)

obtemos

w- 2 = 50251,25628 [1 282205 (1 + o, 9 + . 2 2 ' 2 (l - f o ) . l - \º

+ (1 - f.2 i3) - ~ Para se conhecer p comportamento de W em função de

fo' foi elaborado, então, um programa para o computador. Ês­

te programa está apresentado no Anexo II, e os resultados ob

tidos estão contidos na Tabela I e no Diagrama II (curva em

linha cheia). Verifica-se que, de acÔrdo com a expectativa,

a primeira freqüência de vibração do sist~ma é tanto mais al A

ta quanto maior ior fo•

C - Solução Numérica - Generalidades

Para a solução numérica da equação diferencial, ref!.

tringimo-nos, também, ao caso particular representado pelos

dados de (5-III) e (6-III), donde os coeficientes da equação

diferencial (2-III) passam a ser 2

Pobre D

""hre4

= 1g_c,_1 _____ 2..... . ~ - - ; " >.r~2re4 = D

2,08 .:

4, 1392.10-4 s 2

-e a equaçao diferencial passa a ser . . 2

+ ~l - r~:\~w - 4,1392.lo-4u,2w 1 .. fo~\ f /

29

= o

Esta equação será resolvida, a seguir, para as duas A -primeiras freqüencias de vibraçao do sistema, nos casos em

que fo ~ale 0,2, 0,3,e 0,4. s,rá, assim, estudada a infl~

ência dêsse parâmetro do problema, A descrição da técnica e~

pregada será feita tomando-se o caso em que fo = 0,4, dando­

se dos outros dois aasos apenas os resultados. A equação di-

ferencial, em cada caso, fica:

fo = 0,4: d4w + g_. d3w + (2,47619 _ 1,39~19) g +

~ r ~ \ f dr + 1(2,41,19 + 0 •60~81~dw - 4,1392.10-4u>·.2w = o r r ,~ ·

fo = 0,3: d4w + g_.d3w + (2,28571 _ l,2057~)d2w +

~ f dr f2 Jã?

fo = O,!!:

D - Solução Numérica - Descrição

o (7-III)

A equação diferencial, na forma (7,..:,rrr), foi resol

vida no computador digital, empregando-se a sub-rotiná RK3,

da Biblioteca de Sub-Programas do DCC da COPPE, a qual perm!

te resolver equações diferenciais de até sexta ordem, ou si~

30 -temas de primeira ordem, com até seis equaçoes, pelo processo

de Runge-Kutta.

A aplicação dp processo de Runge-Kutta é bastante

expedita quando se têm tÔdas as condições de contôrno especi­

ficadas num mesmo ponto, a partir do qual se procede a resol~

çao numérica da equação. Tal não ocorre no.caso em estudo, de

vez que, pelo que se observa em (3-III), temos duas condições

de contôrno em cada extremidade do intervalo de integração.

Para se contornar o problema, a solução consiste em

arbitrar valores para·as duas condições desconhecidas, numa

das extremidades, resolver a equação por Runge-Kutta, e veri­

ficar se foram confirmadas as condições disponíveis na segun-' -da extremidade do intervalo de integraçao. caso tal não tenha

ocorrido, rearbitram-se as·condiçÕes na primeira extremidade,

e repete-se o processo. Existe um algoritmo matemático que

permite obter ràpidamente a convergência aos valores que sa­

tisfazem ao problema.

. No caso em foco, porém, o problema se torna mais

complexo, de vez que existe um outro parâmetro,~ frequência,

cujo valor é, "a priori", desconhecido, e que precisa ser de­

terminado juntamente c·om as duas condições de extremidade.

Um processo iterativo similar ao, descrito acima torna-se mu!_

to tedioso e, eventualmente~ impraticável.

Chamando, doravante,

Momento fletor radial no engaste entre placa e· eixo; ~

Esforço cortante no engaste;

31

Mb - Momento fletor radial na borda livre da placa; A

Qb - Esforço cortante na borda livre da placa,

vamos descrever, então, o processo adotado para a resolução

do problema._

Foi tentada a aplicação do algoritmo mencionado ao!

ma, arbitrando-se Me• Qe e Cú', e procurando-se obter, ao fi­

nal do processo de integração, Mb e Qb nulos. Os resultados

obtidos, que deixam de ser anexados ao presente trabalho, de­

vido ao seu escasso valor, trouxeram, como único saldo posi­

tivo, a verificação, aliás compreensível, de que a relação M

71= Q: '

~. também, um parâmetro do problema. Isto é: ma~tendo-se '7 constante, o que equivale a fazer variar Me e Qe numa mesma

-proporçao, constata-se que Mb e Qb variam nesta mesma propo~

ção. Nestas condições, é possível fixar um valor para Me ou

Qe• e trabalhar variando-se apenas 1'J e W: Obtido um par <?J~W} que satisfaç·a ao problema, para o valor arbitrado de Me ou

Qe• êste par irá, também, satisfazer o problema para qualquer

-outro valor que se atribua a essa grandeza, desde que nao se

varie7J• Isto é: mantido?J constante, não se altera o modo

de vibração, mas apenas as intensidades dos resultados.

Em vista disso, passou-se a trabalhar, e até o fi­

nal dêste trabalho, com

o que equivale a fixar

•

3 = - Dre

1 •.

e passou-se a variar, exclusivamente, Me• vale dizer,7,

como, evidentemente, a freqüência. A partir daí, então,o

32

bem

pr.Q_

blema se resume em determinar o par <7,u:r) para o qual se te

nha Mb e Qb nulos.

Nestas condições, preparou-se, para o computador, o

programa do Anexo III, em que se faz variar o parâmetro12_ e a

freqüêncial<J', e se pesquisa o momento radial e o esfôrço cor-

tante na borda, possibilita?do traçar-se, para c~da 1, a Cll!:

va de variação destas grandezas com a freqüência. ~ste progr~ A .

ma foi usado sucessivas vezes, alterando-se, de cada· vez, os

cartões de dados.

·Dispondo-sedas curvas obtidas como descrito acima,

tornava-se possível determinar, gràficamente, com razoável

precisão, a freqüênciá em que, para cada "/ • se anulava o

tante na borda, e avaliar, também, o correspondente valor

cor -do

momento fletor na borda da placa. Essa técnica está ilustrada.

no Diagrama III e seguintes, onde, para clareza do desenho,se

omitiram as porçoes das curvas de Mb e Qb que não apresentavam

interêsse. A Tabela II é uma amostra das que foram obtidas u­

sando-se o programa do Anexo III, e que serviram de base para

o traçado destas curvas.

As diversas ordenadas de Mb mencionadas, correspon­

dentes aos zeros de Qb' e correspondentes aos diversos valores

de J, permitiram traçar uma curva contínua, que corta o eixo

das freqüências em um certo ponto. Essa curva será doravante

chamada de INDICATRIZ, de vez que fornecerá os pares .<7,w-) que constituem as soluções para nosso problema, como se verá

•

33

a seguir,

Levando em conta as condições em.que foi obtida a ia dicatriz, podemos concluir que o ponto em que a mesma corta o

eixo das frequências corresponde a uma freqüência e a um valor

de'? para os quais, simultaneamente,se tem Mb = O e Qb = O, A A

freqüencia pode ser lida no desenho, e o valor correspondente

de 7} pode ser. oiitido por interpolação entre os pontos corres­

pondentes a valores conhecidos de"'/' sÔbre a indicatriz, iasa

interpolação é pr~ticamente linear, mormente quando se testam

menores intervalos de freqüência, e valores de 1 mais próxi­

mos entre si,

Nestas condições, o par (~1 , t.üí) obtido no Diagrama

III, e que foi refinado nos dois diagramas seguintes, corres­

ponde ao primeiro modo de vibração da placa, O resultado ob­

tido com três aproximações foi considerado satisfat6rio, A

mesma técnica foi empregada para a obtenção da segunda fre-

qüência de vibração, e do correspondente valor de·/, conforme se observa no Diagrama VI, ainda para fo = 0,4

Os Diagram~s VII e VIII correspondem ~ obtenção,

respectivamente, da primeira e segunda frequências de vibra-~

çao, no caso em que yo = 0,3, e os Diagramas IX e X corres-

pondem ao caso em que fo = 0,2, tsses diagramas foram origi­

nalmente traçados em escala ampliada, para efeitos de inter­

polação, ·Por conveniência, foram anexados em escala reduzida,

Em tese, o ppocesso pode ser extendido para a obten

ção das freqüências seguintes, Um problema, porém, vai ocor-

34

rer, e tornar o processo cada vez mais moroso. l que, ao se

testarem freqüências mais elevadas, teremos:

a) Vari!JçÕes mais brlb.scas de Mb e Qb' p~ra cada~•. em

função de ar, na zona em .que os mesmos se anulam; as curvas

obtidas, são, então, bastante íngremes, mesmo quando se am­

plia consideràvelmente a escala horizontal (das freqüência~J.

e escapam ràpidamente ao limite físico que se dispõe para

seu traçado.

b) Contràriamente, ordenadas cada vez mais amortecidas

da curva indicatriz, '

jj}st-abelece-se, assim, um paradoxo: deve-se obter a

curva indicatriz, que amortéce ràpidamente, a partir de cur­

vas de Mb, de variação cada vez mais brusca. Para se ter or­

denadas da indicatriz numa escala mensurável, há que ampliar

considerávelmente a escãla vertical, Com isso, e face ao que

foi mencionado em a), a curva de~ escapa ràpidamente aos

limites do desenho, e se torna imprátícável o seu traçado.

Afim de se obter um resultado aceitável, deve-se testar, en­

tão, ,para cada "h, úm intervalo bastante reduzido de freqaên-'/ ' .

eia, no qual não seja muito acentuada a variação de !Vlb. En-

tretanto, êste pequeno intervalo de freqüência deve conter o

zero de Qb' ou estar próximo do mesmo, de modo que deve ser

determinado de antemão, para cada 1, O programa do Anexo III

torna-se, partindo daí, inviável, e deve ser substituido por

outro, mais amplo, que, para cada~· procure, inicialmente, ~

a.freqüencia para a qual se anula Qb, e, a seguir, analise

esta região nos têrmos em que o faz o programa mencionado,

Êl!lte trabalho foi tentado, mas deixou de ser concluído, ao

se constatarem êsses fatos, face à elevada demanda que so­

frià, à época, o computador, O Diagrama XI ilustra alguns

35

,. dos resultados obtidos, ao se pesquisar a terceira freqüen-

cia de vibração, no caso em que fo = 0,4, Em verdade, os

fatos mencionados já se faziam sentir, ao se determinar a

segunda freqüência de vibração do sistema, se bem que com

menor intensidade,

,. Os valores da freqüencia obtidos na forma descr!

ta, foram levados, para efeito de comparação, ao ·Diagrama

I, onde são representados em linha tracejada, Observa-se.

que as freqüências reais são bem menores do que as obtidas

pelo método de Rayleigh-Ritz:

Freqüências ,. .

Êrro Eó

Freqüencias :12or Ritz com:12utadas (%2

0,4 812,56 704,70 N 15 0,3 692,25 513,76 N 35 0,2 622,52 389,33 N 60

iate resultado não nos surpreende, tendo em vista

os comentários já feitos quando se falou sÔbre o método de

Rayleigh-Ritz, Verifica-se, porém, que para grandes valores ,.

de fo• o erro cometido tende a ljJ'air violentamente,

E - Solução da Equação Diferencial •

Obtidos,.pois, os valores de~ 1,Wí_ e 7/2 , ~ cor­

respondentes a cada valor de fo• elaborou-se o programa apre­

sentado no Anexo IV, tendo em vista a resolução da equação

diferencial, Os resultados obtidos estão contidos nas Tabe-

•

36

las III, IV e V, correspondentes, respectivamente, a fo = 0,4,

0,3 e·0,2. Com os elementos contidos nessas Tabelas foram •

traçados, respectivamente, os Diagramas XII, XIII e XIV, que

nos ilustram os modos de vibração.

F - Considerações

Pelo que se observa nos diagramas XII a XIV, há um

aparente paradoxo no que concerne aos modos de vibração da

placa. Com efeito, o primeiro modo de vib_ração, por exemplo,

apresenta um n6, isto é, um· ponto que não sofre deslocamento',·

cuja posição varia de acÔrdo com fo• entre f = 0,80 e 0,85 ,

nos casos analisados. Isto faz presumir, por analogia ao que

ocorre com as vibrações de barras, que se trate, já, do segu,u

do modo de vibração.

Para dirimir esta dúvida, e exclusivamente para o A

caso em qu~ fo = 0,4, foram feitos testes para freqüencias

compreendidas entre 5 rad/seg e a primeira freqüência deter- • '

minada, 704,7 rad/seg. O que se constatou, porém, é que a

curva indicatriz se mantém com ordenadas positivas, tenden­

do a anular-se apenas para l<r= O, o que corresponde, _evidea

temente, à solução trivial, _que não nos interes·sa. Alguns

dos resultados obtidos foram consignados no Diagrama III, i­

lustrando a situação.

Uma outra indicação de que 704,7 rad/seg deve, efe­

tivamente, ser a primeira freqüência de vibração do sistema,

está dada pela informação que se obteve através do método de

Rayleigh-Ritz.

37

Observa-se, também, que a variação de fo influi po~

co sÔbre as amplitudes de vibração, ocorrendo o contrário em

relação à rotação das secções, que é tanto mais acentuada,

quanto menor fÔr fo• Um outro aparente paradoxo é dado pelo

deslocamento m4ximo, que cresce quando se passa de·lº = 0,4

para\º= O,J, mas cái, e bastante, para\º= 0,2, quando o

esperado seria que continuasse crescendo,

Em qualquer dos casos, o momento fletor máximo o­

corre no engaste, caindo o valor dêste máximo com fo' Em de­

corrência, tÔda a curva de momentos fletores se torna menos . M A

acentuada para menores valores d:\°' Consideraçoes identi-

cas cabem no que concerne ao esforço cortante, com a observ~

ção de que, nêste caso, para menores

ço cortante cái mais ràpidamente, em

de seu valor m4ximo.

valores de·\º'

função der· a

A

o esfor-

partir

Quanto ao segundo modo de vibração, apresenta dois

n6s, decorrência mais ou menos"16gica, a partir do instante 'I>

em que se aceita o primeiro modo encontrado como correto.

Quanto ao mais, os resultados mereceriam considerações aná­

logas 4s feitas acima, com a ressalva de que, nêste caso, os

valores numéricos são inferiores, em valor absoluto, aos

seus correspondentes do primeiro mddo, o que é natural,

e o N e 1 u s à o =======-=====-===-==-----

O presente trabalho é incompleto, O assunto está

longe de ser exgotado, Entretanto, mais não foi possível fa­

zer no curto espaço de tempo de que se dispunha~ pouco mais

de cem dias, mormente considerando-se, ainda, as limitações

impostas pela alta demanda do computador, ferramenta indis­

pensável a êste estudo,

Como sugestões para necessárias continuações, apr!

sentamos:

a) Extensão do presente trabal~o para novos valores de

b) Estudo de um método mais expedito para a obtenção da

curva indicatriz, mormente para as regiões de altas freijüên­

cias;

c) Estudo da influência de p0

• O presente estudo, no seu

Cap. III se limitou à carga de 1 kg/mm~ mas seria desejável

uma extens~o, tendo emvvista obter-se informações quanto à

varga de instabilidade;

d) Estudo de um caso similar ao do Cap. ,III, porém supoa

do o sistema em movimento de rotação, Nêsse caso surgirá uma

parcela adicional de energia, a considerar na instituição da

-equaçao diferencial, que será similar à (2-III), porém com

segundo membro;

e) Extensão a casos não axi-simétricos;

f) Estudo do efeito de carregamento transversal~ sem si­

metria axial.

J.9 O saldo positivo apresentado por êste trabalho es­

tá, a nosso ver, no estabelecimento da curva indicatriz, que

poderá, em muitos casos, ser um instrumento expedito para a

determinação das freqüências de vibração de sistemas contí­

nuos, com aplicação, eventualmente; mais simples do que o

método de Ritz-Galerkin. ,

40

1. Nowacki, W. - Dynamics of Elastic Systems - Chapman

&; Hall, 1963

2. Girkmann, K. - Flãchentragwerke - Springer 1 1963

3. Timoshenko & Woinowski-Krieger - Theory of Plates

and Shells - McGraw-Hill, 1959

4. Timoshenko & Gere - Theory of Elastic Stability -

McGraw-Hill, 1961

5. Timoshenko & Goodier - Theory of Elasticity -

McGraw-Hill, 1951

6. Timoshenko T Vibration Problems in ~gineering -

Van Nostrand, 1937

7. Leipholz, H. - Uber die Wahl der Ansatzfunktionen

bei der Durchführung des Verfahrens vori Galer

kin - Acta Mechanica, Vol. III, No. 3, pgs.

295-317 (1967)

8. Meirovitch, L. - Analytical Methods in Vibration -

Macmillan, 1967

9. Collatz 1 L. - Numerische Behandlung von Differenti

algleichungen - Springer, 1955

10. Hildebrand - Introduction to Numerical Analysis -

McGraw-Hil1 1 1956

11. McLachlan - Bessel Function for Engineers - Oxford

Univ. Press, 1961

'

~A D

E

h

. '

N O M E N C L A T U R A ============---=====-=-=----=-=-==

- Variação do trabalho A

das forças externas; - Rigidez à flexão das placas - Módulo de elasticidade do material da placa; - Espessura da placa;

K - Energia cinética; Mr' Me' Mb - Momento fletor radial (genérico, no engaste e

na borda da placa}; Qr• Qe' Qb - Esfôrço cortante radial (genérico, no engaste

e na borda da placa); A

N9 , Nr9- Forças distribuidas; - Carga radial aplicada à placa;

A

- Carga transversal atmando sobre a placa; - Raio exterior da placa circular;

u, V Deslocamentos radial e tangencial de uJi ponto da placa;

V - Energia de deformação da placa; - Componentes da energia de deformação;

41

- Deslocamento trqnsversal de um ponto da placa; - Função testada pelo método de Rayleigh-Ritz; - Relação entre as dimensões da placa; - Massa espeéífica do material da _placa;

{"r9- Componentes de deformação; ~- Tensões num ponto da placa;

- Relação de engaste; - M6dulo de Poisson; - Variável adimensional (Raio); - Valor dessa variável na engaste; - Freqüências de vibração da placa.

=--+-==--z· r

FIG. I

B

/ f

/ w ---,_

Al ---------

. ~g

A2 f

z l\'IIG; III

A

º'º l

u

FIG, II

= w

l &u r·~

l '"cJW r~

ol!

FIG, IV ,.

42.

---

"""~ 2>r

43

FIG, VI

r

e p

FIG. V

FIG. VII

h

44

ANEXO I

 '0w t>Jw - O ( L 'aJ&. Sw)- 1 ;f-w ów ,-'!, ()e õ/7 - õ& r 3 õ8 r"3 oeª

z. 9w 'oôw = Q_(Qw áw) - o w óW Õí ôe oe '<or ôrõe

'õw ~ = L(º"" Jwl - ?>2..w Sw ôe õr o, õe- / ârc>e

rà~,.Q~=-'c) (r?fw ÔdW_t7'4-WOW- r~Ów)+z. 83WôW+f'"c)~W<JW oí ôr'- 'âr\ õr'- º' õr'- ô,3 'ôr3 or'I

ã~ Qáw = g_(?DcJ. ovJl _ ç)gw ôw ôí"- 'or oí\.ôr... j é)r"?.

A ô'\J ô'2·Sw -~ (L,i'-vi asw _ ..l 'o1

w aw) + J.... 'õ-4w ow r ~r'- 0 &2 -'oe •'or'- í)S íor'"'ôe r ôr'-oe-z.

õw o~w =~ (~ 'dôw _ 'ô>?:w Sw) +'º~"' Sw 'l)r -orz. 'àr ôr ôf" ôir,_ õr3

La~ a.&=2...(_L'dw õ'wl +..!.... r2YJLSw _!. ô-e.w ow r ôr ·ôr õr rô-r J r2..ô-r r 'a,~

l_õw çl·rw=.e._(1..ÍJwc)Ó'<v __ l 8'2.w ovJ) +..L êlw aw ,z..õr ~eª· ofl- r"-ê)f;' o& r2.d{""d0 r 2 c)rê>e ..,___

J ?f-w ~ -2. {J..ff-w ftOw +~ z/-w Sw _ !... êr'w Sw) + 2.. 'ô~'Sw- Z êJ"w 8w+ r àf,"L. ~r2- -ôr,,oe"' ôr r2. 082.. r õ,-2)é2. r3oe2.. rz. ôrJez..

· . . ~ ..;... l. .1'!.YJL.... 'Sat l.'J-z..w d<íW~~cl._ ctwôVV) 2. cfw OW-1.. clw OW ~ ,-z..oe'-or -a,- r2.c,e-z.. +,"?.oea.. rz.õ,;)62.. .

J_ u2w '2l_õw_.Q.... (l a'2.w oáw _ -~ ~v,; 6 w) +-1 êJLi w õw r3 õe"- oe"---oe- í 3 a92. ôe r 3 à'es r 3 oe4

...J.. ô2

W ôõw _ -ª-(~ 'â2w õw) __ I ?}w ~w

rz. Urue 2' e - 0e r 2 or'O e r"'- é)roGz..

!_uw ô'-dw _~(.l ~ÔôW) . ~(2 ',lv"ciw-1. ~21.\J ow)_z. zf-w õw+~ õ"'w Sw

r'-Je àrc>e- -or r'ôe oe- -+-3e r3 092.. rª<>rô9 j r 3 àfi'- rZ.'àr'é>6°'

.I õ2

1.V 0-z..ÔW _ d ( 1 óz.W dô"l' é) (1- ê{w ~ VI J. 7b,;_ r w) r ôi-96 'ê)r'd~ - z,r r é}ré)0 d9) +õe rZ.'qr~e - f" ô .-290 -

5 "''I _ _!_ ê!w S-w+-' ow Sw ,z. õrJez. r ar'-~~

_f ~ 'oó"w = ~ (J.. ~ ow) - -1 Ô~ ôW r3 ;;,9 ô& o& r 3 e}& r 3 ôB-

J_ 02..w olíw = a_ (-1 82..w O w) __ , õ"?.w ow ·,z.'ôr.)e õTr ôe ,z.0roe r 3 ôr--ôE,2.

45 ANEXO s· II E I I I

C -VIBRACOES TRANSVERSAIS DE~ UMAPLACA CIRCULAR OE ESPESSURA UNIFORM~­C. UNIFORMEMENTE COMPRIMIDA AO LONGO DA PERIFERIA

: C PRIMEIRA FREQUENCIA DE VIBRACAO 00 SISTEMA PELO METODO OE ~ITZ C ARNO BLASS - COP P E 16/01/68

e e e c

WRITE(3tl0) 10 FOPMAT<// 1 /V!BRACOES TRANSVERSAIS OE UMA PLACA CIRCULAR'/)

WRITE( 3,20) 20 FORMAT( 1·1PR!MEIRA FREQUENCIA, OBTIDA PELO METODO DE RITZ')

WRITE(3,30). 30 FORMAT(/'/RAIO ADIMENSIONALIZAOO = RAIO GENERICO / RAIO EXTERNO')

WRITE(3,40l 40 FORMAT(// 1 /RAIO AOIMENS!ONALIZAOO FREQUENCIA (RADSISEG)')

RONUL=l• 50 RONUL=RONUL-0.05

rs1=1.-RONUL**2 rELTA=(5025le25628/PSl**2l*(-le+l•282205*(le+0.9/PSl+3e./PSl**2+l•/

1PSI**3)) c·1EGA=SQRT(OELTA) WRITE(3,60)RONUL,OMEGA

60 FORMAT<Fl5.2,F33e31 IF<RONUL)70,50,50

70 CALL EXIT ENO

VIBRACOES TRANSVERSAIS DE UMA PLACA CIRCULAR COM ESPESSURA UNIFOR~E UNIFORMEMENTE COMPRIMIDA AO LONGO DA PERIFERIA DIAMETRO DO EIXO• Oa4 DO OIAMETRO EXTERIOR DA PLACA PROGRAMA AUXILIAR - DETERMINACAO DA SEGUNDA FREQUENCIA DE VIBRACAO

COP P E ARNO BLASS - 08/01/68 EXTERNAL BLAl,BLA2,BLA3,BLA4,BLA5tBLA6 DIMENSION Al(6l,VAL(6112) COMMON OMEGA ETA=-0.131

10 ETA•ETA-Oa0005 WRITE(3,5)ETA

5 FORMAT(// 1 /RELACAO DE ENGASTE= '•Fl2o6//I WRITE(3,301

30 FORMAT( 1 /FREQUENCIA 1BORDA t)

OMEGA=2000e 20 OMEGA=OMEGA+5a

Al(l)=O• \ AI(21=0•

Al(31=ETA AI(4l•lo-ETA/Oo4 A!(51=0• Al('il•Oa

MOMENTO NA BORDA CORTANTE NA

CAL~ RK3 (BLAl,BLA2,BLA3tBLA4,BLA5,BLA6,0a05,0a4,Alt2,l2tVALI XMO~B=VAL(3,12l+Oo3*VAL<2,121 CORTB•VAL14,12l+VAL(3tl21-VAL(2,121 WRITE(3,4010MEGA,XMOMB,CORTB

40 FORMAT(F9e2,2F26al01 IF(OMEGA-20401)25,25,50

25 IFICORTB150,50,20 50 IF(ETA+Oal33190,10,10 90 CONTINUE

CALL EXIT END

ANEXO IV - - ---~ - -- --- ----. - -~-

c PROGRAMA PRINCIPAL - SOLUCAO DA EQUACAO DIFERENCIAL C COP P E ARNO BLASS - 08/01/68

EXTERNAL BLAltBLA2,BLA3,BLA4,BLA5,BLA6 DIMENSION ROC12l,Al(6l,VAL(6,l21,XM(l2lt0(121 COMMON OMEGA \,RTTE(3,l0l

46

10 FORMATC'/VIBRACOES TRANSVERSAIS DE UMA PLACA CIRCULAR ENGASTADA NU IM EIX0 1 ,/,23X, 0 ESPESSURA UNIFORME 1 ,/,20X, 1 DIAMETRO DO EIXO/ DIAME ,TRO DA PLACA= 0.4 1 ,/, 1 RAIO ADIMENS!ONALIZADO = RAIO GENERICO / RA 310 EXTERNO DA PLACA'///)

ETA=-0.198848 OMEGA=704.7

15 A!Cll=O. AJC2)=0• i\IC3)=ETA /i I ( 4 1 = 1. -ETA /O, 4 Al(51=0, AJC61=0, DO 20 J=l,12

20 RO(J)=0.4+0.05*J CALL RK3 CBLAl,BLA2tBLA3,BLA4,BLA5,BLA6t0•05,0.4,Al,2,12,VALl DO 30 J=ltl2 XM(Jl=VAL(3,J)+VALC2,J)*(0.3/RO(JI)

30 Q(Jl=VALC4,JJ+VALC3,J)/CRO(J) I-VAL(2,J)/(RO(Jl**21 IFCOMEGA-2042.15l35,80,80

35 \,RITE(3,ú0) 40 FORMAT( 1 /PRIMEIRO MODO DE VlBRACAO - FREQUENCIA = 704•7 RADS/SEG 1 /

l ) \1R!TE(3,501

50 FORMAT( 1 /RAI0 AD!M• DESLOCAMENTO ROTACAO MOM. FLETOR 1 ESF. CORTE 1 /l

WR!TE<3,60) 60 F0RMAT( 1 / 0.40 0.00000000 0.00000000 -0.19884800

l 1.00000000 1 )

WR!TEC 3,701 ( ROC J) ,VAL< l ,JI ,VAU2,JI ,XM( J) ,QC J) ,J=l tl2) 70 FORMAT(F8.2t2Fl7.8,Fl6.8,Fl5.8)

E TA.=ETA.+0.06 7348 OMEGA=OMEGA+l337.45 GOTO 15

80 WR!TE(3,45) 45 FORMAT(// 1 /SEGUNDO MODO DE Vl'BRACAO - FREQUENCIA = 2042.15 RADS/SE

lG 1 / 1 WRITE(3,55)

55 FORMAT( 1 /RAI0 AO!M• DESLOCAMENTO ROTACAO MOM. FLETOR l ESF• CORTE 1 /1

\1RITE<3,65) 65 FORMAT( 1 / 0.40 0,00000000 0.00000000 -0.13150000

1 1.00000000 1 )

WR lT E ( 3, 75) ( RO ( J) t VAL( l, J 1 , VAL ( 2, J) , XM ( J) , Q ( J 1 , J = l • 12 1 75 FORMAT(F8•2•2"17.8,Fl6,8,Fl5.8)

CALL EX!T ENO

•

TABELAI

PRIMEIRA FREQUENC!At OBTID~PELO METODO DE RITZ

RAIO ADIMENSIONALIZADO = RAIO GENERICO / RAIO EXTERNO

RAIO ADIMENSIONAL!ZADO 0.95 0.90 o.as o.ao 0.75 0.10 0.65 0.60 0.55 0,50 0.45 0,40 0.35 0,30 0.25 0,20 0,15 0.10 0,05 o.ao

FREQUENCIA (RADS/SEG) 97548.959 20430.092 8640.007 4849.401 3172.155 2283.938 1756.297 1417.056 1186.169 1022.300 902.342 812.557 744.377 692.247 652.467 622.524 600.702 585.843 577,204 574.369

48

TABELA 'I I - - - --- - - --

RELACAO DE ENGASTE= -0.210000

FREQUENCIA MOMENTO NA BORDA CORTANTE NA BOROA

500.000 0.1014074954 Oo0893!i04050 550.000 000630658780 000277948844 600.000 000152131566 --0.0760589642

RELACAO DE ENGASTE = -0.205000

FREQUENCIA MOMENTO NA BORDA CORTANTE NA BORDA

500.000 001266938511 001738315432 550.000 000942670396 001366672568 600.000 000531997333 000616956793 6500000 0,0018708289 -0.0614789028

RELACAO DE ENGASTE= -0.200000

FREQUENC!A MOMENTO NA BOROA CORTANTE NA BOROA

500.000 , Oo 1519802044 002583126741 5500000 0,1254682002 002455396255 6000000 000911863099 001994503223 6500000 0,0476016211 001102856669 7000000 -0,0069973288 -00033ooe1312

RELACAO OE ENGASTE = -00195000

FREQUENCIA MOMENTO NA BOROA CORTANTE NA BOROA

5000000 001772665599 003427938119 5500000 001566693634 003544120029 6000000 001291728881 003372049713 6500000 000933324153 002820502446 100.000 0.0475342715 001786060520 7500000 -0.0100153808 000151996237 0aooooo -000813028395 -0.2212956914

RELACAO DE ENGASTE= -Ool90000

FREQUENCIA MOMENTO NA BORDA CORTANTE NA BORDA

soo.coo 0,2025529157 0,4272749506 550,000 0,1878705275 0,4632843838 600,000 001671594660 0,4749596192 650,000, 0,1390632084 004538148173 700oGOO 0,1020658760 0,3902202575 750,000 0,0544815172 0,2732958304 800,000 -0,0055576290 00090)939449 850,000 -000001139110 -0,1710286187 - .--.

49

TABELA I I I

VIBRACOES TRANSVERSAIS DE UMA PLACA CIRCULAR ENGASTADA NUM EIXO ESPESSURA UNIFORME

DIAMETRO DO EIXO/ DIAMETRO DA PLACA= 0.4 RAIO ADIMENSIONALIZADO = RAIO GENERICO / RAIO EXTERNO DA PLACA

PRIMEIRO MODO DE VIBRACAO - FREQUENCIA = 704e7 RADS/SEG

RAIO ADIM, DESLOCAMENTO ROTACAO MOMe FLETOR

Oe40 0.00000000 0,00000000 -0.19884800 0.44 -0,00077563 -0.01357724 -0.09138674 0150 -0,00240783 -0.01782330 -0.01829614 0,55 -0,00413629 -0,01591556 0,03358001 0,60 -0,00545791 -0,01000422 0,06803277 0,65 -0,00606297 -0,00186055 0,08638582 0,70 -0,00580767 0,00696188 0,08998333 O, 7r- -0,00469217 0,01514869 0,08113183 0,80 -0,00283262 0.02171006 0,06332951 0,85 -0,00042405 0,02607227 0,04110213 0,90 0.00230486 0,02814425 0,01961988 0,95 0,00514177 0,02834376 0,00422755 l,00 0,00794100 0,02758096 0.00000547

SEGUNDO MODO DE V!BRACAO - FREQUENC!A = 2042,15 RADS/SEG

RAIO li.OH', DF.5LOCAMENTO ROTACAO MOM, FLETOR

0,40 0,00000000 0.00000000 -0,13150000 0,44 -0.00046275 -0.00753056 -0,03281555

• 0,50 -0.00123726 -0,00693746 0,02940676 0,55 -0.00170514 -0.00198156 0,05885036 0,60 -0.00160018 0.00399502 0,05689591 0,65 -o.OQ096562 o.oos22s42 0,03078336 0,70 '· 0.00908186 -0.00628497 -0.00006900 0,75 0000073072 0000638569 -0.03914184 O,dO o.001121e6 0,00131110 -0.05595738 0,85 0,00097788 -0,00421762 -0,05243088

º•ºº 0.00033134 -0.00836961 -0.03326092 0,95 -0.00061748 -0.01021824 -0,01054330 l,00 -0.00165021 -0,01026223 -0,00009980

ESFe CORTE

1.00000000 o.79543947 0,66425405 0,52712707 0,37111760 0,20457359 0,04381060

-0,09288315 -0,18892611 -0,23187555 -0,21476460 -0,13631240 -0,00000169

ESF, CORTE

1.00000000 0,77654224 0,52937619 0.21312597

-0, 10362799 -0,32880798 -0,39982317 -0.31141215 -o,·11120636

0.09149414 0,21921066 0,19745295

-0,00016397

TABELA IV

V!BRACOES TRANSVERSAIS DE UMA PLACA CIRCULAR ENGASTADA NUM EIXO ESPESSURA UNIFORME

D!AMETRO DO EIXO/ DIAMETRO DA PLACA= 0,3 ~AIO ADIMENSJONALIZADO ~ RAIO GENER1CO / RAIO EXTERNO DA PLACA

PRIMEIRO MODO DE VIBRACAO - FREQUENCIA 513,76 RADS/SEG

RAIO ADJM.

0,30 O, 34 0,40 0,44 O, 50 O, 55 0,60 0,64 O, 70 0,75 o.ao 0,85 0,90 0,95 0,99

DE SLOCAl'IENTO

0,00000000 -0,00069026 -0,00216029 -0,00379600 -0,00520402 -0,00612928 -o, 0064 24 rt, -0,00603266 -0,0049772.8 -0,003.34 361 -0,00126170

o. 00111574 0,00363725 0,00617691 0,00865768

,ROTACAO

0,00000000 -o. O 120 8364 -0,01632514 -o.o 1574398 -0,01199539 -0.00626584

0,00045980 0,00733007 O ,01 363186 0,01882132 0,0225'>853 o.o 2'173417 0,02548257 0,0251788S O, O 2.44 2.180

MOM, FLETOR

-o, 17842000 -0,08491993 -0,02713645

0,01337680 0,04196063 0,06038309 0,069521.78 0,07030311 0,06404599 0,05254327 0,03800458 0,02292174 0,00989813 o. 00l't7568

-0.00001052

SEGUNDO MODO DE VIBRACAO - FREQUENCJA = 1495,90 RADS/SEq

RAIO AOIM,

o. 30 0.34 0,40 o, 44 o.so 0,!>!õ 0,60 0,64 0,70 0.1s

0,80 0,85 0,90 0,9S (),99

DESLOCAMENTO

0,00000000 -0.00045223 -0,00125701 -0,0018744S -0,00203638 -0.00169026 -0,0009S500 -0,0000594'1

0,00073371 0,00120329

0,00122601 0.00079994 0,00002913

-0,00092.634 -0,00192298

ROTACAO

º·ºººººººº -0,00745962 -o.oon 5735 -0,00415107 0.00099355 0,00572076 0,00859071 0,00687048 0,00661'>08 0,00256735

-0,00211339 -0.006226.32 -0,008911.40 -0,00994602. -o ,0098 9740

MOM, FLETOR

-0,127'18000 -0,03832812

0,01506632 O, 04458'168 0,•05285640 0,0429722.3 0,02060787

-0,00651486 -o. 03030 i6o -0,04471808

-0.046599!>9 -0.03716871 -0,02130666 -0.006lf'1359 -0,00098001

ESF. CORTE

1.00000000 0,63915053 0,53771329 O ,4441874't 0,34290371 o. 23526798 0,127542211 0,02734675

-0.0576l<t05 -0, 12060675 -0.}5652279 -0, 16228751 -o, l 3698554 -0,08169168

O, O 0098371

ESF, CORTE

1.00000000 0,66287788 0,48567258 0,27666641 0.05'455635

-o, 1382312.0 -0,26250134 -o. 29678806 -0,24379348 -0.129216&2

O. 00577323 O, 11576049 0,!62·45021 0,12261415

-o.o 1008552

51

TABELA V

V!BRACOES TRANSVERSArs DE UMA PLACA CfRCULAR ENGASTADA NVM EIXO ESPESSURA UNIFORME

DfAMETRO DO EfXO / DIAMETRO DA PLACA= 0.2 ~AIO ADlMENS!ONALfZADO = RAIO GENERTCO / RAJO EXTERNO DA PLACA

PRIMEIRO MODO DE V!BRACAO - FREQUENClA = 389.33 RADS/SEq

RAIO ADIM.

0.20 o. 25 0 • .30 0-.35 0.40 O. 4 5 o.so o.ss 0-60 O. 64 0.10 0.75 o.ao o.a!> o.s9 0.95 0,99

DESLOCAMENTO

0.00000000 -0.00050310 -0.00155794 -0.00275356 -0.00384565 -0.00467458 -0.0051.3915 -0.00518567 -0,00480148 -0.00400906 -0.00285936 -0.00142394

0.00021'102 0.00196949 0.003765!,3 0.00554310 0.00121011

ROTACAO

O .00000000 -o .00869383 -0.01175331 -o .o 1176168 -0,00981737 -0.00659407 -0.00260882

0.00169860 0,00!;946 72 0.00981556 0.0130.5773 o.01551052 o.0111o;;ss 0.01787404 0.01794691 0.0]754983 O .o l 699398

MOM, FLETOR

-0,13649000 -0,06246653 -o. 02Lf64072

0,00092938 0,01942417 0.03243111 O, 04058141 0-04429196 o.04403525 o.040'13091 0,03426613 0.02647522 0.01809621 0.01021560 0.0039101.3 0.00019.320

-0,00002713

SEGUNDO MODO DE V1BRACA0 - FREQUENCIA = 1130,86 RAOS/SEG

RAIO ADIM,

o. 20 0.25 0,30 0,35 0.40 0.4;; o.se o.ss 0.60 0.64 0.10 o.75 o.ao 0,8.5 o.89 0.95 0,99

DESLOCAMENTO

0,00000000 -0.00036710 -0,00103038 -0,00160064 -0.00188136 -0,00100295 -0.00139570 -0.0,0076415 -0.00005588

o.ooos13zs Q.00099209 0.00111910 0.00093486 O, 00 047961

-0.00016.3:39 -o.oooa9s61 -0.00163684

ROTACAO

o·ºººººººº -0,00602696 -0.00661944 -0.0044655S -0.00103648

O. 0025 5017 O .00541559 0.00696384 O ,00693650 O, 00542383 o.002s1514

-0.00030686 -o .00330813 -o. 0056 S"357 -0,00703702 -0,00746816 -0,007306Z.O

MOM, FLETOR

-0.}0613200 -0.03378483 o.00411842

, o. 0261543 5 0-03597018 o. 03521228 0.02604322 0.01153706

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