cap. 4. deformação - departamento de engenharia civil · p. a figura no entanto representa os...
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Sebenta da Disciplina MMC, Zuzana Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2016
Cap. 4. Deformação
1. Deslocamento
2. Gradiente de deslocamento
2.1 Translação, rotação e deformação da vizinhança elementar
2.2 Significado físico da rotação pura
3. Tensor de deformação de Lagrange
4. Tensor das pequenas deformações
4.1 Caracter tensorial das deformações
4.2 Teoria geometricamente linear
4.3 Significado físico das pequenas deformações
4.3.1 Variação relativa do comprimento (Extensão)
4.3.2 Variação do ângulo
4.3.3 Variação do ângulo originalmente recto (Distorção)
4.4 Representação geométrica no quadrado elementar unitário
5. Deformação volúmica
6. Medição das deformações: extensómetros, rosetas
7. Equações de compatibilidade
8. Forma matricial das equações introduzidas
9. Estados de deformação
10. Vector das deformações
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Deformação é outra reposta do meio contínuo ao carregamento. Neste caso, a sua definição
não é fictícia como no caso das tensões, mas pode-se visualizar.
Cada vizinhança em torno de um ponto interior do meio contínuo, depois da aplicação do
carregamento muda:
- a sua posição via translação e rotação do “corpo rígido”
- o seu volume representado pela parte volúmica do tensor das deformações
- a sua forma representada pela parte desviatórica do tensor das deformações
1. Deslocamento
Deslocamento define-se como o vector que liga a posição inicial, com a posição final de cada
ponto do meio contínuo. Nota-se que para definição de vectores, basta falar sobre pontos e não
é preciso introduzir vizinhanças, como no caso de tensores.
Deslocamento é “visível”, porque pode-se medir pelo menos nos pontos de superfície, ao
contrário de tensão, que é a nossa ficção.
Vamos usar a designação , ,T
u u v w para evitar índices. Salienta-se que é preciso ter
cuidado, e de contexto, distinguir o vector de deslocamento u da sua primeira componente u .
2. Gradiente de deslocamento
O gradiente de deslocamento M define-se usando pontos vizinhos na posição original e
deformada.
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Na figura acima representa-se um corpo na sua posição inicial, ou seja, sem o carregamento
aplicado. Escolhem-se 2 pontos vizinhos, ou seja, o ponto Q está contido na vizinhança
elementar do ponto P . A figura no entanto representa os dois pontos bastante afastados para
uma melhor visualização. Após a aplicação do carregamento, o corpo muda a sua posição,
volume e forma. Os pontos P e Q encontram-se nas posições novas, designadas P e Q .
O vector que liga os dois pontos designa-se , ,T
s x y z e as componentes
correspondem a Q Px x x ,
Q Py y y , Q Pz z z . De acordo com a definição do
deslocamento, Pu P P e
Qu Q Q . Fazendo uma paralela ao vector Pu que passa pelo
ponto Q , observa-se facilmente da figura acima, que a variação do deslocamento u , pode-se
escrever como
u s s
ou seja
s s u
Caso ,s s P Q verificar-se para cada escolha dos pontos P e Q diz-se que não há
deformação, ou seja, no máximo pode existir movimentos na forma do corpo rígido. No
entanto, não podemos já designar o corpo como rígido, isso só seria possível no caso em que
não haja deformação para qualquer carregamento.
É possível aproximar a variação do deslocamento. Tal como no capítulo anterior, para esta
aproximação usa-se o primeiro termo da expansão de Taylor. Neste caso, a variação efectua-se
ao longo de uma direcção arbitrária, e não como no capítulo anterior, na direcção do eixo
cartesiano. Por esta razão é preciso efectuar as três derivadas parciais em cada componente, ou
seja
u u uu x y z
x y z
e analogamente
v v vv x y z
x y z
,
w w ww x y z
x y z
Na forma matricial por isso
s s u s M s
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e M chama-se gradiente de deslocamento.
u u u
x y z
v v vM
x y z
w w w
x y z
Nota-se que estamos perante uma expansão em que foram utilizados apenas dois termos e
outros foram desprezados. Assume-se que det 0M .
2.1 Translação, rotação e deformação da vizinhança elementar
Para se definir a deformação, é preciso apenas a variação de forma e de volume, por isso tem
que se eliminar a translação e a rotação do corpo rígido.
... V Ds I s M s I s I s
Define-se como tensor de deformação, a parte simétrica do gradiente de deformação, ou seja
/ 2T
M M
e como tensor de rotação a parte anti-simétrica do gradiente de deformação, ou seja
/ 2T
M M
1 1 1 10
2 2 2 2
1 10
2 2
u u v u w u v u wu u ux y x z x y x z xx y z
v v v v v w v w
x y z y z y z y
w w w w antissim
x y z z
0im
Voltando às relações acima, o movimento do corpo rígido representa-se pela translação, I , e
rotação . A deformação envolve a variação de volume, V que designa a parte
volúmica do tensor e a variação de forma, D que designa a parte desviatórica do tensor
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. Neste caso, o tensor chama-se tensor das pequenas deformações, como se vai
justificar no texto seguinte.
2.2 Significado físico da rotação pura
Assume-se que estamos a trabalhar no plano coordenado 0xy . No caso de rotação pura e
assumindo ângulos infinitesimais
0xy
v u utg
x y y
Consequentemente
1
2xy
u v
y x
ou seja
0
0
u x y
v y x
Que comprova que o tensor de rotação representa a rotação do corpo rígido e o ângulo de
rotação tem o sentido oposto. Na dinâmica dos corpos rígidos, definiu-se desta forma
deslocamento virtual correspondente à rotação
0 0
0
z
i j k
u s
x y
Para o tensor em 3D o sinal dos ângulos é o seguinte:
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0
0
0
z y
z x
y x
Pode-se comprovar que a condição de ângulo pequeno não era precisa, ou seja
1 0 0 1 cos sin
0 1 0 1 sin cos
Tx x x xs R s
y y y y
e por isso s s o ângulo pode ser finito. Neste caso é preciso usar funções
trigonométricas.
3. Tensor de deformação de Lagrange
Em alternativa, exprimindo a diferença entre os quadrados das normas dos comprimentos
novos e originais, obtém-se directamente a deformação, ou seja, já com a translação e a rotação
do corpo rígido eliminadas
2 2 T T T T T
s s s u s u s s u s s u u u
T TT
M s s s M s M s M s
T T T T T
s M s s M s s M M s
2T T T T
Ls M M M M s s s
Na dedução em cima usou-se o facto que a norma de um vector pode ser escrita como o
produto interno deste vector consigo.
Em conclusão:
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1
2
T
L M M e 1
2
TM M
O tensor chama-se o tensor das pequenas deformações e L o tensor Lagrangiano das
deformações grandes. Existem várias definições para descrever deformações grandes nesta
cadeira, apenas esta única definição será introduzida.
4. Tensor das pequenas deformações
O tensor das pequenas deformações contém os termos de gradiente de formação com expoente
1 e o tensor Lagragiano contém ainda os termos em que os termos de gradiente de deformação
aparecem em multiplicação. Pode-se assim facilmente concluir que o tensor das pequenas
deformações é possível usar sempre, quando os termos de gradiente de deformação são
pequenos, ou seja, quando 1 ,ijM i j . Neste caso, os termos de gradiente de
deformação em multiplicação são desprezáveis.
4.1 Caracter tensorial das deformações
O gradiente de deformação é definido como o gradiente do vector, e por isso corresponde ao
tensor de segunda ordem (assimétrico). A soma ou a subtracção dos tensores de segunda
ordem é também o tensor de segunda ordem, o que comprova que e são tensores de
segunda ordem. O tensor Lagrangiano é também um tensor de segunda ordem porque o termo
que se soma a representa um produto interno de dois tensores de segunda ordem, cujo
resultado é também um tensor de segunda ordem.
As componentes de deformação não têm unidade, visto que os números costumam ser bastante
pequenos, às vezes usa-se o prefixo 610 para aumentar a grandeza do número. Salienta-se
que não é unidade.
4.2 Teoria geometricamente linear
O tensor das pequenas deformações é uma função linear dos termos de gradiente de
deformação, ou seja, função linear de derivadas de componentes do vector de deslocamento.
Esta linearidade chama-se linearidade geométrica. Neste caso, usa-se também o termo “a teoria
das pequenas deformações”.
Nota-se que as pequenas deformações não impedem deslocamentos grandes. Por exemplo, o
movimento do corpo rígido pode representar deslocamentos grandes, no entanto, o tensor das
deformações é nulo. Usa-se por isso também o termo, “a teoria dos pequenos deslocamentos”.
A teoria dos pequenos deslocamentos implica a teoria das pequenas deformações, mas não
vice-versa. Neste caso, visto que os deslocamentos são pequenos, não se costuma distinguir a
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forma do corpo original da deformada, para a determinação das propriedades, ou para escrever
as condições de equilíbrio. Salienta-se que na disciplina de estática, as equações de equilíbrio
escreveram-se na posição da estrutura indeformada. Esta limitação não consegue analisar
outros fenómenos como por exemplo, a instabilidade. Usam-se por isso os termos “a teoria de I.
ordem” e “a teoria de II. ordem”. Na teoria de II. ordem, as equações de equilíbrio escrevem-se
na fora do corpo deformada. Nota-se que a palavra “deformada” não corresponde ao termo
“deformação”. O corpo na posição deformada corresponde ao corpo constituído pelos pontos
na sua posição final, ou seja, aplicando o campo de deslocamento. Visto que os pontos de
superfície mantém-se na superfície após aplicação do carregamento e o corpo mantém-se
contínuo, a posição deformada pode-se obter como a posição “deslocada” de superfície,
aplicando o vector do deslocamento a cada ponto de superfície.
4.3 Significado físico das pequenas deformações
4.3.1 Variação relativa do comprimento (Extensão)
As componentes normais do tensor das pequenas deformações chamam-se extensões. O
significado físico corresponde à variação relativa do comprimento. O valor positivo representa
alongamento, e o valor negativo encurtamento. Tal como no caso das tenções, o sinal da
componente normal não depende do referencial.
Na realidade, a variação relativa do comprimento aproxima-se pela variação relativa do
comprimento projectado na direcção original, ou seja x
u
x
. Esta interpretação só é possível
na teoria dos pequenos deslocamentos.
Assume-se que o comprimento L é infinitesimal e na direcção do eixo cartesiano x . A variação
relativa da distância destes pontos (não se pode dizer comprimento, porque a ligação P Q
pode ser curva) é L
L
. Pode-se provar que x
u L
x L
e assim, o significado físico descrito
acima confirma-se.
Prova:
De acordo com a definição
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0limP
xPQ
P
u P Q PQ
x PQ
Pretende-se provar que:
0 0lim limPQ PQ
P Q PQ P Q PQ
PQ PQ
Assumiu-se que:
L s x
Por isso, a relação acima pode-se escrever como
s s s xP Q PQ
s xPQ
Usando a definição do tensor de pequenas deformações
2 2 2
2 22 2T
xs s s x s s x
Voltando à relação anterior
2 22 2
21 1 1 1 1 1
s s xs x s
x x x x
Substituindo
22
22
2 2
21 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1x
x x x x x
s x x
x x
Consequentemente
x
u
x
, f
i
x
x f ix
L x dx u u , L L L
e para distribuição uniforme de deformações, mesmo para comprimentos finitos:
L
L
, L L , 1L L L L
4.3.2 Variação do ângulo
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As componentes tangenciais do tensor das pequenas deformações chamam-se distorções e
correspondem às variações angulares dos ângulos.
Assume-se um ângulo formado pelos braços unitários A
n e B
n . Pode-se provar que
2 cos
sin
A T B A B
n nn n
Para isso exprime-se o produto interno dos braços na posição nova de duas maneiras diferentes:
2 cos 2
TA T B A A B B
A T B A T B A T T B
A T T B
A T B A T T B
A T B A T B A T B
n n n M n n M n
n n n M n n M n
n M M n
n n n M M n
n n n n n n
Nas relações acima utilizou-se a definição do gradiente de deformação e omitiu se um termo de
ordem maior, ficando apenas com o termo absoluto e de ordem 1.
cos
1 1 cos cos sin sin
1 1 cos sin
cos sin cos sin
cos sin cos sin cos
A T B A B
A BA B
n n
A B
n n
A B A B
n n n n
A B A B
n n n n
n n n n
n n
Nas relações acima utilizou-se a definição do produto interno que implementa o ângulo entre os
dois vectores, a definição de extensão para introduzir a extensão dos braços e simplificações das
funções seno e co-seno para ângulos pequenos. A última relação envolve também apenas o
termo absoluto e de 1 ordem. Comparando as duas expressões pode-se concluir que
cos 2 cos sin cos
A T B A B
n nn n
2 sin cos
A T B A B
n nn n
ou seja, comprovou-se a relação pretendida.
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Quando o ângulo é originalmente recto, a fórmula simplifica-se para
2A T B
n n
Por exemplo em 2D, alinhando os braços com o referencial cartesiano
1,0A T
n ,
0,1B T
n
2 2A T B
xyn n
E por isso, o dobro da componente tangencial representa a variação do ângulo originalmente
recto. Note-se que foi introduzido para diminuir o ângulo e por isso a distorção positiva
diminui o ângulo, e a distorção negativa aumenta-o.
Por esta razão introduz-se a distorção de engenharia, 2xy xy
u v
y x
. Assim
xy , ou seja, corresponde à variação total do ângulo formado pelos eixos cartesianos,
como já dito anteriormente.
tan tanxy
u v
y x
Em resumo tem significado físico de variação angular do ângulo originalmente recto.
A componente tensorial xy corresponde à media dos dois ângulos e
1
2 2xy yx
u v
y x
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O que significa que no caso de distorção pura, ou seja quando a distorção não está afectada pela
rotação de corpo rígido, . Para eliminar a rotação, tem que se rodar o eixo azul do ângulo
que fazem os braços depois da deformação (azuis) pelo xy positivamente, até atingir o eixo do
ângulo recto (vermelho).
4.4 Representação geométrica no quadrado elementar unitário
Na figura acima podem-se identificar os seguintes passos:
O rectângulo elementar da sua posição inicial desloca-se para a sua posição final, os pontos que
designam os vértices: , , ,A B C D ocupam agora posições , , ,A B C D . O rectângulo sofre a
translação, a rotação e a deformação. A rotação deve assegurar que os ângulos no vértice A
são iguais. A translação e a rotação correspondem ao movimento do corpo rígido, ou seja, o
rectângulo não altera nem a sua forma nem o volume. A deformação poder-se-ia separar na
parte volúmica (alteração do volume) e desviatórica (alteração de forma), mas neste momento
isso não é importante. Na teoria dos pequenos deslocamentos as alterações de deslocamentos
são pequenos e podem-se aproximar pelas primeiras derivadas. Já foi usado no capítulo
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anterior, que quando a alteração se efectua somente na direcção do eixo cartesiano, a derivada
efectua-se apenas segundo esta variável.
Pode-se facilmente concluir que no caso dos lados infinitesimais mas unitários, os
deslocamentos correspondem directamente às deformações. Na visualização das deformações
retira-se assim a parte de movimento do corpo rígido, ou seja, A A e o rectângulo
representado a azul roda-se para que os lados coincidam com o referencial. Assumindo ainda os
lados unitários, pode-se concluir que a visualização das deformações no quadrado elementar
unitário obedece às regas da figura em baixo. Nesta figura assume-se que 0y .
As formulas para esta representação escrevem-se
x xyu x y e y xyv y x .
Estas fórmulas podem-se deduzir facilmente do pressuposto das deformações uniformes:
x x x x
uu dx dx u x F y
x
y y y y
vv dy dy v y G x
y
Visto que também xy é constante
xy xy
dF y dG xu v
y x dy dx
xy
dF y dG xC
dy dx
dG xC G x Cx D
dx
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xy xy
dF yC F y y Cy E
dy
Juntando as duas fórmulas
x xyu x y Cy E
yv y Cx D
Aplicando as condições de fronteira 0,0 0 0u E , 0,0 0 0v D e
finalmente exigindo a rotação nula ou seja 1
02
xy xy
u vC
y x
o que confirma
as relações acima.
Conclui-se ainda que o campo de deslocamento que corresponde à deformação uniforme é
linear; neste caso as rectas mantêm-se rectas e os planos mantêm-se planos após a deformação.
5. Deformação volúmica
Assume-se um paralelepípedo elementar no referencial principal. Neste caso as deformações
são apenas as principais, ou seja, não há distorções. Volume inicial é V x y z e o volume
após deformação
1 2 3
1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3
1 1 1
1 2 2 2
V x y z
x y z
Desprezando os termos de ordem maior, conclui-se que a variação do volume é
1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3 1 2 3 12 2 2V V V x y z V I V
Visto o valor ser invariante, pode concluir-se que o pressuposto do referencial principal não era
necessário e que a definição da deformação volúmica é
1 2 3V x y z
Depois escreve-se
VV V em conformidade com xL L
Recorda-se que a deformação desviatórica corresponde à alteração de forma num volume
inalterado, e sim, o traço do desviador ou seja a deformação volúmica são nulos.
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6. Medição das deformações: extensómetros,
rosetas
As medições de deformações efectuam-se nas superfícies de componentes. Usando a
extensometria, tem que se escolher uma zona em que há deformações uniformes, porque as
várias medições efectuadas nesta zona tem que corresponder ao mesmo “ponto”. Por esta
razão os extensómetros devem colocar-se suficientemente longe de extremidades e de pontos
de aplicação de carga. O tensor de deformações em 2D tem 3 componentes diferentes e por isso
é necessário colocar pelo menos 3 extensómetros para medir 3 valores. Os 3 extensómetros
formam uma roseta. Um extensómetro consegue apenas registar a variação de comprimento e
por isso mede apenas a extensão na sua direcção.
Os resultados das medições representam depois o problema que já foi abordado na parte de
cálculo tensorial, ou seja, determinar as componentes do tensor sabendo 3 valores normais nas
3 direcções diferentes
Que resulta num problema de 2 equações para 2 incógnitas y e
xy :
2 2cos sin 2 sin cosb a y xy
2 2cos sin 2 sin cosc a y xy
Às vezes colocam-se numa roseta 4 extensómetros para reduzir os erros de medição.
7. Equações de compatibilidade
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As equações de compatibilidade chamam-se também as equações de integrabilidade,
continuidade ou admissibilidade física. O problema coloca-se da seguinte maneira: Sabendo o
campo de deslocamento, é possível unicamente determinar o campo de deformação pelas
derivadas. No entanto, sabendo o campo de deformações, já não é possível concluir
directamente se o campo de deslocamentos existe. O problema está no número de
componentes, ou seja, a partir de 6 componentes de deformações devem-se determinar apenas
3 componentes de deslocamento, o que pode implicar contradição. Quando o campo de
deslocamento não existe, por outras palavras, não existe na forma de uma função contínua, o
resultado viola a continuidade do meio contínuo o que não é fisicamente possível, e por isso as
designações de “continuidade” ou de “admissibilidade física”. O outro termo está ligado à
fundamentação matemática. O campo de deslocamento determina-se pela integração, ou seja
se existir, as equações de compatibilidade representam a “integrabilidade” do campo de
deformação.
Diz-se que o campo de deformação é compatível quando as condições de compatibilidade
verificam-se. Estas representam 3 equações em 3 planos coordenados, uma delas é
2 22
2 2
xy yx
x y y x
e 3 equações que ligam uma direcção com os 3 planos coordenados, uma delas é
2
2yz xyx zx
y z x x y z
Restantes equações obtêm-se pela permutação positiva de índices.
Nota-se que todos os termos representam segundas derivadas, e por isso o campo de
deformação linear é sempre compatível, porque depois de duas derivadas cada termo nas
equações é nulo.
Considerando as deformações apenas em 2D, é preciso verificar apenas uma equação de
compatibilidade neste plano. Reduzindo a 1D, não há equações de compatibilidade porque a
uma componente de deformação corresponde uma componente de deslocamento e não há
contradição referida acima.
8. Forma matricial das equações introduzidas
Verifica-se facilmente que as equações de equilíbrio do capítulo anterior podem-se escrever na
forma:
0f
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Em que a matriz de operadores é / , / , /T
x y z .
No entanto, já não é possível escrever as equações deformações-deslocamento numa forma
compacta usando a matriz de componentes . Torna-se mais vantajoso escrever as
componentes na forma vectorial e as vantagens desta formulação tornam-se ainda mais claras
no próximo capítulo. Define-se:
, , , , ,T
x y z yz xz xy
E analogamente
, , , , ,T
x y z yz xz xy
Chama-se à atenção que a ordem das componentes de 2 índices segue a seguinte regra:
yz (falta x ), xz (falta y ), xy (falta z ). Chama-se ainda à atenção que as componentes de
deformação de 2 índices incluem a distorção de engenharia, , ou seja, o dobro da distorção,
, que é considerada como a componente tensorial. Esta forma torna-se ainda mais vantajosa
na descrição de termos usados na parte de princípios variacionais ligados à definição da energia
de deformação.
Com esta definição de deformações escreve-se:
T
u
A definição de matriz de operadores pode-se facilmente deduzir
/ 0 0 0 / /
0 / 0 / 0 /
0 0 / / / 0
x z y
y z x
z y x
Para se manter a uniformidade nas designações, escrevem-se as equações de equilíbrio na
forma
0f
E o equilíbrio na fronteira, em vez de p n
ˆp n
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Em que a matriz de componentes da normal tem a forma semelhante com a matriz de
operadores
0 0 0
ˆ 0 0 0
0 0 0
x z y
y z x
z y x
n n n
n n n n
n n n
Para as equações de compatibilidade, existem duas possíveis formas, no entanto nenhuma usa
matrizes de operadores já introduzidos.
0T
com
0
0
0
z y
z x
y x
e 2 0
em que a matriz 2 é facilmente deduzível e não se vai apresentar por razões de
simplicidade.
9. Estados de deformação
Em analogia com estados de tensão, definem-se os estados de deformação. Os mais comuns
representam-se no quadrado elementar unitário nas seguintes formas:
extensão pura
distorção pra
distorção pura com rotação
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deformação volúmica pura
10. Vector das deformações
Analogamente com o vector das tensões pode definir-se o vector das deformações:
n
A aplicabilidade desta definição é reduzida, porque não tem significado físico importante.
Usa-se componente intrínseca normal no sentido da extensão numa dada direcção definida pelo
versor n
T T
nn n n n
e a variação do ângulo originalmente recto, definido pelos braços cujos versores são n e s ,
substitui a componente intrínseca tangencial
2 2n s s n
Recorda-se que é preciso utilizar o dobo da multiplicação semelhante àquela usada na parte das
tensões, porque o significado físico pode atribuir-se mais facilmente à alteração do ângulo
completo, ou seja ao análogo da distorção.