Cálculo Financeiro

Aplicações no Secundário

IntroduçãoSão inúmeras as situações donosso quotidiano em que estãopresentes conceitos de CálculoFinanceiro. Podem ser abordadas:

• numa ótica de investimento

• numa ótica de financiamento

Essência do CFO cerne do CF reside no ValorTemporal do Dinheiro que é umconceito intuitivo.

Um euro, seja investido ou sejaemprestado, não tem para nós, omesmo valor consoante fiquedisponível imediatamente ouapenas daqui a algum tempo

Esta atitude racional é a chamadapreferência pela liquidez poisrelativamente a uma determinadaquantia, preferimos dispor delaimediatamente a dispor delaapenas daqui a algum tempo.

Dispondo imediatamente dessaquantia ficamos com liberdadepara decidir o destino a dar-lhe:

•Consumo

•Poupança

•Parte Consumo, parte poupança

Centremo-nos então na poupança:

Podemos aplicar essa quantia numdepósito bancário (risco reduzido),que nos proporcionará ao fim deum ano um valor superior - juros

Em síntese, relativamente a umamesma quantia, a preferência éreceber o mais cedo possível epagar o mais tarde possível.

É, pois, intuitiva a importância dofactor tempo em qualquer análiseque envolva capitais. Vamos entãoatribuir-lhe um valor: juro

Juro - Remuneração do capitaldurante determinado prazo. É, nofundo, o valor do dinheiro tendoem conta o factor tempo.

Justifica-se por 3 razões:

1. Privação da liquidez

2. Perda do poder de compra

3. Risco

Atendendo ao valor temporal dodinheiro, para comparar capitais énecessário que estejam reportadosa um mesmo momento. Esta é achamada Regra de Ouro do CálculoFinanceiro e é o âmago de todo equalquer problema financeiro.

Resolver Problemas - Matemática

O processo de produção do jurodesigna-se por processo decapitalização. A frequência comque em determinada operação seprocessa o juro designa-se porfrequência ou periodicidade decapitalização.

Uma vez produzido 2 coisas podemacontecer ao juro

JURO

Não Capitaliza

É pago

Regime de Juro Simples

“Puro”

É retido

Regime de Juro “dito”

Simples

Capitaliza

Regime de Juro

Composto

Exemplo: Determine o juroproduzido por um capital de 100€,após um ano, à taxa de 10%, nas 4situações seguintes:

a) RJS, capitalização anual

b) RJS, capitalização semestral

c) RJC, capitalização anual

d) RJC, capitalização semestral

a) RJS, capitalização anual

Assim o juro total, ao fim de umano, é 10€.

J C n i

100 1 0,1J

10J

b) RJS, capitalização semestral

Como vigora o RJS, estes 5 € não vãocapitalizar no período seguinte,pelo que o capital que volta aincidir continua a ser 100€ o juro éo mesmo: 5€

Assim o juro total, ao fim de um ano é,novamente, 10€.

2

nJ C i

100 0,5 0,1 5J

c) RJC, capitalização anual

Neste caso há apenas umacapitalização. Logo não vai haverjuros de juros.

Assim o juro total, ao fim de um ano é,novamente, 10€.

J C n i

100 1 0,1 10J

d) RJC, capitalização semestral

Como vigora o RJC, estes 5 € vãocapitalizar no período seguinte,pelo que o capital sobre o qual vãoincidir os juros são 105€.

Deste modo o juro total, ao fim de umano é, agora, 10,25€.

100 0,5 0,1 5J

105 0,5 0,1 5,25J

Ora, isto levanta uma questão muitointeressante:

Na alínea d), a taxa de juro anual éafinal 10% ou 10,25% ao ano?

A resposta a esta questão é:

AMBAS!

Apenas se trata de diferentesconceitos de taxa de juro.

A primeira, de 10%, é uma taxanominal.

A segunda, de 10,25%, é uma taxaefetiva.

Esta distinção ocorreu apenas nasituação d) pois é a única em quesimultaneamente vigorava o RJC emais do que uma capitalização noprazo considerado.

Resumindo

REGIME DE JURO SIMPLES

REGIME DE JURO COMPOSTO

IMPORTÂNCIA DA

PERIODICIDADE DAS

CAPITALIZAÇÕES

RELAÇÃO ENTRE TAXA NOMINAL

E TAXA EFETIVA

IRRELEVANTE TAXA NOMINAL = TAXA EFECTIVA

TAXA NOMINAL ≤ TAXA EFECTIVADETERMINANTE

TAXAS DE JURO – DIFERENTES CONCEITOS

•Taxas Nominais / Taxas Efetivas

•Taxas Proporcionais / Taxas Equivalentes

•Taxas Ilíquidas / Taxas Líquidas

•Taxas Correntes / Taxas Reais

Taxas Proporcionais / Taxas Equivalentes

Duas taxas, referidas a períodos de tempodiferentes, dizem-se proporcionais se a razãoentre elas for a mesma que existe entre osperíodos de tempo a que se referem.

Duas taxas, referidas a períodos de tempodiferentes, dizem-se equivalentes quandofazem que um mesmo capital produza omesmo juro após um mesmo intervalo detempo.

Assim, relacionando com o exercício

•A taxa anual de 10% e a taxa semestralde 5% são proporcionais;

•À taxa anual nominal de 10%, comcapitalizações semestrais, corresponde ataxa anual efetiva de 10,25%

•A taxa semestral equivalente à taxaanual efectiva de 10,25% é 5% (RJC)

•Em RJS não há distinção entre taxasproporcionais e taxas equivalentes nem entretaxas nominais e taxas efetivas.

•Essa distinção só surge em RJC e quandosimultaneamente , o período a que se reportaa taxa não coincide com a periodicidade a quesão efetuadas as capitalizações.

•É evidente uma relação entre taxas nominaise taxas proporcionais por um lado e entretaxas efectivas e taxas equivalentes por outro.As primeiras não reflectem o efeito dassucessivas capitalizações.

Vamos calcular algumas taxas de juro, paraposteriormente podermos sistematizar :

Dada a taxa anual efetiva de 10%, quais asequações que permitem obter as taxasequivalentes (ou equivalentes) para osseguintes períodos?

a) Semestre

b) Trimestre

c) Bimestre

d) Mês

a)

b)

c)

d)

De uma forma geral

1 2

2 21 0,10 1 0,0488i i

1 4

4 41 0,10 1 0,02411i i

1 6

6 61 0,10 1 0,0160i i

1 12

12 121 0,10 1 0,00797i i

1

1 0,10 1k

ki

Exercício:

Qual é a taxa anual efetiva subjacente à taxaanual nominal de 10%, compostamensalmente?

Resolução:

Taxa proporcional à taxa anual

Taxa mensal nominal igual à taxa mensalefetiva (pois tem igual período decapitalização)

Assim, a taxa anual efetiva equivalente é

12

0,10,008333

12i

12

121 1 0,10471i i i

Exercício:

Considere a taxa anual nominal de 9%composta trimestralmente, e calcule asseguintes taxas efetivas.

a) Mensal

b) Semestral

c) Trimestral

d) Anual

Resolução:

a)

Taxa trimestral proporcional

Esta taxa é efetiva trimestral, pois reporta aomesmo período (trimestre)

Vamos então determinar a taxa efetiva mensalequivalente

4

0,090,0225

4i

12 4

12 121 1 0,0225 0,007444i i

Resolução:

b)

Como um semestre são dois trimestres,vamos determinar a taxa efetiva semestralequivalente:

c)

A taxa efetiva trimestral equivalente é 0,0225

2

2 21 1 0,0225 0,0455i i

Resolução:

d) Para calcular a taxa anual efetiva bastalembrar que 1 ano tem 4 trimestres:

4

1 1 0,0225 0,09308i i

Exercício:

Considere a taxa anual efetiva de 9%composta trimestralmente e calcule asseguintes taxas:

a) Mensal efetiva

b) Semestral efetiva

c) Trimestral efetiva

d) Anual nominal

Resolução:

a) Uma vez que a taxa dada de 9% é efetiva,pela relação de equivalência,determinamos a taxa efetiva mensal (éirrelevante o fato das capitalizações seremtrimestrais)

b) Da mesma forma

12

12 121 0,09 1 0,0072i i

2

2 21 0,09 1 0,0440i i

Resolução:

c) Mais uma vez

d) Agora já é importante as capitalizaçõesserem trimestrais. A taxa trimestralequivalente já foi encontrada na alínea c).Por uma relação de proporcionalidadevamos determinar a taxa nominal anual

4 0,02178 0,08711i

4

4 41 0,09 1 0,02178i i

Para finalizar, só mais umas siglas…sobre taxas.

TAE- Taxa Anual Efetiva

TAN – Taxa Anual Nominal

TANB – Taxa Anual Nominal Bruta

TAEB – Taxa Anual Efetiva Bruta

TAEL – Taxa Anual Efetiva Líquida

TAEG – Taxa Anual Efetiva de Encargos Globais

Regime de Juro Simples e CompostoDe acordo com a simbologia que temos vindo

a utilizar, sejam

C – capital inicial

n – nº de períodos de duração da

operação financeira

i – Taxa de juro

Definimos também Capital Acumulado numdado momento à soma do capital inicialcom o juro total produzido até essemomento. Representemo-lo por S

Regime de Juro Simples

Neste regime o juro total é dado por

J=Cni

Pelo que o capital acumulado após nperíodos de capitalização é

S=C+J=C+Cni=C(1+ni)

S=C(1+ni)

A resolução de exercícios neste regime é

simples, pelo que passamos à frente.

Regime de Juro CompostoNeste regime vejamos o que acontece:

Relativamente ao Juro periódico evolui em

progressão geométrica de razão (1+i).

O juro total é então a soma dos termos de

uma progressão geométrica

AnoCapital

InicialJuro do ano Capital acumulado no final de cada ano

1 C j1=Cx1xi=Ci S1=C+j1=C+Ci=C(1+i)

2 C(1+i) j2=C(1+i)x1+i=Ci(1+i) S2=C(1+i)+j2=C(1+i)+Ci(1+i)=C(1+i)(1+i)=C(1+i)2

3 C(1+i)2 j3=C(1+i)2x1xi=Ci(1+i)2 S3=C(1+i)2+j3=C(1+i)2+Ci(1+i)2=C(1+i)(1+i)2=C(1+i)3

… … … …

n-1 C(1+i)(n-2) jn-1=Ci(1+i)n-2 Sn-1=C(1+i)n-1

n C(1+i)(n-1) Jn=Ci(1+i)n-1 Sn=C(1+i)n

Assim, utilizando a fórmula da soma de

termos de uma progressão geométrica

temos que

ou seja o valor do Juro Total

Assim o capital acumulado S=C+J

1

1 1 1 11 1

1 1

n n

n

PG

i iS j Ci C i

i i

1 1n

J C i

1 1 1n n

S C J C C i C i

Exercício:

Foi efectuado um depósito de 10000 € que,

após 5 semestres de capitalização em regime

de juro composto, gerou o capital acumulado

de 11314,08€. A que taxa foi remunerado este

depósito?

Resolução:

Equacionar o problema é simples 1n

S C i

5 5

5

11314.08 10000 1 1 1.13408

1.13408 1 0,025

i i

i i

Exercício:

Foi efectuado um depósito de 40000 € à taxa

anual de 5%. Após algum tempo, o capital

acumulado era de 48620,25€ (RJC). Qual a

duração deste depósito?

Resolução:

Equacionar o problema é simples

Como a tx estava em anos a duração é 4 anos.

1n

S C i

1,05

48620.25 40000 1 0,05 1,05 1.215506

log 1.215506 4

n n

n n

Para finalizar…

Num livro de MACS do 10º ano surge “caída”

do céu a seguinte fórmula

que permite determinar a prestação p para a

amortização de um empréstimo dado C como

capital inicial, i a taxa de juro e n a duração do

empréstimo.

1

1 1

n

n

i ip C

i

A fórmula anteriormente apresentada deriva

da Amortização de Empréstimos Clássicos .

De demonstração não aplicável nas condições

de uma Sessão Prática, resta-me indicar que

estamos perante um sistema de prestações

constantes denominado por Sistema Francês.

Tem em conta o Valor Temporal do Dinheiro e

o fato de que a soma de todas as prestações,

reportada ao momento em que o empréstimo

é contraído tem exatamente o mesmo valor.

Bibliografia:

MATIAS, ROGÉRIO (2009), Cálculo Financeiro –Teoria e Prática, 3.ª edição, Escolar Editora

NEVES, MARIA AUGUSTA FERREIRA eBOLINHAS, SANDRA e FARÍA, LUÍSA(2010), MACS 10, 1.ª edição, Porto Ed.

nunangelino@gmail.com