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Cálculo Financeiro
Aplicações no Secundário
IntroduçãoSão inúmeras as situações donosso quotidiano em que estãopresentes conceitos de CálculoFinanceiro. Podem ser abordadas:
• numa ótica de investimento
• numa ótica de financiamento
Essência do CFO cerne do CF reside no ValorTemporal do Dinheiro que é umconceito intuitivo.
Um euro, seja investido ou sejaemprestado, não tem para nós, omesmo valor consoante fiquedisponível imediatamente ouapenas daqui a algum tempo
Esta atitude racional é a chamadapreferência pela liquidez poisrelativamente a uma determinadaquantia, preferimos dispor delaimediatamente a dispor delaapenas daqui a algum tempo.
Dispondo imediatamente dessaquantia ficamos com liberdadepara decidir o destino a dar-lhe:
•Consumo
•Poupança
•Parte Consumo, parte poupança
Centremo-nos então na poupança:
Podemos aplicar essa quantia numdepósito bancário (risco reduzido),que nos proporcionará ao fim deum ano um valor superior - juros
Em síntese, relativamente a umamesma quantia, a preferência éreceber o mais cedo possível epagar o mais tarde possível.
É, pois, intuitiva a importância dofactor tempo em qualquer análiseque envolva capitais. Vamos entãoatribuir-lhe um valor: juro
Juro - Remuneração do capitaldurante determinado prazo. É, nofundo, o valor do dinheiro tendoem conta o factor tempo.
Justifica-se por 3 razões:
1. Privação da liquidez
2. Perda do poder de compra
3. Risco
Atendendo ao valor temporal dodinheiro, para comparar capitais énecessário que estejam reportadosa um mesmo momento. Esta é achamada Regra de Ouro do CálculoFinanceiro e é o âmago de todo equalquer problema financeiro.
Resolver Problemas - Matemática
O processo de produção do jurodesigna-se por processo decapitalização. A frequência comque em determinada operação seprocessa o juro designa-se porfrequência ou periodicidade decapitalização.
Uma vez produzido 2 coisas podemacontecer ao juro
JURO
Não Capitaliza
É pago
Regime de Juro Simples
“Puro”
É retido
Regime de Juro “dito”
Simples
Capitaliza
Regime de Juro
Composto
Exemplo: Determine o juroproduzido por um capital de 100€,após um ano, à taxa de 10%, nas 4situações seguintes:
a) RJS, capitalização anual
b) RJS, capitalização semestral
c) RJC, capitalização anual
d) RJC, capitalização semestral
a) RJS, capitalização anual
Assim o juro total, ao fim de umano, é 10€.
J C n i
100 1 0,1J
10J
b) RJS, capitalização semestral
Como vigora o RJS, estes 5 € não vãocapitalizar no período seguinte,pelo que o capital que volta aincidir continua a ser 100€ o juro éo mesmo: 5€
Assim o juro total, ao fim de um ano é,novamente, 10€.
2
nJ C i
100 0,5 0,1 5J
c) RJC, capitalização anual
Neste caso há apenas umacapitalização. Logo não vai haverjuros de juros.
Assim o juro total, ao fim de um ano é,novamente, 10€.
J C n i
100 1 0,1 10J
d) RJC, capitalização semestral
Como vigora o RJC, estes 5 € vãocapitalizar no período seguinte,pelo que o capital sobre o qual vãoincidir os juros são 105€.
Deste modo o juro total, ao fim de umano é, agora, 10,25€.
100 0,5 0,1 5J
105 0,5 0,1 5,25J
Ora, isto levanta uma questão muitointeressante:
Na alínea d), a taxa de juro anual éafinal 10% ou 10,25% ao ano?
A resposta a esta questão é:
AMBAS!
Apenas se trata de diferentesconceitos de taxa de juro.
A primeira, de 10%, é uma taxanominal.
A segunda, de 10,25%, é uma taxaefetiva.
Esta distinção ocorreu apenas nasituação d) pois é a única em quesimultaneamente vigorava o RJC emais do que uma capitalização noprazo considerado.
Resumindo
REGIME DE JURO SIMPLES
REGIME DE JURO COMPOSTO
IMPORTÂNCIA DA
PERIODICIDADE DAS
CAPITALIZAÇÕES
RELAÇÃO ENTRE TAXA NOMINAL
E TAXA EFETIVA
IRRELEVANTE TAXA NOMINAL = TAXA EFECTIVA
TAXA NOMINAL ≤ TAXA EFECTIVADETERMINANTE
TAXAS DE JURO – DIFERENTES CONCEITOS
•Taxas Nominais / Taxas Efetivas
•Taxas Proporcionais / Taxas Equivalentes
•Taxas Ilíquidas / Taxas Líquidas
•Taxas Correntes / Taxas Reais
Taxas Proporcionais / Taxas Equivalentes
Duas taxas, referidas a períodos de tempodiferentes, dizem-se proporcionais se a razãoentre elas for a mesma que existe entre osperíodos de tempo a que se referem.
Duas taxas, referidas a períodos de tempodiferentes, dizem-se equivalentes quandofazem que um mesmo capital produza omesmo juro após um mesmo intervalo detempo.
Assim, relacionando com o exercício
•A taxa anual de 10% e a taxa semestralde 5% são proporcionais;
•À taxa anual nominal de 10%, comcapitalizações semestrais, corresponde ataxa anual efetiva de 10,25%
•A taxa semestral equivalente à taxaanual efectiva de 10,25% é 5% (RJC)
•Em RJS não há distinção entre taxasproporcionais e taxas equivalentes nem entretaxas nominais e taxas efetivas.
•Essa distinção só surge em RJC e quandosimultaneamente , o período a que se reportaa taxa não coincide com a periodicidade a quesão efetuadas as capitalizações.
•É evidente uma relação entre taxas nominaise taxas proporcionais por um lado e entretaxas efectivas e taxas equivalentes por outro.As primeiras não reflectem o efeito dassucessivas capitalizações.
Vamos calcular algumas taxas de juro, paraposteriormente podermos sistematizar :
Dada a taxa anual efetiva de 10%, quais asequações que permitem obter as taxasequivalentes (ou equivalentes) para osseguintes períodos?
a) Semestre
b) Trimestre
c) Bimestre
d) Mês
a)
b)
c)
d)
De uma forma geral
1 2
2 21 0,10 1 0,0488i i
1 4
4 41 0,10 1 0,02411i i
1 6
6 61 0,10 1 0,0160i i
1 12
12 121 0,10 1 0,00797i i
1
1 0,10 1k
ki
Exercício:
Qual é a taxa anual efetiva subjacente à taxaanual nominal de 10%, compostamensalmente?
Resolução:
Taxa proporcional à taxa anual
Taxa mensal nominal igual à taxa mensalefetiva (pois tem igual período decapitalização)
Assim, a taxa anual efetiva equivalente é
12
0,10,008333
12i
12
121 1 0,10471i i i
Exercício:
Considere a taxa anual nominal de 9%composta trimestralmente, e calcule asseguintes taxas efetivas.
a) Mensal
b) Semestral
c) Trimestral
d) Anual
Resolução:
a)
Taxa trimestral proporcional
Esta taxa é efetiva trimestral, pois reporta aomesmo período (trimestre)
Vamos então determinar a taxa efetiva mensalequivalente
4
0,090,0225
4i
12 4
12 121 1 0,0225 0,007444i i
Resolução:
b)
Como um semestre são dois trimestres,vamos determinar a taxa efetiva semestralequivalente:
c)
A taxa efetiva trimestral equivalente é 0,0225
2
2 21 1 0,0225 0,0455i i
Resolução:
d) Para calcular a taxa anual efetiva bastalembrar que 1 ano tem 4 trimestres:
4
1 1 0,0225 0,09308i i
Exercício:
Considere a taxa anual efetiva de 9%composta trimestralmente e calcule asseguintes taxas:
a) Mensal efetiva
b) Semestral efetiva
c) Trimestral efetiva
d) Anual nominal
Resolução:
a) Uma vez que a taxa dada de 9% é efetiva,pela relação de equivalência,determinamos a taxa efetiva mensal (éirrelevante o fato das capitalizações seremtrimestrais)
b) Da mesma forma
12
12 121 0,09 1 0,0072i i
2
2 21 0,09 1 0,0440i i
Resolução:
c) Mais uma vez
d) Agora já é importante as capitalizaçõesserem trimestrais. A taxa trimestralequivalente já foi encontrada na alínea c).Por uma relação de proporcionalidadevamos determinar a taxa nominal anual
4 0,02178 0,08711i
4
4 41 0,09 1 0,02178i i
Para finalizar, só mais umas siglas…sobre taxas.
TAE- Taxa Anual Efetiva
TAN – Taxa Anual Nominal
TANB – Taxa Anual Nominal Bruta
TAEB – Taxa Anual Efetiva Bruta
TAEL – Taxa Anual Efetiva Líquida
TAEG – Taxa Anual Efetiva de Encargos Globais
Regime de Juro Simples e CompostoDe acordo com a simbologia que temos vindo
a utilizar, sejam
C – capital inicial
n – nº de períodos de duração da
operação financeira
i – Taxa de juro
Definimos também Capital Acumulado numdado momento à soma do capital inicialcom o juro total produzido até essemomento. Representemo-lo por S
Regime de Juro Simples
Neste regime o juro total é dado por
J=Cni
Pelo que o capital acumulado após nperíodos de capitalização é
S=C+J=C+Cni=C(1+ni)
S=C(1+ni)
A resolução de exercícios neste regime é
simples, pelo que passamos à frente.
Regime de Juro CompostoNeste regime vejamos o que acontece:
Relativamente ao Juro periódico evolui em
progressão geométrica de razão (1+i).
O juro total é então a soma dos termos de
uma progressão geométrica
AnoCapital
InicialJuro do ano Capital acumulado no final de cada ano
1 C j1=Cx1xi=Ci S1=C+j1=C+Ci=C(1+i)
2 C(1+i) j2=C(1+i)x1+i=Ci(1+i) S2=C(1+i)+j2=C(1+i)+Ci(1+i)=C(1+i)(1+i)=C(1+i)2
3 C(1+i)2 j3=C(1+i)2x1xi=Ci(1+i)2 S3=C(1+i)2+j3=C(1+i)2+Ci(1+i)2=C(1+i)(1+i)2=C(1+i)3
… … … …
n-1 C(1+i)(n-2) jn-1=Ci(1+i)n-2 Sn-1=C(1+i)n-1
n C(1+i)(n-1) Jn=Ci(1+i)n-1 Sn=C(1+i)n
Assim, utilizando a fórmula da soma de
termos de uma progressão geométrica
temos que
ou seja o valor do Juro Total
Assim o capital acumulado S=C+J
1
1 1 1 11 1
1 1
n n
n
PG
i iS j Ci C i
i i
1 1n
J C i
1 1 1n n
S C J C C i C i
Exercício:
Foi efectuado um depósito de 10000 € que,
após 5 semestres de capitalização em regime
de juro composto, gerou o capital acumulado
de 11314,08€. A que taxa foi remunerado este
depósito?
Resolução:
Equacionar o problema é simples 1n
S C i
5 5
5
11314.08 10000 1 1 1.13408
1.13408 1 0,025
i i
i i
Exercício:
Foi efectuado um depósito de 40000 € à taxa
anual de 5%. Após algum tempo, o capital
acumulado era de 48620,25€ (RJC). Qual a
duração deste depósito?
Resolução:
Equacionar o problema é simples
Como a tx estava em anos a duração é 4 anos.
1n
S C i
1,05
48620.25 40000 1 0,05 1,05 1.215506
log 1.215506 4
n n
n n
Para finalizar…
Num livro de MACS do 10º ano surge “caída”
do céu a seguinte fórmula
que permite determinar a prestação p para a
amortização de um empréstimo dado C como
capital inicial, i a taxa de juro e n a duração do
empréstimo.
1
1 1
n
n
i ip C
i
A fórmula anteriormente apresentada deriva
da Amortização de Empréstimos Clássicos .
De demonstração não aplicável nas condições
de uma Sessão Prática, resta-me indicar que
estamos perante um sistema de prestações
constantes denominado por Sistema Francês.
Tem em conta o Valor Temporal do Dinheiro e
o fato de que a soma de todas as prestações,
reportada ao momento em que o empréstimo
é contraído tem exatamente o mesmo valor.
Bibliografia:
MATIAS, ROGÉRIO (2009), Cálculo Financeiro –Teoria e Prática, 3.ª edição, Escolar Editora
NEVES, MARIA AUGUSTA FERREIRA eBOLINHAS, SANDRA e FARÍA, LUÍSA(2010), MACS 10, 1.ª edição, Porto Ed.