Cálculo Diferencial e Integral I

Mestrado em Engenharia Mecânica e Licenciatura em

Engenharia Naval e Oceânica - 1º semestre - 2018/2019

Corpo docente

Amélia Bastos (responsável) - abastos@math.tecnico.ulisboa.pt

António Bravo - abravo@math.tecnico.ulisboa.pt

Luís Pessoa - lpessoa@math.tecnico.ulisboa.pt

Filipe Mena - filipecmena@tecnico.ulisboa.pt

Programa Números reais. Números naturais. Princípio de indução matemática. Densidade dos números racionais

e irracionais no conjunto dos reais.

Sucessões. Sucessões limitadas e monótonas. Sucessão convergente. Cálculo de limites. Subsucessões.

Sucessão contractiva.

Funções reais de variável real. Continuidade e diferenciabilidade. Continuidade e limite. Funções

contínuas em intervalos: Teoremas de Weierstrass e de Bolzano. Continuidade da função inversa.

Diferenciabilidade. Regras operatórias da derivação. Derivada da função composta. Derivada da função

inversa. Teoremas de Rolle e de Lagrange. Regra de Cauchy e indeterminações. Fórmula de Taylor.

Integral de Riemann. Definição do integral de Riemann. Critérios de integrabilidade. Integrabilidade de

funções monótonas e limitadas. Propriedades do integral. Integral indefinido. Teorema fundamental do

cálculo. Métodos gerais de integração. Integração por partes e por substituição. Integração de funções

racionais e irracionais. Integração de funções trigonométricas.

Séries. Condição necessária de convergência de séries numéricas. Série geométrica. Operações

algébricas com séries. Séries absolutamente convergentes. Critério geral de comparação. Critério de

D'Alembert. Majoração do erro da soma aproximada de uma série. Séries de potências. Séries de Taylor.

Definição de funções transcendentes elementares.

Bibliografia

• M. Abreu, R.L. Fernandes e M. Ricou, Folhas de Cálculo Diferencial e Integral I., 2009.

• R. G. Bartle, D. Sherbert, Introduction to Real Analysis, John Wiley, 3ª ed., 2000.

• A. Bastos, A. Bravo. Cálculo Diferencial e Integral I, Texto de apoio às aulas., 2010.

• A. Bastos, A. Bravo. Cálculo Diferencial e Integral I, Complementos ao texto de apoio às aulas., 2014.

• J. Campos Ferreira. Introdução à Análise Matemática, Fundação Gulbenkian, 8a ed., 2005.

• S. Ghorpade, B.Limaye, A Course in Calculus and Real Analysis, Springer, 2006.

• J. P. Santos, Cálculo numa variável real, IST Press, 2013.

• M. Spivak, Calculus, 3rd Edition, Cambridge University Press, 2006.

• W. Trench, Introduction to Real Analysis, Trinity University.

• Exercícios de Análise Matemática I e II, IST Press, 2005.

Métodos de Avaliação

Testes: O primeiro teste realiza-se a 10 de Novembro de 2018 e o segundo a 7 de Janeiro de

2019 com a duração de 1.30h.

Exame de recurso: Realiza-se no dia 29 de Janeiro de 2019 com duração de 3h. A este

exame podem comparecer todos os alunos que não tenham tido aprovação na disciplina

ou que pretendam melhorar a sua classificação. Nesta data, o aluno também pode recuperar ou

melhorar a classificação de um dos testes. Se ao fim de 1h 30m o aluno não entregar a prova,

considera-se que pretende realizar o exame.

Avaliação contínua: Existirá ao longo do semestre uma avaliação contínua facultativa,

constituída por 4 mini-testes a realizar nos últimos 20 minutos da aula de problemas da

semana correspondente, cobrindo a matéria dada nas práticas até essa semana. Os alunos

deverão fazer o mini-teste sempre no mesmo turno prático.

Números reais. Sucessões. 1ºminiteste - (4ªsemana)

Continuidade e diferenciabilidade de funções reais. 2ºminiteste - (7ªsemana)

Cálculo integral. 3ºminiteste - (11ªsemana)

Séries. 4ºminiteste - (14ªsemana)

Esta avaliação pode traduzir-se num bónus na classificação de Testes/Exame de acordo com a

tabela abaixo:

Testes/Exame 8,5-8,9

9,0-9,4

9,5-10,4

10,5-11,4

11,5-12,4

12,5-13,4

13,5-14,4

14,5-15,4

15,5-16,4

Mini-Testes ≥ 5 4 6 7 8 9 10 11 12

Nota Final 10 10 11 12 13 14 15 16 17

As notas dos mini-testes serão 0,1,2,3:

3- Muito Bom; 2- Bom; 1- Satisfaz; 0- Não Satisfaz.

NOTA: Classificações superiores a 16 ou inferiores a 8,5 na média dos Testes / nota de

Exame não serão influenciadas pela avaliação das aulas problemas. Se o aluno tiver duas

notas de 0, a avaliação por mini-testes não é aplicável.

Os alunos com classificação final superior a 17 valores são convocados para se apresentar a

exame oral. A não realização deste exame oral limita a classificação máxima a 17 valores.

Horário de Dúvidas

Amélia Bastos – 5ª feira das 10:30 às 12:00 e das 16:30 às 18:00

(gabinete 3.25 do pavilhão de Matemática)

António Bravo - 3ª feira das 11:15 às 12:45 e das 18:15 às 19:00

(sala P2 do pavilhão de Matemática)

Filipe Mena – 4ª feira das 9:30 às 11:00 (sala P2 do pavilhão de Matemática)

Luís Pessoa - 2ª feira das 19:00 às 20:30 e 3ª feira das 18:30-20:00

(sala P2 do pavilhão de Matemática)