Cálculo Diferencial e Integral I

Mestrado em Engenharia Mecânica - 1º semestre - 2016/2017

Corpo docente

Amélia Bastos (responsável) - abastos@math.tecnico.ulisboa.pt

António Bravo - abravo@math.tecnico.ulisboa.pt

Luís Pessoa - lpessoa@math.tecnico.ulisboa.pt

Programa Números reais. Números naturais. Princípio de indução matemática. Densidade dos números racionais

e irracionais no conjunto dos reais.

Sucessões. Sucessões limitadas e monótonas. Sucessão convergente. Cálculo de limites. Subsucessões.

Sucessão contractiva.

Funções reais de variável real. Continuidade e diferenciabilidade. Continuidade e limite. Funções

contínuas em intervalos: Teoremas de Weierstrass e de Bolzano. Continuidade da função inversa.

Diferenciabilidade. Regras operatórias da derivação. Derivada da função composta. Derivada da

função inversa. Teoremas de Rolle e de Lagrange. Regra de Cauchy e indeterminações. Fórmula de

Taylor.

Integral de Riemann. Definição do integral de Riemann. Critérios de integrabilidade. Integrabilidade

de funções monótonas e limitadas. Propriedades do integral. Integral indefinido. Teorema fundamental

do cálculo. Métodos gerais de integração. Integração por partes e por substituição. Integração de

funções racionais e irracionais. Integração de funções trigonométricas.

Séries. Condição necessária de convergência de séries numéricas. Série geométrica. Operações

algébricas com séries. Séries absolutamente convergentes. Critério geral de comparação. Critério de

D'Alembert. Majoração do erro da soma aproximada de uma série. Séries de potências. Séries de

Taylor. Definição de funções transcendentes elementares.

Bibliografia

• M. Abreu, R.L. Fernandes e M. Ricou, Folhas de Cálculo Diferencial e Integral I., 2009.

• R. G. Bartle, D. Sherbert, Introduction to Real Analysis, John Wiley, 3ª ed., 2000.

• A. Bastos, A. Bravo. Cálculo Diferencial e Integral I, Texto de apoio às aulas., 2010.

• A. Bastos, A. Bravo. Cálculo Diferencial e Integral I, Complementos ao texto de apoio às aulas., 2014.

• J. Campos Ferreira. Introdução à Análise Matemática, Fundação Gulbenkian, 8a ed., 2005.

• S. Ghorpade, B.Limaye, A Course in Calculus and Real Analysis, Springer, 2006.

• J. P. Santos, Cálculo numa variável real, IST Press, 2013.

• M. Spivak, Calculus, 3rd Edition, Cambridge University Press, 2006.

• W. Trench, Introduction to Real Analysis, Trinity University.

• Exercícios de Análise Matemática I e II, IST Press, 2005.

Avaliação de conhecimentos

A avaliação de conhecimentos consiste em dois testes e um exame. O primeiro teste realiza-se

a 12 de novembro de 2016 e o segundo a 9 de janeiro de 2017. No exame, dia 30 de janeiro de

2017, os alunos podem, se o pretenderem, melhorar a classificação de um dos testes. A este

exame podem comparecer todos os alunos que não tenham tido aprovação na disciplina ou

que pretendam melhorar a classificação obtida.

Nas aulas práticas existe ao longo do semestre uma avaliação facultativa. Essa avaliação será

realizada em 4 aulas práticas ao longo do semestre.

Números reais. Sucessões. 1ºminiteste - (4ªsemana)

Continuidade e diferenciabilidade de funções reais. 2ºminiteste - (7ªsemana)

Cálculo integral. 3ºminiteste - (11ªsemana)

Séries. 4ºminiteste - (14ªsemana)

Classificação mínima a obter nos

minitestes das aulas práticas (*)

Média Testes/Exame Classificação final

CCCD 9,0-9,4 10

CCCC 8,5-8,9 10

BBCC 8,0-8,4 10

BBCC 9,5-10,4 11

ABCC ou BBBC 10,5-11,4 12

AACC, BBBB ou ABBC 11,5-12,4 13

ABBB ou AABC 12,5-13,4 14

AABB ou AAAC 13,5-14,4 15

AAAB 14,5-15,4 16

AAAA 15,5-16,4 17

(*) As classificações dos quatro minitestes indicadas no quadro não estão ordenadas por

miniteste. A- Muito Bom; B- Bom; C- Satisfaz; D- Não Satisfaz.

As classificações superiores ou iguais a 17 valores nos Testes/Exame não serão influenciadas

pela avaliação das aulas práticas. A classificação das aulas práticas só influenciará a

classificação final caso melhore a classificação obtida nos Testes/Exame.

Os alunos com classificação final superior a 17 valores podem ser convocados para se

apresentar a exame oral. A não realização deste exame oral limita a classificação máxima a 17

valores.

Horário de Dúvidas

As sessões de esclarecimento de dúvidas têm lugar na sala de dúvidas do Departamento de

Matemática.