i

Centro Federal de Educao Tecnolgica de Minas Gerais

Universidade Federal de So Joo del-Rei

Programa de Ps Graduao em Engenharia Eltrica

Arthur Arajo Maia Farah

CLCULO DE CAMPOS ELTRICOS E MAGNTICOS EM LINHAS DE TRANSMISSO PELO MTODO DOS

ELEMENTOS FINITOS

Belo Horizonte

2014

ii

Arthur Arajo Maia Farah

CLCULO DE CAMPOS ELTRICOS E MAGNTICOS EM LINHAS DE TRANSMISSO PELO MTODO DOS

ELEMENTOS FINITOS

Dissertao submetida banca examinadora designada

pelo Colegiado do Programa de Ps-Graduao em

Engenharia Eltrica, Associao Ampla entre a

Universidade Federal de So Joo Del-Rei e o Centro

Federal de Educao Tecnolgica de Minas Gerais,

como parte dos requisitos necessrios obteno do

grau de Mestre em Engenharia Eltrica.

rea de Concentrao: Sistemas Eltricos

Linha de Pesquisa: Eletromagnetismo Aplicado

Orientador: Prof. Dr. Mrcio Matias Afonso

Coorientador: Prof. Dr. Marco Aurlio de O. Schroeder

Belo Horizonte

2014

iii

Folha de Aprovao a ser anexada

iv

Onde a mente destemida e a cabea se mantm erguida;

Onde o conhecimento livre;

Onde o mundo no foi dividido em fragmentos por estreitas paredes domsticas;

Onde as palavras brotam das profundezas da verdade;

Onde o esforo incansvel estende os braos para a perfeio;

Onde a torrente clara da razo no se perdeu no deserto entediante do hbito estril;

Onde a mente guiada por Ti para o pensamento e a ao sempre mais amplos;

Neste cu de liberdade, meu Pai, permita que minha ptria desperte!

Rabindranath Tagore

v

Agradecimentos

Ao meu orientador Marcio Matias pela ateno, pacincia e confiana de sempre.

Expresso a ele minha gratido pela amizade e pelos sbios conselhos oferecidos, desde os

tempos de graduao, motivando as minhas escolhas e me oferecendo diversas

oportunidades de crescimento profissional.

Aos professores e funcionrios do Programa de Ps Graduao em Engenharia

Eltrica do CEFET-MG, pela colaborao sempre oferecida. Fica um agradecimento

especial Professora Patrcia Jota, pelo amparo oferecido em um momento de muitas

dvidas deste caminho; Professora rsula Resende, a quem muito admiro pela forma

esclarecedora e atenciosa de ensinar e contribuir; e Rosimeire Rocha, pela ajuda e

pacincia de sempre.

A CAPES que concedeu apoio financeiro nesta pesquisa, no incio da jornada.

Ao CEFET-MG, que desde sempre me ofereceu inumeradas oportunidades de vida.

Aos amigos adquiridos ao longo dessa jornada, ficando um obrigado especial s

queridas Ciby Rosa e Polyanna Pereira, as quais sempre foram uma amizade indispensvel.

Ao meu pai Roberto Farah, por sempre fazer de tudo para que no me faltassem as

condies essenciais. Condies que permitiram minha transformao em um homem

melhor. Agradeo por ele sempre ter sabido empreender, de maneira peculiar e criativa, a

sua luta frente a todas as adversidades.

As minhas irms Deborah e Roberta Farah, pelo carinho e ateno especial.

A Tainah Miranda e aos seus iluminados pais, Robson e Denise, que me ensinaram

um novo olhar de vida, baseado nos sentimentos mais sublimes de amor e compaixo,

juntamente de significados mais amplos de liberdade. Sem vocs, a tranquilidade para esta

conquista no seria possvel.

A Renata Garcia, que me deu apoio e amor imprescindveis para fazer deste e de

outros sonhos possveis.

vi

Resumo

A crescente demanda por energia eltrica apresenta, na atualidade, inmeros

desafios ao setor de transmisso de energia, requisitando sistemas que possam ser, ao

mesmo tempo, menos onerosos, mais eficientes ao transporte de energia, e ainda, mais

seguros queles que convivem em suas proximidades. Neste contexto, o estudo apurado

dos campos eltricos e magnticos gerados pelas linhas de transmisso de grande

relevncia, estando relacionado s possibilidades de melhoria operacional e reduo

dos diversos impactos causados por estes sistemas. Embora as tcnicas numricas de

simulao computacional ofeream um melhor suporte a estes estudos, frente s

limitaes encontradas em modelos analticos usais, h ainda uma baixa

empregabilidade das mesmas nesta classe de problemas. Este trabalho, assim,

destinado aplicao do Mtodo dos Elementos Finitos na modelagem do campo

eletromagntico quase esttico de linhas areas de transmisso. Perante aos inmeros

desafios que tornam a tcnica pouco atraente na avaliao das linhas de transmisso,

so aqui reunidas as melhores prticas de implementao, de modo a explorar

detalhadamente aqueles aspectos relacionados preciso numrica e ao desempenho

computacional das solues. De maneira a encorajar uma maior empregabilidade da

tcnica nos sistemas de transmisso, so avaliados estudos de casos especficos, de

maior complexidade. Nestes estudos, o Mtodo dos Elementos Finitos permite atingir

resultados de grande interesse, quando em comparao as simplificaes postas pelos

mtodos analticos comumente empregados.

Palavras-chave: Linhas de Transmisso, Mtodo dos Elementos Finitos, Campos

Eltricos Quase-Estticos, Campos Magnticos Quase-Estticos.

vii

Abstract

Currently, the growing of electricity demand presents new challenges to the

power transmission sector, in order to develop new systems that can be, at the same

time, more efficient for the energy transport, cheaper, and also, safer to the vicinity of

these systems. In this context, the study of the electric and magnetic fields generated by

power lines has great importance for its operational improvement and for the reduction

of several existing impacts. Although numerical techniques could provide better support

to these studies, compared with usual analytical models, that need to use some

simplifications, they are still having a low employability in this class of problems. This

research presents the numerical modeling to the quasi-static electromagnetic field of

overhead transmission lines, based on the Finite Element Method. In order to encourage

a greater use of this technique in power systems, this work presents the main aspects

related with the computational implementation, focusing in numerical precision and

improvement of performance of the results. Specific cases of studies are presented and

show that this technique allows a more faithful representation of physical systems, with

more fidelity and robustness than other methods commonly used.

Key-words: Power Lines, Finite Element Method, Quase-Static Eletric Field,

Quase-Static Magnetic Field

viii

Sumrio

Resumo ................................................................................................................................................ vi

Abstract ............................................................................................................................................. vii

Sumrio ............................................................................................................................................ viii

Lista de Figuras ................................................................................................................................ xi

Lista de Tabelas ..............................................................................................................................xiv

Lista de Abreviaes ...................................................................................................................... xv

Lista de Smbolos e Constantes ............................................................................................... xvii

Captulo 1 Introduo ............................................................................................................... 20

1.1. Contextualizao da Dissertao ............................................................................................... 20

1.2. Objetivos .............................................................................................................................................. 25

1.3. Organizao do Texto ..................................................................................................................... 26

Captulo 2 Reviso Bibliogrfica ........................................................................................... 28

2.1. Mtodos para Cmputo de Campos Eltricos e Magnticos em LTs ............................ 28

2.2. Aplicao do Mtodo dos Elementos Finitos em Sistemas de Transmisso ............. 35

2.3. Comparativo das Tcnicas de Cmputo .................................................................................. 38

Captulo 3 Modelagem Eletromagntica de Linhas de Transmisso ........................ 40

3.1. Linhas de Transmisso .................................................................................................................. 40

3.2. Campos Eletromagnticos gerados por Linhas de Transmisso ................................... 42

3.2.1. Equaes de Maxwell .............................................................................................................................. 42

3.2.2. Formulao Clssica (ou Forte) dos Campos EM de uma LT .................................................. 44

3.2.2.1. Campo Eltrico .................................................................................................................................. 44

3.2.2.2. Campo Magntico ............................................................................................................................. 46

3.2.2.3. Formulao Generalizada ............................................................................................................. 48

3.2.3. Problema de Valor de Contorno ......................................................................................................... 49

Captulo 4 Formulao dos Campos Eltricos e Magnticos pelo MEF .................... 53

4.1. Forma Fraca pelo Mtodo de Resduos Ponderados .......................................................... 53

4.1.1. Mtodo de Galerkin .................................................................................................................................. 55

4.2. Discretizao em Elementos Finitos ......................................................................................... 57

ix

4.2.1. Elemento Triangular de Primeira Ordem ....................................................................................... 59

4.2.2. Elemento Triangular Subparamtrico de Segunda Ordem ..................................................... 61

4.3. Contribuio Geral dos Elementos ............................................................................................ 67

4.4. Condies de Contorno .................................................................................................................. 69

4.4.1. Tratamento do Domnio Aberto ......................................................................................................... 70

4.4.1.1. Truncamento ...................................................................................................................................... 71

4.4.1.2. Strategic Dual Image ....................................................................................................................... 73

4.4.1.3. Transformao Espacial Kelvin .................................................................................................. 74

4.5. Soluo dos Sistemas Matriciais ................................................................................................. 81

4.6. Estrutura Algortmica Implementada ...................................................................................... 82

Captulo 5 Resultados ............................................................................................................... 83

5.1. Introduo .......................................................................................................................................... 83

5.2. Validao do Cmputo do Campo Eltrico ............................................................................. 84

5.2.1. Anlise de Sensibilidade ........................................................................................................................ 91

5.2.1.1. Considerao dos Cabos Para-Raios ......................................................................................... 92

5.2.1.2. Refinamento da Malha de Elementos ...................................................................................... 96

5.2.1.3. Tipo de Elementos .........................................................................................................................101

5.2.1.4. Tratamento da Fronteira Fictcia .............................................................................................104

5.3. Validao do Cmputo do Campo Magntico ..................................................................... 117

5.4. Estudo de Casos ............................................................................................................................. 121

5.4.1. Estudo de Linhas Naturais de Potncia Elevada ........................................................................121

5.4.1.1. Caso 1: LT 500kV - Presidente Dutra / Fortaleza .............................................................122

5.4.1.2. Caso 2: LT 500kV - Interligao Norte/Sul Trecho 2 ...................................................127

5.4.2. Estudo da Influncia da Geometria em Condutores Reais .....................................................129

5.4.2.1. Campo Eltrico Superficial em Condutores Reais ............................................................130

5.4.3. Estudo de Efeitos da Resistividade do Solo .................................................................................136

5.4.3.1. Anlise de Campo Eltrico ..........................................................................................................137

5.4.3.2. Anlise de Campo Magntico .....................................................................................................144

5.4.4. Estudo da Interao com Dutos Metlicos ...................................................................................149

5.4.4.1. Caso 1: LT 138kV, padro CEMIG ............................................................................................149

5.4.4.2. Caso 2: LT 275kV - Kuwait .........................................................................................................153

Captulo 6 Concluso ............................................................................................................... 159

6.1. Sntese e Principais Resultados ............................................................................................... 159

6.2. Propostas de Continuidade ....................................................................................................... 164

x

Apndice A Aspectos Qualitativos dos Campos Eletromagnticos das LTs ......... 167

Apndice B Informaes e Desenvolvimentos Matemticos Auxiliares ............... 175

Apndice C Estrutura do Algoritmo Computacional .................................................... 186

Apndice D Resultados Grficos ......................................................................................... 190

Apndice E Informaes Auxiliares aos Estudos de Casos ........................................ 197

Apndice F Modelo Geral para Cmputo de Campo Magntico ............................... 204

Referncias Bibliogrficas ....................................................................................................... 210

xi

ListadeFiguras

Figura 1.1 Potencial Hidreltrico Brasileiro por Bacias .................................................................................................... 21

Figura 3.1 Componentes de Linhas de Transmisso .......................................................................................................... 40

Figura 3.2 Detalhe para Componentes de Linhas de Transmisso .............................................................................. 41

Figura 3.3 Domnio Genrico com Presena de Potenciais Eltricos .......................................................................... 45

Figura 3.4 Domnio Genrico com Presena de Densidades de Corrente Transversais ..................................... 46

Figura 3.5 Fronteiras Fictcias ao Entorno da LT ................................................................................................................. 49

Figura 3.6 Problema de Valor de Contorno com Meios Fsicos Distintos ................................................................. 50

Figura 4.1 Esquema representativo de modelagem e soluo via MEF ..................................................................... 53

Figura 4.2 Domnio discretizado em vrios subdomos . ....................................................................................... 58 Figura 4.3 Elemento Triangular ................................................................................................................................................... 58

Figura 4.4 Mapeamento do Triangulo de Segunda Ordem no Elemento de Referncia ..................................... 62

Figura 4.5 Elemento Triangular Subparamtrico de Segunda Ordem......................................................................... 63

Figura 4.6 Pontos de Integrao no Elemento de Referncia ......................................................................................... 66

Figura 4.7 Truncamento de Fronteira Externa para Magnetosttica.......................................................................... 72

Figura 4.8 Truncamento de Fronteira Externa em LTs ..................................................................................................... 72

Figura 4.9 Transformao Espacial de Problemas Abertos em Problemas Fechados ......................................... 75

Figura 4.10 Transformao Kelvin aplicada a LTs Domnio Inteiro ........................................................................ 75

Figura 4.11 Transformao Kelvin aplicada a LTs com solo considerado CEP ...................................................... 79

Figura 4.12 Transformao Kelvin aplicada na proximidade dos cabos condutores .......................................... 80

Figura 4.13 Estrutura Algortmica Geral .................................................................................................................................. 82

Figura 5.1 Configurao Geomtrica LT 500kV Furnas ................................................................................................. 84

Figura 5.2 Malha de Elementos LT 500kV Furnas ........................................................................................................... 85

Figura 5.3 Campo Eltrico ao Nvel do Solo (MEF x MIS) LT 500kV Furnas ........................................................ 86

Figura 5.4 Distribuio de Potencial e Campo Eltrico ao Nvel do Solo LT 500kV Furnas .......................... 87

Figura 5.5 Campo Eltrico Superfcial - Feixe A (MEF x MIS) LT 500kV Furnas ................................................ 88

Figura 5.6 Distribuio de Potencial e Campo Eltrico para Regio dos Feixes LT 500kV Furnas ............ 89

Figura 5.7 Distribuio de Potencial e Campo Eltrico para o Domnio Completo LT 500kV Furnas ...... 90

Figura 5.8 Esparsidade do Sistema Matricial ......................................................................................................................... 91

Figura 5.9 Malha de Elementos com cabos Para-Raios ..................................................................................................... 92

Figura 5.10 Campo Eltrico ao Nvel do Solo Com e Sem Para Raios ........................................................................... 92

Figura 5.11 Campo Eltrico Superfcial Com e Sem Para-Raios .................................................................................... 94

Figura 5.12 Distribuio de Potencial e Campo Eltrico Com Para Raios .................................................................. 95

xii

Figura 5.13 Campo Eltrico - Anlise de Sensibilidade por Nvel de Discretizao ............................................. 98

Figura 5.14 Esforo Computacional por Nvel de Discretizao ................................................................................... 99

Figura 5.15 Distribuio de Potencial Eltrico Anlise por Discretizao ......................................................... 100

Figura 5.16 Anlise de Sensibilidade Por Tipo de Elementos ..................................................................................... 102

Figura 5.17 Esforo Computacional Anlise de Sensibilidade Por Tipo de Elementos ................................ 103

Figura 5.18 Malha de Elementos Anlise de Sensibilidade por Tratamento de Fronteira.......................... 106

Figura 5.19 Campo Eltrico Superficial Condutor 1 / Feixe A Tratamento de Fronteira ........................ 108

Figura 5.20 Campo Eltrico ao Nvel do Solo Anlise de Tratamento de Fronteira ....................................... 109

Figura 5.21 Campo Eltrico Transformao Kelvin Prxima aos Condutores ................................................. 109

Figura 5.22 Transformao Kelvin considerando solo como CEP ............................................................................. 114

Figura 5.23 Transformao Kelvin considerando solo homogneo ......................................................................... 114

Figura 5.24 Transformao Kelvin com solo CEP e fronteira prxima a condutores ....................................... 115

Figura 5.25 Transformao Kelvin com solo homogneo e fronteira prxima a condutores ....................... 116

Figura 5.26 Configurao Geomtrica LT 500kV 5 Hydro-Qubec ....................................................................... 117

Figura 5.27 Malha de Elementos LT 500kV Hydro-Qubec ....................................................................................... 119

Figura 5.28 Campo Magntico ao Nvel do Solo (MEF x Carson) LT 500kV Hydro-Qubec ........................ 119

Figura 5.29 Distribuio de Potencial e Campo Magntico LT 500kV Hydro-Qubec .................................. 120

Figura 5.30 LT 500kV - Presidente Dutra/Teresina/Sobral/Fortaleza .................................................................. 123

Figura 5.31 Campo Eltrico Superficial Feixe A LPNE-FEX x LPNE ................................................................... 126

Figura 5.32 Campo ao Nvel do Solo LPNE-FEX x LPNE ............................................................................................. 126

Figura 5.33 Distribuio de Campos LPNE ....................................................................................................................... 127

Figura 5.34 LT 500kV Interligao Norte-Sul Trecho 2 .......................................................................................... 128

Figura 5.35 LT 500kV So Gonalo Ouro Preto........................................................................................................... 131

Figura 5.36 Seo Transversal de Condutores Reais de Linhas Areas de Transmisso ................................ 131

Figura 5.37 Malha de Elementos Condutor 1 Feixe de Fases B ............................................................................... 132

Figura 5.38 Campo Eltrico Superficial Analise de Condutores Reais ................................................................. 132

Figura 5.39 Campo Eltrico ao Nvel do Solo Analise de Condutores Reais ...................................................... 134

Figura 5.40 Comportamento dos Campos Eltricos Superficiais nos Fios de Condutores Reais ................ 134

Figura 5.41 Distribuio Espacial do Campo Eltrico em Condutores Reais ........................................................ 135

Figura 5.42 LT 230kV circuito duplo - CTEEP .................................................................................................................... 137

Figura 5.43 Anlise de Resistividade - Campo Eltrico a 1m do Nvel do Solo .................................................... 138

Figura 5.44 Anlise de Resistividade - Potencial Eltrico a 1m do Nvel do Solo ............................................... 139

Figura 5.45 Representao do Solo Estratificado .............................................................................................................. 141

Figura 5.46 Anlise de Resistividade - Campo e Potencial Eltrico na Superfcie do Solo ............................. 142

Figura 5.47 Anlise de Resistividade - Campo e Potencial Eltrico a Meio Metro do Solo ............................. 143

Figura 5.48 Anlise de Resistividade - Campo Magntico - Modelo Esttico ....................................................... 145

Figura 5.49 Anlise de Resistividade - Campo Magntico - Modelo Quase-Esttico ......................................... 146

Figura 5.50 Distribuies de Densidades de Correntes pelo MEF ............................................................................. 147

Figura 5.51 Anlise de Resistividade - Campo Magntico - Modelo de Solo Multicamadas........................... 148

xiii

Figura 5.52 Anlise de Resistividade Distribuies de Campo Eltrico e Magntico .................................... 148

Figura 5.53 LT 138kV circuito duplo - CEMIG .................................................................................................................... 150

Figura 5.54 Campo Eltrico na Presena de Dutos - LT 138kV CEMIG ................................................................... 151

Figura 5.55 Acoplamento Capacitivo na Presena de Dutos - LT 138kV CEMIG................................................. 152

Figura 5.56 Campo Eltrico na Presena de Dutos - LT 275kV Kuwait .................................................................. 154

Figura 5.57 Campo Eltrico Superficial do Duto - LT 275kV Kuwait ....................................................................... 155

Figura 5.58 Constituio de Dutos Reais .............................................................................................................................. 156

Figura 5.59 Distribuio de Campo Eltrico - LT 275kV Kuwait .............................................................................. 157

Figura 5.60 Campo Magntico na Presena de Dutos - LT 275kV Kuwait ............................................................. 158

Figura A.1 Representao Fasorial ........................................................................................................................................... 168

Figura A.2 Campo Vetorial U Polarizado Elipticamente................................................................................................. 170

Figura A.3 Condutores Suspensos Entre Torres com Altura de Solo Varivel ..................................................... 174

Figura B.1 Elemento Triangular de Primeira Ordem ...................................................................................................... 177

Figura B.2 Funes de Forma do Elemento Triangular de Primeira Ordem ........................................................ 179

Figura B.3 Funes de Forma do Elemento Triangular de Segunda Ordem ......................................................... 181

Figura C.1 Estrutura Algortmica Detalhada ....................................................................................................................... 189

Figura D.1 Ajuste de Curva de Campo ao Nvel do Solo ................................................................................................. 191

Figura D.2 Ajuste de Curva de Campo Superficial ............................................................................................................ 192

Figura D.3 Campo Eltrico Superfcial (MEF x MIS) LT 500kV Furnas ................................................................ 194

Figura D.4 Campo Eltrico Superfcial Com e Sem Para-Raios LT 500kV Furnas ........................................... 196

Figura E.5 Condutores Reais de Linhas Areas de Transmisso - ACSR x TW.................................................... 202

Figura E.6 Dutovias e Linhas de Transmisso .................................................................................................................... 203

xiv

ListadeTabelas

Tabela 3.1 Grandezas Generalizadas Associadas ao Cmputo dos Campos Eltricos e Magnticos ............ 48

Tabela 4.1 Relao Entre Coornedandas Reais e Locais ................................................................................................... 62

Tabela 4.2 Pontos de Integrao de Gauss no Elemento de Referncia ..................................................................... 66

Tabela 5.1 Dados Geomtricos LT 500kV 4 Furnas ......................................................................................................... 84

Tabela 5.2 Campo Eltrico ao Nvel do Solo (MEF x MIS) LT 500kV Furnas ........................................................ 86

Tabela 5.3 Campo Eltrico Superfcial (MEF x MIS) ........................................................................................................... 89

Tabela 5.4 Campo Eltrico ao Nvel do Solo Considerao de Cabos Para-Raios ............................................... 93

Tabela 5.5 Campo Eltrico Superfcial Considerao de Cabos Para-Raios .......................................................... 94

Tabela 5.6 Anlise de Sensibilidade por Refinamento de Malha................................................................................... 96

Tabela 5.7 Esforo Computacional por Nvel de Discretizao e Funao Algortmica ........................................ 99

Tabela 5.9 Anlise de Sensibilidade Tratamento de Fronteira Fictcia ............................................................... 110

Tabela 5.10 Dados Geomtricos LT 500kV Hydro-Qubec ....................................................................................... 118

Tabela 5.11 Campo Magntico ao Nvel do Solo (MEF x Carson) LT 500kV Hydro-Qubec ...................... 119

Tabela 5.12 Dados Geomtricos LT 500kV Presidente Dutra-Fortaleza ............................................................ 124

Tabela 5.13 Impedncia de Surto e Potncia Natural LPNE-FEX/LNPE (MEF x ATP) ................................. 124

Tabela 5.14 Dados Geomtricos LT 500kV Interligao Norte-Sul ....................................................................... 128

Tabela 5.15 Impedncia de Surto e Potncia Natural Linha Compacta/LNPE (MEF x ATP) ..................... 129

Tabela 5.16 Dados Geomtricos LT 500kV 3 Condutores/Fase ............................................................................. 131

Tabela 5.17 Campo Eltrico Superficial Analise de Condutores Reais ................................................................ 133

Tabela 5.18 Campo Eltrico ao Nvel do Solo Analise de Condutores Reais ..................................................... 133

Tabela 5.19 Dados Geomtricos LT 230kV 2 Condutores/Fase Circuito Duplo .............................................. 137

Tabela 5.20 Anlise de Resistividade - Campo Eltrico a 1m do Nvel do Solo ................................................... 138

Tabela 5.21 Dados Geomtricos LT 138kV Circuito Duplo - CEMIG ..................................................................... 150

Tabela 5.22 Dados Geomtricos LT 275kV Circuito Duplo - Kuwait .................................................................... 153

xv

ListadeAbreviaes

ABNT Associao Brasileira de Normas Tcnicas

ACSR Cabo de Alumnio com Alma de Ao

ANEEL Agncia Nacional de Energia Eltrica

ATP/EMTP Alternative Transients Program/Eletromagnetic Transient Program

BPA Bonneville Power Administration

CA Corrente Alternada

CC Corrente Contnua

CEP Condutor Eltrico Perfeito

CEPEL Centro de Pesquisas de Energia Eltrica

CHESF Companhia Hidroeltrica da Bacia do So Francisco

CSR Compressed Sparse Row

CTEEP Companhia de Transmisso de Energia Eltrica Paulista

EDP Equao Diferencial Parcial

ELETROBRAS Centrais Eltricas Brasileiras

EPRI Electric Power Research Institute

ICNIRP International Commission on Non-Ionizing Radiation Protection

IEEE Institute of Electrical and Electronics Engineers

LNC Linhas No Convencionais

LPNE Linha Natural de Potncia Elevada

LPNE-FEX Linha Natural de Potncia Elevada por Feixes Expandidos

LT Linha de Transmisso

MATLAB MATrix LABoratory

MDF Mtodo das Diferenas Finitas

MEC Mtodo dos Elementos de Contorno

MEF Mtodo dos Elementos Finitos

MMQ Mtodo dos Mnimos Quadrados

MoM Mtodo dos Momentos

xvi

MSC Mtodo de Simulao de Cargas

MSCS Mtodo de Simulao das Cargas Superficiais

MSCS Mtodo de Simulao de Cargas Superficiais

PVC Problema de Valor de Contorno

RI Radio Interferncia

RMS Valor Mdio Eficaz (Root Mean Square)

SDI Strategic Dual Image

SEP Sistema Eltrico de Potncia

SIN Sistema Interligado Nacional

TEM Onda Transversal Eletromagntica

TW Cabo Compacto Trapezoidal (Traped-Wired)

PSO Otimizao por Enxame de Partculas (Particle Swarm Optimization)

SIL Potncia Natural (Surge Impedance Loading)

xvii

ListadeSmboloseConstantes

A Fasor Potencial Magntico [Ae]

Az Componente Longitudinal de Potencial Magntico [Ae]

B Fasor Densidade de Fluxo Magntico [T] B Vetor Densidade de Fluxo Magntico [T] B, B Componentes Direcionais de Dens. de Fluxo Magntico [T] H Fasor Campo Magntico [A/m]

V Potencial Escalar Eltrico Complexo [V] Valor Mximo (Pico) de Potencial Eltrico [V] D Fasor Densidade de Fluxo Eltrico [C/m2]

E Fasor Campo Eltrico [V/m] E Vetor Campo Eltrico [V/m] E, E Componentes Direcionais de Campo Eltrico [V/m] I Corrente Eltrica [A]

J Fasor Densidade de Corrente de Conduo [A/m2]

Jz Componente Longitudinal Densidade de Corrente [A/m2]

Js Densidade de Corrente de Conduo [A/m2]

Je Densidade de Corrente de Induzida [A/m2]

k Fasor densidade linear de corrente [A/m]

L Indutncia [H]

C Capacitncia [F]

Permissividade Eltrica [F/m]

o Permissividade Eltrica do Espao Livre =10/36[F/m] r Permissividade Relativa

Permeabilidade Magntica [H/m]

o Permeabilidade Magntica do Espao Livre = 4 10 [H/m] r Permeabilidade Relativa

xviii

Relutividade Magntica [m/ H] Condutividade Eltrica [S/m]

Densidade de Carga Eltrica [C/m2]

t Tempo [s] Frequncia [Hz] Frequncia Angular [rad/s]

ngulo de Fase Caracterstico [rad]

We Energia Associada ao Campo Eltrico [J]

Wm Energia Associada ao Campo Magntico [J] !" Impedncia de Surto [] SIL Potncia Natural da Linha de Transmisso [W]

e rea Elementar [m2]

Ni Funes de Forma ou de Aproximao

Wi Funes de Peso

K Matriz de Contribuies Globais

x, y Coordenadas Cartesianas Reais

, Coordenadas Naturais

Domnio de Estudo

Fronteiras do Domnio

1 Fronteiras de Dirrichlet

2 Fronteiras de Neumann

d Fronteiras de Interface entre Meios # Campo Vetorial Genrico U, U Componentes Direcionais do Campo Vetorial Genrico b Fonte ou Excitao do Campo Vetorial Genrico

Funo Incgnita (Potencial Genrico Complexo)

Parmetros associados s propriedades do meio %& Vetor unitrio de direo normal superfcie p Potencial imposto na Fronteira de Dirrichlet

g Variao normal de potencial na Fronteira de Neumann '& Vetor unitrio na direo x (& Vetor unitrio na direo y

xix

) Vetor unitrio na direo z Operador produto escalar Operador produto vetorial Operador Nabla

20

Captulo 1 Introduo

1.1. Contextualizao da Dissertao

Nas ltimas dcadas os sistemas de transmisso eltrica vm enfrentando

inmeros desafios e estmulos, os quais apontam para a necessidade de desenvolver

novas tcnicas que propiciem tanto a otimizao operacional quanto a reduo de

impactos diversos (econmicos, sociais e ambientais), porm, de uma forma confivel e

a um baixo custo.

Se por um lado o aumento da demanda de transmisso de energia sempre

requisitado, uma vez que o crescimento econmico dos pases fica diretamente atrelado

alta disponibilidade de energia, por outro lado, tambm crescente a necessidade de

melhor utilizao dos recursos naturais disponveis. Isto, aliado s restries impostas

pelas novas regulamentaes dos setores de energia, impe dificuldades que precisam

ser balanceadas neste segmento.

A utilizao racional da matriz energtica intimamente dependente de um

adequado sistema de transmisso, o qual transporte a energia explorada de maneira

eficiente (sem grandes perdas) at os grandes centros de consumo. Tal condio

especialmente crtica e preponderante em pases de longa extenso territorial, os quais

dependem de amplos sistemas de transmisso, necessrios confiabilidade da demanda

energtica em todas as regies. No caso do Brasil, que dispe de recursos naturais

limpos e renovveis no explorados em regies demasiadamente remotas dos grandes

centros consumidores, o setor de transmisso acaba sendo uma parcela decisiva para a

viabilizao da explorao de recursos. No entanto, tal setor ainda carece de

perspectivas para sistemas de transmisso que possam ser, ao mesmo tempo, eficientes

ao transporte de energia, e viveis do ponto de vista econmico (constituindo projetos

pouco onerosos) e ecolgico (minimizando impactos de desmatamentos) (DART,

JNIOR e ESMERALDO, 2005) (PORTELA, SILVA e ALVIM, 2007).

21

Isto destacado na figura (1.1), que demonstra as regies de maior potencial

hidreltrico do pas (em azul escuro de 15 a 30 TW), juntamente com a representao

grfica do percentual utilizado e daquele ainda disponvel (respectivamente, em amarelo

e em verde), distinguidos pelas bacias hidrogrficas. claramente percebido o

abundante potencial hidreltrico ainda disponvel nas bacias da regio amaznica, as

quais esto relativamente distantes das regies de maior populao e industrializao,

na regio sudeste; bem como isoladas das demais regies do pas, dificultando

interligaes com o Sistema Interligado Nacional (SIN), que conecta o sistema de energia

de todo o pas.

Figura 1.1 Potencial Hidreltrico Brasileiro por Bacias

(PORTELA, SILVA e ALVIM, 2007)

22

Para os sistemas de transmisso ainda residem outras preocupaes recentes, as

quais dizem respeito necessidade de reduo de desmatamentos para a constituio

das faixas de passagem e servido. Tais faixas so constitudas tanto para a manuteno

operacional permanente dos sistemas de energia quanto para restringir as atividades e a

circulao de pessoas aos seus arredores, uma vez que existe a possibilidade dos campos

eltricos e magnticos gerados por estas linhas afetarem a sade humana, alm de

interferirem sobre outros elementos alheios ao sistema eltrico, tais como: linhas de

comunicao, linhas frreas, oleodutos, gasodutos, cercas, dentre outros (COSTA,

RUEDA, et al., 2001), (PORTELA e TAVARES, 2002).

Tais preocupaes tm gerado recentemente inmeras discusses entre

governos, institutos de pesquisa e comunidades, culminando em normatizaes para o

setor, tal como a resoluo normativa 398 da ANEEL de 2010, que regulamenta os

procedimentos para que as concessionrias de energia eltrica realizem medies

peridicas dos campos eltricos e magnticos gerados em todas as suas instalaes, e os

quais devem estar dentro de limites mximos de referncia permitidos (MARCOS SILVA,

2010).

Para lidar com os casos acima citados, o uso de novos tipos de estruturas de

transmisso no convencionais, compactas e de feixe expandido, em faixas de servido

reduzidas, inexistentes, ou em meio de ambientes urbanos, se torna cada vez mais

explorado. Muitos desenvolvimentos tm sido realizados nas ltimas dcadas,

possibilitando a utilizao de novas configuraes de linhas de transmisso (LT) que

permitam tanto a melhoria de eficincia na transmisso de energia, viabilizando

tecnicamente os investimentos realizados em empreendimentos, como garantindo a

segurana operacional atravs de um melhor ajuste do ambiente eletromagntico

(PAGANOTTI, 2012).

A investigao acerca destas novas possibilidades, tanto para a concepo de

novas LTs, quanto para a recapacitao ou readequao a baixo custo das linhas

existentes, necessita da anlise detalhada acerca das distribuies de campos eltricos e

magnticos gerados ao entorno destes sistemas. Estes campos esto intimamente

relacionados ao estudo de perdas ao longo do processo de transmisso, tambm

precisando ser adequadamente enquadrados em nveis de intensidade estabelecidos

pelas normas regulamentadoras.

23

No entanto, o cmputo de campos eltricos e magnticos nem sempre trivial,

pois o emprego de mtodos analticos mais usuais fica limitado somente s geometrias

de linhas tradicionais, encontrando dificuldades para aplicao em configuraes

complexas, que exploram os arranjos de subcondutores de forma assimtrica (IEEE

WORKING GROUP, 1979) (PAGANOTTI, 2012). Estes ainda so limitados para analisar

situaes mais reais nas quais necessrio considerar a influncia de outros aspectos da

linha, tais como: a geometria real dos cabos; a influncia de estruturas suportes dos

condutores; a considerao da presena de objetos de interferncia na faixa de

passagem, como vegetao ou dutos metlicos, os quais podem afetar e serem afetados

pelos campos originais da linha (GIUDICE FILHO, 2005) (SILVA FILHO, 2008).

Dentre as tcnicas possveis de serem utilizadas na soluo de problemas de

distribuio de campo eletromagntico, de maneira geral, visto que (MARCOS SILVA,

2010):

- Os modelos analticos, apesar de conferirem solues matemticas exatas,

somente so aplicveis a uma gama muito pequena de problemas prticos.

- Os modelos experimentais necessitam da construo de prottipos, sendo,

portanto, onerosos, demorados e incertos. Os mesmos no permitem uma variao

sistemtica de parmetros, dificultando a compreenso fsica dos fenmenos envolvidos.

- Os modelos numricos permitem explorar solues aproximadas em uma maior

diversidade de problemas prticos mais complexos, com erros razoveis do ponto de

vista de engenharia.

No contexto da pesquisa de campos eltricos e magnticos em LTs, a explorao

de cenrios diferenciados atravs de mtodos numricos robustos, ante a utilizao dos

modelos analticos e experimentais usuais, se faz assim atraente, podendo propiciar uma

investigao de possibilidades mais ampla, com configuraes de linha menos

conservadoras.

Este trabalho realiza a aplicao do Mtodo dos Elementos Finitos (MEF) em

problemas de cmputo de campo eletromagntico em linhas de transmisso. O MEF

uma das tcnicas numricas mais eficazes e populares, utilizadas para simulao

computacional, sendo aplicada em diversos problemas de engenharia devido facilidade

de lidar com estruturas de grande complexidade geomtrica, na presena de meios

fsicos diversos e at mesmo no lineares (JIN, 2002).

24

Embora este mtodo demonstre grande versatilidade, relativamente poucos so

os estudos encontrados na literatura destinando a sua aplicao em sistemas eltricos

de potncia (SEP), cuja operao realizada em baixas frequncias (50/60 Hz), uma vez

que, para a maioria das questes e problemas clssicos, existem solues dadas por

mtodos analticos menos complexos e os quais necessitam de menor aparato

computacional. Isto pode ofuscar possibilidades de novos tratamentos, mais atraentes,

em questes mais desafiadoras.

Ainda, dos estudos mais recentes possveis de serem encontrados abrangendo a

aplicao numrica em SEP, estes comumente utilizam, em sua maioria, aplicaes dadas

atravs de pacotes de softwares comerciais, os quais, apesar de terem utilizao fcil e

atraente, via interfaces grficas, apresentam a desvantagem de no esclarecerem muitos

dos detalhes dos modelos implementados. Tal fato inibe a arguio de possveis

melhoramentos na metodologia de clculo numrico, impedindo novos

desenvolvimentos de carter cientfico, com anlises de erros mais apuradas, bem como

a expanso desses mtodos numricos para a aplicao em outros casos derivados.

Para o estudo especfico dos sistemas de transmisso, recaem algumas

dificuldades especficas de aplicao do MEF, devido a necessidade de considerar um

amplo domnio de estudos, sem existncia de fronteiras delimitadoras reais, e com alta

diferena de escala entre os elementos de anlise (quando comparado o pequeno

tamanho das bitolas dos condutores em relao s dimenses das torres e do domnio).

Tais caractersticas acarretam, principalmente, na necessidade de um alto tempo para a

soluo computacional dos problemas, alm de causar erros de instabilidades numricas

nos resultados, deixando o MEF pouco favorvel e atraente, nesta classe de problemas.

Fica assim evidente a necessidade de realizar um estudo orientativo mais

apurado para aplicao da tcnica em sistemas de transmisso, de modo a indicar as

melhores prticas de implementao computacional, ao mesmo tempo em que possa

enaltecer outras potencialidades oferecidas, como o favorecimento da qualidade dos

resultados e a melhoria de interpretao dos sistemas fsicos reais, uma vez no

havendo necessidades de assumir simplificaes nas anlises.

25

1.2. Objetivos

Este trabalho tem como objetivo geral estudar o emprego do Mtodo de

Elementos Finitos na determinao das intensidades de campo eltrico e magntico no

entorno de linhas de transmisso trifsicas reais, operando em regime permanente, em

baixas frequncias. Assim, so apuradas formas de tornar a utilizao do MEF mais

atraente nesta classe de problemas, frente s diversas dificuldades existentes, agregando

contribuio para a soluo de problemas de maior complexidade.

So considerados objetivos especficos:

- realizar uma reviso bibliogrfica sobre o uso de mtodos numricos, com foco

no MEF, em sistemas de transmisso eltrica;

- agregar de maneira didtica os passos necessrios para a modelagem dos

campos eltricos e magnticos em LTs atravs do MEF;

- explorar diferentes possibilidades na modelagem pelo MEF, de forma a verificar

as dependncias e as melhorias na qualidade das solues, tanto em relao exatido

numrica, quanto em relao ao tempo computacional, tornando a utilizao prtica do

mtodo mais palpvel e atraente;

- realizar uma discusso a respeito do tratamento de domnios abertos pelo MEF,

uma vez sendo tal assunto escasso e pouco explorado na literatura;

- comparar os resultados obtidos com aqueles de outras abordagens analticas ou

numricas disponveis;

- validar alguma das simplificaes comumente assumidas por modelos

analticos, atravs da simulao de cenrios pelo MEF;

- realizar aplicaes para situaes mais complexas, cuja utilizao de um modelo

numrico mais robusto seja mais adequada, ante ao emprego das tcnicas analticas ou

semi-analticas usuais;

Atravs desses objetivos estabelecidos, elaborada uma ferramenta

computacional, utilizando o software MATLAB, pela qual possvel realizar o cmputo

e a representao grfica bidimensional dos nveis de campo eltrico e magntico em

LTs com configuraes geomtricas quaisquer, e ainda com possibilidades de se

considerar: a geometria real dos condutores da linha, representao de modelos de solos

estratificados, a presena de objetos no domnio de estudo, dentre outros.

26

Assim, tal estudo pode constituir a base de um sistema computacional maior e

mais complexo, a continuar em desenvolvimento, destinado tanto otimizao de linhas

de transmisses reais, quanto anlise prtica de interferncia destas linhas em

sistemas diversificados (biolgicos ou no).

1.3. Organizao do Texto

Este trabalho est organizado em 6 captulos, incluindo este captulo

introdutrio, o qual situou o contexto do trabalho, expondo a importncia do tema

abordado e os objetivos da presente pesquisa.

O captulo 2 apresenta uma reviso bibliogrfica a respeito do clculo dos campos

eltricos e magnticos gerados nos sistemas areos de transmisso de energia;

primeiramente de maneira geral, demonstrando a evoluo histrica das tcnicas

aplicadas, e posteriormente, com foco especfico na aplicao do MEF.

O captulo 3 aborda a modelagem matemtica dos campos eltricos e magnticos

em LTs. O modelo clssico para esses campos desenvolvido a partir das equaes de

Maxwell, atravs das quais so derivadas as equaes de Poisson, aqui aplicadas aos

fenmenos quase estticos. Por fim, o problema de cmputo desses campos colocado

sob a forma de um problema de valor de contorno (PVC) generalizado.

O captulo 4 destinado aplicao do MEF na resoluo do PVC obtido. Para

isso, a equao diferencial parcial (EDP) do PVC desenvolvida pelo mtodo de Galerkin,

resultando em uma forma fraca passvel de soluo aproximada. discutida a

discretizao de domnios de estudos bidimensionais, com a apresentao dos

elementos triangulares de primeira e segunda ordem. Os desenvolvimentos algbricos

para a interpolao de grandezas fsicas no interior destes elementos fornecida para a

constituio de funes de forma. So abordadas tambm as condies de contorno, com

importncia especial ao tratamento das fronteiras fictcias, as quais so impostas para a

delimitao dos domnios abertos do problema. Mtodos diferentes so explorados para

realizar este tratamento, dentre os quais: o truncamento, o Strategic Dual Image (SDI) e

a Transformao Espacial Kelvin. Por fim, apresentada uma estrutura algortmica para

a implementao computacional do mtodo atravs do software MATLAB.

27

O captulo 5 apresenta os resultados para a aplicao da modelagem proposta.

Tais resultados so obtidos atravs de simulaes computacionais pelo programa

desenvolvido. O modelo numrico validado atravs da aplicao em linhas reais,

comparando os resultados gerados com outros encontrados na literatura, e dados

atravs de outras metodologias de clculo. So realizadas anlises de sensibilidade, de

forma a demonstrar influncias que afetam a eficcia dos resultados e a eficincia

computacional. Por fim so analisados alguns casos de aplicao, acrescentando

relevncia ao estudo, sendo estes:

- anlises de linhas no convencionais, com distribuio de feixes em

configuraes geomtricas assimtricas, e destinadas ao transporte mais eficiente de

energia;

- anlise do campo eltrico superficial em condutores de formatos geomtricos

reais;

- anlise em modelos de solo diferenciados (homogneos e estratificados), sem

assumir os mesmos como condutores eltricos perfeitos (CEP);

- anlise de interferncias eltricas em dutos metlicos presentes na faixa de

passagem;

O ltimo captulo sintetiza os principais resultados obtidos, confrontando-os aos

objetivos inicialmente propostos. Tambm so indicadas possibilidades de continuidade

desta pesquisa para a realizao de futuros trabalhos.

28

Captulo 2 Reviso Bibliogrfica

2.1. Mtodos para Cmputo de Campos Eltricos e Magnticos em Linhas de Transmisso

O clculo das distribuies de campos eltricos e magnticos ao redor de LTs

operando em regime permanente no uma atividade de interesse recente. Desde a

dcada de 60, com a crescente utilizao de sistemas de energia em extra alta tenso

(230 a 750 kV), surge a necessidade de desenvolver tcnicas apuradas, destinadas ao

clculo e medio fsica desses campos. Desta maneira, as influncias geradas sobre os

objetos e pessoas presentes nas proximidades das LTs podiam ser mais bem avaliadas,

precavendo possibilidades de danos e prejuzos (DENO e ZAFFANELLA, 1982).

Assim, na dcada de 70, institutos e empresas relacionadas ao segmento de

energia (dentre os quais EPRI, IEEE, BPA) desenvolveram diversos projetos de pesquisa

com o objetivo especfico de definir procedimentos claros para a medio e para o

clculo desses campos, estipulando valores de segurana para a intensidade mxima de

exposio ao nvel do solo. Alguns trabalhos que sintetizam resultados destes projetos

so: (DENO, 1976), (BRACKEN, 1976), (TELL, NELSON, et al., 1977), (IEEE WORKING

GROUP, 1978), (DENO e ZAFFANELLA, 1982).

O surgimento de trabalhos epidemiolgicos (WETHEIMER e LEEPER, 1979),

(FULTON, COBB, et al., 1980) sugerindo a ocorrncia de casos de leucemia infantil e

cncer cerebral para residentes das proximidades das LTs, bem como para

trabalhadores de manuteno dos sistemas eltricos, reforaram a necessidade de

estudar e desenvolver estas tcnicas (ICNIRP, 1998).

Historicamente, o cmputo de campos eletromagnticos gerados pelas tenses e

correntes variveis dos sistemas de transmisso realizado atravs de mtodos

analticos. Tais mtodos so tomados diretamente das equaes de Maxwell, a partir das

consideraes da quase-esttica e do desacoplamento dos campos eltricos e

magnticos existentes. Assim, todos os condutores existentes so analisados, de modo a

29

determinar a contribuio dada ao valor dos campos vetoriais em um determinado

ponto do espao. O valor final de campo assim tomado a partir do princpio da

superposio (OLSEN e WONG, 1992), (GUIMARES, 2005).

O clculo dos campos eltricos realizado a partir da Lei de Gauss,

posteriormente quantificao das cargas nos condutores, que so obtidas em funo

dos valores de tenso aplicada em cada condutor e dos coeficientes potenciais de

Maxwell (cujos termos so dependentes dos posicionamentos e distncias entre

condutores). As cargas em cada condutor so tidas como distribuies uniformes.

Devido necessidade de considerar os efeitos da presena do solo, o mtodo das

imagens tambm aplicado. Ento, as contribuies dos campos respectivos aos

condutores e s suas imagens no plano do solo so sobrepostas, quantificando o campo

eltrico total em um determinado local. A aplicao destes procedimentos pode ser

obtida mais detalhadamente em diversos trabalhos, antigos e recentes, dentre os quais

(ADAMS, 1955), (HUNT, 1976), (HART e MARINO, 1977), (WIGDOR, 1980),

(GUIMARES, 2005), (PERRO, 2007), (TZINEVRAKIS, TSANAKAS e MIMOS, 2008).

Por sua vez, a obteno do campo magntico realizada diretamente a partir da

Lei de Biot-Savart. Nesta, a densidade de fluxo magntico, respectiva a cada condutor,

calculada em funo das correntes eltricas e das distncias at o ponto de interesse,

sendo ento combinadas (vetorialmente somadas). Os seguintes trabalhos fornecem

algumas aplicaes deste procedimento: (OLSEN, DENO e BAISHIKI, 1988), (IYYUNI e

SEBO, 1990), (YANG e DAWALIBI, 2002), (MARCOS SILVA, 2010), (ASSIS, COUTINHO, et

al., 2011).

Ambas as metodologias analticas acima citadas requisitam a simplificao da

geometria das linhas. Assim, o solo considerado como sendo um plano condutor

eltrico perfeito (CEP) de extenso infinita; os condutores so tidos lineares, paralelos

entre si, e situados a uma altura fixa; a influncia das estruturas suportes ou de outros

objetos existentes desprezada; e a contribuio de correntes de retorno pelo solo so

tambm negligenciadas (DENO, 1976) (BRACKEN, 2010). Embora tais condies de

simplificao no ocorram em linhas reais existindo, dentre outros fatores, a vibrao

dos condutores, a presena de vegetao e variaes de topografia do terreno a

validade dos clculos utilizando estes pressupostos tm resultados satisfatrios, quando

comparado aos resultados das medies fsicas (GUIMARES, 2005). Ainda, estas

30

abordagens so normalmente utilizadas para estimar os campos em condies de pior

caso (situaes de tenso e corrente mxima, computadas no ponto de altura mnima

dos condutores). Assim as avaliaes dos campos so tidas com uma margem de

tolerncia adequada aos valores reais encontrados, em comparao com exigncias

dadas por regulamentaes (BRACKEN, 2010). Logo, do ponto de vista de engenharia,

em diversas aplicaes, os erros obtidos pelas abordagens dadas so irrelevantes.

A existncia de outras situaes de interesse prtico, cujos mtodos citados no

so satisfatrios ou mesmo aplicveis, motivaram o aperfeioamento e a derivao em

outras tcnicas mais adequadas.

Para o campo eltrico, quando na avaliao das regies mais prximas

superfcie dos condutores ou em configuraes de linhas mais complexas, com feixes

expandidos em mltiplos subcondutores, as distribuies de cargas necessitam de

aproximaes mais condizentes, uma vez no sendo suficiente admitir distribuies

uniformes e filamentares de cargas no interior dos condutores. Esta deficincia conduziu

ao desenvolvimento das seguintes tcnicas, ainda nas dcadas de 60-70: o Mtodo de

Markt e Mengele, o Mtodo das Imagens Sucessivas (MIS), o Mtodo de Simulao de

Cargas (MSC), e o Mtodo de Simulao de Cargas Superficiais (MSCS).

Todas estas tcnicas operam atravs de consideraes fsicas para,

primeiramente, obter distribuies espaciais de cargas eltricas que possam produzir

efeito aproximadamente equivalente s distribuies de cargas no uniformes reais

existentes nos condutores da LT. Posteriormente, os campos eltricos so computados

pelo mesmo modo analtico (por uso da Lei de Gauss e do mtodo das imagens). Por este

motivo, tais tcnicas so denominadas semi-analticas.

O Mtodo de Markt e Mengele (KING, 1963) (PAKALA e TAYLOR, 1968)

aplicado atravs da simplificao dos sistemas de feixes de condutores, os quais so

resumidos considerao de um nico condutor disposto na proximidade do centro dos

feixes. A posio exata depende das distncias entre os todos os condutores do sistema.

A densidade de cargas ento avaliada conforme o procedimento dos coeficientes

potenciais de Maxwell, considerando apenas um nico condutor por feixe, a qual

posteriormente dividida, de maneira igual, dentre todos os subcondutores existentes.

Conforme (IEEE WORKING GROUP, 1979) e (LI, ROWLAND e SHULTLEWORTH, 2014),

esta tcnica somente produz bons resultados para feixes simtricos com poucos

31

subcondutores (menor do que 4), para classes de tenses menores, e sendo a distncia

entre os subcondutores dos feixes relativamente pequena em comparao com a

distncia entre as fases.

Suprindo as deficincias dadas pela simplicidade do mtodo anterior, o MIS

(SARMA e JANISCHEWSKYJ, 1969) substitui sucessivamente as cargas em cada condutor

por uma srie de cargas lineares equivalentes, as quais so posicionadas no interior do

mesmo. Cada processo de imagem sucessiva guarda a equipotencial natural da

superfcie de outro condutor do sistema. Assim, as distribuies de carga so dadas em

funo do posicionamento dos vrios condutores do resto do sistema, e so localizadas

de maneira a manter as superfcies equipotenciais de todos os condutores. Tal artifcio

permite assim obter distribuies de campos eltricos no uniformes ao redor dos

condutores. O trabalho de (PAGANOTTI, 2012) oferece uma boa reviso acerca deste

mtodo, com aplicaes em linhas de feixes expandidos de diferentes configuraes,

incluindo feixes assimtricos.

Embora o MIS possa fornecer resultados satisfatrios para o campo eltrico

superficial em configuraes de LTs diversificadas, tal mtodo realiza procedimentos

iterativos para alocar as cargas no interior dos condutores, at produzir resultados

satisfatrios, sendo ineficiente para a realizao de anlises em pontos de observao

longe da linha, e no servindo para a considerao da presena de outros objetos no

domnio de estudos. Sua aplicao , assim, mais adequada apenas para a anlise de

campo eltrico superficial dos condutores (IEEE WORKING GROUP, 1979).

A deficincia do MIS suplantada pelo MSC, que se tornou mais popular, sendo

amplamente utilizado no clculo de campos eltricos desde meados da dcada de 70.

Seu uso na anlise da distribuio de campo eltrico em componentes de isolamento de

alta tenso bastante comum (LI, ROWLAND e SHULTLEWORTH, 2014).

O MSC baseado na simulao da distribuio real das cargas eltricas

superficiais dos condutores por um conjunto de cargas discretas colocadas em pontos do

interior dos mesmos. Estas cargas discretas so ento calculadas de forma que os

potenciais gerados em alguns pontos da superfcie dos condutores (pontos de

amostragem) sejam iguais aos potenciais especificados para estes condutores (ASSIS,

COUTINHO, et al., 2011). Alguns estudos aplicando o MSC em diferentes situaes so

32

(SINGER, STEINBIGLER e WEISS, 1974), (DENO e ZAFFANELLA, 1982), (MALIK, 1989),

(SANTOS, SCHROEDER, et al., 2010) e (SALAMA, ABDELSATTAR e SHOUSH, 2012).

Por fim, o MSCS uma tcnica semelhante ao MSC, mas cuja distribuio das

cargas simuladas dada atravs da superfcie dos condutores, com maior flexibilidade

para as formas de distribuio (que no MSC so resumidas a linhas de cargas

filamentares uniformes) e, consequentemente, com maior liberdade para assumir as

densidades de cargas em cada regio. Por conta disto, o MSCS mais geral do que o MSC,

sendo aplicvel em uma gama maior de problemas (SATO, 1987), (LU, 2009), como por

exemplo, em problemas de eletrodos finos com diferentes composies de materiais

(ZHOU, 1993).

Para o campo magntico, a principal limitao do modelo analtico descrito

anteriormente reside na desconsiderao das correntes de retorno pelo solo. Mesmo

que, em geral, estas correntes no influenciem significantemente os resultados de campo

magntico acima da superfcie do solo, seu efeito sobre as impedncias de linha acaba

sendo expressivo, sobretudo em fenmenos eletromagnticos de maior frequncia

(ASSIS, COUTINHO, et al., 2011).

A correo do modelo analtico pode assim ser adequadamente realizada atravs

das equaes de Carson (CARSON, 1926). Nestas, a avaliao do campo magntico

requer o clculo de integrais imprprias, que devem ser expandidas em uma srie

infinita ou avaliadas utilizando mtodos de integrao numrica. Devido complexidade

envolvida, muitos trabalhos tentaram obter aproximaes mais simples. Destes, o mais

comum e empregado o de (DERI, TEVAN, et al., 1981), no qual proposto que o

retorno de corrente atravs de um solo homogneo pode ser adequadamente

representado atravs de um plano ideal colocado abaixo da superfcie do solo, a uma

distncia igual profundidade de penetrao complexa das ondas planas geradas pela

LT. Tal abordagem produz resultados praticamente equivalentes queles obtidos a

partir dos termos de correo de Carson (GLOVER e SARMA, 2007). Alguns trabalhos

que aplicam de maneira mais detalhada esta metodologia podem ser analisados atravs

de (DENO e ZAFFANELLA, 1982), (IEEE WORKING GROUP, 1988), (PERRO, 2007),

(MORA, M., et al., 2009), (VINTAN, MIHU e BORLEA, 2011) e (VIEIRA, 2013).

Uma vez que as distribuies reais de correntes no interior dos condutores no

so homogneas, em sistemas com mltiplos condutores ou ainda, quando analisando

33

pontos de interesse muito prximos aos condutores da LT, o clculo dos campos

magnticos pode ser melhorado atravs do MSC. Assim a considerao de mltiplas

correntes filamentares, simuladas no interior dos condutores, so dadas para produo

de resultados mais coerentes (MARCOS SILVA, 2010).

Embora os mtodos analticos e semi-analticos supracitados tenham se

estabelecido como ferramentas robustas para o clculo de campos eltricos e

magnticos em questes de interesse prtico das LTs, nas ltimas dcadas observado

um crescente interesse pela utilizao dos mtodos numricos em problemas reais mais

complexos.

A partir da dcada de 80, com o rpido declnio no custo dos computadores e com

o aumento dos recursos de memria e processamento, as simulaes computacionais

por mtodos numricos tornaram vivel a soluo de problemas mais vastos, antes

pouco palpveis, sem a necessidade de idealizaes. Em aplicaes industriais e

cientficas, estas permitiram reduzir consideravelmente o tempo, os custos e os recursos

de desenvolvimento (BRABO PEREIRA, 2009).

Assim, em situaes complexas, envolvendo, por exemplo, a anlise

tridimensional das LTs, com a interao dos campos eltricos e magnticos atravs de

outros objetos existentes, tais como trilhos de trens, sistemas de comunicao ou dutos

enterrados, os mtodos numricos recaem como uma ferramenta essencial de anlise,

pois permitem buscar solues aproximadas diretamente, minimizando a necessidade

de simplificao de geometrias e das condies fsicas existentes.

Diferentes mtodos numricos tm sido utilizados para a anlise desses

problemas, dentre os quais se destacam: o Mtodo dos Momentos (MoM); o Mtodo dos

Elementos de Contorno (MEC); o Mtodo das Diferenas Finitas (MDF); e o Mtodo dos

Elementos Finitos (MEF).

O MoM e o MEC so mtodos de computao numrica destinados soluo de

equaes diferenciais parciais lineares, formuladas em formato integral. Apesar de

serem diferenciados por motivos histricos, o MoM pode ser englobado como um

esquema particular do MEC (GIBSON, 2008). Para a aplicao em LTs, em ambos os

mtodos, as fronteiras do problema (superfcies dos condutores) so divididas em

elementos nos quais as densidades de cargas ou correntes so tidas como funes

polinomiais de coeficientes desconhecidos. As equaes integrais de contorno

34

relacionadas aos potenciais e campos, eltricos ou magnticos, podem ento ser

resumidas a sistemas algbricos que so ajustados de acordo com as condies de

contorno existentes (potenciais ou correntes nos condutores e no solo). Finalmente,

aps a soluo dos coeficientes desconhecidos, as equaes integrais podem ser

novamente utilizadas para calcular, de forma numrica, a soluo em qualquer ponto do

espao (MORITA, KUMAGAI e MAUTZ, 1990) (HARRINGTON, 1993).

Em aplicao, o MSC pode ser considerado como uma verso simplificada do

MoM (IEEE WORKING GROUP, 1979), envolvendo, no entanto, uma quantidade reduzida

de equaes lineares, com menor custo computacional (FAIZ e OJAGHI, 2002). Assim,

apesar dessas tcnicas terem suas primeiras aplicaes em LTs relativamente na mesma

poca, na dcada de 70, isto justifica o fato do MSC ter se tornado mais popular do que o

MoM. Alguns trabalhos com aplicaes para o MoM em problemas de cmputo de

campos eltricos e magnticos em LTs podem ser consultados atravs de (SPIEGEL,

1977), (SIMPSON e BRICE, 1987), (CHENG e CAO, 2000), (LIU, RUAN, et al., 2002), (YU,

SHAN e DAI, 2007) e (TIH, TRKULJA e BERBEROVI, 2013). J para o MEC, os seguintes

trabalhos podem ser consultados (GUTFLEISH, SINGER, et al., 1994), (KRAJEWSKI,

1995), (EL-MAKKAWY, 2007), (SILVA FILHO, 2008), (SERTELLER, 2011) e (OLIVEIRA,

2011).

Enquanto o MEC e o MoM solucionam numericamente o problema dado atravs

de seu formato integral, analisando apenas as fronteiras dos condutores, os demais

mtodos numricos apontados, o MDF e o MEF, buscam a soluo atravs da sua forma

diferencial, tratando grande parte do espao envolvendo a LT.

O MDF consiste em admitir uma grade de ns no espao ao entorno dos

condutores, nos quais a equao diferencial parcial do problema (equao de Poisson)

aproximada por coeficientes de diferenas (diferenas finitas). Aps considerar as

condies de contorno (potenciais conhecidos nos condutores e solo) no sistema

algbrico obtido, os potenciais em todos os ns podem ser solucionados, e seus

gradientes novamente aproximados por diferenas finitas para determinao dos

campos eltricos ou magnticos em todo o domnio ao redor das linhas (SADIKU, 2001).

Apesar do MDF ser a mais antiga dentre as tcnicas numricas indicadas, no

tratamento de campos eltricos e magnticos em LTs a sua utilizao bastante escassa

na literatura. A justificativa para isso que, uma vez sendo necessrio pelo mtodo

35

solucionar os potenciais de toda a regio espacial ao entorno dos condutores, e no

somente nos locais desejados, a eficincia de soluo bastante baixa. Em comparao

ao MEF, cuja eficincia de soluo equiparvel, o MDF tem maior dificuldade em

considerar objetos com complexidades geomtricas ou compostos por materiais

diferentes, sendo, portanto, preterido. Algumas aplicaes para o MDF so fornecidas

atravs dos trabalhos de (ELHIRBAWY, NGUYEN, et al., 2002), (RAMLI, ABD-

ALHAMEED, et al., 2011), (RAMLI, ABD-ALHAMEED, et al., 2013).

Das tcnicas numricas indicadas, resta ainda apresentar o MEF, o qual tem seu

histrico de aplicao em sistemas de transmisso evidenciado de maneira mais

detalhada no prximo tpico, uma vez que este o mtodo tratado no restante do

trabalho.

2.2. Aplicao do Mtodo dos Elementos Finitos em Sistemas de Transmisso

Dentre os mtodos empregados em simulao numrica, de maneira geral, o MEF

tido como o mais popular, devido a sua versatilidade em lidar com problemas

complexos de diversas naturezas, envolvendo meios fsicos com materiais no lineares e

em domnios com maior complexidade geomtrica (JIN, 2002). No entanto, com exceo

a sua utilizao para o designe de isoladores, tal como retrata (SILVA, OLIVEIRA, et al.,

2013), em sistemas de transmisso a sua aplicao acanhada, comparativamente aos

demais mtodos analticos e semi-analticos relatados.

O MEF foi utilizado inicialmente no campo da anlise estrutural, motivado pela

soluo de problemas da engenharia civil e aeronutica na dcada de 50, sendo aplicado

em problemas eletromagnticos somente nos fins da dcada 60, com os trabalhos de

(WINSLOW, 1965), relativo ao cmputo de campos magnetostticos, e de (SILVESTER,

1969), aplicado modelagem de guias de ondas na presena de meios homogneos. O

desafio de adequar o MEF s aplicaes quase-estticas aparece, inicialmente, na

resoluo de problemas de mquinas eltricas (SILVESTER, CABAYAN e BROWNE,

1973).

At a dcada de 90, embora o MEF j tivesse se estabelecido como uma robusta

ferramenta numrica para resoluo de problemas eletromagnticos de grande

36

complexidade, conforme contextualizado em (MESQUITA, 1990), comparativamente s

outras possibilidades de aplicaes, poucos so os estudos encontrados na literatura

sobre a utilizao prtica do MEF em problemas de cmputo de campo eltrico ou

magntico em LTs.

No estudo de (ANDERSEN, 1977) o clculo de potenciais eltricos complexos em

alta tenso realizado pelo MEF. Em (TAKUMA, IKEDA e KAWAMOTO, 1981), efetuado

o clculo da distribuio do campo eltrico e do fluxo de ons ao redor dos condutores de

linhas de alta tenso mono e bipolar, em corrente contnua, sendo levada em

considerao a incidncia de ventos. J o clculo de campos eltricos para o designe de

isoladores encontrado no trabalho de (CROWLEY, HURWITZ, et al., 1985).

A partir da dcada de 90, devido a maior disponibilidade dos recursos

computacionais, o nmero de publicaes utilizando o MEF no estudo eletromagntico

das LTs passa a ser maior, com a ocorrncia crescente de aplicaes.

Assim, o uso do MEF no clculo dos campos eltricos e magnticos ao entorno de

LTs de alta tenso em CA, operando em regime permanente e em baixas frequncias,

pode ser encontrado em (HAMEYER, MERTENS e BELMANS, 1995), (PASARE, 2008 (1)),

(PASARE, 2008 (2)) e (RAZAVIPOUR, JAHANGIRI e SADEGHIPOOR, 2012). Nos trabalhos

de (HAMEYER, MERTENS e BELMANS, 1996) e (MARCOS SILVA, 2010) ainda realizado

o cmputo tridimensional desses campos, atravs da composio de solues

bidimensionais, em planos transversais da linha, segundo a catenria dos cabos. Em

todos os trabalhos, os resultados de campo a uma altura de 1 metro do nvel do solo so

validados atravs da comparao com outros mtodos analticos, ou ainda por meio de

medies fsicas em linhas reais. Os estudos revelam boa preciso para os resultados

alcanados pelo MEF, indicando que este pode ser til ao designe de LTs com diferentes

configuraes geomtricas.

Em (MATIAS e RAIZER, 1997), a anlise tridimensional do campo eltrico das

LTs realizada atravs do clculo de potenciais escalares complexos, utilizando

elementos tetradricos pelo MEF. Os resultados obtidos so validados atravs do MSC.

Tal modelo ento utilizado para computar o campo eltrico em situaes de

cruzamento de linhas de transmisso e de distribuio, ou ainda analisando a presena

de residncias embaixo da linha. destacado neste trabalho que nenhum outro estudo

37

pde ser localizado na literatura, com resultados para situaes similares s analisadas,

revelando potencialidades do MEF em novas aplicaes das LTs.

Em (SATSIOS, LABRIDIS e DOKOPOULOS, 1998), pesquisado o campo

magntico e a corrente induzida em gasodutos subterrneos paralelos s linhas de

transmisso, com anlises para ocorrncias de curto-circuitos. O solo considerado a

partir de modelos no homogneos. Os resultados demonstram que o MEF capaz de

modelar problemas diversificados com maior facilidade.

Em (MUFTI, AL-HAMOUZ e ABDEL-SALAM, 1999), o efeito corona em linhas de

transmisso CC monopolares analisado pelo MEF. A variao da carga inica espacial e

a densidade de corrente induzida no solo so tomados para avaliao dos perfis de

campo eltrico. Os resultados obtidos so compatveis aos valores medidos

experimentalmente, sendo o fluxo de carga por efeito corona menor do que aquele

obtido por outros mtodos empricos, que consideram a carga inica espacial constante.

Em (TRIANTAFYLLIDIS, PAPAGIANNIS e LABRIDIS, 1999), o MEF utilizado para

calcular a matriz de impedncias de uma LT, considerando as irregularidades do solo e

analisando a dependncia com a frequncia de operao. As variveis de campo so

relacionadas com a matriz de impedncia das componentes simtricas da LT, e os

resultados so comparados com aqueles obtidos atravs do software EMTP. A

possibilidade de considerar modelos de solo mais realsticos e a adequada topografia

dos terrenos, revela ser interessante ao estudo de transitrios eletromagnticos das LTs

pelo MEF.

Em (LU, FENG, et al., 2007), a anlise de cargas inicas ao redor dos condutores e

os campos eltricos ao nvel do solo produzidos por LTs com feixes mltiplos de ultra

alta tenso (>800 kV), em corrente contnua (HVDC), so analisados atravs do MEF.

Este tipo de linha bastante atraente para transmisses de energia a longas distncias,

sendo que os aspectos de eficincia e segurana da LT adequadamente avaliados e

garantidos pelos resultados obtidos, para a configurao de linha avaliada.

Dos ltimos desenvolvimentos disponveis na literatura para o MEF,

apresentado um modelo de cmputo de campos eltricos e magnticos, o qual

realizado diretamente atravs da equao de onda (equao de Helmholtz) nos

trabalhos de (PAO-LA-OR, ISARAMONGKOLRAK e KULWORAWANICHPONG, 2008),

(TUPSIE, ISARAMONGKOLRAK e PAO-LA-OR, 2009) e (DHANALAKSHMI, KALAIVANI e

38

SUBBURAJ, 2011). Tal modelo empregado, dentre outras aplicaes, para orientao

das sequncias de fases na transposio das linhas, bem como na anlise dos campos

eltricos e magnticos em situaes de curto-circuito. No fica claro pelos trabalhos

como as consideraes de condio de contorno nos condutores tomada pela

metodologia sugerida.

2.3. Comparativo das Tcnicas de Cmputo

Diante das diferentes possibilidades de tcnicas para a soluo dos campos

eltricos e magnticos das LTs, necessrio empreender uma comparao entre as

metodologias descritas.

De modo geral, cada uma das tcnicas apresentadas tm caractersticas prprias,

com vantagens e desvantagens inerentes. As tcnicas analticas e semi-analticas so

conceitualmente mais simples, com implementao computacional eficiente (baixo

tempo de processamento), mas ao mesmo tempo em que no so aplicveis ou

conduzem a resultados no eficazes em um nmero maior de situaes mais complexas.

As tcnicas numricas integrais permitem solucionar uma gama maior de casos, com

razovel eficincia (mdio tempo) de soluo, e apenas tratando as fronteiras do

domnio, enquanto que no so aplicveis no tratamento de problemas envolvendo

composies de materiais mais complexos, no lineares. Por fim, as tcnicas numricas

diferenciais tm maior facilidade de lidar com geometrias complexas, em uma

diversidade ainda maior de problemas, porm com um custo computacional de soluo

bastante ineficiente quando comparado aos demais mtodos. Assim, apenas com base

nos detalhes dos problemas existentes, uma tcnica pode ser preferida, e mesmo ainda,

ter possibilidades de soluo vivel (a mesma pode no ser aplicvel, ou pode no ser

precisa quanto aos resultados, ou pode demandar um tempo muito grande de soluo).

No presente trabalho o MEF escolhido devido necessidade de avaliar

possibilidades para uma implementao computacional mais eficiente, atravs de

estudos de sensibilidade mais apurados, sugerindo a utilizao da tcnica em situaes

em que os mtodos analticos so impraticveis. Nenhum trabalho encontrado na

literatura serviu a este intuito orientativo, ofuscando a viabilidade de aplicao prtica

39

do MEF no cmputo de campos eltricos e magnticos das LTs, uma vez que o mesmo se

mostra dispendioso em relao ao tempo de processamento computacional, para

apresentao de bons resultados, quando em comparao as demais tcnicas.

importante frisar ainda que uma tendncia atual a de combinar duas tcnicas

distintas, culminando em alternativas que possam ser ao mesmo tempo eficientes e

eficazes, em casos de estudo mais complexos. Exemplos dessas possibilidades podem ser

vistos entre o MDF e o MSC em (ABDEL-SALAM e EL-MOHANDES, 1989); entre o MEC e

o MSC em (KRAJEWSKI, 1998) e (KRAJEWSKI, 2010); e tambm entre o MEF e o MSC

atravs de (AL-HAMOUZ, 1998) e (LI, ROWLAND e SHULTLEWORTH, 2014).

40

Captulo 3 Modelagem Eletromagntica de Linhas de Transmisso

3.1. Linhas de Transmisso

As linhas de transmisso so elementos fundamentais do SEP, sendo

responsveis pelo transporte de energia desde as usinas de gerao (usinas hidreltricas

e termeltricas, dentre outras) at os centros de consumo, interligando o sistema

eltrico de regies distintas e oferecendo confiabilidade ao fornecimento de energia.

O desempenho e o comportamento eltrico de uma linha area de transmisso

dependem de sua geometria e das caractersticas fsicas (portanto, tambm geogrficas)

do meio no qual a mesma est inclusa (FUCHS, 1979). A figura (3.1) apresenta os

principais itens componentes das LTs (feixe de condutores das fases, cabos para-raios,

espaadores, cadeia de isoladores e torre), enquanto a figura (3.2) oferece uma viso

detalhada a respeito de alguns destes componentes.

Figura 3.1 Componentes de Linhas de Transmisso

Linha de Transmisso 500KV, 4 Condutores por Fase, Adaptado de (FURNAS S.A.)

41

Figura 3.2 Detalhe para Componentes de Linhas de Transmisso

(a) Cabo Condutor, (b) Espaador, (c) Cadeia de Isoladores (FURNAS S.A.)

Os cabos condutores das fases constituem os elementos ativos das LTs. Estes so

sustentados pelas estruturas das torres por meio de cadeias de isoladores, cuja funo

a de manter os condutores suspensos e isolados eletricamente das estruturas suportes,

principalmente durante a ocorrncia de sobretenses advindas de manobras de curta

durao ou por ocorrncia de descargas atmosfricas, evitando assim dissipao da

energia atravs das estruturas da linha.

Em situaes onde se tem mais de um condutor por fase, existe a necessidade de

utilizao de ferragens ou espaadores, conforme ilustra a figura (3.2b). Estes ditam o

formato dos feixes de fase, mantendo certa distncia entre os subcondutores. Na parte

superior das estruturas das LTs podem tambm estar localizados cabos para-raios, os

quais se destinam a proteo dos condutores de fase contra a incidncia direta de

descargas atmosfricas.

Para o transporte de energia, nos sistemas de transmisso, o nvel de tenso

necessita ser elevado por meio de transformadores nas subestaes. Isto reduz

substancialmente a corrente de linha e proporciona a diminuio de perdas de energia,

bem como, possibilita a reduo da seo de bitola dos cabos. A diminuio das bitolas

dos cabos, por sua vez, responsvel por grande economia na construo das linhas,

42

devido diminuio dos esforos mecnicos sob as estruturas do sistema (FUCHS e

ALMEIDA, 1982).

As instalaes de transmisso de energia eltrica so fontes de campos eltricos e

magnticos devido presena, respectivamente, de correntes e tenses eltricas

operando em regime alternado senoidal. Portanto, o conhecimento dos nveis destes

campos gerados um fator importante de sua modelagem, fornecendo informaes

essenciais para a segurana das pessoas e equipamentos existentes em sua proximidade,

bem como garantindo um bom desempenho do transporte de energia. Estes campos so

entendidos e descritos atravs das equaes de Maxwell.

3.2. Campos Eletromagnticos gerados por Linhas de Transmisso

3.2.1. Equaes de Maxwell

As Equaes de Maxwell constituem um conjunto de quatro leis fundamentais do

eletromagnetismo, e as quais so apresentadas abaixo em sua forma diferencial,

considerando campos harmnicos no tempo (HAYT JR. e BUCK, 2012):

Lei de Faraday: . = j12 (3.1)

Lei de Ampre: 3 = 4 + j16 (3.2)

Lei de Gauss do Magnetismo: 2 = 0 (3.3)

Lei de Gauss: 6 = 7 (3.4)

Nestas equaes, todas as grandezas denotadas em negrito correspondem a

quantidades fasoriais complexas, as quais so funes apenas da posio espacial. A lei

de Faraday (3.1) descreve como densidades de fluxo magntico 2 produzem distribuies espaciais de campos eltricos .. A lei de Ampre (3.2) descreve como densidades de correntes de conduo 4 e densidades de fluxo eltrico 6 produzem distribuies espaciais de campos magnticos 3. A lei de Gauss do magnetismo (3.3)

43

afirma a no existncia de cargas ou monoplios magnticos, sendo o campo magntico

caracterizado por um campo vetorial solenoidal. Por fim, a lei de Gauss (3.4) associa a

densidade de fluxo eltrico s densidades espaciais de cargas eltricas 7 existentes. ainda percebido que as equaes (3.1) e (3.2) demonstram a interdependncia dos

campos eltricos e magnticos, quando em suas formas harmnicas temporais.

Para associar o comportamento dos campos eltricos e magnticos nos diferentes

meios materiais, algumas relaes ainda so adicionadas. Assim, a condutividade

eltrica 8, a permeabilidade 9 e a permissividade : dos meios influenciam, respectivamente, as densidades de corrente de conduo, e de fluxo magntico e eltrico

conforme as seguintes relaes constitutivas, escritas para meios lineares, homogneos

e isotrpicos (HAYT JR. e BUCK, 2012):

4 = 8. (3.5)

2 = 93 (3.6)

6 = :. (3.7)

Por fim, na fronteira entre dois materiais com caractersticas constitutivas

diferentes, o comportamento do campo eletromagntico obedece s condies de

interface (HAYT JR. e BUCK, 2012):

n& (2= 2>) = 0 (3.8)

n& (3= 3>) = @ (3.9)

n& (4= 4>) = j18 (3.10)

n& (.= .>) = 0 (3.11)

Nestas equaes, os subscritos 1 e 2 identificam dois meios materiais distintos.

A equao (3.8) estabelece a continuidade da componente normal das densidades de

fluxo magntico na passagem entre os meios. Por sua vez, a equao (3.9) estabelece

que, na presena de uma densidade linear de corrente @ sobre a interface de separao

44

entre os meios, as componentes tangenciais do campo magntico so descontnuas por

essa mesma quantidade. A equao (3.10) equivalente equao de continuidade, a

qual afirma a conservao de cargas na superfcie entre os dois meios. Por fim, a equao

(3.11) estabelece a continuidade da componente tangencial campo eltrico na fronteira

entre meios com propriedades constitutivas diferentes.

A soluo das equaes de Maxwell, juntamente das relaes constitutivas e de

interfaces, em cada problema especfico no trivial, devido necessidade de

dese