CÁLCULO COMBINATÓRIODIFERENÇAS ENTRE FATORIAIS, ARRANJOS E COMBINAÇÕES

MATMATRIX 2015 1

Foi a necessidade de calcular o número de possibilidades existentes nos ‘jogos de azar’ que levou ao desenvolvimento da Análise combinatória, que é um ramo da Matemática que estuda processos de contagem. Este tipo de estudo teve início no início do século XVI por Niccollo Fontana (1500-1557), matemático italiano, mais conhecido por Tartaglia. Mais tarde, surgiram Pierre de Format (1601-1665) e Blaise Pascal (1623-1662), matemáticos franceses que dinamizaram os processos de contagem.

A análise combinatória torna-se assim uma preciosa ferramenta para desenvolver métodos que permitam contar o número de elementos de um conjunto, quando estes estão organizados sob diversas condições.

Vamos então iniciar esta jornada percorrendo as diferentes formas de contar elementos, referindo as diferenças entre cada caso, por forma a que compreendas de forma clara, porque usamos fatoriais, combinações, arranjos simples ou completos.

SÊ BEM VINDO!

MATMATRIX 2015 2

FATORIAISPara ser mais fácil a perceção vamos denominar as pessoas pelas letras do alfabeto.

CASO 1 – Arrumar pessoas em lugares

Imagina que queremos sentar 3 pessoas (A,B e C)em 3 lugares e pretendemos saber de quantas formas podemos fazê-lo. Repara nas possibilidades:

ABC ACB BAC BCA CAB CBA

Observando as diferente possibilidades, é possível reparar no seguinte:

No primeiro lugar podemos sentar qualquer uma das pessoas (3).

Se sentar a pessoa A na 1ª posição, na 2ª só posso sentar ou B ou C (2)

Se sentar A na 1ª posição e B na 2ª, na 3ª posição já só posso sentar C (1)

MATMATRIX 2015 3

Desta forma, concluímos que podemos sentar 3 pessoas em 3 lugares de 3 x 2 x 1 = 6 maneirasExtrapolemos agora este exemplo para mais pessoas, por exemplo 5 pessoas:

Repara que agora, podes sentar qualquer uma das pessoas A,B,C,D ou E na 1ª posição (5). Após sentares por exemplo, a pessoas A, na segunda posição só podes sentar B,C,D ou E (4). Sentando na 2ª posição por exemplo B, na 3ª posição já só podes sentar C,D ou E (3) e assim sucessivamente.

Vamos então generalizar:

Se quiseres sentar n pessoas em n lugares:

Acabaste de conhecer o Fatorial de um número, que é a ferramenta mais utilizada para ‘arrumar’ n pessoas em nlugares. Aqui, interessa a ordem das pessoas, mas elas não se podem repetir.

E será apenas isto?

Claro que não, mas este é o conceito fundamental. Repara agora nas variantes em que podemos aplicar o fatorial:

𝐏𝐧 = 𝐧 × 𝐧 − 𝟏 × 𝐧 − 𝟐 × 𝐧 − 𝟑 × ⋯ 𝟐 × 𝟏 = 𝐧!

MATMATRIX 2015 4

Então e quando queremos que as pessoas se disponham obedecendo a determinados critérios?

Vamos aos exemplos concretos:

Exemplo 1 : Temos 4 raparigas e 3 rapazes; de quantas formas podemos sentá-los num banco corrido de 7 lugares de modo que:

a) Fique um rapaz em cada extremob) Os rapazes fiquem juntosc) As pessoas fiquem alternadas por sexo

Resolução: II) depois de colocar um dos 3 rapazes na 1ª posição possocolocar ainda um dos outros 2 rapazes no extremo direito

a) III) depois sobram 5 pessoas (1 rapaz e as 4 raparigas)para sentar em 5 lugares, ou seja, 5!

I) No extremo esquerdo posso colocar um dos 3 rapazes

Resposta: 3 x 2 x 5!

MATMATRIX 2015 5

b) Primeiro, precisamos de contabilizar em quantos locais podemos sentar os 3 rapazes:

Existem 5 formas de os 3 rapazes se encontrarem juntos

Pegando agora numa dessas possibilidades, chamemos A, B e C aos 3 rapazes:

Se temos 3 rapazes para sentar em 3 lugares, tal como já vimos ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA anteriormente, eles podem trocar entre si - 3!

Por fim, após sentar os rapazes, falta sentar as raparigas que também podem trocar entre siTambém elas podem trocar entre si – 4 raparigas para 4 lugares - 4!

DEFG,DEGF,DFEG,DFGE……

Resposta final: 5 x 3! x 4!

MATMATRIX 2015 6

c) Para sentá-los alternadamente por sexo, como as pessoas estão em número ímpar, a fila terá necessariamente que começar pelo sexo que está em maior número – 4 raparigas

Na 1ª posição posso colocar uma das 4 raparigas, na 2ª , um dos 3 rapazes, na 3ª outra das raparigas (das que restou), na 4ª, outro dos 2 rapazes que sobrou, na 5ª outra das raparigas que sobra após ter arrumado as duas primeiras, na 6ª o último dos 3 rapazes e, por fim, na 7ª a última das 4 raparigas. Na prática, e independentemente de eu querer sentá-los alternadamente, tudo se resume a sentar 4 raparigas em 4 lugares e 3 rapazes em 3 lugares, ou seja, 4! x 3!

Caso o número de pessoas a sentar fosse par, i.e, por exemplo, 3 eles e 3 elas, teria que ter em consideração que a fila pode começar tanto em rapariga como em rapaz e portanto, a resposta seria

2 x 3! x 3!

MATMATRIX 2015 7

CASO 2 – Mesas redondas (Permutações circulares)

Quando pretendemos sentar pessoas em mesas redondas temos que atentar ao seguinte detalhe:Os lugares estão ou não numerados?

Quando os lugares não estão numerados, é preciso ter em atenção o seguinte:

Observa a figura: as 4 sequências que estão indicadas com cores diferentes representam a mesma forma das pessoas estarem sentadas. As pessoas apenas levantaram-se e sentaram-se na cadeira seguinte. Tal acontece porque não existe um começo e um fim da mesa, O que pretendemos não é que elas se levantem e se sentem da mesma forma, mas sim, que troquem entre si, não tendo sempre as mesma pessoas a seu lado nem à sua frente.O que podemos então fazer:Considerar que cada sequência repete-se 4 vezes ( tantas quanto o número de pessoas).

Basta então que retiremos essa repetição : 4!

4ou então, que fixemos uma das pessoas e

façamos trocas com as restantes : 3!

Se os lugares estiverem numerados, é como se fosse um banco corrido e resolvemos o exercício com um simples fatorial:

MATMATRIX 2015 8

Exemplo:

a)De quantas formas podemos sentar 4 pessoas numa mesa redonda de 4 lugares, em que os lugares estão numerados de 1 a 4?

Resposta: 4!

b) 4 amigos sentam-se numa mesa redonda de 4 lugares numerados. De quantas formas podem fazê-lo de modo que a Ana e o Pedro fiquem lado a lado?

A Ana e o Pedro podem ficar lado a lado de 4 formas (indicadas pelas 4 cores).

Também poderíamos considerar que era o mesmo que se os lugares estivessem em linha:

Não esquecer que como a mesa é redonda, posso ter a Ana no extremo direito e o Pedro no extremo esquerdo que também assim ficam seguidos

Uma vez sentados a Ana e o Pedro, eles podem trocar entre si (2!) e depois temos que sentar os restantes amigos , 2 amigos para 2 lugares (2!)

Resposta: 4 × 2! × 2!

MATMATRIX 2015 9

CASO 3 – Anagramas

Anagramas são palavras com ou sem significado

Vamos ver agora alguns exemplos de exercícios com anagramas.

a) Com as letras da palavra FELIZ quantos anagrama posso escrever?

Na prática, quero saber o número de permutações possíveis com estas letras : 5 letras para 5 lugares –5!

b) E se a palavra for BORBOLETA?Repara que nesta palavra, existem letras repetidas. Se eu me limitar a usar o fatorial do número de letras, estarão contabilizadas palavras repetidas, uma vez que o fatorial vai considerar que, por exemplo, se eu trocar os B’s um com o outro, obtenho palavras diferentes, quando na realidade não é assim. O mesmo se passará com os O’s e sempre que há letras repetidas.

Portanto, para ultrapassar esta questão, basta dividir o fatorial pelo fatorial das letras repetidas:9!

2! × 2!O’s B’s

9 letras para 9 lugares

MATMATRIX 2015 10

CASO 4 – arrumar livros em prateleiras

Quando queremos arrumar livros em lugares precisamos de ter em atenção o seguinte detalhe: depois de os arrumarmos e contabilizarmos as trocas entre disciplinas, as disciplinas também podem trocar entre si. Repara no seguinte exemplo:

O Filipe tem 6 livros de Matemática, 3 de Física e 4 de Inglês. De quantas maneiras diferentes pode o Filipe arrumar os livros numa prateleira, considerando que :

a) qualquer um dos livros pode ocupar uma posição qualquer ?b) os livros de cada uma das disciplinas devem ficar juntos ?c) apenas os livros de Inglês devem ficar juntos ?d) Os livros de inglês e os de Matemática devem ficar juntos por disciplina, podendo os de física ocupar qualquer posição

Respostas:

a) (6+3+4)=13 livros para 13 lugares – 13!b) 6! × 3! × 4! × 3! - este último fatorial vai contabilizar as trocas que as disciplinas podem fazer entre sic) 4! × 6 + 3 ! × 10

Este 10 representa os sítios onde os 4 livros de inglês podem estar juntos

MATMATRIX 2015 11

MATMATRIX 2015 12

d) Colocamos os de inglês e os de Matemática juntos ( 6! × 4! × 3!)Depois precisamos de determinar todas as formas de alternar os de Física com os destas duas disciplinas. Como os de física são 3, vamos considerar que existem 5 grupos que podem trocar entre si : • o grupo de inglês• O grupo de matemática• O grupo do 1º livro de física 5! – 5 grupos para 5 lugares• O grupo do 2º livro de física• O grupo do 3º livro de física

Logo a resposta final será 6! × 4! × 3! × 5!

Agora que já compreendes o conceito do fatorial, queres praticar um pouco? Vamos resolver alguns exercícios:

EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO

1) De quantas maneiras podemos ordenar 5 livros de Matemática, 3 livros de Química e 2 livros de Física, todos diferentes, de forma que os livros de uma mesma disciplina fiquem juntos?

2) De quantas maneiras podemos dispor 4 homens e 4 mulheres em uma fila, sem que dois homens fiquem juntos?

3) Quantos são os anagramas da palavra ESTUDAR:a) que começam com vogal?b) que começam e terminam em vogal?c) que tenham as vogais juntas?

4) Quantos são os anagramas da palavra COMBINATÓRIA:a) que alternam consoantes e vogais?b) que possuem as vogais juntas?

5) Quantos são os anagramas da palavra CAPÍTULO em que não fiquem juntas duas vogais e duas consoantes?

6) Quantos são os anagramas da palavra ÁLGEBRA em que não possuem 2 vogais juntas?

MATMATRIX 2015 13

7) 3 homens e 3 mulheres vão sentar-se numa mesa redonda. De quantas formas podem ficar sentados alternadamente por sexo?

8) 2 raparigas e 3 rapazes pretendem dispor-se em forma de circulo. De quantas maneiras podem fazê-lo de modo que:

a) as raparigas devem ficar seguidasb) as raparigas não devem ficar seguidas

9 ) 6 amigos (3 rapazes e 3 raparigas) compraram bilhetes seguidos para a mesma fila do cinema. De quantos modos se podem sentar se

a) O fizerem de forma aleatóriab) Num extremo ficar o Antónioc) A Maria ficar junto da Danielad) O António, a Maria e a Cláudia ficarem juntose) As raparigas ficarem juntas e os rapazes tambémf) Ficarem sentados alternados por sexog) Em cada extremo ficar um rapaz

MATMATRIX 2015 14

MATMATRIX 2015 15

10) De quantas formas diferentes se podem colocar em fila 9 bolas sendo 4 azuis, 3 vermelhas e 2 brancas?

11) Considera a palavra ROMA. Quantos anagramas podemos formara) Usando alternadamente consoante e vogalb) Ficando as vogais sempre juntasc) Ficando as vogais juntas e as consoantes juntas tambémd) Começando por vogale) Começando e terminando por vogal

12) A Rita tem 12 livros que vai distribuir por 3 prateleiras, colocando 4 livros em cada uma. Três livros são deHistória e quatro são de Matemática. De quantas maneiras pode arrumar os livros de modo que os deMatemática fiquem na prateleira de cima e os de história na prateleira de baixo?