2 Limites 2.1 Introduo: alguns fatos histricos sobre limites OconceitodelimiteconstituiumdosfundamentosdoClculo,umavezqueparadefinirderivada, continuidade,integral,convergncia,divergncia,utilizamosesseconceito.Asistematizaolgicado Clculo pressupe ento o conceito de limite. Entretanto, o registro histrico justamente o oposto. Por muitos sculos, a noo de limite foi confundida com ideias vagas, s vezes filosficas relativas ao infinito - nmeros infinitamente grandes ou infinitamente pequenos-ecomintuiesgeomtricassubjetivas,nemsemprerigorosas.Otermolimitenosentido moderno produto dos sculos XVIII e XIX, originrio da Europa. A definio moderna tem menos de 150 anos. Aprimeiravezemqueaideiadelimiteapareceu,foiporvoltade450a.C.,nadiscussodosquatro paradoxos de Zeno. Por exemplo, no primeiro paradoxo - a Dicotomia - Zeno discute o movimento de um objetoquesemoveentredoispontosfixos,AeB,situadosaumadistnciafinita,considerandouma sequncia infinita de intervalos de tempo - T0, T1, T2,..., Tn,... - cada um deles sendo o tempo gasto para percorrer a metade da distncia percorrida no movimento anterior. Analisando o problema, Zeno concluiu que dessa maneira o mvel nunca chegaria em B.Aristteles, 384 - 322 a.C., refletiu sobre os paradoxos de Zeno com argumentos filosficos. Para provas rigorosasdasfrmulasdedeterminadasreasevolumes,Arquimedesencontroudiversassomasque contm um nmero infinito de termos. Na ausncia do conceito de limite, Arquimedes utilizava argumentos denominados dupla: reductio ad absurdum. EncontrararetatangenteaumacurvaumproblemafundamentaldoClculo.DuranteosculoXVII, diversosgemetrasplanejaramesquemasalgbricoscomplicadosparaencontrarretastangentesa determinadascurvas.Descartesdesenvolveuumprocessoqueusavadobro-razesdeumaequao auxiliar;essatcnicafoimelhoradapelomatemticoJohanHudde,1628-1704,queera,napoca,o maior matemtico de Amsterd. Ren de Sluse, 1622 1685, inventou outro mtodo mais sofisticado para obterretastangentesacurvas.Emcadaumdessesmtodos,olimitedevetersidousadonumaetapa crtica.Masnenhumdelespercebeuanecessidadedaideiadelimite,eassimcadaumencontrouuma maneirainteligenteparaconseguirosprpriosresultados,queestavamcorretos,emborasemorigor possibilitado pelo limite. Determinarvaloresexatosparareasemregieslimitadasporcurvasoutroproblemafundamentaldo Clculo.Estechamadofrequentementeproblemadaquadratura-determinaodeumarea-e, relacionado com ele, o problema da cubatura, isto , da determinao do volume de um slido limitado por superfcies. Todos esses problemas conduzem s integrais.Johannes Kepler, astrnomo famoso, era um dosmaisenvolvidoscomproblemasdecubatura.BonaventuraCavalieridesenvolveuumateoria elaboradanasquadraturas.Outros,taiscomoEvangelistaTorricelli,PierredeFermat,JohnWalliseSt. Vincent de Gregory planejaram tcnicas de quadratura e/ou de cubatura que se aplicavam a regies ou a slidosespecficos.Masnenhumdelesusoulimites.Osresultadosestavamquasetodoscorretos,mas cadaumdependiadeumaargumentaonoalgbrica,recorrendointuiogeomtricaoufilosfica, questionvel em algum ponto crtico. A necessidade para os limites era justa, mas no reconhecida. IsaacNewton,emPrincipiaMathematica,seumaiortrabalhoemMatemticaeCincia,foioprimeiroa reconhecer, em certo sentido, a necessidade do limite. No comeo do livro I do Principia, tentou dar uma formulao precisa para o conceito do limite. Ele havia descoberto o papel preliminar que o limite teria no Clculo,sendoessaasementedadefiniomoderna.Infelizmente,paraafundamentaorigorosado Clculo, durante muitas dcadas, ningum examinou as sugestes que Newton havia fornecido. Comasferramentasdisponveisnapoca,osproblemasdachamadaGeometriaforamresolvidos,e surgiam novas aplicaes do Clculo Cincia, principalmente Fsica e Astronomia. Novos campos da Matemtica, em especial das equaes diferenciais e do clculo de variaes, foram sendo criados. Durante o sculo XVIII, uma ateno muito pequena foi dada s fundamentaes do Clculo, muito menos ao limite e seus detalhes. Colin Maclaurin defendeu o tratamento dos fluxos de Newton, mas reverteu ao sculoXVII,comargumentossimilaresaodeFermatquesomenteArquimedesocasionalmentetinha usado. Apesar de suas boas intenes, Maclaurin deixou passar a oportunidade de perceber a sugesto de Newton sobre limites. D'Alemberteraonicocientistadapocaquereconheceuexplicitamenteacentralidadedolimiteno Clculo.EmsuafamosaEncyclopdie,D'Alembertafirmouqueadefinioapropriadaaoconceitode derivadarequeracompreensodelimiteprimeiramente,eentodeuadefinio:Umvalorditosero limite de um outro valor quando o segundo pode se aproximar do primeiro dentro de algum valor dado, de qualquer modo pequeno, embora o segundo valor nunca possa exceder o valor ao qual se aproxima. Em termos gerais, D'Alembert percebeu, que a teoria dos limites era a "verdadeira metafsica do Clculo". Em 1784, a Academia de Cincias de Berlim ofereceu um prmio para quem explicasse com sucesso uma teoriadoinfinitopequenoedoinfinito grandenamatemticae quepudesseserusadonoClculocomo umfundamentolgicoeconsistente.EmboraesseprmiotenhasidoganhoporSimonL'Huilier(1750- 1840)peloseutrabalho"longoetedioso",estenofoiconsideradoumasoluoparaosproblemas propostos. Lazare N. M. Carnot (1753 - 1823) props uma tentativa popular de explicar o papel do limite no Clculocomo"acompensaodoserros",masnoexplicoucomoesteserrossebalanariamsempre perfeitamente. J no final do sculo XVIII, o matemtico Joseph-Louis Lagrange - o maior do seu tempo - tinha elaborado umareformulaosobreamecnicaemtermosdoClculo.Lagrangefocalizousuaatenonos problemasdafundamentaodoClculo.Suasoluotinhacomodestaque"todaaconsideraode quantidadesinfinitamentepequenas,doslimitesoudosfluxos".Lagrangefezumesforoparafazero Clculo puramente algbrico eliminando inteiramente os limites. DurantetodoosculoXVIII,poucointeresseemrelaoaosassuntossobreaconvergnciaoua divergnciadesequnciasinfinitasesrieshaviaaparecido.Em1812,CarlFriedrichGausscompso primeirotratamentorigorosodeconvergnciaparasequnciasesries,emboranoutilizassea terminologiadoslimites.Emsuafamosateoriaanalticadocalor,JeanBaptisteJosephFouriertentou definiraconvergnciadeumasrieinfinitasemusarlimites,masmostrandoque,respeitadascertas hipteses, toda funo poderia ser escrita como uma soma de suas sries. No comeo do sculo XVIII, as ideias sobre limites eram certamente desconcertantes. JnosculoXIX,AugustinLouisCauchyestavaprocurandoumaexposiorigorosamentecorretado ClculoparaapresentaraseusestudantesdeengenharianacolePolytechniquedeParis.Cauchy comeou seu curso com uma definio moderna de limite. Em suas notas de aula, que se tornaram papers clssicos, Cauchy usou o limite como a base para a introduo precisa do conceito de continuidade e de convergncia, de derivada, de integral. Entretanto, a Cauchy tinham passado desapercebidos alguns dos detalhes tcnicos. Niels Henrik Abel (1802 - 1829) e Peter Gustav Lejeune Dirichlet estavam entre aqueles que procuravam por problemas delicados e no intuitivos. Entre1840e1850,enquantoeraprofessordaHighSchool,Karl Weierstrassdeterminouqueaprimeira etapa para corrigir esses erros deveria comear pela definio de limite de Cauchy em termos aritmticos estritos, usando-se somente valores absolutos e desigualdades. 2.2 Entendendo o conceito de limites e continuidade NoClculoesuasaplicaes,emgeraloqueserinteressantesoosvaloresdesadadeuma determinadafunof ( ) (x f )queestejamprximosdeumnmerodeentradaa ,masquenosejam necessariamente iguais aa . Isso ocorre, pois nem sempre o valor de entradaaest definido no domnio da funof , ou seja, o valor de sada) (a fno definido. Para ilustrar esta situao, vamos analisar o exemplo a seguir. Considere a seguinte funo: 6 32) (2 3xx xx fAnalisarmos o que acontece com o valor de entrada2 a , podemos notar facilmente que este valor no pertence ao domnio da funof , uma vez que se utilizarmos o valor de entrada2 xna lei da funo descrita acima obteremos uma indeterminao, ou seja, 00. Como estudamos funes reais, vamos analisar o que acontece com valores de entrada nas proximidades do nmero 2. Estes valores esto descritos em duas tabelas abaixo: Note que ao substituir alguns valores de entrada nas proximidades de2 xna lei da funo, parece que osvaloresdesadaestocadavezmaisprximosde... 333333 , 134.Masnosepodegarantirtal fato destaforma,poisanalisarapenasalgunsvaloresdex prximosde2nosuficienteumavezque estamos tratando de nmeros reais que um conjunto de infinitos pontos.Para chegarmos a um parecer definitivo, vamos tentar fatorar a expresso: ) 2 ( 3) 2 (6 32) (2 2 3xx xxx xx fE, considerando2 x , a funo pode ser escrita da seguinte forma: 3) (2xx fAssim, o grfico desta funo a parbola 32xy , com o ponto 34, 2omitido, conforme o grfico ao lado: Geometricamente,podemosnotarquequantomaisprximode2estiverovalordeentradax ,mais prximo de 34 estar o valor de sada, conforme tnhamos notado na tabela.De maneira geral, ao analisarmos uma funof definida em um intervalo I aberto, contendo um nmero reala , exceto possivelmente no prprioa , podemos fazer duas perguntas: 1 medida quexest cada vez mais prxima dea( a x ), o valor de) (x f tende para um nmero real L? 2Podemostornarovalordafuno) (x f toprximodeLquantoqueiramos,escolhendoxsuficientemente prximo dea( a x )? E,sepudermosresponderaestasperguntasafirmativamente,afirmamosqueolimitedafunoo nmero real L.Assim, matematicamente, temos que:L x fa x) ( limUsandoanotaodelimitesdescritaacima,podemosrepresentaroresultadodenossailustraoda seguinte forma: 346 32lim2 32xx xx Intuitivamente,adefinioL x fa x) ( lim ,significaquepodemostomarosvaloresdesada,) (x f ,to prximodeumnmerorealLquantoquisermos,escolhendoosvaloresdeentrada,x,suficientemente prximo de um nmero reala , mesmo quandoa x . Graficamente, Notequeaoestudarmosafuno 6 32) (2 3xx xx f ,foipossvel simplific-la utilizando tcnicas de fatorao, no entanto, nem sempre tal procedimento algbrico ser possvel.Noprximoexemplo,ilustramosumasituaoondeasimplificao algbrica no possvel. Vejamos tal situao: Agora, vamos determinar tentar determinar o limite da funox x senx) (lim0. Este limite existe? Note que quando tomamos o valor de entrada0 x , obtemos uma indeterminao como valor de sada, ouseja, 00.Paratentarmosdeterminarolimitedestafunoquando0 x vamosanalisarvaloresde entradanasproximidadesdovalor0 x .Nestecaso,devemosconsiderarxcomoumnmeroreal,ou seja, uma medida de ngulo dada em radianos. Estes valores esto descritos na tabela a seguir: Ao analisarmos a tabela e o grfico, chegamos concluso que: Noteque,esteresultadonopodeserobtidopormanipulaesalgbricassimples,poisestauma simplificao trigonomtrica. Nem mesmo podemos assumir que tal valor de limite como verdade absoluta umavezqueanalisamosapenasalgunsvaloresdeentradadestafuno.Esteresultadoserprovado mais adiante em nosso curso.Noentantoquandotratamosdefunescujasleissocompostasporexpressesalgbricassimples, ondeafunodefinidaparatodososnmerosreais,aobtenodolimitetrivial.Isso,poisafuno estadefinidanopontoquequeremosencontrarolimite,ouseja,ovalordeentradaestanodomnioda funo.E,nestescasos,olimitedafunoseconfundecomsuaprpriaimagem.Nestecaso,dizemos que a funo contnua.Definio: Uma funof contnua em um nmero realase satisfaz as seguintes condies: (i)) (a f definida; (ii)) ( lim x fa x existe; (iii)) ( ) ( lim a f x fa x Note que para verificarmos se uma funof contnua, basta verificar a condio (iii), pois uma vez que) ( ) ( lim a f x fa x, ento) (a f definida e tambm) ( lim x fa x existe. E, caso alguma destas condies no seja satisfeita, dizemos que a funof descontnua ema , ou queftem uma descontinuidade em a .Nos dois exemplos anteriores, classificamos a descontinuidade da funo como removvel. Mas existem ainda outros dois tipos de descontinuidades: tipo salto e infinitas.EXEMPLO Determine o limite:) 3 2 ( lim4xx, caso exista. EXEMPLO Determine o limite:) 1 ( lim23 xx, caso exista. Vemos claramente nestes exemplos acima que a obteno do limite ocorreu simplesmente substituindo-se o valor dexpelo valor de entrada cujoa x . Isso ocorre, pois estas funes so contnuas nos valores dexpara onde o limite tende.Notequeesteprocessopodeseraplicadoparatodasasfunesracionaisoupolinomiais,quandoxtende para o valora( a x ) que estiver no domnio da funo.Noentanto,esteprocedimentonopodeserutilizadodiretamenteemtodasasfunesalgbricas. Vejamos alguns exemplos: EXEMPLO Determine, caso exista, o limite da funo 1 2) (2x x xx f , quando1 x . Note que para obter o limite da funo, antes foi necessrio simplificar a expresso atravs de processos defatoraosimples.Eoresultadodafatorao,apsasimplificao,foiafunodadapor2 x y . Isto quer dizer que os grficos destas duas funes so os semelhantes, exceto no ponto1 x . Conforme podemos observar nos grficos abaixo: EXEMPLO Seja 39) (xxx f , encontre o limite) ( lim9x fx e esboce o grfico def . EXERCCIOS EM SALA (1) Determine o limite:2 lim7xx. (2) Seja6 7 52 5 2) (22x xx xx f . Encontre o limite) ( lim2x fx. EXERCCIOS PROPOSTOS (1) Ache o limite: (a)) 1 3 ( lim2xx(d)) 4 ( lim32 xx(g) 1 24lim1xxx (b)xx 4lim (e)) ( lim4xx(h)) 1 4 ( lim62x xx (c) 792 limx(f) 10limx(i) 42lim5 xxx (2) Ache o limite: (a)15 lim3 x(d) 41) 5 2 ( lim xx(g)1 4 lim42x xx (b)) 4 3 ( lim4xx(e) 52) 1 3 ( lim xx(h) 3 244 5 lim x xx (c) 3 45lim4xxx (f) 416lim16xxx (i) 6 53 2lim222x xx xx (3) Simplifique as expresses para encontrar o limite, caso exista. (a) ) 1 )( 3 () 4 )( 3 (lim3x xx xx (c) ) 1 () 6 )( 1 (lim1x x xx (e) 7 5 2lim221x xx xx (b) 24lim22 xxx(d) 12 73 2lim223x xx xx(f) 255lim25 xxx Respostas: 2.3 Limites LateraisPara termos um limite L quando um valor de entradaxse aproxima de um pontoa , uma funofdeve serdefinidaemambososladosdea eseusvaloresdesadadevemseaproximardeumnmero realL quandoosvaloresdeentradax seaproximamdea de cada um de seus lados. Por este motivo, limites comuns devem ser bilaterais. Sef notemlimitebilateralema ,aindapodeterlimitelateral,ouseja,umlimitecujaaproximao ocorre apenas de um dos lados. Se a aproximao for feita pelo lado direito, o limite ser um limite lateral direita. J se a aproximao ocorrer pelo lado esquerdo, teremos um limite lateral esquerda. Agora, vamos defini-los e denot-los:1 O limite lateral esquerda, ou limite mnimo denotado por: L x fa x) ( lim . Intuitivamente,vemosqueosvaloresdesada) (x f sodefinidosemumintervaloaberto) , ( a c ,onde a ce os valores de sada) (x festo to prximos de um nmero realL quanto quisermos, bastando escolher valores de entradaxsuficientemente prximos dea , mas coma x .Graficamente, temos: 2 O limite lateral direita, ou limite mximo denotado por: L x fa x) ( lim . Intuitivamente,vemosqueosvaloresdesada) (x f sodefinidosemumintervaloaberto) , ( c a ,onde c ae os valores de sada) (x festo to prximos de um numero realL quanto quisermos, bastando escolher valores de entradaxsuficientemente prximos dea , mas coma x . Graficamente, temos: 9 Paradeterminarmosaexistnciaounodeumlimiteaoutilizarmoslimiteslateraisemumvalorede entradaa necessrio que o teorema a seguir seja satisfeito: Teorema:L x fa x) ( limse e somente se) ( lim ) ( lim x f L x fa x a x. Este teorema nos d condies necessrias e suficientes para que um limite exista. EXEMPLO Mostre, utilizando limites laterais, que o limite xx1lim0 no existe. EXEMPLO Esboce o grfico da funofdefinida por 1 , 11 , 41 , 3) (2x xxx xx f . E, em seguida determine os seguintes limites) ( lim1x fx,) ( lim1x fx e) ( lim1x fx. EXEMPLO Seja xxx f| |) ( . Esboce o grfico da funofe determine se possvel, os seguintes limites ) ( lim0x fx,) ( lim0x fx e) ( lim0x fx. Determine ainda se esta funo contnua no ponto0 x . EXERCCIOS EM SALA (1)Seja3 ) ( x x f .Esboceogrficodafunof edeterminesepossvel,) ( lim3x fx,) ( lim3x fxe ) ( lim3x fx. (2) Determine se o limite da funo 1 , 21 ,1 2) (2xxx x xx fexiste quando1 x . (3) Seja| 12 7 3 | ) (2x x x f . Mostre esta funo contnua em todo seu domnio. 10 EXERCCIOS PROPOSTOS (1) Em cada um dos seis grficos abaixo, listados de (a) at (f), determine os seguintes limites, nos valores de entradas 2 e 0, quando existirem e classifique as descontinuidades em removvel, salto ou infinita. (i)) ( lim2x fx (ii)) ( lim2x fx (iii)) ( lim2x fx (iv)) ( lim0x fx(v)) ( lim0x fx (vi)) ( lim0x fx Os grficos para a anlise so: (2) Determine os limites:(i)) ( lim x fa x (ii)) ( lim x fa x (iii)) ( lim x fa x Para cada uma das funes listadas abaixo em seus respectivos valoresa . (a) 4| 4 |) (xxx f ; com4 a (b) 31) (xx f ; com0 a(3) Esboce o grfico de cada uma das funes listadas abaixo. Atravs do grfico determine os seguintes limites) ( lim1x fx,) ( lim1x fx e) ( lim1x fx, caso existam, para cada uma das funes abaixo: (a) 1 , 41 , 1) (2x xx xx f (b) 1 , 31 ,) (3x xx xx f(4) Seja| | ) ( x x f . Mostre que esta funo contnua em todo o seu domnio. (5) Mostre que a funof contnua ea , sendox x x f 3 5 2 ) (e4 a . 11 (6)Explique,emcadacasoabaixo,porqueasfunesf nosocontnuasemcadavalordeaindicado ao seu lado. (a) 23) (xx f , com2 a (b) 3 , 43 ,39) (2xxxxx f , com3 aRespostas: 2.4 Propriedades dos Limites e sua Definio FormalAseguirestolistadasalgumasdaspropriedadesmaisimportanteseutilizadasquandotratamosdo conceito de limites. A definio formal do conceito de limites dada por:Definio:Sejaf umafunodefinidaemumintervaloabertoIquecontmopontoa ,exceto possivelmente no prprio pontoa , e seja. IR L Assim, temos que: L x fa x) ( limSignifica que, para todo0 , existe um0 tal que: | ) ( | | | 0 L x f a x Veja este resultado ilustrado graficamente ao lado: 12 No entanto, neste curso no trabalharemos com esta definio, pois isso no faz parte dos objetivos do mesmo. Trabalharemos apenas com alguns teoremas e tcnicas. Justamente porque o nosso objetivo trabalhar com suas aplicaes, ou seja, o conceito de derivadas.2.5 Limites que envolvem InfinitoEmestudosanteriores, foipossvelnotarqueaoinvestigarmososlimitesesquerdaoudireitadeum determinado valor de entradaa( ) ( lim x fa x ou) ( lim x fa x) em algumas situaes os valores de sada) (x fno se aproximavam de um nmero real L, mas aumentem ou diminuam sempre.Isso pode ser notado se considerarmos a funo e seu respectivo grfico a seguir: Atravs deste grfico possvel constatar que:21lim2 xx e . Destaforma,possvelconcluirqueolimitedafunonoexiste,umavezquenose aproxima de nenhum nmero real. Pelo contrrio, aumentam infinitamente quando os valores de entrada se aproximam do nmero real dois. Quando os valores se aproximam de dois vindos da direita, os valores desadaaumentaminfinitamente,jquandoosvaloresdeentradaseaproximamdedoisvindosda esquerda, os valores de sada diminuem infinitamente. Vejamos algumas situaes genricas, ilustradas nas figuras a seguir sobre limites laterais onde estes no se aproximam de nmeros reais vindos de algum de seus lados: 13 Noentanto,tambmpossvelconsiderargenericamentelimitescomoodoexemploilustrado anteriormente,chamadoslimitesbi-laterais.Estesexemplosdelimitesgenricosestoilustradosnos grficos abaixo: Nestes grficos possvel notar claramente a existncia de uma linha vertical, que no o eixo-y. Esta linha verticalumaequaodereta,cujaequaodadapora x .Estaretachamadadeassntota vertical do grfico da funo f . Se analisarmos o exemplo anterior, a reta uma assntota vertical para a funo.A seguir, temos as definies formais de assntota vertical e limite infinito. Definio:Aretaa x chamadadeassntotaverticaldogrficodafuno) (x f y sepelomenos uma das seguintes condies estiver satisfeita: (i)) ( lim x fa x(ii)) ( lim x fa x(iii)) ( lim x fa x (iv)) ( lim x fa x(v)) ( lim x fa x(vi)) ( lim x fa x Definio:Olimite) ( lim x fa x,significaqueparatodo0 M ,existeum0talquese | | 0 a x , entoM x f ) ( . Interpretando esta definio graficamente, considerando duas retasa y , temos: OBS: Quando dizemos que) (x ftende para quandoxtende paraa ,necessrioqueambososlimiteslaterais,tantopela esquerda quanto pela direita, tendam para. E para que) (x ftenda para - , preciso ocorrer o mesmo. 14 Agora, vamos considerar uma situao diferente. Vamos analisar funes cujos valores de sada tendem para um nmero real L quando o mdulo de,, aumentam.ParaCompreendermosmelhorestasituao,vamosanalisarafunoeseurespectivo grfico: Pelogrficodafunoilustradoaolado,possvelnotar queosvaloresdesada) (x f ficamcadavezmais prximos 2 quanto quisermos, bastando escolher valores de entradaxsuficientemente grandes.Desta forma, podemos notar que:212 limxx De forma semelhante, vemos que os valores de sada) (x ftambmficamcadavezmaisprximosde2quandoos valoresdeentradax ficamcadavezmenores,ouseja, decrescem sem limites.Assim, temos que:212 limxx Atravsdesteexemplopossvelnotarquetambmpossvelestudaroslimitesquandoestesse afastam,emmdulo,infinitamente,enoapenasquandoosvaloresseaproximamdeumdeterminado ponto. E, neste caso, tambm possvel definir este conceito formalmente, como podemos ver a seguir: Definio:OlimiteL x fx) ( lim ,significaqueparatodo0 ,existeumnmero0 M talquese M x , ento| ) ( | L x f . Vamos interpretar esta definio graficamente, considerando duas retasL y . 15 De acordo com a definio anterior, se o valor de entradax maior do que algum nmero positivo M, o ponto)) ( , ( x f x Pno grfico desta funo estar entre as duas retas horizontaisL y . Intuitivamente, sabemosqueogrficodafunof ficarcadavezmaisprximodaretaL y ,medidaqueos valores de entradaxcrescem. Esta retaL y chamada de assntota horizontal do grfico da funo f . E, diferentemente da assntota vertical, um grfico pode interceptar uma assntota horizontal em algum momento. Nogrficoanterior,aparentementeafunof tendeparaaassntotaL y porbaixo,isto,com L x f ) ( . No entanto,o grfico de uma funo tambmpode tender paraL y por cima, ou seja, com L x f ) ( , ou ainda de outras maneiras, com) (x ftornando-se alternadamente maior e menor do que L, quandox , mas mesmo assim teremos uma assntota horizontal, caso a definio seja satisfeita. Deformasemelhante,sex grandeporemnegativamentetambmpodemosinstituirumadefinio formal, como vemos a seguir:Definio:OlimiteL x fx) ( lim ,significaqueparatodo0 ,existeumnmero0 N talquese N x , ento| ) ( | L x f . Interpretando esta definio graficamente, considerando duas retasL y , temos: Atravs do grfico, vemos que se o limiteL x fx) ( lim , dizemos que o limite desta funo) (x f , quando os valore de entrada xtendem para, os valores de sada se aproximam de um nmero realL, ou seja, o limite o nmero realL. Todososteoremaseresultadosvistosanteriormenteparalimitesdea x ,valemtambmparalimites quandox .Masagora,aseguirserapresentadoumteoremaqueextremamentetilparao estudoeresoluodeproblemasenvolvendolimitesdefunesracionaisquandoestesvalorestendem para o infinito.Teorema: SeQ k(k um nmero racional positivo) eIR c , ento: 0 limkxxce0 limkxxc desde que kxseja sempre definido. 16 E, para aplicar este teorema primeiramente necessrio dividir o numerador e o denominadorda funo ) (x f por nx ,onden amaisaltapotnciadex queaparecenodenominadordestafuno.E,s depois disso, aplicamos o teorema.EXEMPLO Determine 2 35 2lim22x x xx EXERCCIOS EM SALA (1) Determine 2 35 2lim42x x xx (2) Determine 2 35 2lim23x x xx EXERCCIOS PROPOSTOS (1) Para cada item de (a) a (d) onde temos funes) (x f , determine cada um dos seguintes:(i) ) ( lim x fa x(ii)) ( lim x fa x(iii)) ( lim x fa x Estes limites podem ser apenas limites que so, -ou NE (no existem). (a) 45) (xx f , com4 a(b) 3) 5 2 (8) (xx f , com 25a(c) 2) 9 2 (3) (x xx f , com 29a (d) 22) (22x xxx f , com1 a(2) Determine o limite, se existir: a) 7 2 61 3lim2 33x xx xxb) 12lim2xxx c) x xxx5 43 2lim32 d) 7 4 21 3 5lim22x xx xxe) xxx3 27 4limf) 3 22lim23xx xx