prof. jorge cálculo combinatório. prof. jorge princípios de contagem os elementos de um conjunto...

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Cálculo combinatório

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Princípios de contagem

Os elementos de um conjunto finito podem ser agrupados de várias formas, de acordo com os critérios utilizados na formação dos agrupamentos.

O objetivo do cálculo combinatório é determinar de quantas maneiras diferentes podem ser formados os vários tipos de agrupamentos.

Os processos de contagem se baseiam em dois princípios fundamentais, que passaremos a estudar agora.

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Princípio Aditivo de contagem;

Princípio multiplicativo de contagem.

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Princípio aditivo de contagem

Vamos considerar o seguinte problema

Suponhamos que para se deslocar de casa até o trabalho, uma pessoa tenha as seguintes alternativas:

Um de seus dois automóveis (A1 e A2);

Uma das três linhas de ônibus que fazem o trajeto (O1, O2 e O3);

O metrô (M).

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De quantas maneiras diferentes ela poderia escolher o seu transporte?

hipóteses:opções:

Automóvel

Ônibus

Metrô

ou

ou

A1 A2 O1 O2 O3 M

2 opções 3 opções 1 opção

Portanto, a pessoa pode ir para o trabalho de:

2 + 3 + 1 = 6 maneiras diferentes

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Suponhamos que existam duas hipóteses para ocorrer um evento. Se houver m opções para a primeira hipótese e n opções para a segunda hipótese, o evento pode ocorrer de m + n maneiras diferentes.Esse princípio se estende para o caso de três ou mais hipóteses.

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Princípio multiplicativo de contagem

Vamos considerar o seguinte problemaSuponhamos que um estudante pretenda escolher um conjunto tênis – calça - camiseta para ir à escola e que ele tenha como alternativas, Dois pares de tênis (T1 e T2);

Quatro calças jeans (J1, J2, J3 e J4);

Três camisetas (C1, C2 e C3).

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De quantas maneiras diferentes ela poderia fazer sua escolha?

Etapas:

opções:

Tênis Jeans

camiseta

e e

T1 T2 J1 J2 J3 J4 C1 C2 C3

2 opções 4 opções 3 opções

Portanto, a pessoa pode fazer sua escolha de:

2 . 4 . 3 = 24 maneiras diferentes

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Árvores de possibilidades

1ª etapa: escolha do

tênis

T1

J1


jeans

3ª etapa: escolha da camiseta

Resultado

J2

J3

C1

C2

C3

J4

C1

C2

C3

C1

C2

C3

C1

C2

C3

T1J1C1

T1J2C3

T1J3C1

T1J3C2

T1J3C3

T1J4C1

T1J4C2

T1J4C3

T1J2C2

T1J2C1

T1J1C3

T1J1C2

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Árvores de possibilidades


tênis

T2

J1


jeans

3ª etapa: escolha da camiseta

Resultado

J2

J3

C1

C2

C3

J4

C1

C2

C3

C1

C2

C3

C1

C2

C3

T2J1C1

T2J2C3

T2J3C1

T1J3C2

T2J3C3

T2J4C1

T2J4C2

T2J4C3

T2J2C2

T2J2C1

T2J1C3

T2J1C2

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Suponhamos que um evento se componha de duas etapas independentes. Se a primeira etapa pode ocorrer de m maneiras e a segunda etapa, de n maneiras, então, o evento pode ocorrer de m . n maneiras diferentes.Esse princípio se estende para o caso de três ou mais etapas.

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Os princípios aditivo e multiplicativo são a base para resolução de problemas de cálculo combinatório. Por isso, deve ficar muito clara a distinção entre os dois princípios. A conjunção ou liga duas hipóteses e está

associado à adição.

A conjunção e liga duas etapas e está associado à multiplicação.

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Exemplos

A cantina do meu colégio vende 4 tipos de salgados e 5 marcas de refrigerante. De quantas formas distintas posso escolher meu lanche (um salgado e um refrigerante)?

O evento se compõe de duas etapas:

escolha do salgado escolha do refrigerante

1ª etapa 2ª etapa

4 opções 5 opções

Pelo, P.M.C., temos 4 . 5 = 20 maneiras diferentes

e

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Exemplos

Uma igreja tem 4 portas. Quando vai lá, Marisa sempre entra por uma porta e sai por outra. De quantas formas diferentes ela pode fazer isso?


entrada saída

1ª etapa 2ª etapa


Pelo, P.M.C., temos 4 . 3 = 12 maneiras diferentes

e

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Exemplos

Valéria mora num país muito desenvolvido. Há várias estradas que ligam sua cidade A a duas cidades vizinhas B e C. Valéria vai muito à cidade B. Às vezes sem passar por C; outras vezes, passando primeiro por C. Quantos trajetos diferentes ela pode fazer?

A B

C

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Exemplos

Valéria mora num país muito desenvolvido. Há várias estradas que ligam sua cidade A a duas cidades vizinhas B e C. Valéria vai muito à cidade B. Às vezes sem passar por C; outras vezes, passando primeiro por C. Quantos trajetos diferentes ela pode fazer?

O evento se compõe de duas hipóteses:

A → B

1ª hipótese 2ª hipótese

4 trajetos

3 trajetosA → C

C → B 2 trajetos

ou

Valéria poderá fazer 4 + 6 = 10 trajetos diferentes.

e 2 . 3 = 6

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Exemplos

Utilizando apenas os algarismos 1, 3, 4, 6, 7, 8 e 9, quantos números podem ser formados, de 3 ou 4 algarismos?

O evento se compõe de duas hipóteses:

3 algarismos

1ª hipótese 2ª hipótese

4 algarismos

3 etapas 4 etapas

ou

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Exemplos


1º alg.

1ª etapa 2ª etapa 3ª etapa

2º alg. 3º alg.


Pelo, P.M.C., são 7.7.7 = 343 números de 3 algarismos

Números de 3 algarismos:

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Exemplos


1º alg.


2º alg. 3º alg.


Pelo, P.M.C., são 7.7.7.7 = 2 401 números de 4 algarismos

4ª etapa

4º alg.

7 opções

Podemos formar = 343 + 2 401 = 2 744 números

Números de 4 algarismos:

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Exemplos

Utilizando apenas os algarismos 1, 2, 4, 5, 7, e 9, quantos números naturais maiores que 7 000 e de 4 algarismos distintos podemos formar?

O evento se compõe de quatro etapas:

Pelo, P.M.C., temos 2.5.4.3 = 120 números

1º alg.


2º alg. 3º alg.


4ª etapa

4º alg.

3 opções

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Observação

Quando trabalhamos com os elementos de um conjunto, o princípio multiplicativo só é válido quando for importante a ordem de escolha dos elementos.

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Exemplo

A partir de um grupo de 4 pessoas (A, B, C e D), de quantas maneiras diferentes podemos formar uma comissão de 2 pessoas?


Pelo, P.M.C., temos 4.3 = 12 comissões (incorreto)

1ª etapa 2ª etapa


escolha do 1º membro

escolha do 2º membro

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Exemplo

A partir de um grupo de 4 pessoas (A, B, C e D), de quantas maneiras diferentes podemos formar uma comissão de 2 pessoas?

Veja as hipóteses reais

(A, B)(A, C)(A, D)(B, A)(B, C)(B, D)

(C, A)(C, B)(C, D)(D, A)(D, B)(D, C)

1ª comissão

2ª comissão3ª comissão

igual à 1ª

igual à 2ª

igual à 4ª

igual à 3ª

igual à 5ª

igual à 6ª4ª comissão

5ª comissão

6ª comissão

Na verdade, a comissão pode ser formada de 6 maneiras diferentes.

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Agrupamentos ordenados e não-ordenados

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Agrupamentos

O objetivo do cálculo combinatório é contar. É descobrir de quantas formas diferentes podem ser agrupados os elementos de um conjunto finito, sob certas condições definidas previamente.

Agrupamentos em que é importante a ordem em que seus elementos são dispostos são chamados agrupamentos ordenados.

Agrupamentos em que não é importante a ordem em que os elementos são dispostos são chamados agrupamentos não-ordenados.

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Exemplos

A partir de um grupo de 5 estudantes (A, B, C, D e E), quais são as possíveis maneiras de se formar uma comissão de 3 pessoas?

Pretende-se simplesmente escolher 3 pessoas entre as 5 disponíveis, não importando a ordem em que elas são dispostas.

{A, B, C}

Há 10 maneiras possíveis de se formar a comissão. Cada uma delas é um agrupamento não-ordenado.

{A, B, D} {A, B, E} {A, C, D} {A, C, E}

{A, D, E} {B, C, D} {B, C, E} {B, D, E} {C, D, E}

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Exemplos

A partir do mesmo grupo de 5 estudantes (A, B, C, D e E), quais são as possíveis maneiras de se formar a diretoria do grêmio estudantil, composta de presidente (P), vice-presidente (V) e tesoureiro (T)?

(A, B, C)(A, B, D)(A, B, E)(A, C, D)(A, C, E)(A, D, E)(B, C, D)(B, C, E)(B, D, E)(C, D, E)

(A, C, B)(A, D, B)(A, E, B)(A, D, C)(A, E, C)(A, E, D)(B, D, C)(B, E, C)(B, E, D)(C, E, D)

(B, A, C)(B, A, D)(B, A, E)(C, A, D)(C, A, E)(D, A, E)(C, B, D)(C, B, E)(D, B, E)(D, C, E)

(B, C, A)(B, D, A)(B, E, A)(C, D, A)(C, E, A)(D, E, A)(C, D, B)(C, E, B)(D, E, B)(D, E, C)

(C, A, B)(D, A, B)(E, A, B)(D, A, C)(E, A, C)(E, A, D)(D, B, C)(E, B, C)(E, B, D)(E, C, D)

(C, B, A)(D, B, A)(E, B, A)(D, C, A)(E, C, A)(E, D, A)(D, C, B)(E, C, B)(E, D, B)(E, D, C)

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Exemplos

Um grupo tem 5 pessoas (A, B, C, D, E). A seguir aparecem critérios para agrupá-los. Identifique se cada agrupamento é ordenado ou não-ordenado.

a) Escolher 3 pessoas para irem a uma festa.

b) Definir os 5 primeiros colocados num concurso.

c) Colocar 5 pessoas em fila.

d) Dar um mesmo presente a 4 dessas pessoas.

e) Dar 4 presentes diferentes a 4 dessas pessoas.

O

O

O

NO

NO

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Exemplos

Analise, em cada caso, se os agrupamentos são ordenados ou não-ordenados

a) Números de 3 algarismos, formados a partir dos algarismos 3, 4, 7, 8 e 9.

b) Códigos de 4 símbolos, escolhidos entre os elementos do conjunto {1, 3, 7, a, b, c}.

c) Grupos de 5 alunos, escolhidos entre os 40 de uma sala, para participarem de um evento.

Ord.

Ord.

N-Ord.

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Exemplos

Analise, em cada caso, se os agrupementos são ordenados ou não-ordenados

d) Formas diferentes de colocar 10 livros lado a lado, em uma prateleira.

e) Misturas obtidas juntando-se volumes iguais de 3 líquidos, escolhidos entre 6 disponíveis.

f) Retas que podem ser formadas, ligando-se 2 a 2 um conjunto de 5 pontos não-alinhados.

Ord.

N-Ord.

N-Ord.

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Permutação simples

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Quantas e quais são as formas diferentes que 4 pessoas (A, B, C, D) podem ser colocadas em fila?

No total são 24 maneiras diferentes.

Veja as possibilidades

ABCDBACDCABDDABC

ABDC ACBD ACDB ADBC ADCB

BADC BCAD BCDA BDAC BDCACABD CBAD CBDA CDAB CDBADACB DBAC DBCA DCAB DCBA

Dizemos que cada um desses agrupamentos ordenados é uma permutação simples de 4 elementos.

⇒ P4 = 24

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Permutação simples dos n elementos de um conjunto A é cada agrupamento ordenado que contém, sem repetição, os n elementos de A.

O número de permutações simples de n

elementos é indicado por Pn.

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Cálculo no total de permutação simples

A formação de todas as permutações simples de n elementos envolve n etapas, veja

A → n elementos

Etapas:

Opções:

E1 E2 E3 ... En

n n – 1 ...n – 2 1

Pn = n(n – 1)(n – 2). ... . 1

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Exemplos

O número de permutações simples de 6 elementos é

P6 = 6.5.4.3.2.1 = 720


P5 = 5.4.3.2.1 = 120


P4 = 4.3.2.1 = 24

P3 = 3.2.1 = 6

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Exemplos

Chama-se anagrama de uma palavra, toda “palavra” (com ou sem significado) obtida, trocando-se suas letras de posição. Consideremos todos os anagramas da palavra UNIVERSO.

a) Qual é o total de anagramas?b) Quantos começam por consoante e terminam por

vogal?c) Quantos têm as letras R, S, O juntas, nesta

ordem?d) Quantos têm as letras R, S, O juntas, em

qualquer ordem?

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Exemplos


a) Qual é o total de anagramas?

P8 = 8.7.6.5.4.3.2.1 = 40 320 anagramas

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Vogal Cons.

Exemplos


b) Quantos começam por consoante e terminam por vogal?

A palavra tem 4 vogais e 4 consoantes.

P6

4 . 4 . P6 = 11 520

4 opç. 4 opç.

= 4 . 4 . 6.5.4.3.2.1

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U RSO N I V E

Exemplos


c) Quantos têm as letras R, S, O juntas, nesta ordem?

P6

P6 = 6.5.4.3.2.1 = 720

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U RSO N I V E

P3

Exemplos


d) Quantos têm as letras R, S, O juntas, em qualquer ordem?

P6

P3 . P6 = 4320 = 6 . 6.5.4.3.2.1

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Arranjo simples

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Arranjo simples

Com os algarismos 2, 4, 5 e 8 vamos formar todos os números possíveis de 3 algarismos distintos. Qual o total deles?

Para formar cada número temos duas etapas:

Escolhemos3 algarismos

2, 4, 5

2, 4, 82, 5, 8

4, 5, 8

245 254 425 452 524 542

248 284 428 482 824 842258 285 528 582 825 852

458 485 548 584 845 854

Ordenamos os alg. escolhidos

Dizemos que cada um desses números é um arranjo simples de 4 elementos, tomados 3 a 3.

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Arranjo simples

Arranjo simples dos n elementos de um conjunto A, tomados p a p (p ≤ n), é cada agrupamento ordenado que contém, sem repetição, p elementos de A.

O número de arranjos simples de n

elementos, tomados p a p, é indicado por An,p.

No nosso exemplo, A4,3 = 24

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Cálculo no total de Arranjo simples

A formação de todos os arranjos simples de n elementos, tomados p a p, envolve p etapas, veja

A → vamos escolher p entre os n elementos.

Etapas:

Opções:

E1 E2 E3 ... Ep

n n – 1 ...n – 2 n – (p – 1)

An,p = n(n – 1)(n – 2). ... . (n – p + 1)

!!

pn

nA pn

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Cálculo no total de Arranjo simples

No cálculo de An,p é importante perceber os

significados de n e p.

n → primeiro fator An,p

p → número de fatores

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Exemplos

A4,3 = 4.3.2 = 241.º fator → 4

Número de fatores → 3

A8,5 = 8.7.6.5.4 = 6 7201.º fator → 8


An+1,3 = (n + 1)n(n – 1)1.º fator → n


An,p é o produto dos p números naturais consecutivos

tomados decrescentemente a partir de n.

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Exemplos

Formei todos os arranjos simples com os elementos de um conjunto A, tomados 2 a 2. Eram 90 arranjos. Quantos são os elementos de A?

An,2 = 90 ⇒ n(n – 1) = 90 ⇒ n = 10

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Exemplos

Utilizando-se, sem repetição, os algarismos 1, 3, 4, 5, 6, 7 e 9, quantos números distintos podemos formara) De 4 algarismos?b) Ímpares, de 3 algarismos?c) Maiores que 70 000?

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Exemplos

Utilizando-se, sem repetição, os algarismos 1, 3, 4, 5, 6, 7 e 9, quantos números distintos podemos formara) De 4 algarismos?

A7,4 = 7.6.5.4 = 840

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ímpar

Exemplos

Utilizando-se, sem repetição, os algarismos 1, 3, 4, 5, 6, 7 e 9, quantos números distintos podemos formarb) Ímpares, de 3 algarismos?

A6,2

5 opções

5 . A6,2 = 150 = 5 . 6.5

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Exemplos

Utilizando-se, sem repetição, os algarismos 1, 3, 4, 5, 6, 7 e 9, quantos números distintos podemos formarc) Maiores que 70 000?

Nesse caso, há três hipóteses:

1.ª hipótese: números de 5 algarismos

A6,4

2 opções (7 ou 9)

2 . A6,4 = 150 = 2 . 6.5.4.3

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Exemplos




A7,6 = 5 040 = 7.6.5.4.3.2

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Exemplos




A7,7 = P7 = 5 040 = 7.6.5.4.3.2.1

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Exemplos


1.ª hipótese: 720

2.ª hipótese: 5 040

3.ª hipótese: 5 040

Total: 720 + 5 040 + 5 040 = 10 800

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Exemplos

Um torneio de futebol é disputado por 8 equipes: A, B, C, D, E, F, G e H.

a) Quantas são as alternativas de definição dos 4 primeiros colocados?

b) Se a equipe E já foi declarada campeã antecipadamente, quantas são as alternativas de definição do 2.º ao 4.º colocado?

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Exemplos

Um torneio de futebol é disputado por 8 equipes: A, B, C, D, E, F, G e H.

a) Quantas são as alternativas de definição dos 4 primeiros colocados?

A8,4 = 1 680 = 8.7.6.5

b) Se a equipe E já foi declarada campeã antecipadamente, quantas são as alternativas de definição do 2.º ao 4.º colocado?

A7,3 = 210 = 7.6.5

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Combinação simples

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Tenho 5 amigos (A, B, C, D, E) e quero convidar 3 deles para a festa de meu aniversário. Quantas alternativas tenho?

O meu problema é escolher apenas 3 dos 5 amigos.

Dizemos que cada um desses agrupamentos é uma combinação simples de 5 elementos, tomados 3 a 3.

{A, B, C} {A, B, D} {A, B, E} {A, C, D} {A, C, E}

{A, D, E} {B, C, D} {B, C, E} {B, D, E} {C, D, E}

No total são 10 maneiras diferentes. ⇒ C5,3 = 10

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Combinação simples dos n elementos de um conjunto A, tomados p a p (p ≤ n), é cada agrupamento não-ordenado que contém, sem repetição, p elementos de A.

O número de combinações simples de n

elementos, tomados p a p, é indicado por Cn,p.

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Cálculo no total de Combinações simples

O cálculo do número de combinações simples está relacionado ao cálculo do número de arranjos simples e de permutações simples.

A formação de arranjos simples envolve duas etapas:

1ª etapa

Formação das combinações

simples

2ª etapa

Formação das permutações

simples

Resultado

Formação dos arranjos simples

Cn,p . Pp = An,p ⇒ Cn,p =An,p

Pp

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P2

10.9.8.7

4.3.2.1

A10,4

P4

12.11.10

3.2.1

A12,3

P3

(n – 1).(n – 2)

2

An – 1,2

Exemplos

C10,4 = = = 210

C12,3 = = = 220

Cn – 1,2 = =

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Exemplos

Duas pessoas de um grupo de amigos serão escolhidas para cuidarem dos preparativos de uma festa. A escolha pode ser feita de 21 modos diferentes. Quantas pessoas há no grupo?

P2

n.(n – 1)

2

Cn,2 = 21An,2

= 21⇒

= 21⇒

n.(n – 1) = 42⇒ n = 7⇒

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Exemplos

Um grupo é formado por 7 alunos e 4 professores. De quantos modos pode-se formar uma comissão de:

a) 5 pessoas?b) 7 pessoas, com exatamente 3 professores?c) 4 pessoas, com pelo menos 3 professores?d) 3 pessoas, com pelo menos 1 professor?

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11.10.9.8.7

5.4.3.2.1

A11,5

P5

Exemplos


a) 5 pessoas?

C11,5 = = = 462

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7.6.5.4

4.3.2.1

4.3.2

3.2.1

Exemplos


b) 7 pessoas, com exatamente 3 professores?

C7,4 . C4,3 = .

1ª etapa

Escolher 4 alunos

2ª etapa

Escolher 3 professores

= 35 . 4 = 140

C7,4 C4,3

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Exemplos


c) 4 pessoas, com pelo menos 3 professores?

7C7,1 . C4,3 = .

1ª etapa

Escolher 1 aluno

2ª etapa


4.3.2

3.2.1= 7 . 4 = 28

Temos 2 hipóteses:

1ª hipótese:

C7,1 C4,3

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Exemplos


c) 4 pessoas, com pelo menos 3 professores?

C4,4 =


4.3.2.1

4.3.2.1= 1

Pelo princípio aditivo, 28 + 1 = 29 maneiras

Temos 2 hipóteses:

2ª hipótese:

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Exemplos


d) 3 pessoas, com pelo menos 1 professor?

C11,3 =11.10.9

3.2.1= 165

Total de comissões de

3 pessoas

Total de comissões de 3 pessoas, só

com alunosmenos

C7,3 =7.6.5

3.2.1= 35

165 – 35 = 130 maneiras.

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Exemplos

Duas retas r e s são paralelas. Tomam-se 5 pontos em r e 6 pontos em s. Com vértices nesses pontos, quantos triângulos e quantos quadriláteros convexos podemos construir?

Veja a ilustração da situação.

r

s

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Exemplos


Total de triângulos.

(2 pontos de r e 1 de s) ou (1 ponto de r e 2 de s)

C5,2 . C6,1

5.4

2.1. 6

C5,1 . C6,2+

6.5

2.15 .

C5,2 . C6,1 + C5,1 . C6,2 = 60 + 75 = 135

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Exemplos


Total de quadriláteros é obtido escolhendo-se 4 pontos, sendo 2 de r e 2 de s.

C5,2 . C6,2 =5.4

2.1

6.5

2.1. = 10. 15 = 150

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Distinguindo permutações, arranjos e combinações simples

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Arranjos, combinações ou permutações?

ArranjoOrdenadoEscolher e ordenar

os escolhidos

CombinaçãoNão-ordenadoSó escolher os

elementos

PermutaçãoOrdenadoSó ordenar os

elementos (todos)

Nome do agrupamento

Tipo de agrupamento

Critério de formação

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