matemÁtica financeira prof jorge blanes naippe usp 2003

MATEMÁTICA FINANCEIRA

PROF JORGE BLANESNAIPPE USP

2003

CONCEITOS BÁSICOS JURO (J): É a remuneração do capital

empregado. CAPITAL (PV): É qualquer valor expresso em

moeda e disponível em determinada época. TAXA DE JUROS (i): É a razão entre os juros

recebidos (ou pagos) no final de um certo período de tempo e o capital inicialmente aplicado (ou emprestado).

PVJ i

CONCEITOS BÁSICOS (Cont.)

CAPITALIZAÇÃO SIMPLES: É aquela em que a taxa de juros incide somente sobre o capital inicial, ou seja, não incide sobre os juros acumulados. Neste regime, a taxa varia linearmente em função do tempo.

Onde:J = valor dos juros i = tx. de jurosPV = Capital Inicial ou Principal n = prazo

n x iPV x J

EXEMPLO DE JUROS SIMPLES

Período(n)

Capital (PV) Juro por Período (J)

Juros Acumulados

0 100,00 - -

1 110,00 10,00 10,00

2 120,00 10,00 20,00

3 130,00 10,00 30,00

4 140,00 10,00 40,00


MONTANTE (F): É a soma do capital inicial mais os juros referentes ao período da aplicação.

No regime de capitalização simples, temos:

n) x i (1PV FV n) x i(PV x PV FV

J PV FV


VALOR ATUAL (PV): É o valor do capital que, aplicado a dada taxa e a dado prazo, nos dá um montante conhecido (FV).Fórmula (no regime de capitalização simples):

n) x i (1FV PV

n) x i (1PV FV

CONCEITOS BÁSICOS (Cont.) TAXA DE JUROTAXA DE JURO UNITÁRIA REPRESENTA A REMUNERAÇÃO DE UMA

UNIDADE DO PRINCIPAL. É UTILIZADA NA RESOLUÇÃO DE FÓRMULAS FINANCEIRAS.

TAXA DE JURO PERCENTUAL REPRESENTA A REMUNERAÇÃO DE CEM

UNIDADES DO PRINCIPAL. É UTILIZADA NAS NEGOCIAÇÕES REALIZADAS NO MERCADO FINANCEIRO, NAS PUBLICAÇÕES DE TAXAS DE JURO E NAS FUNÇÕES FINANCEIRAS DE CALCULADORAS.

CONCEITOS BÁSICOS (Cont.) TAXA DE JUROTAXA DE JURO NOMINAL TAXA DE JURO NOMINAL, SIMPLES OU LINEAR TEM

COMO BASE DE CÁLCULO A PROGRESSÃO ARITMÉTICA; TODAS AS CONVERSÕES DE PRAZO SÃO REALIZADAS POR INTERMÉDIO DE MULTIPLICAÇÕES E DIVISÕES;

TAXA DE JURO EFETIVA TAXA DE JURO EFETIVA, EXPONENCIAL OU COMPOSTA

TEM COMO BASE DE CÁLCULO A PROGRESSÃO GEOMÉTRICA; TODAS AS CONVERSÕES DE PRAZO SÃO REALIZADAS POR INTERMÉDIO DE EXPONENCIAÇÕES.


CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA: É aquela em que a taxa de juros incide somente sobre o capital inicial, acrescido dos juros acumulados até o período anterior. Neste regime, o valor dos juros cresce em função do tempo.

EXEMPLO DE JUROS COMPOSTOS

Período(n)

Capital (PV) Juro por Período (J)

Juros Acumulados

0 100,00 - -

1 110,00 10,00 10,00

2 121,00 11,00 21,00

3 133,10 12,10 33,10

4 146,41 13,31 46,41


MONTANTE (no regime de capitalização composta): Em juros compostos, calcula-se o fator que será multiplicado pelo principal para determinar o montante (FV). A expressão (1 + i)n é o Fator de Acumulação de Capital para um único pagamento de valor futuro.

ni) (1PV FV


VALOR ATUAL (no regime de capitalização composta): Em juros compostos, o Valor Atual (PV) é obtido mediante a fórmula do montante (FV).

Onde é o Fator de Valor Atual ou Valor Presente

nn

i) (1FV PV i) (1PV FV

ni) (11


JUROS SIMPLES x JUROS COMPOSTOS:Juros Simples x Juros Compostos

0

100

200

300

400

500

600

(Prazo)

(%)

J. Simples J. Compostos

DESCONTO CONCEITO: Desconto é a diferença entre o Valor

Nominal de um título e o Valor Atual na data da operação. É, portanto, a quantia que deve ser subtraída do Valor Nominal correspondente à antecipação do resgate.

DESCONTO SIMPLES: É obtido em função de cálculos lineares.

PV -FV D

DESCONTO SIMPLES DESCONTO SIMPLES COMERCIAL (ou Bancário):

É o tipo de desconto mais utilizado no Brasil. Os juros são pagos antecipadamente.

Em desconto comercial, o Valor Descontado ou Valor Presente (PV) pode ser obtido mediante a seguinte fórmula:

n x iFV x D

n) x i - (1FV x PV n) x i(FV x -FV PV

D -FV PV

DESCONTO SIMPLES (Cont.) DESCONTO SIMPLES RACIONAL: Esse tipo de

desconto NÃO é utilizado no Brasil. Com isso, não será tratado nesta disciplina.

nPV x D i n x iPV x D

DESCONTO COMPOSTO DESCONTO COMPOSTO: É obtido em função de

cálculos exponenciais. Da mesma forma que o desconto simples, há dois tipos de Desconto Composto: o desconto composto comercial e desconto composto racional.

DESCONTO COMPOSTO COMERCIAL: NÃO possui nenhuma utilização no Brasil. Portanto, também não iremos aborda-lo nesta disciplina.

DESCONTO COMPOSTO (Cont.) DESCONTO COMPOSTO RACIONAL: Representa a

diferença entre o Valor Futuro (F) e o Valor Atual (P) de um título, tendo-se, assim, uma aplicação bastante utilizada em análises de projetos.

n

n

i) (1FV -FV D

i) (1FV PV

PV -FV D

DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA

É a representação gráfica de um conjunto de entradas e saídas de dinheiro (caixa) ao longo de um certo período de tempo.

Onde: entradas de caixa saídas de caixa

0 1 2 3 N n

(-) PV0

PMT2

PMT1 PMT3 PMTN

(+)

SÉRIES UNIFORMES DE PAGAMENTOS

Nas operações financeiras, o capital (PV) pode ser pago ou recebido de uma só vez ou por intermédio de uma série de pagamentos ou recebimentos (PMT). Referidos pagamentos ou recebimentos (PMT) podem ser postecipados (ao final de cada período) ou antecipados (no início de cada período).

Em vez de fazermos uma demonstração teórica das fórmulas, para a seguir aplicá-las na solução de problemas, faremos o inverso, ou seja, partiremos do desenvolvimento e da solução de casos práticos para chegarmos às fórmulas.


(Termos Postecipados)


(Termos Postecipados – Cont.)Exemplo: Determinar o valor do montante, no final do 5° mês, de uma série de 5 aplicações mensais, iguais e consecutivas, no valor de $ 100,00 cada uma, a uma taxa de 4% ao mês, sabendo-se que a primeira parcela é aplicada no final do primeiro mês, ou seja, a 30 dias da data tomada como base (momento zero) e que a última, no final do 5° mês, é coincidente com o momento em que é pedido o montante.

0 1 2 3 4 5

100 100 100 100 100

i = 4% am FV = ?

O montante (FV) de cada aplicação (PMT) no final do 5° mês, pode ser obtido pela seguinte fórmula:

Assim, os montantes das 5 aplicações são:


(Termos Postecipados – Cont.)

ni) (1PV FV

541,63 FV100,00 (1,04) 100,00 FV

104,00 (1,04) 100,00 FV

108,16 (1,04) 100,00 FV

111,49 (1,04) 100,00 FV

116,98 (1,04) 100,00 FV

total

05

14

23

32

41

Ou seja:

Como o valor 100,00 é constante em todos os termos, pode ser colocado em evidência:

ou



01234t (1,04) 100 (1,04) 100 (1,04) 100 (1,04) 100 (1,04) 100 FV

](1,04) (1,04) (1,04) (1,04) [(1,04) 100,00 FV 01234t

](1,04) (1,04) (1,04) (1,04) [(1,04) 100,00 FV 43210t

Como a série (1,04)0 + (1,04)1 + (1,04)2 + (1,04)3 + (1,04)4 representa a soma de uma progressão geométrica de razão 1,04, podemos aplicar a seguinte fórmula:

Onde:a1 = o primeiro termo da série;

n = o número de termos;q = a razão



1 - qa - q x a S 1

n1

pg

Sabendo-se que:a1 = (1,04)0 = 1

n = 5q = 1,04

Temos:



541,63 5,41625 x 100,00 04,0

0,21665 x 100,00 FV

04,01 - (1,04) x 100,00

1 - 1,041 - (1,04) x 1 x 100,00 FV

t

55

t

Substituindo os valores numéricos pelos seus símbolos, ou seja, PMT = 100,00; n = 5 e i = 0,04, temos a seguinte fórmula genérica:

Esta fórmula é utilizada para obter o valor do montante (FV), quando são conhecidos o valor das prestações (PMT), a taxa (i) e o número de prestações (n).

Onde: é o FAC-Fator de Acumulação de Capital.



i1 - i) (1 PMT FV

n

t

i1 - i) (1 n

Quando a incógnita for o valor das prestações (PMT), basta fazer a inversão, do seguinte modo:

Onde: é o FFC-Fator de Formação de Capital.



1 - i) (1iFV PMT

n

1 - i) (1i

n



Da mesma forma que deduzimos o FAC-Fator de Acumulação de Capital, vamos deduzir o FVA-Fator de Valor Atual, ou seja, partiremos do seguinte problema prático:Exemplo: Qual o valor que, financiado à taxa de 4% ao mês, pode ser pago em 5 prestações mensais, iguais e sucessivas de $ 100,00 cada uma?

0 1 2 3 4 5

100 100 100 100 100

PV = ? i = 4% am

Cada prestação (PMT = $ 100,00) representa o valor futuro (FV) individual de um capital inicial (PV) que desconhecemos, aplicado à taxa de 4% ao mês, e os prazos que vão de 1 a 5 meses.O que queremos é determinar o capital inicial ou o valor presente (PV) dessas prestações no “momento zero”.Como já vimos, a fórmula para cálculo do valor atual (PV) é obtida a partir da fórmula do montante (FV), como segue:



nnn

i) (11FV x PV

i) (1FV PV i) (1PV FV

Assim, os valores presentes (PV) das 5 prestações são:



445,18 PV

82,19 0,82193 x 100,00 (1,04)

1 x 100,00 PV

85,48 0,85480 x 100,00 (1,04)

1 x 100,00 PV

88,90 0,88900 x 100,00 (1,04)

1 x 100,00 PV

92,46 0,92456 x 100,00 (1,04)

1 x 100,00 PV

96,15 0,96154 x 100,00 (1,04)

1 x 100,00 PV

t

55

44

33

22

11

Ou seja:

Colocando o valor 100,00 em evidência, temos:



54321t1,04

1 100 1,04

1 100 1,04

1 100 1,04

1 100 1,04

1 100 PV

54321t (1,04)

1 (1,04)

1 (1,04)

1 (1,04)

1 (1,04)

1 100,00 PV

Os termos que aparecem dentro dos colchetes constituem uma soma de uma PG de razão .

Aplicando-se o MMC-Mínimo Múltiplo Comum, tem-se (1,04)5, que é o número divisível por qualquer um dos denominadores da série.Assim, temos:



1,041

5

01234

t )04,1((1,04) (1,04) (1,04) (1,04) (1,04) 100,00 PV

Aplicando-se a fórmula de soma de uma PG ,temos:



1 - qa - q x a S 1

n1

pg

445,18 4,45182 x 100,00 0,04 x 21665,1

1 - 1,21665 100,00 PV

0,04 x (1,04)1 - (1,04) 100,00

1,04104,1

1 - (1,04) x 1

100,00 PV

t

5

5

5

5

t

O numerador da expressão entre colchetes constitui-se numa soma de uma PG, de razão 1,04, com número de termos igual a 5. Esta série, escrita em ordem inversa, tem como primeiro termo o número 1, ou seja (1,04)0.Substituindo os valores numéricos pelos respectivos símbolos, temos a seguinte fórmula genérica:

Onde: é o FVA-Fator de Valor Atual.



i x i) (11 - i) (1 PMT PV n

n

t

i x i) (11 - i) (1

n

n

Esta fórmula é utilizada para se obter o capital inicial (PV), conhecendo-se o valor das prestações (PMT), a taxa de juros (i) e o prazo (n).Quando a incógnita for o valor das prestações (PMT), basta fazer a inversão, do seguinte modo:

Onde: é o FRC-Fator de Recuperação de Capital.



1 - i) (1i x i) (1PV PMT

i x i) (11 - i) (1

PV PMT i x i) (11 - i) (1 PMT PV n

n

n

nn

n

1 - i) 1(i x i) (1

n

n

Do mesmo modo que fizemos para Termos Postecipados (ou vencidos), faremos em Termos Antecipados, ou seja, partiremos de um exemplo semelhante àquele considerado para a demonstração do FAC-Fator de Acumulação de Capital.

Todos os problemas para Termos Antecipados poderão ser resolvidos a partir dos fatores definidos para Termos Vencidos, bastando multiplicá-los (ou dividí-los) por (1+i).


(Termos Antecipados)

Exemplo: Qual o montante, no final do 5° mês, resultante da aplicação de 5 prestações iguais, mensais e consecutivas de $ 100,00, à taxa de 4% ao mês, sabendo-se que a primeira aplicação é feita hoje (data do contrato).


(Termos Antecipados – Cont.)

i = 4% am FV = ?

0 1 2 3 4 5

100 100 100 100 100

Sabendo-se que o montante (FV) é o somatório dos montantes individuais de cada prestação, e que a primeira aplicação feita no momento “zero” é capitalizada por 5 períodos, a segunda por 4, a terceira por 3, e assim sucessivamente, podemos escrever:



](1,04) (1,04) (1,04) (1,04) [(1,04) 100,00 FV 12345t

Utilizando-se , temos:

Substituindo-se os valores numéricos pelos símbolos, temos:



1 - qa - q x a S 1

n1

pg

563,30 5,41632 x 1,04 x 100,00 04,0

1 - (1,04) 1,04 x 100,00 FV

04,01 - (1,04) 1,04 x 100,00

1 - 1,041,04 - (1,04) x 1,04 x 100,00 FV

5

t

55

t

i1 - i) (1 i) (1 PMT FV

n

Caso a incógnita do problema seja as prestações (PMT), conhecendo-se o montante (FV), a taxa de juros (i) e o prazo (n), a fórmula para a sua solução pode ser obtida fazendo-se a seguinte inversão:



1 - i) (1i

i) (11FV PMT

i1 - i) (1 i) (1 PMT FV n

n

Considerando-se que ,

e que ,temos (pela substituição de FV):



ni) (11FV PV

i1 - i) (1 i) (1 PMT FV

n

i x i) (11 - i) (1 i) (1 PMT PV

i) (11 x

i1 - i) (1 i) (1 PMT PV

n

n

n

n

Caso a incógnita do problema seja o valor da prestação (PMT), a fórmula necessária para a solução pode ser obtida como segue:



1 - i) (1i x i) (1

i) (11PV PMT

i x i) (11 - i) (1 i) (1 PMT PV

n

n

n

n

Os Sistemas de Amortizações são utilizados em diversos tipos de empréstimos e financiamentos. No Brasil, os mais conhecidos são os utilizados nos financiamentos do BNDES e no SFH-Sistema Financeiro da Habitação para financiamento de casa própria, onde se utiliza o Sistema Francês (ou Tabela Price), o Sistema de Amortização Constante (Tabela SAC) ou o Sistema de Amortização Mista (Tabela SAM).

SISTEMAS DE AMORTIZAÇÕES

Desenvolvido pelo inglês Richard Price, inicialmente utilizado na França, que consiste na tomada de um financiamento para pagamento de prestações fixas, periódicas e iguais:

A fórmula é a seguinte:

SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO (Tabela Price)

1 - i) (1i x i) (1PV PMT n

n

PV = valor financiado

0 1 n

PMT = ?

Exemplo: Um financiamento no valor de R$ 1.000.000,00 é tomado à taxa de 15% ao semestre, para pagamento em 5 prestações semestrais, iguais e sucessivas, calculadas pelo Sistema Francês de Amortização. Calcular o valor das prestações, os valores das parcelas de juros e das amortizações do principal a cada período.


Cont.

298.315,55 1 - 0,15) (1

0,15 x 0,15) (1 1.000.000 PMT

1 - i) (1i x i) (1PV PMT

5

5

n

n


Cont.

n Sd. Devedor Juros Amortização Prestação

0 1.000.000,00 - - -

1 851.684,45 150.000,00 148.315,55 298.315,55

2 681.121,57 127.752,67 170.562,88 298.315,55

3 484.974,25 102.168,24 196.147,31 298.315,55

4 259.404,84 72.746,14 225.569,41 298.315,55

5 0,02 38.910,73 259.404,82 298.315,55

Elaborando-se a Tabela Price, temos:

O Sistema de Amortização Constante (SAC), como o próprio nome diz, é caracterizado por possuir os valores das amortizações constantes no tempo, e não mais o valor das prestações.

O mecanismo de cálculo é semelhante ao Sistema Francês.

O valor da amortização é obtido dividindo-se o valor da dívida pelo número de prestações.

SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (Tabela SAC)

SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (Tabela SAC)

Cont.


0 1.000.000,00 - - -

1 800.000,00 150.000,00 200.000,00 350.000,00

2 600.000,00 120.000,00 200.000,00 320.000,00

3 400.000,00 90.000,00 200.000,00 290.000,00

4 200.000,00 60.000,00 200.000,00 260.000,00

5 0,00 30.000,00 200.000,00 230.000,00

Elaborando-se a Tabela SAC, temos:

O Sistema de Amortização Mista (SAM), foi criado para “amenizar” os valores iniciais das prestações do SAC.

O SAM é a média aritmética dos valores encontrados no Sistema Francês e no Sistema SAC.

SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTA (Tabela SAM)

SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTA (Tabela SAM)

Cont.


0 1.000.000,00 - - -

1 825.842,22 150.000,00 174.157,78 324.157,78

2 640.560,78 123.876,34 185.281,44 309.157,78

3 442.487,12 96.084,12 198.073,66 294.157,78

4 229.702,41 66.373,07 212.784,71 279.157,78

5 0,01 34.455,36 229.702,40 264.157,78

Elaborando-se a Tabela SAM, temos:

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MUITO GRATO

PROF JORGE BLANES

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