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FORMAÇÃO DE PROFESSORES

Caderno Bimestral I

Matemática Ensino Fundamental II

O programa Ação Educação da Fundação Vale tem como objetivo contribuir para o desenvolvimento humano nos territórios onde atua, apoiando os municípios em ações que contribuam para fomentar a justiça social e promover a inclusão no mercado de trabalho da forma mais equânime possível.

Diretora FunDação ValeIsis Pagy

Gerente - Geral De eDucação FunDação ValeJoaquim Antônio Gonçalves

equipe De eDucação FunDação ValeAndreia PrestesAnna Cláudia Eutrópio B. d’AndreaCláudia CostaLílian Neves

apoio eDitorialDepartamento de Comunicação Corporativa Vale

parceiro Comunidade Educativa CEDAC

projeto GráFico e DiaGramaçãoCrama Design Inventum Design

I I Matemática – Caderno Bimestral I

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A resolução de situações-problema como estratégia didática de ensino e aprendizagem em Matemática

Professor(a)

Neste primeiro bimestre, teremos a oportunidade de trocar experiências sobre como foram os nossos percursos pessoais até nos formarmos professores de Matemática.

A partir da tabela com os níveis da escala de desempenho de Matemática, vamos identificar em que medida os percentuais indicados como resultados das avaliações nacionais podem favorecer as aná-lises das necessidades de aprendizagens dos nossos alunos. E, conjuntamente, criaremos um propó-sito para a nossa formação pautado num projeto de desenvolvimento profissional contínuo, atrelado às características do mundo contemporâneo, com o intuito de melhorar a qualidade da educação em nosso país.

Enquanto tema principal, vamos abordar a resolução de problemas como estratégia didática de ensino e aprendizagem em Matemática.

Espera-se desenvolver e/ou ampliar as seguintes competências docentes neste bimestre:

n Reconhecer a importância da formação apoiada na prática docente, no conhecimento de pesquisas educacionais e documentos oficiais e na troca de experiências entre seus pares e formadores.

n Desenvolver estratégias de ensino que privilegiem a criatividade e a autonomia do pensamento matemático dos educandos, por meio da resolução de problemas e com maior ênfase nos conceitos do que nas técnicas.

n Refletir sobre a importância do planejamento de situações que privilegiem o trabalho coletivo entre os alunos como oportunidade para que os conhecimentos sejam construí-dos e socializados coletivamente.

Formação de Professores

2

Neste encontro, você participará de situações nas quais abordaremos os se-guintes conteúdos:

n Resultados da Prova Brasil de alunos do 9o ano, em 2009.n Formas de organização dos alunos na resolução de problemas: trabalho individual,

trabalho em pequenos grupos, trabalho coletivo.n O recurso à resolução de problemas.

n Diferenciação entre problema e exercício.

Competência docente se refere ao professor, à interação entre os conhecimentos e habilidades, atitudes e comportamentos que precisa ter para desempenhar seu papel de ensinar com eficácia.

Competência discente se refere aos alunos. Cabe à escola contribuir para que eles desenvolvam habilidades e competências que lhes permitam trabalhar com o conhecimento, com a informação, para saber lidar com ela, selecionar, criticar, comparar, tirar conclusões. É importante também desenvolver a autoconfiança, a perseverança, a competência para se relacionar e o autocontrole nas situações adversas.


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Encontro PresencialDuração: 4h

Para começo de conversa Duração: 40min

O que já vivemos... Vamos começar este encontro relembrando os possíveis motivos que nos trouxeram até aqui. Por que você decidiu ser professor? E por que escolheu esta área do conhecimento? Você teve boas experiências com a Matemática enquanto era estudante? Você teve algum professor que lhe inspirou? Prepare-se para compartilhar essa experiência com seus colegas.

n Cada educador deverá se apresentar ao grupo e relatar os motivos que o levaram a escolher a pro-fissão de professor de Matemática.

Atividade de contextualização Duração: 30min

A proposta desta atividade é analisar como alguns resultados das avaliações oficiais do Brasil podem fornecer indicadores sobre as necessidades de ações específicas em relação ao ensino da Matemática em nosso país.

MatemáticaAnos iniciais - Ensino Fundamental Anos Finais - Ensino Fundamental

Nível Pontos na escala Percentual (%) Nível Pontos na escala Percentual (%)

Nível 12 400 ou mais 0 Nível 12 maior que 400 0,0

Nível 11 375 a 400 0,0 Nível 11 375 a 400 0,0

Nível 10 350 a 375 0,0 Nível 10 350 a 375 0,0

Nível 9 325 a 350 0,0 Nível 9 325 a 350 1,8

Nível 8 300 a 325 0,0 Nível 8 300 a 325 5,2

Nível 7 275 a 300 0,0 Nível 7 275 a 300 5,2

Nível 6 250 a 275 0,0 Nível 6 250 a 275 8,6

Nível 5 225 a 250 0,8 Nível 5 225 a 250 12,1

Nível 4 200 a 225 5,2 Nível 4 200 a 225 25,8

Nível 3 175 a 200 20,5 Nível 3 175 a 200 27,6

Nível 2 150 a 175 34,2 Nível 2 150 a 175 12,0

Nível 1 125 a 150 17,0 Nível 1 125 a 150 1,7

Nível 0 125 ou menos 22,2 Nível 0 125 ou menos 0,0

Média da Escola: Nível 2 (154,36 pontos) Média da Escola: Nível 4 (217,55 pontos)

provabrasil.inep.gov.br


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A respeito desses dados, vamos refletir mais profundamente sobre o porquê de nos envolvermos con-tinuamente em atividades formativas para o desenvolvimento das nossas competências profissionais.

1. Individualmente, analise os dados da tabela anterior. Ela apresenta os resultados percentuais, rela-cionados aos “níveis da escala de desempenho de Matemática”, obtidos na Prova Brasil 2009 pelos estudantes de uma escola do estado do Pará.

2. O que mais chamou a sua atenção nesta tabela? Você considera satisfatórios os resultados dessa escola? A média da escola – nos Anos Finais do Ensino Fundamental – é 217,55 – nível 4. O que ela indica?

Somando-se os percentuais dos níveis 5, 6, 7, 8 e 9, o resultado é 32,9 – o que significa que somente essa quantidade de alunos atingiu níveis superiores a 4. O que esse resultado representa?

3. Discuta com seus colegas de grupo as suas reflexões e respostas.

4. Consultem o documento Descrição dos níveis da escala de desempenho em Matemática no Ensino Fun-damental – Saeb, presente ao final desta publicação.

n Localize no documento o nível 4 (que é a média da escola do Pará utilizada como exemplo) e iden-tifique quais são as competências e habilidades que esses alunos demonstram ter desenvolvido.

n Observe os níveis superiores àquele em que se localiza essa escola (5, 6, 7, 8 e 9) e identifique quais foram as competências e habilidades não desenvolvidas pelos alunos da escola em análise.

n Há, ainda, três níveis que não foram atingidos por nenhum aluno dessa escola. Identifique as competências e habilidades que são contempladas em tais níveis.

n Como você vê os resultados da escola agora?

n Você julga que as informações obtidas a partir de uma análise assim permitem que se tracem metas para a melhoria da aprendizagem dos alunos em Matemática?

n Nesse contexto, você considera a formação continuada um dos fatores que podem favorecer a transformação dos resultados?

Sugestão

Caso isso ainda não tenha sido realizado, você pode propor à equipe da escola em que atua a realiza-ção de uma análise de dados similar à que foi feita na atividade, com foco nos resultados da sua escola e município. (Dados disponíveis em: provabrasil.inep.gov.br).


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A prática em questão Duração: 2h30min

Momento 1 – A interação entre pares Duração: 60min

A interação entre pares refere-se às diferentes interações que ocorrem nas aulas de Matemática no âmbito da resolução de problemas:n as interações dos alunos com o problema;n as interações dos alunos com o docente a respeito do problema proposto; n as interações dos alunos entre si.

O trabalho a ser desenvolvido neste momento, utilizando como estratégia de ensino a resolução de problemas, proporcionará a vivência de três situações distintas, que são o trabalho individual, em sub-grupos e coletivo, consideradas importantes no processo de ensino e aprendizagem.

1. Resolva o problema que segue, individualmente, utilizando as estratégias de resolução que julgar necessárias. Registre os procedimentos que forem utilizados.

Se, para conseguir certa tonalidade de azul, um pintor usa 2 latas de tinta branca para 5 latas de tinta azul-escuro, então quantas latas de tinta branca ele precisa para diluir em 25 latas de tinta azul-escuro?

2. Agora o trabalho será realizado em pequenos grupos, de aproximadamente 4 professores, indepen-dentemente da série em que lecionam. Cada participante deverá compartilhar sua estratégia de re-solução com os seus pares e justificar os procedimentos utilizados. Mesmo que alguns participantes tenham pensado e repensado em como resolver o problema, e outros o tenham considerado muito fácil, é importante que compartilhem suas tentativas. Após as apresentações, em consenso, o grupo deve escolher uma estratégia de resolução para socializar com o grande grupo na terceira etapa.

3. Agora a reflexão será coletiva: um participante de cada subgrupo deve apresentar a resolução do problema (escrevendo-a na lousa) e justificar as estratégias utilizadas.

n Todos os participantes conseguiram resolver o problema? Foram utilizadas as mesmas estraté-gias? Quantas estratégias diferentes apareceram? Há uma única forma de resolver esse proble-ma? Qual a mais utilizada pelos alunos de suas turmas?

n A partir das variadas possibilidades de resolução, identifique quais habilidades estão envolvidas nessa situação-problema, consultando os descritores de avaliação da Prova Brasil, propostos na publicação Formação de Professores – Metodologia.


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4. Nesta etapa final (do 1° momento), trataremos de refletir sobre a importância das interações entre pares, com base nas discussões realizadas anteriormente e na sua atuação como professor de Matemática.

Este momento será para realizar reflexões individualmente, a partir das etapas vivenciadas anteriormen-te. Use este quadro abaixo como modelo e complete-o com suas respostas.

O que e como aconteceu? Refletindo sobre a sua prática...

A primeira etapa foi individual – cada participante procurou resolver da sua maneira o problema proposto.

Esse tipo de situação ocorre em suas aulas, quando você utiliza a resolução de problemas?

Indique algumas possibilidades que o trabalho individual favorece em termos de aprendizagem.

A segunda etapa foi realizada em pequenos grupos – momento em que foi possível socializar com alguns colegas as estratégias individuais.

Você considera esse momento importante? Você costuma incentivar discussões em pequenos grupos nas suas aulas? Há situações de resolução de problemas em que os alunos são convidados a trocar experiências com seus colegas?

Quais possibilidades, em termos de aprendizagem, o trabalho em pequenos grupos favorece?

Na terceira etapa o trabalho foi coletivo – alguns participantes apresentaram suas resoluções e explicaram as estratégias utilizadas para o grande grupo.

Você costuma propiciar momentos de discussão coletiva nas aulas de Matemática? Há situações em que os alunos são convidados a explicar para seus colegas as escolhas que fazem para resolver problemas? Há situações em que os alunos são convidados a comparar seus procedimentos com os de seus colegas? Há situações em que os alunos são convidados a interpretar os procedimentos de seus colegas? Qual seria o papel do professor em situações como essas?

Indique possibilidades de aprendizagem que podem ser exploradas por esse tipo de organização no gerenciamento de sua aula.

5. Esta etapa privilegiará a socialização coletiva das reflexões sobre sua prática, relacionadas no quadro anterior. Há alguma prática que é mais comum em suas salas de aula? Quais as possibilidades de aprendizagem identificadas pelo grupo em cada tipo de organização?

6. A partir da experiência vivenciada na atividade do problema das latas de tinta e da discussão gerada por ela no que diz respeito à interação entre pares, você considera possível a incorporação dessa prática em suas aulas? Lembre-se: é importante garantir as diferentes instâncias de organização so-cial (trabalho individual, trabalho em pequenos grupos e trabalho coletivo de socialização). A seguir descrevemos trechos de algumas pesquisadoras que defendem a importância desse tipo de organi-zação. Após a leitura dos trechos, discuta-os e organize um registro coletivo dessas discussões:


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A importância do trabalho individual

Ora, considerar os estudantes sujeitos pensantes, com ideias próprias e férteis, capazes de pro-duzir novas ideias, é aceitar que eles também precisam pensar “intimamente”, pensar “em ras-cunho”, ensaiar, explorar, rabiscar, “dar-se ao luxo” de relacionar suas questões com aquilo que é significativo para eles, apelar para representações que os ajudem a “ver”. (Patricia Sadovsky)

A importância do trabalho em pequenos grupos

As interações entre os alunos, na base dos processos de produção, condicionam também o ti-po de conhecimento que se produz. (Patricia Sadovsky)

Compartilhar com o grupo suas ideias e explicitar as estratégias utilizadas para resolver o pro-blema são ações fundamentais para que cada um tome como objeto de análise o seu próprio fazer matemático. As diferentes formas de resolução e os diferentes resultados que surgirão no grupo criam um contexto favorável para defender seu ponto de vista e compreender o dos outros, certificar-se de que seu resultado está correto ou não, comparar soluções, argumentar a favor ou contra alguma forma de resolução.

A importância do trabalho em coletivo

Sabe-se que elaborar conhecimento em cooperação com outros abre espaço, de maneira ge-ral, a um intercâmbio que permite aprofundar as ideias em jogo num determinado momento.

SADOVSKY, P. O espaço social da sala de aula: condição propícia para a produção de conhecimento.

In: O ensino de matemática hoje: Enfoques, sentidos e desafios. São Paulo: Ática, 2007.

As intervenções do professor são fundamentais para gerir esses processos. O professor in-tervém para organizar a participação dos alunos, para que as crianças possam retomar suas ações e produções, descrevê-las, justificá-las, comparar distintos procedimentos, reconhecer seu procedimento como diferente dos utilizados pelos seus companheiros, identificando onde estão as diferenças, ainda que obtenham o mesmo resultado. Explicar e discutir com ar-gumentos sobre a validade do que foi realizado favorece o avanço em direção à conceitual-ização daqueles conhecimentos que os alunos utilizaram em suas resoluções.

WOLMAN, S.; QUARANTA, M. E. Qual o papel das interações que se produzem nas aulas?.

In: Ensenãr Matemática en la escuela primaria. Buenos Aires: Tinta Fresca, 2009.

Possibilidades interdisciplinares - A potencialidade da interação entre pares não se restringe às aulas de Matemática. Existe uma variada gama de possibilidades didáticas em todas as disciplinas, em que a interação entre os alunos pode favorecer as aprendizagens.


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Momento 2 – O que caracteriza uma situação-problema? Duração: 30min

Leitura compartilhada é aquela em que um participante lê o texto em voz alta enquanto os demais acompanham a leitura, tendo o mesmo texto em mãos.

1. Neste segundo momento, faremos a leitura compartilhada do texto “A resolução de problemas e o ensino-aprendizagem de matemática”. Este texto foi extraído dos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) e se refere à resolução de problemas como um caminho para o ensino da Matemática.

A resolução de problemas e o ensino-aprendizagem de matemática

Em contrapartida à simples reprodução de procedimentos e ao acúmulo de informações, educadores matemáticos apontam a resolução de problemas como ponto de partida da ati-vidade matemática. Essa opção traz implícita a convicção de que o conhecimento matemáti-co ganha significado quando os alunos têm situações desafiadoras para resolver e trabalham para desenvolver estratégias de resolução.

Todavia, tradicionalmente, os problemas não têm desempenhado seu verdadeiro papel no ensino, pois, na melhor das hipóteses, são utilizados apenas como forma de aplicação de co-nhecimentos adquiridos anteriormente pelos alunos.

A prática mais frequente consiste em ensinar um conceito, procedimento ou técnica e depois apresentar um problema para avaliar se os alunos são capazes de empregar o que lhes foi en-sinado. Para a grande maioria dos alunos, resolver um problema significa fazer cálculos com os números do enunciado ou aplicar algo que aprenderam nas aulas. Desse modo, o que o professor explora na atividade matemática não é mais a atividade, ela mesma, mas seus resul-tados, definições, técnicas e demonstrações.

Consequentemente, o saber matemático não se tem apresentado ao aluno como um con-junto de conceitos inter-relacionados, que lhes permite resolver um conjunto de proble-mas, mas como um interminável discurso simbólico, abstrato e incompreensível. Nesse ca-so, a concepção de ensino e aprendizagem subjacente é a de que o aluno aprende por re-produção/imitação.

A resolução de problemas, na perspectiva indicada pelos educadores matemáticos, pos-sibilita aos alunos mobilizar conhecimentos e desenvolver a capacidade para gerenciar as informações que estão a seu alcance. Assim, os alunos terão oportunidade de ampliar seus conhecimentos acerca de conceitos e procedimentos matemáticos bem como de ampliar a visão que têm dos problemas, da Matemática, do mundo em geral e desenvol-ver sua autoconfiança1.

1 SCHOENFELD, A. H., 1985.


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A própria História da Matemática mostra que ela foi construída como resposta a perguntas provenientes de diferentes origens e contextos, motivadas por problemas de ordem práti-ca (divisão de terras, cálculo de créditos), por problemas vinculados a outras ciências (Física, Astronomia), bem como por problemas relacionados a investigações internas à própria Ma-temática.

A resolução de problemas, como eixo organizador do processo de ensino e aprendizagem de Matemática, pode ser resumida nos seguintes princípios:

n a situação-problema é o ponto de partida da atividade matemática e não a definição. No processo de ensino e aprendizagem, conceitos, ideias e métodos matemáticos devem ser abordados mediante a exploração de problemas, ou seja, de situações em que os alunos precisem desenvolver algum tipo de estratégia para resolvê-las;

n o problema certamente não é um exercício em que o aluno aplica, de forma quase me-cânica, uma fórmula ou um processo operatório. Só há problema se o aluno for levado a interpretar o enunciado da questão que lhe é posta e a estruturar a situação que lhe é apresentada;

n aproximações sucessivas de um conceito são construídas para resolver um certo tipo de problema; num outro momento, o aluno utiliza o que aprendeu para resolver outros, o que exige transferências, retificações, rupturas, segundo um processo análogo ao que se pode observar na História da Matemática;

n um conceito matemático se constrói articulado com outros conceitos, por meio de uma série de retificações e generalizações. Assim, pode-se afirmar que o aluno constrói um campo de conceitos que toma sentido num campo de problemas, e não um conceito iso-lado em resposta a um problema particular;

n a resolução de problemas não é uma atividade para ser desenvolvida em paralelo ou como aplicação da aprendizagem, mas uma orientação para a aprendizagem, pois proporciona o contexto em que se pode apreender conceitos, procedimentos e atitudes matemáticas.

Considerados esses princípios, convém precisar algumas características das situações que po-dem ser entendidas como problemas.

Um problema matemático é uma situação que demanda a realização de uma sequência de ações ou operações para obter um resultado. Ou seja, a solução não está disponível de início, mas é possível construí-la.

Em muitos casos, os problemas usualmente apresentados aos alunos não constituem verda-deiros problemas, porque, via de regra, não existe um real desafio nem a necessidade de veri-ficação para validar o processo de solução.

O que é problema para um aluno pode não ser para outro, em função dos conhecimentos de que dispõe.


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Resolver um problema pressupõe que o aluno:

n elabore um ou vários procedimentos de resolução (como realizar simulações, fazer tenta-tivas, formular hipóteses);

n compare seus resultados com os de outros alunos;

n valide seus procedimentos.

Resolver um problema não se resume em compreender o que foi proposto e em dar respos-tas aplicando procedimentos adequados. Aprender a dar uma resposta correta, que tenha sentido, pode ser suficiente para que ela seja aceita e até seja convincente, mas não é garan-tia de apropriação do conhecimento envolvido.

Além disso, é necessário desenvolver habilidades que permitam provar os resultados, testar seus efeitos, comparar diferentes caminhos para obter a solução. Nessa forma de trabalho, a importância da resposta correta cede lugar a importância do processo de resolução.

O fato de o aluno ser estimulado a questionar sua própria resposta, a questionar o problema, a transformar um dado problema numa fonte de novos problemas, a formular problemas a partir de determinadas informações, a analisar problemas abertos – que admitem diferentes respostas em função de certas condições –, evidencia uma concepção de ensino e aprendizagem não pela me-ra reprodução de conhecimentos, mas pela via da ação refletida que constrói conhecimentos.

Fonte: PCN Matemática 5ª a 8ª série, p 39.

Agora coletivamente registre as seguintes discussões:

n Identifique no texto o que é necessário para que uma situação possa ser considerada um problema.

n Você identifica a situação em que resolveu e discutiu o problema das tintas como uma verdadeira situação de resolução de problemas, no sentido que o texto coloca? Por quê? Quais características do problema proposto favoreceram o envolvimento, as discussões, as trocas e descobertas?

2. Em subgrupos com aproximadamente 4 pessoas (pode ser o mesmo da atividade do item 2, do Mo-mento 1), analise os problemas a seguir. Em cada caso, procure discutir e fornecer respostas:

n A situação-problema pode ser entendida como um verdadeiro problema para seus alunos? Isto é, ela pode engajar seus alunos numa busca ativa por resolvê-la, utilizando procedimentos pró-prios? Ou, para seus alunos, ela seria considerada um exercício?

n Indique para qual série a situação pode ser considerada um problema ou um exercício.

n Que conhecimentos o aluno precisa mobilizar para desenvolver uma estratégia de resolução?

n Associe cada problema a um descritor (habilidade) da Prova Brasil, consultando os descritores de avaliação propostos na publicação Formação de Professores – Metodologia.

Não se esqueça de registar e justificar suas respostas.


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Problema 1.

Quantos ônibus de 36 lugares serão necessários, no mínimo, para transportar 1128 passagei-ros, se nenhum ônibus pode transportar mais que 36 passageiros?

Considere agora outro ônibus com capacidade para 44 lugares e a mesma quantidade de pessoas, que deverão ser transportadas nas mesmas condições. Serão necessários mais ou menos ônibus? Quantos?

Problema 2.

Uma operadora de celular oferece dois planos no sistema pós-pago. No plano A, paga-se uma assinatura de R$ 50,00, e cada minuto em ligações locais custa R$ 0,25. No plano B, paga-se um valor fixo de R$ 39,00, e cada minuto em ligações locais custa R$ 0,30. Nessas condições:

n Considerando que João tem um aparelho de celular com o plano B, a partir de quantos mi-nutos esse plano será menos vantajoso do que o plano A?

n Se Maria aderiu ao plano A, é possível dizer que, em algum momento, ela pagará o mes-mo valor que João, que utiliza o plano B da mesma operadora? Em caso afirmativo, pa-ra quantos minutos?

Problema 3.

As figuras abaixo estão organizadas num padrão que se repete.

(n=1) (n=2) (n=3) (n=4) (n=5) (n=6)

Mantendo essa disposição, escreva a expressão algébrica que representa o número de pontos N em função da ordem n (n = 1, 2,...).

Problema 4.

Observe a sequência de triângulos formados por palitos:


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Considere a continuidade desta sequência:

a) Com quantos palitos poderemos formar quatro triângulos? E para cinco triângulos?

b) Quantos triângulos serão formados com 101 palitos?

Problema 5.

Ana Júlia tem 21 reais.

a) Quantos produtos de R$ 1,99 ela pode comprar?

b) Sobrará troco? Quanto?

Problema 6.

Maria Laura tem 60 reais e quer duas camisas amarelas e duas camisas brancas. Veja o preço das camisas e responda:

É possível realizar essa compra? Qual o valor total a ser pago?

Possibilidades interdisciplinares

A estratégia de resolução de problemas não se restringe às aulas de Matemática. Em todas as áreas é possível propor atividades em que os alunos precisem desenvolver habilidades que permitam a eles pôr à prova os resultados obtidos, testar seus efeitos e comparar diferentes caminhos para se obter a solução. Nessa forma de trabalho, o valor da resposta correta cede lugar ao valor do processo de resolução (adaptado dos PCN).

Momento 3 – Planejamento de atividade passo a passo Duração: 40min

Até agora as atividades propostas na formação privilegiaram dois temas que são complementares – o trabalho com resolução de problemas e a interação entre pares. Essa nova etapa favorecerá a vivência de uma importante etapa para o desenvolvimento desse trabalho com os alunos: o planejamento.

Pensar na incorporação da resolução de problemas como uma estratégia didática nas aulas de Mate-mática exige, por parte do professor, a realização de um planejamento sistemático de todas as etapas para a efetivação do seu trabalho, que se inicia na escolha do problema, passa pelo envolvimento dos alunos e chega à avaliação do trabalho realizado.

Desse modo, vamos pensar como podemos planejar uma atividade de resolução de problemas, num contexto de discussão e troca de ideias entre os alunos.


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1. Leia o quadro a seguir que sugere algumas etapas para a elaboração planejamento:

Quadro das etapas a serem asseguradas para planejar uma atividade de resolução de problemas

Etapas Orientações

Selecionar, conhecer e preparar a situação-problema

n Tendo em mãos o livro didático de Matemática adotado pela rede ou por sua escola, selecione uma atividade que pode ser considerada um problema para os seus alunos. Lembre-se de que essa escolha deve estar relacionada ao bloco de conteúdos com o qual você está trabalhando neste momento com a sua turma.

n Após a escolha da atividade, resolva-a, procurando observar se ela mobiliza diversas estratégias de resolução.

n Como o problema será apresentado aos alunos? Qual recurso será utilizado para sua apresentação e resolução? Será feito no caderno, em fotocópia, no próprio livro didático, escrito na lousa ou em cartaz, ou ainda será necessário outro recurso?

n Que aprendizagens este problema poderá favorecer? O que o problema coloca como desafio principal para os alunos?

Competências e habilidades discentes a serem desenvolvidas

n Aponte quais competências/habilidades poderão ser adquiridas e/ou ampliadas com o tipo de problema selecionado. Para isso:

n Utilize como referência os descritores de avaliação propostos na publicação Formação de Professores - Metodologia.

n Você pode também utilizar como referência as habilidades e competências relacionadas à resolução de problemas e interação entre pares, que se encontram na questão 2, ao final deste quadro, ou outras que julgar necessárias.

Organizar as etapas de trabalho com alunos no tempo e no espaço da sala de aula

n Quais serão as etapas de trabalho? n Antecipe a forma de organização dos alunos para cada etapa da atividade

(individual, em duplas, em grupos, coletiva).n Quando essas etapas vão acontecer? Serão feitas no mesmo dia, em dias

diferentes? Quanto tempo será destinado a cada etapa?n Entre uma etapa e outra, você pretende recolher as produções dos alunos?

Em caso afirmativo, que tratamento dará ao material recolhido?

O papel do professor

n Procure antecipar qual será seu papel em cada etapa de trabalho, dizendo, por exemplo, se pretende circular entre os alunos para dar o apoio necessário durante o trabalho individual, se pretende ajudar apenas os alunos que demonstrarem maior dificuldade, ou se haverá momentos em que irá orientar mais ativamente a discussão etc.

Conversar com os alunos sobre o que será realizado

n Que considerações poderão ser feitas antes de os alunos começarem a resolver o problema? Como você vai orientar a atividade?

n O que não pode ser antecipado aos alunos? (Por exemplo: não revelar qual estratégia deverão utilizar e deixar que cada um escolha sua estratégia; não revelar qual operação devem utilizar – já antecipando se a resolução é de adição ou subtração).


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Desenvolvimento do momento coletivo após a resolução da situação-problema

n Como será realizada a etapa de socialização? Pretende convidar alguns alunos cujas estratégias de resolução foram diferentes a escrevê-las na lousa? Quantos alunos? Pretende convidar um aluno a expor sua estratégia de resolução e pedir aos demais para interpretá-la?

Avaliar a atividaden Que aspectos do desempenho dos alunos deverão ser observados para

indicar se as habilidades e competências discentes focadas foram desenvolv-idas e/ou ampliadas?

2. Em pequenos grupos (organizados por ano escolar em que atuem os participantes), utilize o roteiro de planejamento a seguir como modelo e elabore uma atividade de resolução de problemas para desenvolver com seus alunos. Use como referência o quadro de planejamento anterior.

Roteiro para Planejamento da Atividade de Resolução de Problema

Situação-problema: Fonte:

Etapas Planejamento - descrever os procedimentos a serem realizados, o material que será utilizado e o tempo previsto para a atividade (ou cada parte da atividade).

Selecionar, conhecer e preparar a situação-problema

Competências e habilidades discentes a serem desenvolvidas

Organizar as etapas de trabalho com alunos no tempo e no espaço da sala de aula

O papel do professor

Conversar com os alunos sobre o que será realizado

Desenvolvimento do momento coletivo após a resolução da situação-problema

Avaliar a atividade: descreva como será feita a avaliação da atividade. Que aspectos do desempenho dos alunos deverão ser observados para indicar se as habilidades e competências discentes focadas foram desenvolvidas e/ou ampliadas


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n Para definir as competências discentes que serão trabalhadas, você pode se basear também no qua-dro que segue, escolhendo duas:

Competências dos alunos envolvidas na interação entre pares

Competências dos alunos envolvidas na resolução de problemas

Trabalhar coletivamente supõe uma série de aprendizagens, como:

n perceber que além de buscar a solução para uma situação proposta devem cooperar para resolvê-la e chegar a um consenso;

n saber explicitar o próprio pensamento e tentar compreender o pensamento do outro;

n discutir as dúvidas, assumir que as soluções dos outros fazem sentido e persistir na tentativa de construir suas próprias ideias;

n incorporar soluções alternativas, reestruturar e ampliar a compreensão acerca dos conceitos envolvidos nas situações e, desse modo, aprender.

Resolver um problema pressupõe que o aluno:

n elabore um ou vários procedimentos de resolução como, por exemplo, realizar simulações, fazer tentativas, formular hipóteses;

n compare seus resultados com os de outros alunos;

n valide seus procedimentos.

Fonte: Parâmetros Curriculares Nacionais, p. 39 e 41.

n Complete os demais itens com as escolhas feitas e as decisões tomadas. Neste registro é importante que você escreva todos os encaminhamentos e as perguntas que irá fazer para os alunos em cada momento.

Avaliação do encontroDuração: 10min

Após a realização das atividades e reflexões que foram propostas nesta publicação, sugerimos que vo-cê faça uma avaliação. Trata-se de um momento de reflexão sobre o que já foi apropriado por você, o que ainda precisa de aprofundamento e o que ainda não pôde avançar.

A avaliação refere-se às competências docentes que foram desenvolvidas e aprofundadas no trabalho proposto nesta publicação. Trata-se de um conjunto de competências específicas que, juntas, constitui-rão aquelas competências mais amplas cujo desenvolvimento é o propósito desse processo formativo.

Leia cada item da coluna à esquerda. Após refletir, marque com X a coluna que corresponde à sua avaliação.


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Competências e habilidades para o trabalho docente

Plenamente desenvolvida /

ampliada

Parcialmente desenvolvida /

ampliada

Não foi desenvolvida/

ampliada

Participar ativamente de atividades formativas na perspectiva do aprimoramento da prática pedagógica e do atendimento de objetivos e metas estabelecidos.

Trabalhar em equipe, interagindo com os colegas e colaborando com a formação do grupo.

Identificar a adequação das diferentes formas de organização do grupo (trabalho individual, em pequenos grupos e coletivo) e considerar suas potencialidades para a aprendizagem.

Refletir sobre a importância da interação entre pares nas aulas de Matemática.

Demonstrar compreensão do recurso à resolução de problemas como caminho para a elaboração do conhecimento matemático.

Realizar leitura profissional, explorando as potencialidades do texto e relacionando a teoria com a prática docente

Identificar os principais elementos que constituem um problema, diferenciando-o de exercício.

Planejar atividades que possam se constituir em situações-problema ajustadas às possibilidades dos alunos, de forma a favorecer as aprendizagens de conteúdos.

Utilizar o livro didático integrado a atividades planejadas com objetivos claros.

O que você sugere como estratégia para ajudar a desenvolver as competências e habilidades que identificou como ainda pendentes em sua formação?


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Preparação para o próximo encontro Para o próximo Encontro Presencial, você vai precisar trazer:

n O livro didático de Matemática adotado pela sua escola.

n Alguns registros (diferentes entre si) de resoluções de problemas feitos pelos seus alunos, preferencialmente relacionados ao problema proposto na Aplicação Prática.

n O registro que você fez da atividade de Aplicação Prática (que foi planejada no primeiro encontro e desenvolvida em sua sala de aula).

n O texto e o seu registro da atividade de Reflexão sobre a Prática.

n A publicação Formação de Professores – Metodologia.

n Esta publicação Formação de Professores - Caderno Bimestral de Língua Portuguesa e Matemática para o Ensino Fundamental II.

Sugestões de leituras complementares

DÍAZ, A. As interações entre pares, In: Ensenãr Matemática en la escuela primaria. Buenos Aires: Tinta Fresca, 2009.

PEREIRA, A. L. Motivação para a disciplina MAT450 – Seminários de Resolução de Problemas. São Paulo, IME--USP, agosto de 2001. Disponível em: <http://www.ime.usp.br/~trodrigo/documentos/mat450/mat450-2001242-seminario-8-resolucao_problemas.pdf>.

Portal do Professor – Ministério da Educação (MEC), Brasil. Disponível em: <http://portaldoprofessor.mec.gov.br>.

Portal RIVED (Rede Interativa Virtual de Educação) - Ministério da Educação (MEC), Brasil. Disponível em: <http://rived.mec.gov.br>.

SILVEIRA, J. F. P. O que é problema? Disponível em: <http://www.mat.ufrgs.br/~portosil/resu1.html>.

WOLMAN, S.; QUARANTA, M. E. Qual o papel das interações que se produzem nas aulas?. In: Ensenãr Ma-temática en la escuela primaria. Buenos Aires: Tinta Fresca, 2009.


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Aplicação PráticaDuração: 4h

Com base no planejamento elaborado no 3º Momento do nosso Encontro Presencial, a ideia agora é re-alizar a atividade com seus alunos em sala de aula. Você precisará consultar o “Roteiro para Planejamen-to da Atividade” que elaborou no momento 3 da “prática em questão” do Encontro Presencial. Para isso, siga os passos a seguir:

n releia o planejamento e procure esclarecer eventuais dúvidas com seus colegas da escola;

n relembre as competências discentes que trabalhará na atividade e também os encaminhamentos que planejou;

n realize a atividade em sua sala de aula, levando em consideração os princípios que foram discutidos no Encontro Presencial.

Registrando a prática

Depois da realização da atividade de resolução de problemas com seus alunos, registre a atividade que realizou, seguindo o Registro da Atividade: Resolução de Problemas. Recomenda-se que esse registro seja feito pouco tempo após a atividade, a fim de que você possa se recordar bem de alguns aspectos relevantes como, por exemplo, algumas falas dos alunos entre si, em interação com você e no momen-to coletivo de socialização.

Registro da Atividade: Resolução de Problemas

Município: Escola: Professor:Ano/Série: Quantidade de alunos presentes no(s) dia(s) da atividade: Tempo utilizado para realização da atividade:

1. No quadro a seguir, descreva o problema e as competências/habilidades relacionadas à atividade “Aplicação na Prática”:

Problema Competências/habilidades

2. Comente como os alunos participaram de cada etapa no que diz respeito a concentração, ao envolvimento. Por que você acha que eles agiram dessa maneira?


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3. Registre algumas falas dos alunos, contextualizando-as. Procure relatar falas e/ou conversas que indiquem que eles estavam avançando, em relação tanto aos desafios do problema em si, quanto à interação com os colegas.

4. Na sua concepção, quais foram os motivos que levaram os alunos a cometer eventuais erros? E acertos?

5. De que maneira você pode constatar se as competências e habilidades discentes que você definiu no planejamento foram atingidas?

6. Registre como você considera que foi a sua atuação durante a realização da atividade (dificuldades, dúvidas, descobertas...).

Atividade VirtualDuração: 4h

Com o intuito de aprofundar os estudos referentes à interação entre pares e à resolução de problemas nas aulas de Matemática, analise o estudo de caso que está no Portal de Aprendizagem. Reflita e regis-tre suas conclusões no espaço destinado para isso.

Estudo de caso – Analisando a resolução de uma situação-problema na aula de Matemática

Este problema foi proposto aos alunos do 8º ano de uma escola pública. O professor Luiz já ti-nha desenvolvido anteriormente, em suas aulas, atividades relacionadas a sistemas lineares envolvendo duas incógnitas. Nessa ocasião decidiu propor um problema que pudesse desa-fiar seus alunos, a fim de que utilizassem estratégias que considerassem adequadas para ob-ter uma solução. Inicialmente o professor Luiz anotou o problema a seguir na lousa, solicitan-do aos alunos que o resolvessem:

A Garrafa e a rolha

Uma garrafa e sua rolha pesam juntas 110g. Sabendo que a garrafa pesa 100g a mais que a ro-lha, qual é o peso da rolha? E qual é o peso da garrafa?

Primeiro os alunos resolveram o problema individualmente, depois discutiram em duplas suas resoluções e, ao final, houve um momento de socialização. Veja como o professor encaminhou a discussão:

Professor Luiz: Alberto, você pode nos explicar como você e seu amigo chegaram a essa resposta?


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Alberto: Como a garrafa e a rolha juntas pesam 110g, e a garrafa pesa 100g a mais que a rolha, se fizermos 110 - 100, teremos o peso da rolha, que é 10g. Assim, o peso da garrafa será 100g.

Professor Luiz: Classe, o que vocês acharam da resolução que o Alberto apresentou? Alguém fez diferente ou encontrou outros valores?

Maria: Professor, eu fiz diferente e encontrei outros valores, será que está certo?

Professor Luiz: Maria, venha até a lousa e nos mostre como você fez.

Maria vai até a lousa e começa a explicar como resolveu o problema.

Maria: Primeiro eu comecei de trás para frente.

Professor Luiz: Como assim, Maria? Você pode explicar melhor para a classe o que você está querendo dizer com “comecei de trás para frente”?

Maria: Como o problema fala que a garrafa pesa 100g a mais que a rolha, eu pensei da se-guinte forma: chamei a garrafa de “G” e a rolha de “R”, então eu escrevi a equação G – R = 100. Porque a garrafa pesa mais do que a rolha, então eu tenho que fazer a garrafa menos a rolha.

Professor Luiz: Classe, vocês estão entendendo o que a Maria fez?

Classe: Sim, professor!

Professor Luiz: E depois, Maria, o que você fez?

Maria: Com a informação de que a garrafa e a rolha juntas pesavam 110g, montei uma segunda equação: G + R = 110.

Professor Luiz: E como você encontrou o peso da garrafa e da rolha?

Maria: Depois de ter encontrado as duas equações, eu percebi que resolver pelo método da adição era mais fácil para encontrar as respostas:

G - R = 100 G + R = 110

2G = 210

G = 2102

G = 105

Maria: Como a garrafa pesa 105g, então a rolha só pode pesar 5g.

Professor Luiz: Muito bem, Maria, a sua resposta está correta!

Professor Luiz: Quem pode nos ajudar a interpretar a resolução do Alberto e seu amigo. Por que ela não pode ser considerada correta quando a comparamos com a da Maria? Por que a simples subtração “110 – 100” não garante um resultado correto?


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Pedro: É porque dessa forma, na subtração que o Alberto fez, ele afirma de imediato que o peso da garrafa é igual a 100g, mas o problema diz que a garrafa pesa 100g a mais do que a rolha, por isso a resposta da Maria ficou certa.

Professor Luiz: Isso mesmo, Pedro, excelente observação!

Para refletir, registrar e postar no Portal.

1. Você considera que este era um problema desafiador para os alunos do 8º ano, ou seja, os alunos po-deriam utilizar estratégias diversificadas para sua resolução? Por quê? Liste os seus argumentos.

2. De acordo com os diálogos entre o Professor Luiz e seus alunos, você considera que as intervenções realizadas pelo professor contribuíram para a aprendizagem de seus alunos? Justifique.

3. Em sua opinião, por que o professor perguntou para a classe se alguém havia resolvido o problema de maneira diferente da de Alberto?

4. Que papel o professor Luiz desempenhou em sala de aula, ao permitir que o aluno Alberto resolves-se o problema para a classe, mesmo de forma errada? E frente à aluna Maria, que o resolveu de ma-neira correta? Apresente seus argumentos.

5. Na atividade de resolução de problema que você realizou em sua sala de aula, a partir do planeja-mento feito no Encontro Presencial, aconteceu algo semelhante no que diz respeito à interação en-tre pares? Comente.

6. Como foi sua experiência na aplicação da atividade prática? O que ela teve de positivo? E o que ain-da ficou como desafio a ser superado? Você teve a oportunidade de desempenhar um papel pare-cido com o do professor Luiz? Em caso afirmativo, comente como aconteceu. Em caso negativo: por que, em sua opinião, isso não aconteceu?

Reflexão sobre a Prática Duração: 4h

Nesta atividade, você fará a leitura de um trecho dos Parâmetros Curriculares Nacionais a respeito das relações entre professor e alunos e entre os próprios alunos.

A seguir, à luz dessa leitura, você vai refletir sobre três momentos deste processo formativo: a resolução do problema das latas de tinta (que você vivenciou com seus colegas no Encontro Presencial); a ativida-de prática de resolução de problemas (que você planejou e desenvolveu com os seus alunos em sua sala de aula); e o estudo de caso Professor Luiz e seus alunos, feito na Atividade Virtual.


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Estudo pessoal

1. Faça a leitura do texto “As relações professor-aluno e aluno-aluno”, dos PCN.

As relações professor-aluno e aluno-aluno

Tradicionalmente, a prática mais frequente no ensino de Matemática tem sido aquela em que o professor apresenta o conteúdo oralmente, partindo de definições, exemplos, demonstra-ção de propriedades, seguidos de exercícios de aprendizagem, fixação e aplicação, e pressu-põe que o aluno aprenda pela reprodução. Assim, considera-se que uma reprodução correta é evidência de que ocorreu a aprendizagem.

Essa prática de ensino tem se mostrado ineficaz, pois a reprodução correta pode ser apenas uma simples indicação de que o aluno aprendeu a reproduzir alguns procedimentos mecâni-cos, mas não apreendeu o conteúdo e não sabe utilizá-lo em outros contextos.

É relativamente recente a atenção ao fato de que o aluno é agente da construção do seu co-nhecimento, pelas conexões que estabelece com seu conhecimento prévio num contexto de resolução de problemas.

Naturalmente, à medida que se redefine o papel do aluno diante do saber, é preciso redimen-sionar também o papel do professor que ensina Matemática no ensino fundamental.

Numa perspectiva de trabalho em que se considere o aluno como protagonista da cons-trução de sua aprendizagem, o papel do professor ganha novas dimensões. Uma faceta desse papel é a de organizador da aprendizagem; para desempenhá-la, além de conhecer as condições socioculturais, expectativas e competência cognitiva dos alunos, precisará escolher os problemas que possibilitam a construção de conceitos e procedimentos e ali-mentar os processos de resolução que surgirem, sempre tendo em vista os objetivos a que se propõe atingir.

Além de organizador o professor também é facilitador nesse processo. Não mais aquele que expõe todo o conteúdo aos alunos, mas aquele que fornece as informações necessárias, que o aluno não tem condições de obter sozinho. Nessa função, faz explanações, oferece mate-riais, textos etc.

Outra de suas funções é como mediador, ao promover a análise das propostas dos alunos e sua comparação, ao disciplinar as condições em que cada aluno pode intervir para expor sua solução, questionar, contestar. Nesse papel, o professor é responsável por arrolar os procedi-mentos empregados e as diferenças encontradas, promover o debate sobre resultados e mé-todos, orientar as reformulações e valorizar as soluções mais adequadas.

Ele também decide se é necessário prosseguir o trabalho de pesquisa de um dado tema ou se é o momento de elaborar uma síntese, em função das expectativas de aprendizagem previa-mente estabelecidas em seu planejamento.


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Atua também como organizador ao estabelecer as condições para a realização das atividades e fixar prazos, respeitando o ritmo de cada aluno.

Como um incentivador da aprendizagem, o professor estimula a cooperação entre os alu-nos, tão importante quanto a própria interação professor-aluno. O confronto entre o que o aluno pensa e o que pensam seus colegas, seu professor e as demais pessoas com quem convive é uma forma de aprendizagem significativa, principalmente por pressupor a neces-sidade de formulação de argumentos (dizendo, descrevendo, expressando) e de validá-los (questionando, verificando, convencendo).

Destaca-se ainda a tarefa de avaliador do processo, que também é parte integrante do papel do professor. Ao procurar identificar e interpretar, mediante observação, diálogo e instrumen-tos apropriados, sinais e indícios das competências desenvolvidas pelos alunos, o professor pode julgar se as capacidades indicadas nos objetivos estão se desenvolvendo a contento ou se é necessário reorganizar a atividade pedagógica para que isso aconteça.

Também faz parte de sua tarefa como avaliador levar os alunos a ter consciência de suas conquistas, dificuldades e possibilidades para que possam reorganizar suas atitudes diante do processo de aprendizagem.

Além da interação entre professor-aluno, a interação entre alunos desempenha papel funda-mental no desenvolvimento das capacidades cognitivas, afetivas e de inserção social.

Em geral, explora-se mais o aspecto afetivo dessas interações e menos sua potencialida-de em termos de construção de conhecimento. Ao tentar compreender outras formas de resolver uma situação, o aluno poderá ampliar o grau de compreensão das noções mate-máticas nela envolvidas.

Assim, trabalhar coletivamente, por sua vez, favorece o desenvolvimento de capacidades como:

n perceber que além de buscar a solução para uma situação proposta devem cooperar para resolvê-la e chegar a um consenso;

n saber explicitar o próprio pensamento e procurar compreender o pensamento do outro;

n discutir as dúvidas, supor que as soluções dos outros podem fazer sentido e persistir na tentativa de construir suas próprias ideias;

n incorporar soluções alternativas, reestruturar e ampliar a compreensão acerca dos concei-tos envolvidos nas situações e, desse modo, aprender.

Essas aprendizagens só serão possíveis à medida que o professor proporcionar um ambiente de trabalho que estimule o aluno a criar, comparar, discutir, rever, perguntar e ampliar ideias.

É importante atentar para o fato de que a explicitação clara de papéis e de responsabilidades é fun-damental para nortear as interações que ocorrem na sala de aula – entre professor e aluno ou en-tre alunos. Também é necessário avaliar em conjunto essas relações em função dos papéis e res-ponsabilidades definidas para redirecionar os rumos do processo de ensino e aprendizagem.


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Ao trabalhar com essas relações nos terceiro e quarto ciclos o professor deve levar em conta que os alunos adolescentes/jovens atuam mais em grupo do que individualmente e, por isso, a interlocução direta com um determinado aluno é mais difícil de se estabelecer, principal-mente diante de outros alunos. Tal fato exige do professor uma profunda compreensão das mudanças pelas quais eles estão passando, além da perseverança e criatividade para organi-zar e conduzir as situações de ensino de modo que garanta suas participações e interesses.

Ministério da Educação. Parâmetros Curriculares Nacionais – Matemática.

As relações professor-aluno e aluno-aluno. 2a edição. Rio do Janeiro: 2000.

PCN Matemática 5ª a 8ª série, p. 37.

2. O texto que foi lido faz referência às diferentes funções que o professor pode assumir nas aulas de Matemática, quando a criança assume o papel de protagonista no processo de construção da sua aprendizagem. Identifique no texto essas funções.

n Agora, procure lembrar-se da atividade prática de resolução de problemas que foi realizada por seus alunos (retome o “Registro da Atividade: Resolução de Problemas”). No desenvolvimento da-quela atividade, você teve a oportunidade de desempenhar algumas das funções indicadas no texto? Quais? Procure relatar como você fez isso.

n Retome o estudo de caso discutido no Encontro a Distância. Relacione a atuação do Professor Luiz com uma das funções do professor, segundo o texto lido (se preferir, escolha mais de uma função). Indique como o professor Luiz desempenha a função (ou as funções) que você indicou.

3. O texto também faz referência à importância da interação que acontece entre os alunos. Identifique no texto quais são os ganhos, em termos de aprendizagem, que essas interações propiciam.

n Procure lembrar-se da atividade de resolução do problema das latas de tinta, da qual você participou junto com seus colegas no Encontro Presencial. Comente uma situação de troca acontecida entre os participantes do grupo que indique a importância das interações entre pares na aprendizagem.

É com essas questões e com propostas de ações que esperamos revê-lo no próximo encontro!

No próximo caderno vamos refletir sobre as diversas estratégias que podem ser adotadas por professores de Matemática em suas aulas referentes aos números racionais e números inteiros negativos. Aguarde!

Professor, Visite a Casa do Aprender, um espaço aberto a toda a comunidade. Na Casa você terá acesso a livros, revistas, vídeos, programas educacionais, debates etc., além de poder interagir com outros participantes do programa Ação Educação.


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Descrição dos níveis da escala de desempenho de Matemática – Saeb5º e 9º Anos do Ensino Fundamental

Níveis de Desempenhodos alunos em Matemática

O que os alunos conseguem fazer nesse nívele exemplos de competência

Nível 0 – abaixo de 125

A Prova Brasil não utilizou itens que avaliam as habilidades abaixo do nível 125.

Os alunos localizados abaixo deste nível requerem atenção especial, pois ainda não demonstraram ter desenvolvido as habilidades mais simples apresentadas para os alunos do 5º ano como exemplo:

n somar e subtrair números decimais;n fazer adição com reserva;n multiplicar e dividir com dois algarismos;n trabalhar com frações.

Nível 1 – 125 a 150

Neste nível os alunos do 5º e do 9ª anos resolvem problemas de cálculo de área com base na contagem das unidades de uma malha quadriculada e, apoiados em representações gráficas, reconhecem a quarta parte de um todo.

Nível 2 – 150 a 175

Além das habilidades demonstradas no nível anterior, neste nível os alunos do 5º e 9º anos são capazes de:

n reconhecer o valor posicional dos algarismos em números naturais;n ler informações e dados apresentados em gráfico de coluna;n interpretar mapa que representa um itinerário.

Nível 3 – 175 a 200

Além das habilidades demonstradas nos níveis anteriores, neste nível os alunos do 5º e 9º anos:

n calculam resultado de uma adição com números de três algarismos, com apoio de material dourado planificado;

n localizam informação em mapas desenhados em malha quadriculada;n reconhecem a escrita por extenso de números naturais e a sua composição

e decomposição em dezenas e unidades, considerando o seu valor posicional na base decimal;

n resolvem problemas relacionando diferentes unidades de uma mesma medida para cálculo de intervalos (dias, semanas, horas e minutos).

Nível 4 – 200 a 225

Além das habilidades descritas anteriormente, os alunos do 5º e 9º anos:

n leem informações e dados apresentados em tabela;n reconhecem a regra de formação de uma seqüência numérica e dão

continuidade a ela;n resolvem problemas envolvendo subtração, estabelecendo relação entre

diferentes unidades monetárias;n resolvem situação-problema envolvendo:

n a idéia de porcentagem;n diferentes significados da adição e subtração;n adição de números racionais na forma decimal;

n identificam propriedades comuns e diferenças entre poliedros e corpos redondos, relacionando figuras tridimensionais com suas planificações.


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Nível 5 – 225 a 250

Os alunos do 5º e do 9º anos, além das habilidades já descritas:

n identificam a localização/movimentação de objeto em mapas, desenhado em malha quadriculada;

n reconhecem e utilizam as regras do sistema de numeração decimal, tais como agrupamentos e trocas na base 10 e o princípio do valor posicional;

n calculam o resultado de uma adição por meio de uma técnica operatória;n leem informações e dados apresentados em tabelas;n resolvem problema envolvendo o cálculo do perímetro de figuras planas,

desenhadas em malhas quadriculadas;n resolvem problemas:

n utilizando a escrita decimal de cédulas e moedas do sistema monetário brasileiro;

n estabelecendo trocas entre cédulas e moedas do sistema monetário brasileiro, em função de seus valores;

n com números racionais expressos na forma decimal, envolvendo diferentes significados da adição ou subtração;

n reconhecem a composição e decomposição de números naturais, na forma polinomial;

n identificam a divisão como a operação que resolve uma dada situaçãoproblema;

n identificam a localização de números racionais na reta numérica.

Os alunos do 9ª ano ainda:

n identificam a localização/movimentação de objeto em mapas e outras representações gráficas;

n leem informações e dados apresentados em gráficos de colunas;n conseguem localizar dados em tabelas de múltiplas entradas;n associam informações apresentadas em listas ou tabelas ao gráfico que as

representam e vice-versa;n identificam propriedades comuns e diferenças entre poliedros e corpos

redondos, relacionando figuras tridimensionais com suas planificações;n resolvem problemas envolvendo noções de porcentagem.


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Nível 6 – 250 a 275

O s alunos do 5º e 9º anos:

n lidentificam planificações de uma figura tridimensional;n resolvem problemas:

n estabelecendo trocas entre cédulas e moedas do sistema monetário brasileiro, em função de seus valores;

n envolvendo diferentes significados da adição e subtração;n envolvendo o cálculo de área de figura plana, desenhada em malha

quadriculada;

n reconhecem a decomposição de números naturais nas suas diversas ordens;n Identificam a localização de números racionais representados na forma

decimal na reta numérica;n estabelecem relação entre unidades de medida de tempo;n leem tabelas comparando medidas de grandezas;n identificam propriedades comuns e diferenças entre figuras bidimensionais

pelo número de lados e pelos tipos de ângulos;n reconhecem a composição e decomposição de números naturais em sua

forma polinomial.

Os alunos do 9º ano também:

n reconhecem as representações decimais dos números racionais como uma extensão do sistema de numeração decimal, identificando a existência de “ordens” como décimos, centésimos e milésimos;

n identificam a localização de números inteiros na reta numérica.

Nível 7 – 275 a 300

Os alunos do 5º e 9º anos:

n resolvem problemas com números naturais envolvendo diferentes significados da multiplicação e divisão, em situação combinatória;

n reconhecem a conservação ou modificação de medidas dos lados, do perímetro, da área em ampliação e/ou redução de figuras poligonais usando malhas quadriculadas;

n identificam propriedades comuns e diferenças entre figuras bidimensionais pelo número de lados e tipos de ângulos;

n identificam as posições dos lados de quadriláteros (paralelismo);n resolvem problemas:

n utilizando divisão com resto diferente de zero;n com apoio de recurso gráfico, envolvendo noções de porcentagem;n estimam medida de grandezas utilizando unidades de medida

convencionais ou não;

n estabelecem relações entre unidades de medida de tempo;n calculam o resultado de uma divisão por meio de uma técnica operatória;

No 9º ano:

n identificam a localização/movimentação de objeto em mapas; n resolvem problema com números naturais, inteiros e racionais envolvendo

diferentes operações (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação);n calculam o valor numérico de uma expressão algébrica, incluindo potenciação;n interpretam informações apresentadas por meio de coordenadas cartesianas;n identificam um sistema de equações do 1º grau que expressa um problema.


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Nível 8 – 300 a 325

Os alunos do 5º e do 9º anos:

n resolvem problemas:n envolvendo o cálculo do perímetro de figuras planas;n desenhadas em malhas quadriculadas;n envolvendo o cálculo de área de figuras planas, desenhadas em malha

quadriculada;n utilizando porcentagem;n utilizando unidades de medida padronizadas como km/m/cm/mm, kg/g/

mg, l/ml;n com números racionais expressos na forma decimal, envolvendo operações

deadição e subtração;

n estimam a medida de grandezas utilizando unidades de medida convencional ou não;

n leem informações e dados apresentados em gráficos de coluna;n identificam a localização de números racionais representados na forma

decimal na reta numérica.

Nível 9 – 325 a 350

Neste nível, os alunos do 5º e 9º anos:

n reconhecem a conservação ou modificação de medidas dos lados, do perímetro, da área em ampliação e/ou redução de figuras poligonais usando malhas quadriculadas;

n identificam fração como representação que pode estar associada a diferentes significados;

n resolvem equações do 1º grau com uma incógnita;n identificam diferentes representações de um mesmo número racional;n calculam a área de um polígono desenhado em malha quadriculada;n reconhecem a representação numérica de uma fração a partir do

preenchimento de partes de uma figura.

No 9º ano os alunos também:

n reconhecem círculo/circunferência, seus elementos e algumas de suas relações;n realizam conversão e somas de medidas de comprimento;n identificam a expressão algébrica que expressa uma regularidade observada

em sequências de números ou figuras;n resolvem problemas utilizando relações entre diferentes unidades de medida;n resolvem problemas que envolvam equação do 2º grau;n identificam fração como representação que pode estar associada a diferentes

significados;n resolvem problemas:

n envolvendo a escrita decimal de cédulas e moedas do sistema monetário brasileiro, utilizando várias operações (adição, subtração, multiplicação e divisão);

n utilizando as relações métricas do triângulo retângulo;

n reconhecem que as imagens de uma figura construída por uma transformação homotética são semelhantes, identificando propriedades e/ou medidas que se modificam ou não se alteram.


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Nível 10 – 350 a 375

Além das habilidades demonstradas nos níveis anteriores, neste nível, os alunosdo 5º e 9º anos:

n estimam a medida de grandezas utilizando unidades de medida convencional ou não;

n identificam propriedades comuns e diferenças entre poliedros e corpos redondos, relacionando figuras tridimensionais com suas planificações;

n calculam o resultado de uma multiplicação ou divisão de números naturais.

No 9º ano os alunos também:

n resolvem problemas envolvendo:n o cálculo de área e perímetro de figuras planas;n o cálculo do perímetro de figuras planas, desenhadas em malha

quadriculada;n ângulos, inclusive utilizando a Lei Angular de Tales e utilizando o Teorema de

Pitágoras;n noções de volume;n relações métricas do triângulo retângulo a partir de apoio gráfico

significativo;

n reconhecem as diferentes representações de um número racional;n estabelecem relação entre frações próprias e impróprias, as suas representações

decimais, assim como localizam-nas na reta numérica;n efetuam cálculos simples com valores aproximados de radicais;n identificam uma equação ou inequação do 1º grau que expressa um problema;n interpretam informações apresentadas por meio de coordenadas cartesianas;n reconhecem as representações dos números racionais como uma extensão

do sistema de numeração decimal, identificando a existência de “ordens” como décimos, centésimos e milésimos;

n identificam relação entre quadriláteros por meio de suas propriedades;n efetuam cálculos com números inteiros, envolvendo as operações (adição;

subtração; multiplicação; divisão e potenciação);n identificam quadriláteros observando as posições relativas entre seus lados

(paralelos, concorrentes, perpendiculares);n identificam frações equivalentes;n efetuam somatório e cálculo de raiz quadrada;n efetuam operações com expressões algébricas;n identificam as medidas que não se alteram (ângulos) e as que se modificam

(perímetro, lados e área) em transformações (ampliações ou reduções) de figuras poligonais usando malhas quadriculadas;

n reconhecem ângulos como mudança de direção ou giros, identificando ângulos retos e não retos.


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Nível 11– 375 a 400

Além das habilidades demonstradas nos níveis anteriores, neste nível os alunos do 9º ano:

n reconhecem círculo/circunferência, seus elementos e algumas de suas relações;n identificam propriedades de triângulos pela comparação de medidas de lados e

ângulos;n efetuam operações com números racionais, envolvendo a utilização de

parênteses (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação);n reconhecem expressão algébrica que representa uma função a partir de uma tabela;n reconhecem figuras semelhantes mediante o reconhecimento de relações

de proporcionalidade;n identificam:

n a localização de números racionais na reta numérica;n propriedades de triângulos pela comparação de medidas de lados e

ângulos;n propriedades comuns e diferenças entre figuras bidimensionais e

tridimensionais, relacionando-as com as suas planificações;n a relação entre as representações algébrica e geométrica de um sistema

de equações do 1º grau;

n resolvem problemas:n envolvendo noções de volume;n envolvendo porcentagem;n utilizando propriedades dos polígonos (soma de seus ângulos internos,

número de diagonais, cálculo da medida de cada ângulo interno nos polígonos regulares);

n utilizando relações métricas do triângulo retângulo;n interpretando informações apresentadas em tabelas e/ou gráficos.

Nível 12 – 400 a 425

Além das habilidades demonstradas nos níveis anteriores, neste nível os alunos do 9º ano:

n identificam ângulos retos e não retos;n identificam a expressão algébrica que expressa uma regularidade observada

em sequências de números ou figuras (padrões);n calculam o diâmetro de circunferências concêntricas;n resolvem problemas:

n envolvendo equação do 2º grau;n utilizando propriedades dos polígonos (soma de seus ângulos internos,

número de diagonais, cálculo da medida de cada ângulo interno nos polígonos regulares);

n envolvendo variação proporcional, direta ou inversa, entre grandezas.

MEC/INEP. Documento de Escala de Desempenho em Matemática no Ensino Fundamental.

Disponível em: http://download.inep.gov.br/educacao_basica/prova_brasil_saeb/escala/2011

/escala_desempenho_matematica_fundamental.pdf


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Anotações


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