bifurcações de equilíbrios de codimensão um [apresentação]

Bifurcações de Codimensão Um

Elton Ribeiro da Cruz

Licenciando em Matemática

Orientadora:Profa. Dra. Maria do Carmo Pacheco de Toledo Costa

Departamento de Ciências Exatas - DEXUNIVERSIDADE FEDERAL DE LAVRAS

Elton (UFLA) Bifurcações 1 / 59

Introdução: Equações diferenciais

As equações diferenciais são importantes para as ciências, pois informamcomo a variação de uma grandeza afeta outras grandezas relacionadas.

Aplicam-se na resolução de problemas nas áreas da Matemática e Física,além dos domínios da Biologia e da Química, da Geografia, da Economiae até mesmo na Música.

Geralmente, essas equações se apresentam em conjunto, formando umsistema de equações diferenciais.

Foco deste trabalhoSistemas dinâmicos que contêm uma única equação diferencial ordinária deprimeira ordem — sistema unidimensional — com variáveis contínuas e umparâmetro.

Objetivo principalEstudar as bifurcações de codimensão um, que acontecem ao se variar o valorde um único parâmetro do sistema unidimensional.

Foco deste trabalhoSistemas dinâmicos que contêm uma única equação diferencial ordinária deprimeira ordem — sistema unidimensional — com variáveis contínuas e umparâmetro.

Objetivo principalEstudar as bifurcações de codimensão um, que acontecem ao se variar o valorde um único parâmetro do sistema unidimensional.

Equações diferenciais ordinárias de primeira ordem

DefiniçãoUma equação diferencial ordinária de primeira ordem é uma equação da forma

y′ = f (x,y), (1)

sendo f : U ⊂ R→ R uma função dada, U um conjunto aberto, y = y(x) a

função incógnita e y′ =dydx

sua derivada.

Definição (Linearidade)A equação (1) é dita linear se a função f for linear nas variáveis y e y′. Casocontrário, a equação é dita não linear.

Equações diferenciais ordinárias de primeira ordem

DefiniçãoUma equação diferencial ordinária de primeira ordem é uma equação da forma

y′ = f (x,y), (1)

sendo f : U ⊂ R→ R uma função dada, U um conjunto aberto, y = y(x) a

função incógnita e y′ =dydx

sua derivada.

Definição (Linearidade)A equação (1) é dita linear se a função f for linear nas variáveis y e y′. Casocontrário, a equação é dita não linear.

Exemplo (Modelo de Malthus)A equação

é linear, pois a função f (N, t) = λN é linear na variável N.

A constante λ é a taxa de crescimento (ou declínio) da população.

O economista inglês Thomas Robert Malthus (1766-1834) propôs esse modelopara descrever o crescimento de uma população N(t) em função do tempo t.

ExemploA equação

y′ =xy

é não linear, já que a função f (x,y) = xy−1 é não linear na variável y.

ExemploA equação

y′ =xy

ExemploA equação

y′ =xy

ExemploA equação

y′ =xy

Solução de uma equação diferencial

DefiniçãoUma função y : I→ R definida e diferenciável em um intervalo aberto I ⊂ R, éuma solução da equação diferencial (1) no intervalo I se

y′(x) = f (x,y(x)),

para todo x ∈ I e (x,y(x)) pertencente ao domínio de f .

DefiniçãoSe y : I→ R é uma solução de y′ = f (x,y) e y(x0) = y0, dado (x0,y0)pertencente ao domínio de f , diz-se que essa solução satisfaz a condição inicialy(x0) = y0 ou, o problema de valor inicial,

y′ = f (x,y), y(x0) = y0. (2)

Solução de uma equação diferencial

DefiniçãoUma função y : I→ R definida e diferenciável em um intervalo aberto I ⊂ R, éuma solução da equação diferencial (1) no intervalo I se

y′(x) = f (x,y(x)),

para todo x ∈ I e (x,y(x)) pertencente ao domínio de f .

DefiniçãoSe y : I→ R é uma solução de y′ = f (x,y) e y(x0) = y0, dado (x0,y0)pertencente ao domínio de f , diz-se que essa solução satisfaz a condição inicialy(x0) = y0 ou, o problema de valor inicial,

y′ = f (x,y), y(x0) = y0. (2)

ExemploEncontre as soluções do modelo de Malthus

= λN.

Essa equação pode ser resolvida facilmente usando o método das equaçõesdiferenciais separáveis.

ExemploEncontre as soluções do modelo de Malthus

= λN.

Essa equação pode ser resolvida facilmente usando o método das equaçõesdiferenciais separáveis.

Assim, uma solução particular do modelo de Malthus é dada por

N(t) = N0eλ t,

que depende do sinal da constante λ , a taxa de crescimento (ou declínio) dapopulação N(t):

Se λ > 0, então a função N apresenta crescimento exponencial, de modoque a população está aumentando;

Se λ < 0, então a função N exibe decaimento exponencial, de modo que apopulaçao está diminuindo.

N(t) = N0eλ t,

Soluções do modelo de Malthus, para C =12,1,2,3

λ = 1

Soluções do modelo de Malthus, para C =12,1,2,3

λ =−1

ExemploResolva a equação diferencial

y′ =xy, y 6= 0.

A equação dada possui a forma

y′ =h(x)g(y)

, g(y) 6= 0,

e é chamada de separável. Temos:

y dy = x dx

y2 = x2 +C,

sendo C uma constante de integração.

y′ =xy, y 6= 0.

y′ =h(x)g(y)

, g(y) 6= 0,

y dy = x dx

y2 = x2 +C,

y′ =xy, y 6= 0.

y′ =h(x)g(y)

, g(y) 6= 0,

y dy = x dx

y2 = x2 +C,

y′ =xy, y 6= 0.

y′ =h(x)g(y)

, g(y) 6= 0,

y dy = x dx

y2 = x2 +C,

y′ =xy, y 6= 0.

y′ =h(x)g(y)

, g(y) 6= 0,

y dy = x dx

y2 = x2 +C,

y′ =xy, y 6= 0.

y′ =h(x)g(y)

, g(y) 6= 0,

y dy = x dx

y2 = x2 +C,

Algumas soluções da equação diferencial y′ =xy

C =−1

C = 0C =−5

O pontilhado no eixo dos x é para mostrar que não há soluções passando porpontos da forma (a,0).

Campo de direções

Um problemaEm geral, nem todas as equações diferenciais ordinárias de primeira ordem queaparentam ser simples são resolvíveis de forma explícita.

Em muitas aplicações não é necessário conhecer a expressão algébrica dassoluções de uma equação diferencial, mas sim investigar as propriedadesgeométricas de sua família de soluções.

Campo de direções

Um problemaEm geral, nem todas as equações diferenciais ordinárias de primeira ordem queaparentam ser simples são resolvíveis de forma explícita.

Em muitas aplicações não é necessário conhecer a expressão algébrica dassoluções de uma equação diferencial, mas sim investigar as propriedadesgeométricas de sua família de soluções.

Com uma análise geométrica da função f é possível extrair várias informaçõesimportantes sobre as soluções de

y′ = f (x,y). (3)

Para cada ponto (x,y), no domínio de f , a reta tangente à solução de (3), quepassa por este ponto, tem uma inclinação dada por f (x,y). Em outras palavras,as soluções da equação (3) são curvas cujas tangentes em cada ponto sãodefinidas por essas inclinações.

Com uma análise geométrica da função f é possível extrair várias informaçõesimportantes sobre as soluções de

y′ = f (x,y). (3)

Para cada ponto (x,y), no domínio de f , a reta tangente à solução de (3), quepassa por este ponto, tem uma inclinação dada por f (x,y). Em outras palavras,as soluções da equação (3) são curvas cujas tangentes em cada ponto sãodefinidas por essas inclinações.

DefiniçãoO campo de direções é um conjunto de vetores no plano cartesiano xy traçadosem cada ponto (x,y) com inclinação igual a f (x,y).

Como o campo de direções sugere um “padrão de fluxo” para a família decurvas solução da equação diferencial (3), ele facilita o desenho de qualquersolução em particular.

DefiniçãoO campo de direções é um conjunto de vetores no plano cartesiano xy traçadosem cada ponto (x,y) com inclinação igual a f (x,y).

Como o campo de direções sugere um “padrão de fluxo” para a família decurvas solução da equação diferencial (3), ele facilita o desenho de qualquersolução em particular.

ExemploO campo de direções para o modelo de Malthus, para λ = 1 e λ =−1,respectivamente:

ExemploCampo de direções da equação y′ = x/y e a solução do problema de valorinicial y′ = x/y, y(3) = 2.

Retrato de fase

Vamos restringir nosso estudo às equações diferenciais ordinárias de primeiraordem, na qual a variável independente não aparece explicitamente e que sãochamadas de equações autônomas.

DefiniçãoUma equação diferencial ordinária de primeira ordem da forma

= f (y), (4)

sendo que a função f depende somente de y e não da variável independente t, échamada de equação autônoma. Caso contrário, a equação acima é dita nãoautônoma.

Retrato de fase

Vamos restringir nosso estudo às equações diferenciais ordinárias de primeiraordem, na qual a variável independente não aparece explicitamente e que sãochamadas de equações autônomas.

DefiniçãoUma equação diferencial ordinária de primeira ordem da forma

= f (y), (4)

sendo que a função f depende somente de y e não da variável independente t, échamada de equação autônoma. Caso contrário, a equação acima é dita nãoautônoma.

ExemploO modelo de Malthus dado por

é uma equação autônoma, pois a função f depende apenas de N.

ExemploA equação diferencial

= x2−1

é autônoma, pois a função f depende apenas da variável x.

ExemploO modelo de Malthus dado por

é uma equação autônoma, pois a função f depende apenas de N.

= x2−1

é autônoma, pois a função f depende apenas da variável x.

é não autônoma, pois a função f depende explicitamente da variávelindependente x.

Definição (Solução de equilíbrio)Se y∗ é um zero de f , isto é, f (y∗) = 0, então y(t) = y∗ é solução de (4) e échamada de solução de equilíbrio ou estacionária e o ponto y∗ é chamado deponto de equilíbrio, singularidade ou ponto crítico.

Do ponto de vista qualitativo é importante saber se esta solução de equilíbrio éestável, ou seja, se uma pequena pertubação na posição de equilíbrio resultaráem um retorno ou em um afastamento desta posição.

Definição (Solução de equilíbrio)Se y∗ é um zero de f , isto é, f (y∗) = 0, então y(t) = y∗ é solução de (4) e échamada de solução de equilíbrio ou estacionária e o ponto y∗ é chamado deponto de equilíbrio, singularidade ou ponto crítico.

Do ponto de vista qualitativo é importante saber se esta solução de equilíbrio éestável, ou seja, se uma pequena pertubação na posição de equilíbrio resultaráem um retorno ou em um afastamento desta posição.

Definição (Estabilidade)Um ponto de equilíbrio y∗ é estável, se dado ε > 0, existe δ > 0, tal que para|y0− y∗|< δ , a solução do problema de valor inicial

= f (y), y(0) = y0

é tal que |y(t)− y∗|< ε para todo t > 0. Um ponto de equilíbrio que não éestável é chamado de instável.

Em outras palavras, todas as soluções que partem suficientemente próximas dey∗ são definidas para todo t > 0 e se mantém perto deste ponto.

Definição (Estabilidade assintótica)Um ponto de equilíbrio y∗ é assintoticamente estável, se for estável e se existirη > 0 tal que lim

t→∞y(t) = y∗ quando |y0− y∗|< η .

= f (y), y(0) = y0

t→∞y(t) = y∗ quando |y0− y∗|< η .

= f (y), y(0) = y0

t→∞y(t) = y∗ quando |y0− y∗|< η .

Teorema (da Estabilidade)Seja y∗ um ponto de equilíbrio de (4) com f de classe C1, isto é, f é derivável esua derivada é contínua. Então f ′(y∗)< 0 implica que y∗ é assintoticamenteestável, e f ′(y∗)> 0 implica que y∗ é instável.

Demonstração:

Vamos analisar a variação de y(t)− y∗:

ddt(y(t)− y∗)2 = 2(y(t)− y∗)

= 2(y(t)− y∗)f (y(t)).

Pelo Teorema do Valor Médio temos que

f ′(ξ (t)) =f (y(t))− f (y∗)

y(t)− y∗, (5)

para ξ (t) um valor entre y(t) e y∗.

Demonstração:Vamos analisar a variação de y(t)− y∗:

ddt(y(t)− y∗)2 = 2(y(t)− y∗)

= 2(y(t)− y∗)f (y(t)).

f ′(ξ (t)) =f (y(t))− f (y∗)

y(t)− y∗, (5)

ddt(y(t)− y∗)2

= 2(y(t)− y∗)dydt

= 2(y(t)− y∗)f (y(t)).

f ′(ξ (t)) =f (y(t))− f (y∗)

y(t)− y∗, (5)

ddt(y(t)− y∗)2 = 2(y(t)− y∗)

= 2(y(t)− y∗)f (y(t)).

f ′(ξ (t)) =f (y(t))− f (y∗)

y(t)− y∗, (5)

ddt(y(t)− y∗)2 = 2(y(t)− y∗)

= 2(y(t)− y∗)f (y(t)).

f ′(ξ (t)) =f (y(t))− f (y∗)

y(t)− y∗, (5)

ddt(y(t)− y∗)2 = 2(y(t)− y∗)

= 2(y(t)− y∗)f (y(t)).

f ′(ξ (t)) =f (y(t))− f (y∗)

y(t)− y∗, (5)

ddt(y(t)− y∗)2 = 2(y(t)− y∗)

= 2(y(t)− y∗)f (y(t)).

f ′(ξ (t)) =f (y(t))− f (y∗)

y(t)− y∗, (5)

Logo, multiplicando a equação (5) por 2(y(t)− y∗)2 temos

2(y(t)− y∗)[f (y(t))− f (y∗)] = 2(y(t)− y∗)2f ′(ξ (t)),

ou seja,2(y(t)− y∗)f (y(t)) = 2(y(t)− y∗)2f ′(ξ (t)),

pois f (y∗) = 0.

Assim, se f ′(y∗)< 0, pela continuidade de f ′ existem η > 0 e δ > 0 tal que se|y− y∗|< δ então f ′(y)<−η < 0.

2(y(t)− y∗)[f (y(t))− f (y∗)] = 2(y(t)− y∗)2f ′(ξ (t)),

pois f (y∗) = 0.

2(y(t)− y∗)[f (y(t))− f (y∗)] = 2(y(t)− y∗)2f ′(ξ (t)),

pois f (y∗) = 0.

Logo, se para algum t0, a solução y(t) de (4) é tal que |y(t0)− y∗|< δ , segueque α(t) definido como (y(t)− y∗)2 é decrescente para t > t0.

Além disso, temos

α(t)6−ηα(t) para t > t0.

Logo α(t)6 Ce−η t, o que implica que y(t) tende a y∗ quando t→ ∞.

Quando f ′(y∗)> 0, faz-se um raciocínio análogo.�

Além disso, temos

Monteiro (2002) apresenta um procedimento para representar os pontos deequilíbrio da equação (4):

Trace o eixo y;

Marque o ponto de equilíbrio y∗;

Se f (y)> 0, desenhe flechas apontando para a direita, no sentido em que ycresce, já que nesse caso, dy/dt > 0;

Se f (y)< 0, desenhe flechas apontando para a esquerda, no sentido emque y decresce, já que nesse caso, dy/dt < 0;

Se as flechas chegam ao ponto de equilíbrio, ele é assintoticamente estávele é representado por uma bolinha cheia;

Se as flechas se afastam do ponto de equilíbrio, ele é instável e érepresentado por uma bolinha vazia.

Trace o eixo y;

ExemploAnalise a estabilidade dos pontos de equilíbrio para o modelo de Malthus

= λN = f (N). (6)

Primeiramente, vamos encontrar os pontos de equilíbrio, fazendo

Desse modo, obtemosN∗ = 0.

Consideremos a função f (N) dado pelo segundo membro da equação (6):

f (N) = λN.

= λN = f (N). (6)

f (N) = λN.

= λN = f (N). (6)

f (N) = λN.

= λN = f (N). (6)

f (N) = λN.

= λN = f (N). (6)

f (N) = λN.

= λN = f (N). (6)

f (N) = λN.

= λN = f (N). (6)

f (N) = λN.

Suponhamos que λ > 0. Desse modo, obtemos o seguinte gráfico de f (N):

A figura a seguir é chamada de retrato de fase, também conhecido como linhade fase (para uma dimensão). O ponto crítico N∗ = 0 é instável.

Retrato de fase do modelo de Malthus para λ > 0

Observemos também que f ′(N∗) = λ > 0, logo pelo Teorema da estabilidadeN∗ = 0 é instável.

Campo de direções para o modelo de Malthus, para λ = 1

Agora consideremos λ < 0. Assim, obtemos o seguinte gráfico de f (N):

O ponto crítico N∗ = 0 é assintoticamente estável.

Retrato de fase do modelo de Malthus para λ < 0

Observemos também que f ′(N∗) = λ < 0, logo pelo Teorema da estabilidadeN∗ = 0 é assintoticamente estável.

Campo de direções para o modelo de Malthus, para λ =−1

ExemploAnalise a estabilidade dos pontos de equilíbrio da equação

= x2−1.

Para encontrarmos os pontos de equilíbrio, basta calcular as raízes da equação

x2−1 = 0.

Logo, temos dois pontos de equilíbrio: x∗1 =−1 e x∗2 = 1. Se o valor de x formenor que −1, f (x) = x2−1 é positivo, para x compreendido entre −1 e 1, f (x)é negativo. Por fim, se x for maior que 1, f (x) é positivo.

Linha de fase da equaçãodxdt

= x2−1

−1 0 1 x

= x2−1.

x2−1 = 0.

= x2−1

−1 0 1 x

= x2−1.

x2−1 = 0.

= x2−1

−1 0 1 x

= x2−1.

x2−1 = 0.

= x2−1

−1 0 1 x

= x2−1.

x2−1 = 0.

= x2−1

−1 0 1 x

= x2−1.

x2−1 = 0.

= x2−1

−1 0 1 x

Pelo Teorema da estabilidade, também temos que x∗1 =−1 é assintoticamenteestável e x∗2 = 1 é instável, pois f ′(−1) =−2 < 0 e f ′(1) = 2 > 0.

Campo de direções da equaçãodxdt

= x2−1

Pelo Teorema da estabilidade, também temos que x∗1 =−1 é assintoticamenteestável e x∗2 = 1 é instável, pois f ′(−1) =−2 < 0 e f ′(1) = 2 > 0.

Campo de direções da equaçãodxdt

= x2−1

Bifurcação

Consideremos as equações diferenciais lineares autônomas de primeira ordemque dependem de um parâmetro µ , isto é, equações da forma

= fµ(x), (7)

sendo x ∈ R e µ ∈ R e vamos estudar se ocorre uma mudança qualitativa noseu retrato de fase ao se variar o valor do parâmetro µ em torno de um valorcrítico µc.

O retrato de fase desta equação depende do valor de µ . Ao se variar o valordesse parâmetro, podem-se criar ou destruir pontos de equilíbrio e alterar suasestabilidades.

Bifurcação

Consideremos as equações diferenciais lineares autônomas de primeira ordemque dependem de um parâmetro µ , isto é, equações da forma

= fµ(x), (7)

sendo x ∈ R e µ ∈ R e vamos estudar se ocorre uma mudança qualitativa noseu retrato de fase ao se variar o valor do parâmetro µ em torno de um valorcrítico µc.

O retrato de fase desta equação depende do valor de µ . Ao se variar o valordesse parâmetro, podem-se criar ou destruir pontos de equilíbrio e alterar suasestabilidades.

Segundo Monteiro (2006), o termo bifurcação, introduzido pelo matemáticofrancês Jules-Henri Poincaré (1854-1912) em 1885, refere-se a mudançaqualitativa do retrato de fases de um sistema dinâmico, conforme algumparâmetro do sistema passa por um valor crítico.

A codimensão de uma bifurcação é o número de parâmetros cujos valores sãovariados a fim de se produzir a bifurcação em questão.

Bifurcações que ocorrem em sistemas unidimensionais do tipo (7):

Bifurcação sela-nó

Bifurcação transcrítica

Bifurcação de forquilha

Ocorre quando um par de pontos de equilíbrio com estabilidades opostas écriado ou destruído ao variarmos um parâmetro. É também conhecida comobifurcação tangente ou bifurcação de dobra (WITKOWSKI FILHO, 2006,p. 9).

ExemploSeja a equação diferencial

= fµ(x) = µ + x2,

sendo µ ∈ R um parâmetro.

Se µ 6 0 esta equação possui duas singularidades:

x∗1 =−√−µ e x∗2 =

√−µ.

= fµ(x) = µ + x2,

x∗1 =−√−µ e x∗2 =

√−µ.

= fµ(x) = µ + x2,

x∗1 =−√−µ e x∗2 =

√−µ.

= fµ(x) = µ + x2,

x∗1 =−√−µ e x∗2 =

√−µ.

A estabilidade das singularidades é obtida através do sinal de dfµ/dx calculadoem x∗.

Para x∗1 =−√−µ tem-se

dfµ(x)dx

∣∣∣∣x = x∗1

= −2√−µ,

que é um número negativo para µ < 0 e para x∗2 =√−µ tem-se

dfµ(x)dx

∣∣∣∣x = x∗2

= 2√−µ,

que é um número positivo para µ < 0.

dfµ(x)dx

∣∣∣∣x = x∗1

= −2√−µ,

dfµ(x)dx

∣∣∣∣x = x∗2

= 2√−µ,

dfµ(x)dx

∣∣∣∣x = x∗1

= −2√−µ,

dfµ(x)dx

∣∣∣∣x = x∗2

= 2√−µ,

dfµ(x)dx

∣∣∣∣x = x∗1

= −2√−µ,

dfµ(x)dx

∣∣∣∣x = x∗2

= 2√−µ,

Observando o retrato de fase de fµ , tem-se que x∗1 é assintoticamente estável ex∗2 é instável.

fµ(x)

−√−µ

√−µ

No caso em que µ > 0 não temos pontos fixos no retrato de fase.

Conforme variamos o parâmetro µ , a aparência do campo de direções e doretrato de fase também se altera.

fµ(x)

−√−µ

√−µ

fµ(x)

−√−µ

√−µ

Campo de direções de fµ para µ =−1:

Campo de direções de fµ para µ = 0:

Campo de direções de fµ para µ = 1:

Para µ =−1, obtemos esta linha de fase:

−1 0 1 x

Para µ = 0, a figura abaixo ilustra a seguinte linha de fase:

E finalmente, para µ = 1, a linha de fase mostra que não temos pontos deequilíbrio.

−1 0 1 x

Junto com o esboço do retrato de fase podemos representar como as soluçõesde equilíbrio variam em função do parâmetro µ construindo o diagrama debifurcação. Nesse diagrama, representamos as variações do valor e daestabilidade de cada ponto fixo x∗ em função de µ . A solução assintoticamenteestável está representada por uma linha contínua e a solução instável, por umalinha tracejada e as retas com setas, traçadas para determinados valores de µ ,correspondem aos retratos de fase.

Observemos que um retrato de fase para µ < 0 é qualitativamente diferentedaquele para µ > 0. Para µ < 0 existe um par com estabilidades contrárias e,para µ > 0, não há ponto de equilíbrio. O ponto (x∗,µc) = (0,0) é o ponto debifurcação.

Observemos também que conforme se aumenta o valor do parâmetro, o par depontos de equilíbrio desaparece.

Diagrama de bifurcação dedxdt

= µ + x2

solução instável

solução assintoticamente estável

Acontece quando para qualquer valor do parâmetro µ existem dois pontos deequilíbrio e a estabilidade desses pontos são trocadas quando o parâmetro passapor um valor crítico.

= fµ(x) = µx+ x2.

Os pontos de equilíbrio são obtidos de fµ(x) = 0:

µx+ x2 = 0

x(µ + x) = 0,

logo x∗1 = 0 e x∗2 =−µ , para todo µ ∈ R.

= fµ(x) = µx+ x2.

µx+ x2 = 0

x(µ + x) = 0,

= fµ(x) = µx+ x2.

µx+ x2 = 0

x(µ + x) = 0,

= fµ(x) = µx+ x2.

µx+ x2 = 0

x(µ + x) = 0,

= fµ(x) = µx+ x2.

µx+ x2 = 0

x(µ + x) = 0,

= fµ(x) = µx+ x2.

µx+ x2 = 0

x(µ + x) = 0,

= fµ(x) = µx+ x2.

µx+ x2 = 0

x(µ + x) = 0,

A estabilidade dos pontos fixos é dada pelo sinal da derivada de fµ em relação ax:

(µx+ x2)

Para x∗1 = 0, temosddx

(fµ(x))∣∣∣∣x∗1

= µ +2 ·0 = µ.

Daí, se µ < 0, então x∗1 é assintoticamente estável e se µ > 0, x∗1 é instável.

Para x∗2 =−µ , temos

(fµ(x))∣∣∣∣x∗2

= µ +2(−µ) = −µ.

Daí, se µ > 0, então x∗2 é assintoticamente estável e se µ < 0, x∗2 é instável.O ponto (x∗,µc) = (0,0) é o ponto de bifurcação.

(µx+ x2) = µ +2x.

(fµ(x))∣∣∣∣x∗1

= µ +2 ·0 = µ.

(fµ(x))∣∣∣∣x∗2

= µ +2(−µ) = −µ.

(µx+ x2) = µ +2x.

(fµ(x))∣∣∣∣x∗1

= µ +2 ·0 = µ.

(fµ(x))∣∣∣∣x∗2

= µ +2(−µ) = −µ.

(µx+ x2) = µ +2x.

(fµ(x))∣∣∣∣x∗1

= µ +2 ·0 = µ.

(fµ(x))∣∣∣∣x∗2

= µ +2(−µ) = −µ.

(µx+ x2) = µ +2x.

(fµ(x))∣∣∣∣x∗1

= µ +2 ·0 = µ.

(fµ(x))∣∣∣∣x∗2

= µ +2(−µ) = −µ.

(µx+ x2) = µ +2x.

(fµ(x))∣∣∣∣x∗1

= µ +2 ·0 = µ.

(fµ(x))∣∣∣∣x∗2

= µ +2(−µ) = −µ.

(µx+ x2) = µ +2x.

(fµ(x))∣∣∣∣x∗1

= µ +2 ·0 = µ.

(fµ(x))∣∣∣∣x∗2

= µ +2(−µ) = −µ.

(µx+ x2) = µ +2x.

(fµ(x))∣∣∣∣x∗1

= µ +2 ·0 = µ.

(fµ(x))∣∣∣∣x∗2

= µ +2(−µ) = −µ.

Daí, se µ > 0, então x∗2 é assintoticamente estável e se µ < 0, x∗2 é instável.

O ponto (x∗,µc) = (0,0) é o ponto de bifurcação.

(µx+ x2) = µ +2x.

(fµ(x))∣∣∣∣x∗1

= µ +2 ·0 = µ.

(fµ(x))∣∣∣∣x∗2

= µ +2(−µ) = −µ.

= µx+ x2:

solução instável

Aparece em sistemas físicos que apresentam algum tipo de simetria e um par depontos de equilíbrio de mesma estabilidade pode aparecer ou desaparecersimultaneamente quando o parâmetro passa por um valor crítico.

= fµ(x) = µx− x3.

Suas soluções de equilíbrio são obtidas de fµ(x) = 0:

µx− x3 = 0

x(µ− x2) = 0

µ + x)(√

µ− x) = 0,

logo x∗1 = 0, x∗2 =−√

µ e x∗3 =√

µ , sendo µ > 0.

A estabilidade dos pontos de equilíbrio é dada pelo sinal da derivada de fµ emrelação a x:

(µx− x3)

= fµ(x) = µx− x3.

µx− x3 = 0

x(µ− x2) = 0

µ + x)(√

µ− x) = 0,

logo x∗1 = 0, x∗2 =−√

µ e x∗3 =√

µ , sendo µ > 0.

(µx− x3)

= fµ(x) = µx− x3.

µx− x3 = 0

x(µ− x2) = 0

µ + x)(√

µ− x) = 0,

logo x∗1 = 0, x∗2 =−√

µ e x∗3 =√

µ , sendo µ > 0.

(µx− x3)

= fµ(x) = µx− x3.

µx− x3 = 0

x(µ− x2) = 0

µ + x)(√

µ− x) = 0,

logo x∗1 = 0, x∗2 =−√

µ e x∗3 =√

µ , sendo µ > 0.

(µx− x3)

= fµ(x) = µx− x3.

µx− x3 = 0

x(µ− x2) = 0

µ + x)(√

µ− x) = 0,

logo x∗1 = 0, x∗2 =−√

µ e x∗3 =√

µ , sendo µ > 0.

(µx− x3)

= fµ(x) = µx− x3.

µx− x3 = 0

x(µ− x2) = 0

µ + x)(√

µ− x) = 0,

logo x∗1 = 0, x∗2 =−√

µ e x∗3 =√

µ , sendo µ > 0.

(µx− x3)

= fµ(x) = µx− x3.

µx− x3 = 0

x(µ− x2) = 0

µ + x)(√

µ− x) = 0,

logo x∗1 = 0, x∗2 =−√

µ e x∗3 =√

µ , sendo µ > 0.

(µx− x3)

= fµ(x) = µx− x3.

µx− x3 = 0

x(µ− x2) = 0

µ + x)(√

µ− x) = 0,

logo x∗1 = 0, x∗2 =−√

µ e x∗3 =√

µ , sendo µ > 0.

(µx− x3)

= fµ(x) = µx− x3.

µx− x3 = 0

x(µ− x2) = 0

µ + x)(√

µ− x) = 0,

logo x∗1 = 0, x∗2 =−√

µ e x∗3 =√

µ , sendo µ > 0.

(µx− x3)

= fµ(x) = µx− x3.

µx− x3 = 0

x(µ− x2) = 0

µ + x)(√

µ− x) = 0,

logo x∗1 = 0, x∗2 =−√

µ e x∗3 =√

µ , sendo µ > 0.

(µx− x3)

= fµ(x) = µx− x3.

µx− x3 = 0

x(µ− x2) = 0

µ + x)(√

µ− x) = 0,

logo x∗1 = 0, x∗2 =−√

µ e x∗3 =√

µ , sendo µ > 0.

(µx− x3) = µ−3x2.

(fµ(x))∣∣∣∣x∗1

= µ−3 ·02 = µ.

Daí, se µ < 0, então x∗1 é assintoticamente estável e se µ > 0, x∗1 é instável.Para x∗2 =−

√µ , temos

(fµ(x))∣∣∣∣x∗2

= µ−3(−√

µ)2 = µ−3µ = −2µ.

Como a solução x∗2 só existe para µ > 0, x∗2 é assintoticamente estável.Para x∗3 =

√µ , temos

(fµ(x))∣∣∣∣x∗3

= µ−3(√

µ)2 = µ−3µ = −2µ.

Como a solução x∗3 existe somente para µ > 0, x∗3 é assintoticamente estável.O ponto (x∗,µc) = (0,0) é o ponto de bifurcação.

(fµ(x))∣∣∣∣x∗1

= µ−3 ·02 = µ.

√µ , temos

(fµ(x))∣∣∣∣x∗2

= µ−3(−√

µ)2 = µ−3µ = −2µ.

√µ , temos

(fµ(x))∣∣∣∣x∗3

= µ−3(√

µ)2 = µ−3µ = −2µ.

(fµ(x))∣∣∣∣x∗1

= µ−3 ·02 = µ.

Para x∗2 =−√

µ , temos

(fµ(x))∣∣∣∣x∗2

= µ−3(−√

µ)2 = µ−3µ = −2µ.

√µ , temos

(fµ(x))∣∣∣∣x∗3

= µ−3(√

µ)2 = µ−3µ = −2µ.

(fµ(x))∣∣∣∣x∗1

= µ−3 ·02 = µ.

√µ , temos

(fµ(x))∣∣∣∣x∗2

= µ−3(−√

µ)2 = µ−3µ = −2µ.

√µ , temos

(fµ(x))∣∣∣∣x∗3

= µ−3(√

µ)2 = µ−3µ = −2µ.

(fµ(x))∣∣∣∣x∗1

= µ−3 ·02 = µ.

√µ , temos

(fµ(x))∣∣∣∣x∗2

= µ−3(−√

µ)2 = µ−3µ = −2µ.

√µ , temos

(fµ(x))∣∣∣∣x∗3

= µ−3(√

µ)2 = µ−3µ = −2µ.

(fµ(x))∣∣∣∣x∗1

= µ−3 ·02 = µ.

√µ , temos

(fµ(x))∣∣∣∣x∗2

= µ−3(−√

µ)2 = µ−3µ = −2µ.

Como a solução x∗2 só existe para µ > 0, x∗2 é assintoticamente estável.

Para x∗3 =√

µ , temos

(fµ(x))∣∣∣∣x∗3

= µ−3(√

µ)2 = µ−3µ = −2µ.

(fµ(x))∣∣∣∣x∗1

= µ−3 ·02 = µ.

√µ , temos

(fµ(x))∣∣∣∣x∗2

= µ−3(−√

µ)2 = µ−3µ = −2µ.

√µ , temos

(fµ(x))∣∣∣∣x∗3

= µ−3(√

µ)2 = µ−3µ = −2µ.

(fµ(x))∣∣∣∣x∗1

= µ−3 ·02 = µ.

√µ , temos

(fµ(x))∣∣∣∣x∗2

= µ−3(−√

µ)2 = µ−3µ = −2µ.

√µ , temos

(fµ(x))∣∣∣∣x∗3

= µ−3(√

µ)2 = µ−3µ = −2µ.

(fµ(x))∣∣∣∣x∗1

= µ−3 ·02 = µ.

√µ , temos

(fµ(x))∣∣∣∣x∗2

= µ−3(−√

µ)2 = µ−3µ = −2µ.

√µ , temos

(fµ(x))∣∣∣∣x∗3

= µ−3(√

µ)2 = µ−3µ = −2µ.

Como a solução x∗3 existe somente para µ > 0, x∗3 é assintoticamente estável.

O ponto (x∗,µc) = (0,0) é o ponto de bifurcação.

(fµ(x))∣∣∣∣x∗1

= µ−3 ·02 = µ.

√µ , temos

(fµ(x))∣∣∣∣x∗2

= µ−3(−√

µ)2 = µ−3µ = −2µ.

√µ , temos

(fµ(x))∣∣∣∣x∗3

= µ−3(√

µ)2 = µ−3µ = −2µ.

= µx− x3:

solução instável

solução

assintoticamente estável

Conclusão

Neste trabalho, estudamos as equações diferenciais ordinárias de primeiraordem, suas particularidades e formas de representar as soluções desse tipo deequações.

Vimos que é possível extrair informações de uma equação diferencialutilizando uma análise geométrica de uma função, sem necessariamenteencontrar a solução dessa equação diferencial. Também estabelecemos critériospara determinar a estabilidade das soluções de uma equação diferencial.

Avaliamos as equações diferenciais lineares de primeira ordem que dependiamde um parâmetro e estudamos a ocorrência de bifurcação.

Conclusão

Os pontos de bifurcação são interessantes em muitas aplicações, porque pertodeles a natureza da solução de uma equação diferencial sofre uma mudançaabrupta, como vimos nos três tipos de bifurcação: sela-nó, transcrítica eforquilha.

Para trabalhos futuros, uma sugestão é investigar as bifurcações cujacodimensão seja maior que um e suas relações com o caos em sistemasdinâmicos.

Os pontos de bifurcação são interessantes em muitas aplicações, porque pertodeles a natureza da solução de uma equação diferencial sofre uma mudançaabrupta, como vimos nos três tipos de bifurcação: sela-nó, transcrítica eforquilha.

Para trabalhos futuros, uma sugestão é investigar as bifurcações cujacodimensão seja maior que um e suas relações com o caos em sistemasdinâmicos.

REFERÊNCIAS I

ANJOS, T. A. N. dos. Equações de diferenças e algumas aplicações emmodelos populacionais. 2011. 99 p. Monografia (Graduação emMatemática) - Universidade Federal de Lavras, Lavras, 2011.

BOYCE, W. E.; DIPRIMA, R. C. Equações diferenciais elementares eproblemas de valores de contorno. Tradução de Valéria de MagalhãesIorio. 8. ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 2006. Títulooriginal: Elementary differencial equations and boundary value problems.

FIGUEIREDO, D. G. de; NEVES, A. F. Equações diferenciaisaplicadas. Rio de Janeiro, Instituto de Matemática Pura e Aplicada, CNPq,1997. 301 p. (Coleção Matemática Universitária)

LIMA, E. L. Análise real volume 1: funções de uma variável. 8. ed. Riode Janeiro: Instituto de Matemática Pura e Aplicada, 2006. 189 p.(Coleção Matemática Universitária)

REFERÊNCIAS II

MONTEIRO, L. H. A. Sistemas dinâmicos. 2. ed. São Paulo: Livraria daFísica, 2006. 625 p.

VILLATE, J. E. Introdução aos sistemas dinâmicos: uma abordagemprática com maxima. Porto: Universidade do Porto, 2007. Disponível em:<http://villate.org/doc/sistemasdinamicos/sistdinam-1_2.pdf>.

WITKOWSKI FILHO, L. E. O comportamento dinâmico e abifurcação de Hopf no oregonator. 2006. Monografia (Graduação emMatemática) - Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho,UNESP, Presidente Prudente. Disponível em:<http://www.impa.br/opencms/pt/eventos/downloads/jornadas_2006/trabalhos/jornadas_luiz_witkowski.pdf>.

Muito obrigado!

bifurcações de equilíbrios de codimensão um [apresentação]

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