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Projeto: Bifurcações e controle de caos na interação onda-partícula

Bolsista: Meirielen Caetano de Sousa

Pesquisador responsável: Iberê Luiz Caldas

Instituição: Instituto de Física, Universidade de São Paulo

Processo FAPESP número: 2015/05186-0

Processo vinculado: Projeto Temático “Dinâmica Não Linear” (2011/19296-1)

Processo vinculado: Projeto de Colaboração SPRINT 2014 “Control of Instabilities

by Alfvén Waves and Resonant Magnetic Perturbations in

Magnetized Plasmas” (2014/50794-6)

Período de vigência do projeto: 01/12/2015 a 30/11/2017

Período do relatório científico: 01/12/2015 a 31/10/2017

Meirielen Caetano de Sousa

Bolsista

Iberê Luiz Caldas

Pesquisador responsável

Resumo do projeto proposto

O estudo de mecanismos para aceleração de partículas é um tema de grande importância.

Nós investigamos a dinâmica de partículas relativísticas interagindo com um campo magnético

uniforme e uma onda eletrostática e estacionária, e nós apresentamos um método para melhorar a

aceleração de partículas. Nós introduzimos um toro robusto no sistema e demonstramos que ele

controla o caos, aumenta a energia final e reduz a energia inicial das partículas. Com o toro robusto,

nós obtemos partículas com energia final maior gastando menos energia para produzir a onda. Em

sistemas acoplados como na interação onda-partícula, as partes constituintes do sistema trocam

energia entre si de forma não linear. Nós propomos uma nova abordagem para o estudo da

distribuição de energia em sistemas com acoplamento não linear. Nós consideramos a energia total

distribuída entre os diferentes tipos de movimento do sistema, e o acoplamento entre eles. Essa

nova abordagem nos permite identificar como o acoplamento regula as trocas internas de energia e

nos traz uma melhor compreensão sobre a dinâmica do sistema acoplado. Nas próximas etapas, eu

irei analisar as transferências de energia entre os componentes do sistema e seus efeitos na

dinâmica. Eu continuarei analisando a interação onda-partícula, e irei investigar as bifurcações

isócronas e como elas afetam a aceleração e o transporte de partículas. Eu irei introduzir uma

pequena dissipação no sistema, e analisar as alterações provocadas nas propriedades de aceleração e

transporte. Também irei investigar a coexistência de atratores múltiplos de mesmo período no

sistema dissipativo. Além dos estudos teóricos, eu participarei de experimentos realizados em

parceria com a Universidade de Aix-Marseille na França, para investigar a interação onda-partícula.

A união entre pesquisas teóricas e experimentais é de extrema importância para que possamos

ampliar a compreensão sobre esse tipo de interação e desenvolver modelos mais robustos.

1 Introdução

Neste relatório nós descrevemos os trabalhos desenvolvidos no período da bolsa de pós-

doutorado concedida pela FAPESP. No período, nós analisamos um método para melhorar a

aceleração de partículas por ondas. Interações onda-partícula são geralmente um processo não linear

[1-4], e possuem muitas aplicações em diferentes áreas da Física, como por exemplo, aceleradores

de partículas [2, 5, 6], física de plasmas [2], dispositivos de fusão [7, 8], astrofísica [2], entre outros.

Nas Refs. [9, 10], nós analisamos a dinâmica de um feixe de partículas relativísticas que

interage com um campo magnético uniforme e uma onda eletrostática e estacionária. Nesse sistema,

a condição ideal para aceleração de partículas está restrita a um intervalo limitado de valores da

amplitude da onda. Além disso, a presença de órbitas caóticas prejudica o processo de aceleração.

Para contornar esses problemas, nós adicionamos um toro robusto ao sistema. O toro robusto

é uma curva invariante robusta no espaço de fases, gerada por uma perturbação externa. Na posição

exata do toro robusto, a perturbação causada pela onda é nula [11-13]. Por outro lado, o toro robusto

amplifica a ação da onda sobre as partículas em regiões afastadas do espaço de fases.

Nós mostramos que um toro robusto localizado adequadamente controla o caos, aumenta a

energia final e reduz a energia inicial das partículas para sua energia de repouso. Com o toro

robusto, é possível atingir a condição ideal para aceleração de partículas em um intervalo muito

maior de valores para a amplitude da onda. Além disso, o toro robusto melhora o processo de

aceleração para ondas com baixa amplitude que requerem menos energia para serem geradas.

Na interação onda-partícula, as ondas e as partículas do feixe trocam energia entre si de

forma não linear. Sistemas acoplados como esse estão presentes em diversas áreas, e a troca de

energia entre seus componentes ainda é um problema em aberto. Neste projeto, nós propomos uma

nova abordagem para o estudo da distribuição de energia em sistemas não lineares acoplados.

Inicialmente, nós consideramos um pêndulo elástico na Ref. [14], pois ele representa um

paradigma para o estudo de sistemas Hamiltonianos acoplados com baixa dimensionalidade [15-

18]. Além disso, o pêndulo elástico é utilizado como modelo para descrever diversos sistemas

físicos, entre eles, o acoplamento de ondas em física de plasmas [19], a interação entre ondas

eletromagnéticas em um meio não linear [20], e dispositivos mecânicos em engenharia [21-23].

Nós consideramos a energia total do pêndulo elástico distribuída entre os movimentos da

mola e do pêndulo, e o acoplamento entre eles. Nós analisamos como a energia total se distribui

entre esses três termos para trajetórias individuais. A seguir, nós consideramos um grande número

de trajetórias distribuídas por todo o espaço de fases, e analisamos como a distribuição média de

energia varia de acordo com os parâmetros do sistema. A partir da distribuição de energia que nós

propomos, foi possível verificar que o acoplamento regula as trocas de energia entre os movimentos

da mola e do pêndulo, e observar novas características da dinâmica do sistema acoplado.

Graças aos resultados obtidos no período do relatório, nós planejamos a realização de novas

pesquisas para 2018 e 2019. Por esse motivo, solicitamos à FAPESP a renovação da bolsa de pós-

doutorado por 12 meses. No período da renovação, eu irei estudar como ocorrem as transferências

de energia entre as diferentes partes que compõem um sistema acoplado, como essas transferências

de energia variam com os parâmetros, e quais são os efeitos na dinâmica do sistema acoplado.

No caso da interação onda-partícula, eu irei introduzir uma pequena dissipação e analisar as

alterações sofridas pela dinâmica do sistema, em particular, a aceleração e o transporte de

partículas. No sistema conservativo, o espaço de fases apresenta um cenário de múltiplas cadeias de

ilhas isócronas [24]. Ao introduzir uma pequena dissipação no sistema, as ilhas de ressonância

tornam-se atratores periódicos. Para o sistema dissipativo, eu irei investigar a possibilidade de

coexistência de atratores múltiplos de mesmo período, em substituição às múltiplas cadeias

isócronas do sistema conservativo. Também irei verificar as modificações sofridas por esses

atratores degenerados na presença de um forçamento externo que quebra a simetria do sistema.

Além disso, nós começamos a planejar as pesquisas que serão desenvolvidas em 2019, como

por exemplo, um estágio que eu irei realizar na Universidade de Aix-Marseille, França. Durante o

estágio, eu irei participar diretamente de experimentos realizados para investigar a interação onda-

partícula. Dessa forma, eu poderei comparar os resultados experimentais obtidos na Universidade

de Aix-Marseille com os resultados teóricos obtidos na Universidade de São Paulo. A união entre

pesquisas teóricas e experimentais permitirá o desenvolvimento de modelos mais robustos e códigos

numéricos mais precisos para descrever diversos aspectos da interação onda-partícula.

Nos últimos anos, nossa colaboração com a Universidade de Aix-Marseille foi mantida

através dessa bolsa de pós-doutorado e de um projeto de colaboração financiado pela FAPESP

através do programa SPRINT, e pelo CNRS na França. Esses projetos foram bem sucedidos e

resultaram na publicação de artigos em periódicos indexados, e de proceedings em conferências

internacionais. Para o período de janeiro de 2018 a dezembro de 2021, nós submetemos um projeto

de colaboração conjunto ao programa CAPESP/COFECUB. Esse projeto prevê visitas dos

pesquisadores à universidade parceira, assim como a concessão de bolsas de estudo aos

participantes brasileiros. Uma dessas bolsas de estudo será utilizada para o meu estágio de pós-

doutoramento na Universidade de Aix-Marseille em 2019.

No período deste relatório, eu submeti dois artigos para publicação em revistas indexadas,

publiquei quatro trabalhos como proceedings de conferências internacionais, apresentei dois

seminários como convidada em programas de pós-graduação, participei como avaliadora dos

trabalhos apresentados no 25º Simpósio Internacional de Iniciação Científica e Tecnológica da USP

(Etapa Internacional), atuei como revisora do periódico Nonlinear Dynamics, e desenvolvi outras

atividades descritas no relatório.

2 Realizações no período do relatório

2.1 Melhorando a aceleração de partículas com um toro robusto

O estudo de mecanismos para a aceleração de partículas tem sido um tema muito importante

nos últimos anos. No período do relatório, nós investigamos um método para melhorar a aceleração

de partículas a partir de baixas energias iniciais, e controlar o caos na interação onda-partícula.

Nós analisamos um feixe de baixa densidade constituído por partículas relativísticas

confinadas por um campo magnético uniforme, e interagindo com uma onda eletrostática e

estacionária que se propaga em uma direção perpendicular ao campo magnético. A Hamiltoniana

adimensional que descreve a dinâmica transversal desse sistema é dada por [25, 26]:

( , , ) 1 2 cos( 2 sin ) ( )2 n

H I t I k I t nT

, (1)

onde ( , )I são as variáveis de ângulo-ação do sistema integrável e não perturbado, T é o período

da onda dada na forma de pulsos periódicos, k é o número de onda, e / 2 é a amplitude da onda.

Na Ref. [25], nós mostramos que é possível acelerar partículas a partir de sua energia de

repouso e atingir uma energia final máxima. No entanto, nós observamos que essa condição ideal

para a aceleração de partículas só ocorre em um intervalo limitado da amplitude da onda. Quando a

amplitude é baixa como no espaço de fases da Figura 1.(a), a energia inicial das partículas está

longe de sua energia de repouso. Aumentando a amplitude da onda como na Figura 1.(b), trajetórias

caóticas destroem as ilhas de ressonância usadas para aceleração de partículas.

O objetivo do nosso trabalho é superar esses problemas, e atingir a condição ideal para

aceleração. Para isso, nós devemos reduzir a energia inicial das partículas para sua energia de

repouso, e controlar o caos no sistema para que ele não destrua ilhas de ressonância. No período do

relatório, nós investigamos um método capaz de atingir esses objetivos e melhorar a aceleração de

partículas como descrito nas Refs. [9, 10]: a adição de um toro robusto ao sistema.

O toro robusto é uma curva invariante robusta no espaço de fases, gerada por uma

perturbação externa. O toro robusto reduz a perturbação e controla o caos na região ao seu redor

[11-13]. Por outro lado, ele amplifica a ação da onda sobre as partículas para regiões afastadas.

A Hamiltoniana do sistema com a adição de um toro robusto é dada por [9, 10]

2

RT( , , ) 1 2 ( ) cos( 2 sin ) ( )2 n

H I t I I I k I t nT

, (2)

Figura 1: Espaço de fases do sistema original para 2 (1 1/15)T , 4k , e (a) 0,01 ; (b) 0,20 .

Fonte: Referência [9].

onde IRT indica a posição do toro robusto no espaço de fases. Para trajetórias com ação I próxima

a IRT, a amplitude da onda é reduzida, e para I = IRT a perturbação é nula.

Nas Refs. [9, 10], nós mostramos que o toro robusto, quando posicionado corretamente,

preserva as estruturas principais do espaço de fases, mas altera as ilhas de ressonância e melhora a

aceleração de partículas. Nós calculamos analiticamente a posição do toro robusto, em função dos

parâmetros da onda, que torna possível a aceleração de partículas a partir de sua energia de repouso.

Nós também obtivemos os valores dos parâmetros para os quais as ilhas da ressonância principal

desaparecem do espaço de fases. A partir desses resultados, nós definimos um intervalo para as

posições permitidas do toro robusto, como mostra a Figura 2.

Na Figura 2, a curva sólida verde representa os valores mínimos de IRT para os quais é

possível acelerar partículas a partir de sua energia de repouso. Acima da curva pontilhada e

tracejada em vermelho, as ilhas de ressonância atingem o eixo I = 0 e desaparecem do espaço de

fases. Acima da curva tracejada azul, os pontos elípticos da ressonância sofrem uma bifurcação com

dobramento de período. As ilhas de ressonância primária deixam de existir e são substituídas por

pares de ilhas secundárias que não são apropriadas para aceleração. Logo, a aceleração de partículas

só é possível abaixo da curva pontilhada e tracejada em vermelho, e da curva tracejada azul. Além

disso, para acelerar as partículas a partir de sua energia de repouso, os valores de e IRT devem

estar acima da curva sólida verde e dentro da área hachurada da Figura 2.

Na Ref. [9], nós determinamos a melhor posição do toro robusto, que corresponde à energia

máxima atingida pelas partículas. Na Figura 3, nós mostramos o espaço de fases do sistema com a

adição do toro robusto na posição ideal para os mesmos parâmetros da onda utilizados na Figura 1.

Na Figura 1.(a), as ilhas apresentam um formato usual, com os pontos elípticos e hiperbólicos

aproximadamente alinhados em relação à variável de ação I . Na Figura 3.(a), o toro robusto

desloca os pontos hiperbólicos para o eixo 0I , que corresponde à energia de repouso das

Figura 2: Aceleração regular de partículas a partir de sua energia de repouso só é possível para valores de e RTI

localizados na área hachurada. Outros parâmetros nessa figura: 2 (1 1/15)T e 4k .


Figura 3: Espaço de fases do sistema com o toro robusto para 2 (1 1/15)T , 4k , (a) 0,01 , e RT 2, 227I ;

(b) 0,20 e RT 0,453I .


partículas. Para 0,01 , o toro robusto reduz a velocidade inicial das partículas em cerca de 73%,

e aumenta a velocidade final em aproximadamente 7%.

Na Figura 1.(b), 0,20 e os pontos hiperbólicos estão localizados sobre o eixo 0I .

Entretanto, as trajetórias externas das ilhas foram destruídas pelo caos, e as trajetórias internas estão

muito distorcidas e não são apropriadas para aceleração. Quando nós adicionamos um toro robusto

ao sistema como na Figura 3.(b), ele controla o caos, recupera as ilhas de ressonância e desloca os

pontos hiperbólicos para o eixo 0I . Para 0,20 , o toro robusto reduz a velocidade inicial das

partículas em aproximadamente 98%, e aumenta a velocidade final em cerca de 3%.

A partir desses resultados, nós concluímos que a adição de um toro robusto posicionado

adequadamente é um método muito eficiente para melhorar a aceleração de partículas. Com o toro

robusto, é possível atingir a condição ideal para aceleração tanto para valores baixos quanto para

valores elevados da amplitude da onda. O toro robusto reduz drasticamente a velocidade inicial das

partículas e aumenta consideravelmente sua velocidade final. Para valores elevados da amplitude da

onda, o toro robusto também controla o caos no sistema.

No sistema original, a velocidade final das partículas aumenta com a amplitude da onda.

Com o toro robusto, a velocidade final aumenta quando a amplitude da onda diminui, como pode

ser visto comparando as Figuras 3.(a) e 3.(b). Logo, o toro robusto nos permite atingir velocidades

maiores para as partículas usando ondas que requerem menos energia para serem produzidas.

Nas próximas etapas, eu irei investigar novos métodos de controle, especialmente métodos

que atuam localmente no espaço de fases. O objetivo é desenvolver métodos eficientes que

necessitem de pouca energia para serem produzidos e que melhorem a aceleração de partículas.

Os resultados apresentados nessa seção estão descritos nos artigos anexados a este relatório:

1) M. C. de Sousa, I. L. Caldas, “Using a robust torus to improve particle acceleration”, submetido

para publicação, disponível em http://arxiv.org/abs/1710.03879

2) M. C. de Sousa, I. L. Caldas, “Using a robust torus to control chaos in low density beams”,

Proceedings da 9th

European Nonlinear Dynamics Conference (2017), disponível em

http://congressline.hu/enoc2017/abstracts/47.pdf

2.2 Acoplamento não linear

Em sistemas acoplados, os diferentes componentes do sistema trocam energia entre si. Na

interação onda-partícula, o acoplamento pode ser utilizado para que a onda receba energia das

partículas, como ocorre, por exemplo, nos amplificadores [27]. O acoplamento também pode ser

utilizado no sentido contrário, fazendo com que as partículas absorvam energia da onda. Quando

onda e partículas estão em ressonância, a transferência de energia é elevada e as partículas são

aceleradas de forma regular [2, 4, 25, 26, 28, 29]. No caso das trajetórias caóticas, a transferência de

energia não é regular e resulta no aquecimento caótico das partículas [30].

Sistemas não lineares acoplados estão presentes em diversas áreas, e a transferência de

energia entre seus componentes ainda é um problema em aberto. Neste projeto, nós iremos analisar

a transferência de energia e seus efeitos na interação onda-partícula. Inicialmente, nós consideramos

um paradigma para o estudo de sistemas Hamiltonianos com baixa dimensionalidade e acoplamento

não linear: o pêndulo elástico [15-18]. Além de apresentar propriedades dinâmicas importantes,

pêndulos elásticos também são utilizados como modelo para diversos sistemas físicos [19-23].

Para o pêndulo elástico, só é possível obter soluções analíticas aproximadas no caso de

pequenas oscilações e baixa energia total [15, 31-35]. Os casos gerais requerem uma análise

numérica. Na Ref. [14], nós não impomos nenhuma restrição ao movimento do pêndulo elástico.

Dessa forma, integramos o sistema numericamente para obter os resultados descritos a seguir.

A Figura 4 mostra uma representação esquemática do pêndulo elástico. A Hamiltoniana

adimensional que descreve esse sistema é dada por [14]

2 2

2

2

1( 1 ) cos

2 ( 1( , ,

) 2, )T

pE H p p p f f

f

, (3)

onde representa a extensão ou compressão da mola a partir de seu comprimento natural l0, é o

ângulo formado entre a massa m e o eixo vertical apontando para baixo, ET é a energia total do

sistema, f = mg / kl é a razão entre as frequências de um pêndulo simples e de um sistema massa-

mola, com m a massa do pêndulo, g a aceleração da gravidade, k a constante elástica da mola, e

l = l0 + mg / k o comprimento da mola na posição de equilíbrio (x, y) = (0, –l) do sistema acoplado.

A Hamiltoniana (3) descreve o sistema usando coordenadas que se relacionam diretamente

com os movimentos da mola e do pêndulo. Como pode ser visto a partir dessa Hamiltoniana, o

http://arxiv.org/abs/1710.03879

http://congressline.hu/enoc2017/abstracts/47.pdf

Figura 4: Representação esquemática de um pêndulo elástico.


acoplamento do pêndulo elástico é intrínseco, isto é, o acoplamento surge devido à própria

configuração física do sistema, e não devido à aplicação de forças externas.

Nós consideramos que os termos de energia presentes na Hamiltoniana (3) correspondem a

um pêndulo simples, um sistema massa-mola e o acoplamento entre eles. O termo de energia da

mola ES é função apenas das variáveis ( , )p , e ele representa a energia associada a um sistema

massa-mola se movendo na vertical sob a ação da gravidade [14]:

2 2

( 1 )2

S

pE f f

. (4)

O termo de energia do pêndulo EP é função de ( , )p , e corresponde à energia de um

pêndulo simples no qual a massa m é suspensa por um fio inextensível de comprimento l [14]:

2

cos .2

P

pE f (5)

O termo de energia de acoplamento EC está associado à troca de energia entre os

movimentos da mola e do pêndulo, e nós o definimos como [14]:

2

2

11 ( ) cos ( 1 ) .

2 ( 1 )C

pE f f f f

f

(6)

Como esperado, EC é função das coordenadas da mola e do pêndulo: , e p . Além disso,

usando nossas definições para os termos de energia (4)-(6), a energia total (3) é dada por

.T S P CE E E E (7)

A energia de acoplamento definida por (6) é adequada para os casos limite que o sistema

pode apresentar. Se apenas a mola se move, enquanto o movimento pendular é suspenso, nós temos

0 , 0p e EC = f (constante). Por outro lado, se a mola permanece parada sob a ação da

gravidade na posição vertical, apenas o pêndulo se move com = f, 0p e EC = f (constante).

Para esses casos limite, onde apenas a mola ou o pêndulo se movem, EC permanece constante. O

valor dessa constante depende do referencial escolhido para a energia potencial gravitacional [14].

Figura 5: Evolução temporal dos termos de energia da mola, do pêndulo e do acoplamento para trajetórias individuais.


A Figura 5 mostra a evolução temporal dos termos de energia (4)-(6) para duas trajetórias

individuais. Na Figura 5.(a), o sistema está próximo dos casos limite descritos acima. Quando

apenas a mola ou o pêndulo se movem, todos os termos de energia (4)-(6) permanecem constantes.

Quando a mola e o pêndulo trocam energia, o termo de energia de acoplamento oscila, causando

pequenas oscilações nos termos de energia da mola e do pêndulo. Na Figura 5.(b), a massa-mola e o

pêndulo se movem constantemente. Nesse caso, todos os termos de energia oscilam regularmente

de acordo com a troca de energia entre os movimentos da mola e do pêndulo.

Na Ref. [14], nós também analisamos a distribuição de energia considerando um grande

número de trajetórias que cobrem todo o espaço de fases e reproduzem todas as propriedades

dinâmicas do sistema. Nós calculamos os valores médios, no tempo e no espaço, dos termos de

energia (4)-(6) em função da energia total ET e do parâmetro f, como mostra a Figura 6. Nós

verificamos que as energias médias normalizadas da mola, do pêndulo e do acoplamento variam

Figura 6: Energia média normalizada em função do parâmetro f para diversos valores da energia total ET .


Figura 7: Energia média normalizada do acoplamento em função de ET e f. A área hachurada não é permitida, pois

esses valores de ET e f não satisfazem a condição de energia mínima do sistema 2 / 2TE f f .


regularmente com esses parâmetros, como pode ser visto no vídeo disponível online em

https://social.stoa.usp.br/articles/0048/3555/Emedia.mp4

Para valores baixos da energia total como nas Figuras 6.(a)-6.(c), a energia de acoplamento é

geralmente maior do que as energias da mola e do pêndulo, indicando um forte acoplamento no

sistema. Para valores intermediários da energia total como na Figura 6.(d), o acoplamento se torna

mais fraco. A energia de acoplamento é, em geral, menor do que as energias da mola e do pêndulo.

As configurações do sistema com acoplamento forte ou fraco podem ser vistas mais facilmente na

Figura 7 que mostra o espaço de parâmetros para a energia de acoplamento. As regiões pretas

indicam um acoplamento fraco, enquanto as regiões brancas indicam acoplamento forte.

O estudo descrito nessa seção nos permite observar novos aspectos da dinâmica, e

determinar como o acoplamento provoca trocas de energia entre os diferentes componentes do

sistema. Nas próximas etapas, eu irei analisar como o acoplamento, a distribuição e a transferência

de energia regulam a dinâmica do sistema, fazendo com que ela seja regular ou caótica.

O pêndulo elástico representa um paradigma para o estudo de sistemas Hamiltonianos com

acoplamento não linear. Por esse motivo, os métodos que nós desenvolvemos para o pêndulo

elástico poderão ser aplicados ao estudo de outros sistemas não lineares acoplados. Em particular,

eu irei analisar a interação onda-partícula, e como o acoplamento e a transferência de energia entre

ondas e partículas contribuem para o processo de aceleração. Eu também irei investigar a

transferência de energia entre oscilações magnéticas e ondas de deriva em física de plasmas.

Esse trabalho está sendo desenvolvido em colaboração com o Prof. Dr. Ricardo L. Viana

(Universidade Federal do Paraná) e o Dr. Francisco A. Marcus (Instituto Tecnológico de

Aeronáutica).

Os resultados apresentados nessa seção estão descritos nos artigos anexados a este relatório:

1) M. C. de Sousa, F. A. Marcus, I. L. Caldas, R. L. Viana, “Energy distribution in spring

pendulums”, submetido para publicação, disponível em http://arxiv.org/abs/1704.04532

https://social.stoa.usp.br/articles/0048/3555/Emedia.mp4


2) M. C. de Sousa, F. A. Marcus, I. L. Caldas, “Energy distribution in a spring pendulum”,

Proceedings da 6th

International Conference on Nonlinear Science and Complexity (2016),

disponível em http://dx.doi.org/10.20906/CPS/NSC2016-0022

3) F. A. Marcus, M. C. de Sousa, I. L. Caldas, “Order-chaos-order transition in a spring

pendulum”, Proceedings da 6th

International Conference on Nonlinear Science and Complexity

(2016), disponível em http://dx.doi.org/10.20906/CPS/NSC2016-0026

2.3 Experimentos em uma válvula de ondas progressivas (TWT)

Parte deste projeto inclui uma colaboração com a Universidade de Aix-Marseille, França,

para o estudo da interação onda-partícula a partir de experimentos realizados em uma válvula de

ondas progressivas [27, 36], também conhecida como TWT (do inglês, traveling wave tube). No

TWT, um feixe de elétrons é confinado por um campo magnético axial e ele interage com ondas

eletrostáticas. O TWT é um dispositivo ideal para o estudo da interação onda-partícula, pois todos

os parâmetros podem ser controlados com grande precisão. Além disso, o equipamento é longo o

suficiente para permitir o surgimento de efeitos não lineares [37].

Nos últimos anos, o TWT da Universidade de Aix-Marseille passou por modificações para

aumentar sua precisão e permitir a realização de novos experimentos. Por esse motivo, foi

necessário condicionar e caracterizar o novo equipamento. Um dos itens mais importantes na

caracterização é a determinação da relação de dispersão fria, isto é, sem o feixe de elétrons. Para

tanto, eu desenvolvi um modelo teórico e comparei com os dados experimentais. A partir das

equações do campo eletromagnético, eu obtive a relação de dispersão teórica para o novo TWT:

1/2

01

2 1

1

142

3 0

tg tg

I akU

U I akck ck P

I akU

U I ak

, (8)

onde k e são o número de onda e a frequência angular da onda que se propaga através da hélice;

c é a velocidade da luz; 2 é a constante dielétrica da fita isolante que envolve a hélice, mantendo-a

rígida; tg / 2p a , com p o passo e a o raio da hélice; Ij são funções de Bessel modificadas;

e Uj são coeficientes obtidos a partir das condições de contorno do campo eletromagnético.

A Figura 8 mostra a relação de dispersão teórica (curva azul) e os pontos experimentais (em

vermelho). Para todos os pontos, a diferença em relação à curva teórica é menor do que 1%.

A partir da expressão (8), eu obtive as velocidades de fase vp e de grupo vg da onda

11

1

tg , tg ,2

p g p

DPv c P v v ck

k k P

(9)

http://dx.doi.org/10.20906/CPS/NSC2016-0022

http://dx.doi.org/10.20906/CPS/NSC2016-0026

Figura 8: Relação de dispersão teórica (curva azul) e dados experimentais (em vermelho) para a nova versão da

estrutura de ondas lentas (EOL). Comparação com pontos experimentais (em verde) da versão anterior do TWT.

onde 1 1DP P k . A Figura 9 mostra as velocidades de fase e de grupo em função da frequência

da onda. Observa-se na Figura 9.(a) que a velocidade de fase decresce rapidamente para baixas

frequências, e se torna aproximadamente constante e igual a 62,15 10 /m s acima de 50 MHz.

O condicionamento do novo TWT também incluiu o cálculo das amplitudes dos campos

elétrico e magnético; determinação dos coeficientes de acoplamento das antenas; obtenção da

relação de ondas estacionárias, que identifica se as ondas emitidas estão sendo refletidas; controle

do campo magnético axial que confina o feixe de elétrons e dos campos magnéticos perpendiculares

que controlam a inclinação do feixe; e operação do detector de velocidade dos elétrons. Além disso,

estamos analisando um novo canhão de elétrons capaz de produzir feixes contínuos de alta

densidade, e feixes pulsados na forma de pacotes de elétrons emitidos com fase e frequência

controladas. Com esse canhão de elétrons, nós iremos realizar experimentos inéditos no novo TWT.

Este projeto prevê a realização de experimentos no TWT da Universidade de Aix-Marseille

e estudos teóricos feitos em conjunto pelas Universidades de São Paulo e de Aix-Marseille. Em

2014, eu realizei um estágio de pesquisa na Universidade de Aix-Marseille, e participei diretamente

da montagem e da caracterização do novo TWT. Em 2019, eu irei realizar um novo estágio na

Universidade de Aix-Marseille, com recursos de um projeto de colaboração solicitado ao Programa

CAPES/COFECUB. Durante o estágio, eu irei participar dos experimentos realizados no TWT, o

que me permitirá conciliar resultados experimentais com as análises teóricas realizadas até o

momento. A possibilidade de combinar estudos teóricos e experimentais tem sido extremamente

proveitosa e traz uma melhor compreensão da interação onda-partícula, permitindo o

desenvolvimento de teorias e modelos matemáticos mais robustos.

Este trabalho está sendo desenvolvido em colaboração com os Profs. Drs. Fabrice Doveil e

Yves Elskens (Aix-Marseille Université).

Os resultados descritos nessa seção foram apresentados e publicados como proceedings em

conferências internacionais, como pode ser visto nos trabalhos anexados a este relatório:

Figura 9: Velocidades de a) fase e de b) grupo em função da frequência da onda que se propaga no TWT.

1) F. Doveil, D. Guyomarc’h, M. C. de Sousa, Y. Elskens, “Synergetic effects between chaotic and

self-consistent effects observed for wave particle interaction in a TWT upgrade”, Proceedings da

58th

Annual Meeting of the APS Division of Plasma Physics (2016), disponível em

http://meetings.aps.org/link/BAPS.2016.DPP.UP10.63

2) M. C. de Sousa, D. Guyomarc’h, F. Doveil, “A TWT-upgrade to study wave-particle

interactions”, Proceedings da 42nd

European Physical Society Conference on Plasma Physics

(2015), disponível em http://ocs.ciemat.es/EPS2015PAP/pdf/P5.406.pdf

3) F. Doveil, M. C. de Sousa, D. Guyomarc’h, A. Kahli, Y. Elskens, “A TWT-

upgrade to study wave-particle interactions in plasma”, Proceedings da 57th

Annual

Meeting of the APS Division of Plasma Physics (2015), disponível em

http://meetings.aps.org/link/BAPS.2015.DPP.CP12.106

3 Plano de atividades para o próximo período

No próximo período da bolsa de pós-doutorado, eu continuarei analisando a interação onda-

partícula com aplicações em dinâmica de feixes e física de plasmas. A colaboração com a

Universidade de Aix-Marseille, França, será mantida para a realização da parte experimental do

projeto. Também estamos discutindo uma possível colaboração com a Universidade de Drexel,

EUA, para estudar a interação onda-partícula na magnetosfera terrestre. A seguir, eu apresento o

plano de trabalho para as próximas etapas.

3.1 Ressonâncias, bifurcações e atratores na interação onda-partícula

3.1.1 Sistema conservativo

Nas Refs. [24, 38], nós analisamos as ressonâncias primárias do sistema de interação onda-

partícula descrito pela Hamiltoniana (1). Nós verificamos que esse sistema possui um número

http://meetings.aps.org/link/BAPS.2016.DPP.UP10.63

http://ocs.ciemat.es/EPS2015PAP/pdf/P5.406.pdf

http://meetings.aps.org/link/BAPS.2015.DPP.CP12.106

Ressonância (3,2)

Ressonância (4,3)

Ressonância (6,5)

Ressonância (1,1)

Figura 10: Espaço de fases para 2,5T , 5k e 0,006 . Fonte: Referência [24].

infinito de termos perturbativos com o mesmo número de rotação. Tal superposição faz com que as

ressonâncias primárias apresentem múltiplas cadeias de ilhas isócronas localizadas na mesma

posição do espaço de fases com relação à variável de ação I , como mostra a Figura 10. Na figura,

cada cor representa uma cadeia distinta.

Além disso, nós determinamos como o número de cadeias presentes no espaço de fases varia

de acordo com os parâmetros da onda. Na Figura 11, nós mostramos o espaço de parâmetros com a

variação no número de cadeias para as ressonâncias (1,1), (2,1) e (5,9).

Nas próximas etapas deste projeto, eu irei investigar as bifurcações isócronas que alteram o

número de cadeias em função dos parâmetros como observado na Figura 11. Bifurcações isócronas

como as que ocorrem na Hamiltoniana (1) ainda não são bem conhecidas. Entretanto, o estudo

dessas bifurcações é determinante para compreendermos a dinâmica do sistema, uma vez que elas

alteram a estrutura do espaço de fases, gerando ou suprimindo cadeias de ilhas.

Além de analisar as características das bifurcações isócronas e porque elas ocorrem, eu irei

investigar como essas bifurcações e a consequente alteração no número de cadeias afetam a

aceleração regular de partículas, o transporte e a distribuição de trajetórias caóticas no espaço de

Figura 11: Número de cadeias de ilhas isócronas para as ressonâncias a) (1,1); b) (2,1) e c) (5,9). Cada cor representa

um número diferente de cadeias como indicado pelos números nas figuras. Os painéis (a) e (b) mostram as expressões

obtidas numericamente para as curvas pontilhadas que separam duas regiões com um número diferente de cadeias. Fonte: Referência [24].

fases. Também irei calcular numericamente as variedades associadas aos pontos hiperbólicos das

cadeias de ilhas para interpretar as alterações nas propriedades de transporte e nas bifurcações.

Esse trabalho será desenvolvido em colaboração com os Profs. Drs. Alfredo M. Ozorio de

Almeida (Centro Brasileiro de Pesquisas Físicas), Felipe B. Rizzato e Renato Pakter (Universidade

Federal do Rio Grande do Sul).

3.1.2 Sistema dissipativo

O sistema descrito pela Hamiltoniana (1) é conservativo e não considera efeitos dissipativos

que podem ocorrer, como por exemplo, colisões entre as partículas do feixe. Eu irei introduzir uma

pequena dissipação no sistema para representar essas colisões, e irei analisar como a dissipação

altera a dinâmica do sistema. Em particular, eu irei estudar os efeitos da dissipação na aceleração e

no transporte de partículas.

No sistema conservativo, o espaço de fases possui diversas ilhas de ressonâncias primárias,

como pode ser visto na Figura 10. Quando nós introduzimos uma dissipação pequena, os pontos

centrais das ilhas de ressonância se transformam em atratores periódicos do sistema dissipativo.

Para o sistema conservativo, nós verificamos a existência de múltiplas cadeias de ilhas isócronas,

como descrito na seção anterior. Nas próximas etapas deste trabalho, eu irei investigar como essas

cadeias múltiplas do sistema conservativo dão origem à coexistência de atratores degenerados no

sistema dissipativo. Também irei verificar como a quebra de simetria do sistema por um forçamento

adicional modifica os estados degenerados dos atratores coexistentes de mesmo período.

Os itens descritos nesta seção serão desenvolvidos em colaboração com o Prof. Dr. Silvio L.

T. de Souza (Universidade Federal de São João Del-Rei).

3.2 Acoplamento não linear

Na Ref. [14], nós analisamos como a energia de um sistema acoplado se distribui entre suas

partes constituintes. Para tanto, nós consideramos o pêndulo elástico, que é um paradigma para o

estudo de sistemas não lineares acoplados com baixa dimensionalidade. Nós escrevemos a energia

total como a soma das energias associadas aos movimentos da mola e do pêndulo, e ao acoplamento

entre eles. Nós analisamos a distribuição de energia tanto para trajetórias individuais, quanto para

um grande número de trajetórias cobrindo todo o espaço de fases. Nós também verificamos como a

distribuição de energia varia de acordo com a energia total e com os parâmetros do sistema.

Nas próximas etapas, eu irei analisar como a energia é transferida entre os diferentes termos

que compõem a energia total: termos de energia da mola, do pêndulo e do acoplamento. Eu irei

investigar como as transferências internas de energia entre os componentes do sistema variam com

os parâmetros, e quais são os efeitos provocados na dinâmica do sistema acoplado.

A seguir, eu irei aplicar os métodos desenvolvidos para o pêndulo elástico em estudos sobre

outros sistemas com acoplamento não linear. Em particular, eu irei investigar a distribuição e as

transferências de energia na interação onda-partícula, com o objetivo de compreender como elas

afetam a aceleração regular e o transporte de partículas. Também irei analisar a distribuição e as

transferências de energia entre oscilações magnéticas e ondas de deriva em física de plasmas.

Esse trabalho será realizado em colaboração com o Prof. Dr. Ricardo L. Viana

(Universidade Federal do Paraná), e o Dr. Francisco A. Marcus (Instituto Tecnológico de

Aeronáutica).

3.3 Experimentos em uma válvula de ondas progressivas (TWT)

Nas próximas etapas, eu continuarei investigando a interação onda-partícula através de

experimentos realizados na válvula de ondas progressivas, ou TWT (traveling wave tube), da

Universidade de Aix-Marseille, França. Eu irei analisar feixes de baixa densidade e a possibilidade

de controle do caos em sua dinâmica, o que aumenta a coerência cinética do feixe e melhora a

aceleração de partículas [26, 37]. Nós iremos realizar experimentos com feixes de alta densidade

para analisar a influência da dinâmica caótica dos elétrons sobre os efeitos autoconsistentes [39, 40]

que provocam o crescimento da onda [41] quando a intensidade do feixe aumenta.

Eu também irei estudar o comportamento de pacotes de elétrons emitidos com fase e

frequência controladas com relação às ondas [42]. Eu irei utilizar os dados experimentais do TWT

para validar resultados analíticos e códigos numéricos, e irei investigar a interação entre partículas

rápidas (essencialmente partículas alfa) e ondas de Alfvén em um reator de fusão [8], o que é um

problema fundamental para o ITER (International Thermonuclear Experimental Reactor).

Entre setembro de 2015 e agosto de 2017, nós recebemos financiamento da FAPESP,

através do programa SPRINT, e do CNRS na França para o desenvolvimento de trabalhos conjuntos

entre as Universidades de São Paulo e de Aix-Marseille. Esse projeto foi muito bem sucedido,

incluindo a publicação de artigos em revistas indexadas e proceedings em conferências

internacionais. Para dar continuidade à colaboração, nós subtemos à CAPES um projeto de pesquisa

conjunto no âmbito do Programa CAPES/COFECUB. O projeto submetido à CAPES é de longo

prazo, abrangendo o período de janeiro de 2018 a dezembro de 2021. O projeto prevê visitas curtas

dos pesquisadores à universidade parceira para o desenvolvimento das pesquisas realizadas em

conjunto. O projeto também prevê a concessão de duas bolsas de doutorado sanduíche e duas bolsas

de estágio pós-doutoral para os alunos e pós-doutorandos brasileiros.

Através do Programa CAPES/COFECUB, eu irei realizar um estágio de pós-doutoramento

na Universidade de Aix-Marseille em 2019. Durante o estágio, eu participarei diretamente dos

experimentos inéditos que serão conduzidos no novo TWT. Dessa forma, eu poderei realizar um

trabalho complementar às análises teóricas que eu desenvolvo na Universidade de São Paulo. Eu

irei analisar experimentalmente diversos aspectos da interação onda-partícula, e comparar

resultados experimentais e teóricos, verificando a validade de modelos e códigos numéricos.

Os itens descritos nessa seção serão realizados em colaboração com os Profs. Drs. Fabrice

Doveil e Yves Elskens (Aix-Marseille Université).

4 Cronograma

a) Dezembro de 2017 a Novembro de 2018

Introduzir uma pequena dissipação no sistema de interação onda-partícula conservativo

descrito pela Hamiltoniana (1). Analisar como a dissipação altera a dinâmica do sistema, em

particular, a aceleração e o transporte de partículas. Investigar a possibilidade de coexistência de

atratores múltiplos de mesmo período no sistema dissipativo, como descrito na Seção 3.1.2.

b) Dezembro de 2017 a Julho de 2018

Analisar como a energia é transferida entre os diferentes componentes de um sistema não

linear acoplado. Investigar como essas transferências internas de energia variam com os parâmetros,

e quais são os efeitos provocados na dinâmica do sistema acoplado, como descrito na Seção 3.2.

c) Agosto de 2018 a Novembro de 2018

Analisar os resultados dos experimentos realizados no primeiro semestre de 2018 com o

novo TWT da Universidade de Aix-Marseille, França. Dessa forma, nós poderemos avaliar o

funcionamento do equipamento e planejar os experimentos e os dados que serão coletados durante o

estágio que eu irei realizar na Universidade de Aix-Marseille em 2019, como proposto na Seção 3.3.

O cronograma apresentado acima se refere ao período de renovação solicitado para a bolsa

de pós-doutorado, de dezembro de 2017 a novembro de 2018. Entretanto, nós planejamos a

evolução do trabalho para um segundo período de renovação da bolsa entre dezembro de 2018 e

novembro de 2019. Nesse segundo período de renovação, eu irei

a) Investigar as bifurcações isócronas que alteram o número de cadeias em função dos

parâmetros no sistema de interação onda-partícula conservativo descrito pela Hamiltoniana (1).

Analisar como essas bifurcações e a alteração no número de cadeias afetam a aceleração e o

transporte de partículas, e a distribuição de trajetórias caóticas no espaço de fases, como descrito na

Seção 3.1.1.

b) Aplicar os métodos desenvolvidos para o estudo de sistemas não lineares acoplados para

investigar a distribuição e as transferências de energia na interação onda-partícula, e entre

oscilações magnéticas e ondas de deriva em física de plasmas, como descrito na Seção 3.2.

c) Analisar os resultados experimentais sobre a interação onda-partícula obtidos com o TWT

da Universidade de Aix-Marseille, e comparar resultados experimentais e teóricos, verificando a

validade de modelos matemáticos e códigos numéricos, e desenvolvendo novas teorias, como

descrito na Seção 3.3.

5 Conclusões

Durante o período deste relatório, nós analisamos um feixe de partículas que interage com

um campo magnético uniforme e uma onda eletrostática e estacionária. Nesse sistema, a condição

ideal para aceleração de partículas só é atingida em um intervalo limitado de valores da amplitude

da onda. Para superar esse problema, nós introduzimos um toro robusto no sistema, como descrito

nas Refs. [9, 10]. Nós calculamos as posições permitidas para o toro robusto no espaço de fases, e

determinamos a melhor posição do toro robusto para a aceleração de partículas.

Com o toro robusto, é possível atingir a condição ideal para a aceleração de partículas para

um intervalo muito maior de valores da amplitude da onda. O toro robusto controla o caos, aumenta

a energia final, e diminui a energia inicial das partículas para sua energia de repouso. Além disso,

no sistema com o toro robusto, as partículas atingem energias finais mais elevadas quando nós

utilizamos ondas com menor amplitude e que requerem menos energia para serem produzidas.

Nós também estudamos a distribuição de energia em sistemas com acoplamento não linear.

Na Ref. [14], nós analisamos um pêndulo elástico e como sua energia total se distribui entre os

movimentos da mola e do pêndulo, e o acoplamento entre eles. Nós analisamos a distribuição de

energia para trajetórias individuais, assim como a distribuição média de energia considerando um

grande número de trajetórias distribuídas por todo espaço de fases. A partir dos termos de energia

média, nós identificamos regiões de acoplamento forte e fraco no espaço de parâmetros do sistema.

O estudo da distribuição de energia nos permitiu observar novos aspectos da dinâmica do sistema, e

determinar a atuação do termo de energia de acoplamento como mediador para as transferências de

energia que ocorrem entre os movimentos da mola e do pêndulo.

É importante ressaltar que os métodos que nós desenvolvemos nas Refs. [9, 10, 14] (uso de

um toro robusto e análise da distribuição de energia em sistemas acoplados) não estão restritos aos

casos apresentados nessas referências. Esses métodos podem ser generalizados e aplicados ao

estudo de outros sistemas, trazendo novas perspectivas, contribuindo para a compreensão da

dinâmica do sistema, e melhorando aplicações de interesse.

O trabalho realizado até o momento deu origem a novos temas de pesquisa que eu irei

abordar em 2018 e 2019. Por esse motivo, solicito à FAPESP renovação da bolsa de pós-doutorado

para um período de 12 meses. Nesse período de renovação, eu irei analisar a interação onda-

partícula com uma pequena dissipação para verificar como a dissipação afeta a dinâmica do

sistema, principalmente a aceleração e o transporte de partículas. Eu irei investigar como o cenário

de múltiplas cadeias isócronas apresentado pelo sistema conservativo dá origem à coexistência de

atratores múltiplos de mesmo período no sistema dissipativo, e como esses atratores múltiplos se

comportam diante de um forçamento externo que quebra a simetria do sistema. Além disso, eu irei

analisar a dinâmica de sistemas não lineares acoplados, e a transferência de energia entre as

diferentes partes que constituem o sistema. O objetivo é determinar como as transferências internas

de energia variam com os parâmetros, e como elas afetam a dinâmica do sistema acoplado.

Outro tema importante nesse projeto é a investigação experimental da interação onda-

partícula através de uma colaboração com a Universidade de Aix-Marseille, França. Nos últimos

anos, a colaboração foi mantida graças a essa bolsa de pós-doutorado e a um projeto de colaboração

financiado pela FAPESP através do Programa SPRINT e pelo CNRS na França. Para dar

continuidade à colaboração, nós solicitamos à FAPESP a renovação dessa bolsa de pós-doutorado, e

submetemos à CAPES um projeto conjunto no âmbito do Programa CAPESP/COFECUB. Esse

projeto de colaboração é de longo prazo, entre janeiro de 2018 e dezembro de 2021, e prevê a

concessão de bolsas de doutorado sanduíche e pós-doutorado para os participantes brasileiros.

Nós solicitamos ao Programa CAPESP/COFECUB uma bolsa de pós-doutorado para que eu

possa participar dos experimentos que serão realizados em 2019 na Universidade de Aix-Marseille.

Através desses experimentos, eu irei investigar diversos aspectos da interação onda-partícula,

combinando análises teóricas realizadas na Universidade de São Paulo e resultados experimentais

obtidos na Universidade de Aix-Marseille. Dessa forma, nós poderemos validar modelos teóricos e

códigos numéricos, contribuindo para uma melhor compreensão da interação onda-partícula.

No período do relatório, eu submeti dois artigos para publicação em revistas indexadas,

publiquei quatro proceedings em conferências internacionais, apresentei dois seminários como

convidada em universidades paulistas, participei como avaliadora dos trabalhos apresentados no 25º

Simpósio Internacional de Iniciação Científica e Tecnológica da USP (Etapa Internacional), atuei

como revisora do periódico Nonlinear Dynamics, além de ter desenvolvido outras atividades

descritas nesse relatório.

6 Atividades do período

6.1 Artigos

Em decorrência das pesquisas relacionadas a este projeto foram submetidos para publicação

os seguintes artigos durante o período do relatório:

1) M. C. de Sousa, I. L. Caldas, “Using a robust torus to improve particle acceleration”, arXiv

identifier 1710.03879, disponível em http://arxiv.org/abs/1710.03879

2) M. C. de Sousa, F. A. Marcus, I. L. Caldas, R. L. Viana, “Energy distribution in spring

pendulums”, arXiv identifier 1704.04532, disponível em http://arxiv.org/abs/1704.04532

Utilizado em bibliografia do curso “Mecânica Clássica (Nível Pós-Graduação)” do Instituto de

Física da Universidade de São Paulo

6.2 Conferências internacionais

No período do relatório, eu participei de duas conferências internacionais e publiquei quatro

proceedings contendo os resultados obtidos neste projeto:

1) M. C. de Sousa, I. L. Caldas, “Using a robust torus to control chaos in low density beams”,

Proceedings of the 9th

European Nonlinear Dynamics Conference, Budapeste, 47 (2017).

Apresentação de pôster

2) M. C. de Sousa, F. A. Marcus, I. L. Caldas, “Energy distribution in a spring pendulum”,

Proceedings of the 6th

International Conference on Nonlinear Science and Complexity, São José

dos Campos, 0022 (2016).

Apresentação de pôster

3) F. A. Marcus, M. C. de Sousa, I. L. Caldas, “Order-chaos-order transition in a spring

pendulum”, Proceedings of the 6th

International Conference on Nonlinear Science and

Complexity, São José dos Campos, 0026 (2016).

Trabalho apresentado por F. A. Marcus

4) F. Doveil, D. Guyomarc’h, M. C. de Sousa, Y. Elskens, “Synergetic effects between chaotic and

self-consistent effects observed for wave particle interaction in a TWT upgrade”, Proceedings

of the 58th

Annual Meeting of the APS Division of Plasma Physics, San Jose, 61, UP10.00063

(2016).

Trabalho apresentado por Y. Elskens



6.3 Seminários

No período deste relatório, fui convidada para apresentar os seminários a seguir em

programas de pós-graduação:

1) “Múltiplas cadeias de ilhas isócronas em sistemas twist” (2016)

Programa de Pós-Graduação em Física

Departamento de Física, Instituto de Geociências e Ciências Exatas, UNESP, Campus de Rio

Claro

2) “Aceleração regular e controle do caos na interação onda-partícula” (2016)

Programa de Pós-Graduação em Física

Departamento de Física, Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA), São José dos Campos

6.4 Outras atividades

Durante o período do relatório, eu desenvolvi atividades diversas como descrito a seguir.

1) Atuei como revisor do periódico “Nonlinear Dynamics”

2) Participei como avaliadora dos trabalhos apresentados no 25º Simpósio Internacional de

Iniciação Científica e Tecnológica da USP (Etapa Internacional)

3) Fui colaboradora da disciplina de “Gravitação (nível Graduação)” do Instituto de Física da USP,

no período de 08/2015 a 12/2015. O conteúdo que eu elaborei para a disciplina está disponível

em: http://social.stoa.usp.br/meirielensousa/gravitacao-ime-2-sem.-2015

4) Colaborei com a organização dos seminários regulares do Grupo Controle de Oscilações,

Instituto de Física, Universidade de São Paulo

5) Participei da elaboração do projeto de colaboração com a Universidade de Aix-Marseille,

França, vinculado a esta bolsa de pós-doutorado e submetido ao Programa CAPES/COFECUB:

“Complex Dynamics of Plasmas”

6) Participei da elaboração dos relatórios de acompanhamento do Projeto Temático vinculado a

esta bolsa de pós-doutorado: “Dinâmica Não Linear”, Processo FAPESP número 2011/19296-1

7) Participei da elaboração dos relatórios de acompanhamento do Projeto de Colaboração com a

Universidade de Aix-Marseille, França, vinculado a esta bolsa de pós-doutorado: “Control of

Instabilities by Alfvén Waves and Resonant Magnetic Perturbations in Magnetized Plasmas”,

Processo FAPESP 2014/50794-6 (SPRINT 2014)

8) Participei da elaboração da nova página web do Grupo Controle de Oscilações do Instituto de

http://social.stoa.usp.br/meirielensousa/gravitacao-ime-2-sem.-2015

Física da USP: http://portal.if.usp.br/controle/

7 Colaboradores

a) Prof. Dr. Fabrice Doveil

Aix-Marseille Université, França

b) Prof. Dr. Yves Elskens

Aix-Marseille Université, França

c) Prof. Dr. Felipe Barbedo Rizzato

Universidade Federal do Rio Grande do Sul

d) Prof. Dr. Renato Pakter

Universidade Federal do Rio Grande do Sul

e) Prof. Dr. Alfredo Miguel Ozorio de Almeida

Centro Brasileiro de Pesquisas Físicas

f) Prof. Dr. Ricardo Luiz Viana

Universidade Federal do Paraná

g) Prof. Dr. Silvio Luiz Thomaz de Souza

Universidade Federal de São João Del-Rei

h) Dr. Francisco Alberto Marcus

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

8 Referências

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New York, 1992).

[2] P. K. Shukla et al., Phys. Rep. 138, 1 (1986).

[3] J. T. Mendonça, Theory of photon acceleration (IOP Publishing, Bristol, 2001).

[4] R. Pakter, G. Corso, Phys. Plasmas 2, 4312 (1995).

[5] R. C. Davidson, H. Qin, Physics of intense charged particle beams in high energy accelerators

(World Scientific, London, 2001).

[6] D. A. Edwards, M. J. Syphers, An introduction to the physics of high energy accelerators

(Wiley-VCH, Weinheim, 2004).

[7] N. J. Fisch, Rev. Mod. Phys. 59, 175 (1987).

[8] H. L. Berk, B. N. Breizman, H. Ye, Phys. Rev. Lett. 68, 3563 (1992).

[9] M. C. de Sousa, I. L. Caldas, arXiv identifier 1710.03879, submetido para publicação,

disponível em http://arxiv.org/abs/1710.03879

[10] M. C. de Sousa, I. L. Caldas, Proceedings of the 9th

European Nonlinear Dynamics

Conference, Budapeste, 47 (2017).

[11] R. Egydio de Carvalho, C. G. L. Martins, G. M. Favaro, Braz. J. Phys. 39, 606 (2009).

[12] C. G. L. Martins et al., J. Phys. A 43, 175501 (2010).

[13] C. G. L. Martins et al., Physica A 390, 957 (2011).

http://portal.if.usp.br/controle/


[14] M. C. de Sousa et al., arXiv identifier 1704.04532, submetido para publicação, disponível em


[15] E. Breitenberger, R. D. Mueller, J. Math. Phys. 22, 1196 (1981).

[16] H. N. Núñez-Yépez et al., Phys. Lett. A 145, 101 (1990).

[17] R. Cuerno, A. F. Rañada, J. J. Ruiz-Lorenzo, Am. J. Phys. 60, 73 (1992).

[18] J. P. van der Weele, E. de Kleine, Physica A 228, 245 (1996).

[19] R. Z. Sagdeev, A. A. Galeev, Nonlinear Plasma Theory (Chap. I, Benjamin, New York, 1969).

[20] J. A. Armstrong et al., Phys. Rev. 127, 1918 (1962).

[21] P. Holmes et al., SIAM Rev. 48, 207 (2006).

[22] D. Wang, J. Li, Q. Xie, Adv. Struct. Eng. 14, 445 (2011).

[23] S. Castillo-Rivera, M. Tomas-Rodriguez, Nonlinear Dyn. 88, 2933 (2017).

[24] M. C. de Sousa et al., Phys. Rev. E 88, 064901 (2013).



[27] A. S. Gilmour Jr., Principles of Traveling Wave Tubes (Artech House, London, 1994).

[28] T. Tajima, J. M. Dawson, Phys. Rev. Lett. 43, 267 (1979).

[29] R. Spektor, E. Y. Choueiri, Phys. Rev. E 69, 046402 (2004).

[30] C. F. F. Karney, Phys. Fluids 21, 1584 (1978).

[31] A. Vitt, G. Gorelik, Zhurnal Tekhnicheskoy Fiziki 3, 294 (1933).

[32] T. R. Kane, M. E. Kahn, J. Appl. Mech. 35, 547 (1968).

[33] F. K. Tsel'man, J. Appl. Math. Mech. 34, 916 (1970).

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[36] J. R. Pierce, Traveling Wave Tubes (Van Nostrand, New York, 1950).

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[38] M. C. de Sousa et al., J. Phys.: Conf. Ser. 641, 012003 (2015).

[39] F. Doveil and A. Macor, Phys. Rev. E 84, 045401 (2011).

[40] F. Doveil et al., Proceedings of the 58th

Annual Meeting of the APS Division of Plasma

Physics, San Jose, 61, UP10.00063 (2016).

[41] S. I. Tsunoda et al., Phys. Rev. Lett. 58, 1112 (1987).

[42] A. Macor et al., Nonlinear Phenomena in Complex Systems 10, 180 (2007).


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