aulas mecanismos - parte iii

Notas de Aulas de MECANISMOS 2011.1 – Professor Antonio Almeida Silva

(UFCG/CCT/UAEM)

4 – ANÁLISE GRÁFICA DE VELOCIDADES E ACELERAÇÕES (MÉTODO DOS POLÍGONOS)

4.1 Introdução

Uma vez que uma análise de posição já foi feita, os próximos passos serão determinar as

velocidades e acelerações de todos os elos e pontos de interesse no mecanismo. Será apresentado o método gráfico dos polígonos de velocidades e, em seguida, o de acelerações. A Fig. 4.1a mostra o elo PA possui rotação pura, pivotado no ponto A do plano XY. Sua posição é definida pelo vetor de posição RPA. Nos interessa a velocidade do ponto P quando o elo gira com velocidade angular ω. A velocidade VPA pode ser referida como uma velocidade absoluta, e poderíamos ter nos referido a ela como VP, sem o segundo subscrito, já que A é origem global desse sistema de coordenadas.

Já a Fig. 4.1b mostra um sistema diferente, em que o pivô A se movimenta. Ele tem velocidade linear VA conhecida, que é a translação do bloco 3. Se ω permanece o mesmo, a velocidade do ponto P em relação a A será a mesma que antes, mas VPA não poderá mais ser considerada uma velocidade absoluta. Agora ela é uma diferença de velocidade e deve ser obtida por meio da equação da diferença de posição, cuja solução gráfica é mostrada no polígono abaixo.

Figura 4.1 – (a) Elo em rotação pura; (b) Diferença de velocidades e polígono. 4.2 Método dos polígonos de velocidade

Este método utiliza o conceito de movimento relativo entre partículas aplicado a corpos rígidos em geral. Seja a Fig. 4.2a onde P e Q são duas partículas que se movem em relação a um plano de referência fixo, com velocidades VP e VQ, respectivamente. Deseja-se determinar a velocidade relativa VPQ entre as duas partículas. Será considerado o fato de que a soma de duas velocidades iguais e opostas a cada partícula não altera a velocidade relativa das duas partículas.

Figura 4.2 – (a) Vetores no plano; (b) e (c) Polígonos de velocidades.

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Portanto, se somarmos, às partículas P e Q, duas velocidades uma igual e outra oposta a VQ,

a partícula Q ficará estacionária e P ganhará uma componente adicional de velocidade - VQ relativa ao plano fixo. Assim, a nova velocidade relativa VPQ, como ilustrado na Fig. 4.2b, é dada por:

QPPQ VVV −= (4.1)

De modo semelhante VQP pode ser obtida através da soma vetorial de -VP a cada partícula, conforme mostrado na Fig. 4.2c. VQP é dado pela equação

PQQP VVV −= (4.2) 4.2.1 Velocidade relativa de partículas em uma peça comum De acordo com a Eq. (4.1), pode-se determinar a velocidade relativa VPQ de uma partícula em relação à outra, a partir da diferença vetorial das velocidades absolutas VP e VQ desde que estas sejam conhecidas. Entretanto, em sistemas articulados, conhece-se somente uma das velocidades absolutas e a outra deve ser determinada. A velocidade absoluta desconhecida, VP , pode-se determinar da seguinte forma:

PQQP VVV += (4.3)

Embora VQ seja conhecida, é necessário que a velocidade relativa VPQ também o seja. Em sistemas articulados, os movimentos das partículas P e Q não são independentes, mas são obrigadas a se deslocarem uma em relação à outra de modo que seus movimentos são controlados.

Considerando o corpo rígido na Fig. 4.3a, qualquer partícula tal como Q pode estar à velocidade absoluta VQ e a peça a uma velocidade angular absoluta ω3. Se a observação do movimento for feita em relação a Q, então Q estará em repouso, conforme indicado na Fig. 4.3b. Entretanto, desde que cada partícula Q não tenha movimento angular, a velocidade angular ω3 da peça em relação a Q ficará inalterada. Conforme a Fig. 4.3b, em relação a Q, a peça gira com velocidade angular ω3 em torno de Q como se Q fosse um centro fixo.

Figura 4.3 – Velocidade relativa de partículas em uma peça comum.

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A velocidade relativa VPQ de P em relação a Q é tangente à trajetória relativa como na

Fig. 4.3c. Como o raio de curvatura R da trajetória relativa é igual a PQ e a velocidade angular ωr do raio de curvatura é igual a ω3, o módulo de VPQ pode ser determinado por:

3(PQ)= ωPQV (4.4) Na Fig. 4.3c, a direção de VPQ é tangente à trajetória circular relativa e é indicada por um vetor atuando em P. O sentido de VPQ é determinado pela rotação de P em torno de Q no mesmo sentido de ω3. Mostra-se na Fig. 4.3d o vetor VQP representando a velocidade de Q em relação a P. Pode-se ver que em relação a P a velocidade ω3 da peça 3 tem o mesmo módulo e sentido que no movimento em relação a Q. Portanto, os módulos de VQP e VPQ são os mesmos. Suas direções também são as mesmas já que ambas são perpendiculares à linha PQ. Entretanto, o sentido de VQP é oposto ao de VPQ. 4.2.2 Velocidade relativa de partículas coincidentes em peças separadas Em muitos mecanismos tais como na Fig. 4.4, obtém-se a limitação do movimento relativo guiando-se a partícula P de uma peça ao longo de uma trajetória predeterminada, em relação à outra peça, através de uma superfície-guia. Tal restrição é encontrada em cames e nas inversões do mecanismo cursor manivela, onde a superfície de uma peça controla o movimento de uma partícula sobre outra peça através de deslizamento ou rolamento.

Na Fig. 4.4, a partícula P3 da peça 3 está em movimento ao longo de uma trajetória curvilínea traçada sobre a peça 2 devido à ranhura-guia existente nessa peça. Essa trajetória está mostrada na figura assim como a tangente t-t e a normal n-n que passam pelo ponto P3. A partícula Q2 da peça 2 coincide em posição com a partícula P3 da peça 3. Pode-se ver que apesar das velocidades angulares absolutas ω2 e ω3 das peças 2 e 3, a guia restringe o movimento de P3 de modo que essa partícula não pode se deslocar em relação a Q2 na direção normal n-n e, portanto, não pode haver velocidade relativa entre as duas peças nessa direção. Entretanto, a guia permite, à partícula P3, liberdade para se deslocar em relação a Q2 na direção tangente t-t e, portanto, a velocidade relativa VP3Q2 somente poderá estar na direção tangente à guia.

Em mecanismos onde a restrição é feita através de guias, basta o conhecimento de que a velocidade relativa de partículas coincidentes somente pode estar na direção tangente à guia.

Figura 4.4 – Velocidade relativa de partículas em peças separadas.

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4.2.3 Velocidade relativa de partículas coincidentes em pontos de contato Um terceiro tipo de restrição em mecanismos é aquele que ocorre quando se obriga uma peça a rolar sobre outra sem deslizamento no ponto de contato. Na Fig. 4.5, mostram-se as circunferências primitivas de um par de engrenagens acopladas com as partículas coincidentes no ponto de contato, P3 da engrenagem 3 e P2 da engrenagem 2. Como as circunferências estão em contato de rolamento, essas partículas têm velocidades iguais de modo que VP3= VP2 e a velocidade relativa entre as duas partículas é zero.

Figura 4.5 – Velocidade relativa de partículas em pontos de contato.

4.3 Método dos polígonos de acelerações

Da mesma maneira que o conceito de movimento relativo foi aplicado na análise de velocidades de partículas em mecanismos, pode-se determinar as acelerações lineares de partículas através da construção gráfica de polígonos de aceleração.

Seja a Fig. 4.6a onde P e Q são duas partículas que se movem em relação a um plano de referência fixo. Se for conhecida a aceleração AQ de uma partícula Q, pode-se determinar a aceleração AP de outra partícula P adicionando-se o vetor aceleração relativa APQ conforme indicado na equação vetorial:

PQQP AAA += (4.5)

Conforme discutiu-se na seção anterior, mostrou-se que a velocidade relativa de um par de partículas depende do tipo de restrição em um dado mecanismo. De modo semelhante, a aceleração relativa APQ em mecanismos depende do tipo dos vínculos entre as peças. 4.3.1 Aceleração relativa de partículas em uma peça comum

De acordo com a Fig. 4.6a, quando se consideram duas partículas P e Q na mesma peça

rígida, a distância fixa PQ obriga a partícula P a mover-se ao longo de um arco de circunferência em relação a Q independendo do movimento linear absoluto de Q. Portanto, como a trajetória de P em relação a Q é circunferencial, pode-se representar o vetor aceleração APQ pelos componentes ortogonais da aceleração , respectivamente normal e tangente à trajetória relativa em P. t

PQnPQ AA ,

Na Fig. 4.6b mostram-se os vetores acelerações relativas de Q em relação a P onde os módulos e sentidos de ω

tQP

nQP AA ,

3 e α3 são os mesmos que os da Fig. 4.6a.

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Figura 4.6 – Aceleração relativa de partículas em uma peça comum.

Pode-se determinar o módulo da aceleração normal relativa usando-se a equação:

PQV

PQA PQnPQ

223).( == ω (4.6)

O módulo da aceleração tangencial relativa pode ser determinado pela equação:

3).( αPQAtPQ = (4.7)

Deve-se observar que a direção de é normal à trajetória relativa e que o seu sentido é

em direção ao centro de curvatura Q de modo que o vetor é dirigido de P para Q conforme mostrado na Fig. 4.6a. A direção de é tangente à trajetória relativa (normal à linha PQ), e o

sentido do vetor depende do sentido de α.

nPQA

tPQA

Exemplo resolvido: Mecanismo 4 barras com guia (Polígonos de Velocidade e Aceleração)

Considerando o mecanismo de retorno rápido abaixo: A peça 2 com θ2=60°, girando com uma velocidade angular ω2 de 30 rad/s e uma aceleração angular de α2 de 240 rad/s2 nas direções indicadas. Determine a aceleração AB do ponto B, a aceleração Ac do ponto C, a aceleração angular α3 da peça 3, a aceleração angular α4 da peça 4. Dados: O2A =102; R =203; AB =203; O2X =203; AC =102; CB =152 mm. Solução: a) Polígonos de velocidades

Realizando alguns cálculos e escrevendo as equações das velocidades relativas no ponto B:

cm/s;306AO=V 22A =.ω

⎩⎨⎧

==

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⊥⊥⊥

+cm/s230V

cm/s366V

ABVAOVBOV

VV=VBA

B

BA

2A

4B

BAAB medindoonde ;

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Medindo no polígono e calculando então as velocidades angulares:

sradBO

VsradABV BBA /03,18

3,20366;/33,11

3,20230

4====== 43 ωω

Em seguida, encontram-se as velocidades relativas ao ponto C:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⊥⊥+

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⊥⊥+

cm/s175Vcm/s113V

cm/s226V

CBVBOV

VVV=V

CAVAOV

VVV=V

CB

CA

C

CB

4B

C

CBBC

CA

2A

C

CAAC

medindoonde

onde

?;

?;

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Solução: b) Polígonos de acelerações (determinação de AB) B

Realizando alguns cálculos preliminares e escrevendo as equações das acelerações relativas:

tBA

nBA

tA

nA

tB

nBBAAB A+A+A+A=A+AA+A=A ⇒

onde:

;;.;//,

;;.;//,

;;.;//,

3

2

22222

2

44444

2

ABAA

AA

AA

tBA

nBA

tA

nA

tB

nB

⊥==

⊥==

⊥==

ABBAABV

AOAOAOAO

V

BOBOBOBO

V

BA

A

B

α

α

α

Calculando com os valores já obtidos do polígono de velocidades,

( )

ABAonde?,=A

cm/s220,3230

BAV=A

cm/s2448=10,2240.=A.Oα=A

cm/s918010,2306

AOV=A

BOAonde?,=A

cm/s659820,3366

BOV=A

tBA

tBA

222

BAnBA

222

tA

22

2

2An

A

4tB

tB

22

4

2Bn

B

⊥

==

==

⊥

==

;

605

;

Medindo no polígono, abaixo, tem-se:

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2

4

tB

4

2tBA

3

2tBA

2tB

2B

rad/s122=20,32470=

BOA=α

rad/s635=20,3

12900=BAA=α

cm/s12900=Acm/s2470=Acm/s7040=A ;;

Solução: c) Polígonos de acelerações (determinação de AC)

Realizando alguns cálculos iniciais e escrevendo as equações das acelerações relativas:

tCA

nCA

tA

nA

tC

nCCAAC A+AA+AA+AA+A=A +=⇒

tCB

nCB

tB

nB

tC

nCCBBC A+AA+AA+AA+A=A +=⇒

C;

;

;

?

BAonde?;=A

//CBAcm/s201415,2175

BCV=A

ACA?;=A

//CAAcm/s125210,2113

CAV=A

A

tCB

tCB

nCB

222

CBnCB

tCA

tCA

nCA

222

CAnCA

C

⊥

==

⊥

==

=

onde

Medindo no polígono, tem-se: 2

C cm/s10400=A

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Tabela de resultados (Método dos polígonos – velocidades e aceleração)

θ2 ( º ) VB (cm/s) VC (cm/s) ω3 (rad/s) ω4 (rad/s) AB (cm/s2

) AC (cm/s2

) α3 (rad/s2

) α 4 (rad/s2

)30 237 126 18,3 11,7 16750 12200 152,7 820,2 35 272 122 17,8 13,4 15600 12600 32,0 746,3 40 310 130 17,6 14,8 14200 13000 105,0 660,0 45 330 150 16,7 16,5 12200 12600 253,0 537,0 50 354 174 15,4 17,2 10200 12200 408,8 399,0 55 360 198 13,3 17,7 8100 11200 527,0 248,8 60 366 226 11,3 18,0 7040 10400 635,0 122,0

4.3.2 Aceleração relativa de partículas de peças separadas - Componente de Coriolis

O próximo mecanismo a ser considerado é aquele em que há deslizamento relativo entre duas peças, como entre as peças 3 e 4 conforme mostrado na Fig. (4.7) e deseja-se determinar ω4 e α4 sendo dadas ω2 e α2. Neste mecanismo os pontos A2 e A3 são os mesmos e o ponto é a projeção de A2 e A3 sobre a peça 4.

A fim de se determinar ω4 e α4, devem ser analisadas a velocidade e a aceleração de dois pontos coincidentes A2 e A4 cada um em peças separadas.

Fig. 4.7

Pode-se escrever a equação da velocidade do ponto A4 como se segue:

2424 AAAA V+V=V (4.8)

Nesta equação VA2 é conhecido em módulo, sentido e direção e VA4 e VA4A2 são conhecidos em direção. Pode-se traçar o polígono de velocidades facilmente e determinar VA4 do qual pode-se calcular ω4.

As acelerações dos pontos A4 e A2 podem ser determinadas a partir das seguintes equações:

42422424 AAAAAAAA A+A=AA+A=A ou (4.9) que podem ser desenvolvidas em

A4A22tA4A2

nA4A2

tA2

nA2

tA4

nA4 V×2ω+A+A+A+A=A+A (4.10)

A2A44tA2A4

nA2A4

tA4

nA4

tA2

nA2 V×2ω+A+A+A+A=A+A (4.11)

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onde, entre as Eqs. (4.9), (4.10) e (4.11), fez-se a seguinte substituição:

A2A44tA2A4

nA2A4A2A4

A4A22tA4A2

nA4A2A4A2

V×2ω+A+A=A

V×2ω+A+A=A (4.12)

Para se determinar a aceleração relativa entre dois pontos coincidentes em movimento, necessita-se adicionar um terceiro componente conforme indicado. Este componente é conhecido por componente de Coriolis o qual será deduzido adiante, usando-se cálculo vetorial. Também como os pontos A4 e A2 são coincidentes, os termos não representam os componentes usuais normal e tangencial de dois pontos de um mesmo corpo rígido como previamente considerado. Por esta razão o módulo de é obtido através da relação:

tA2A4

nA2A4 A A e

nA2A4A

RV AA

242=n

A2A4A (4.13)

onde R é o raio de curvatura da trajetória do ponto A2 em relação ao ponto A4. Este componente é dirigido dos pontos coincidentes para o centro de curvatura, ao longo do raio de curvatura. O componente tangencial é conhecido em direção e é tangente à trajetória de At

A2A4A 2 em relação a A4 nos pontos coincidentes. Calcula-se facilmente a intensidade do componente da aceleração de Coriolis porque ωA2A44 V×2ω 4 já é conhecida e pode-se determinar VA2A4 do polígono de velocidade. A direção deste componente é normal à trajetória de A2 relativa a A4 e o seu sentido é o mesmo de VA2A4 girado de 90° em torno de sua origem, no mesmo sentido de ω4.

Com a Eq. (4.13) escrita nesta forma, e considerando o mecanismo da Fig. (4.7) pode-se concluir facilmente que é zero porque a trajetória de An

A2A4A 2 em relação a A4 é uma linha reta e R é infinito. Pode-se traçar agora o polígono de aceleração e determinar e através deste, calcular, α

tA4A

4. Consideremos a seguir o caso onde a peça-guia 4 da Fig. (4.8) tenha sido substituída por

uma peça-guia curva de forma circular conforme mostrado na Fig. (4.9). Neste mecanismo a trajetória de A2 relativa a A4 é um arco de circunferência de raio e centro de curvatura conhecida R. A intensidade de não é zero portanto, e o vetor que representa este componente estará dirigido do ponto A para o centro de curvatura C.

nA2A4A

Fig. 4.9 Fig. 4.8

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O componente de Coriolis está sempre na mesma direção de caso exista, mas o seu sentido pode ou não ser o mesmo. Considerando o termo para o mecanismo da Fig. (4.8), pode-se determinar a direção e o sentido do componente de Coriolis. Trace o vetor que representa a velocidade relativa V

nA2A4A

A2A44 V×2ω

A2A4 com direção e sentido corretos. Gire este vetor de 90°, em torno de sua origem, no mesmo sentido de ω4. Isto dará a direção e o sentido do componente da aceleração de Coriolis conforme mostrado na Fig. (4.9). Como se pode ver, os termos e

têm o mesmo sentido neste caso e se somarão. Obviamente, este método de determinação da direção e sentido do componente de Coriolis se aplica mesmo se for zero.

nA2A4A

A2A44 V×2ωnA2A4A

Exemplo resolvido: Mecanismo do Ex. 10.9 - Mabie (Método do Polígono de Acelerações)

No mecanismo de plaina limadora, mostrado na Fig. (4.10) a peça 2 gira a uma velocidade angular constante, ω2=10 rad/s. Determine a aceleração AA4 do ponto A4 da peça 4 e a aceleração angular α4 para a fase mostrada na figura. Dados: O2O4 = 300; O2A = 100; AO4 = 250 mm. Solução: As equações de velocidade e aceleração são as seguintes: I. A4A2A2A4 V+V=V onde:

22A222A2 AOcm/s100=VAO=V ⊥× ;ω

(SAH)rad/s1,325

32,5AO

Vω

cm/s95Vcm/s32,5V

AO//VAO100cm/sV

AOVVV=V

44

A44

A4A2

A4

44A4A2

2A2

44A4

A4A2A2A4

===

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

=⇒

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧⊥=

⊥+

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Fig. 4.10 Ampliando mais, temos o polígono das velocidades:

II. A4A2A2A4 A+A=A

III. A2A4A4A A+A=A 2

A2A44tA2A4

nA2A4

tA4

nA4

tA2

nA2 V2ωA+A+A+A=A+A ×+

onde:

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{ }{ }

{ }{ }

{ }

( ) {{ }A2A44

tA2A4

tA2A4

A2A4A2A442

A2A44

2A2A4n

A2A4

nA4

tA4

tA4

44nA4

22

44

2A4n

A4

2tA2

22nA2

22

22

2A2n

A2

V2ωA?;=A

VV2ω247cm/s951,32V2ω

R0;R

V=A

AA=A

O//AA42,2cm/s25

32,5AO

V=A

0α0;=A

O//AA1000cm/s10

100AO

V=A

×⊥

⊥×==×

∞==

⊥

==

=

==

;

?;

;

;

}

Medindo no polígono,

2

4

tA4

4

2tA4

2A4

47,4rad/s=25

1185=BO

A=α

1185cm/s=A1188cm/s=A e

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Ampliando mais, temos o polígono das acelerações:

Detalhes da Solução

A peça 4 é uma peça-guia que obriga os pontos A2 e A3 a seguirem uma trajetória retilínea sobre a guia. Para este exemplo, escolhem-se A2 e A4 e a guia retilínea é a trajetória relativa de A2 sobre a peça 4. Assim, envolve-se os vetores VA2A4 e e pode-se determinar facilmente o componente de , porque R = ∞.

A2A4AnA2A4A A2A4A

O polígono de velocidades mostra a determinação de VA4 e VA4A2 a partir da Eq. (I). Mostra-se também o cálculo de ω4.

A Eq. (II) expressa A4 em função de AA2 e AA4A2 . Entretanto, como a trajetória do ponto A4 em relação ao ponto A2 não é determinada facilmente, reescreve-se esta na forma da Eq. (III) de modo a usar o componente AA2A4 conforme mencionado anteriormente.

Todos os componentes da Eq. (I I I ) são conhecidos, conforme está indicado, em intensidade, sentido e direção ou em direção. Na construção do polígono de aceleração iniciando pelo lado da esquerda da Eq. (III), traça-se primeiro o vetor e a seguir a direção de

.Considere agora o membro da direita da Eq. (III) e trace o vetor A

nA4A

tA4A A2. A seguir, desenhe o

vetor de modo que sua extremidade encontre a extremidade do vetor AA2A44 V×2ω A2. Trace na perpendicular ao componente de Coriolis até cruzar com a direção do vetor que

representa ; isto completa o polígono. Marcam-se os sentidos dos vetores e de modo que a soma dos vetores do polígono concorde com a soma dos termos da Eq. (III). Finalmente, pode-se determinar a intensidade e o sentido de α

tA2A4A

tA4A t

A4A tA2A4A

4, usando-se , conforme está indicado. Lembrando-se que a componente de Coriolis do mecanismo está indicada no polígono.

tA4A

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PRANCHA 03: Título: Mecanismo de Prensa Horizontal

Um mecanismo composto de alavancas articuladas e cursor horizontal, está mostrado na figura. Com a manivela 2 girando com velocidade angular constante de 5,7 rad/s (SAH), pede-se:

a) Determinar as velocidades absolutas nos pontos A, B, C, D e angulares ω3, ω4 e ω5 pelos Métodos

dos Centros e dos Polígonos (6 pontos); b) Determinar as acelerações absolutas nos pontos A, B, C, D e angulares α3, α4 e α5 pelo Método

dos Polígonos (4 pontos); Dados: O2A=72; O2O4=356; AB=241; AC=BC=140; CD=360; O4B=192 mm.

5

O2

B

A

O4

6 D

θ2

2

4

3

C

OBS: Cada aluno vai utilizar o mesmo valor do ângulo θ2 da prancha 02.

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aulas mecanismos - parte iii

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