aulas mecanismos - parte ii[1]

Notas de Aulas de MECANISMOS 2011.1 – Professor Antonio Almeida Silva

(UFCG/CCT/UAEM)

3 – ANÁLISE CINEMÁTICA DE POSIÇÕES E VELOCIDADES

3.1 Introdução

Os princípios de projeto e soluções da engenharia devem assegurar que o mecanismo proposto ou a máquina não falhará sob as condições operacionais previstas. Para isso, as tensões no material devem ser mantidas em um nível bem inferior às tensões admissíveis. Para calcular as tensões, precisamos conhecer as forças estáticas e dinâmicas dos componentes utilizados. Para calcular as forças dinâmicas, precisamos conhecer as acelerações. Para calcular as acelerações devemos, primeiro, encontrar a posição de todos os elos ou elementos no mecanismo para cada movimento de entrada; depois, derivar as equações de posição em relação ao tempo a fim de encontrarmos as velocidades; e em seguida, derivar novamente e obter as equações de aceleração.

Isso pode ser feito por muitos métodos. Podemos usar a aproximação gráfica ou podemos derivar as equações gerais para o movimento em qualquer posição. Se escolhermos a solução gráfica para análise, devemos gerar uma solução gráfica independente para cada uma das posições de interesse, o que tornaria o processo bastante longo. Em contrapartida, uma vez que a solução analítica seja obtida para um mecanismo particular, será rapidamente resolvida por um computador para todas as posições, e ainda será possível visualizar o seu desempenho em tempo real.

É interessante notar que a análise gráfica da posição de conexões é um exercício bastante trivial, pois só exige o desenho em escala e medição dos ângulos numa dada posição, enquanto a análise de posição por equações algébricas é muito mais complicada. Mas o contrário é verdadeiro para velocidade e especialmente para análise de aceleração. Soluções analíticas para elas são menos complicadas para derivar do que a solução analítica para posição. Contudo a análise gráfica de velocidade e de aceleração se torna muito mais complexa e difícil como nos casos de diagramas vetoriais gráficos que devem ser refeitos para cada uma das posições de interesse (Norton, 2010). 3.2 Sistemas de Coordenadas Global e Local

Os sistemas de coordenadas e de referência existem por conveniência do engenheiro que os define. O sistema global geralmente é fixado num ponto da estrutura ou suporte. Já os sistemas locais de coordenadas são normalmente anexados a um elo ou algum ponto de interesse, como uma junta pinada. Esse sistema local pode ou não ser rotacionado, como desejarmos. 3.2.1 Posição e Deslocamento A posição de um ponto no plano pode ser definida por meio de um vetor de posição como mostrado na Fig. 3.1. A escolha dos eixos de referência é selecionada para satisfazer o observador. A Fig. 3.1a mostra um ponto A, definido no sistema de coordenadas global, e a Fig. 3.1b mostra o mesmo ponto num sistema de coordenadas local cuja origem coincide com a do sistema global.

Figura 3.1 – Vetor de posição no plano. (a) Sistema global XY; (b) Sistema local xy.

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Um vetor de duas dimensões pode ser expresso tanto na forma polar quanto em coordenadas cartesianas. A forma polar fornece o módulo e o ângulo do vetor. A forma cartesiana fornece os componentes X e Y do vetor. Cada forma é diretamente conversível a outra por:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=+=

X

YYXA R

RRRR arctan;22 θ (3.1)

O deslocamento de um ponto no plano é a mudança de sua posição e pode ser definido como

a distância em linha reta entre a posição inicial e a final do ponto que se move no sistema de referência. Note que deslocamento não é necessariamente o mesmo comprimento do caminho que o ponto pode ter percorrido para sair de uma posição inicial até a posição final. 3.3 Análise Algébrica da Posição e Velocidade no Mecanismo Biela-Manivela 3.3.1 Análise Algébrica da Posição A Fig. 3.2 mostra um mecanismo biela-manivela composto de três vetores R1, R2 e R3 onde R1 representa a posição do cursor B em relação ao eixo X e possui comprimento d. Os vetores R2 e R3 geralmente são conhecidos e representam a manivela e a biela que completam o laço. Para uma dada posição angular θ2 da manivela, as coordenadas do ponto A são obtidas de:

22 sin;cos θθ aAaA yx == (3.2)

As coordenadas do ponto B são obtidas pela soma das projeções de R2 e R3 nas respectivas direções, ou seja

0;coscos 2 =+== yx BbadB φθ (3.3)

O2

R1

R3R2

Y A

B θ2

θ3

ΦAx

a b

d

Ay

X

Figura 3.2 – Mecanismo biela-manivela e sua representação vetorial. Observando-se que o segmento AAx é o cateto oposto comum aos dois triângulos retângulos, tem-se a relação: φθ sinsin 2 ba = , donde pode-se obter o ângulo complementar Φ por

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⇒= 22 sinarcsinsinsin θφθφ

ba

ba

(3.4)

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E, em seguida, pode-se determinar o ângulo θ3 pela relação:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=−= 23 sinarcsin θπφπθ

ba

(3.5)

Se desejarmos obter a posição do cursor B, Eq. 3.3, em função do ângulo de entrada θ2 deve-

se fazer uso da relação trigonométrica: 22

22 sin1sin1cos θφφ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=−=

ba

.

Assim, a equação da posição exata do cursor B pode ser descrita na forma:

22

2

2 sin1cos θθ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+==

babadBx (3.6)

Ou ainda, a fim de simplificar o lado direito da Eq. 3.6, o radical pode ser aproximado pela

Série infinita dada por:

L±−±−±=±8.6.4.2

.5.3.16.4.2

.3.14.2

.12111

86422 βββββ (3.7)

Em geral, o uso dos dois primeiros termos da série já fornece uma precisão suficiente para

fins de cálculo de engenharia. Assim, podemos adotar a relação aproximada,

22

2

22

2

sin211sin1 θθ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−≅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

ba

ba

(3.8)

Então, substituindo a Eq. 3.8 no segundo termo da Eq. 3.6, obtém-se a equação aproximada

da posição do cursor B:

22

2

2 sin2

cos θθb

abadBx −+≅= (3.9)

3.3.2 Análise Algébrica da Velocidade Considerando que a manivela gira com velocidade angular constante ω2, e que t22 ωθ = , derivando-se a Eq. 3.9 em relação ao tempo, obtém-se a equação aproximada de velocidade do cursor B:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−≅= 222 2sin

2sin θθω

baa

dtdBV x

B (3.10)

No exemplo a seguir, será mostrado que as equações aproximadas e exatas de posição e velocidade do cursor B dão resultados muito próximos em termos de simulação computacional. Para isso, foi deduzido um procedimento analítico e codificado num algoritmo em ambiente Matlab.

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Exemplo_01: Biela-Manivela (Prob. 2.7, Mabie & Ockvirk)

Desenvolver uma rotina de computador para calcular os parâmetros de posição e velocidade do cursor B do mecanismo mostrado na Fig. 3.2. Use as equações exatas e aproximadas. Faça R2=a=50 mm; R3=b=100 mm; n2=100 rpm. (a) Calcule estes parâmetros para uma volta completa da manivela, com intervalos de 15° para o ângulo θ2. (b) Compare os gráficos resultantes e analise a precisão das equações analíticas.

0 50 100 150 200 250 300 35050

60

70

80

90

100

110

120

130

140

150

160Gráfico de Posição do Cursor B

Ângulo teta2 (graus)

Des

loca

men

to (m

m)

Curva ExataAproximada

0 50 100 150 200 250 300 350-600

-400

-200

0

200

400

600Gráfico de Velocidade do Cursor B


Vel

ocid

ade

(mm

/s)

Curva ExataAproximada

Analisando os gráficos e equações de velocidades, observa-se que o segundo termo da equação exata se diferencia da aproximada, apenas pela presença de um radical no denominador, o que provoca uma pequena distorção nas regiões próximas do máximo e mínimo da curva.

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3.4 Análise Vetorial da Posição e Velocidade no Mecanismo Biela-Manivela 3.4.1 Vetores como Números Complexos Existem muitas formas de representar vetores. Já foi mostrado que um vetor de duas dimensões pode ser expresso tanto na forma polar quanto em coordenadas cartesianas. Essas formas são conversíveis entre si conforme ilustra a Fig. 3.3. Usando a notação de números complexos, a componente da direção X é chamada de parte real e a componente da direção Y é chamada de parte imaginária.

Figura 3.3 – Vetor de posição no plano complexo e seus vetores rotacionados.

Note que na Fig. 3.3b cada multiplicação do vetor RA pelo operador j resulta numa rotação anti-horária de 90 graus do vetor. Uma vantagem de usar a notação dos números complexos para representar vetores planos é usar a Identidade de Euler: , onde θθθ sincos je j ±=± 1−=j . 3.4.2 Equação Vetorial da Posição Seja o mecanismo biela-manivela composto de três vetores R1, R2 e R3, onde as direções e sentidos dos vetores foram escolhidos em função dos ângulos θ2 e θ3, conforme a Fig. 3.2. Para uma dada posição θ2 da manivela, o laço de vetores leva a equação:

0132 =−− RRRrrr

(3.11)

Representando a magnitude dos vetores na forma complexa, 132 , RdeRbRa === , a Eq. 3.11 assume a forma

0132 =−− θθθ jjj edebea (3.12)

Usando a relação de Euler, a Eq. 3.12 fica

0)sin(cos)sin(cos)sin(cos 113322 =+−+−+ θθθθθθ jdjbja (3.12a) Observando a Fig. 3.2, nota-se que como , e separando a Eq. 3.12a em suas partes reais e imaginárias obtém-se um sistema de equações com duas incógnitas:

1cos0sin0 111 ==⇒= θθθ eo

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0sinsin0coscos

32

32

=−=−−

θθθθ

badba

(3.12b)

onde, pela segunda relação da Eq. 3.12b, obtém-se diretamente θ3

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⇒= 2323 sinarcsinsinsin θθθθ

ba

ba

(3.12c)

e substituindo θ3 na primeira relação da Eq. 3.12b, encontra-se a posição do cursor B, dada por

32 coscos θθ badBx −== (3.13) Obs: Note que essa Eq. 3.13 é idêntica à Eq. 3.3 obtida analiticamente, quando substituímos no

lugar da última relação vetorial com θ3, o ângulo complementar 3θπφ −= . 3.4.3 Equação Vetorial da Velocidade

Derivando a Eq. 3.12 original em relação ao tempo, considerando como constantes a, b, c e θ1, porém o comprimento d, variando com o tempo, e lembrando que a derivada de uma função

exponencial complexa é: θθθ

ωθθ

jjj

ejdtdej

ded

==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛. , essa fica:

03232 =−− debjeaj jj &θθ ωω (3.14)

Onde d é a velocidade linear do cursor B. Substituindo a identidade de Euler, e re-arrumando a Eq. 3.14, essa assume a forma

&

0)cossin()cossin( 333222 =−+−−+− djbja &θθωθθω (3.14a)

Separando a Eq. 3.14a em suas partes real e imaginária, tem-se o sistema de equações,

0coscos0sinsin

3322

3322

=−=−+−

θωθωθωθω

badba &

(3.14b)

onde, pela segunda relação da Eq. 3.14b, pode-se obter diretamente a velocidade angular ω3

23

23 cos

cos ωθθω

ba

= (3.15)

Logo, substituindo ω3 na primeira relação da Eq. 3.14b, obtém a velocidade linear do cursor B

3322 sinsin θωθω badVB +−== & (3.16) 3.5 Análise Algébrica da Posição e Velocidade no Mecanismo Quatro Barras

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3.5.1 Análise Gráfica da Posição A análise gráfica desse problema é trivial e pode ser feita usando apenas trigonometria básica. Após desenhar o mecanismo em escala com régua, compasso e transferidor em uma posição particular (dada por θ2), será preciso somente medir os ângulos dos elos 3 e 4 com transferidor. Note que todos os ângulos dos elos são medidos do eixo X no sentido anti-horário. Na Fig. 3.4a, um sistema local de eixos xy, paralelo ao sistema global XY, deve ser criado no ponto A para medir θ3.

A Fig. 3.4b mostra a construção gráfica de um mecanismo de quatro barras do tipo manivela-balancim, onde nota-se que pode assumir duas configurações: aberta e cruzada. O ponto B pode ser obtido, traçando-se um arco com origem no ponto A e raio AB, e depois com centro na origem O4 e raio O4B traça-se o novo arco cujos traçados terão dois pontos de interseção em B e B.

Figura 3.4 – Mecanismo de quatro barras e sua representação vetorial. 3.5.2 Análise Algébrica da Posição

O mesmo procedimento usado na Fig. 3.4 para resolver geometricamente pelas interseções em B e B’ e ângulos θ3 e θ4 pode ser codificado para um algoritmo algébrico. Para uma dada posição angular θ2 da manivela, as coordenadas do ponto A são obtidas de:

22 sin;cos θθ aAaA yx == (3.17) As coordenadas locais do ponto B são obtidas usando-se as equações dos dois círculos sobre os centros A e O4:

222222 )(;)()( yxyyxx BdBcABABb +−=−+−= (3.18) que fornecem um par de equações simultâneas em termos de BBx e ByB . Da Eq. 3.18 e subtraindo a segunda relação da primeira e após algumas arrumações, temos a expressão para BBx:

dABA

SdA

BAdA

dcbaBx

yy

x

yy

xx −

−=−

−−

−+−=

)(22

)(2

2222

(3.19)

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Substituindo a Eq. 3.19 na segunda relação da Eq. 3.18, teremos uma equação quadrática de BBy, que tem duas raízes ou soluções correspondentes, conforme já ilustrado na Fig. 3.4.

022

2 =−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−−+ cd

dABA

SBx

yyy (3.20)

Isso pode se resolvido com uma expressão familiar para as raízes da equação quadrática

)(2;)(;

)(2

;1)(

,2

4

222222

2

22

dAdcbaScSdR

dASdA

Q

dAA

PondeP

PRQQB

xx

y

x

yy

−−+−

=−−=−

−=

+−

=−±−

= (3.21)

Note que as raízes podem ser reais ou imaginárias. No último caso, indicará que os elos não se conectam com o dado ângulo de entrada θ2 ou não satisfaz a lei de Grashoff. Se reais, quando os dois valores de BBy forem encontrados (cadeia aberta ou cruzada), eles podem ser substituídos na Eq. 3.19 para se obter os componentes de BxB . Os respectivos ângulos para essas posições são:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

dBB

ABAB

x

y

xx

yy arctan;arctan 43 θθ (3.22)

3.6 Análise Vetorial da Posição e Velocidade no Mecanismo Quatro Barras 3.6.1 Equação Vetorial da Posição Seja o mecanismo de quatro barras manivela-balancim, composto de quatro vetores R1, R2, R3 e R4, onde as direções e sentidos dos vetores foram escolhidos em função dos ângulos θ2, θ3 e θ4, conforme a Fig. 3.5. Para uma dada posição θ2 da manivela, o laço de vetores leva a equação:

01432 =−−+ RRRRrrrr

(3.23)

Figura 3.5 – Mecanismo de quatro barras e sua representação vetorial.

Substituindo a notação de número complexo para cada vetor posição e representando a

magnitude dos vetores na forma: 1432 ,, RdeRcRbRa ==== , a Eq. 3.23 assume a forma,

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01432 =−−+ θθθθ jjjj edecebea (3.24)

Usando a relação de Euler, a Eq. 3.24 fica

0)sin(cos)sin(cos)sin(cos)sin(cos 11443322 =+−+−+++ θθθθθθθθ jdjcjbja (3.24a) Observando a Fig. 3.5, nota-se que para , e separando a Eq. 3.24a em suas partes reais e imaginárias obtém-se um sistema de equações com duas incógnitas:

1cos0sin0 111 ==⇒= θθθ eo

0sinsinsin0coscoscos

432

432

=−+=−−+

θθθθθθ

cbadcba

(3.24b)

Para resolver esse sistema de equações simultâneas, podemos isolar θ3 e resolvemos θ4:

423

423

sinsinsincoscoscos

θθθθθθ

cabdcab

+−=++−=

(3.24c)

Agora, elevando os dois lados das equações acima ao quadrado e somando-os, obtém-se:

2

422

4232

332 )coscos()sinsin()cossin( dcacab ++−++−=+ θθθθθθ (3.24d)

Note que o valor resultante no lado esquerdo (entre parênteses) é igual a 1, eliminando θ3 da

equação. O lado direito dessa expressão deve agora expandir por:

)coscossin(sin2cos2cos2 4242422222 θθθθθθ +−−−−+= accdaddcab (3.24e)

Para simplificar essa expressão, são introduzidas as constantes K1, K2 e K3 dadas por

cadcbaK

cdK

adK

2;;

2222

321−+−

=== (3.25)

Se substituirmos na Eq. 3.24e a identidade: 424242 sinsincoscos)cos( θθθθθθ +=− , e incluindo as constantes acima teremos a forma conhecida como equação de Freudenstein*:

)cos(coscos 4232241 θθθθ −=+− KKK (3.26) Para reduzir a Eq. 3.26 para uma forma mais amigável, pode ser útil substituir a meia identidade dos ângulos que serão convertidos em

)(tan1)(tan1cos;

)(tan1)tan(2

22

22

42

22

4 4

4

4

4

θ

θ

θ

θ

θθ+−

=+

=sen (3.27)

Isso resulta, na forma simplificada, em que os comprimentos dos elos e a entrada conhecida θ2 foram reagrupadas em termos das constantes A, B e C,

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02

tan2

tan 442 =+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ CBA θθ

(3.28)

onde:

3221232212 cos)1(;2;coscos KKKCsenBKKKA ++−=−=+−−= θθθθ

Note que a Eq. 3.28 é quadrática, e a solução é: A

ACBB2

42

tan2

4 −±−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛θ

Donde podemos encontrar o ângulo θ4 para as condições cruzada ou aberta:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −±−=

AACBB

24arctan2

2

2,14θ (3.28a)

A solução para o ângulo θ3 é essencialmente similar à solução para θ4, onde agora novas constantes são adotadas,

babadcK

bdK

adK

2;;

2222

541−−−

=== (3.29)

Isso também reduz à forma quadrática:

02

tan2

tan 332 =+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ FED θθ

(3.30)

onde: 5241252412 cos)1(;2;coscos KKKFsenEKKKD +−+=−=++−= θθθθ

E a solução é

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −±−=

DDFEE

24arctan2

2

2,13θ (3.30a)

Assim como para o ângulo θ4, há também duas soluções, como mostrado na Fig. 3.5. 3.6.2 Equação Vetorial da Velocidade Retomando ao mecanismo de quatro barras manivela-balancim, porém incluindo a velocidade angular de entrada ω2, conforme mostrado na Fig. 3.6. As equações vetoriais de malha fechada, que já foram mostradas anteriormente, é repetida aqui para melhor compreensão:

01432 =−−+ RRRRrrrr

(3.23)

01432 =−−+ θθθθ jjjj edecebea (3.24)

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Figura 3.6 – Polígonos do vetor posição e de velocidade de mecanismo de quatro barras.

Para conseguir a expressão da velocidade, derivamos a Eq. 3.24 em relação ao tempo, e considerando que 01 =dtdθ , essa assume a forma,

0432432 =−+ θθθ ωωω jjj ejcejbeja (3.31)

Note que o termo θ1 foi cancelado, pois seu ângulo é constante e, portanto, sua derivada é nula. Note ainda que a Eq. 3.31 é, na verdade, uma forma da equação da velocidade relativa, conforme ilustrado no polígono de velocidades da Fig. 3.6b.

432432 ;;, θθθ ωωω j

Bj

BAj

ABBAA ejcVejbVejaVondeVVV ====+ (3.32) Agora precisamos resolver a Eq. 3.31 para encontrar ω3 e ω4, conhecendo a velocidade de entrada ω2, os comprimentos dos elos e todos os ângulos dos elos. A estratégia de solução será a mesma feita para a análise de posição. Primeiro, substituir a identidade de Euler em cada termo,

0)sin(cos)sin(cos)sin(cos 444333222 =+−+++ θθωθθωθθω jjcjjbjja (3.33) Multiplicando tudo pelo operador j, e notando que os termos em cosseno se tornaram imaginários, ou termos com direção y, e por causa de , os termos em seno se tornam reais ou com direção x negativa,

12 −=j

0)cossin()cossin()cossin( 444333222 =+−−+−++− θθωθθωθθω jcjbja (3.33a)

Separando agora nas componentes reais e imaginárias,

0coscoscos0sinsinsin

443322

44332

=−+=+−−θωθωθω

θωθωθcba

cb (3.33b)

Podemos resolver essas duas equações acima, por substituição direta, encontrando,

)sin()sin(;

)sin()sin(

34

3224

43

2423 θθ

θθωωθθθθωω

−−

=−−

=c

ab

a (3.34)

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(UFCG/CCT/UAEM)

Uma vez que já foram encontrados ω3 e ω4, podemos então resolver as velocidades lineares substituindo as identidades de Euler nas Eqs. 3.32,

)cos(sin)sin(cos)cos(sin)sin(cos)cos(sin)sin(cos

444444

333333

222222

θθωθθωθθωθθωθθωθθω

jcjjcVjbjjbVjajjaV

B

BA

A

+−=+=+−=+=+−=+=

(3.35)

As Eqs. 3.34 e 3.35 fornecem uma solução completa para as velocidades lineares dos elos e das velocidades angulares das juntas em um mecanismo de quatro barras. Exemplo_02: Mecanismo de Quatro Barras (P 4.6, Norton) Uma configuração geral de um mecanismo manivela-balancim é mostrada na Fig. 3.7 abaixo. Os comprimentos dos elos, a posição do ponto acoplador P e os valores de θ2 e ω2 são dados abaixo. Desenhar o mecanismo em escala e encontrar as posições e velocidades nos pontos B e P, usando: (a) método gráfico da composição e decomposição; (b) método analítico ou vetorial. Dados: O2O4=152,4; O2A=50,8; AB=177,8; AP=152,4; O4B=228,6 (mm);

θ2=10°, 20°,..., 360°; δ3=30°; ω2=10 (rad/s) Solução:

(a) Método Gráfico (a ser desenvolvido em sala de aula, θ2=60°) *Resultados: θ3=74°; θ4=110°; (BBx, ByB )=( 74.4, 214.9) mm; (Px, Py)=( -17.6, 216.5) mm.

ω3= -3.72 (rad/s); ω4= -0.92 (rad/s); VB= 209.2 mm/s; VB P= 550.8 mm/s. (b) Equações vetoriais (ver gráficos utilizando uma Rotina no Matlab)

Figura 3.7 – Polígonos do vetor posição de um mecanismo de quatro barras.

31


(UFCG/CCT/UAEM)

0 50 100 150 200 250 300 350 400105

110

115

120

125

130

135

140

145

150


Âng

ulo

teta

4 (g

raus

)

Gráfico de Deslocamento angular teta4 x teta2

0 50 100 150 200 250 300 350 4000

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000Gráfico de Velocidade, mod(Vp)


Vel

ocid

ade

Vp

(mm

/s)

3.7 Revisão do Método Gráfico da Composição e Decomposição

Os princípios a seguir são aplicáveis a sistemas articulados consistindo de combinações de rotores, barras, cursores, cames, engrenagens e elementos rolantes. Considera-se corpos rígidos os elos de mecanismos em que a distância entre dois pontos em movimento permanece invariável.

Uma peça do tipo manivela que dá voltas ou oscila em torno de um ponto Q, conforme a Fig. 3.8, possui magnitude da velocidade linear Va proporcional à distância que separa o ponto em questão A ao eixo de rotação Q. A direção da velocidade é perpendicular à linha QA e o sentido concorda com o da velocidade angular do corpo m. As magnitudes das velocidades lineares dos pontos B e C guardam com Va a mesma proporção de suas respectivas distâncias a Q.

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(UFCG/CCT/UAEM)

Quando se conhece a velocidade de um ponto de um corpo rígido m, pode-se obter a velocidade de outro ponto do mesmo corpo, procedendo-se conforme mostrado na Fig. (3.9). A velocidade no ponto A, chamada Va, é completamente conhecida, e da velocidade em B sabe-se apenas a direção na linha BM.

Fig. 3.8 Fig. 3.9

Como se trata de um corpo rígido a distância AB é invariável, decompõe-se Va e se encontra Aa que será transmitida para B, tal que Bb=Aa. O vetor Bb é uma componente de Vb que pode ser obtida pela composição de Bb na direção perpendicular à reta AB e que cruza com a direção de BM no ponto b1. Portanto, Vb será dada pelo vetor Bb1.

Na Fig. 3.10 consideram-se três pontos A, B e C pertencentes a um mesmo corpo rígido m, onde se conhece Va completamente e apenas a direção de Vb. Pretende-se encontrar a magnitude da velocidade Vb e Vc que é totalmente desconhecida.

Fig. 3.10

Seguindo o mesmo procedimento da Fig. 3.9, encontra-se Vb. Em seguida, decompõe-se Va

na direção de AC e Vb na direção de BC, representados respectivamente pelos vetores Aa e Bb. Deslocando-se estes vetores para o ponto C, obtém-se Cc e Cc1, que compondo nas direções perpendiculares às retas AC e BC, obtém-se o ponto c2 que representa Vc.

Na Fig. 3.11 conhece-se por completo Va, a direção de Vb na linha BM e se pretende encontrar Vc, que não se conhece nada. Por estarem A, B e C em linha reta, não é possível aplicar o mesmo procedimento anterior da Fig. 3.10. Porém pode-se obter rapidamente Vc considerando que o corpo m tem um movimento angular instantâneo ao redor de um eixo, e que os vetores representativos das velocidades de A, B e C perpendiculares a AB devem ser proporcionais às distâncias de cada um destes pontos ao eixo instantâneo de rotação. Obtém-se Vb conforme já mostrado na Fig. 3.9. Em seguida, traça-se Cc=Aa, e teremos a componente de Vc na direção ACB. Por c passa-se uma perpendicular que intercepta a linha que passa pelos pontos a1 e b1. O vetor Cc1 é a representação da velocidade linear Vc.

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Fig. 3.11

3.8 Método dos Centros Instantâneos de Rotação 3.8.1 Conceito de Eixos Instantâneos de Rotação O conceito de eixos instantâneos de rotação está associado à idéia de que, num determinado instante, cada uma das partes ou elos da máquina gira ao redor de um eixo, que pode ser fixo ou móvel. No caso do eixo móvel este pode ser considerado fixo por um instante.

A Fig. 3.12 representa uma peça oscilante de forma qualquer. A velocidade linear do ponto A é completamente conhecida, enquanto num outro ponto B do mesmo corpo se conhece apenas a direção-sentido da velocidade BX. O eixo instantâneo de rotação Q pode ser determinado pela interseção das perpendiculares às direções das velocidades de ambos os pontos A e B. No instante considerado, todos os pontos do corpo em questão tendem a girar ao redor de Q. A magnitude da velocidade de B se obtém partindo da magnitude de A, empregando a semelhança de triângulos, por que as velocidades lineares instantâneas de cada um dos pontos do corpo são proporcionais às distâncias dos pontos ao eixo Q.

Fig. 3.12 3.8.2 Notação de Centros Instantâneos de Rotação A Fig. 3.13 mostra um sistema de notação aplicado a um mecanismo de quatro barras, onde o centro instantâneo de rotação da peça 3 em relação à peça fixa 1 é denominado 31 ou 13. Assim o centro instantâneo de rotação da peça 2 em relação à peça 1 é designado de 12 ou 21 e o da peça 4 em relação à peça 1 é designado de 14 ou 41 conforme mostrado. O centro instantâneo de rotação de uma peça em relação a outra, quando ambas as peças são móveis, também é de interesse. Tais centros são os pontos A e B, onde A2 e A3 têm uma velocidade absoluta em comum VA (centro móvel 32 ou 23) e de modo semelhante BB3 e B4B têm uma velocidade absoluta em comum VB (centro móvel 43 ou 34). O centro instantâneo 42 ou 24 também está mostrado, e será discutido na seção seguinte.

B

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Fig. 3.13

3.8.3 Determinação de Centros Instantâneos de Rotação - Teorema de Kennedy Para três corpos independentes em movimento plano geral, o teorema de Kennedy estabelece que os três centros instantâneos de rotação estão em uma linha reta comum. Na Fig. 3.14 as três peças 1, 2 e 3 estão em movimento uma em relação à outra. Há três centros instantâneos de rotação (12, 13 e 23), cujas posições instantâneas devem ser determinadas.

Se a peça 1 for considerada fixa, as velocidades das partículas A2 e BB2 da peça 2 e as velocidades de D3 e E3 da peça 3 podem ser consideradas como velocidades absolutas em relação à peça 1. O centro instantâneo 12 pode ser localizado pela interseção das normais às direções das velocidades de A2 e B2B . De modo semelhante localiza-se o centro 13, por intermédio de D3 e E3. Fig. 3.14

Resta determinar o terceiro centro instantâneo 23. Sobre uma reta traçada pelos centros 12 e

13, existe uma partícula C2 da peça 2 a uma velocidade absoluta Vc2 e que tem a mesma direção que a da velocidade Vc3, da partícula C3 da peça 3. Como Vc2 é proporcional à distância de C2 a 12, determina-se o módulo de Vc2 de um modo semelhante. Na interseção das retas de construção em k, determina-se uma posição comum C2 e C3 de tal modo que as velocidades absolutas Vc2=Vc3 são idênticas. Esta posição é o centro instantâneo 23, porque as velocidades absolutas das partículas coincidentes são comuns e porque o centro 23 está sobre uma linha reta que une 12 e 13.

O teorema de Kennedy é bastante útil na determinação das posições dos centros instantâneos em mecanismos que têm um grande número de peças. Em relação a um número n de peças, há um total de n(n-1) centros instantâneos de rotação. Entretanto, como em cada posição dos centros instantâneos há dois centros comuns, o número total N de posições é dado por 2)1( −= nnN .

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Exemplo_03: Mecanismo de Quatro barras (Composição e Centros instantâneos)

Seja o mecanismo de quatro barras ilustrado na Fig. 3.15, onde a velocidade angular da manivela é de 100 rpm, no sentido anti-horário, e a 75° com a horizontal. Dados: O2A=4,8 cm; AB=7,7 cm; BD =4,3 cm; O2O4=12 cm; O4B=9,2 cm; O4E=4,6 cm. Encontrar VB, VB C, VD, VE e ω4: a) Método de composição e decomposição de velocidades:

scmAOVsradnA /26,50./47,10

60)100(2

602

222

2 ==⇒=== ωππω

Escolhendo uma escala de velocidades apropriada e desenhando o vetor VA em módulo,

numa direção perpendicular à manivela O2A e sentido de ω2, inicia-se o processo de decomposição desse vetor na direção AB, onde VA’=VB’. Em seguida compõe-se o vetor resultante, traçando-se uma perpendicular ao segmento AB até encontrar V

B

BB.

Após a determinação de VB, segue-se encontrando B sradBO

VB /98,360

36,60

44 ===ω e depois

obtém-se Vc, Vd e Ve. Os resultados obtidos estão resumidos na Tabela abaixo.

Fig. 3.15 - Mecanismo de quatro barras (decomposição e composição).

b) Método dos centros instantâneos de rotação: centrosnnN 62

)14(42

)1(=

−=

−= .

Neste caso, por observação direta da Fig. 3.16, só precisamos determinar o centro 13, que servirá para determinar as velocidades Vb, Vc e Vd.

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Fig. 3.16 - Mecanismo de quatro barras (Centros Instantâneos).

Tabela de resultados: θ2= 75°

DADOS COMPOSIÇÃO E DECOMPOSIÇÃO DADOS CENTROS

Va (cm/s) 50,26 Va (cm/s) 50,26 Vb (cm/s) 36,60 Vb (cm/s) 36,50 Vc (cm/s) 53,20 Vc (cm/s) 50,30 Vd (cm/s) 40,55 Vd (cm/s) 40,10

Ve (cm/s) 18,30 Ve (cm/s) 18,30

ω3 (rad/s) 4,25 ω3 (rad/s) 4,40 ω4 (rad/s) 3,98 ω4 (rad/s) 3,97

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Exemplo_04: Mecanismo composto (Método dos Centros Instantâneos de Rotação)

A Figura 3.17 representa um mecanismo composto do tipo Whitworth (Plaina Limadora). A manivela 2, articulada ao cursor 3, gira no sentido horário com velocidade de rotação de 500 rpm. Encontrar as velocidades lineares nos pontos A, B e C e angular da barra-guia 4.

Dados: 0204= 3,0 cm; 02A= 5,5 cm; 04B= 3,5 cm; BC= 11,0 cm; θ2= 55o.

Fig. 3.17

a) Método dos Centros:

• Cálculo do numero de centros: 152

)16(62

)1n(nN ===--

• Identificando os centros por observação direta: (12, 23, 34, 45, 56, 14 e 16)

• Usando o teorema de Kennedy, determinamos os demais centros, conforme a Fig. 3.18:

• Exemplo: 13 =>(12-23;14-34); 15 =>(16-56;14-45); 24 =>(12-14;23-34);

25 =>(12-15;24-45); 26 =>(12-16;25-56); ...

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Fig. 3.18

• Em seguida, resolvemos para acharmos as velocidades VA, VB, VC e ω4.

scmVA /288)5,5(30

)500(2 ==

π ;

Usando o centro 24, e V24 obtém-se scmVB /0,125=

Usando , obtém-se BV scmBO

VB /7,355,30,125

44 ===ω

Usando o centro 26, e V26 diretamente, obtém-se scmVC /5,120= , pois as mesmas são paralelas

e possuem o mesmo módulo e direção.

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PRANCHA 02: Título: Mecanismo Composto

Para o mecanismo composto de barras articuladas e cursor horizontal, mostrado na figura abaixo, a manivela 2 gira no sentido anti-horário com velocidade angular constante de 100 rpm. a) Determine as velocidades absolutas nos pontos A, B, C, D e angulares ω3, ω5 e ω6 pelos Métodos da

Composição e decomposição e Centros instantâneos de rotação (7 pontos); b) Determine a posição e velocidade absoluta do cursor B e do ponto acoplador C pelo Método analítico ou

Vetorial e compare os resultados com o método gráfico (3 pontos); Dados: 02A=3,5; AB=15; AC=7,0; BC=10; CD=06D=8,0; 0206=9,0 cm; θ2=15°, 30°, ..., 360°.

ω2

D

A

O2

C

θ2o

O6

B

6

5

3

4

Obs: Entregar as pranchas até o dia 28/03/2011.

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aulas mecanismos - parte ii[1]

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