aulas de revisão

7/21/2019 Aulas de Revisão

http://slidepdf.com/reader/full/aulas-de-revisao 1/13

NOTAS DE AULA. NOTA 1Prof.. Irval 1

AS OPERAÇÕES MATEMÁTICAS BÁSICAS E SUAS IMPL ICAÇÕES.

De acordo com as regras matemáticas ao efetuarmos as operações matemáticas básicas, obtemos resultados diferentes, dependendo da operação efetuada.

Observe regra de sinais; envolvendo as operações e depois como são feita asoperações, indicadas.

1- ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO

a-) 8 + 5 = 13 b-) 5 + 8 =13 c-) 8 – 5 = 3 d-) 5 – 8= -3 e-) – 8 - 5 = -13 f-) -5 – 8 = -13

observe: ao encontrarmos uma operação com sinais iguais (“mais ou menos”), nós devemos somar osvalores e conservar o sinal.

observe: ao encontrarmos uma operação com sinais diferentes (“mais ou menos”), nós devemossubtrair os valores e conservar o sinal do maior.

2- MULTIPL ICAÇÃO

3- DIVISÃO

Observação. Tanto na multiplicação quanto na divisão, a regra de sina é a seguinte:

+ vezes + = + Obs. multiplicação oudivisão de mesmo sinal

resulta positivo.Multiplicação oudivisão de sinaisopostos resulta

negativo.

+ vezes - = -

- vezes - = +

+ dividido + = +

+ dividido - = -

- dividido - = +

Agora ésua vez, resolva os exercícios abai xo;

a-) (-3)(-5) = b-) 6.(-3) = c-) (-9).4= d-) – (-5) = e-) (3).2.(-1) = f-) (3)(5)(-7) =

m-) 3+(-5) = n-) 6-(-3) = o-) (-9)-4= p-) -5 – (-5) = q-) (-3)+2-(-1) = r-) 3+(-5)+(-7) =

4- SIMPLIF ICANDO RESULTADOS MATEMÁTICOS.

Agora iremos trabalhar com exercícios que envolvem “simplificação”. Ás vezes, aoefetuarmos certas operações matemáticas, nos deparamos com resultados de difícil interpretação ou




de valores elevados. Para melhor entendermos tais resultados lançamos mão do recurso chamado

simplificação. Exemplo: . Ao invés de lermos seis meios, ou, seis dividido por dois, o mais

recomendado é efetuarmos a divisão, ou seja, simplificarmos; e escrevermos três. Essassimplificações geralmente ocorrem quando trabalhamos com frações e para isso dividimos onumerador e o denominador, ambos, pelo mesmo valor. Exemplo:


Classifique a expressão abaixo como falsa ou verdadeira:

k-) Se, 2a + b+ 12 + 2a +c +12, então b=c l-) Se, a+b + c + d = c + s + d + a, então b = s

m-) Se, 1 + 4s + c + 4t = c + 1, então 4s + 4t = 0 n-) Se, 2x +7y = c + 7y, então 2x = c

o-) – (-a + 3) = a + 3 p-) – (-4 + a) 4 – a q-) – (-a – c) = a + c r-) – (5 + m)= -5 – m

s-) -6 – a = -(6 + a) t-) – (1 – S) = -1 + s u-) (-4/5) = (-8/10) v-) (-14/-5) = (42/15)

x-) (-1/5)=(10/50) w-) (4ab/-2) = (8(-ab)/4)) z-) 9(3-a) = 27 – a

1-) (4 – x)4 16 – 4x 2-) a(5 – b) = 5a - b 3-) (-4 + c)a = -4a +ac 4-) 2(-z – w) = -2z -2w

5-) (- a + b)(-c) ac - bc 6-) (-1 – w)(-1) = 1 – w 7-) – a(b – c) = -ab + ca

7-) (-4)(a – b) = -4ª + b

5- EXPRESSÃOE NUMÉRICAS

Neste tópico iremos trabalhar com exercícios que envolvem expressões numéricas, ou seja,operações matemáticas onde teremos mais que um termo e mais que uma operação a ser realizada.Lembre-se que cada operação, entre termos deve ser feita levando-se em consideração as suas propriedades: Exemplo.

Para a adição e subtração envolovendo fração, é necessário usar mos o critério do MMC, ouseja minímo múltiplo comum, ouseja, sempre usamos o MMC para efetuarmos a operação entre

números não inteiros; números fracionários.




Tente se lembrar como se calcula o MMC entre dois ou mais valores numéricos. Por exemplo,qual o MMC entre 2, 3 e 12.

2 3 12 20 3 6 20 3 3 30 0 0 2x3x2 = 12

Agora ésua vez, resolva os exercícios abaixo;

Para a multiplicação o critério é multiplicarmos os numeradores, pelos numeradores e

dividirmos pela multipliacação dos denominadores.

Nota: se você puder simplificar seus resultados; faça-o.





Para a divisão o critério é multiplicarmos a divisão acima do sinal principal da divisão, pelo

inverso da divisão abaixo do sinal principal da divisão ( a de cima pelo inverso da debaixo, ou a primeira pelo inverso da segunda).


6- EXPRESSÃOE ALGÉBRI CAS.

Exercícios que envolvem expressões numéricas, ou seja, operações matemáticas envolvendoalém dos valores numéricos também letras. Lembre-se que cada operação, entre termos deve serfeita levando-se em consideração as suas propriedades; ou seja, regra de sinais, MMC, etc....

Cada letra tem um significado diferente da outra, logo nunca devemos subtrair ou somar letrasou expressões que não sejam exatamente iguais . Tente explicar o porquê de não podermos subtrair

ou somar letras diferentes. Lembre-se laranja com laranja, banana com banana. Exemplo.

No caso da multiplicação ou divisão, devemos multiplicar ou dividir os valores numéricos emanter indicada a operação entre as letras; exemplo.

não corte (simplifique) a com b, elas são diferentes





7- POTENCIAÇÃO

Em alguns exercícios nos deparamos com a multiplicação ou divisão de valores iguais, ouletras iguais, ou seus múltiplos. Antes de efetuarmos a operação matemática, nós podemosrepresentar tais valores de formas diferentes, conforme nos convier, a fim de efetuarmos a operaçãode forma mais conveniente. Exemplo:

Temos ai o caso que chamamos de Potenci ação , que ocorre ao elevarmos um valor numérico

ou uma letra a outro valor numérico. No caso de potenciação chamamos de base aquele valor que estásendo elevado, e expoente ao valor que fica logo acima da base.

O valor obtido, de uma potenciação, é conseguido multiplicando-se a base pelo número de

vezes indicado pelo expoente.

Para o caso de operações, envolvendo potenciação, temos algumas regras, mas sempre

envolvendo bases iguais , lembrem-se, sempre bases iguai s .

Regra 1- No caso da multiplicação, de bases iguais, deve-se conservar a base e somar os expoentes.

Regra 2- No caso da divisão, de bases iguais, deve-se conservar a base e subtrair os expoentes.

Exemplos;


=




Obs. Quadrado da soma de dois números.

Sejam a e b dois números quaisquer. Sua soma será representada por (a + b), e o seu quadrado por (a + b)2. Assim:

(a + b)2 Portanto (a + b).(a + b) = a2 + 2ab + b2 x (a + b)2 +ab + b2

a2 + ab +a2 +2ab + b2

Aproveite o exemplo acima e faça:

a-) (a + b).(a - b)= b-) (a - b).(a + b) = c-) (a - b).(a - b) =

Alguns destes produtos são chamados de produtos Notáveis, dispostos no quadro ao lado.


É possível relacionar a expressão anterior àárea de um quadrado. Veja ao lado




8- RADICIAÇÃO

Em alguns casos nos deparamos com expoentes fracionários; exemplo:

,neste caso

temos o que chamamos de radiciação, ou seja: expoentes fracionários dão origem aos símbolos

chamados de raízes; cujo símbolo é : , que para o exemplo acima fica:

.

Exemplos.

Colocar alguns exemplos envolvendo expoenytes fracionários.

9- EXPOENTES NEGATIVOS.

Em algumas expressões nos deparamos com expoentes negativos; exemplo: ,neste caso temos algo que foge ao conceito de potenciação. Para aplicarmos o conceito de potenciação devemos inverte a base (esta inversão é por causa do sinal negativo do expoente ), e

mantermos a base elevada ao expoente, com o valor positivo. Para o exemplo acima fica: .Exemplos.




10- RAÍZES OU ZERO DE UMA EQUAÇÃO MATEMÁTICA.

A raiz, ou zero, de uma equação é o valor assumido pela variável, que torna verdadeira aafirmação. Para encontrar o valor da raiz, basta isolar a variável na equação.Verifique se a expressão

abaixo é verdadeira.

a-) o número -1 é raiz da equação 2x + 5 = 8 + 5x, temos; 2x - 5x = 8 – 5, logo -3x = 3, assim x = -1,concluímos que x = -1 é raiz da equação.

Note que se substituirmos -1 no lugar do x, na equação de origem, teremos como resultado umaigualdade; 2x +5 = 8 +5x, assim 2(-1) + 5= 8 +5(-1) 3 = 3; como isso é verdadeiro, logo -1 é raizda equação.

b-) o número 3 é raiz da equação x2 – 3x = 2x - 6

c-) o número -4 é raiz da equação, 4x – 10 – x = 6 – 2x

d-) o número 1/2 é raiz da equação, 5x –

1 –

x = 3x

11- EXERCÍCIOS GERAI S.

1- Veri f ique se são verdadeiras as proposições abaixo.

f 2- Resolva as seguintes equações, indicando qual o valor de x.

a-) 8x – 7 = 6x + 3 b-) 8x – 14 = 5x – 6 + x c-) 8y + 13 = 4y +14 d-) 3(x + 2) = x




3- Simpl i f ique as operações abaixo.

(veja o item 4 desta nota de aulas, então simplifique as expressões abaixo.)

Note que os exercícios 6, 7, e 8 não são exercícios de fácil simplificação. Para resolvê-los devemosrecorrer à fatoração de polinômios ou à divisão de polinômios.

12-

FATORAÇÃO POLINOMI AL .

Casos simples de fatoração de expressões algébricasPrimeiro caso: Fatores em comum – Fatores em evidênciaConsiste em separarmos do polinômio dado o fator comum, transformando-o num produto de doisfatores, onde um dos fatores é o fator comum e o outro, que será colocado entre parênteses, obtido pela divisão do polinômio pelo fator comum.Este fator será determinado da seguinte maneira:• isola-se a parte numérica da parte variável;• extrai-se o mdc da parte numérica, que será a parte numérica do fator comum;• a parte variável do fator comum será determinada considerando- se a variável (ou variáveis) comuma todos os termos do polinômio elevada ao menor expoente com que a variável aparece no polinômiodado.

Exemplo 1.

Solução logo

Exemplo 2.

Solução . logo

Exemplo 3.

Solução logo





Exercícios. Coloque em evidência o fator comum nos seguintes polinômios;

Segundo caso: Fatoração por agrupamentoA fatoração neste caso consiste em agruparmos os termos do polinômio em vários grupos, de

tal modo que, fatorando-se cada um desses grupos, se obtenha um fator comum, o qual será colocado

em evidência. É o caso da existência de fatores comuns somente a alguns termos e não a todos. Assim temos:




Terceiro caso: Diferença de dois quadradosEstá baseado no produto notável da soma de dois números pela diferença entre eles, ou seja:

a2 - b2 = (a + b) . (a - b)Para fatorar uma expressão algébrica formada pela diferença de dois quadrados, procedemos do

seguinte modo:• extrai-se a raiz quadrada de cada termo;• a seguir forma-se o produto da soma pela diferença entre as raízes determinadas. Assim temos:




Quarto caso: Fatoração de um tr inômio que équadrado perfeitoEstá baseado nos produtos notáveis:

a2 + 2ab + b2= (a + b)2

a2 - 2ab + b2= (a - b)2

Para fatorar um trinômio quadrado perfeito, devemos proceder da seguinte maneira:• extraem-se as raízes quadradas dos termos de “grau dois” e “grau zero” em relação à variávelconsiderada;• a seguir verifica-se se o termo de “grau um” é igual ao dobro das raízes encontradas em relação aostermos de graus dois e zero.Assim, temos;

aulas de revisão

Documents