aula8_estados de tensões e critérios de ruptura

8/18/2019 Aula8_Estados de Tensões e Critérios de Ruptura

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Curso de Engenharia CivilCampus VIII – Araruna PB

Disciplina: Mecânica dos Solos IIPeríodo – 2015.2

• Notas de Aula: Estado de Tensões e

Critérios de Ruptura• Profa.: Maria das Vitórias do Nascimento• E-mail: [email protected]



Estado de Tensões e Critérios de Ruptura




Estado Plano de Tensões:

• As tensões que têm por direção a normal ao planoconsiderado são nulas, ou seja:

• Por razões de equilíbrio, tem-se:

0 y yz zy yx xy

yx xy




Tensões normais e de cisalhamento em um plano:

• Conhecidas as tensões atuantes nas faces do elemento épossível conhecer as tensões geradas em um plano com

inclinação θ em relação ao plano AB:

coscos EF EB EF

EB

EFsen FB EF

FB

sen





• Somando-se as componentes das forças que agem noelemento na direção de N e T, temos:

)(22cos22

cos2cos

cos)(2cos)()()(

22

22

I sen

ou

sen sen

ou

sen EF EF sen EF EF

xy

x y x y

n

xy y xn

xy y xn





• Novamente:

)(2cos22

)(coscoscos

)(cos)(

cos)(cos)()(

22

22

II sen

sen sen sen

ou sen EF EF

sen EF sen EF EF

xy

x y

n

xy x yn

xy xy

y xn





• Elevando-se as expressões I e II ao quadrado e somando-as, obtém-se:

• Esta expressão corresponde à equação de um círculo, cujo

centro tem como abcissa e raio os valores:

2

2

2

2

22 xy

x y

n

x y

n

2

2

2;0;

2 xy

x y x y R





• Este é o chamado “círculo de Mohr ” de tensões, cujos

pontos têm, como coordenadas, as tensões em todos os

planos do solo que passam por um ponto:





• Existem dois planos perpendiculares entre si, nos quais as tensões decisalhamento são nulas. Esses planos são chamados de Planos

Principais bem como as tensões normais que neles atuam:

• Tensão principal maior, σ1:

• Tensão principal menor, σ3:

2

2

122

xy

x y x y

n

2

2

322

xy

x y x y

n




De particular interesse, são as tensões nos planos

verticais, nos quais também não ocorrem tensões de

cisalhamento, devido simetria .

A tensão normal no plano vertical depende da constituiçãodo solo e do histórico de tensões a que ele esteve

submetido anteriormente.

Normalmente, ele é referido à tensão vertical, e a relação

entre tensão horizontal efetiva e a tensão vertical efetiva é

denominada coeficiente de empuxo em repouso K0.




Figura: Tensões verticais e horizontais num elemento do solo, com superfície

horizontal

'

'

0

0

0

7,05,0

5,04,0

v

h K

K Argilas

K Areias




Figura: Relação entre as tensões horizontais e verticais num ensaio decompressão edométrica.

solodoernoatritodeângulo

sen K

int'

'10

Para solo Normalmente Adensando →Fórmula de Jaki




Para solo Normalmente Adensando:

Explicação física para que o K0 seja dependente de φ´: as

duas propriedades dependem do atrito entre as partículas.

O φ´ dos solos costuma ser tanto menor quanto mais

argiloso o solo, confirmando a tendência do Ko ser tanto

maior quanto mais plástico o solo.

Ko é definido em termos de tensões efetivas.

As pressões neutras são iguais em qualquer direção, pois a

água não apresenta qualquer resistência ao cisalhamento.




Sendo φ’ geralmente é próximo de 30º, é muito comum que

o valor de K0 seja estimado pela equação:

Da equação acima, verifica-se que K0 é próximo de 1 para

RSA = 4, passando a ser maior do que 1 quando RSA > 4.

5,0

0 )(5,0 RSA K




Solos residuais e solos que sofreram transformações

pedológicas posteriores apresentam tensões horizontais

que dependem das tensões internas originais da rocha ou

do processo de evolução do solo.

O valor de K0 destes solos é de difícil avaliação.




Tensões Num Plano Genérico:

Figura: Decomposição da tensão num plano genérico





σ = Tensão normal ao plano considerado; Ƭ = Tensão cisalhante no plano considerado.

Em qualquer ponto do solo, a tensão atuante e a suainclinação em relação à normal ao plano variam conforme o

plano considerado.





Demonstra-se que sempre existem três planos, ortogonaisentre si, em que a tensão atuante é normal ao próprioplano, não existindo a componente de cisalhamento.

Estes planos são chamados de “planos principais”, e as

tensões neles atuantes são chamadas de tensõesprincipais:

σ1 = tensão principal maior σ2 = tensão principal intermediária

σ3 = tensão principal menor

Casos possíveis mais comuns:

321

132

321



Estado de Tensões e Critérios de Ruptura Tensões Num Plano Genérico:

Nos problemas gerais de Engenharia de Solos, envolvendo aresistência dos solos, somente interessam o conhecimento de σ1 e σ3,pois a resistência depende das tensões de cisalhamento e estas, sãofruto das diferenças entre as tensões principais e a maior diferençaocorre quando estas são σ1 e σ3 .

De uma maneira geral, portanto, estuda-se o estado de tensões noplano principal intermediário (em que ocorrem σ1 e σ3) → Estado Planode deformações.

Exemplos:

• Seção transversal de uma fundação corrida• Seção transversal de uma vala escavada• Seção transversal de uma barragem de terra• Seção transversal de um aterro rodoviário




No estado plano de deformações, conhecendo-se os planos e astensões principais num ponto, pode-se determinar as tensões emqualquer plano passando por este ponto → equações de equilíbrio.

22

2cos22

31

3131

sen

θ = ângulo que o plano consideradofaz com o plano principal maior




Figura: Determinaçãodas tensões num planogenérico, a partir dastensões principais.




Círculo de Mohr:

Figura 12.5: Determinação das tensões num plano genérico por meio do

círculo de Mohr.




Círculo de Mohr:

Ele é facilmente construído quando são conhecidas as

duas tensões principais ou as tensões normais e de

cisalhamento em dois planos quaisquer (desde que nestes

dois planos as tensões normais não sejam iguais, o que

tornaria o problema indefinido).

Construído o círculo de Mohr, ficam facilmente

determinadas as tensões em qualquer plano.




Círculo de Mohr:

A Figura 12.5 mostrou como determinar o estado de

tensões a partir do ângulo que o plano considerado faz

com o PPM.

Algumas vezes, entretanto, é mais prático trabalhar com o

ângulo que o plano considerado faz com o plano horizontal,

que nem sempre é um plano principal.

Na Figura 12.6 se conhecem as tensões normal e de

cisalhamento em dois planos que não coincidem com o

horizontal e o vertical.




Determinação das tensões a partir do polo:

Figura 12.6: Determinação do estado de tensões por meio do pólo.




Estado de Tensões Efetivas:

Figura: Efeito da pressão neutra no estado de tensões em um elementode solo.




A Resistência dos Solos:

A ruptura dos solos é quase sempre um fenômenode cisalhamento. Ex: Sapatas, Taludes, etc.

A resistência ao cisalhamento de um solo pode ser definida como a máxima tensão de cisalhamentoque um solo pode suportar sem sofrer ruptura;

Ou, a tensão de cisalhamento do solo no planoem que a ruptura estiver ocorrendo.




Figura: Esquemas referentes ao atrito entre dois corpos

f: é o coeficiente de

atrito entre os dois

materiais



Atrito O ângulo de atrito pode ser entendido como o ângulo

máximo que a força transmitida pelo corpo à superfície pode

fazer com a normal ao plano de contato sem que ocorra o

deslizamento.

Experiências feitas com corpos sólidos mostram que o

coeficiente de atrito é independente da área de contato e da

força (ou componente) normal aplicada.

Assim: a resistência ao cisalhamento é diretamente

proporcional à tensão normal.



Atrito O fenômeno de atrito nos solos se diferencia do fenômeno

de atrito entre dois corpos porque o deslocamento se faz

envolvendo um grande número de grãos, podendo eles

deslizarem entre si ou rolarem uns sobre os outros,

acomodando-se em vazios que encontrem no percurso.

Existe também uma diferença entre as forças transmitidas

nos contatos entre os grãos de areia e os grãos de argila.



Atrito Nos contatos entre grãos de areia, geralmente as forças

transmitidas são suficientemente grandes para expulsar a

água da superfície, de tal forma que os contatos ocorrem

realmente entre os dois minerais.

No caso das argilas, o número de partículas é muitíssimomaior, sendo a parcela de força transmitida em cada contato,

extremamente reduzida.

O contato normalmente se dá pelas camadas de água

adsorvida.



Atrito

Figura 12.9: Transmissão de forças entre partículas de areia e de argilas.



Atrito Esta característica, que é responsável pelo adensamento

secundário, provoca, também, uma dependência da

resistência das argilas à velocidade de carregamento a que

são submetidas.



Coesão A resistência ao cisalhamento dos solos é essencialmente

devida ao atrito entre as partículas.

Entretanto, a tração química entre estas partículas pode

provocar uma resistência independente da tensão normal

atuante no plano e que constitui uma coesão real, como se

uma cola tivesse sido aplicada entre os dois corpos

mostrados na Figura 12.9.



Coesão A parcela de coesão em solos sedimentares, em geral, é

muito pequena perante a resistência devida ao atrito entre

os grãos.

Entretanto, existem solos naturalmente cimentados por

agentes diversos, entre os quais os solos evoluídos

pedologicamente, que apresentam parcelas de coesão real

de significativo valor.

A coesão real deve ser bem diferenciada da coesãoaparente.



Coesão Esta é uma parcela da resistência ao cisalhamento de

solos úmidos, não saturados, devida à tensão entre

partículas resultante da pressão capilar da água.

A coesão aparente é, na realidade, um fenômeno de atrito,

onde a tensão normal que a determina é consequente dapressão capilar.

O fenômeno físico de coesão também não deve ser

confundido com a coesão correspondente a uma equação

de resistência ao cisalhamento (intercepto de coesão).



Critérios de Ruptura Critérios de ruptura são formulações que procuram

refletir as condições em que ocorre a ruptura dos

materiais.

A análise do estado de tensões que provoca a ruptura é o

estudo da resistência ao cisalhamento dos solos.

Os critérios que melhor representam o comportamento

dos solos são os critérios de Coulomb e de Mohr.



Critérios de Ruptura

Figura: Representação dos critérios de ruptura: (a) de Coulomb.

Critério de Coulomb: “não há ruptura se a tensão de

cisalhamento não ultrapassar um valor dado pelaexpressão c+f.σ, sendo c e f constantes do material e σ atensão normal ao plano de cisalhamento”.




Figura: Representação dos critérios de ruptura: (b) de Mohr.

Critério de Mohr: “não há ruptura enquanto o círculo

representativo do estado de tensões se encontrar nointerior de uma curva, que é a envoltória dos círculosrelativos a estados de ruptura, observadosexperimentalmente para o material”.



Critérios de Ruptura: Mohr - Coulomb



Critérios de Ruptura: Mohr – Coulomb

Figura 12.11: Análise do estado de tensões no plano de ruptura




Critérios de Ruptura: Mohr – Coulomb

Os dois critérios não levam em conta a tensão principal

intermediária. Ainda assim, eles refletem bem o

comportamento dos solos.

A ruptura se dá no plano em que estiver agindo a tensão

normal indicada pelo segmento AB e a tensão cisalhante

BC.

Esta tensão cisalhante é menor do que a tensão cisalhante

máxima, indicada pelo segmento DE.

No plano de máxima tensão cisalhante, a tensão normal ADproporciona uma resistência ao cisalhamento maior que a

tensão cisalhante atuante.




Fórmulas Úteis:

O plano de ruptura forma o ângulo de α com o planoprincipal maior. Se do centro do círculo de Mohr (ponto D),traçar-se uma paralela à envoltória de resistência, constata-se que o ângulo 2 α é igual ao ângulo φ mais 90º.

Geometricamente, chega-se à expressão:

Da Figura 12.11, pode-se extrair, também, a partir do

triângulo ACD, as seguintes expressões:

2º45

31

31

sen

sen

sen

1

131

sen

sen

1

2331



Ensaios para Determinar a Resistência de Solos

Compressão isotrópica:



Ensaios para Determinar a Resistência de Solos

Compressão triaxial:



Ensaios para determinar a resistência de solos

Cisalhamento Direto:




Cisalhamento Simples:




Cisalhamento Torcional:




Ensaio de Cisalhamento Direto:




Ensaio de Cisalhamento Direto:

Figura 12.12: Ensaio decisalhamento direto: (a)esquema do equipamento;(b) representação de

resultado típico de ensaio.




Ensaio Triaxial:

Figura 12.12: Esquema da câmara de ensaio triaxial.




Ensaio Triaxial:

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