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CAPÍTULO 2:CRITÉRIOS DE RUPTURA PARA

MATERIAIS DÚCTEIS E FRÁGEIS

Prof. Romel Dias Vanderlei

Universidade Estadual de MaringáCentro de TecnologiaDepartamento de Engenharia Civil

Curso de Engenharia CivilP

rof.

Rom

el D

ias

Van

derle

i

� Projetar elementos estruturais de modo que o material dúctil não entre em escoamento.

� Para o estado simples de tensões (uniaxial):

2.1 – Critérios de Escoamento para Materiais Dúcteis (Estado Plano de Tensões)

FF σxσx

e< σσ x

σe : ensaio de tração com corpos-de-prova do mesmo material;

O elemento estrutural e corpo-de-prova estão sob o mesmo estado de tensões.

σ

ε

σe

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

2.1 – Critérios de Escoamento para Materiais Dúcteis (Estado Plano de Tensões)

• Tensões principais σ1 e σ2;• O estado plano de tensões ≠ estado uniaxial de tensões;• É necessário estabelecer critérios que considere:

a) Real mecanismo de ruptura do material;b) Permita comparar os dois estados de tensão.

F

σ1σ2

� Para o Estado Plano de Tensões:

F

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

2.1.1 – Critério da Máxima Tensão de Cisalhamento (TRESCA)

� O escoamento dos materiais dúcteis é causado principalmente por tensões de cisalhamento:

=→°=

=

245/

2

2.

xmáx

x

p

sen

στα

αστ

2e

e

στ =

emáx ττ ≤

τe : Tensão de cisalhamento correspondente ao escoamento em ensaio de tração.

Onde:

F

F

σy

σy

máxτ

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� Para o estado plano de tensões, onde σ1 e σ2

são as tensões principais, o circulo do Mohrpode ser:� Se σ1 e σ2 são ambas positivas ou negativas:

21στ =máx


τ

σ

τmáx

σ2σ1

y

x

z

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� Se σ1 > 0 e σ2 < 0 :

221 σστ −=máx


τ

σ

τmáx

σ1σ2

y

x

z

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

Então:• Se σ1 e σ2 tem mesmos sinais:

emáx ττ <

emáxemáx σσσσ <→<

22


ee σσσσ << || e || 21

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

• Se σ1 e σ2 tem sinais diferentes:

2221 e

emáx

σσσττ

<−<


eσσσ <− || 21

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� Representação Gráfica (Hexágono de Tresca):� Qualquer estado de tensões será representado por um

ponto de coordenadas σ1 e σ2, que são as tensões principais desse estado de tensão;

� Se o ponto cair dentro da área indicada , significa condições de segurança ;

� Se o ponto cair fora da área indicada , ruptura por escoamento do material.


Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

Hexágono de Tresca:


σσσσ1

σσσσ2

σσσσe

-σσσσe

σσσσe

-σσσσe

Região de Segurança

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

2.1.2 – Critério da Máxima Energia de Distorção (von Mises)

• É baseada na energia relacionada com mudanças na forma do material;

• A segurança é garantida enquanto o maior valor de energia de distorção (µd) permanecer abaixo da energia de distorção necessária para provocar o escoamento do corpo-de-prova no ensaio de tração (µd)e

edd )(µµ <

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� Para material isotrópico em estado plano de tensões:

)(6

1 2221

21 σσσσµ +−=

Gd

Onde: σ1 e σ2 : tensões principais;G : Módulo de elasticidade transversal.


Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� Para o estado uniaxial de tensão, ensaio de tração, no início do escoamento:

0 e 21 == σσσ e

Ge

ed 6)(

2σµ =

GGe

d 6)(

6

1 22221

21

σσσσσµ <+−=

Logo:

Então:

Elipse da Equação 22221

21 →<+− eσσσσσ


Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� Assim a segurança é garantida enquanto o ponto de coordenadas σ1 e σ2 cair dentro da área da elipse.


σσσσ1

σσσσ2

σσσσe

-σσσσe

σσσσe

-σσσσe

C

A

B

D

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

• A elipse intercepta os eixos em σ1=±σe e σ2=±σe;

• O eixo maior da elipse é a bissetriz do 1º e 3º quadrante, AB;

• O eixo menor de estende de C(-0,577σe;0,577σe) até D(0,577σe;-0,577σe);• O hexágono de Tresca está localizado dentro da elipse de von Mises, o

que torna Tresca mais conservador.


σσσσ1

σσσσ2

σσσσe

-σσσσe

σσσσe

-σσσσe

A

B

C

D

0,5σe 0,577σe

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� Sabendo-se que σe=25 kN/cm² e considerando a σmáx=27 kN/cm², verifique quais os valores que podem ser admitidos para σmín.

Considerando von Mises:

=±=×

××−±=

=+−

=+−

=+−

===

==→=+−

²/65,4

²/35,22

2

7,1727

12

10414²2727

0104.27

625.27729

²25.27²27

²/25

?

²/27

2

222

222

222

2

122

22211

cmkN

cmkN

cmkN

cmkN

e

mín

máx

e

σ

σσσσσσ

σσσ

σσσσσσσ

Exemplo 1

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

Para σmáx=10 kN/cm²:

−=±=

=−−∴=+−

²/45,18

²/45,28

2

9,4610

0525.10²25.10²10

2

222

222

cmkN

cmkNσ

σσσσ

Para σmáx=-15 kN/cm²:

−=±−=

=−+∴=++−

²/86,28

²/86,13

2

72,4215

040015²2515)²15(

2

222

222

cmkN

cmkNσ

σσσσ

Exemplo 1

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

Para σmáx=29 kN/cm²:

→−±=

=+−∴=+−

2

2329

0216292529²29

2

222

2222

σ

σσσσ

Raízes Impossíveis

Exemplo 1

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

Elipse de von Mises:

σσσσ1

σσσσ2

25

-25

25

-25

27

22,35

4,65

10

28,45

-18,45

-15

-28,86

13,86

Exemplo 1

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� Verifique a segurança do elemento estrutural, considerando o estado de tensões abaixo e que σe=250 MPa.

10 MPa

40 MPa

50 MPa

Exemplo 2

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

a) Tensões principais:

σx=+50 MPa; σy=-10 MPa; τxy=+40 MPa.

MPaMPa

xyyxyx

30 e 70

5020402

)10(50

2

)10(50

22

21

22

2,1

2

2

2,1

−==

±=+

−−±−+=

+

−±

+=

σσ

σ

τσσσσ

σ

Exemplo 2

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

b) Von Mises:σ1 = +70MPa; σ2 = -30MPa; σe = 250MPa

)( 500.62900.7

500.62900100.2900.4

²250)²30()30.(70²70

22221

21

OK

e

<<++

<−+−−<+− σσσσσ

Exemplo 2

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

Graficamente (Elipse):

250

250

-250

-250

σ2

σ170

-30

Exemplo 2

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

2.2 – Critérios de Ruptura para Materiais Frágeis (Estado plano de tensões)

� Materiais frágeis atingem a ruptura sem que ocorra escoamento.

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

2.2.1 – Critério da Máxima Tensão Normal(Coulomb)

� A estrutura se rompe quando a máxima tensão normal atuante atinge o valor de tensão última σu, obtida em ensaio de tração em corpo-de-prova de mesmo material.

uu σσσσ << || e || 21

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� Representação gráfica:

• σ1 e σ2 → Tensões principais;• Se o ponto estiver dentro da área, indicará condição de segurança;• Se o ponto estiver fora dessa área, a estrutura irá romper.

σ2

σ1

σu

σu

-σu

-σu


Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� Deficiência do critério:

É baseada na hipótese de que a tensão última éa mesma na tração e na compressão.


Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

2.2.2 – Critério da Máxima Deformação Específica (Sain-Venant)

A segurança é garantia enquanto o valor máximo da deformação específica não exceder o valor da deformação específica de ruptura ( εu) de um cp submetido a ensaio de tração.

Se chamarmos de ε1 e ε2 as deformações específicas máximas, que atuam nos eixos principais de tensão, temos:

uu εεεε << || e || 21

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

Escrevendo em função das tensões principais:

E

EE

uu

σε

συσε

=

−= 211 .

EEEuσσυσ <− 21 .


uσσυσ <− 21 .

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

• Quando σ1=σ2 → (1-υ).σ1<σu:

• Quando σ1= -σ2 → (1+υ).σ1<σu:

• Quando σ2=0:

υσσ−

<11

u

υσσ+

<11

u

uσσ <1


Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

Analogamente em relação a σ2:

EE12

2 .συσε −=

Eu

u

σε =

uσσυσ <− 12 .


Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

• Quando σ2=σ1 :

• Quando σ2=-σ1 :

• Quando σ2=0 :

υσσ−

<12

u

υσσ+

<12

u

uσσ <2


Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


σ1

σ2

-σu

-σu

σu

σu

υσ−1

u

υσ+1

u

Área de segurança


• Critério bastante utilizado no séc. XIX, hoje está em desuso.

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� Para os estados de tensão indicados, sabe-se que σu=120 MPa e υ=0,3, determine se a ruptura irá ocorrer usando os critérios de Coulomb e o de Saint-Venant:

80 MPa

60 MPa

a)80 MPa

110 MPa

55 MPa

b)

Exemplo 3

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

Tensões principais:

2

2

2,1 22 xyyxyx τ

σσσσσ +

−±

+=

−==

±−=−+

+±−=

MPa

MPa

11,112

11,32

11,7240)80(2

800

2

800

2

1

22

2,1

σσ

σ

a)σx = 0, σy = -80MPa, τxy = -60MPa

Exemplo 3

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

b) σx = 55 MPa, σy = -80MPa, τxy = -110MPa

−==

±−=−+

+±−=

MPa

MPa

56,141

56,116

06,1295,12)110(2

8055

2

8055

2

1

22

2,1

σσ

σ

Exemplo 3

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� Critérios de ruptura:COULOMB: |σ1| < σu e |σ2| < σu

a) 32,11 < 120 (ok)|-112,11| < 120 (ok) → Não há ruptura

b) 116,56 < 120 (ok)|-141,56| < 120 (falso) → Há ruptura

Exemplo 3

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

SAINT-VENANT: |σ1 - υ.σ2| < σu e |σ2 - υ.σ1| < σu

a) |32,11 - 0,3.(-112,11)| < 120|65,74| < 120 (ok) → Não há ruptura

|-112,11 – 0,3.(32,11)| < 120|-121,74| < 120 (falso) → Há ruptura

Exemplo 3

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

b) |116,56 - 0,3.(-141,56)| < 120|159,03| < 120 (falso)

|121,56 - 0,3.(-116,56)| < 120|-176,53| < 120 (falso) ) → Há ruptura

Exemplo 3

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


σ2

120

120

-120

-120σ1

32,11

-112,11

-141,56

116,56σ1

-120 120

120

-120

-171,43

-171,43

171,43

171,43

σ2

92,31

92,31

-92,31

-92,31

-112,11

32,11

-141,56

116,56

Exemplo 3

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

2.2.3 – Critério de Mohr

� É necessário conhecimento de resultados de ensaios de tração (σut), compressão (σuc) e torção (τu);

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


� Representação do círculo de Mohr para os ensaios de tração e compressão:

• Qualquer círculo contido em qualquer dos dois círculos é um estado de tensão seguro.

σ

τ

σ1 σ2 σutσuc σa σb

Ensaio de compressão Ensaio de tração

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


• Para σ1 e σ2 > 0 → σ1 < σut e σ2 < σut

• Para σ1 e σ2 < 0 → |σ1| < |σuc| e |σ2| < |σuc|

σ1

σ2

σut

σut

σuc

σuc

Mesmo sinal

Mesmo sinal

Área de segurança

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


� Para σ1 e σ2 com sinais diferentes, e considerando a tensão última de cisalhamento (τu) do ensaio de torção. τ

σutσ

σuc

τu

τu

Ensaio de torção

Envoltória

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


O critério de Mohr estabelece que um estado de tensão é seguro se for representado por um círculo localizado inteiramente dentro da área limitada pela envoltória dos círculos que correspondem aos dados de ensaios.

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


O diagrama de tensões principais fica determinado:

σ1

σ2

σut

σut

σuc

σuc

Quanto maior o número de ensaios, mais exato pode ser o diagrama.

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


� Quando se dispõe apenas da tensões últimas σut e σuc, a envoltória é substituída pelas tangentes AB e A’B’ aos círculos.

A

A’

B’

B

σaσbR

σ

τ

σ1

σ2

σut

σut

-σuc

-σuc

121 =−utuc σ

σσσ

121 =−ucut σ

σσσ

2º Quadrante

4º Quadrante

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


� 4º Quadrante:y = a.x + bp/ x = σut →

p/ x = 0 →

bay ut +=→= σ.00

=

−=→+=−→−=

ut

uc

uc

ucuc a

bby

σσσ

σσ 0

ucut

uc xy σσσ −=

ucut

uc σσσσσ −= 12

)(21 ucucut

uc σσσσσσ ÷=− 121 <−

ucut σσ

σσ

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


� 2º Quadrante:p/ x = 0 →p/ x = 0 →

ututut bby σσσ =→+=→= 0

uc

ututuc aay

σσσσ =→+−=→= .00

)(

21

12

ututuc

ut

utuc

utut

uc

ut xy

σσσσσσ

σσσσσσ

σσ

÷=−

−=⇒−=

121 <−utuc σ

σσσ

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� Para os estados de tensão indicados, sabendo-se que σut=80 MPa e σuc=200 MPa, determine se a ruptura irá ocorrer usando o critério de Mohr.

a) b)80 MPa

60 MPa

Exemplo 4

80 MPa

110 MPa

55 MPa

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

a) 80 MPa

60 MPa

−==

±−=

−++±−=

+−

±+

=

MPa

MPa

xyyxyx

11,112

11,3211,7240

)60()2

800(

2

800

)2

(2

2

12,1

222,1

222,1

σσ

σ

σ

τσσσσ

σ

Sem ruptura

Exemplo 4

(OK) 10,96 1200

11,112

80

11,32

121

<⇒<−−

<−ucut σ

σσσ

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

b) 80 MPa

110 MPa

55 MPa

−==

±−=

−++±−=

MPa

MPa

56,141

56,11606,12950,12

)110()2

8055(

2

8055

2

12,1

222,1

σσ

σ

σ

Ocorrerá a ruptura(Falso) 12,16 1

200

56,141

80

56,116

121

<⇒<−−

<−ucut σ

σσσ

Exemplo 4

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


σ1

σ2

80

80

-200

-200

-112,11

32,11

a

116,56

-141,56 b

Exemplo 4

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� Um elemento estrutural é construido com material caracterizado como σut=4 MPa e σuc=30 MPa. Para o estado de tensão no ponto indicado, verifique a segurança do elemento.

10KN

x5 cm

2 m y

z 30 cm15 cm 10 cm 10 cm

[ ]

MPaI

yM

MPakPaIb

MsV

z

z

96,2

123,015,0

)05,0()20(

3,0296

123,015,0

15,0

1,015,01,010

3

3

−=×

−×−−=⋅−=

≅=××

×××=⋅⋅=

σ

τ

Exemplo 5

10

20 KN.m

DFC

DMF

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� Estado de tensão:

2,96 MPa

0,3 MPa

−==

±−=

+−−±+−=

+−

±+

=

MPa

MPa

xyyxyx

99,2

03,051,148,1

3)2

096,2(

2

096,2

)2

(2

2

12,1

222,1

222,1

σσ

σ

σ

τσσσσ

σ

(OK) 10,11 130

99,2

4

03,0

121

<⇒<−−

<−ucut σ

σσσ

Exemplo 5

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


σ1

σ2

4

4

-30

-30

-3

0,03

Exemplo 5

capÍtulo 2: critÉrios de ruptura para … · 2010-09-13 · • o hexágono de tresca está...

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