aula

PROAB 2010

AULA 8

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

FUNÇÃO

É UMA RELAÇÃO ENTRE DUAS GRANDEZAS TAL QUE ACADA VALOR DA PRIMEIRA, CORRESPONDE UM ÚNICO

VALOR DA SEGUNDA.

PROAB 2010

AULA 8


FUNÇÃO

TAMBÉM PODEMOS RELACIONAR ELEMENTOS DE DOISCONJUNTOS NÃO VAZIOS, DE MANEIRA QUE A CADA

ELEMENTO DO PRIMEIRO CONJUNTO, ASSOCIAMOS UMÚNICO ELEMENTO DO SEGUNDO CONJUNTO

CONSIDERADO.

ESTAS RELAÇÕES TAMBÉM EXPRESSAM FUNÇÕES.

PROAB 2010

AULA 8


EXEMPLOS

QUANDO ASSOCIAMOS A CADA PESSOA UM PAR DELENTES DE CONTATO, HÁ UMA FUNÇÃO DO CONJUNTODE PESSOAS NO CONJUNTO DE PARES DE LENTES DE

CONTATO. CADA PESSOA USA UM ÚNICO PAR DELENTES DE CONTATO.

QUANDO ASSOCIAMOS A CADA FILHO A SUA MÃEBIOLÓGICA, HÁ UMA FUNÇÃO DO CONJUNTO DOS FILHOS

NO CONJUNTO DAS MÃES, POIS CADA FILHO TEM UMAÚNICA MÃE.

PROAB 2010

AULA 8


EXEMPLOS

QUANDO ASSOCIAMOS A CADA NÚMERO NATURAL O SEUOPOSTO, HÁ UMA FUNÇÃO DO CONJUNTO N = {0, 1, 2, 3, ...}NO CONJUNTO Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}. CADA NÚMERO

NATURAL TEM UM ÚNICO OPOSTO QUE PERTENCE AOCONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS.

PROAB 2010

AULA 8


FUNÇÃO

NORMALMENTE ESCREVEMOS f : D → B PARA INFORMARQUE f LEVA OS ELEMENTOS DO CONJUNTO D EM

ELEMENTOS DO CONJUNTO B. CHAMAMOS O CONJUNTOORIGEM D DE DOMÍNIO DE f, OU SEJA, O CONJUNTO DOS

VALORES QUE A VARIÁVEL INDEPENDENTE DE f PODEASSUMIR.

QUANDO O CONJUNTO D NÃO É EXPLICITADO,CONVENCIONA-SE TOMAR O MAIOR SUBCONJUNTO

POSSÍVEL PARA O QUAL f ESTÁ DEFINIDO.

PROAB 2010

AULA 8


FUNÇÃO

O CONJUNTO B É O CHAMADO CONTRADOMÍNIO DE f, E ÉLÁ QUE A FUNÇÃO f IDENTIFICA OS POSSÍVEIS VALORES

PARA A VARIÁVEL DEPENDENTE.

JÁ O CONJUNTO f(D), CONSTITUÍDO DE TODOS OSPOSSÍVEIS VALORES DE f(x) PARA x Є D, É CHAMADO DE

IMAGEM DE f. ESSA DENOMINAÇÃO É BASTANTEGRÁFICA, POIS SE D e B FOREM SUBCONJUNTOS DO

CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS R A IMAGEM DE f É APROJEÇÃO DO GRÁFICO DE f SOBRE O EIXO DAS

ORDENADAS.

PROAB 2010

AULA 8


GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO

O GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO É REPRESENTADO PELOSISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL.

O PLANO CARTESIANO ORTOGONAL É CONSTITUÍDO PORDOIS EIXOS x E y PERPENDICULARES ENTRE SI QUE SE

CRUZAM NA ORIGEM. O EIXO HORIZONTAL É O EIXO DASABSCISSAS (EIXO OX), E O EIXO VERTICAL É O EIXO DASORDENADAS (EIXO OY). ASSOCIANDO A CADA UM DOSEIXOS O CONJUNTO DE TODOS OS NÚMEROS REAIS,

OBTÉM-SE O PLANO CARTESIANO ORTOGONAL.

PROAB 2010

AULA 8



PROAB 2010

AULA 8



CADA PONTO P=(a,b) DO PLANO CARTESIANO É FORMADOPOR UM PAR ORDENADO DE NÚMEROS, INDICADOS ENTREPARÊNTESES, A ABSCISSA E A ORDENADA RESPECTIVA-MENTE. ESTE PAR ORDENADO REPRESENTA AS COORDE-

NADAS DE UM PONTO.

O PRIMEIRO NÚMERO INDICA A MEDIDA DO DESLOCA-MENTO A PARTIR DA ORIGEM PARA A DIREITA (SE POSITIVO)

OU PARA A ESQUERDA (SE NEGATIVO).

PROAB 2010

AULA 8



PROAB 2010

AULA 8



O PRIMEIRO NÚMERO INDICA A MEDIDA DO DESLOCA-MENTO A PARTIR DA ORIGEM PARA A DIREITA

(SE POSITIVO) OU PARA A ESQUERDA (SE NEGATIVO).

O SEGUNDO NÚMERO INDICA O DESLOCAMENTO A PARTIRDA ORIGEM PARA CIMA (SE POSITIVO) OU PARA BAIXO

(SE NEGATIVO). OBSERVE NO DESENHO QUE: (a,b) ≠ (b,a)SE a ≠ b.

PROAB 2010

AULA 8



OS DOIS EIXOS DIVIDEM O PLANO EM QUATRO REGIÕESDENOMINADAS QUADRANTES SENDO QUE TAIS EIXOS SÃO

RETAS CONCORRENTES NA ORIGEM DO SISTEMAFORMANDO UM ÂNGULO RETO (90 GRAUS). OS NOMES

DOS QUADRANTES SÃO INDICADOS NO SENTIDOANTI-HORÁRIO, CONFORME A FIGURA A SEGUIR, COM AS

CORES DA BANDEIRA DO BRASIL.

PROAB 2010

AULA 8



Segundo quadrante

Primeiro quadrante

Terceiro quadrante

Quarto quadrante

Quadrante sinal de x sinal de y Ponto

não tem não tem (0,0)

Primeiro + + (2,4)

Segundo - + (-4,2)

Terceiro - - (-3,-7)

Quarto + - (7,-2

PROAB 2010

AULA 8


PRODUTO CARTESIANO

DADOS DOIS CONJUNTOS A e B NÃO VAZIOS, DEFINIMOS OPRODUTO CARTESIANO ENTRE A e B, DENOTADO POR AxB,COMO O CONJUNTO DE TODOS OS PARES ORDENADOS DAFORMA (x,y) ONDE x PERTENCE AO PRIMEIRO CONJUNTO

A E y PERTENCE AO SEGUNDO CONJUNTO B.

AxB = { (x,y): x є A e y є B }

OBSERVE QUE AxB ≠ BxA, SE A É NÃO VAZIO OU B É NÃOVAZIO. SE A=Ø OU B=Ø, POR DEFINIÇÃO:

AxØ = Ø OU BxØ = Ø

PROAB 2010

AULA 8


PRODUTO CARTESIANO

SE A POSSUI m ELEMENTOS E B POSSUI n ELEMENTOS,ENTÃO AxB POSSUI mxn ELEMENTOS.

EXEMPLO: DADOS A={a, b, c, d} e B={1, 2, 3}, O PRODUTOCARTESIANO AxB, TERÁ 12 PARES ORDENADOS E SERÁ

DADO POR:

AxB = {(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3),(c,1),(c,2),(c,3),(d,1),(d,2),(d,3)}

PROAB 2010

AULA 8


PRODUTO CARTESIANO

PROAB 2010

AULA 8


RELAÇÕES NO PLANO CARTESIANO

SEJAM A e B CONJUNTOS NÃO VAZIOS. UMA RELAÇÃO EMAxB É QUALQUER SUBCONJUNTO R de AxB.

PROAB 2010

AULA 8


RELAÇÕES NO PLANO CARTESIANO

A RELAÇÃO MOSTRADA NA FIGURA ANTERIOR É:

R = { (a,3), (b,3), (c,2), (c,3), (d,2), (d,3) }

UMA RELAÇÃO R DE A EM B PODE SER DENOTADA PORR:A→B.

PROAB 2010

AULA 8


EXEMPLO

SE A={1,2} e B={3,4}, O PRODUTO CARTESIANO É AxB={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)} E NESTE CASO, TEMOS

ALGUMAS RELAÇÕES EM AxB:

1) R1 = {(1,3),(1,4)}

2) R2 = {(1,3)}

3) R3 = {(2,3),(2,4)}

PROAB 2010

AULA 8


DOMÍNIO E CONTRADOMÍNIO DE UMA RELAÇÃO

AS RELAÇÕES MAIS IMPORTANTES SÃO AQUELASDEFINIDAS SOBRE CONJUNTO DE NÚMEROS REAIS E NEMSEMPRE UMA RELAÇÃO ESTÁ DEFINIDA SOBRE TODO O

CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS. PARA EVEITARPROBLEMAS COMO ESTES, COSTUMA-SE DEFINIR UMA

RELAÇÃO R:A→B, ONDE A e B SÃO SUBCONJUNTOS DE R,DA SEGUINTE FORMA:

PROAB 2010

AULA 8


DOMÍNIO E CONTRADOMÍNIO DE UMA RELAÇÃO

O CONJUNTO A É O DOMÍNIO DA RELAÇÃO R, DENOTADOPOR DOM(R) E B É O CONTRADOMÍNIO DA RELAÇÃO R,

DENOTADO POR CODOM(R).

PROAB 2010

AULA 8


REPRESENTAÇÕES GRÁFICAS DE RELAÇÕES EM AxB:

R1={(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3),(c,1),(d,1),(d,2),(d,3)}

PROAB 2010

AULA 8



R2={(a,1),(b,2),(c,3),(d,1)}

PROAB 2010

AULA 8



R3={(a,1),(b,1),(b,2),(c,3),(d,3)}

PROAB 2010

AULA 8


RELAÇÕES INVERSAS

SEJA R UMA RELAÇÃO DE A em B. A RELAÇÃO INVERSADE R, DENOTADA POR R-1, É DEFINIDA DE B em A POR:

R-1 = { (y,x) Є BxA: (x,y) Є R }

SEJAM A={a, b, c} e B={d, e, f} e R UMA RELAÇÃO EM AxB,DEFINIDA POR:

R={(a,d),(a,e),(a,f),(b,d),(b,e),(b,f),(c,d),(c,e),(c,f)}

ENTÃO A RELAÇÃO INVERSA SERÁ:

R-1={(d,a),(e,a),(f,a),(d,b),(e,b),(f,b),(d,c),(e,c),(f,c)}

PROAB 2010

AULA 8


OBSERVAÇÃO

O GRÁFICO DA RELAÇÃO INVERSA R-1 É SIMÉTRICO AOGRÁFICO DA RELAÇÃO R, EM RELAÇÃO À RETA

y=x (IDENTIDADE).

PROAB 2010

AULA 8


PROPRIEDADES DE RELAÇÕES

• REFLEXIVA

• SIMÉTRICA

• TRANSITIVA

• ANTI-SIMÉTRICA

PROAB 2010

AULA 8


PROPRIEDADE REFLEXIVA

UMA RELAÇÃO R É REFLEXIVA SE TODO ELEMENTO DE AESTÁ RELACIONADO CONSIGO MESMO, OU SEJA, PARA

TODO xЄA:(x,x)ЄR, ISTO É, PARA TODO xЄA:xRx.

EXEMPLO

UMA RELAÇÃO REFLEXIVA EM A={a, b, c}, É DADA POR:

R={(a,a),(b,b),(c,c)}

PROAB 2010

AULA 8


PROPRIEDADE SIMÉTRICA

UMA RELAÇÃO R É SIMÉTRICA SE O FATO QUE x ESTÁRELACIONADO COM y, IMPLICAR NECESSARIAMENTE QUEy ESTÁ RELACIONADO COM x, OU SEJA: QUAISQUER QUESEJAM xЄA e yЄA TAL QUE (x,y)ЄR, SEQUE QUE (y,x)ЄR.

EXEMPLO

UMA RELAÇÃO SIMÉTRICA EM A={a, b}, É DADA POR:

R={(a,a),(b,b),(a,b),(b,a)}

PROAB 2010

AULA 8


PROPRIEDADE TRANSITIVA

UMA RELAÇÃO R É TRANSITIVA SE x ESTÁ RELACIONADOCOM y E y ESTÁ RELACIONADO COM z, IMPLICAR QUE x

DEVE ESTAR RELACIONADO COM z, OUSEJA:QUAISQUER QUE SEJAM xЄA, yЄA e zЄA SE (x,y)ЄR e

(y,z)ЄR ENTÃO (x,z)ЄR.

EXEMPLO

UMA RELAÇÃO TRANSITIVA EM A={a, b, c}, É DADA POR:

R={(a,a),(a,c),(c,b),(a,b)}

PROAB 2010

AULA 8


PROPRIEDADE ANTI-SIMÉTRICA

SEJAM xЄA e yЄA. UMA RELAÇÃO R É ANTI-SIMÉTRICA SE(x,y)ЄR e (y,x)ЄR IMPLICA QUE x=y. ALTERNATIVAMENTE,

UMA RELAÇÃO É ANTI-SIMÉTRICA: SE x E y SÃO ELEMENTOSDISTINTOS DO CONJUNTO A ENTÃO x NÃO TEM RELAÇÃO

COM y OU (EXCLUSIVO) y NÃO TEM RELAÇÃO COM x, O QUESIGNIFICA QUE O PAR DE ELEMENTOS DISTINTOS (x,y) DOCONJUNTO A PODERÁ ESTAR NA RELAÇÃO DESDE QUE O

PAR (y,x) NÃO ESTEJA.

EXEMPLO

UMA RELAÇÃO ANTI-SIMÉTRICA EM A={a, b, c}, É DADA POR:R={(a,a),(b,b),(a,b),(a,c)}

PROAB 2010

AULA 8


IMAGEM DE UMA FUNÇÃO

COMO NEM TODA RELAÇÃO É UMA FUNÇÃO, ÀS VEZES,ALGUNS ELEMENTOS PODERÃO NÃO TER CORRESPON-

DENTES ASSOCIADOS PARA TODOS OS NÚMEROS REAISE PARA EVITAR PROBLEMAS COMO ESTES, COSTUMA-SEDEFINIR O DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO f, DENOTADO PORDom(f), COMO O CONJUNTO ONDE ESTA RELAÇÃO f TEM

SIGNIFICADO.

PROAB 2010

AULA 8



CONSIDEREMOS A FUNÇÃO REAL QUE CALCULA A RAIZQUADRADA DE UM NÚMERO REAL. DEVE ESTAR CLAROQUE A RAIZ QUADRADA DE -1 NÃO É UM NÚMERO REAL,ASSIM COMO NÃO SÃO REAIS AS RAÍZES QUADRADASDE QUAISQUER NÚMEROS NEGATIVOS, DESSA FORMA

O DOMÍNIO DESTA FUNÇÃO SÓ PODERA SER O

INTERVALO [0,∞], ONDE A RAIZ QUADRADA TEMSENTIDO SOBRE OS REAIS.

PROAB 2010

AULA 8



COMO NEM TODOS OS ELEMENTOS DO CONTRADOMÍNIODE UMA FUNÇÃO f ESTÃO RELACIONADOS, DEFINE-SE AIMAGEM DE f, DENOTADA POR Im(f), COMO O CONJUNTO

DE TODOS OS ELEMENTOS DO CONTRADOMÍNIO QUEESTÃO RELACIONADOS COM ELEMENTOS DO

DOMÍNIO f, ISTÓ E:

Im(f) = { y em B: existe x em A tal que y=f(x) }

OBSERVE QUE, SE UMA RELAÇÃO R É UMA FUNÇÃO DEA em B, ENTÃO A É O DOMÍNIO E B É O CONTRADOMÍNIO

DA FUNÇÃO E SE x É UM ELEMENTO DO DOMÍNIO DE UMAFUNÇÃO f, ENTÃO A IMAGEM DE x É DENOTADA POR f(x).

PROAB 2010

AULA 8


FUNÇÃO SOBREJETORA

UMA FUNÇÃO É SOBREJETORA SE, E SOMENTE SE, O SEUCONJUNTO IMAGEM É ESPECIFICAMENTE IGUAL AO

CONTRADOMÍNIO, Im = B.

PROAB 2010

AULA 8


FUNÇÃO INJETORA

UMA FUNÇÃO É INJETORA SE OS ELEMENTOS DISTINTOSDO DOMÍNIO TIVEREM IMAGENS DISTINTAS.

PROAB 2010

AULA 8


FUNÇÃO BIJETORA

UMA FUNÇÃO É BIJETORA SE ELA É INJETORA ESOBREJETORA.

PROAB 2010

AULA 8


FUNÇÕES CRESCENTE

UMA FUNÇÃO f É CRESCENTE, SE QUAISQUER QUE SEJAMx E y NO DOMÍNIO DE f, COM x<y, TIVERMOS f(x)<f(y). ISTO

É, CONFORME O VALOR DE x AUMENTA, O VALOR DAIMAGEM DE x PELA FUNÇÃO TAMBÉM AUMENTA.

PROAB 2010

AULA 8


FUNÇÕES CRESCENTE

SEJA A FUNÇÃO f:R→R DEFINIDA POR f(x)=8x+2. PARA OSVALORES : a=1 E b=2, OBTEMOS f(a)=10 E f(b)=18. COMO O

GRÁFICO DE f É UMA RETA, a<b E f(a)<f(b) ENTÃO AFUNÇÃO É CRESCENTE.

PROAB 2010

AULA 8


FUNÇÕES DECRESCENTE

UMA FUNÇÃO f É DECRESCENTE, SE PARA QUAISQUERx E y DO DOMÍNIO DE f, COM x<y, TIVERMOS f(x)>f(y). ISTO

É, CONFORME O VALOR DE x AUMENTA, O VALOR DAIMAGEM DE x PELA FUNÇÃO f DIMINUI.

PROAB 2010

AULA 8


FUNÇÕES DECRESCENTE

SEJA A FUNÇÃO f:R→R DEFINIDA POR f(x)= -8x+2. PARA OSVALORES : a=1 E b=2, OBTEMOS f(a)= -6 E f(b)= -14. COMO O

GRÁFICO DE f É UMA RETA, a<b E f(a)>f(b) ENTÃO AFUNÇÃO É DECRESCENTE.

PROAB 2010

AULA 8


FUNÇÃO PAR

UMA FUNÇÃO REAL f É PAR SE, PARA TODO x DO DOMÍNIODE f, TEM-SE QUE f(x)=f(-x). UMA FUNÇÃO PAR POSSUI O

GRÁFICO SIMÉTRICO EM RELAÇÃO AO EIXO VERTICAL OY.A FUNÇÃO f(x)=x² É PAR, POIS f(-x)=x²=f(x). OBSERVE O

GRÁFICO.

PROAB 2010

AULA 8


FUNÇÃO IMPAR

UMA FUNÇÃO REAL f É IMPAR SE, PARA TODO x DO DOMÍNIODE f, TEM-SE QUE f(-x)= -f(x). UMA FUNÇÃO IMPAR POSSUI

O GRÁFICO SIMÉTRICO EM RELAÇÃO À ORIGEM DOSISTEMA CARTESIANO.

A FUNÇÃO f(x)=5x É IMPAR, POIS f(-x)=5(-x)=-5x=-f(x).OBSERVE O GRÁFICO.

PROAB 2010

AULA 8


EXERCÍCIOS

DADOS OS CONJUNTOS A={a,b,c} E B={1,2,3,4}, PODEMOSCONSTRUIR A RELAÇÃO R EM AxB QUE ESTÁ

APRESENTADA NO GRÁFICO.

A)R={(a,1),(b,3),(c,4),(a,3)B)R={(1,a),(4,a),(3,b),(c,2)}C)R={(a,1),(b,3),(c,2)}D)R={(a,1),(a,4),(b,3),(c,2)}

PROAB 2010

AULA 8


EXERCÍCIOS

COM A MESMA RELAÇÃO R DO EXERCÍCIO ANTERIOR, QUALDAS ALTERNATIVAS É A RELAÇÃO INVERSA R-1?

A)R-1={(a,1),(a,4),(b,3),(c,2)B)R-1={(1,a),(4,a),(3,b),(2,c)}C)R-1={(4,a),(2,c),(3,b)}D)R-1={(1,a),(2,c)}

PROAB 2010

AULA 8


EXERCÍCIOS

SEJAM OS CONJUNTOS A={a,b,c,d,e} E B={2,4,6,8,10} E ARELAÇÃO R, MOSTRADA NO GRÁFICO.

QUAIS SÃO AS FORMAS EXPLÍCITAS DA RELAÇÃO R E DA RELAÇÃO INVERSA R-1?R={(a,6),(b,2),(c,10),(d,4),(e,8)}R-1={(6,a),(2,b),(10,c),(4,d),(8,e)}

PROAB 2010

AULA 8


EXERCÍCIOS

SEJAM OS CONJUNTOS A={1,2,3} E B={1,3,4,5} DE NÚMEROSREAIS E A RELAÇÃO DEFINIDA POR R={(x,y)ЄAxB: y=2x-1}.

QUAL DOS GRÁFICOS CARTESIANOS ABAIXO, REPRESENTAA RELAÇÃO R?.

RESPOSTA: ALTERNATIVA A.

PROAB 2010

AULA 8


EXERCÍCIOS

SEJAM OS CONJUNTOS A={1,3,4,5} E B={0,6,12,20} E ARELAÇÃO R={(x,y)ЄAxB: y=x(x-1)} DEFINIDA SOBRE AxB.

ESCREVA R DE FORMA EXPLICITA E CONSTRUA O GRÁFICOCARTESIANO DESTA RELAÇÃO.

Forma explícita: R={(1,0),(3,6),(4,12),(5,20)}

PROAB 2010

AULA 8


EXERCÍCIOS

SEJA A={1,2,3,5,7}. ANALISAR O GRÁFICO CARTESIANO DARELAÇÃO R EM AxA E RESPONDER AS QUESTÕES

PERTINENTES A ESTA RELAÇÃO.

PROAB 2010

AULA 8


EXERCÍCIOS

QUAL DAS ALTERNATIVAS ABAIXO É VERDADEIRA?

A)(2,3) R, (5,1)ЄR, (7,7)ЄR∉

B)(1,1)ЄR, (3,5)ЄR, (5,1) R∉

C)(1,1)ЄR, (5,5) R, (3,5)ЄR∉

D)(2,3)ЄR, (3,5)ЄR, (7,7)ЄR

RESPOSTA: ALTERNATIVA C.

PROAB 2010

AULA 8


EXERCÍCIOS

PARA A RELAÇÃO R={(1,1),(2,3),(3,5),(5,1),(7,7)} DEFINIDASOBRE O CONJUNTO A={1,2,3,5,7}, RESPONDA QUAL DASALTERNATIVAS ABAIXO REPRESENTA O CONTRADOMÍNIO

DA RELAÇÃO R?

A)CoDom(R) = {1,2,3,5,7}

B)CoDom(R) = {1,3,5,7}

C)CoDom(R) = R

D)CoDom(R) = {3,5,7}RESPOSTA: ALTERNATIVA A.

PROAB 2010

AULA 8


EXERCÍCIOS

SEJA A RELAÇÃO R={(1,1),(2,3),(3,5),(5,1),(7,7)} DEFINIDASOBRE O CONJUNTO A={1,2,3,5,7}. QUAL ALTERNATIVA

REPRESENTA O DOMÍNIO DE R?

A)Dom(R) = R

B)Dom(R) = {2,5,7}

C)Dom(R) = {1,2,7}

D)Dom(R) = {1,2,3,5,7}

RESPOSTA: ALTERNATIVA D.

PROAB 2010

AULA 8


EXERCÍCIOS

PARA A RELAÇÃO R={(1,1),(2,3),(3,5),(5,1),(7,7)} DEFINIDASOBRE O CONJUNTO A={1,2,3,5,7}. QUAL ALTERNATIVA

REPRESENTA A IMAGEM DE R?

A)Im(R) = {1,2,3,5,7}

B)Im(R) = {1,3,5,7}

C)Im(R) = {1,3,5}

D)Im(R) = R

RESPOSTA: ALTERNATIVA B.

PROAB 2010

AULA 8


EXERCÍCIOS

SEJAM A={2,4,6,8} E B={1,3,5,7} E A RELAÇÃO R EM AxBAPRESENTADA PELO SEU GRÁFICO CARTESIANO.

PROAB 2010

AULA 8


EXERCÍCIOS

IDENTIFIQUE SE CADA AFIRMAÇÃO É V (VERDADEIRA)OU F (FALSA).

A)(2,1) PERTENCE À RELAÇÃO R.

B)(3,2) PERTENCE À RELAÇÃO R.

C)(4,3) PERTENCE À RELAÇÃO R.

D)(5,6) PERTENCE À RELAÇÃO R.

E)(8,7) PERTENCE À RELAÇÃO R.

RESPOSTA: (V), (F), (V), (F) e (V).

PROAB 2010

AULA 8


EXERCÍCIOS

USANDO AS INFORMAÇÕES DO EXERCÍCIO ANTERIOR,APRESENTE O CONTRADOMÍNIO DA RELAÇÃO R E A

INVERSA DA RELAÇÃO R, DENOTADA POR R-1.

RESPOSTA:

CoDom(R) = {1,3,5,7}.

R = {(1,2),(3,4),(5,6),(7,8)}

R-1 = {(2,1),(4,3),(6,5),(8,7)}

PROAB 2010

AULA 8


EXERCÍCIOS

COM O CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS N={1,2,3,4,5,...}.SEJA A RELAÇÃO R={(x,y)ЄNxN: 2x+y = 8}. QUAL DOS ITENS

ABAIXO REPRESENTA O DOMÍNIO DA RELAÇÃO R?

A){8}

B)N

C){1,2,3}

D){2,4,6}


PROAB 2010

AULA 8


EXERCÍCIOS

COM O CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS N={1,2,3,4,5,...}.SEJA A RELAÇÃO R={(x,y)ЄNxN: 2x+y = 8}. QUAL DOS ITENSABAIXO REPRESENTA O CONTRADOMÍNIO DA RELAÇÃO R?

A){1,3,5,7}

B){0,1,2,3,4,5,6,7}

C){0,2,4,6}

D)N

RESPOSTA: ALTERNATIVA D.

PROAB 2010

AULA 8


EXERCÍCIOS


ABAIXO REPRESENTA A IMAGEM DA RELAÇÃO R?

A){1,3,5,7}

B){2,4,6}

C)Ø

A)N


PROAB 2010

AULA 8


EXERCÍCIOS


ABAIXO REPRESENTA A RELAÇÃO INVERSA DA RELAÇÃO R?

A){(6,1),(4,2),(2,3)}

B)Ø

C){(1,6),(2,4),(3,2)}

D)N

RESPOSTA: ALTERNATIVA A.

aula

Technology