aula07

Introduo Razes (Root-Locus) Regras do Root Locus

Lugar das Razes

Prof. Ohara Kerusauskas Rayel

Disciplina de Sistemas de Controle 1 - ET76H

Curitiba, PR

11 de maio de 2015

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Rayel, O.K. Lugar das Razes


Introduo

O mtodo do lugar das razes foi criado por Walter R. Evans em1953. Permite estudar a evoluo das razes de uma equao,quando um parmetro variado continuamente.

Esta operao possibilita a determinao deste parmetro de talforma que o sistema atinja o comportamento dinmico desejado.

Ambas as funes de transferncia de sistemas contnuos e discretosso funes complexas, ou seja funes que possuem variveiscomplexas: s ou z, respectivamente.

Desta forma, as regras do mtodo do lugar das razes so asmesmas para os dois sistemas (contnuos e discretos).

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O princpio do mtodo est baseado na realimentao mostrada aseguir:

+

-

U(s)K G(s)

Y (s)

H(s)

Mtodo do Lugar das Razes

Deseja-se determinar a influncia do ganho K (0 < K < +) sobreos plos do sistema em malha fechada.

A funo de transferncia de malha fechada do sistema da figuraacima : Y (s)

U(s)=

KG(s)

1 +KG(s)H(s)

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O objetivo do mtodo estabelecer regras simples para traar olugar geomtrico formado pelas razes de 1 +G(s)H(s) quando Kvariar de 0 a +, sem o conhecimento explcito das razes.Deseja-se estudar a seguinte equao:

1 +KG(s)H(s) = 0, para 0 < K < +.

ExemploConsidere o seguinte sistema de controle,

+

-

U(s)Ka

5s(s+20)

Y (s)

1

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Podemos verificar a posio dos plos de malha fechada para osistema de controle ilustrado anteriormente quando Ka assume osvalores Ka = 0 at Ka = +.Vamos desenhar o root-locus do sistema calculando-se as razes dodenominador da funo de transferncia de malha fechada, entopara cada valor de Ka temos,

Y (s)

U(s)=

5Kas(s+20)

1 + 5Kas(s+20)

=5Ka

s2 + 20s+ 5Ka

Os plos de malha fechada so:

20202 4.5.Ka2

= 10100 5Ka

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Variando-se o valor de Ka, podemos montar a seguinte tabela.

Ka s1 s2

0 -20 0

1 -19,75 -0,25

5 -18,66 -1,34

10 -17,07 -2,93

20 -10 -10

30 10 + j7, 07 10 j7, 0740 10 + j14, 14 10 j14, 14 10 + j 10 j

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Com os dados da tabela anterior, podemos traar o root-locus,

-20 0

Ka = 0Ka = 0

Imag(s)

Re(s)

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-20 0

Ka = 0Ka = 0

Imag(s)

Re(s)

Ka = 1Ka = 5

7 / 31




-20 0

Ka = 0Ka = 0

Imag(s)

Re(s)

Ka = 1

Ka = 5

Ka = 5

7 / 31




-20 0

Ka = 0Ka = 0

Imag(s)

Re(s)

Ka = 1

Ka = 5

Ka = 5

Ka = 10

7 / 31




-20 0-10

Ka = 0Ka = 0

Imag(s)

Re(s)

Ka = 1

Ka = 5

Ka = 5

Ka = 10

Ka = 20

7 / 31




-20 0-10

Ka = 0Ka = 0

Imag(s)

Re(s)

Ka = 1

Ka = 5

Ka = 5

Ka = 10

Ka = 20

Ka = 30

7 / 31




-20 0-10

Ka = 0Ka = 0

Imag(s)

Re(s)

Ka = 1

Ka = 5

Ka = 5

Ka = 10

Ka = 20

Ka = 30

Ka = 40

7 / 31




-20 0-10

Ka = 0Ka = 0

Imag(s)

Re(s)

Ka = 1

Ka = 5

Ka = 5

Ka = 10

Ka = 20

Ka = 30

Ka = 40

K

K

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Regra 1

Os ramos do root-locus comeam nos plos de G(s)H(s), nosquais K = 0. Os ramos terminam nos zeros de G(s)H(s), inclusivenos zeros no infinito. O nmero de zeros no infinito igual a:

Nz = Np Nzsendo,

Np : nmero de plos de G(s)H(s)

Nz : nmero de zeros de G(s)H(s)

ExemploSuponha que G(s) e H(s) so:

G(s) =s+ 2

s2e H(s) =

s+ 5

s+ 4

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As razes de 1 +KG(s)H(s) sero determinadas por:

1 +K(s+ 2)(s+ 5)

s2(s+ 4)= 0

ou ainda,

s2(s+ 4) +K(s+ 2)(s+ 5) = 0

i) se K = 0, a equao acima ficar:

s2(s+ 4) = 0

s1 = s2 = 0; s3 = 4

Note que esses so os plos de G(s)H(s).

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ii) Se K , para analisar este intervalo, podemos reescrever1 +KG(s)H(s)

K = s2(s+ 4)

(s+ 2)(s + 5)

deste modo, caso K , a equao igual a + se e somentese:

s 2 (pela esquerda)s 5 (pela esquerda)s

Neste caso

s1 = 2 e s2 = 5 so os zeros de G(s)H(s).s um zero no infinito.Temos que: Np = 3 e Nz = 2, logo Nz = 3 2 = 1.

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Regra 2

As regies do eixo real esquerda de um nmero mpar de plosmais zeros de KG(s)H(s) pertencem ao lugar das razes.ExemploPara os valores do exemplo anterior teremos,

KG(s)H(s) =K(s+ 2)(s + 5)

s2(s+ 4)

Os zeros so: s1 = 2 e s2 = 5 Os plos so: p1 = p2 = 0 e p3 = 4

No plano imaginrio os plos so representados por (x) e os zerospor ().

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A aplicao da regra 2 neste caso ser:

-5 -4 -3 -2 -10

Imag(s)

Re(s)

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Esta regra facilmente obtida verificando-se a condio de nguloda equao 1 +KG(s)H(s) = 0, que pode ser reescrita na forma:

KG(s)H(s) = 1,K > 0

Para que esta equao seja verdadeira, o ngulo dever ser:

KG(s)H(s) = 1 = (2i+ 1)180; i = 0,1,2,

Observao 1

Considere

KG(s)H(s) =(s+ 3)

(s+ 8)

e queremos avaliar o ngulo deste sistema em s = s0. Assim,

KG(s)H(s) = KG(s0)H(s0) = (s0 + 3) (s0 + 8)

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Regra 3Quando K se aproxima de +, os ramos do root-locus, assintotam retas cominclinao

(2i+ 1)180

Np Nz ; i = 0,1,2,

Exemplo

Considere KG(s)H(s) = Ks(s+1)(s+4)

. Deste modo temos: Np = 3 e Nz = 0.

No plano complexo teremos.

-5 -4 -3 -2 -10

Imag(s)

Re(s)

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(2i+ 1)180

Np Nz ; i = 0,1,2,

Exemplo




-2000 -1000 -10

Imag(s)

Re(s)

Fazendo o ponto P crescer infinitamente

P

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(2i+ 1)180

Np Nz ; i = 0,1,2,

Exemplo




-2000 -1000 -10

Imag(s)

Re(s)

P

321

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Para verificar se o ponto P pertence ao root-locus, temos queverificar a seguinte condio:

G(s)H(s)|s=P = (2i+ 1)180, i = 0,1, = 1 2 3

Para P , baseado na figura anterior, temos que:

1 = 2 = 3 =

Assim, obtm-se:

1 2 3 = 3 = (2i+ 1)180

=(2i+ 1)(180)

3=

(2i+ 1)180

3

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Porm, Np Nz = 3, ento:

=(2i+ 1)180

Np Nz ; i = 0,1,2,

Retornando ao exemplo, os ngulos das assntotas sero:

=(2i+ 1)180

3 0 = (2i+ 1)60, i = 0,1,

i

0 60

1 180

2 300

-1 60-2 180-3 300

Porm, 180 = 180, 60 = 300 e 60 = 300. Deste modo,1 = 60

, 2 = 60 e 3 = 180.

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Regra 4

O ponto de partida das assntotas o centro de gravidade (C.G.)da configurao de plos e zeros, ou seja:

C.G. =

plos

zeros

NP NzExemploPara o sistema do exemplo anterior, onde

G(s)H(s) =1

s(s+ 1)(s + 4)

teremos,

1 Np = 3 e Nz = 0

2 os plos so: p1 = 0, p2 = 1 e p3 = 43 os zeros so: nenhum

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Logo,

C.G. =(0 1 4) 0

3 0 = 5

3

3 2 1 0 1 2 38

6

4

2

0

2

4

6

8

53

Imag(s)

Re(s)

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Regra 5

Os pontos nos quais os ramos do root-locus deixam (ou entram) o eixo real so

determinados utilizando-se a seguinte relao:

d

ds[(G(s)H(s))1] = 0

No exemplo descrito anteriormente, temos que:

G(s)H(s) =1

s(s+ 1)(s + 4)

Ento,

(G(s)H(s))1 = s(s+ 1)(s + 4) = s3 + 5s2 + 4s

Logo,

d

ds[(G(s)H(s))1] =

d

ds(s3 + 5s2 + 4s) = 3s2 + 10s + 4 = 0

Resp. : s1 = 0, 4648 e s2 = 2, 8685 (desprezado, pois no pertence ao root-locus)

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Na figura abaixo podemos visualizar o ponto de ramificao doroot-locus.

4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0

0.5

0

0.5

1

1.5

2

0, 4648

Imag(s)

Re(s)

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Regra 6

As ramificaes do root-locus deixam ou entram no eixo real comngulos 90.Regra 7

O root-locus simtrico em relao ao eixo real. Isto decorre dofato de que as razes de um polinmio de coeficientes reais ou soreais ou pares complexos conjugados.

Regra 8

Para se determinar o ganho K associado a um ponto p do root-locus, deve-seutilizar a condio de mdulo da equao:

1 +KG(s)H(s) = 0

Reescrevendo-se a equao acima:

KG(s)H(s) = 1

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Pela condio de mdulo temos,

|K1G(s)H(s)| = | 1|

como 0 < K


Ento,

K1

mi=1(s+ zi)nj=1(s+ pj)

s=p

= 1 ou K1

mi=1 |p+ zi|nj=1 |p+ pj |

= 1

Finalmente,

K1 =

nj=1 |p+ pj |mi=1 |p+ zi|

ExemploConsidere o exemplo anterior

G(s)H(s) =1

s(s+ 1)(s + 4)

Determinar o valor de K associado aos plos complexos conjugadospertencentes ao root-locus dado por:

s1,2 = 0, 267 j1, 24

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|KG(s)H(s)| = 1K

1

s(s+ 1)(s + 4)

s=0,267+j1,24

= 1

K = 7, 19

Regra 9

Os ngulos de sada (ou chegada) de plos (aos zeros) sodeterminados a partir da condio geral de ngulos.

Regra 10

O ponto onde o root-locus cruza o eixo imaginrio obtidofazendo-se s = j na equao caracterstica e resolvendo parapartes reais e imaginrias = 0.

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Cruzamento no eixo imaginrio do root-locus

O cruzamento do root-locus com o eixo imaginrio tambm podeser determinado usando o critrio de estabilidade de Routh.

Regra 11

Se pelo menos dois ramos do root-locus vo para o infinito (ou seja, se tempelo menos 2 assntotas), ento a soma dos plos de malha fechadacorrespondente a um mesmo K uma constante independente de K.

ExemploConsidere o seguinte sistema: G(s)H(s) = 1

s(s+1)(s+2) . Este

sistema tem trs ramos que vo para o infinito. Assim:

plos

K=0

=

plos

K=6

2 1 + 0 = j2 + j

2 +

= 3

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Cruzamento no eixo imaginrio do root-locus

O cruzamento do root-locus com o eixo imaginrio tambm podeser determinado usando o critrio de estabilidade de Routh.

Regra 11

Se pelo menos dois ramos do root-locus vo para o infinito (ou seja se tem pelomenos 2 assntotas), ento a soma dos plos de malha fechada correspondentea um mesmo K uma constante independente de K.

ExemploConsidere o seguinte sistema: G(s)H(s) = 1

s(s+1)(s+2) . Este

sistema tem trs ramos que vo para o infinito. Assim:

plos

K=0

=

plos

K=6

os valores j2 so obtidos do cruzamento do

2 1 + 0 = j2 + j

2 + root-locus no eixo imaginrio

= 3

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Esta regra pode ser observada na figura seguinte:

Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y Ax

is

6 5 4 3 2 1 0 1 24

3

2

1

0

1

2

3

4

System: sysGain: 6.06Pole: 3.01Damping: 1Overshoot (%): 0Frequency (rad/sec): 3.01

System: sysGain: 6.08Pole: 0.00566 1.42iDamping: 0.00398Overshoot (%): 101Frequency (rad/sec): 1.42

System: sysGain: 0.0134Pole: 0.987Damping: 1Overshoot (%): 0Frequency (rad/sec): 0.987

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No Matlab, utilizar as seguintes funes

1 rlocus(num,den)2 rlocfind(num,den)3 rltool(ta), sendo ta=tf(num,den)

sendo num e den o numerador e o denominador da funoG(s)H(s) respectivamente

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Exerccio

Trace o root-locus de um sistema de controle com realimentaosendo que:

KG(s)H(s) =K

s3 + 3s2 + 2s

+

-

U(s)K G(s)

Y (s)

H(s)

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Exerccios

Exerccios para estudo: refazer os realizados em sala de aula, almdos seguintes Exerccios de Avaliao (Skill-Assessment) do livroEngenharia de sistemas de controle": 8.3, 8.4 (menos letra e), 8.5(verificar Exemplo 8.7 para aprender a calcular o coeficiente deamortecimento para um ponto do root locus), 8.6 (verificar Exemplo8.8 para aprender a calcular os parmetros de desempenho para umponto do root locus) (somente usando o teorema do valor final).

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Prxima Aula:

Prova!

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