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Lajes Maciças Analogia de Grelha Equivalente ECF – Análise Estrutural Prof. M.Sc. Antonio de Faria Prof. D.Sc. Roberto Chust Carvalho

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estrutural

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  • Lajes Macias

    Analogia de Grelha Equivalente

    ECF Anlise Estrutural

    Prof. M.Sc. Antonio de Faria

    Prof. D.Sc. Roberto Chust Carvalho

  • Introduo - Cenrios

    Impossibilidade de resolver as placas com a equao

    fundamental;

    As lajes como elementos isolados apoiados em

    elementos rgidos;

    Microcomputadores;

    Programas de anlise estrutural avanados; Programas de anlise estrutural avanados;

    Analisar o comportamento de um pavimento como um

    todo e tambm lajes isoladas levando em considerao

    a influncia da flexibilidade dos apoios e da rigidez

    toro, tanto das lajes como das vigas, sendo ainda

    possvel incluir na anlise a no linearidade fsica do

    concreto armado;

  • Clculo de Lajes Macias com Analogia de

    Grelha

    na substituio de um pavimento por uma grelha

    equivalente;

    Lightfoot & Sawko (1959).

  • Nos elementos de placa sendo a diviso entre eles de b e a espessura da placa de h;

    Clculo de Lajes Macias com Analogia de

    Grelha

    Inrcia toroInrcia flexo

    12

    hbI

    3

    f

    =

    6

    hbI2I

    3

    ft

    ==

    Nos elementos de viga (considerando apenas retangular com b=largura e h=altura;

    3

    bhI

    3

    t

    =

    12

    hbI

    3

    f

    =

    Inrcia flexo Inrcia toro

  • Consideraes

    Uma ferramenta utilizada na realizao da anlise

    de pavimentos o programa grelha GPLAN que

    faz parte do sistema LASER;

    O programa apesar de antigo, bastante confivel

    e seu manual pode ser encontrado em PDF na

    rea de dowload;rea de dowload;

    Com este programa foram elaborados arquivos

    que resultam nos arranjos apresentados a seguir;

  • Pavimento utilizado como exemplo de aplicao

    com teoria das placas e grelha equivalente

  • Esquema estrutural das lajes do pavimento

  • Consideraes

    O processo de se utilizar a teoria das placas com resoluo

    por srie muito simplificado e a soluo no depende das

    dimenses e vos das vigas pois os contornos das lajes so

    considerados indeslocveis na vertical e no h impedimento

    rotao das lajes pelas vigas;

    A separao das lajes como feita na figura mostrada a seguir,

    impede conhecer melhor a interferncia de uma laje na outra

    vizinha;vizinha;

  • Consideraes

    Apesar de ser o mais demorado, o programa GPLAN, por ter sua geometria gerada por arquivo texto, pode ser facilmente adatado para outras solues,

    tais como:

    RESG

    1, 12, 1, 1,0,0,

    121,132,1,1,0,0,

    Considerao de apoios indeslocveis

    nos contornos de L1, L2 e L3

    Considerao apenas dos pilares

    como apoio

    RES

    1,1,0,0,

    7,1,0,0,

    12,1 0,0,121,132,1,1,0,0,

    73,79,1,1,0,0,

    13,109,12,1,0,0,

    19,115,12,1,0,0,

    24,120,12,1,0,0,

    12,1 0,0,

    73,1,0,0,

    79,1,0,0

    121,1,0,0,

    127,1,0,0

    132,1,0,0,

    - No caso da considerao apenas dos pilares como apoio necessrio corrigir as inrcias

    das vigas;

    - Para considerar este mesmo pavimento sem vigas, bastaria colocar nas caractersticas

    dos elementos do tipo 1 (vigas de contorno) e 3 (vigas internas) as caractersticas de laje;

  • Grelha Equivalente usada no Programa GPLAN,

    mostrando os elementos

  • Grelha Equivalente usada no Programa GPLAN,

    mostrando os ns

  • Grelha Equivalente usada no Programa GPLAN,

    mostrando os pilares

  • Grelha Equivalente usada no Programa GPLAN,

    mostrando as vigas laterais (tipo 1)

  • Grelha Equivalente usada no Programa GPLAN,

    mostrando as vigas centrais (tipo 3)

  • Grelha Equivalente usada no Programa GPLAN,

    mostrando as lajes

  • Listagem bsica para o uso do GPLANOPTE 3,3,3,3,3,

    EXEMPLO_5_6

    TESE

    PISO_Sem_cargas_Viga

    NOGP

    1,12,1,0.0,10.0,11.0,10.0,

    121,132,12,0.0,0.0,11.0,0.0,

    RES

    1,1,0,0,

    12,1,0,0,

    7,1,0,0,

    73,1,0,0,

    79,1,0,0,

    121,1,0,0,

    127,1,0,0,

    132,1,0,0,

    BARG

    1,11,1,1,1,2,1,1,

    12,22,1,13,1,14,1,2,

    23,33,1,25,1,26,1,2,

    34,44,1,37,1,38,1,2,

    132,141,1,2,12,14,12,2,

    142,151,1,3,12,15,12,2,

    152,161,1,4,12,16,12,2,

    162,171,1,5,12,17,12,2,

    172,181,1,6,12,18,12,2,

    182,191,1,7,12,19,12,3,

    192,201,1,8,12,20,12,2,

    202,211,1,9,12,21,12,2,

    212,221,1,10,12,22,12,2,

    222,231,1,11,12,23,12,2,

    232,241,1,12,12,24,12,1,

    73,77,1,79,1,80,1,2,

    PROP

    1,1,0.06,1.25E-03,2.59E-04,

    2,1,0.10,8.33E-05,1.67E-04,

    3,1,0.06,1.25E-03,2.59E-04,

    MATL

    1,3E07,1.25E06,

    FIMG

    CARR1

    CNOG34,44,1,37,1,38,1,2,

    45,55,1,49,1,50,1,2,

    56,66,1,61,1,62,1,2,

    67,77,1,73,1,74,1,3,

    78,88,1,85,1,86,1,2,

    89,99,1,97,1,98,1,2,

    100,110,1,109,1,110,1,2,

    111,121,1,121,1,122,1,1,

    122,131,1,1,12,13,12,1,

    CNOG

    1,132,1,-5,

    1,12,1,2.5,

    121,132,1,2.5,

    13,109,12,2.5,

    24,120,12,2.5,

    FIMC

    FIME.

  • Lajes Macias - Exemplo Comparativo

    Determinar os esforos no pavimento de lajes macias cuja

    planta de formas est indicada a seguir, utilizando o sistema

    CALCO (Grelha Equivalente) e o Sofware CYPECAD (M.E.F.);

    Considerar que as salas sero utilizadas para escritrios, que

    as lajes devero ter todas a mesma espessura (12,0 cm) e que

    o revestimento inferior de gesso, para efeito de clculo de

    carga, pode ser desprezado;carga, pode ser desprezado;

    Sero admitidos os seguintes dados de projeto:

    Contrapiso com espessura de 2,0 cm - = 19 kN/m3;

    Piso emborrachado, cujo peso de 0,20 kN/m2 nclu a cola;

    Sobrecarga na laje 2,0 kN/m2 (escritrio);

    Vigas: largura bw = 20 cm e altura h = 50 cm;

    Concreto com resistncia caracterstica fck = 20 MPa;

    Peso de paredes (internas e externas) = 5,0 kN/m

  • Pavimento utilizado como exemplo de aplicao

    com teoria das placas e grelha equivalente

  • Configurao 01; Resolve-se a laje com grelha equivalente, considerando os pilares como

    indeslocveis na vertical;

    Os elementos de viga tem caractersticas de viga e com toro baixa;

    Carga P atuando em cada n P = 8,58x1,0x1,0 = 8,58 kN;

    Configurao Estrutural 01

  • Pavimento do exemplo com forma e grelha

    gerada pelo programa CALCOP ( x )1 20 20 P ( x )2 20 20 P ( x )3 20 20V ( x )1 12 50

    Laje

    Lx= cmLy= cm

    e= cm

    600

    600

    12

    1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

    13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

    25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

    37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48

    49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

    B 1 B 2 B 3 B 4 B 5 B 6 B 7 B 8 B 9 B 10 B 11

    B 12 B 13 B 14 B 15 B 16 B 17 B 18 B 19 B 20 B 21 B 22

    B 23 B 24 B 25 B 26 B 27 B 28 B 29 B 30 B 31 B 32 B 33

    B 34 B 35 B 36 B 37 B 38 B 39 B 40 B 41 B 42 B 43 B 44

    B 45 B 46 B 47 B 48 B 49 B 50 B 51 B 52 B 53 B 54 B 55

    122

    B123

    B124

    B125

    B1

    26

    132

    B133

    B134

    B135

    B1

    36

    142

    B143

    B144

    B145

    B1

    46

    152

    B153

    B154

    B155

    B1

    56

    162

    B163

    B164

    B165

    B1

    66

    172

    B173

    B174

    B175

    B1

    76

    182

    B183

    B184

    B185

    B1

    86

    192

    B193

    B194

    B195

    B1

    96

    202

    B203

    B204

    B205

    B2

    06

    212

    B213

    B214

    B215

    B2

    16

    222

    B223

    B224

    B225

    B2

    26

    232

    B233

    B234

    B235

    B2

    36

    P ( x )4 20 20 P ( x )5 20 20

    P ( x )6 20 20 P ( x )7 20 20 P ( x )8 20 20

    V ( x )2 12 50

    V ( x )3 12 50

    V (

    x )

    412

    50

    V (

    x )

    512

    50

    V (

    x )

    612

    50

    Laje

    Lx= cmLy= cm

    e= cm

    600

    400

    12

    Laje

    Lx= cmLy= cm

    e= cm

    500

    1000

    12

    61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72

    73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84

    85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96

    97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108

    109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120

    121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132

    B 56 B 57 B 58 B 59 B 60 B 61 B 62 B 63 B 64 B 65 B 66

    B 67 B 68 B 69 B 70 B 71 B 72 B 73 B 74 B 75 B 76 B 77

    B 78 B 79 B 80 B 81 B 82 B 83 B 84 B 85 B 86 B 87 B 88

    B 89 B 90 B 91 B 92 B 93 B 94 B 95 B 96 B 97 B 98 B 99

    B100 B101 B102 B103 B104 B105 B106 B107 B108 B109 B110

    B111 B112 B113 B114 B115 B116 B117 B118 B119 B120 B121

    126

    B127

    B128

    B129

    B130

    B131

    B

    136

    B137

    B138

    B139

    B140

    B141

    B

    146

    B147

    B148

    B149

    B150

    B151

    B

    156

    B157

    B158

    B159

    B160

    B161

    B

    166

    B167

    B168

    B169

    B170

    B171

    B

    176

    B177

    B178

    B179

    B180

    B181

    B

    186

    B187

    B188

    B189

    B190

    B191

    B

    196

    B197

    B198

    B199

    B200

    B201

    B

    206

    B207

    B208

    B209

    B210

    B211

    B

    216

    B217

    B218

    B219

    B220

    B221

    B

    226

    B227

    B228

    B229

    B230

    B231

    B

    236

    B237

    B238

    B239

    B240

    B241

    B

  • Configurao Estrutural 01 - Calco

  • Configurao Estrutural 01 - Calco

    N 72 (Laje 02)

    mx = 33,72 mm

  • Configurao Estrutural 01 - Cypecad

    Cota (11,0; 5,0 m)

    mx = 32,36 mm

  • Configurao Estrutural 01 - Grelha

  • Configurao Estrutural 01 - Grelha

  • Configurao Estrutural 01 - Grelha

    N 72 (Laje 02)

    mx = 33,82 mm

  • Configurao 02; Resolve-se a laje com grelha equivalente, considerando que todos os

    pontos que pertencem as vigas so indeslocveis na vertical;

    A ao a considerar em cada n correspondente;

    Carga P atuando em cada n P = 6,33x1,0x1,0 = 6,33 kN;

    Configurao Estrutural 02

  • Configurao Estrutural 02

  • Configurao Estrutural 02

  • Configurao Estrutural 02 - Calco

    N 70 (Laje 2)

    mx = 5,58 mm

  • Configurao Estrutural 02 - Cypecad

    Cota (8,75; 4,75 m)

    mx = 4,96 mm

  • Configurao Estrutural 02 - Grelha

    N 70 (Laje 2)

    mx = 5,21 mm

  • 1) Configurao 03; Resolve-se a laje com grelha equivalente, acrecentando-se um pilar e uma

    viga a estrutura, de modo a reduzir a viga vertical da direita, de um vo de

    10,0 para 5,0 m e ainda prolongando-se a viga horizontal de tal forma que

    se tenha 04 lajes ao invs de 03;

    A ao a considerar em cada n correspondente;

    Carga P atuando em cada n P = 6,33x1,0x1,0 = 6,33 kN;

    Configurao Estrutural 03

  • Configurao Estrutural 03

  • Configurao Estrutural 03 - Calco

    N 40 (Laje 1)

    mx = 11,44 mm

  • Configurao Estrutural 03 - Cypecad

    Cota (2,75; 7,00 m)

    mx = 11.70 mm

  • Configurao Estrutural 03 - Grelha

    N 88 (Laje 1)

    mx = 11,33 mm

  • 1) Configurao 04; Resolve-se a laje com grelha equivalente, aumentando-se a dimenso da

    viga lateral direita de 20 x 50 para 20 x 100 cm;

    A ao a considerar em cada n correspondente;

    Carga P atuando em cada n P = 4,56x1,0x1,0 = 4,56 kN;

    Configurao Estrutural 04

  • Configurao Estrutural 04

  • Configurao Estrutural 04 - Calco

    N 40 (Laje 1)

    mx = 11,78 mm

  • Configurao Estrutural 04 - Cypecad

    Cota (2,75; 7,00 m)

    mx = 11.94 mm

  • Configurao Estrutural 04 - Grelha

    N 88 (Laje 1)

    mx = 11,75 mm

  • Comparativo de Flechas (mm)

    Modelo Local CALCO Cypecad Grelha% Dif.

    Grelha/Calco

    % Dif.

    Grelha/Cypecad

    1 V6 - Centro 33,72 32,36 33,82 +0,297% +0,451%

    2 Laje 2 - Centro 5,58 4,96 5,21 -6,631% +5,040%

    Resultados encontrados e comentrios

    2 Laje 2 - Centro 5,58 4,96 5,21 -6,631% +5,040%

    3 Laje 1 - Centro 11,44 11,70 11,33 -0,962% -3,162%

    4 Laje 1 - Centro 11,78 11,94 11,75 -0,255% -1,591%

  • Toda vez que se considera apenas os pilares como pontos h,

    sem dvida, uma variao muito grande das derivadas da funo

    deslocamento, ou seja, os momento sero elevados;

    Desta forma toda vez que ocorre um ponto (e apenas ele na

    regio do entorno) indeslocvel na vertical, ocorre um momento

    fletor (negativo para cargas verticais aplicadas), de grande valor;

    Este ponto pode ser considerado como um ponto de

    Resultados encontrados e comentrios

    Este ponto pode ser considerado como um ponto de

    perturbao nas deformaes, conforme se mostra nas figuras

    a seguir:

  • ponto de perturbao Zona de perturbao

    Esquemas estruturais do pavimento com o pilar sendo

    o ponto de perturbao e no segundo caso com a barra

    de placa aps o pilar se apresentando como zona de perturbao

    Resultados encontrados e comentrios

  • Assim fato que as vigas interferem bastante no clculo, sendo que

    se tiverem grande inrcia fazem com que os momentos negativos

    da placa aumentem;

    Assim pode-se dizer que quanto maior a rigidez dos elementos de

    contorno da placa mais possibilidade de momentos negativos altos

    ocorre;

    Em CARVALHO (1994) como se usou a inrcia das vigas como Te, os

    resultados encontrados foram mais que nos exemplos aqui

    Resultados encontrados e comentrios

    resultados encontrados foram mais que nos exemplos aqui

    realizados em que se considerou a inrcia da laje apenas com seo

    retangular;

    Uma maneira de se atenuar o efeito de perturbao dos pilares

    fazer uma malha de elementos pouco espaados na regio do pilar

    (conforme detalhe apresentado a seguir);

    Alm de considerar um nmero maior de ns e barras considera-se

    que estas (barras internas ao pilar) tenham rigidez muito grande;

  • Esquema estrutural considerando mais barras

    em torno do pilar, para diminuir o efeito da

    perturbao

    pilar pilar com malha refinada

    pilar