aula04

Carlos Alexandre Mello [email protected] 1

Reduo de Mltiplos Subsistemas

Carlos Alexandre Mello

2Carlos Alexandre Mello [email protected]

Introduo Sistemas mais complexos so compostos por

diversos subsistemas Queremos representar um mltiplos subsistemas

com apenas uma funo de transferncia para, por exemplo, obter resposta de transiente como vimos antes

Representao de mltiplos subsistemas Diagramas de Bloco Grafos de Fluxos de Sinal


Diagramas de Blocos Como j vimos, esses so os principais elementos

de um diagrama de blocos:

G(s)X+ -X(s)E(s) Y(s)

Ponto de Soma

Ponto de Ramificao

Sinal deEntrada

Sinal deSadaSistema


Diagramas de Blocos Os blocos podem estar conectados em srie

(cascata)....Subsistemas

Funo de transferncia equivalente


Diagramas de Blocos ...ou em paralelo

Subsistemas



Diagramas de Blocos Com possibilidade de retroalimentao...

Subsistemas



Diagramas de Blocos Modificaes em Blocos

Equivalncia em pontos de soma

C(s) = G(s)(R(s) X(s))C(s) = G(s)R(s) G(s)X(s)

C(s) = G(s)(R(s) X(s))C(s) = G(s)R(s) G(s)X(s)

Bloco G(s) moveu para a Esquerda



Equivalncia em pontos de soma

C(s) = G(s)R(s) X(s) C(s) = (R(s) X(s)/G(s))G(s)C(s) = G(s)R(s) X(s)

Bloco G(s) moveu para a Direita



Equivalncia em pontos de ramificao


Diagramas de Blocos Exemplo 1: Reduo de diagrama de blocos

Diagramaoriginal


Diagramas de Blocos Exemplo 1 (cont.): Reduo de diagrama de

blocos

Passo I



blocos

Passo II



blocos

Passo III


Diagramas de Blocos Exemplo 2: Reduo de diagrama de blocos

Diagramaoriginal



blocos

Passo I



blocos

Passo II



blocos

Passo III



blocos

Passo IV

Passo V


Diagramas de Blocos Exemplo 3: Encontre a funo de transferncia

T(s)=C(s)/R(s) para o sistema abaixo:


Diagramas de Blocos Exemplo 3 (cont.):

s2

Passo I



Passo II



Passo III



A BX Y+-

C E

E = A.CY = B.EC = X E E = A(X E) = AX AE E(A + 1) = AX E = AX/(A + 1)Y = B.E = ABX/(A + 1)



Passo IV

Ou:


Grafos de Fluxo de Sinal Grafos de fluxo de sinal so uma alternativa para

diagrama de blocos So compostos apenas por ns e arestas Um sistema representado por uma linha

direcionada indicando a direo do fluxo do sinal atravs do sistema

Exs.: V(s) = R1G1 - R2G2 + R3G3C1 = V(s)G4


Grafos de Fluxo de Sinal Elementos:

Ns: Sinais internos como a entrada comum para vrios blocos ou a sada de um somador; representam variveis

Caminho: a sequncia de ns conectados na direo do fluxo sem incluir nenhuma varivel mais de uma vez

Caminho direto: Caminho da entrada para a sada, sem incluir nenhum n mais de uma vez.

Malha: Caminho que se origina e termina no mesmo n. Ganho do caminho: Produto dos ganhos dos ramos que

formam um caminho. Ganho de malha: O ganho do caminho associado com uma

malha. N de entrada: Um n que possui somente ramos que se

afastam dele. N de sada: um n que possui apenas ramos que se

dirigem a ele.


Grafos de Fluxo de SinalRelao ente Diagrama de Blocos e Grafos de Fluxo de Sinal

Exemplo 1:

Diagrama de Blocos

Ns do sistema em cascata

Grafo de fluxo de sinal de sistema em cascata



Exemplo 2:

Ns do sistema em paralelo

Grafo de fluxo de sinal de sistema em paralelo

Diagrama de Blocos



Exemplo 3:

Ns do sistema com re-alimentao

Grafo de fluxo de sinal de sistema com re-alimentao

Diagrama de Blocos



Problema: Converta o diagrama de blocos abaixo para grafo de fluxo de sinal:



Problema (cont.): 1 Passo: Desenhar os ns do sinal



Problema (cont.): 2 Passo: Conecte os ns, mostrando a direo do fluxo

do sinal e identificando cada funo de transferncia



Problema (cont.): 3 Passo: Simplificar o grafo de fluxo


Regra de Mason Reduzindo grafos de fluxo de sinal para uma nica

funo de transferncia que relacione a sada de um sistema a sua entrada

Para diagrama de blocos, a reduo feita atravs da aplicao sucessiva de relaes

Para grafos de fluxo de sinal, a regra de Mason* para reduo requer a aplicao de uma frmula

*Samuel Jefferson Mason (1953)


Regra de Mason Definies:

Ganho de lao: O produto dos ganhos encontrados ao atravessar um caminho que comea e termina no mesmo n, seguindo a direo do fluxo, sem passar por nenhum outro n mais de uma vez

4 ganhos de lao:1. G2H12. G4H23. G4G5H34. G4G6H3

1 2

3

4



Ganho do caminho frente (forward path gain): O produto dos ganhos encontrados ao atravessar um caminho do n de entrada ao n de sada na direo do fluxo

2 ganhos de caminho frente:1. G1G2G3G4G5G72. G1G2G3G4G6G7



Laos que no se tocam (Nontouching loops): Laos que no tm qualquer n em comum.

Laos que no se tocam:G2H1 no toca os laos G4H2, G4G5H3 e G4G6H3



Ganho de laos que no se tocam (Nontouching-loop gain): O produto dos ganhos de lao dos laos que no se tocam tomados 2 a 2, 3 a 3, 4 a 4, etc.



Ganho de laos que no se tocam (Nontouching-loop gain): Do exemplo anterior, o produto do ganho de lao G2H1 e do ganho de lao G4H2 um ganho de laos que no se tocam tomados 2 a 2

Todos os trs ganhos de laos que no se tocam tomados dois a dois de cada vez so:

1. [G2H1][G4H2] 2. [G2H1][G4G5H3] 3. [G2H1][G4G6H3] No exemplo, no existem trs laos que no se tocam,

logo, no temos ganhos de laos que no se tocam 3 a 3


Regra de Mason A funo de transferncia C(s)/R(s) de um sistema

representado por um grafo de fluxo de sinal

onde: k = nmero de caminhos frente Tk = ganho do k-simo caminho frente = 1 - (ganhos de lao) + (ganhos de laos que no

se tocam tomados 2 a 2) - (ganhos de laos que no se tocam tomados 3 a 3) + (ganhos 4 a 4) - ....

k = - (termos de ganhos de lao em que tocam o k-simo caminho frente). Ou seja, k formado eliminando de aqueles ganhos de lao que tocam o k-simo caminho frente


Regra de Mason Exemplo 1: Encontre a funo de transferncia

C(s)/R(s) para o grafo de fluxo de sinal abaixo:


Regra de Mason Exemplo 1 (cont.): Primeiro, vamos encontrar os

ganhos de caminhos frente Nesse exemplo, s temos um: G1G2G3G4G5

A seguir, vamos identificar os ganhos de lao:1. G2H1 (1)2. G4H2 (2)3. G7H4 (3)4. G2G3G4G5G6G7G8 (4)

Ganhos de laos que no se tocam tomados 2 a 2 Laos 1 e 2: G2H1G4H2 (5) Laos 1 e 3: G2H1G7H4 (6) Laos 2 e 3: G4H2G7H4 (7)


Regra de Mason Exemplo 1 (cont.): Ganhos de laos que no se tocam tomados 3 a 3

Laos 1, 2 e 3: G2H1G4H2G7H4 (8) Da Regra de Mason e das definies, calculamos

e k: = 1 [(1) + (2) + (3) + (4)] + [(5) + (6) + (7)] (8) k calculado eliminando de o ganho de lao que toca

o k-simo caminho frente: 1 = 1 G7H4 1 = 1 [(1) + (2) + (3) + (4)] + [(5) + (6) + (7)] - (8) = 1 (3)

Assim:


Regra de Mason Exemplo 1 (cont.):

Se tivssemos mais de um caminho frente, teramos como resposta uma soma de termos

G(s) = [G1G2G3G4G5][1 - G7H4]


Grafos de Fluxo de Sinal de Equaes de Estado

Exemplo, considere as seguintes equaes de estado:

Primeiro, identificamos os ns para serem as variveis de estado (no caso, x1, x2 e x3)

Identificamos tambm ns para as derivadas das variveis de estado (colocados esquerda delas)

Temos mais um n como a entrada r e um para a sada y



Exemplo:

R(s)sX3(s) X3(s) sX2(s) X2(s) sX1(s) X1(s)

Y(s)



Exemplo: Em seguida, conecte as derivadas s variveis de

estado atravs de uma integrao 1/s


Y(s)1/s 1/s 1/s



Exemplo: Vamos construindo agora as equaes de estado: x1 recebe 2x1 5x2 + 3x3 + 2r


Y(s)1/s 1/s 1/s

-5

2

32



Exemplo: Fazendo para todas as equaes:


Representaes Alternativas no Estado-Espao

Forma Cascata:



Forma Cascata: Para funes de primeira ordem:



Forma Cascata: Assim, o diagrama completo para:

....



Forma Cascata: Desse grafo de fluxo de sinal:

chegamos s equaes de estado:



Forma Cascata: Anlise: Matriz do

SistemaMatriz deEntrada

Matriz deSada

Polos do Sistema



Forma Paralela:

C(s) a soma de trs termos onde cada um uma funo de primeira ordem

Na verdade, cada um um subsistema com R(s) como entrada



Forma Paralela:



Forma Paralela: Equaes de Estado:

Matriz diagonal



Forma Paralela: Observe que termos uma matriz diagonal indica que

cada equao uma equao diferencial de primeira ordem em uma nica varivel

Assim, podemos resolver essas equaes independentemente

Essas equaes so ditas desacopladas



Forma Paralela: Denominador com razes reais repetidas

1 Passo: Expanso em fraes parciais:



Forma Paralela: Grafo de fluxo de sinal



Forma Paralela: Representao Estado-Espao:

Polos do Sistema


Representao Estado-Espao para Sistemas com Zero

Problema: Represente o sistema abaixo no modelo estado-espao (possui zero):

Vamos separar a funo de transferncia em cascata como fizemos antes:

R(s) E(s)

R(s) E(s)X1(s)



Problema (cont.): Primeiro bloco:

X1(s)/R(s) = 1/(s + 5) sX1 + 5X1 = R sX1 = R - 5X1

R(s) X1(s)

R sX1 X11/s

Passo 1:

RsX1

X11/s

-5

Passo 2:

1



Problema (cont.): Segundo bloco:

E(s)/X1(s) = 5s + 5 E(s) = 5sX1 + 5X1

EsX1 X11/s

Passo 1: Passo 2:

E(s)X1(s)

EsX1

X11/s 5

5



Problema (cont.): Juntando os dois e aproveitando os ns X1 e sX1:

EsX1

X11/s

5

5

-5

R1


Representao Estado-Espao para Sistemas com Re-Alimentao

Problema: Represente o sistema abaixo no modelo estado-espao (re-alimentao e zero):

Primeiro, vamos modelar apenas a funo de transferncia sem nos preocuparmos com a re-alimentao....



Problema (cont.): Represente o sistema abaixo no modelo estado-espao (re-alimentao e zero):



Problema (cont.):



Problema (cont.):

x2 = -2x2 + 100e = -2x2 + 100(r c) x1 = -3x1 + x2

c = 5x1 + x1 = 5x1 + (x2 3x1)c = 2x1 + x2



Problema (cont.): x1' = -3x1 + x2 x2' = -200x1 102x2 + 100r y = c(t) = 2x1 + x2


Controlabilidade Se para um sistema for possvel obter uma entrada

capaz de transferir todas as variveis de estado de um estado inicial desejado para um estado final desejado, o sistema dito controlvel; caso contrrio, o sistema no controlvel


Controlabilidade

No sistema ao lado, o sinal de controle ualcana todas as variveis de estado do sistema.... Tal sistema dito controlvel.


Controlabilidade

J nesse sistema, a varivel x1no alcanada pelo sinal de controle u. Se x1 apresentar um comportamento instvel, no haveria uma forma de realizar um projeto de re-alimentao para estabilizar x1. Tal sistema dito no controlvel.


Controlabilidade por Inspeo Considere as seguintes equaes de estado:

ou

Sistema desacoplado: a varivel de controle u afeta cada varivel de estado


Controlabilidade por Inspeo J no sistema:

A varivel x1 no controlada pelo controle u.

ou


Matriz de Controlabilidade Uma planta de n-sima ordem cuja equao de

estado x = Ax + Bu completamente controlvel se a matriz

tiver posto n CM chamada de matriz de controlabilidade


Matriz de Controlabilidade Exemplo: Considere o sistema abaixo


Matriz de Controlabilidade Exemplo (cont.): Matriz de Controlabilidade:


Matriz de Controlabilidade Exemplo (cont.): O posto de CM o nmero de

linhas ou colunas linearmente independentes Basta escalonar a matriz e verificar o nmero de linhas

no nulas

0 1 -21 -1 11 -2 4

1 -1 10 1 -21 -2 4

1 -1 10 1 -20 -1 3

1 0 -10 1 -20 0 1

1 0 00 1 00 0 1

Posto = 3 = n Sistema Controlvel


Observabilidade Se o vetor de estado inicial, x(t0), puder ser obtido

a partir de u(t) e y(t) medidos durante um intervalo de tempo finito a partir de t0, o sistema dito observvel; caso contrrio, o sistema dito no observvel.


Observabilidade

No sistema ao lado, cada varivel de estado pode ser observada na sada j que cada uma delas est conectada sada.


Observabilidade

No sistema ao lado, nem todas as variveis de estado podem ser observadas na sada.


Observabilidade por Inspeo Podemos explorar a observabilidade a partir da

equao de sada de um sistema diagonalizado Exemplo de um sistema observvel:

Exemplo de um sistema no-observvel:


Matriz de Observabilidade Considere um sistema de n-sima ordem cujas

equaes de estado e de sada so:

Um sistema observvel se a matriz de observabilidade dada por:

tem posto igual a n


Matriz de Observabilidade Exemplo: Considere o sistema abaixo:


Matriz de Observabilidade Exemplo (cont.):

Novamente, por escalonamento, encontramos o posto igual a 3 (que igual ordem do sistema).

Logo, o sistema observvel


Exerccios Sugeridos (Nise) Cap. 5, Problemas:

1a, 2, 3, 4, 5a, 6, 12, 23, 26, 27, 31, 33a, 33b


A Seguir.... Estabilidade

aula04

Documents