alg aula04
TRANSCRIPT
Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected] 1
Álgebra LinearEspaço Vetorial
Prof. Carlos Alexandre [email protected]
Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected] 2
Espaços Vetoriais
• Definição: Um espaço vetorial real é um
conjunto V, não vazio, com duas operações:
soma, V X V → V, e multiplicação por escalar,
R X V → V, tais que, para quaisquer u, v, w ∈V
e a, b ∈ R, as seguintes propriedades sejam
satisfeitas:
Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected] 3
Espaços Vetoriais
• Propriedades:i) (u + v) + w = u + (v + w)ii) u + v = v + uiii) existe 0 ∈ V tal que u + 0 = u
• 0 é o vetor nulo
iv) Existe –u ∈ V tal que u + (-u) = 0v) a(u + v) = au + av, a escalarvi) (a + b)v = av + bv, a, b escalaresvii) (ab)v = a(bv)viii) 1.u = u
Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected] 4
Espaços Vetoriais
• Designamos por vetor um elemento do espaço vetorial
• Exemplo: V = M(2, 2) é o conjunto de matrizes 2x2
V é um espaço vetorial• Todas as propriedades anteriores são satisfeitas se a
adição é entendida como a adição de matrizes
Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected] 5
Espaços Vetoriais
• Exemplo: V = M(2, 2) - ProvaAxioma 1: (u + v) + w = u + (v + w)
( )
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( )wvu
wvu
++=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++++
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++++++++
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++++++++
=
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡++++
=
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=++
2221
1211
2221
1211
2221
1211
22222121
12121111
2221
1211
222222212121
121212111111
222222212121
121212111111
2221
1211
22222121
12121111
2221
1211
2221
1211
2221
1211
wwww
vvvv
uuuu
wvwvwvwv
uuuu
wvuwvuwvuwvu
wvuwvuwvuwvu
wwww
vuvuvuvu
wwww
vvvv
uuuu
Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected] 6
Espaços Vetoriais
• Exemplo: V = M(2, 2) - Prova
11 12 11 12 11 12 11 12
21 22 21 22 21 22 21 22
u u v v v v u uu u v v v v u u⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
+ = + = + = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
u v v u
Operação vetorial genérica
Interpretação concreta
Axioma 2: u + v = v + u
Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected] 7
Espaços Vetoriais
• Exemplo: V = M(2, 2) - Prova
Axioma 3: Existe um elemento 0 em V, chamado um vetor nulopara V, tal que u + 0 = u para todo u em V.
u0uu
0
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=+∈∀
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡≡
2221
1211
2221
1211
0000
,
Então,.0000
Seja
uuuu
uuuu
V
Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected] 8
Espaços Vetoriais
• Exemplo: V = M(2, 2) - Prova
Axioma 4: Para todo u em V, há um objeto –u em V, chamado um oposto ou negativo ou simétrico de u, tal que u + (-u) = 0
( )
0
uuu
u
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−−−−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+−+−+−+
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−−−
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=−+∈∀
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−−−
≡−
0000
)()()()(
,
Então,. Seja
22222121
12121111
22222121
12121111
2221
1211
2221
1211
2221
1211
uuuuuuuu
uuuuuuuu
uuuu
uuuu
V
uuuu
Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected] 9
Espaços Vetoriais
• Exemplo: V = M(2, 2) - ProvaAxioma 5: k (u + v) = k u + k v
( )
( ) ( )( ) ( )
vu
vu
kkvkvkvkvk
ukukukuk
vkukvkukvkukvkuk
vukvukvukvuk
vuvuvuvu
k
vvvv
uuuu
kk
+=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡++++
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++++
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++++
=
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=+
2221
1211
2221
1211
22222121
12121111
22222121
12121111
22222121
12121111
2221
1211
2221
1211
Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected] 10
Espaços Vetoriais
• Exemplo: V = M(2, 2) - Prova
Axioma 6: (k + l ) u = k u + l u
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
uu
u
lkulululul
ukukukuk
ulukulukulukuluk
ulkulkulkulk
uuuu
lklk
+=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++++
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++++
=
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+=+
2221
1211
2221
1211
22222121
12121111
2221
1211
2221
1211
Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected] 11
Espaços Vetoriais
• Exemplo: V = M(2, 2) - ProvaAxioma 7: k (l u) = (k l ) (u)
( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )u
u
lkuuuu
lk
ulkulkulkulk
ulkulkulkulk
ulululul
k
uuuu
lklk
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
2221
1211
2221
1211
2221
1211
2221
1211
2221
1211
Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected] 12
Espaços Vetoriais
• Exemplo: V = M(2, 2) - Prova
Axioma 8: 1u = u
uu =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=
2221
1211
2221
1211
2221
1211
1111
11uuuu
uuuu
uuuu
Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected] 13
Espaços Vetoriais
• Contra-Exemplo: Um conjunto que não é um espaço vetorial:
Seja u = (u1, v1) e v = (u2, v2)
Seja V = R2 e adição e multiplicação definidas como:• u + v = (u1 + u2, v1 + v2)
• k.u = (ku1, 0)
Nesse caso, o axioma 8 não vale, pois:• 1u = 1(u1, u2) = (u1, 0) ≠ u
Logo V não é um espaço vetorial
Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected] 14
Subespaços Vetoriais
• Definição: Dado um espaço vetorial V, um subconjunto W, não vazio, será um subespaço vetorial de V se:
i) Para quaisquer u, v ∈ W, tivermos u + v ∈ Wii) Para quaisquer a ∈ R, u ∈ W, tivermos au ∈ W
Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected] 15
Subespaços Vetoriais
• Observações:1) Ao operarmos em W (soma e multiplicação por escalar) não obteremos um vetor fora de W
Isso é suficiente para afirmar que W é ele mesmo um espaço vetorial, pois assim as operações ficam bem definidas
Assim, não precisamos verificar novamente as propriedades (i) a (viii) de espaço vetorial porque elas são válidas em V, que contém W
Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected] 16
Subespaços Vetoriais
• Observações:2) Qualquer subespaço W de V precisa necessariamente conter o vetor nulo (por causa da condição (ii) da definição quando a = 0)
3) Todo espaço vetorial admite, pelo menos, dois subespaços (que são chamados de subespaços triviais):
• O conjunto formado apenas pelo vetor nulo
• O próprio espaço vetorial
Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected] 17
Subespaços Vetoriais
• Exemplo 1: V = R3 e W ⊂ V, um plano passando pela origem
W
Observe que, se W não passasse pela origem, não seria um subespaço
Os únicos subespaços de R3 são a origem, as retas e planos que passam pela origem e o próprio R3
Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected] 18
Subespaços Vetoriais
• Exemplo 2: V = R5 e W = {(0,x2,x3,x4,x5); xi∈R}Isso é, W é o conjunto de vetores de R5 com a primeira coordenada nula
Vamos verificar as condições (i) e (ii):
(i):u = (0, x2, x3, x4, x5), v = (0, y2, y3, y4, y5) ∈ W
Então: u+v=(0, x2+y2, x3+y3, x4+y4, x5+y5) ∈ W
(ii) ku = (0, kx2, kx3, kx4, kx5) ∈ W
Portanto, W é subespaço vetorial de R5.
Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected] 19
Subespaços Vetoriais
• Teorema: Interseção de subespaçosDados W1 e W2 subespaços de um espaço vetorial V, a interseção W1 ∩ W2 ainda é um subespaço de V
• Observe que W1 ∩ W2 nunca é vazio já que eles sempre contêm, pelo menos, o vetor nulo
• Exemplo 1: V = R3, W1 ∩ W2 é a reta de interseção dos planos W1 e W2
W1
W2
Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected] 20
Subespaços Vetoriais
• Embora a interseção gere um subespaço vetorial, isso necessariamente não acontece com a união
• Teorema: Soma de subespaçosSejam W1 e W2 subespaços de um espaço vetorial V. Então o conjunto
• W1 + W2 = {v∈V; v=w1 + w2, w1∈W1, w2∈W2}é subespaço de V
• Exemplo 1: Se W1 e W2 são duas retas, W = W1+W2 é o plano que contém as retas
Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected] 21
Subespaços Vetoriais
• Quando W1 ∩ W2 = {0}, então W1 + W2 é
chamado soma direta de W1 com W2,
denotado por W1 ⊕ W2
Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected] 22
Combinação Linear
• Sejam V um espaço vetorial real, v1, v2, ..., vn∈V e a1, a2, ...,an números reais
• Então o vetorv = a1v1 + a2v2 + .... anvn
• é um elemento de V ao qual chamamos de combinação linear de v1, v2, ..., vn
Uma vez fixados vetores v1, v2, ..., vn em V, o conjunto W de todos os vetores de V que são combinação linear desse é um subespaço vetorial
• W é chamado de subespaço gerado por v1, v2, ..., vn
• W = [v1, v2, ..., vn]
Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected] 23
Combinação Linear
• Exemplo 1:V = R2, v1 = (1, 0), v2 = (0, 1)Logo, V = [v1, v2], pois dados v = (x, y)∈V, temos (x, y) = x(1, 0) + y(0, 1)
• Ou seja, v = x.v1 + y.v2
• Exemplo 2:
1 00 0
v1 = 0 10 0
v2 =
Então [v1, v2] = : a, b ∈ Ra b0 0
Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected] 24
Dependência e Independência Linear
• Definição: Sejam V um espaço vetorial e v1, v2, ..., vn ∈V. Dizemos que o conjunto {v1,v2, ...,vn} élinearmente independente (LI), ou que o vetores v1, v2, ..., vn são LI se a equação:
a1v1 + a2v2 + ... + anvn = 0implica que a1 = a2 = .... = an = 0
{v1,v2, ...,vn} é LD se, e somente se, um destes vetores for combinação linear dos outros.
• Se algum ai ≠ 0, dizemos que {v1,v2, ...,vn} élinearmente dependente (LD) ou que os vetores v1,v2, ...,vn são LD
Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected] 25
Dependência e Independência Linear
• Exemplo 1: V = R2, e1 = (1, 0) e e2 = (0, 1)• e1 e e2 são LI, pois
a1.e1 + a2.e2 = 0a1.(1, 0) + a2.(0, 1) = 0(a1, a2) = (0, 0)a1 = 0 e a2 = 0
• Exemplo 2: De modo análogo, para V =R3, e1= (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0) e e3 = (0, 0, 1) são LI
• Exemplo 3: V = R2
{(1, -1), (1, 0), (1, 1)} é LD pois:½.(1, -1) -1.(1, 0) + ½.(1, 1) = (0, 0)
Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected] 26
Base de um Espaço Vetorial
• Definição: Um conjunto {v1,v2, ...,vn} de
vetores de V será uma base de V se:
i) {v1,v2, ...,vn} é LI
ii) [v1,v2, ...,vn] é V
Esse conjunto gera todos os vetores de V.
Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected] 27
Base de um Espaço Vetorial
• Exemplo 1: V = R2, e1=(1,0) e e2=(0,1)• {e1, e2} é base de V, conhecida como base
canônica de R2
• O conjunto {(1,1),(0,1)} também é uma base de V = R2
De fato, se (0,0) = a(1,1) + b(0,1) = (a, a + b), então a = b = 0
• Assim, {(1, 1), (0, 1)} é LI
Ainda [(1, 1), (0, 1)] = V pois dado v = (x, y) ∈ V, temos: (x, y) = x(1, 1) + (y – x)(0, 1)Ou seja, todo vetor de R2 é uma combinação linear dos vetores (1,1) e (0,1)
Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected] 28
Base de um Espaço Vetorial
• Exemplo 2: {(0,1), (0,2)} não é base de R2, pois é um conjunto LD
Se (0,0) = a(0,1) + b(0,2), então a = -2b e a e b não são zero necessariamente
• Exemplo 3: {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} é uma base de R3
Base canônica de R3
i) {e1, e2, e3} é LIii) (x, y, z) = x.e1 + y.e2 + z.e3
• Exemplo 4: {(1,0,0), (0,1,0)} não é base de R3
É LI mas não gera todo R3
Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected] 29
Base de um Espaço Vetorial
• Teorema: Sejam v1,v2, ...,vn vetores não nulos que geram um espaço vetorial V. Então dentre esses vetores podemos extrair uma base de V.
Isso independe de v1,v2, ...,vn serem LD ou LI
• Teorema: Seja um espaço vetorial V gerado por um conjunto finito de vetores v1,v2,...,vn.
• Então, qualquer conjunto com mais de nvetores é necessariamente LD (e, portanto, qualquer conjunto LI tem no máximo n vetores)
Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected] 30
Base de um Espaço Vetorial
• Corolário: Qualquer base de um espaço vetorial tem sempre o mesmo número de elementos. Este número é chamado dimensão de V, e denotado por dim V
• Exemplo 1: V = R2: dim V = 2{(1,0), (0,1)} e {(1,1),(0,1)} são bases de V
• Exemplo 2: V = R3: dim V = 3• Exemplo 3: V = M(2, 2): dim V = 4
1 00 0
0 10 0
É umabase de V
0 01 0
0 00 1
Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected] 31
Base de um Espaço Vetorial
• Teorema: Qualquer conjunto de vetores LI de um espaço vetorial V de dimensão finita pode ser completado de modo a formar uma base de V
• Corolário: Se dim V = n, qualquer conjunto de n vetores LI formará uma base de V
• Teorema: Se U e W são subespaços de um espaço vetorial V que tem dimensão finita, então dim U ≤ dim V e dim W ≤ dim V. Além disso:
dim(U + W) = dim U + dim W – dim(U ∩ W)
Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected] 32
Base de um Espaço Vetorial
• Teorema: Dada uma base β = {v1,v2, ...,vn} de V, cada vetor de V é escrito de maneira única como combinação linear de v1, v2, ...,vn.
• Definição: Sejam β = {v1,v2, ...,vn} base de V e v ∈ V onde v = a1v1 +...+ anvn. Chamamos esses números ai de coordenadas de v em relação à base β e denotamos por:
[v]β = a1...an
Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected] 33
Base de um Espaço Vetorial
• Exemplo 1: V = R2
• β = {(1, 0), (0, 1)}• (4, 3) = 4.(1, 0) + 3.(0, 1)• Logo:
[(4, 3)]β = 4
3
Observe que os coeficientes são representados como elementos de uma matriz coluna.
Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected] 34
Base de um Espaço Vetorial
• Exemplo 2: V = R2
• β = {(1, 1), (0, 1)}• (4, 3) = x.(1, 1) + y.(0, 1) ⇒ x=4 e y=-1• Logo:
[(4, 3)]β = 4
-1
Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected] 35
Base de um Espaço Vetorial
• Exemplo 3: Observe que a ordem dos elementos de uma base influi na matriz das coordenadas de um vetor em relação à esta base
• V = R2
• β1 = {(1, 0), (0, 1)} e β2 = {(0, 1), (1, 0)}
[(4, 3)]β1 = 4
3[(4, 3)]β2 =
3
4
Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected]
Base de um Espaço Vetorial
• Exemplo 4: Considere:V = {(x, y, z): x + y – z = 0}W = {(x, y, z): x = y}Determine V + WV: x + y – z = 0 ⇒ z = x + y
• Base: (x, y, x + y) = x.(1, 0, 1) + y.(0, 1, 1)• Logo: Base = [(1, 0 , 1),(0, 1, 1)]
W: x = y• Base: (y, y, z) = y.(1, 1, 0) + z.(0, 0, 1)• Logo: Base = [(1, 1, 0), (0, 0, 1)]
36
cont…
Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected]
Base de um Espaço Vetorial
• Exemplo 4: (cont..)Como:V = [(1, 0, 1), (0, 1, 1)]W = [(1, 1, 0), (0, 0, 1)]Então V + W = [(1,0,1), (0,1,1), (1,1,0), (0,0,1)]Mas espera-se que o resultado esteja no R3, logo essa base deve ter algum elemento LD
37
cont…
Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected]
Base de um Espaço Vetorial
• Exemplo 4: (cont..)(x,y,z)=a(1,0,1)+b(0,1,1)+c(1,1,0)+d(0,0,1)
• x = a + c• y = b + c• z = a + b + d
38
cont…
1 0 1 0 x0 1 1 0 y1 1 0 1 z
Sistema:
Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected]
Base de um Espaço Vetorial
• Exemplo 4: (cont..)Solução:
• 2a + d = x – y + z• 2b + d = y – x + z• 2c – d = x + y – z• Se c = 0:
d = z – x – yb = ya = x
39
cont…
Claro, não é solução única jáque 4 vetores no R3 implica emalgum ser LD...
Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected]
Base de um Espaço Vetorial
• Exemplo 4: (cont..)(x,y,z)=a(1,0,1)+b(0,1,1)+c(1,1,0)+d(0,0,1)Logo, V + W = R3
dim R3 = dim V + dim W – dim(V∩W)V∩W = ??
40
cont…
Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected]
Base de um Espaço Vetorial
• Exemplo 4: (cont..)V∩W = {(x,y,z); x + y – z = 0 e x = y}
= {(x,y,z); x = y = z/2}= [(1, 1, 2)]
dim (V∩W) = 1dim R3 = dim V + dim W – dim(V∩W)dim R3 = 2 + 2 – 1 = 3
• Como esperado....
41
Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected]
Mudança de Base
• Sejam β={u1,...,un} e β’= {w1,...,wn} duas bases
ordenadas de um mesmo espaço vetorial V
• Dado o vetor v ∈V, podemos escrevê-lo como:
v = x1u1 + ... + xnun
v = y1w1 + ... + ynwn
(1)
42
Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected]
Mudança de Base
• Como podemos relacionar as coordenadas de v em relação à base β
• com as coordenadas do mesmo vetor v em relação à base β’
[v]β = x1…xn
[v]β’ = y1…yn
43
Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected]
Mudança de Base
• Já que {u1,...,un} é base de V, podemos escrever os vetores v e w como combinação linear dos uj, isto é:
w1 = a11u1 + a21u2 + ...+ an1un
w2 = a12u1 + a22u2 + ...+ an2un
......wn = a1nu1 + a2nu2 + ...+ annun
• Substituindo (2) em (1):v=y1w1+...+ynwn=y1(a11u1+...+an1un)+..+yn(a1nu1+...+annun)
= u1(a11y1+...+an1yn)+..+un(a1ny1+...+annyn)
44
(2)
Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected]
Mudança de Base
• Mas v = x1u1 + ... + xnun, e como as coordenadas em relação a uma base são únicas temos:x1 = a11y1 + ... + an1yn
.....xn = a1ny1 + ... + annyn
• Ou, em forma matricial
45
x1…xn
x1…xn
=a11 ... a1n… … …an1 … ann
Observe que as linhasviraram colunas!
Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected]
Mudança de Base
• Isso é denotado por:
• Temos:
46
=a11 ... a1n… … …an1 … ann
[ I ]ββ’
[v]β = [ I ] [v]β’ββ’
[ I ] ⇒ Matriz de mudança da base β’ para a base βββ’
Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected]
Mudança de Base
• Observe que, encontrando , podemos
encontrar as coordenadas de qualquer vetor v
em relação à base β, multiplicando a matriz
pelas coordenadas de v na base β’
47
[ I ]ββ’
Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected]
Mudança de Base
• Exemplo: Sejam β={(2,-1), (3,4)} e β’={(1,0),(0,1)} bases de R2:
w1 = (1,0) = a11(2,-1) + a21(3,4) = (2a11+ 3a21, -a11+ 4a21)⇒ 2a11+3a21 = 1 e -a11+4a21 = 0⇒ a11 = 4a21 ⇒ a21 = 1/11 e a11 = 4/11w2 = (0,1) = a12(2,-1) + a22(3,4) = (2a12+ 3a22, -a12+ 4a22)⇒ 2a12+3a22 = 0 e -a12+4a22 = 1⇒ a22 = 2/11 e a12 = -3/11
[ I ] = ?ββ’
48
Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected]
Mudança de Base
• Exemplo: (cont.)– Assim:
• w1 = (1,0) = (4/11)(2,-1) + (1/11)(3,4)• w2 = (0,1) = (-3/11)(2,-1) + (2/11)(3,4)
=4/11 -3/11
1/11 2/11[ I ]β
β’
49
Linhas tornam-secolunas!!!
Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected]
Mudança de Base
• Exemplo: (cont.) Podemos usar essa matriz para encontrar, por exemplo, [v]β para v = (5, -8)
[(5, -8)]β = [(5, -8)]β’
= =
[ I ]ββ’
50
4/11 -3/11
1/11 2/11
5
-8
4
-1
Isto é: (5, -8) = 4.(2, -1) + (-1).(3, 4)
Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected]
A Inversa da Matriz Mudança de Base
• Temos [v]β = [v]β
• Um fato importante é que e são
matrizes inversíveis:
( )-1 =
[ I ]ββ’
51
[ I ]β’β [ I ]β
β’
[ I ]ββ’ [ I ]β’
β
Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected]
A Inversa da Matriz Mudança de Base
• Exemplo:
Do exemplo anterior, vamos calcular a partir
de . Note que é fácil de ser
calculada pois β’ é a base canônica:• (2, -1) = 2.(1, 0) + (-1).(0, 1)
• (3, 4) = 3.(1, 0) + 4.(0, 1)
Assim: =
Então: = -1 =
[ I ]ββ’
52
[ I ]β’β
[ I ]ββ’
[ I ]β’β
[ I ]β’β
2 3-1 4
2 3-1 4
4/11 -3/11
1/11 2/11
Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected]
Espaço Vetorial
• Exercício 18: Considere o subespaço de R4 gerado pelos vetores v1 = (1,-1,0,0), v2=(0,0,1,1), v3=(-2,2,1,1) e v4=(1,0,0,0)
a) O vetor (2, -3, 2, 2) ∈ [v1,v2,v3,v4]?b) Exiba uma base para [v1,v2,v3,v4]? Qual sua dimensão?c) [v1,v2,v3,v4] = R4?
53
Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected]
Espaço Vetorial
• Exercício 18:– a) O vetor (2, -3, 2, 2) ∈ [v1,v2,v3,v4]?– Ou seja, existem a, b, c, d, tal que:
(2, -3, 2, 2) = a.(1,-1,0,0) + b.(0,0,1,1) +c.(-2,2,1,1) + d.(1,0,0,0)
54
Cont.
a – 2c + d = 2-a + 2c = -3b + c = 2b + c = 2
1 0 -2 1 2-1 0 2 0 -30 1 1 0 2
Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected]
Espaço Vetorial
• Exercício 18:– a) O vetor (2, -3, 2, 2) ∈ [v1,v2,v3,v4]?Solução: a = 3, b = 2, c = 0, d = -1Logo, como existe solução, o vetor pertence a
[v1,v2,v3,v4]
55
Cont.
Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected]
Espaço Vetorial
• Exercício 18:b) Exiba uma base para [v1,v2,v3,v4]? Qual sua dimensão?
56
Cont.
1 -1 0 00 0 1 1-2 2 1 11 0 0 0
1 0 0 00 1 0 00 0 1 10 0 0 0
Com isso, descobrimos que v4 é combinação linear dos outros vetores. Logo, a base é formada por [v1,v2,v3].
Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected]
Espaço Vetorial
• Exercício 18:b) Exiba uma base para [v1,v2,v3,v4]? Qual sua dimensão?
Base = [v1,v2,v3] ⇒ dim = 3c) [v1,v2,v3,v4] = R4?
Como dim Base = 3 e dim R4 = 4, então [v1,v2,v3,v4] ≠ R4
57
Cont.
Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected]
Espaço Vetorial
• Exercício 19: Considere o subespaço de R3 gerado pelos vetores v1=(1,1,0), v2=(0,-1,1) e v3=(1,1,1).
• [v1,v2,v3]=R3?
58
Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected]
Espaço Vetorial
• Exercício 19: Solução 1:Existem a, b, c tal que:
(x, y, z) = a.(1,1,0) + b.(0,-1,1) + c.(1,1,1)
59
Cont.
a + c = xa - b = yb + c = z
a = 2x – y - zb = x - yc = -x + y + z
Ou seja, há valores para a, b e c que podem gerar qualquer vetor no R3.
Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected]
Espaço Vetorial
• Exercício 19: Solução 2:Vamos tentar escalonar:
60
Cont.
1 1 00 -1 11 1 1
1 0 00 1 00 0 1
…
O que isso significa?Significa que, com esses vetores e operações lineares, conseguimos gerar a base canônica. Logo, podemos gerar todo o R3.
Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected] 61
Exercícios Sugeridos
• 2• 4• 6• 7• 8• 9• 11• 15• 25• 29