alg aula04

62
Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello [email protected] 1 Álgebra Linear Espaço Vetorial Prof. Carlos Alexandre Mello [email protected]

Upload: luiz-leite-santos

Post on 19-Jun-2015

1.258 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: Alg aula04

Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected] 1

Álgebra LinearEspaço Vetorial

Prof. Carlos Alexandre [email protected]

Page 2: Alg aula04

Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected] 2

Espaços Vetoriais

• Definição: Um espaço vetorial real é um

conjunto V, não vazio, com duas operações:

soma, V X V → V, e multiplicação por escalar,

R X V → V, tais que, para quaisquer u, v, w ∈V

e a, b ∈ R, as seguintes propriedades sejam

satisfeitas:

Page 3: Alg aula04

Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected] 3

Espaços Vetoriais

• Propriedades:i) (u + v) + w = u + (v + w)ii) u + v = v + uiii) existe 0 ∈ V tal que u + 0 = u

• 0 é o vetor nulo

iv) Existe –u ∈ V tal que u + (-u) = 0v) a(u + v) = au + av, a escalarvi) (a + b)v = av + bv, a, b escalaresvii) (ab)v = a(bv)viii) 1.u = u

Page 4: Alg aula04

Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected] 4

Espaços Vetoriais

• Designamos por vetor um elemento do espaço vetorial

• Exemplo: V = M(2, 2) é o conjunto de matrizes 2x2

V é um espaço vetorial• Todas as propriedades anteriores são satisfeitas se a

adição é entendida como a adição de matrizes

Page 5: Alg aula04

Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected] 5

Espaços Vetoriais

• Exemplo: V = M(2, 2) - ProvaAxioma 1: (u + v) + w = u + (v + w)

( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( )wvu

wvu

++=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎤⎢⎣

⎡=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++++

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++++++++

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++++++++

=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎤⎢⎣

⎡++++

=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎤⎢⎣

⎡=++

2221

1211

2221

1211

2221

1211

22222121

12121111

2221

1211

222222212121

121212111111

222222212121

121212111111

2221

1211

22222121

12121111

2221

1211

2221

1211

2221

1211

wwww

vvvv

uuuu

wvwvwvwv

uuuu

wvuwvuwvuwvu

wvuwvuwvuwvu

wwww

vuvuvuvu

wwww

vvvv

uuuu

Page 6: Alg aula04

Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected] 6

Espaços Vetoriais

• Exemplo: V = M(2, 2) - Prova

11 12 11 12 11 12 11 12

21 22 21 22 21 22 21 22

u u v v v v u uu u v v v v u u⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

+ = + = + = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

u v v u

Operação vetorial genérica

Interpretação concreta

Axioma 2: u + v = v + u

Page 7: Alg aula04

Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected] 7

Espaços Vetoriais

• Exemplo: V = M(2, 2) - Prova

Axioma 3: Existe um elemento 0 em V, chamado um vetor nulopara V, tal que u + 0 = u para todo u em V.

u0uu

0

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎤⎢⎣

⎡=+∈∀

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡≡

2221

1211

2221

1211

0000

,

Então,.0000

Seja

uuuu

uuuu

V

Page 8: Alg aula04

Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected] 8

Espaços Vetoriais

• Exemplo: V = M(2, 2) - Prova

Axioma 4: Para todo u em V, há um objeto –u em V, chamado um oposto ou negativo ou simétrico de u, tal que u + (-u) = 0

( )

0

uuu

u

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎤⎢⎣

⎡−−−−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+−+−+−+

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−−

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=−+∈∀

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−−

≡−

0000

)()()()(

,

Então,. Seja

22222121

12121111

22222121

12121111

2221

1211

2221

1211

2221

1211

uuuuuuuu

uuuuuuuu

uuuu

uuuu

V

uuuu

Page 9: Alg aula04

Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected] 9

Espaços Vetoriais

• Exemplo: V = M(2, 2) - ProvaAxioma 5: k (u + v) = k u + k v

( )

( ) ( )( ) ( )

vu

vu

kkvkvkvkvk

ukukukuk

vkukvkukvkukvkuk

vukvukvukvuk

vuvuvuvu

k

vvvv

uuuu

kk

+=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎤⎢⎣

⎡++++

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++++

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++++

=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎤⎢⎣

⎡=+

2221

1211

2221

1211

22222121

12121111

22222121

12121111

22222121

12121111

2221

1211

2221

1211

Page 10: Alg aula04

Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected] 10

Espaços Vetoriais

• Exemplo: V = M(2, 2) - Prova

Axioma 6: (k + l ) u = k u + l u

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

uu

u

lkulululul

ukukukuk

ulukulukulukuluk

ulkulkulkulk

uuuu

lklk

+=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎤⎢⎣

⎡=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++++

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++++

=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=+

2221

1211

2221

1211

22222121

12121111

2221

1211

2221

1211

Page 11: Alg aula04

Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected] 11

Espaços Vetoriais

• Exemplo: V = M(2, 2) - ProvaAxioma 7: k (l u) = (k l ) (u)

( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )u

u

lkuuuu

lk

ulkulkulkulk

ulkulkulkulk

ulululul

k

uuuu

lklk

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎤⎢⎣

⎡=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2221

1211

2221

1211

2221

1211

2221

1211

2221

1211

Page 12: Alg aula04

Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected] 12

Espaços Vetoriais

• Exemplo: V = M(2, 2) - Prova

Axioma 8: 1u = u

uu =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎤⎢⎣

⎡=

2221

1211

2221

1211

2221

1211

1111

11uuuu

uuuu

uuuu

Page 13: Alg aula04

Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected] 13

Espaços Vetoriais

• Contra-Exemplo: Um conjunto que não é um espaço vetorial:

Seja u = (u1, v1) e v = (u2, v2)

Seja V = R2 e adição e multiplicação definidas como:• u + v = (u1 + u2, v1 + v2)

• k.u = (ku1, 0)

Nesse caso, o axioma 8 não vale, pois:• 1u = 1(u1, u2) = (u1, 0) ≠ u

Logo V não é um espaço vetorial

Page 14: Alg aula04

Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected] 14

Subespaços Vetoriais

• Definição: Dado um espaço vetorial V, um subconjunto W, não vazio, será um subespaço vetorial de V se:

i) Para quaisquer u, v ∈ W, tivermos u + v ∈ Wii) Para quaisquer a ∈ R, u ∈ W, tivermos au ∈ W

Page 15: Alg aula04

Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected] 15

Subespaços Vetoriais

• Observações:1) Ao operarmos em W (soma e multiplicação por escalar) não obteremos um vetor fora de W

Isso é suficiente para afirmar que W é ele mesmo um espaço vetorial, pois assim as operações ficam bem definidas

Assim, não precisamos verificar novamente as propriedades (i) a (viii) de espaço vetorial porque elas são válidas em V, que contém W

Page 16: Alg aula04

Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected] 16

Subespaços Vetoriais

• Observações:2) Qualquer subespaço W de V precisa necessariamente conter o vetor nulo (por causa da condição (ii) da definição quando a = 0)

3) Todo espaço vetorial admite, pelo menos, dois subespaços (que são chamados de subespaços triviais):

• O conjunto formado apenas pelo vetor nulo

• O próprio espaço vetorial

Page 17: Alg aula04

Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected] 17

Subespaços Vetoriais

• Exemplo 1: V = R3 e W ⊂ V, um plano passando pela origem

W

Observe que, se W não passasse pela origem, não seria um subespaço

Os únicos subespaços de R3 são a origem, as retas e planos que passam pela origem e o próprio R3

Page 18: Alg aula04

Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected] 18

Subespaços Vetoriais

• Exemplo 2: V = R5 e W = {(0,x2,x3,x4,x5); xi∈R}Isso é, W é o conjunto de vetores de R5 com a primeira coordenada nula

Vamos verificar as condições (i) e (ii):

(i):u = (0, x2, x3, x4, x5), v = (0, y2, y3, y4, y5) ∈ W

Então: u+v=(0, x2+y2, x3+y3, x4+y4, x5+y5) ∈ W

(ii) ku = (0, kx2, kx3, kx4, kx5) ∈ W

Portanto, W é subespaço vetorial de R5.

Page 19: Alg aula04

Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected] 19

Subespaços Vetoriais

• Teorema: Interseção de subespaçosDados W1 e W2 subespaços de um espaço vetorial V, a interseção W1 ∩ W2 ainda é um subespaço de V

• Observe que W1 ∩ W2 nunca é vazio já que eles sempre contêm, pelo menos, o vetor nulo

• Exemplo 1: V = R3, W1 ∩ W2 é a reta de interseção dos planos W1 e W2

W1

W2

Page 20: Alg aula04

Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected] 20

Subespaços Vetoriais

• Embora a interseção gere um subespaço vetorial, isso necessariamente não acontece com a união

• Teorema: Soma de subespaçosSejam W1 e W2 subespaços de um espaço vetorial V. Então o conjunto

• W1 + W2 = {v∈V; v=w1 + w2, w1∈W1, w2∈W2}é subespaço de V

• Exemplo 1: Se W1 e W2 são duas retas, W = W1+W2 é o plano que contém as retas

Page 21: Alg aula04

Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected] 21

Subespaços Vetoriais

• Quando W1 ∩ W2 = {0}, então W1 + W2 é

chamado soma direta de W1 com W2,

denotado por W1 ⊕ W2

Page 22: Alg aula04

Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected] 22

Combinação Linear

• Sejam V um espaço vetorial real, v1, v2, ..., vn∈V e a1, a2, ...,an números reais

• Então o vetorv = a1v1 + a2v2 + .... anvn

• é um elemento de V ao qual chamamos de combinação linear de v1, v2, ..., vn

Uma vez fixados vetores v1, v2, ..., vn em V, o conjunto W de todos os vetores de V que são combinação linear desse é um subespaço vetorial

• W é chamado de subespaço gerado por v1, v2, ..., vn

• W = [v1, v2, ..., vn]

Page 23: Alg aula04

Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected] 23

Combinação Linear

• Exemplo 1:V = R2, v1 = (1, 0), v2 = (0, 1)Logo, V = [v1, v2], pois dados v = (x, y)∈V, temos (x, y) = x(1, 0) + y(0, 1)

• Ou seja, v = x.v1 + y.v2

• Exemplo 2:

1 00 0

v1 = 0 10 0

v2 =

Então [v1, v2] = : a, b ∈ Ra b0 0

Page 24: Alg aula04

Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected] 24

Dependência e Independência Linear

• Definição: Sejam V um espaço vetorial e v1, v2, ..., vn ∈V. Dizemos que o conjunto {v1,v2, ...,vn} élinearmente independente (LI), ou que o vetores v1, v2, ..., vn são LI se a equação:

a1v1 + a2v2 + ... + anvn = 0implica que a1 = a2 = .... = an = 0

{v1,v2, ...,vn} é LD se, e somente se, um destes vetores for combinação linear dos outros.

• Se algum ai ≠ 0, dizemos que {v1,v2, ...,vn} élinearmente dependente (LD) ou que os vetores v1,v2, ...,vn são LD

Page 25: Alg aula04

Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected] 25

Dependência e Independência Linear

• Exemplo 1: V = R2, e1 = (1, 0) e e2 = (0, 1)• e1 e e2 são LI, pois

a1.e1 + a2.e2 = 0a1.(1, 0) + a2.(0, 1) = 0(a1, a2) = (0, 0)a1 = 0 e a2 = 0

• Exemplo 2: De modo análogo, para V =R3, e1= (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0) e e3 = (0, 0, 1) são LI

• Exemplo 3: V = R2

{(1, -1), (1, 0), (1, 1)} é LD pois:½.(1, -1) -1.(1, 0) + ½.(1, 1) = (0, 0)

Page 26: Alg aula04

Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected] 26

Base de um Espaço Vetorial

• Definição: Um conjunto {v1,v2, ...,vn} de

vetores de V será uma base de V se:

i) {v1,v2, ...,vn} é LI

ii) [v1,v2, ...,vn] é V

Esse conjunto gera todos os vetores de V.

Page 27: Alg aula04

Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected] 27

Base de um Espaço Vetorial

• Exemplo 1: V = R2, e1=(1,0) e e2=(0,1)• {e1, e2} é base de V, conhecida como base

canônica de R2

• O conjunto {(1,1),(0,1)} também é uma base de V = R2

De fato, se (0,0) = a(1,1) + b(0,1) = (a, a + b), então a = b = 0

• Assim, {(1, 1), (0, 1)} é LI

Ainda [(1, 1), (0, 1)] = V pois dado v = (x, y) ∈ V, temos: (x, y) = x(1, 1) + (y – x)(0, 1)Ou seja, todo vetor de R2 é uma combinação linear dos vetores (1,1) e (0,1)

Page 28: Alg aula04

Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected] 28

Base de um Espaço Vetorial

• Exemplo 2: {(0,1), (0,2)} não é base de R2, pois é um conjunto LD

Se (0,0) = a(0,1) + b(0,2), então a = -2b e a e b não são zero necessariamente

• Exemplo 3: {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} é uma base de R3

Base canônica de R3

i) {e1, e2, e3} é LIii) (x, y, z) = x.e1 + y.e2 + z.e3

• Exemplo 4: {(1,0,0), (0,1,0)} não é base de R3

É LI mas não gera todo R3

Page 29: Alg aula04

Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected] 29

Base de um Espaço Vetorial

• Teorema: Sejam v1,v2, ...,vn vetores não nulos que geram um espaço vetorial V. Então dentre esses vetores podemos extrair uma base de V.

Isso independe de v1,v2, ...,vn serem LD ou LI

• Teorema: Seja um espaço vetorial V gerado por um conjunto finito de vetores v1,v2,...,vn.

• Então, qualquer conjunto com mais de nvetores é necessariamente LD (e, portanto, qualquer conjunto LI tem no máximo n vetores)

Page 30: Alg aula04

Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected] 30

Base de um Espaço Vetorial

• Corolário: Qualquer base de um espaço vetorial tem sempre o mesmo número de elementos. Este número é chamado dimensão de V, e denotado por dim V

• Exemplo 1: V = R2: dim V = 2{(1,0), (0,1)} e {(1,1),(0,1)} são bases de V

• Exemplo 2: V = R3: dim V = 3• Exemplo 3: V = M(2, 2): dim V = 4

1 00 0

0 10 0

É umabase de V

0 01 0

0 00 1

Page 31: Alg aula04

Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected] 31

Base de um Espaço Vetorial

• Teorema: Qualquer conjunto de vetores LI de um espaço vetorial V de dimensão finita pode ser completado de modo a formar uma base de V

• Corolário: Se dim V = n, qualquer conjunto de n vetores LI formará uma base de V

• Teorema: Se U e W são subespaços de um espaço vetorial V que tem dimensão finita, então dim U ≤ dim V e dim W ≤ dim V. Além disso:

dim(U + W) = dim U + dim W – dim(U ∩ W)

Page 32: Alg aula04

Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected] 32

Base de um Espaço Vetorial

• Teorema: Dada uma base β = {v1,v2, ...,vn} de V, cada vetor de V é escrito de maneira única como combinação linear de v1, v2, ...,vn.

• Definição: Sejam β = {v1,v2, ...,vn} base de V e v ∈ V onde v = a1v1 +...+ anvn. Chamamos esses números ai de coordenadas de v em relação à base β e denotamos por:

[v]β = a1...an

Page 33: Alg aula04

Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected] 33

Base de um Espaço Vetorial

• Exemplo 1: V = R2

• β = {(1, 0), (0, 1)}• (4, 3) = 4.(1, 0) + 3.(0, 1)• Logo:

[(4, 3)]β = 4

3

Observe que os coeficientes são representados como elementos de uma matriz coluna.

Page 34: Alg aula04

Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected] 34

Base de um Espaço Vetorial

• Exemplo 2: V = R2

• β = {(1, 1), (0, 1)}• (4, 3) = x.(1, 1) + y.(0, 1) ⇒ x=4 e y=-1• Logo:

[(4, 3)]β = 4

-1

Page 35: Alg aula04

Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected] 35

Base de um Espaço Vetorial

• Exemplo 3: Observe que a ordem dos elementos de uma base influi na matriz das coordenadas de um vetor em relação à esta base

• V = R2

• β1 = {(1, 0), (0, 1)} e β2 = {(0, 1), (1, 0)}

[(4, 3)]β1 = 4

3[(4, 3)]β2 =

3

4

Page 36: Alg aula04

Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected]

Base de um Espaço Vetorial

• Exemplo 4: Considere:V = {(x, y, z): x + y – z = 0}W = {(x, y, z): x = y}Determine V + WV: x + y – z = 0 ⇒ z = x + y

• Base: (x, y, x + y) = x.(1, 0, 1) + y.(0, 1, 1)• Logo: Base = [(1, 0 , 1),(0, 1, 1)]

W: x = y• Base: (y, y, z) = y.(1, 1, 0) + z.(0, 0, 1)• Logo: Base = [(1, 1, 0), (0, 0, 1)]

36

cont…

Page 37: Alg aula04

Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected]

Base de um Espaço Vetorial

• Exemplo 4: (cont..)Como:V = [(1, 0, 1), (0, 1, 1)]W = [(1, 1, 0), (0, 0, 1)]Então V + W = [(1,0,1), (0,1,1), (1,1,0), (0,0,1)]Mas espera-se que o resultado esteja no R3, logo essa base deve ter algum elemento LD

37

cont…

Page 38: Alg aula04

Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected]

Base de um Espaço Vetorial

• Exemplo 4: (cont..)(x,y,z)=a(1,0,1)+b(0,1,1)+c(1,1,0)+d(0,0,1)

• x = a + c• y = b + c• z = a + b + d

38

cont…

1 0 1 0 x0 1 1 0 y1 1 0 1 z

Sistema:

Page 39: Alg aula04

Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected]

Base de um Espaço Vetorial

• Exemplo 4: (cont..)Solução:

• 2a + d = x – y + z• 2b + d = y – x + z• 2c – d = x + y – z• Se c = 0:

d = z – x – yb = ya = x

39

cont…

Claro, não é solução única jáque 4 vetores no R3 implica emalgum ser LD...

Page 40: Alg aula04

Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected]

Base de um Espaço Vetorial

• Exemplo 4: (cont..)(x,y,z)=a(1,0,1)+b(0,1,1)+c(1,1,0)+d(0,0,1)Logo, V + W = R3

dim R3 = dim V + dim W – dim(V∩W)V∩W = ??

40

cont…

Page 41: Alg aula04

Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected]

Base de um Espaço Vetorial

• Exemplo 4: (cont..)V∩W = {(x,y,z); x + y – z = 0 e x = y}

= {(x,y,z); x = y = z/2}= [(1, 1, 2)]

dim (V∩W) = 1dim R3 = dim V + dim W – dim(V∩W)dim R3 = 2 + 2 – 1 = 3

• Como esperado....

41

Page 42: Alg aula04

Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected]

Mudança de Base

• Sejam β={u1,...,un} e β’= {w1,...,wn} duas bases

ordenadas de um mesmo espaço vetorial V

• Dado o vetor v ∈V, podemos escrevê-lo como:

v = x1u1 + ... + xnun

v = y1w1 + ... + ynwn

(1)

42

Page 43: Alg aula04

Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected]

Mudança de Base

• Como podemos relacionar as coordenadas de v em relação à base β

• com as coordenadas do mesmo vetor v em relação à base β’

[v]β = x1…xn

[v]β’ = y1…yn

43

Page 44: Alg aula04

Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected]

Mudança de Base

• Já que {u1,...,un} é base de V, podemos escrever os vetores v e w como combinação linear dos uj, isto é:

w1 = a11u1 + a21u2 + ...+ an1un

w2 = a12u1 + a22u2 + ...+ an2un

......wn = a1nu1 + a2nu2 + ...+ annun

• Substituindo (2) em (1):v=y1w1+...+ynwn=y1(a11u1+...+an1un)+..+yn(a1nu1+...+annun)

= u1(a11y1+...+an1yn)+..+un(a1ny1+...+annyn)

44

(2)

Page 45: Alg aula04

Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected]

Mudança de Base

• Mas v = x1u1 + ... + xnun, e como as coordenadas em relação a uma base são únicas temos:x1 = a11y1 + ... + an1yn

.....xn = a1ny1 + ... + annyn

• Ou, em forma matricial

45

x1…xn

x1…xn

=a11 ... a1n… … …an1 … ann

Observe que as linhasviraram colunas!

Page 46: Alg aula04

Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected]

Mudança de Base

• Isso é denotado por:

• Temos:

46

=a11 ... a1n… … …an1 … ann

[ I ]ββ’

[v]β = [ I ] [v]β’ββ’

[ I ] ⇒ Matriz de mudança da base β’ para a base βββ’

Page 47: Alg aula04

Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected]

Mudança de Base

• Observe que, encontrando , podemos

encontrar as coordenadas de qualquer vetor v

em relação à base β, multiplicando a matriz

pelas coordenadas de v na base β’

47

[ I ]ββ’

Page 48: Alg aula04

Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected]

Mudança de Base

• Exemplo: Sejam β={(2,-1), (3,4)} e β’={(1,0),(0,1)} bases de R2:

w1 = (1,0) = a11(2,-1) + a21(3,4) = (2a11+ 3a21, -a11+ 4a21)⇒ 2a11+3a21 = 1 e -a11+4a21 = 0⇒ a11 = 4a21 ⇒ a21 = 1/11 e a11 = 4/11w2 = (0,1) = a12(2,-1) + a22(3,4) = (2a12+ 3a22, -a12+ 4a22)⇒ 2a12+3a22 = 0 e -a12+4a22 = 1⇒ a22 = 2/11 e a12 = -3/11

[ I ] = ?ββ’

48

Page 49: Alg aula04

Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected]

Mudança de Base

• Exemplo: (cont.)– Assim:

• w1 = (1,0) = (4/11)(2,-1) + (1/11)(3,4)• w2 = (0,1) = (-3/11)(2,-1) + (2/11)(3,4)

=4/11 -3/11

1/11 2/11[ I ]β

β’

49

Linhas tornam-secolunas!!!

Page 50: Alg aula04

Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected]

Mudança de Base

• Exemplo: (cont.) Podemos usar essa matriz para encontrar, por exemplo, [v]β para v = (5, -8)

[(5, -8)]β = [(5, -8)]β’

= =

[ I ]ββ’

50

4/11 -3/11

1/11 2/11

5

-8

4

-1

Isto é: (5, -8) = 4.(2, -1) + (-1).(3, 4)

Page 51: Alg aula04

Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected]

A Inversa da Matriz Mudança de Base

• Temos [v]β = [v]β

• Um fato importante é que e são

matrizes inversíveis:

( )-1 =

[ I ]ββ’

51

[ I ]β’β [ I ]β

β’

[ I ]ββ’ [ I ]β’

β

Page 52: Alg aula04

Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected]

A Inversa da Matriz Mudança de Base

• Exemplo:

Do exemplo anterior, vamos calcular a partir

de . Note que é fácil de ser

calculada pois β’ é a base canônica:• (2, -1) = 2.(1, 0) + (-1).(0, 1)

• (3, 4) = 3.(1, 0) + 4.(0, 1)

Assim: =

Então: = -1 =

[ I ]ββ’

52

[ I ]β’β

[ I ]ββ’

[ I ]β’β

[ I ]β’β

2 3-1 4

2 3-1 4

4/11 -3/11

1/11 2/11

Page 53: Alg aula04

Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected]

Espaço Vetorial

• Exercício 18: Considere o subespaço de R4 gerado pelos vetores v1 = (1,-1,0,0), v2=(0,0,1,1), v3=(-2,2,1,1) e v4=(1,0,0,0)

a) O vetor (2, -3, 2, 2) ∈ [v1,v2,v3,v4]?b) Exiba uma base para [v1,v2,v3,v4]? Qual sua dimensão?c) [v1,v2,v3,v4] = R4?

53

Page 54: Alg aula04

Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected]

Espaço Vetorial

• Exercício 18:– a) O vetor (2, -3, 2, 2) ∈ [v1,v2,v3,v4]?– Ou seja, existem a, b, c, d, tal que:

(2, -3, 2, 2) = a.(1,-1,0,0) + b.(0,0,1,1) +c.(-2,2,1,1) + d.(1,0,0,0)

54

Cont.

a – 2c + d = 2-a + 2c = -3b + c = 2b + c = 2

1 0 -2 1 2-1 0 2 0 -30 1 1 0 2

Page 55: Alg aula04

Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected]

Espaço Vetorial

• Exercício 18:– a) O vetor (2, -3, 2, 2) ∈ [v1,v2,v3,v4]?Solução: a = 3, b = 2, c = 0, d = -1Logo, como existe solução, o vetor pertence a

[v1,v2,v3,v4]

55

Cont.

Page 56: Alg aula04

Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected]

Espaço Vetorial

• Exercício 18:b) Exiba uma base para [v1,v2,v3,v4]? Qual sua dimensão?

56

Cont.

1 -1 0 00 0 1 1-2 2 1 11 0 0 0

1 0 0 00 1 0 00 0 1 10 0 0 0

Com isso, descobrimos que v4 é combinação linear dos outros vetores. Logo, a base é formada por [v1,v2,v3].

Page 57: Alg aula04

Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected]

Espaço Vetorial

• Exercício 18:b) Exiba uma base para [v1,v2,v3,v4]? Qual sua dimensão?

Base = [v1,v2,v3] ⇒ dim = 3c) [v1,v2,v3,v4] = R4?

Como dim Base = 3 e dim R4 = 4, então [v1,v2,v3,v4] ≠ R4

57

Cont.

Page 58: Alg aula04

Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected]

Espaço Vetorial

• Exercício 19: Considere o subespaço de R3 gerado pelos vetores v1=(1,1,0), v2=(0,-1,1) e v3=(1,1,1).

• [v1,v2,v3]=R3?

58

Page 59: Alg aula04

Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected]

Espaço Vetorial

• Exercício 19: Solução 1:Existem a, b, c tal que:

(x, y, z) = a.(1,1,0) + b.(0,-1,1) + c.(1,1,1)

59

Cont.

a + c = xa - b = yb + c = z

a = 2x – y - zb = x - yc = -x + y + z

Ou seja, há valores para a, b e c que podem gerar qualquer vetor no R3.

Page 60: Alg aula04

Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected]

Espaço Vetorial

• Exercício 19: Solução 2:Vamos tentar escalonar:

60

Cont.

1 1 00 -1 11 1 1

1 0 00 1 00 0 1

O que isso significa?Significa que, com esses vetores e operações lineares, conseguimos gerar a base canônica. Logo, podemos gerar todo o R3.

Page 61: Alg aula04

Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected] 61

Exercícios Sugeridos

• 2• 4• 6• 7• 8• 9• 11• 15• 25• 29

Page 62: Alg aula04

Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected]

A Seguir...

• Transformações Lineares

62