aula01 intro (1)
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Vibraçoes MecanicasTRANSCRIPT
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Vibraes Mecnicas
Vibraes MecnicasApresentao e Introduo
Ramiro Brito [email protected]
Departamento de Engenharia MecnicaUniversidade Federal de Pernambuco
2014.2
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Vibraes Mecnicas
Apresentao
Apresentao
Prof. Ramiro Brito Willmersdorf;[email protected];Sala F3, uma entrada antes do xerox do 2o andar;Tempo integral na universidade;Podem me procurar em qualquer horrio;
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Vibraes Mecnicas
Apresentao
Disciplina
60 horas, 30 aulas;Avaliao atravs de provas;Prova final cai tudo;2a chamada cai tudo;Solicitar 2a chamada formalmente, na escolaridade;http://rbw.willmersdorf.net/ramiro/arquivos/vibracoes
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Vibraes Mecnicas
Apresentao
Assuntos
FundamentosClassificaoElementosMovimento HarmnicoAnlise Harmnica
Vibrao LivreVibrao Excitada HarmonicamenteVibrao Forada GeralFrequncias Naturais e Modos de VibraoSistemas com 2 Graus de LiberdadeSistemas contnuosMtodos Numricos e Mtodos Aproximados
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Vibraes Mecnicas
Apresentao
Bibliografia
Mechanical Vibrations, Singiresu S. Rao, 5th Edition,Prentice-Hall, 2011.Fundamentals of Structural Dynamics, Roy Craig Jr., AndrewKurdila, 2nd Edition, John Wiley & Sons, 2006.Dynamics of Structures, Ray Clough, Joseph Penzien,McGraw-Hill, 1982.Livros de vibraes em portugusMaterial suplementarWolfram CDF Player http://www.wolfram.com/cdf-player/
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Vibraes Mecnicas
Fundamentos
Vibrao
Estudo de movimentos que repetem-se periodicamente (ou no).
Um sistema vibratrio contm:Um meio para armazenar energia potencial;Um meio para armazenar energia cintica;Mecanismo para dissipao de energia;
O movimento vibratrio/oscilatrio ocorre com a transferncia deenergia potencial para cintica, e vice-versa.
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Vibraes Mecnicas
Fundamentos
Vibrao
Estudo de movimentos que repetem-se periodicamente (ou no).
Um sistema vibratrio contm:Um meio para armazenar energia potencial;Um meio para armazenar energia cintica;Mecanismo para dissipao de energia;
O movimento vibratrio/oscilatrio ocorre com a transferncia deenergia potencial para cintica, e vice-versa.
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Vibraes Mecnicas
Fundamentos
Vibrao
Estudo de movimentos que repetem-se periodicamente (ou no).
Um sistema vibratrio contm:Um meio para armazenar energia potencial;Um meio para armazenar energia cintica;Mecanismo para dissipao de energia;
O movimento vibratrio/oscilatrio ocorre com a transferncia deenergia potencial para cintica, e vice-versa.
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Vibraes Mecnicas
Fundamentos
Sistema Vibratrio Exemplo
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Vibraes Mecnicas
Fundamentos
Nmero de Graus de Liberdade
Nmero mnimo de coordenada generalizadas necessrias paradescrever a configurao do sistema.
Sistemas com 1 grau de liberdade:
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Vibraes Mecnicas
Fundamentos
Nmero de Graus de Liberdade
Sistemas com 2 graus de liberdade:
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Vibraes Mecnicas
Fundamentos
Nmero de Graus de Liberdade
Sistemas com 3 graus de liberdade:
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Vibraes Mecnicas
Fundamentos
Sistemas Contnuos e Discretos
A maioria dos sistemas mecnicos reais necessita de um nmeroinfinito de graus de liberdade para sua descrio completa. Estesso sistemas contnuos
Um sistema que pode ser descrito por um nmero finito de grausde liberdade um sistema discreto.
Mtodos computacionais (MEF, MDF, etc.) normalmente gerammodelos discretos.
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Vibraes Mecnicas
Fundamentos
Sistemas Contnuos e Discretos
A maioria dos sistemas mecnicos reais necessita de um nmeroinfinito de graus de liberdade para sua descrio completa. Estesso sistemas contnuos
Um sistema que pode ser descrito por um nmero finito de grausde liberdade um sistema discreto.
Mtodos computacionais (MEF, MDF, etc.) normalmente gerammodelos discretos.
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Vibraes Mecnicas
Fundamentos
Sistemas Contnuos e Discretos
A maioria dos sistemas mecnicos reais necessita de um nmeroinfinito de graus de liberdade para sua descrio completa. Estesso sistemas contnuos
Um sistema que pode ser descrito por um nmero finito de grausde liberdade um sistema discreto.
Mtodos computacionais (MEF, MDF, etc.) normalmente gerammodelos discretos.
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Vibraes Mecnicas
Fundamentos
Classificao da Vibrao
Foras Externas
Vibrao Livre Aps uma perturbao inicial, no h mais aoexterna sobre o sistema. No h ao de foras sobreo sistema.
Vibrao Forada O sistema sofre ao de foras (peridicas ouno).
No caso de vibrao forada, possvel a ocorrncia de ressonncia.
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Vibraes Mecnicas
Fundamentos
Classificao da Vibrao
Foras Externas
Vibrao Livre Aps uma perturbao inicial, no h mais aoexterna sobre o sistema. No h ao de foras sobreo sistema.
Vibrao Forada O sistema sofre ao de foras (peridicas ouno).
No caso de vibrao forada, possvel a ocorrncia de ressonncia.
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Vibraes Mecnicas
Fundamentos
Classificao da Vibrao
Amortecimento
Vibrao Amortecida Existe um mecanismo de dissipao quetransforma energia mecnica em energia trmica, emum processo irreversvel. Pode ser atrito viscoso,seco, interno, etc.
Vibrao No Amortecida No h um mecanismo dissipativo, aenergia mecnica total conservada.
Na prtica, o amortecimento muitas vezes pode ser desprezado,exceto prximo ressonncia.
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Vibraes Mecnicas
Fundamentos
Classificao da Vibrao
Amortecimento
Vibrao Amortecida Existe um mecanismo de dissipao quetransforma energia mecnica em energia trmica, emum processo irreversvel. Pode ser atrito viscoso,seco, interno, etc.
Vibrao No Amortecida No h um mecanismo dissipativo, aenergia mecnica total conservada.
Na prtica, o amortecimento muitas vezes pode ser desprezado,exceto prximo ressonncia.
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Vibraes Mecnicas
Fundamentos
Classificao da Vibrao
Linearidade
Vibrao Linear Todas as relaes massa acelerao, rigidez deslocamento e amortecimento velocidade, solineares. Vale o princpio da superposio. Tcnicasrelativamente simples e bem conhecidas;
Vibrao No Linear Alguma das relaes constitutivas no linear. No vale o princpio da superposio. Tcnicasmenos bem determinadas.
As vezes uma soluo linearizada possvel.
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Vibraes Mecnicas
Fundamentos
Classificao da Vibrao
Linearidade
Vibrao Linear Todas as relaes massa acelerao, rigidez deslocamento e amortecimento velocidade, solineares. Vale o princpio da superposio. Tcnicasrelativamente simples e bem conhecidas;
Vibrao No Linear Alguma das relaes constitutivas no linear. No vale o princpio da superposio. Tcnicasmenos bem determinadas.
As vezes uma soluo linearizada possvel.
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Vibraes Mecnicas
Fundamentos
Classificao da Vibrao
Determinismo
Vibrao Determinstica Todas as propriedades mecnicas, relaesconstitutivas e foras so perfeitamente conhecidasem qualquer instante de tempo.
Vibrao No Determinstica Alguma das grandezas que descrevemo sistema, normalmente as foras de excitao, soconhecidas apenas de forma estocstica.No possvel prever o comportamento futuro,exceto atravs de estatsticas.Exemplos: terremotos, vento, ondas, estradas.
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Vibraes Mecnicas
Fundamentos
Classificao da Vibrao
Determinismo
Vibrao Determinstica Todas as propriedades mecnicas, relaesconstitutivas e foras so perfeitamente conhecidasem qualquer instante de tempo.
Vibrao No Determinstica Alguma das grandezas que descrevemo sistema, normalmente as foras de excitao, soconhecidas apenas de forma estocstica.No possvel prever o comportamento futuro,exceto atravs de estatsticas.Exemplos: terremotos, vento, ondas, estradas.
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Vibraes Mecnicas
Elementos Fsicos
Molas
Molas
Caractersticas:Elemento mecnico que produz uma fora em reao a umdeslocamento;Mecnicas (helicoidais, torcionais, pneumticas, etc.);Para molas lineares, F = x ;Energia de deformao: U =
x0 F dx ;
Para molas lineares, U = 12x2;
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Vibraes Mecnicas
Elementos Fsicos
Molas
Molas No Lineares
Qualquer relao diferente de F = x ;Normalmente, F (x) = (x)x ;Pequenas no linearidades usualmente so representadas pormolas cbicas: F (x) = ax + bx3, isto , (x) = a + bx2;
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Vibraes Mecnicas
Elementos Fsicos
Molas
Molas No Lineares
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Vibraes Mecnicas
Elementos Fsicos
Molas
Molas No Lineares
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Vibraes Mecnicas
Elementos Fsicos
Molas
Constante de Mola de Barras
Barra homognea de seo uniforme
= l
=
El
=FlAE
=F=
AEl
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Vibraes Mecnicas
Elementos Fsicos
Molas
Constante de Mola de Barras
Barra homognea de seo uniforme
= l
=
El
=FlAE
=F=
AEl
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Vibraes Mecnicas
Elementos Fsicos
Molas
Constante de Mola para Vigas em Balano
Barra homognea de seo uniforme
=Wl3
3EI =
W
=3EIl3
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Vibraes Mecnicas
Elementos Fsicos
Molas
Constante de Mola para Vigas em Balano
Barra homognea de seo uniforme
=Wl3
3EI =
W
=3EIl3
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Vibraes Mecnicas
Elementos Fsicos
Molas
Combinao de Molas
Molas em paralelo
W = 1st + 2st W = (1 + 2)st eq = 1 + 2
Generalizando: eq = 1 + 2 + + n.
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Vibraes Mecnicas
Elementos Fsicos
Molas
Combinao de Molas
Molas em paralelo
W = 1st + 2st W = (1 + 2)st eq = 1 + 2
Generalizando: eq = 1 + 2 + + n.
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Vibraes Mecnicas
Elementos Fsicos
Molas
Combinao de Molas
Molas em paralelo
W = 1st + 2st W = (1 + 2)st eq = 1 + 2
Generalizando: eq = 1 + 2 + + n.
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Vibraes Mecnicas
Elementos Fsicos
Molas
Combinao de Molas
Molas em paralelo
W = 1st + 2st W = (1 + 2)st eq = 1 + 2
Generalizando: eq = 1 + 2 + + n.
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Vibraes Mecnicas
Elementos Fsicos
Molas
Combinao de Molas
Molas em srie
st = 1 + 2
W = 11 = 22 = eqst
11 = 22 = eqst
1 =eqst1
2 =eqst2
eqst1
+eqst2
= st
1eq
=11
+12
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Vibraes Mecnicas
Elementos Fsicos
Molas
Combinao de Molas
Molas em srie
st = 1 + 2
W = 11 = 22 = eqst
11 = 22 = eqst
1 =eqst1
2 =eqst2
eqst1
+eqst2
= st
1eq
=11
+12
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Elementos Fsicos
Molas
Combinao de Molas
Molas em srie
st = 1 + 2
W = 11 = 22 = eqst
11 = 22 = eqst
1 =eqst1
2 =eqst2
eqst1
+eqst2
= st
1eq
=11
+12
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Elementos Fsicos
Molas
Combinao de Molas
Molas em srie
st = 1 + 2
W = 11 = 22 = eqst
11 = 22 = eqst
1 =eqst1
2 =eqst2
eqst1
+eqst2
= st
1eq
=11
+12
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Elementos Fsicos
Molas
Combinao de Molas
Molas em srie
st = 1 + 2
W = 11 = 22 = eqst
11 = 22 = eqst
1 =eqst1
2 =eqst2
eqst1
+eqst2
= st
1eq
=11
+12
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Elementos Fsicos
Molas
Combinao de Molas
Molas em srie
st = 1 + 2
W = 11 = 22 = eqst
11 = 22 = eqst
1 =eqst1
2 =eqst2
eqst1
+eqst2
= st
1eq
=11
+12
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Elementos Fsicos
Molas
Combinao de Molas
Molas em srie
Generalizando:
1eq
=11
+12
+ + 1n
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Vibraes Mecnicas
Elementos Fsicos
Molas
Combinao de Molas
Princpio Geral: sistema equivalente com mesma energia potencial.Exemplo (pequenos deslocamentos):
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Vibraes Mecnicas
Elementos Fsicos
Molas
Combinao de Molas
Por equilbrio:x1 = l1 sin x2 = l2 sin ,
pequenos deslocamentos
x1 = l1 x2 = l2,
equilbrio de momentos
1x1l1 + 2x2l2 = Fl ,
ouF = 1
x1l1l
+ 2x2l2l.
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Vibraes Mecnicas
Elementos Fsicos
Molas
Combinao de Molas
Por equilbrio:x1 = l1 sin x2 = l2 sin ,
pequenos deslocamentos
x1 = l1 x2 = l2,
equilbrio de momentos
1x1l1 + 2x2l2 = Fl ,
ouF = 1
x1l1l
+ 2x2l2l.
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Elementos Fsicos
Molas
Combinao de Molas
Por equilbrio:x1 = l1 sin x2 = l2 sin ,
pequenos deslocamentos
x1 = l1 x2 = l2,
equilbrio de momentos
1x1l1 + 2x2l2 = Fl ,
ouF = 1
x1l1l
+ 2x2l2l.
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Elementos Fsicos
Molas
Combinao de Molas
Por equilbrio:x1 = l1 sin x2 = l2 sin ,
pequenos deslocamentos
x1 = l1 x2 = l2,
equilbrio de momentos
1x1l1 + 2x2l2 = Fl ,
ouF = 1
x1l1l
+ 2x2l2l.
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Elementos Fsicos
Molas
Combinao de Molas
Continuando...
F = eqx = 1x1l1l
+ 2x2l2l
ex = l, x1 = l1, x2 = l2,
assim
eql = 1l21 l
+ 2l22 l
portanto
eq = 1
(l1l
)2+ 2
(l2l
)2
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Elementos Fsicos
Molas
Combinao de Molas
Continuando...
F = eqx = 1x1l1l
+ 2x2l2l
ex = l, x1 = l1, x2 = l2,
assim
eql = 1l21 l
+ 2l22 l
portanto
eq = 1
(l1l
)2+ 2
(l2l
)2
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Elementos Fsicos
Molas
Combinao de Molas
Continuando...
F = eqx = 1x1l1l
+ 2x2l2l
ex = l, x1 = l1, x2 = l2,
assim
eql = 1l21 l
+ 2l22 l
portanto
eq = 1
(l1l
)2+ 2
(l2l
)2
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Elementos Fsicos
Molas
Combinao de Molas
Continuando...
F = eqx = 1x1l1l
+ 2x2l2l
ex = l, x1 = l1, x2 = l2,
assim
eql = 1l21 l
+ 2l22 l
portanto
eq = 1
(l1l
)2+ 2
(l2l
)2
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Elementos Fsicos
Molas
Combinao de Molas
Por energia:Trabalho da fora F = Energia armazenada nas molas 1 e 2
Para pequenos deslocamentos:
12Fx =
12eqx2 =
121x21 +
122x22 ,
mas como xl=
x1l1
=x2l2,
temosx1 =
xl1l, x2 =
xl2l,
portanto
eq = 1
(l1l
)2+ 2
(l2l
)2.
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Elementos Fsicos
Molas
Combinao de Molas
Por energia:Trabalho da fora F = Energia armazenada nas molas 1 e 2
Para pequenos deslocamentos:
12Fx =
12eqx2 =
121x21 +
122x22 ,
mas como xl=
x1l1
=x2l2,
temosx1 =
xl1l, x2 =
xl2l,
portanto
eq = 1
(l1l
)2+ 2
(l2l
)2.
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Elementos Fsicos
Molas
Combinao de Molas
Por energia:Trabalho da fora F = Energia armazenada nas molas 1 e 2
Para pequenos deslocamentos:
12Fx =
12eqx2 =
121x21 +
122x22 ,
mas como xl=
x1l1
=x2l2,
temosx1 =
xl1l, x2 =
xl2l,
portanto
eq = 1
(l1l
)2+ 2
(l2l
)2.
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Vibraes Mecnicas
Elementos Fsicos
Molas
Combinao de Molas
Por energia:Trabalho da fora F = Energia armazenada nas molas 1 e 2
Para pequenos deslocamentos:
12Fx =
12eqx2 =
121x21 +
122x22 ,
mas como xl=
x1l1
=x2l2,
temosx1 =
xl1l, x2 =
xl2l,
portanto
eq = 1
(l1l
)2+ 2
(l2l
)2.
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Vibraes Mecnicas
Elementos Fsicos
Molas
Combinao de Molas
Por energia:Trabalho da fora F = Energia armazenada nas molas 1 e 2
Para pequenos deslocamentos:
12Fx =
12eqx2 =
121x21 +
122x22 ,
mas como xl=
x1l1
=x2l2,
temosx1 =
xl1l, x2 =
xl2l,
portanto
eq = 1
(l1l
)2+ 2
(l2l
)2.
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Vibraes Mecnicas
Elementos Fsicos
Inrcia
Massas
Consideradas corposrgidos, F = ma.O trabalho aplicado sobreuma massa armazenadona forma de energiacintica.Normalmente podem serconsideradas concentradas.
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Vibraes Mecnicas
Elementos Fsicos
Inrcia
Combinao de massas
Princpio geral: determinar um sistema equivalente com a mesmaenergia cintica.Exemplo 1: Determinar uma massa equivalente localizada em m1.
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Vibraes Mecnicas
Elementos Fsicos
Inrcia
Combinao de massas
Continuao...Para pequenos deslocamentos,
x2 =l2l1
x1, x3 =l3l1
x1, e xeq = x1.
Igualando as energias cinticas
12m1x21 +
12m2x22 +
12m3x23 =
12meqx2eq,
assim
meq = m1 + m2
(l2l1
)2+ m3
(l3l1
)2
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Vibraes Mecnicas
Elementos Fsicos
Inrcia
Combinao de massas
Continuao...Para pequenos deslocamentos,
x2 =l2l1
x1, x3 =l3l1
x1, e xeq = x1.
Igualando as energias cinticas
12m1x21 +
12m2x22 +
12m3x23 =
12meqx2eq,
assim
meq = m1 + m2
(l2l1
)2+ m3
(l3l1
)2
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Vibraes Mecnicas
Elementos Fsicos
Inrcia
Combinao de massas
Continuao...Para pequenos deslocamentos,
x2 =l2l1
x1, x3 =l3l1
x1, e xeq = x1.
Igualando as energias cinticas
12m1x21 +
12m2x22 +
12m3x23 =
12meqx2eq,
assim
meq = m1 + m2
(l2l1
)2+ m3
(l3l1
)2
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Vibraes Mecnicas
Elementos Fsicos
Inrcia
Combinao de massas
Exemplo 2: Acoplamento de inrcia rotacional e translacional.
A energia cintica do sistema
T =12mx2 +
12J02.
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Vibraes Mecnicas
Elementos Fsicos
Inrcia
Combinao de massas
Exemplo 2: Acoplamento de inrcia rotacional e translacional.
A energia cintica do sistema
T =12mx2 +
12J02.
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Vibraes Mecnicas
Elementos Fsicos
Inrcia
Combinao de massas
Continuando...Massa equivalente translacionalA energia cintica
Teq =12meqx2eq,
sabendo que
xeq = x , e =xR,
igualando as energias cinticas temos que
12meqx2 =
12mx2 +
12J0
(xR
)2,
portanto
meq = m +J0R2.
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Vibraes Mecnicas
Elementos Fsicos
Inrcia
Combinao de massas
Continuando...Massa equivalente translacionalA energia cintica
Teq =12meqx2eq,
sabendo que
xeq = x , e =xR,
igualando as energias cinticas temos que
12meqx2 =
12mx2 +
12J0
(xR
)2,
portanto
meq = m +J0R2.
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Vibraes Mecnicas
Elementos Fsicos
Inrcia
Combinao de massas
Continuando...Massa equivalente translacionalA energia cintica
Teq =12meqx2eq,
sabendo que
xeq = x , e =xR,
igualando as energias cinticas temos que
12meqx2 =
12mx2 +
12J0
(xR
)2,
portanto
meq = m +J0R2.
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Vibraes Mecnicas
Elementos Fsicos
Inrcia
Combinao de massas
Continuando...Massa equivalente translacionalA energia cintica
Teq =12meqx2eq,
sabendo que
xeq = x , e =xR,
igualando as energias cinticas temos que
12meqx2 =
12mx2 +
12J0
(xR
)2,
portanto
meq = m +J0R2.
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Vibraes Mecnicas
Elementos Fsicos
Inrcia
Combinao de massas
Continuando...Massa equivalente rotacionalA energia cintica
Teq =12Jeq2eq,
sabendo queeq = , e x = R ,
igualando as energias cinticas temos que
12Jeq2eq =
12m(R )2 +
12J02,
portantoJeq = J0 + mR2.
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Vibraes Mecnicas
Elementos Fsicos
Inrcia
Combinao de massas
Continuando...Massa equivalente rotacionalA energia cintica
Teq =12Jeq2eq,
sabendo queeq = , e x = R ,
igualando as energias cinticas temos que
12Jeq2eq =
12m(R )2 +
12J02,
portantoJeq = J0 + mR2.
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Vibraes Mecnicas
Elementos Fsicos
Inrcia
Combinao de massas
Continuando...Massa equivalente rotacionalA energia cintica
Teq =12Jeq2eq,
sabendo queeq = , e x = R ,
igualando as energias cinticas temos que
12Jeq2eq =
12m(R )2 +
12J02,
portantoJeq = J0 + mR2.
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Vibraes Mecnicas
Elementos Fsicos
Inrcia
Combinao de massas
Continuando...Massa equivalente rotacionalA energia cintica
Teq =12Jeq2eq,
sabendo queeq = , e x = R ,
igualando as energias cinticas temos que
12Jeq2eq =
12m(R )2 +
12J02,
portantoJeq = J0 + mR2.
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Vibraes Mecnicas
Elementos Fsicos
Amortecimento
Amortecimento
Nos sistemas vibratrios reais, a energia mecnica transformada em calor ou som.As amplitudes de vibrao diminuem progressivamente, nocaso de vibrao livre.O efeito do amortecimento particularmente importanteprximo ressonncia, pois o fenmeno que limita aamplitude.Nos modelos simplificados, os amortecedores no tem massanem elasticidade.S existe amortecimento quando h velocidade relativa entreas extremidades do amortecedor.Trs tipos: viscoso, seco ou de material.
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Vibraes Mecnicas
Elementos Fsicos
Amortecimento
Mecanismos de Amortecimento
ViscosoMecanismo mais comum na anlise de vibraes.Cisalhamento entre camadas fluidas adjacentes.Normalmente a fora resistente tomada como proporcional velocidade relativa.
SecoOu Mohr-Coulomb.Fora de atrito constante.Mecanismo no linear e complexo.
de MaterialOu Slido ou Amortecimento Histertico.Resulta do no retorno de toda a energia elstica armazenadana compresso de um materialMecanismo no linear e complexo.Caracterizado por um lao de histerese.
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Vibraes Mecnicas
Elementos Fsicos
Amortecimento
Mecanismos de Amortecimento
ViscosoMecanismo mais comum na anlise de vibraes.Cisalhamento entre camadas fluidas adjacentes.Normalmente a fora resistente tomada como proporcional velocidade relativa.
SecoOu Mohr-Coulomb.Fora de atrito constante.Mecanismo no linear e complexo.
de MaterialOu Slido ou Amortecimento Histertico.Resulta do no retorno de toda a energia elstica armazenadana compresso de um materialMecanismo no linear e complexo.Caracterizado por um lao de histerese.
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Vibraes Mecnicas
Elementos Fsicos
Amortecimento
Mecanismos de Amortecimento
ViscosoMecanismo mais comum na anlise de vibraes.Cisalhamento entre camadas fluidas adjacentes.Normalmente a fora resistente tomada como proporcional velocidade relativa.
SecoOu Mohr-Coulomb.Fora de atrito constante.Mecanismo no linear e complexo.
de MaterialOu Slido ou Amortecimento Histertico.Resulta do no retorno de toda a energia elstica armazenadana compresso de um materialMecanismo no linear e complexo.Caracterizado por um lao de histerese.
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Vibraes Mecnicas
Elementos Fsicos
Amortecimento
Lao de Histerese
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Vibraes Mecnicas
Elementos Fsicos
Amortecimento
Combinao de Amortecedores
Procedimento anlogo combinao de molas.Para pequenos deslocamentos (problemas lineares) as relaesso as mesmas.Amortecedores em paralelo:
ceq = c1 + c2
Amortecedores em srie:
1ceq
=1c1
+1c2
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Vibraes Mecnicas
Movimento Harmnico
Movimento Harmnico
Se o movimento se repete em intervalos constantes de tempoo movimento peridico.O tipo de movimento peridico mais simples e til na prtica o movimento harmnico.
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Vibraes Mecnicas
Movimento Harmnico
Movimento Harmnico Exemplo
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Vibraes Mecnicas
Movimento Harmnico
Movimento Harmnico Exemplo
Deslocamento vertical
x = A sin = A sint
Velocidade vertical
x =dxdt
= A cost
Acelerao vertical
x =d2xdt2
= 2A sint = 2x
-
Vibraes Mecnicas
Movimento Harmnico
Movimento Harmnico Exemplo
Deslocamento vertical
x = A sin = A sint
Velocidade vertical
x =dxdt
= A cost
Acelerao vertical
x =d2xdt2
= 2A sint = 2x
-
Vibraes Mecnicas
Movimento Harmnico
Movimento Harmnico Exemplo
Deslocamento vertical
x = A sin = A sint
Velocidade vertical
x =dxdt
= A cost
Acelerao vertical
x =d2xdt2
= 2A sint = 2x
-
Vibraes Mecnicas
Movimento Harmnico
Representao Vetorial
Representao Vetorial do Movimento Harmnico
Consideramos um vetor comcomprimento A girando comvelocidade angular contante, e tomamos as projees desua extremidade.Projeo vertical:
y = A sint
Projeo horizontal:
x = A cost
-
Vibraes Mecnicas
Movimento Harmnico
Representao Vetorial
Representao Vetorial do Movimento Harmnico
Consideramos um vetor comcomprimento A girando comvelocidade angular contante, e tomamos as projees desua extremidade.Projeo vertical:
y = A sint
Projeo horizontal:
x = A cost
-
Vibraes Mecnicas
Movimento Harmnico
Representao Vetorial
Representao Vetorial do Movimento Harmnico
Consideramos um vetor comcomprimento A girando comvelocidade angular contante, e tomamos as projees desua extremidade.Projeo vertical:
y = A sint
Projeo horizontal:
x = A cost
-
Vibraes Mecnicas
Movimento Harmnico
Representao Complexa
Representao com Nmeros Complexos
Nmero complexo:
~X = a + ib
ondei =1
ou vetor no plano complexo
~X = A cos + iA sin
comA = (a2 + b2)
12
e = tan1
ba.
-
Vibraes Mecnicas
Movimento Harmnico
Representao Complexa
Representao com Nmeros Complexos
Nmero complexo:
~X = a + ib
ondei =1
ou vetor no plano complexo
~X = A cos + iA sin
comA = (a2 + b2)
12
e = tan1
ba.
-
Vibraes Mecnicas
Movimento Harmnico
Representao Complexa
Representao com Nmeros Complexos
Nmero complexo:
~X = a + ib
ondei =1
ou vetor no plano complexo
~X = A cos + iA sin
comA = (a2 + b2)
12
e = tan1
ba.
-
Vibraes Mecnicas
Movimento Harmnico
Representao Complexa
Representao com Nmeros Complexos
Lembrando que:
i2 = 1, i3 = i , i4 = 1, i5 = i , . . . ,
cos = 1 2
2!+4
4! = 1+ (i)
2
2!+
(i)4
4!+ e
i sin = i[
3
3!+5
5!
]= i +
(i)3
3!+
(i)5
5!+ .
Somando as duas expresses:
cos + i sin = 1+ i +(i)2
2!+
(i)3
3!+
(i)4
4!+
(i)5
5!+ ,
-
Vibraes Mecnicas
Movimento Harmnico
Representao Complexa
Representao com Nmeros Complexos
Lembrando que:
i2 = 1, i3 = i , i4 = 1, i5 = i , . . . ,
cos = 1 2
2!+4
4! = 1+ (i)
2
2!+
(i)4
4!+ e
i sin = i[
3
3!+5
5!
]= i +
(i)3
3!+
(i)5
5!+ .
Somando as duas expresses:
cos + i sin = 1+ i +(i)2
2!+
(i)3
3!+
(i)4
4!+
(i)5
5!+ ,
-
Vibraes Mecnicas
Movimento Harmnico
Representao Complexa
Representao com Nmeros Complexos
Lembrando que:
i2 = 1, i3 = i , i4 = 1, i5 = i , . . . ,
cos = 1 2
2!+4
4! = 1+ (i)
2
2!+
(i)4
4!+ e
i sin = i[
3
3!+5
5!
]= i +
(i)3
3!+
(i)5
5!+ .
Somando as duas expresses:
cos + i sin = 1+ i +(i)2
2!+
(i)3
3!+
(i)4
4!+
(i)5
5!+ ,
-
Vibraes Mecnicas
Movimento Harmnico
Representao Complexa
Representao com Nmeros Complexos
Lembrando que:
i2 = 1, i3 = i , i4 = 1, i5 = i , . . . ,
cos = 1 2
2!+4
4! = 1+ (i)
2
2!+
(i)4
4!+ e
i sin = i[
3
3!+5
5!
]= i +
(i)3
3!+
(i)5
5!+ .
Somando as duas expresses:
cos + i sin = 1+ i +(i)2
2!+
(i)3
3!+
(i)4
4!+
(i)5
5!+ ,
-
Vibraes Mecnicas
Movimento Harmnico
Representao Complexa
Representao com Nmeros Complexos
mas,
ex = 1+ x +x2
2!+
x3
3!+
x4
4!+
x5
5!+ ,
assimcos + i sin = e i.
Como consequncia:
~X = A(cos + i sin ) = Ae i.
-
Vibraes Mecnicas
Movimento Harmnico
Representao Complexa
Representao com Nmeros Complexos
mas,
ex = 1+ x +x2
2!+
x3
3!+
x4
4!+
x5
5!+ ,
assimcos + i sin = e i.
Como consequncia:
~X = A(cos + i sin ) = Ae i.
-
Vibraes Mecnicas
Movimento Harmnico
Representao Complexa
Representao com Nmeros Complexos
mas,
ex = 1+ x +x2
2!+
x3
3!+
x4
4!+
x5
5!+ ,
assimcos + i sin = e i.
Como consequncia:
~X = A(cos + i sin ) = Ae i.
-
Vibraes Mecnicas
Movimento Harmnico
Representao Complexa
Operaes com a Representao Complexa
Como~X = Ae it ,
~X = iAe it = i~X ,
e~X = 2Ae it = 2~X .
~X um nmero complexo!
-
Vibraes Mecnicas
Movimento Harmnico
Representao Complexa
Operaes com a Representao Complexa
Como~X = Ae it ,
~X = iAe it = i~X ,
e~X = 2Ae it = 2~X .
~X um nmero complexo!
-
Vibraes Mecnicas
Movimento Harmnico
Representao Complexa
Operaes com a Representao Complexa
Como~X = Ae it ,
~X = iAe it = i~X ,
e~X = 2Ae it = 2~X .
~X um nmero complexo!
-
Vibraes Mecnicas
Movimento Harmnico
Representao Complexa
Operaes com a Representao Complexa
Como~X = Ae it ,
~X = iAe it = i~X ,
e~X = 2Ae it = 2~X .
~X um nmero complexo!
-
Vibraes Mecnicas
Movimento Harmnico
Representao Complexa
Operaes com a Representao Complexa
Tomando as partes reais:Deslocamento:
Re[Ae it ] = Re[A(cost + i sint)] = A cost
Velocidade:
Re[iAe it ] = Re[iA(cost + i sint)] = Re[A(i cost sint)]= A sint
Acelerao:
Re[2Ae it ] = Re[2A(cost + i sint)] = 2A cost
-
Vibraes Mecnicas
Movimento Harmnico
Representao Complexa
Operaes com a Representao Complexa
Tomando as partes reais:Deslocamento:
Re[Ae it ] = Re[A(cost + i sint)] = A cost
Velocidade:
Re[iAe it ] = Re[iA(cost + i sint)] = Re[A(i cost sint)]= A sint
Acelerao:
Re[2Ae it ] = Re[2A(cost + i sint)] = 2A cost
-
Vibraes Mecnicas
Movimento Harmnico
Representao Complexa
Operaes com a Representao Complexa
Tomando as partes reais:Deslocamento:
Re[Ae it ] = Re[A(cost + i sint)] = A cost
Velocidade:
Re[iAe it ] = Re[iA(cost + i sint)] = Re[A(i cost sint)]= A sint
Acelerao:
Re[2Ae it ] = Re[2A(cost + i sint)] = 2A cost
-
Vibraes Mecnicas
Movimento Harmnico
Representao Complexa
Adio Vetorial da Representao Complexa
~X1(t) = A1e it , ~X2(t) = A2e it+
A =
(A1 + A2 cos )2 + (A2 sin )2, = arctan(
A2 sin A1 + A2 cos
)
-
Vibraes Mecnicas
Movimento Harmnico
Representao Complexa
Adio Vetorial da Representao Complexa
~X1(t) = A1e it , ~X2(t) = A2e it+
A =(A1 + A2 cos )2 + (A2 sin )2, = arctan
(A2 sin
A1 + A2 cos
)
-
Vibraes Mecnicas
Movimento Harmnico
Adio de Funes Harmnicas
Adio via Trigonometria
Se a frequncia igual:~X1(t) = A1 cos(t), ~X2(t) = A2 cos(t + )
~X1(t) + ~X2(t) = A1 cos(t) + A2 cos(t + )= A1 cos(t) + A2 (cos(t) cos() sin(t) sin())= cos(t)(A1 + A2 cos()) sin(t)(A2 sin())
Definindo
A cos() = A1 + A2 cos(), A sin() = A2 sin()
~X1(t) + ~X2(t) = A (cos(t) cos() sin(t) sin())= A cos(t + )
-
Vibraes Mecnicas
Movimento Harmnico
Adio de Funes Harmnicas
Adio via Trigonometria
Se a frequncia igual:~X1(t) = A1 cos(t), ~X2(t) = A2 cos(t + )
~X1(t) + ~X2(t) = A1 cos(t) + A2 cos(t + )= A1 cos(t) + A2 (cos(t) cos() sin(t) sin())= cos(t)(A1 + A2 cos()) sin(t)(A2 sin())
Definindo
A cos() = A1 + A2 cos(), A sin() = A2 sin()
~X1(t) + ~X2(t) = A (cos(t) cos() sin(t) sin())= A cos(t + )
-
Vibraes Mecnicas
Movimento Harmnico
Adio de Funes Harmnicas
Adio via Trigonometria
Se a frequncia igual:~X1(t) = A1 cos(t), ~X2(t) = A2 cos(t + )
~X1(t) + ~X2(t) = A1 cos(t) + A2 cos(t + )= A1 cos(t) + A2 (cos(t) cos() sin(t) sin())= cos(t)(A1 + A2 cos()) sin(t)(A2 sin())
Definindo
A cos() = A1 + A2 cos(), A sin() = A2 sin()
~X1(t) + ~X2(t) = A (cos(t) cos() sin(t) sin())= A cos(t + )
-
Vibraes Mecnicas
Movimento Harmnico
Adio de Funes Harmnicas
Adio via Trigonometria
Se a frequncia igual:~X1(t) = A1 cos(t), ~X2(t) = A2 cos(t + )
~X1(t) + ~X2(t) = A1 cos(t) + A2 cos(t + )= A1 cos(t) + A2 (cos(t) cos() sin(t) sin())= cos(t)(A1 + A2 cos()) sin(t)(A2 sin())
Definindo
A cos() = A1 + A2 cos(), A sin() = A2 sin()
~X1(t) + ~X2(t) = A (cos(t) cos() sin(t) sin())= A cos(t + )
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Vibraes Mecnicas
Movimento Harmnico
Adio de Funes Harmnicas
Adio via Trigonometria
Se a frequncia igual:~X1(t) = A1 cos(t), ~X2(t) = A2 cos(t + )
~X1(t) + ~X2(t) = A1 cos(t) + A2 cos(t + )= A1 cos(t) + A2 (cos(t) cos() sin(t) sin())= cos(t)(A1 + A2 cos()) sin(t)(A2 sin())
Definindo
A cos() = A1 + A2 cos(), A sin() = A2 sin()
~X1(t) + ~X2(t) = A (cos(t) cos() sin(t) sin())= A cos(t + )
-
Vibraes Mecnicas
Movimento Harmnico
Adio de Funes Harmnicas
Adio via Trigonometria
Claramente,
A =
(A1 + A2 cos())2 + A2 sin()2
etan() =
A2 sin()A1 + A2 cos()
A soma de duas funes harmnicas de mesma frequncia umafuno harmnica com a mesma frequncia, defasada.
-
Vibraes Mecnicas
Movimento Harmnico
Adio de Funes Harmnicas
Adio via Trigonometria
Claramente,
A =
(A1 + A2 cos())2 + A2 sin()2
etan() =
A2 sin()A1 + A2 cos()
A soma de duas funes harmnicas de mesma frequncia umafuno harmnica com a mesma frequncia, defasada.
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Vibraes Mecnicas
Terminologia
Definies Importantes
Ciclo Um perodo completo de movimento do corpo.Amplitude O mximo deslocamento do corpo em relao
posio de equilbrio.Perodo O tempo necessrio para completar um ciclo.
=2
a frequncia circular (em rad/s).Frequncia Nmero de ciclos por unidade de tempo (em Hertz).
f =1=
2
-
Vibraes Mecnicas
Terminologia
Definies Importantes
ngulo de Fase Distncia angular entre dois movimentosvibratrios.
x1 = A1e it
x2 = A2e it+
Frequncia Natural Frequncia em que um sistema com 1 grau deliberdade oscila em vibrao livre a partir de umdeslocamento inicial.
Oitava Faixa de frequncias na qual o limite superior odobro do limite inferior, eg, 200-400 Hz.
-
Vibraes Mecnicas
Terminologia
Decibel
Em eletricidade, acstica e vibraes, normal medir-se grandezascom uma grande faixa de variao. O decibel usado para criaruma escala logaritmica para estas grandezas.Por definio:
dB = 10 log(
PP0
)onde P0 uma potncia de referncia.
Como a potncia eltrica proporcional ao quadrado da voltagem,
dB = 10 log(
XX0
)2= 20 log
(XX0
)onde X0 uma potncia de referncia.
-
Vibraes Mecnicas
Terminologia
Decibel
Em eletricidade, acstica e vibraes, normal medir-se grandezascom uma grande faixa de variao. O decibel usado para criaruma escala logaritmica para estas grandezas.Por definio:
dB = 10 log(
PP0
)onde P0 uma potncia de referncia.
Como a potncia eltrica proporcional ao quadrado da voltagem,
dB = 10 log(
XX0
)2= 20 log
(XX0
)onde X0 uma potncia de referncia.
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Vibraes Mecnicas
Terminologia
Batimento
Quando duas funes harmnicas com frequncias prximas sosomadas, uma coisa curiosa acontece:
x1 = X costx2 = X cos( + )t,
-
Vibraes Mecnicas
Terminologia
Batimento
Quando duas funes harmnicas com frequncias prximas sosomadas, uma coisa curiosa acontece:
x1 = X costx2 = X cos( + )t,
-
Vibraes Mecnicas
Terminologia
Batimento
Quando duas funes harmnicas com frequncias prximas sosomadas, uma coisa curiosa acontece:
x1 = X costx2 = X cos( + )t,
-
Vibraes Mecnicas
Terminologia
Batimento
Quando duas funes harmnicas com frequncias prximas sosomadas, uma coisa curiosa acontece:
x1 = X costx2 = X cos( + )t,
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Vibraes Mecnicas
Terminologia
Batimento
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Vibraes Mecnicas
Anlise Harmnica
Anlise Harmnica
Muitos sistemas fsicos interessantes tem movimentos peridicosporem no harmnicos.
Uma maneira de simplificar o problema usar a Srie de Fourier dafuno peridica.
-
Vibraes Mecnicas
Anlise Harmnica
Sries de Fourier
Sries de Fourier
Para x(t) peridica com perodo , a srie de Fourier da funo dada por:
x(t) =a02
+ a1 cost + a2 cos 2t +
+ b1 sint + b2 sin 2t +
ou
x(t) =a02
+
n=1
(an cos nt + bn sin nt)
-
Vibraes Mecnicas
Anlise Harmnica
Sries de Fourier
Sries de Fourier
Para x(t) peridica com perodo , a srie de Fourier da funo dada por:
x(t) =a02
+ a1 cost + a2 cos 2t +
+ b1 sint + b2 sin 2t +
ou
x(t) =a02
+
n=1
(an cos nt + bn sin nt)
-
Vibraes Mecnicas
Anlise Harmnica
Sries de Fourier
Clculo de Coeficientes
Da ortogonalidade das funes trigonomtricas:
a0 =
2
0x(t) dt =
2
0
x(t) dt
an =
2
0x(t) cos nt dt =
2
0
x(t) cos nt dt
bn =
2
0x(t) sin nt dt =
2
0
x(t) sin nt dt
-
Vibraes Mecnicas
Anlise Harmnica
Sries de Fourier
Clculo de Coeficientes
Da ortogonalidade das funes trigonomtricas:
a0 =
2
0x(t) dt =
2
0
x(t) dt
an =
2
0x(t) cos nt dt =
2
0
x(t) cos nt dt
bn =
2
0x(t) sin nt dt =
2
0
x(t) sin nt dt
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Vibraes Mecnicas
Anlise Harmnica
Sries de Fourier
Clculo de Coeficientes
Da ortogonalidade das funes trigonomtricas:
a0 =
2
0x(t) dt =
2
0
x(t) dt
an =
2
0x(t) cos nt dt =
2
0
x(t) cos nt dt
bn =
2
0x(t) sin nt dt =
2
0
x(t) sin nt dt
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Vibraes Mecnicas
Anlise Harmnica
Sries de Fourier
Fenmeno de Gibbs
-
Vibraes Mecnicas
Anlise Harmnica
Domnios do tempo e frequncia
Espectro de Frequncias
As funes harmnicas
an cos nt e bn sinn t
so harmnicas de ordem n de x(t).Estas harmnicas tem perodo n .
Plotando as amplitudes destas funes em funo da frequncia,temos o espectro de frequncias.
-
Vibraes Mecnicas
Anlise Harmnica
Domnios do tempo e frequncia
Espectro de Frequncias
As funes harmnicas
an cos nt e bn sinn t
so harmnicas de ordem n de x(t).Estas harmnicas tem perodo n .
Plotando as amplitudes destas funes em funo da frequncia,temos o espectro de frequncias.
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Vibraes Mecnicas
Anlise Harmnica
Domnios do tempo e frequncia
Espectro de Frequncias
As funes harmnicas
an cos nt e bn sinn t
so harmnicas de ordem n de x(t).Estas harmnicas tem perodo n .
Plotando as amplitudes destas funes em funo da frequncia,temos o espectro de frequncias.
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Vibraes Mecnicas
Anlise Harmnica
Domnios do tempo e frequncia
Representao nos Domnios do Tempo e Frequncia
ApresentaoFundamentosClassificao da Vibrao
Elementos FsicosMolasInrciaAmortecimento
Movimento HarmnicoRepresentao VetorialRepresentao ComplexaAdio de Funes HarmnicasAdio de Funes Harmnicas
TerminologiaAnlise HarmnicaSries de FourierDomnios do tempo e frequncia