aula - operações com matrizes
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5/17/2018 Aula - Opera es com Matrizes - slidepdf.com
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Matrizes – Operações
Professor: Filipe Lemos, Liceu de Barbalha - CE Aula 5 e 6
Adição
A operação de adição é realizada entre matrizes de mesma ordem somando-se os elementos
de mesma posição das matrizes envolvidas na operação. Por exemplo, se temos a soma de
duas matrizes A e B, ambas de ordem dois por três, então a matriz soma S é formada pelos
elementos: s11 = a11+b11; s12 = a12+b12; s13 = a13+b13; s21 = a21+b21; s22 = a22+b22 e s23 = a23+b23. Erepresentamos:
Exemplos: Dadas as matrizes observe as adições.
a. A + B
b. A + C
c. B + C
d. A + B + C
Resolução alternativa a:
Resolução alternativa b:
Resolução alternativa c:
Resolução alternativa d:
Matriz Oposta
Definimos uma matriz como oposta a uma matriz dada, a matriz que todos os elementos de
mesma posição forem simétricos aos respectivos elementos da matriz dada. Representamos a
matriz oposta com o mesmo símbolo da matriz dada depois um “sinal de menos”. Assim se
definimos uma matriz A, a sua oposta é representada pela matriz –A, e seus elementos são:
Exemplos: Encontre as matrizes opostas às matrizes do exemplo da operação adição.
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Matrizes – Operações
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Subtração
A operação de subtração tem a mesma definição da adição, ou seja, subtraímos os elementos
de mesma posição; na realidade, a subtração é a junção da adição com a definição de matriz
oposta, pois a subtração de duas matrizes se resume numa adição da primeira com a oposta
da segunda matriz. Observe:
Perceba que pela manipulação utilizada partimos da subtração entre as matrizes A e B, econcluímos que esta equivale à adição da matriz oposta de B à matriz A.
Exemplos: Ainda usando as matrizes do exemplo da Adição opere a subtrações.
a. A - B
b. A - C
c. B - C
d. A - B - C
Resolução alternativa a:
Resolução alternativa b:
Resolução alternativa c:
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Resolução alternativa d:
Multiplicação de um Número Real por uma Matriz
Esta operação equivale à soma sucessiva da mesma matriz quantas vezes o valor multiplicativo
indicar, por isso, aplica-se a definição de multiplicação a cada elemento da matriz em questão.
Assim o produto de k pela matriz A, temos que cada elemento a ij será multiplicado por k.
Segue a representação:
Exemplo: Dada a matriz abaixo faça o produto dos números seguintes números: 2,
2,5 e -3.
Resolução 1:
Resolução 2:
Resolução 3:
Multiplicação entre matrizes
Para compreendermos o conceito de multiplicação entre matrizes vamos usar um exemplo
prático.
DOCES
Goma Bala
X 5 8
Y 3 2
Z 4 7
Essa tabela pode ser representada pela matriz que podemos chamar de:
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Agora, suponha que sejam fabricados 50 doces do tipo A e 20 doces do tipo B, por dia,. Essa
quantidade de doces pode ser representada pela matriz coluna:
Se quisermos determinar a quantidade de ingredientes X, Y e Z utilizada por dia, devemos
proceder da seguinte forma:
Ingrediente X: 5 . 50 + 8 . 20 = 410
Ingrediente Y: 3 . 50 + 2 . 20 = 190
Ingrediente Z: 4 . 50 + 7 . 20 = 340
Essas quantidades podem ser representadas pela matriz:
Podemos obter a matriz C, denominada matriz produto de A por B, da seguinte forma:
Cada elemento da matriz C é a soma dos produtos ordenados de uma linha da matriz a pela
coluna da matriz B, isto é:
410 = 5 . 50 +8 . 20
190 = 3 . 50 + 2 . 20
340 = 4 . 50 + 7 . 20
Observe que a multiplicação de matrizes só e possível quando o número de colunas da 1ª
matriz é igual ao número de linhas da 2ª matriz.
Definição: Dada uma matriz A=(aij)m x n e uma matriz B=(b jk)n x p, denomina-se produto de a por
B a matriz C=(cik)m x p, tal que o elemento cik é a soma dos produtos da i-ésima linha
de A pelos elementos correspondentes da j-ésima coluna de B.
Exemplo 1: Multiplique as seguintes matrizes.
a.
b.
c.
d.
Resolução alternativa a:
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Resolução alternativa b:
Resolução alternativa c:
Resolução alternativa d:
Exemplo 2: Resolva a equação matricial abaixo.
Resolução: