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Unidade 1.1 – Matrizes: Conceitos e Operações

Definição de Matrizes

Matriz: Tabela de elementos dispostos em linhas e colunas.

Amxn =

a a a

a a a

a a a

n

n

m m mn

11 12 1

21 22 2

1 2

= [aij]mxn

matriz A de m linhas e n colunas

Elemento da linha ie coluna j

Elemento da 2 ª linha e 1ª coluna

TIPOS DE MATRIZES

1 2 2

1 1 3

4 1 2

Matriz quadrada

m = n (x linhas = x colunas)

Esta é uma matriz quadrada de ordem 3 (3 x 3)

Diagonais

Só tem sentido falar de diagonais em matrizes quadradas.

Diagonal principal (i = j) Diagonal secundária = (n + 1 = i + j)

Elementos dadiagonal principal:

1, 1 e 2

Elementos dadiagonal secundária:

2, 1 e 4

2 1 1

0 1 2

0 0 4

Matriz triangular superior

Matrizes Triangulares

2 0 0 0

1 1 0 0

2 3 4 0

4 5 7 2

Matriz triangular inferior

500

020

004

Elementos acima ou abaixo da diagonal principal são

todos nulos.

Lembre-se o ou da matemática não é exclusivo, ou seja, vale também

quando ambos são verdade!

Esta também é uma matriz triangular!

Falou em diagonal, falou em matriz quadrada! Todas as triangulares

são quadradas.

Casos especiais de Matrizes

Triangulares. Matriz identidade

2 0 0

0 4 0

0 0 7

1 0 0

0 1 0

0 0 1

Matriz diagonal

Apenas os elementos da diagonal principal são diferentes de zero

A identidade é uma matriz diagonal cujo elementos da

diagonal principal são todos iguais a um.

Falou em diagonal, falou em matriz quadrada! Todas as triangulares

são quadradas. Chatice hein!

Todas as Triangulares são quadradas, logo, a diagonal e a identidade são quadradas.

Chamamos a matriz acima de I3

(identidade de ordem 3)

No geral, In onde n é a ordem da matriz.

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

Matriz nula

Todos os elementos são nulos.

Chamamos a matriz nula de Omxn

Então essa é O3x4

A Matriz nula não precisa ser quadrada!

Igualdade de Matrizes.

Duas matrizes são ditas idênticas quando seus elementos

correspondentes são iguais.

421

213

112

421

213

112

Caso ao olhar essas duas

matrizes e não ver que elas são iguais,

favor procurar o oculista.

Transposta troca de linha por coluna (m x n => n x m )

2341

30

12

x

A

.

431

102=A

32

t

x

Matriz A transposta

Simétrica Matriz quadrada tal que At = A

2223

31

x

A

.

23

31=A

22

t

x

Matriz A transposta

Anti-Simétrica Matriz quadrada tal que At = -A

33013

102

320

x

A

.

013

102

320

=A

33

t

x

=Os elementos da transposta

são os opostos da original.

OPERAÇÕES COM MATRIZES

Adição

01

52

40

52

04

11

53

52

31

Dadas duas matrizes A e B, somaremos os elementos de A com seus correspondentes em B, ou seja, se tomarmos um elemento na primeira linha e primeira coluna de A devemos somá-los com o elemento na primeira linha e primeira coluna de B.

É sempre possível somar matrizes?

Não!

Somente quando estas forem de mesma ordem.

+ =

Se liguem, o mesmo vale pra subtração.

Multiplicação por escalar

Multiplicação por escalar ( número real qualquer) multiplicamos todos os elementos da matriz por este número.

31

102.2

3.21.2

10.22.2

62

204

Matriz A Matriz -2A

Multiplicação de matriz por matriz

CONDIÇÃO: Só podemos efetuar o produto de duas matrizes Amxn e Blxp se o número de colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda (n = l). A matriz C = AB será de ordem m x p.

2223

40

11.

35

24

12

xx

234.3)1(50.31.5

4.2)1(40.21.4

4.1)1(20.11.2

x

75

44

22

Em geral AB BA, ou seja, o produto de matrizes não comutativo

2

1

2

1

4

2

4

2

5

3

5

3

Pode ser possível efetuar AB e não ser possível efetuar BA.

O produto da primeira linha pela primeira coluna, gera o elemento C11.

O produto da primeira linha pela segunda coluna, gera o elemento C12.

Ihhh... Aqui fu...!

2223

40

11.

35

24

12

xx

75

44

222.1 + 1.0 2.(-1) + 1.4

4.1 + 2.0 4.(-1) + 2.4

5.1 + 3.0 5.(-1) + 3.4

Observe, multiplicamos

ordenadamente os termos, ou seja, multiplicamos o

primeiro elemento da elemento com o

primeiro da coluna e por aí vai...

EXEMPLO 1

1) Seja A =

143

201 e seja B =

012

411

. Calcule A + B.

13

EXEMPLO 2

2) Seja A =

143

201 e seja B =

012

411 .

Calcule A – B.

14

EXEMPLO 3

3) Calcule o produto das matrizes:

20

53

12

.

021

102

321

15

EXEMPLO 4

4) A mátriz A de ordem 2 x 3 definida por , .i ja i j dada por:

a)

321

642 b)

1242

621 c)

642

321

d)

321

111 e)

321

642

16

EXEMPLO 5

5) Dadas as matrizes

65

43

21

A

102

231B

calcule a matriz A – Bt é:

17

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