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UNIVERSIDADE CRUZEIRO DO SUL
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO
MESTRADO EM ENSINO DE CIÊNCIAS E MATEMÁTICA
O CONHECIMENTO DAS OPERAÇÕES ARITMÉTICAS E A
APRENDIZAGEM DE MATRIZES NO ENSINO MÉDIO:
ANÁLISE DE INTERFERÊNCIAS
TIAGO PEREIRA DE AVILA
Orientadora: Prof. Dra. Rosemary Aparecida Santiago
Dissertação apresentada ao Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática, da Universidade Cruzeiro do Sul, como parte dos requisitos para a obtenção do título de Mestre em Ensino de Ciências e Matemática.
SÃO PAULO
2013
AUTORIZO A REPRODUÇÃO E DIVULGAÇÃO TOTAL OU PARCIAL DESTE TRABALHO, POR QUALQUER MEIO CONVENCIONAL OU ELETRÔNICO, PARA FINS DE ESTUDO E PESQUISA, DESDE QUE CITADA A FONTE.
FICHA CATALOGRÁFICA ELABORADA PELA BIBLIOTECA CENTRAL DA
UNIVERSIDADE CRUZEIRO DO SUL
A972c
Avila, Tiago Pereira de. O conhecimento das operações aritméticas e a aprendizagem
de matrizes no ensino médio: análise de interferências / Tiago Pereira de Avila. -- São Paulo; SP: [s.n], 2013.
112 p. : il. ; 30 cm. Orientadora: Rosemary Aparecida Santiago. Dissertação (mestrado) - Programa de Pós-Graduação em
Ensino de Ciências e Matemática, Universidade Cruzeiro do Sul. 1. Educação matemática 2. Matemática – Ensino médio 3.
Operações básicas - Matemática I. Santiago, Rosemary Aparecida. II. Universidade Cruzeiro do Sul. Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática. III. Título.
CDU: 51(043.3)
UNIVERSIDADE CRUZEIRO DO SUL
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO
O CONHECIMENTO DAS OPERAÇÕES ARITMÉTICAS E A
APRENDIZAGEM DE MATRIZES NO ENSINO MÉDIO:
ANÁLISE DE INTERFERÊNCIAS
Tiago Pereira De Avila
Dissertação de mestrado defendida e aprovada
pela Banca Examinadora em 12/09/2013.
BANCA EXAMINADORA:
Prof. Dra. Rosemary Aparecida Santiago
Universidade Cruzeiro do Sul
Presidente
Prof. Dra. Laura Marisa Carnielo Calejon
Universidade Cruzeiro do Sul
Prof. Dra. Rosa Monteiro Paulo
Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho
AGRADECIMENTOS
A Deus, por me dar uma família e amigos muito prósperos, estar
constantemente em minha vida me abençoando e iluminando os meus
caminhos.
À UNICSUL, pelo curso oferecido e a todos seus funcionários e colegas do curso, que colaboraram direta ou indiretamente para a realização deste trabalho.
À Prof. Dra. Rosemary Aparecida Santiago, por sua paciência e colaboração.
À Prof. Dra. Laura Marisa Carnielo Calejon por aceitar o convite de participar
da banca e colaboração.
À Prof. Dra. Rosa Monteiro Paulo por aceitar o convite de participar da banca e
colaboração.
Aos alunos e professores das escolas pesquisadas, que contribuíram para que
este trabalho tenha dado certo.
À minha noiva Ingrid Oliveira Gonzaga e sua família, que sempre estiveram
presentes e me ajudaram nos momentos necessários.
Aos meus amados pais, Armando Pereira de Avila e Jacira de Oliveira Avila,
por todo amor e carinho dado, sempre me incentivarem e ajudarem nos meus
estudos e em tudo que precisei em minha vida.
AVILA, Tiago Pereira de. O conhecimento das operações aritméticas e a aprendizagem de matrizes no ensino médio: análise de interferências. 2013. 112 f. Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática)-Universidade Cruzeiro do Sul, São Paulo, 2013.
RESUMO
O presente trabalho analisa a compreensão dos alunos sobre as quatro operações e
sua influência para a aprendizagem de matrizes. A experiência como docente no
Ensino Médio permitiu identificar os erros cometidos pelos alunos na realização das
quatro operações aritméticas, constituindo a motivação para esta investigação. Foi
escolhido o conteúdo de matrizes para realizar a análise, pois o mesmo exige muito
as quatro operações. Como fundamentação teórica, são apresentados autores como
Ifrah, Boyer, Brasil, Piaget, Teixeira e Pinto. Para esse estudo foi utilizada pesquisa
qualitativa com 12 alunos, entre 15 e 18 anos, do 2º ano. Os dados analisados dos
Testes de Conhecimentos Prévios mostram que houve uma média de 60% de erros
no total das avaliações. Quase 2 meses depois, após ser trabalhado o conteúdo de
matrizes, os alunos realizaram os Testes de Conhecimentos de Matrizes, que
indicaram dificuldades nas quatro operações. Os alunos não foram bem nos testes
que usavam cálculo matemático, porém saíram-se bem na avaliação sobre o
conteúdo em si, apenas com procedimentos e conceitos. A partir dos dados
coletados, percebe-se que eles sentem dificuldades em aplicar as quatro operações
básicas em outros conteúdos da matemática e não veem sua importância no
cotidiano em que vivem, entretanto, aprendem novos conteúdos independentemente
de conseguirem realizar as quatro operações básicas ou não.
Palavras-Chave: Educação matemática, Ensino médio, Operações básicas,
Matrizes.
AVILA, Tiago Pereira de. Knowledge of arithmetic and learning arrays in high school: interference analysis. 2013. 112 f. Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática)-Universidade Cruzeiro do Sul, São Paulo, 2013.
ABSTRACT
This paper analyzes the understanding that students have about the four operations
and its influence to learning arrays. The experience being teacher in high school
allowed to identify mistakes made by students in the realization of the four arithmetic
operations, providing the motivation for this research. Arrays were chosen as content
to perform the analysis, because it requires much the four operations. As theoretical
basis, are presented authors as Ifrah, Boyer, Brasil, Piaget, Teixeira e Pinto. For this
study was used qualitative research with 12 students, between 15 and 18 years old,
from 2nd year of high school. The analyzed data show that there was an average of
60% error in the total exam. Almost 2 months later, after been worked content of
arrays, students performed Arrays knowledge, that showed difficulties in the four
operations. The students were not well on tests that contained mathematical
calculation, but they were very well in the exam about the content itself, only with
procedures and concepts. From collected data, it is observable that students have
difficulties in applying the four basic operations in other contents of mathematics and
do not see its importance in their daily, however, they are able to learn new contents
regardless on working with the four basic operations or not.
Keywords: Mathematic education, High school, Basic operations, Arrays.
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO ............................................................................................................ 8
Justificativa da Pesquisa ........................................................................................ 10
Problemas da Pesquisa .......................................................................................... 11
Objetivos da Pesquisa ............................................................................................ 12
Objetivo Geral da Pesquisa .................................................................................... 12
Objetivos Específicos da Pesquisa ....................................................................... 12
Metodologia da Pesquisa ....................................................................................... 12
CAPÍTULO I - UM POUCO DA HISTÓRIA E DIFICULDADES COM OS
NÚMEROS ................................................................................................................ 16
1.1 Um Breve Histórico da Evolução dos Números....................................... 16
1.2 Um Breve Histórico da Dificuldade com Números Inteiros .................... 18
1.3 O Ensino de Matemática no Brasil. ........................................................... 20
1.3.1 Um breve histórico do ensino de matemática no período de 1920 –
1970. ............................................................................................................. 20
1.3.2 O Ensino de Matemática nos documentos oficiais nas décadas de
1980 e 1990. ................................................................................................. 22
1.4 Abordagem da Matemática no Ensino Fundamental. .............................. 25
1.5 Introdução dos Números Inteiros e Abordagem da regra de Sinais. ..... 28
CAPÍTULO II – APRENDIZAGEM, DO PONTO DE VISTA CONSTRUTIVISTA
PIAGETIANO ............................................................................................................ 31
2.1 Desenvolvimento Mental na Perspectiva Construtivista Piagetiana ...... 31
2.2 Aprendizagem, do Ponto de Vista Cognitivo. .......................................... 34
2.3 Erro, do Ponto de Vista Cognitivo. ............................................................ 38
2.4 O Papel do Erro no Ensino de Matemática. .............................................. 41
CAPÍTULO III – A PESQUISA .................................................................................. 43
3.1 Percepção dos Erros. ................................................................................. 43
3.2 Dificuldades com Números Inteiros e Racionais. .................................... 44
3.3 Caracterização da Escola e dos Alunos Participantes da Pesquisa. ..... 46
3.4 Desenvolvimento da Pesquisa. ................................................................. 47
3.4.1 Sobre os Testes de Conhecimentos Prévios. .......................................... 47
3.4.2 Aplicação dos Testes de Conhecimentos Prévios. ................................. 49
3.5 Análise dos Testes de Conhecimentos Prévios. ..................................... 50
3.5.1 Visão Geral da Análise dos Testes de Conhecimentos Prévios. ........... 51
3.5.2 Categorização dos Testes de Conhecimentos Prévios. .......................... 53
3.5.2.1 Categorias Gerais dos Erros dos Testes de Conhecimentos
Prévios. ........................................................................................................ 58
3.5.2.2 Categorias Específicas dos Testes de Conhecimentos Prévios ............ 58
3.5.3 Erros dos Testes de Conhecimentos Prévios. ......................................... 84
3.6 Hipótese de erros no estudo de Matrizes. ................................................ 85
3.7 Sobre os Testes de Conhecimentos de Matrizes. .................................... 86
3.8 Aplicação dos Testes de Conhecimentos de Matrizes. ........................... 86
3.9 Análise do Desempenho nos Testes de Conhecimentos de
Matrizes. ...................................................................................................... 87
3.9.1 Visão Geral da Análise do Desempenho nos Testes de
Conhecimentos de Matrizes. ..................................................................... 87
3.9.2 Categorização dos Erros nos Testes de Conhecimentos de
Matrizes 1. ................................................................................................... 88
3.9.3 Acertos e Erros dos Testes de Conhecimentos de Matrizes 2. .............. 90
CONSIDERAÇÕES FINAIS ...................................................................................... 93
REFERÊNCIAS ......................................................................................................... 93
BIBLIOGRAFIA CONSULTADA ............................................................................ 102
ANEXOS ................................................................................................................. 103
8
INTRODUÇÃO
Esta pesquisa aborda o ensino-aprendizagem de matemática, em especial,
das quatro operações aritméticas no Ensino Fundamental I e sua interferência na
aprendizagem de matrizes no Ensino Médio. Leciono matemática no Ensino Médio
desde 2007, e, a partir de experiências vividas em sala de aula, notei que durante a
realização de exercícios, atividades ou avaliações, os alunos erram muito na
aplicação das operações no processo de resolução de questões dos conteúdos de
suas séries, e esse foi o motivo do tema para pesquisa. Foi escolhida a matéria
matrizes para realizar o estudo, pois a mesma exige muito as operações básicas.
Não só no ensino fundamental, mas também no ensino médio, encontramos alunos que ainda não reconhecem as várias ideias ligadas às operações com números naturais e, por isso, não as identificam em situações-problema. É frequente a pergunta feita pelo aluno: “É de somar ou de diminuir?”. Também há casos de alunos que apresentam dificuldades em utilizar estratégias pessoais ou algoritmos usuais das operações. (BRASIL, 2007, p. 11).
Em 2011 trabalhei somente com turmas de alunos de 2ºs anos do Ensino
Médio de uma escola pública do Estado de São Paulo. Cito aqui três exemplos de
erros observados durante algumas aulas: 1º) Eles entendiam como funcionava a
adição/subtração entre matrizes, mas erravam ao somar ou subtrair elementos de
posições equivalentes; 2º) Em uma delas, sobre trigonometria, já havia ensinado os
alunos a calcularem os lados de um triângulo-retângulo (com um de seus lados
conhecido e um ângulo interno dado) com as relações métricas seno, cosseno e
tangente, quando, depois de fazer todos os algoritmos corretos (nomear os lados do
triângulo, escolher qual das relações usar, trocar a relação pelo valor da tabela
trigonométrica, substituir os lados pelos valores do triângulo, usar razão e proporção,
trabalhar com equação do primeiro grau, racionalizar a resposta), uma aluna
respondeu “X é igual a doze vezes raiz de três divididos por três”, e me perguntou se
estava certa a resposta e acabaria ali mesmo. Disse que estava tudo certo e para
“terminar”, precisava apenas dividir doze por três e continuar multiplicando essa
resposta por raiz de três. A aluna me disse que não sabia qual seria o resultado,
veria a resposta no celular, a colocaria no caderno e me traria para correção; 3º) Em
outubro desse mesmo ano revisava o “Teorema de Pitágoras” com os alunos, para
9
futuramente trabalhar geometria espacial, e propus um exercício de um triângulo
isósceles de base 12 cm e lados iguais de 10 cm para acharem a altura. Depois da
explicação um aluno veio tirar uma dúvida na minha mesa e falou: “Professor, a
hipotenusa não é ‘x’, é 10, não é?! (Confirmei com a cabeça), um cateto será o ‘x’ e
o outro a metade de 12, porque temos que dividir a base ao meio, não é?!” Eu disse:
“Isso mesmo, e quanto colocaremos no outro cateto que não é ‘x’?” O aluno insistiu
que seria a metade de 12 e eu perguntei quanto valia a metade de 12. Ele falou que
resolveria na calculadora e voltaria para me falar.
Nos dois últimos exemplos os alunos compreenderam o conteúdo que estava
sendo estudado e conseguiram resolver os exercícios com auxílio da calculadora,
que foi usada como um recurso para os cálculos de divisão.
As pessoas não precisam dominar os conteúdos avançados da matemática,
mas, pelo menos, as quatro operações elas deveriam saber resolver, porquanto
contas simples como essas aparecem em nosso dia a dia e é importante saber como
resolver isso rapidamente e por meio do cálculo mental.
A matemática está entre as disciplinas que os alunos mais reprovam, sendo considerada uma das mais difíceis pelos alunos de ensino médio. Essencial não apenas na escola ou em exames e concursos, mas também na vida cotidiana e no exercício pleno da cidadania, a matemática precisa ter seu ensino discutido e repensando para este possa ser significativo e alcance seus objetivos. (ROJAS, 2012, p. 3).
Com novas tecnologias e o fácil acesso a elas, como o uso de celulares com
calculadoras, no cotidiano até por crianças, o ensino de matemática e seus
conteúdos deveriam ser repensados para adequarem-se melhor a essa evolução,
possibilitando, deste modo, o foco no conceito e nas estratégias utilizadas.
Entretanto essas mudanças não podem prender-se exclusivamente aos cálculos
com ajuda de recursos, nos deixando dependentes de uma máquina que faça
pequenas contas para nós, perdendo assim a habilidade do cálculo mental,
estratégias para resolução de problemas e julgamento com criticidade dos
resultados encontrados.
10
Justificativa da Pesquisa
Escolhi essa temática por perceber uma maior dificuldade dos alunos nas
operações básicas que são necessárias para resolver exercícios como adição,
subtração, multiplicação e determinantes de matrizes.
É dado muito destaque às quatro operações básicas no Ensino Fundamental
I, mas mesmo no Ensino Médio ainda são muito utilizadas, entretanto no processo
educacional sua importância é diminuída. Possivelmente por ter reduzida sua ênfase
no final do Ensino Básico, não existem muitas publicações e pesquisas que abordam
o ensino-aprendizagem dessas operações no Ensino Médio, faltando uma literatura
específica para professores que atuam na fase da Educação.
Optei pela escolha desse tema após ler alguns livros como: Carraher,
Carraher & Schleimann, 1988, p. 121 – o qual citam Resnick (1982) que disserta
sobre a sintaxe, que trabalha com as regras e algoritmos de resolução, e a
semântica, que estuda o significado da aprendizagem e esclarece que “Ambos os
tipos de conhecimento podem ser usados para a realização de operações
aritméticas. No entanto, a escola enfatiza mais a transmissão de regras – a sintaxe –
do que a semântica”; Fraga, M. L. 1988, p. 41 – que em seu trabalho discute sobre
memorização e traz citações de Dienes (1974, p. 6) que “adverte ainda que a não
assimilação do significado ‘das expressões simbólicas’ levará o aluno a uma [...]
coleção de fórmulas cuidadosamente decoradas, a fim de responder corretamente
nas provas e obter boas notas”; e Zunino, D. L. – que conta o relato de um professor:
O mau é quando vão indo de forma mecânica, porque depois custa-lhes mais. Uma coisa é aprender mecanicamente e outra é aprender por interpretação; isso você nunca mais esquece. E o que você memoriza se esquece através do tempo. Como isso tem sido memorizado... E como uma gravação que esqueces por tê-la aprendido por repetição, porém não por conhecimento ou porque tenha sentido o que você está lendo. (ZUNINO, 1995, p. 16).
Por meio desta pesquisa, busco analisar se os alunos que aprendem o
conceito das operações básicas no Ensino Fundamental conseguem aplicá-lo nos
conteúdos novos que estão aprendendo no Ensino Médio. Para tanto, pretende-se
averiguar se a maior parte dos erros é atribuída aos conteúdos ou às operações
durante a realização das atividades.
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É evidente que outros fatores, como o aluno ter um bom domínio da leitura,
interpretação e raciocínio lógico, motivação, entre outros tantos, influenciam no
aprendizado, mas o foco da pesquisa é a compreensão dos alunos sobre as
operações básicas e sua aplicação na aprendizagem de matrizes, por ser um
conteúdo que trabalho com os alunos durante o ano letivo e por muitas vezes
percebo que muitos erros não são relacionados à matéria, mas ao caráter
instrumental de sua resolução, e as quatro operações estão mais presentes nesse
tema do que em outros assuntos do 2º ano do Ensino Médio. Para Orrantia (2006, p.
158), “A aprendizagem da matemática supõe, junto com a leitura e a escrita, uma
das aprendizagens fundamentais da Educação Básica, dado o caráter instrumental
dos seus conteúdos”.
A partir dessas experiências, me interessei em saber se no decorrer de seus
estudos os alunos aprenderam as operações de um modo significativo e se ainda
lembram-se do conceito e de como aplicá-lo em novos conteúdos do Ensino Médio,
no caso, em matrizes ou se encontram dificuldades nessa execução.
Problemas da Pesquisa
Neste estudo, busca-se identificar os pontos mais importantes, aqueles que
contribuem mais para o não entendimento ou erros cometidos pelos alunos na
aprendizagem de matrizes para uma melhor compreensão dessas causas, analisar a
resolução das quatro operações e sua aplicação em matrizes e identificar se a
compreensão das operações fundamentais influencia ou não a aprendizagem desse
conteúdo do Ensino Médio, o que pode enriquecer a formação do professor, e quiçá
do leitor.
[...] em nossos dias, a utilização com compreensão das operações aritméticas fundamentais (adição, subtração, multiplicação e divisão) tornou-se um dos objetos principais de qualquer Educação Matemática Básica. É preciso ter em mente a importância de desenvolver a compreensão do sentido e a utilização das operações na resolução dos diversos problemas do cotidiano, o que é mais importante do que o simples domínio de algoritmos. (SILVIA; LOURENÇO; CÔGO, 2004, p. 71).
Para melhor andamento da pesquisa, foram definidas algumas questões
problematizadoras. São elas:
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Os alunos que têm maior domínio da resolução das operações básicas
conseguem aprender melhor o conteúdo de matrizes de modo diferente dos
alunos que têm dificuldades na realização das operações?
O ensino de matrizes, por si só, possibilita ao aluno um aprendizado e uma
compreensão das quatro operações e sua aplicação no próprio conteúdo de
matrizes?
Objetivos da Pesquisa
Objetivo Geral da Pesquisa
O principal objetivo dessa pesquisa é investigar e analisar a influência do
domínio das operações aritméticas na aprendizagem de matrizes e se os erros
cometidos pelos alunos são próprios do conteúdo ou resultam de um domínio
precário das operações básicas na resolução de atividades de matrizes.
Objetivos Específicos da Pesquisa
Diagnosticar o conhecimento e os erros dos alunos em exercícios que
envolvem as operações básicas na resolução de atividades do conteúdo
matrizes;
Analisar a relação entre o domínio das operações e a aprendizagem de
matrizes;
Verificar quais as maiores dificuldades apresentadas pelos alunos no
conteúdo matrizes;
Subsidiar o entendimento dos professores acerca da relevância de considerar
os erros cometidos pelos alunos no conteúdo de matrizes durante a resolução
de questões que exijam o domínio das operações.
Metodologia da Pesquisa
Com intenção de fazer uma análise e ter as questões respondidas, foi
escolhida uma abordagem qualitativa, pois o professor pesquisador passa a
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investigar a própria prática no ensino. Comentando sobre esse tema, Mizukami
(2006) cita Shulman (1996) e nos relata:
Shulman (1996) considera a aprendizagem baseada em casos na formação de professores como uma resposta a dois problemas centrais: aprendizagem pela experiência e a construção de pontes entre teoria e prática. Para ele a exigência de que os professores/futuros professores devam refletir sobre sua própria prática é correta e é penosamente exigente. (MIZUKAMI, 2006, p. 10).
Para isto foram estabelecidos alguns critérios para legitimar a pesquisa.
Segundo Beillerot (2001), para que a pesquisa seja de natureza mínima ou de
primeiro grau, deve-se obedecer três critérios:
Uma produção de conhecimentos novos;
Uma produção rigorosa de encaminhamentos;
Uma comunicação de resultados;
Beillerot (2001) também estabelece que para a pesquisa seja de segundo
grau ou superior, é necessário que sejam satisfeitos mais três critérios:
Possibilidade de a referida pesquisa introduzir uma dimensão crítica e de
reflexão sobre suas fontes, seus métodos e seus modos de trabalho;
Sistematização na coleta de dados;
Presença de interpretações segundo teorias reconhecidas e atuais que
contribuem para elaboração de uma problemática, assim como uma
interpretação de dados.
Para satisfazer todos os seis critérios de qualidade citados por Beillerot
(2001), foi empregado o gênero de pesquisa de reflexão e investigação sobre a
própria prática fundamentada por Ponte (2005) em que as principais ideias são:
1. Tem como objetivo fundamental lidar com problemas da própria prática.
2. É validada pela respectiva comunidade profissional (e não por grupos exteriores).
3. É essa comunidade que define os respectivos critérios de qualidade.
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4. Nos seus processos pressupõe a formulação de questões e metodologias de trabalho e a publicidade dos resultados (trata-se de algo mais do que simples reflexão ou colaboração profissional).
5. Requer um contexto colaborativo (homogêneo ou heterogêneo).
6. Só se pode afirmar como prática profissional corrente desde que existam condições institucionais mínimas e uma cultura profissional que a valorize. (PONTE, 2005, p. 24).
A pesquisa busca satisfazer as ideias propostas por Ponte (2005) do seguinte
modo:
1. A discussão é iniciada a partir de um problema da própria prática.
2. A validação da pesquisa será dada a partir da banca examinadora.
3. Os critérios de qualidade serão definidos pela banca examinadora.
4. Existe a questão norteadora, a definição da metodologia de pesquisa e
publicação de resultados em seminário apresentado na Unicsul-SP e a
publicação da dissertação após a defesa, tornando-a pública.
5. Além dessas questões, existem outras elaboradas por outros professores
pertinentes à própria prática.
6. Existem todas as condições institucionais para que a pesquisa desenvolva-
se, como local para debate e orientação.
Ponte (2005) salienta sobre a investigação da própria prática:
Ao investigar os problemas da sua própria prática profissional, os profissionais adquirem uma compreensão mais profunda desses problemas e das possibilidades de intervenção, as instituições modificam a sua forma de trabalho, questionam a sua cultura re-equacionam a sua relação com a comunidade e enriquece-se o conhecimento da comunidade profissional e da comunidade educativa em geral. (PONTE, 2005, p. 23).
Na pesquisa foram utilizadas, para coletar os dados, as técnicas de
observação simples, entrevistas e testes, com questões que os alunos deveriam
desenvolver as resoluções por completo e questões que apresentavam alternativas
para escolherem a resposta correta. As perguntas foram desenvolvidas visando à
problemática e os objetivos da pesquisa. Foi utilizado também um teste com
questões relacionadas ao problema da pesquisa (junto da entrevista) por constatar a
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compreensão conceitual insuficiente das quatro operações básicas nos alunos e a
aplicação delas em suas vidas cotidianas.
Para análise dos dados foram utilizadas as categorias que emergiram durante
a pesquisa, que são detalhadas no capítulo III. A pesquisa de campo envolveu as
seguintes etapas:
A aplicação de três testes de conhecimento das operações aritméticas;
Entrevista de aprofundamento;
A aplicação de dois testes de aprendizagem de matrizes;
Entrevista
16
CAPÍTULO I – UM POUCO DA HISTÓRIA E DIFICULDADES COM OS
NÚMEROS
1.1 Um Breve Histórico da Evolução dos Números
Os números surgiram de acordo com as carências da humanidade, quando as
pessoas precisavam contar, ordenar, medir e a matemática foi ganhando sua forma
atual. Os grupos usados não eram mais suficientes para certas questões e havia a
necessidade de novos conjuntos numéricos. Teixeira (1992) apresenta Adler (1968)
que retrata a evolução dos sistemas numéricos mostrando o surgimento dos
mesmos, desde o conjunto dos naturais até os complexos.
Em primeiro lugar processou-se uma contínua ampliação do sistema numérico inicial de uso cotidiano. A princípio, os únicos números conhecidos eram os números naturais, usados para contar. As exigências da mensuração levaram a introdução dos números racionais. A geometria levou à introdução dos números irracionais. A teoria algébrica levou à introdução dos números negativos e dos números complexos. (ADLER apud TEIXEIRA, 1992, p. 45).
Ifrah (1995) aborda a correspondência que os homens da antiguidade faziam
para cuidar de seus rebanhos, mesmo sem terem o sentido de número formado.
Desde a época pré-histórica, quando os humanos ainda não haviam desenvolvido
uma representação para escrita de letras e números, as pessoas já possuíam
contato com as quantidades e usavam seus próprios métodos de contagem como
fazer entalhes em madeiras e ossos ou empilhar pedras para criar uma
correspondência biunívoca entre o que desejava-se computar e o número usado.
Para Ifrah (1995, p. 24), “Sem dúvida é graças a esse princípio que durante vários
milênios o homem pré-histórico pôde fazer aritmética antes mesmo de tomar
consciência dela e saber o que é um número abstrato”.
Com a evolução da espécie, a matemática também evoluiu e os humanos
deixaram de usar objetos para criarem representações com símbolos para os
números, o que facilitou a assimilação e precisão da abstração dos números e suas
oralidades.
Tendo uma vez acedido à abstração dos números e aprendido a fazer a distinção sutil que existe entre o aspecto cardinal e o aspecto ordinal da noção, o ser humano foi conduzido a revisar suas concepções com relação
17
a seus antigos “instrumentos” numéricos (pedras, conchas, pauzinhos, colares de pérolas, gestos relativos às partes do corpo etc.). E foi assim que de simples intermediários materiais tornaram-se verdadeiros símbolos numéricos, por esse ângulo, bem mais cômodos para assimilar, reter, diferenciar e combinar os números.
Um outro progresso foi realizado com a criação dos nomes dos números, permitindo desde então uma designação oral bem mais precisa das quantidades e dando a possibilidade de conquistar definitivamente o universo dos números abstratos. (IFRAH, 1995, p. 45).
Com a criação da escrita e dos primeiros sistemas de numeração, surgiram
as primeiras operações matemáticas, como a adição, quando acrescentamos uma
unidade à anterior no ato de contar, ou a subtração, quando contamos na ordem
inversa. Enquanto os sistemas de numeração não eram posicionais, o zero não era
tão importante, como no caso dos algarismos romanos, por exemplo, ou da
civilização grega, durante o período alexandrino, que era usado apenas para indicar
ausência. Desde a criação dos sistemas posicionais sua presença foi fundamental e
necessária para o avanço da matemática.
Enquanto os povos usaram numerações não-posicionais, a necessidade desse conceito evidentemente não se fez sentir; a existência de algarismos para valores superiores ou iguais à base permitiu esses sistemas evitar justamente os obstáculos colocados pela ausência de unidades de uma certa ordem.
Em contrapartida, à medida que o princípio de posição foi sendo regularmente aplicado, chegou um momento em que fez-se necessário um sinal gráfico especial para representar as unidades faltantes; assim, comandada por um uso estrito e regular dessa regra, a descoberta do zero marcou a etapa decisiva de uma revolução sem a qual não se poderia imaginar o progresso da matemática, das ciências e das técnicas modernas. (IFRAH, 1995, p. 685).
No decorrer da história muitas civilizações criaram vários sistemas numéricos
com diversas bases, dentre eles, o sistema de numeração decimal. O sistema
utilizado por nós é de base dez, chamado indo-arábico. Sua origem tem seus
primeiros registros com os hindus, povo da Índia, e foi difundido para Europa pelos
árabes por volta de I ou II séculos antes de Cristo. Durante quase um milênio esse
sistema não possuía notação posicional e não continha o zero, que, provavelmente,
originou-se na Índia mais tarde e foi descrito na obra do matemático al-Khowârismî.
O sistema de numeração indo-arábico tem esse nome devido aos hindus, que o inventaram, e devido aos árabes, que o transmitiram para Europa Ocidental. Os mais antigos exemplos de nossos atuais símbolos numéricos encontram-se em algumas colunas de pedra erigidas na Índia por volta do ano 250 a. C. pelo rei Açoka. Outros exemplos primitivos na Índia, se corretamente interpretados, encontram-se em registros talhados por volta do
18
ano 199 a. C. nas paredes de uma caverna numa colina perto de Poona e em algumas inscrições de por volta do ano 200 a. C., gravadas nas cavernas de Nasik. Essas primeiras amostras não contêm nenhum zero e não utilizam a notação posicional. Contudo, a ideia de valor posicional e um zero devem ter sido introduzidos na Índia algum tempo antes do ano 800 d. C., pois o matemático persa al-Khowârismî descreveu de maneira completa o sistema hindu num livro do ano 825 d. C. (EVES, 2004, p. 40).
Após tanto tempo, o Sistema de Numeração Decimal foi criado e
aperfeiçoado, e hoje a sua compreensão é um dos muitos conceitos básicos da
matemática, servindo como base para o entendimento das quatro operações
básicas.
1.2 Um Breve Histórico da Dificuldade com Números Inteiros
Na antiguidade, quando algumas civilizações já utilizavam o zero e os
números negativos, esses povos já demonstravam dificuldades na aceitação destes
números. Os chineses, mesmo como pioneiros na adoção da ideia dos números
negativos usando sistema de barras coloridas para representar os números inteiros,
(pretas para números negativos e vermelhas para os positivos), não consideravam
esses como soluções de equações. Boyer (1991) fala sobre o uso dos negativos por
essa civilização.
[...] parece não ter causado muitas dificuldades aos chineses, pois estavam acostumados a calcular com duas coleções de barras – uma vermelha para os coeficientes positivos ou números e uma barra preta para os negativos. No entanto, não aceitavam a idéia de um número negativo poder ser solução de uma equação. (BOYER, 1991, p. 145).
O zero na antiguidade representava ausência de quantidade e mais tarde era
concebido como “zero absoluto”, onde não existia nada abaixo (ou antes). Uma das
prováveis explicações para essa não aceitação de números antecessores ao zero
está na etimologia da palavra “negativo” relacionada aos números.
[...] palavra ‘negativo’ tem o significado de negação; isto quer dizer que se trata de ‘não-números’, e esta expressão é a mais adequada para mostrar as dificuldades que se opunham ao espírito humano na conquista de novos domínios no reino dos números. (KARLSON apud POMMER, 2010, p. 1).
Muito tempo depois, com o indiano Brahmagupta, é que essa civilização
começou a usar os números negativos como soluções de equações quadráticas.
Rocha Neto (2010) em sua obra faz uma citação de Fedrigo (2001), que expressa:
19
[...] são exemplos disso as contribuições de Brahomagupta, [sic] pois a aritmética sistematizada dos números negativos encontra-se pela primeira vez na sua obra. (FEDRIGO apud ROCHA NETO 2010, p. 11).
Mais tarde o zero foi compreendido como “zero origem”, um ponto de
referência, o que permitiu a criação dos números negativos. Por volta dos séculos
XV e XVI os números inteiros começaram a ganhar a forma que conhecemos hoje,
com seus sinais positivo e negativo e a aplicação das regras aritméticas. Somente
no século XIX é que Hankel formalizou as operações com números inteiros em sua
obra “Teoria dos sistemas complexos”.
Os dados históricos mostram que foram precisos 1500 anos para que as regras de sinais que expressam as associações entre inteiros fossem utilizadas de forma mais sistemática, e que mais alguns séculos para que tal campo numérico – enquanto integrações dos naturais ou positivos aos negativos – com propriedades definidas para as operações de adição e multiplicação se consolidasse. Segundo Glaeser (1981/1985) somente com Hankel no século XIX, houve a construção formal dos inteiros de modo a sanar as contradições até então presentes. Embora usados em problemas cotidianos impostos na prática do cálculo, foram durante muito tempo negados ou considerados absurdos pelos matemáticos como mostra Domingues (1991): “Stifel (1486-1567) os chamava de números absurdos; Cardano (1501-1576) de números fictícios. Descartes (1596-1650), chamava de falsas as raízes negativas de uma equação. Outros como F. Viete (1540-1603), importante matemática francês, simplesmente rejeitava os números negativos”. (TEIXEIRA, 1992, p. 40).
Com tantos entraves em relação aos números negativos, Glaeser (1981/1985)
realizou um estudo sobre 10 matemáticos e a compreensão deles em relação a
esses números. Isso mostra que esse problema não é exclusividade dos alunos de
hoje.
Glaeser (1981/1985) no seu artigo sobre “Epistemologia dos números relativos” faz uma análise dos obstáculos que se opuseram à compreensão dos números relativos, desde a antiguidade até o século passado, quando a questão dos negativos tornou-se um sistema coerente. Preocupado em investigar se as dificuldades vividas pelos matemáticos, ao longo da história, são as mesmas que afligem os estudantes de matemática da atualidade, Glaeser arrola dez autores na obra dos quais investiga a compreensão dos números negativos. Sua análise revela que, no geral, apesar desses autores manipularem tais números com maestria, a compreensão dos mesmos era parcial, dado que algumas barreiras ou obstáculos permaneciam insuperados, acarretando a instabilidade das soluções encontradas ao longo da história. (TEIXEIRA, 1992, p. 48).
Em seu estudo, Glaeser (1981) procurou detectar problemas na compreensão
de alguns matemáticos clássicos, desde a antiguidade até o século XIX, sobre os
números relativos. Foram encontrados seis obstáculos:
20
1 – Inaptidão para manipular quantidades isoladas.
2 – Dificuldades em dar um sentido a quantidades negativas isoladas.
3 – Dificuldades em unificar a reta numérica manifesta pela diferenciação qualitativa
entre quantidades positivas e negativas, pela concepção da reta como mera
justaposição de duas semirretas opostas, ou ainda por desconsideração do caráter
simultaneamente dinâmico e estático dos números.
4 – A ambiguidade dos dois zeros: zero absoluto e zero como origem.
5 – Dificuldade de afastar-se de um sentido “concreto” atribuindo aos seres
numéricos: fixação no estágio das operações concretas por oposição ao formal.
6 – Desejo de um modelo unificador: utilização de um modelo aditivo para o campo
multiplicativo, ao qual não se aplica.
1.3 O Ensino de Matemática no Brasil.
1.3.1 Um breve histórico do ensino de matemática no período de 1920 – 1970.
Até 1920 o currículo de matemática era composto por aritmética, álgebra e
geometria, que incluía a trigonometria, e não existia uma matéria conjunta, que hoje
chamamos de matemática. Com a nova reforma foi reintroduzido o estudo de
funções, que já fizera parte do currículo antes de 1890, porém, neste momento, o
que importava não era a mudança de matérias, consideradas mais modernas, mas a
maneira de ensinar esses conteúdos, que dava importância ao interesse do aluno,
incentivava a prática de trabalhos manuais e grupais, tentando adequar o ensino às
novas mudanças e corrente pedagógica, denominada “Escola Nova”, que colocava o
estudante no centro do processo educacional e não mais o professor.
Em 1930, o presidente Getúlio Vargas criou o ministério da “Educação e
Saúde” e colocou como responsável o mineiro Francisco Campos, cujo dever era,
entre outras atribuições, resolver assuntos voltados à Educação. As mudanças feitas
pelo ministro da época não agradaram os professores militares do Rio de Janeiro,
que fizeram uma crítica por escrito chamada “Os programas oficiais referentes ao
21
ensino de matemática elementar”, a qual comentava que era um erro o ensino
simultâneo e não sucessivo da Aritmética, Álgebra e Geometria. Contudo, essa
reforma não recebeu apenas críticas negativas, como mostra Vianna (1937).
O que se procurou instituir em relação à Matemática, desde o ano de 1928, não foi uma simples reforma de programas, mas, acima de tudo, uma profunda reforma de métodos. Todavia, não foi assim entendida, em geral, e de tal modo a deturparam que, para a grande maioria, o ensino permaneceu na fase inicial intuitiva, degenerando, quando devia atingir a fase formal, em verdadeiro amontoado de regras práticas e fórmulas. (VIANNA, 1937, p. 51).
Por volta de 1950, muitos educadores concordavam que o ensino de
matemática possuía muitos problemas e havia a necessidade de mudanças. No
mundo acontecia a formação de vários grupos de estudos que discutiam o ensino de
matemática. Com um movimento mundial ocorrendo, o Brasil aderiu à ideia de
difundir uma acessibilidade de conteúdos matemáticos mais atuais e iniciou uma
manifestação que mais tarde ficou conhecida como Movimento da Matemática
Moderna.
Esse movimento caracterizou-se pelo simbolismo da Lógica e da Teoria dos
Conjuntos como elemento unificador da matemática, tentando reduzi-la à parte
algébrica. A formalidade era muito usada nos livros didáticos e na metodologia de
ensino da época. As propriedades comutativa, associativa, distributiva e elemento
neutro estavam nos livros didáticos, mas não eram usadas na resolução de
problemas, desconsiderando o processo de construção do conhecimento.
O triste paradoxo que nos apresenta o excesso de ensaios educativos contemporâneos é querer ensinar matemática “moderna” com métodos na verdade arcaicos, ou seja, essencialmente verbais e fundados exclusivamente na transmissão mais do que na reinvenção ou na redescoberta pelo aluno. Em outras palavras, a iniciação à matemática moderna não pode ser confundida com uma entrada de chofre em sua axiomática. Na realidade, só é possível axiomatizar um dado intuitivo prévio, e, psicologicamente, uma axiomática só tem sentido a título de tomada de consciência ou de reflexão retroativa, o que supõe toda uma construção proativa anterior. A criança desde os 7 anos e o adolescente manipulam o tempo todo operações de conjuntos, de grupos, de espaço vetorial etc., mas não tem qualquer consciência disso, pois estes são esquemas fundamentais de comportamento e depois de raciocínio, muito antes de poderem ser objeto de reflexão. Toda uma gradação é, portanto, indispensável para passar da ação ao pensamento representativo e uma não menos longa série de transições continua sendo necessária para passar do pensamento operatório à reflexão sobre esse pensamento. O último escalão é então a passagem dessa reflexão à axiomatização propriamente dita. (PIAGET 1998, p. 221).
22
Apesar da intenção de haver significativas alterações na educação, muitos
professores daquele tempo não estavam preparados para a nova metodologia
empregada, Motta (2011). Isso não ajudou a resolver os problemas do ensino da
matemática na época, colaborando para não aproveitarem o melhor do que as
mudanças das novas práticas pedagógicas ofereciam.
Na década de 1970, influenciados por mudanças políticas, econômicas e
sociais provocadas pela Ditadura Militar, ocorreram reformas no campo educacional.
Em relação à organização do ensino destinado à faixa etária de 7 a 14 anos, foi
sancionada a lei nº 5692/71, em 11 de agosto de 1971, que reformou os ensinos de
1º e 2º graus, que abrangiam conteúdos e disciplinas como: comunicação e
expressão, estudos sociais e ciências e matemática.
O ensino ainda apoiava-se em materiais didáticos sistematizados em manuais
e livros didáticos. As metodologias de ensino consistiam no método de transmissão
e recepção de informações, cujos mais importante era a técnica utilizada no
processo de ensino. O professor era um mero “transmissor de conhecimento” e os
interesses, expectativas e conhecimentos prévios dos alunos não eram importantes.
O aluno do Ensino Básico recebia uma formação especializada para o mundo de
trabalho, em uma tentativa de diminuir a demanda do Ensino Superior. (BRASIL,
2000, p. 5).
1.3.2 O Ensino de Matemática nos documentos oficiais nas décadas de 1980 e
1990.
No ano de 1986 a CENP (Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas)
iniciou a elaboração da Proposta Curricular do Estado de São Paulo, que abrangia
as disciplinas de língua portuguesa, ciências, estudos sociais (mais tarde história e
geografia) e matemática para a Educação Básica.
Na proposta para a disciplina de matemática a linguagem exercia papel
fundamental, era prestigiada e usada como caminho para a construção da
autonomia intelectual do aluno. Os conceitos precisavam ser interiorizados antes de
uma formalização do ensino. Além disso, priorizava a interdisciplinaridade, as
aplicações práticas da matemática e o desenvolvimento do raciocínio lógico.
23
Somente um desempenho satisfatório de tal tarefa pode situar adequadamente a Matemática nos currículos, servindo tanto ao estabelecimento de uma continuidade entre a escola e a vida quanto à fundamentação das rupturas necessárias com o senso comum, no caminho para a construção de uma autonomia intelectual. (SÃO PAULO, 1986, p. 8).
Com essa proposta curricular o estudante desempenhava um papel
fundamental na construção do seu próprio conhecimento e o docente deveria
valorizar o conhecimento, erros e acertos do aluno. Contudo os materiais didáticos,
principalmente livros, utilizados pelos professores da época não seguiam a mesma
perspectiva que a proposta e isso não contribuía para a compreensão dos
conteúdos trabalhados.
Para os professores, as orientações sobre os materiais produzidos para o desenvolvimento do currículo eram nulas ou quase não existiam nas escolas onde lecionavam, e os conteúdos eram definidos e organizados em função dos livros que adotávamos. As escolhas desses livros eram pautadas pela afinidade, pela sua estrutura metodológica, por favorecerem a formação didático-pedagógica ou a aquisição de saberes profissionais.
[...]. As explicações dos conteúdos abordados nas propostas curriculares daquele período destoavam da organização linear impregnada nos livros de textos e revelavam-se como exemplos diferenciados para o entendimento do conteúdo. (BUSQUINI, 2013, p. 20).
Essa proposta curricular foi publicada de 1986 e vigorou até 1992. Nos anos
seguintes foram planejadas as Diretrizes e Bases da Educação Nacional.
A formação do aluno deve ter como alvo principal a aquisição de conhecimentos básicos, a preparação científica e a capacidade de utilizar as diferentes tecnologias relativas às áreas de atuação.
Propõe-se, no nível do Ensino Médio, a formação geral, em oposição à formação específica; o desenvolvimento de capacidades de pesquisar, buscar informações, analisá-las e selecioná-las; a capacidade de aprender, criar, formular, ao invés do simples exercício de memorização.
São estes os princípios mais gerais que orientam a reformulação curricular do Ensino Médio e que se expressam na nova Lei de Diretrizes e Bases da Educação – Lei 9.394/96. (BRASIL, 2000, p. 5).
Para a nova lei a formação específica para o mundo do trabalho não era mais
o foco e a educação seria pautada no desenvolvimento das capacidades
supracitadas. O uso de diversas tecnologias inerentes às áreas de atuação é
trabalhado de forma mais acentuada.
A nova Lei de Diretrizes e Bases, 9394/96, foi sancionada em 20 de
dezembro de 1996 e sua finalidade era incumbir as competências e diretrizes para
nortear os currículos e conteúdos da Educação Infantil, Ensino Fundamental e
24
Ensino Médio, que eram responsabilidades dos Municípios, Distrito Federal, Estados
e União. Para isso foram criados documentos que deveriam orientar os professores
na busca de abordagens novas que visassem a preparação do homem para a
cidadania no mundo em que vive.
Ao se denominar a área como sendo não só de Ciências e Matemática, mas também de suas Tecnologias, sinaliza-se claramente que, em cada uma de suas disciplinas, pretende-se promover competências e habilidades que sirvam para o exercício de intervenções e julgamentos práticos. Isto significa, por exemplo, o entendimento de equipamentos e de procedimentos técnicos, a obtenção e análise de informações, a avaliação de riscos e benefícios em processos tecnológicos, de um significado amplo para a cidadania e também para a vida profissional. (BRASIL, 1996, p. 06-07).
Entre esses documentos, havia os Parâmetros Curriculares Nacionais:
Matemática: Secretaria de Educação Fundamental – Brasília: MEC/SEF, 1997, que
relacionava grande parte dos problemas referentes ao ensino de matemática ao
processo de formação docente, tanto no processo inicial como na formação
continuada.
Os PCNs continuam declarando que a matemática surgiu através das
necessidades que apareciam no cotidiano das pessoas, como contar, calcular,
medir, organizar, e hoje ela constitui um subsídio muito importante, em função de
conceitos, linguagem e atitudes que ajudam a desenvolver nas áreas do
conhecimento, como sociologia, antropologia, psicologia, medicina, economia,
política, entre outras, além de instigar a capacidade de projetar, generalizar, prever e
abstrair situações, ajudando no desenvolvimento do raciocínio lógico e estruturação
do pensamento na aplicação da vida diária, no mundo do trabalho, esportes,
músicas, sociedade e construção da cidadania.
Para tanto, é importante que a Matemática desempenhe, equilibrada e indissociavelmente, seu papel na formação de capacidades intelectuais, na estruturação do pensamento, na agilização do raciocínio dedutivo do aluno, na sua aplicação a problemas, situações da vida cotidiana e atividades do mundo do trabalho e no apoio à construção de conhecimentos em outras áreas curriculares. (BRASIL, 1997, p. 25).
O ensino da matemática tem uma real contribuição para tudo isso no
momento que são exploradas metodologias que enfatizem e priorizem a:
[...] criação de estratégias, a comprovação, a justificativa, a argumentação, o espírito crítico, e favoreçam a criatividade, o trabalho coletivo, a iniciativa
25
pessoal e a autonomia advinda do desenvolvimento da confiança na própria capacidade de conhecer e enfrentar desafios. (BRASIL, 1997, p. 26).
Assim como não houve um entrosamento entre materiais didáticos, professores e a Proposta Curricular do Estado de São Paulo de 1986, essa relação também não ocorreu com os Parâmetros Curriculares Nacionais e novamente não foram atingidos plenamente os objetivos desses documentos.
Acredito que essa dificuldade de participação e envolvimento também ocorreu com os Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio (PCNEM) que, embora tenham estimulado uma vasta produção acadêmica desde sua publicação, o que foi incorporado na prática do professor foram apenas alguns novos termos como contextualização e interdisciplinaridade, sem se importarem com sua tradução no trabalho da sala de aula, reforçando a ideia reprodutivista e ambígua que ambos os termos carregam.
Miguel (2007), após análise dos conhecimentos de um grupo de professores observando a temática dos PCN de Matemática identificou algumas dificuldades que estes enfrentam, sobretudo, pela escassez de orientações técnicas, gerando incompreensões na forma metodológica apontada nos documentos. Assim, concordamos que esses documentos não tiveram o alcance desejado, ou seja, de organizar o trabalho da escola em termos das áreas de conhecimento, tendo como base as competências para organização dos currículos. (BUSQUINI, 2013, p. 21).
Apesar dos documentos norteadores proporem novos métodos e conteúdos,
a abordagem do ensino de matemática adotado por professores nem sempre seguia
essas referências.
Muitas vezes existem propostas inovadoras que, por sua vez, esbarram na
falta de uma formação especializada qualificada. Desse modo, os profissionais da
área não seguem as orientações sobre a abordagem de conceitos, ideias e métodos
que partem do princípio da resolução de problemas como base da aprendizagem,
sendo utilizada apenas na aplicação das quatro operações que foram aprendidas, e
a organização dos conteúdos é baseada em “pré-requisitos”, afirmando que só é
possível aprender um conteúdo se aprendeu o conteúdo precedente, ao invés de
trabalhar o “conhecimento prévio” do aluno na construção do conhecimento, o que é
totalmente desprezado.
1.4 Abordagem da Matemática no Ensino Fundamental.
Desde pequeno o ser humano tem contato com números e com a
matemática, mesmo que de forma inconsciente. Em brincadeiras, escolhendo quem
começa com par ou ímpar, anotando a quantidade de gols ou pontos em alguns
jogos, a criança trabalha com a matemática e não sente aversão aos números.
26
Quando inicia sua vida escolar e o professor formaliza esse conhecimento,
trabalhando com inúmeros exercícios e pedindo-a que memorize regras, algoritmos
e faça muitas repetições de contas sem contexto até decorar tudo, a criança começa
achar isso chato e cansativo. Desse modo, cria antipatia pela matéria, podendo até
achar que não é capaz de aprender tudo isso e esse desgosto pode aumentar com o
decorrer de sua vida acadêmica. Buriasco (1999) traz uma citação de Guzman
(1993), que afirma:
[...] uma grande parte dos fracassos em matemática de muitos de nossos estudantes, tem origem em um posicionamento inicial afetivo totalmente destrutivo de suas próprias potencialidades neste campo, que é provocado, em muitos casos, pela inadequada introdução [ao estudo da matemática] feita pelos professores. (GUZMAN apud BURIASCO, 1999, p. 33).
Rocha Neto (2010), citando Baldino (1993), confirma a ideia de que a
matemática mal introduzida pelos professores e uma má organização das aulas são
fatores que podem desestimular o aluno e influenciá-lo no aprendizado.
As razões que levam alguns a aprenderem e outros não estão contidas, segundo Baldino (1993, p. 42), na apresentação da disciplina, na organização da sala de aula para situação de aprendizagem e na organização da instituição de forma a incentivar o desejo de aprender do aluno. (ROCHA NETO, 2010, p. 16).
Muitos professores, quando foram alunos do Ensino Básico, vivenciaram,
provavelmente, um ensino matemático centrado na memorização e repetição. É
comum ouvir desses professores no âmbito de trabalho que “se eles aprenderam
desse jeito, os alunos de hoje também deveriam conseguir aprender assim”.
Eventualmente, quando esses professores estavam iniciando seus processos de
formação docente não conseguiram resgatar esse aprofundamento de compreensão
dos conceitos matemáticos e suas aplicações contextualizadas para ensinar de uma
forma que ajude a criança a criar conceitos e desenvolver construções de esquemas
significativos para sua vida social. Para Soares (1997), a formação específica da
matemática para os professores:
[...] demanda, de modo especial, o aprofundamento da compreensão dos significados concretos dos conceitos matemáticos, a fim de que possa contextualizá-los adequadamente para o aluno de 1º e 2º Graus [atualmente Ensino Fundamental e Médio]. Ele estará ajudando seus alunos a se apropriarem do conhecimento matemático não como dedução puramente lógica de axiomas, mas sim, através de construções que sejam significativas e relevantes dentro da vida social. Estas construções não se produzem de uma só vez e para sempre; ao contrário, vão-se desenvolvendo e se consolidando ao longo do processo de ensino aprendizagem. Por isso, a
27
formação matemática do professor da escola básica demanda também uma preparação para o acompanhamento e a realização de pesquisa na interface da Matemática com a Ciência Cognitiva, Educação Matemática, Psicologia Educacional, etc. (SOARES, 1997, p. 29).
Sobre a formação desses professores, Gatti (1989) apud Buriasco (1999) fala
sobre a falta de empenho de políticas públicas e do governo.
A importância da formação de professores não tem sido assumida como um esforço de governo ou de uma política social que também se preocupe com a qualidade da educação dos cidadãos em geral. (GATTI apud BURIASCO, 1999, p. 53)
Possivelmente essa formação defasada dos professores contribui para não
haver mudanças relevantes no ensino e não existir o foco conceitual, somente
procedimental, acarretando em uma aprendizagem sem significado para o aluno.
A valorização da aprendizagem de conceitos não é uma prática facilmente encontrada na educação escolar. Há uma tendência tradicional na prática de ensino da matemática que valoriza, em excesso, a função da memorização de fórmulas, regras, definições, teoremas e demonstrações. Como consequência, os problemas propostos são, nesse caso, mais voltados para a reprodução de modelos do que para a compreensão conceitual. Entretanto, essa concepção de educação está longe das exigências da sociedade tecnológica, tornando-se urgente a sua superação e abertura de espaços para uma educação mais significativa. E esse é um dos argumentos que justifica a importância do estudo na formação de conceitos. (PAIS, 2005, p. 56).
Além do problema da má formação, professores tratam a matemática como
um saber acabado que deve ser “transmitida” ao aluno sem considerar o que já sabe
ou seu próprio modo de pensar e resolver problemas matemáticos.
Na prática pedagógica, devemos valorizar a criação de situações, envolvendo conceitos e resolução de problemas. Nessa linha de referência, coloca-se a educação escolar para alcançar as novas competências exigidas pela informatização da cultura e do trabalho, onde o fazer pedagógico não se resume à comunicação ou repetição dos saberes acumulados pela história. A concepção de que o saber pode ser transmitido de uma pessoa para outra desvirtua a dimensão contida na elaboração conceitual. Assim, compete à didática a tarefa de persistir na pesquisa de estratégias que possam levar o aluno a vivenciar mais criatividade, autonomia e produção. (PAIS, 2005, p. 63).
Quando não há uma mudança no modo do professor ensinar, o aluno usa o
que sabe e do jeito que sabe para tentar achar uma resposta, mesmo que isso não
nos faça sentido.
Enquanto continuarmos ensinando procedimentos mecânicos sem criar as condições que permitam aos alunos descobrirem os fundamentos desses mecanismos, enquanto não favorecermos a utilização das estratégias que
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as próprias crianças possam elaborar para resolver e representar as operações, teremos que continuar aceitando que as contas sejam interpretadas como truques inventados... (ZUNINO, 1995, p. 63).
Depois dos anos iniciais do Ensino Básico o aluno passa para o Ensino
Fundamental II e, geralmente, sem o professor dos anos anteriores ter apresentado
os números negativos, tem seu primeiro contato com eles.
1.5 Introdução dos Números Inteiros e Abordagem da regra de Sinais.
Frequentemente os professores introduzem os números relativos propondo
exercícios em que as respostas sejam negativas e debatem com os alunos que
existem “problemas” em que os números naturais já não são mais suficientes para
resolvê-los, então apresentam esse novo “conjunto dos números” inteiros como
complemento do “conjunto dos números naturais”.
Apesar de um início que favorece o entendimento da criança acerca desses
números, o qual o aluno começa a relacionar os números negativos como extensão
dos positivos (naturais), posteriormente as aulas mudam e não permitem mais a
compreensão e o conceito, e caminham para a memorização de regras, quando os
docentes, muitas vezes guiados por livros didáticos, apresentam a soma e subtração
de inteiros.
Para adicionar dois números inteiros, de sinais diferentes, subtraímos seus valores absolutos (o maior menos o menor) e atribuímos ao resultado o sinal do número de maior valor absoluto. (BONJORNO; OLIVARES, 2007, p. 31).
Após muitos exercícios e repetições, os professores acham que os alunos
“decoraram” essas regras de sinais, então passam as de multiplicação e divisão.
O produto de dois números inteiros, diferentes de zero, é positivo (+), se os dois tiverem o mesmo sinal, e negativo (-), se os dois tiverem sinais contrários. (BONJORNO; OLIVARES, 2007, p. 49).
Enquanto docentes concentram-se apenas no procedimental e não ajudam os
estudantes a construírem o conceito desses números, os alunos continuam a ter as
mesmas dificuldades encontradas desde a antiguidade. Os professores devem criar
situações-problemas que induzam os alunos a perceberem os números inteiros
como ampliação dos naturais, a subtração como operação oposta da adição, que
nesse conjunto pode representar acréscimo, decréscimo ou soma resultante em
29
zero, e a divisão como operação inversa da multiplicação, ajudando-os a relacionar
esse novo conjunto com seus cotidianos, criando esquemas de assimilação entre
esses números e suas realidades.
Para Teixeira (1992, p. 94), a construção do conceito de números inteiros, do ponto de vista da matemática, é uma ampliação dos naturais. Os obstáculos aparecem quando a subtração (a - b) é aplicada a casos em que (b > a) não sendo entendida de imediato pelos alunos que estão acostumados a verem a subtração como uma operação de tirar, como vista nos números naturais. Eles só passarão a tomar consciência da existência dos números inteiros negativos quando passarem a conhecer o conjunto desses números. As maiores dificuldades nas operações com números inteiros surgem quando se utiliza: a adição e a subtração com números de sinais contrários; as operações de multiplicação e divisão (uso das regras de sinais); a comparação de números inteiros (colocados em ordem crescente, principalmente quando comparam números negativos); o zero como origem e não como ausência de quantidade e a dificuldade de se trabalhar e imaginar a reta numerada. (ROCHA NETO, 2010, p. 18).
O professor precisa ser cuidadoso nesse processo de ensino-aprendizagem
lembrando que historicamente demorou muito para a matemática chegar aos moldes
atuais e não é possível de ser transmitida como um produto acabado para os alunos.
Do mesmo jeito que a matemática foi construída aos poucos, o docente deve
favorecer a construção do conhecimento dos alunos a partir de situações que os
perturbem e os ajude a assimilar esse novo conteúdo, criando uma acomodação e
reequilibração de seus esquemas.
A Matemática não pode ser concebida como um saber pronto e acabado, mas, ao contrário, como um saber vivo, dinâmico e que, historicamente, vem sendo construído, atendendo a estímulos externos (necessidades sociais) e internos (necessidades teóricas de ampliação dos conceitos). Esse processo de construção foi longo e tortuoso. É obra de várias culturas e de milhares de homens que, movidos pelas necessidades concretas, construíram coletivamente a Matemática que conhecemos hoje. (FIORENTINI, 1995, p. 31).
Desde a década de 1920 até a atualidade, sempre houve tentativas de colocar
em prática uma metodologia alicerçada nos documentos oficiais, como as propostas
e parâmetros, propondo os alunos como centro do ensino-aprendizagem e
construtores de seus próprios conhecimentos. Entretanto, o que vemos hoje são
estudantes do Ensino Médio que receberam uma aprendizagem pautada na
educação tradicional onde o professor era “detentor” do conhecimento, tentava
transmiti-lo para criança e essa prestava atenção e decorava as “regras e fórmulas”
enquanto ouvia as explicações, o que acarretou em problemas na aprendizagem e
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conceitualização dos conteúdos matemáticos, mesmo os mais básicos como as
quatro operações.
31
CAPÍTULO II – APRENDIZAGEM, DO PONTO DE VISTA
CONSTRUTIVISTA PIAGETIANO
2.1 Desenvolvimento Mental na Perspectiva Construtivista Piagetiana
Teixeira (1992) traz estudos de Piaget (1959/1964/1967/1970/1971/1974) que
apontam o desenvolvimento mental do ser humano através de mudanças estruturais,
que ocorrem a partir das interações produzidas entre o sujeito e o objeto de
conhecimento. Piaget (1973) afirma que essas estruturas pertencem ao inconsciente
cognitivo e o indivíduo não tem consciência desse processo pelo qual está
passando.
São quatro os níveis definidos por Piaget como os estágios correspondentes
a essas estruturas mentais: Sensório-motor (0 a 2 anos), pré-operatório (2 a 7 anos),
operações concretas (7 a 11 anos) e operações formais (11 anos em diante). Rizzi e
Costa (2004) sintetizam as principais características de cada fase:
O período sensório-motor caracteriza-se pelas sensações e pelas atividades motoras que têm suas raízes na hereditariedade. Com a sucção, os movimentos das mãos, dos olhos, etc., além das sensações ocorre um aumento gradativo na capacidade do bebê em adquirir hábitos, coordenar visão e preensão, coordenar esquemas, descobrir novos meios e solucionar alguns pequenos problemas (PIAGET, 1983).
O período pré-operatório abrange a primeira infância e é anterior ao aparecimento das operações propriamente ditas, mas prolonga os mecanismo de assimilação e a construção do real própria ao período sensório-motor anterior (Piaget, 1980). O pensamento da criança, no período pré-operatório, é intuitivo e, sendo ela ainda pré-lógica, suas respostas são apoiadas basicamente na percepção. Ela passa a interiorizar os esquemas de ação (o que faz na ação passa a fazer também em pensamento) e a fazer uso da função simbólica. Existem três manifestações importantes da função simbólica: a imitação diferida, quando a criança é capaz de imitar uma determinada situação ou pessoa sem a presença da mesma; o brinquedo simbólico ou “faz de conta”, quando a criança passa a imaginar suas brincadeiras e interage em sua imaginação; e a fala, que é a mais importante manifestação da função simbólica; é a partir da fala que a representação se acentua, pois uma única palavra pode substituir, representar uma diversidade de ações antes efetuadas na prática pela criança.
O período das operações concretas abrange a infância propriamente dita e caracteriza-se, principalmente, pela capacidade adquirida pela criança de realizar operações concretas. Esta capacidade tem sua constituição fundamentada a partir do agrupamento das relações intuitivas (próprias do período anterior) em sistemas de conjunto e que transformam as intuições em operações de todos os tipos. A noção de operação aplica-se a
32
realidades diversas, mas bem definidas. Existem as operações lógicas, as aritméticas, as geométricas, as temporais, as mecânicas, as físicas, etc. Então, uma operação é uma ação cuja origem é sempre motora, perceptiva ou intuitiva (Piaget, 1980). Gradativamente, o raciocínio lógico (mais característico neste período) vai se sobrepondo à percepção e à intuição próprias ao período anterior. Essa lógica se manifesta, essencialmente, pela capacidade que a criança demonstra em considerar as situações como um todo, estabelecendo as relações entre os elementos que a compõem. A criança passa a organizar, em sistemas, as informações de que dispõe, conservando-as, revertendo-as, compondo-as, etc., portanto, lidando com várias relações possíveis neste sistema.
O quarto e último período, denominado operatório formal, envolve a adolescência, etapa onde ocorre a passagem do pensamento concreto para o formal. A estrutura formal conquistada neste período é constituída a partir da estrutura operatória, própria do período anterior. Naquele período, a criança pensava concretamente sobre cada problema conforme eles surgiam e não estabelecia relações entre suas soluções e teorias gerais. Ao contrário, o que se observa no adolescente é seu interesse por problemas abstratos e a facilidade com que elabora as respectivas teorias que versam sobre política, filosofia, ética, enfim, particularmente, sobre sistemas que visem transformar o mundo. Este tipo de raciocínio é denominado hipotético-dedutivo. (RIZZI; COSTA, 2004, p. 31-32).
Abaixo um quadro de Santos (s/d) que resume os quatro estágios com suas
principais características e mudanças entre eles.
Quadro 1 – Resumo do Desenvolvimento Cognitivo e Afetivo. Santos (s/d), p.
63.
33
Durante esse processo todos os indivíduos passam por cada fase de
desenvolvimento, sem pular nenhuma, e seguem essa mesma ordem. Cada ser tem
seu tempo de permanência durante determinado estágio, sendo aquele que difere
mais o último período. Santos (s/d) cita Moro (1987) em seu trabalho, que sustenta
essa ideia.
Piaget propõe que as construções estruturais da inteligência humana são universais e surgem sempre na sequencia apresentada. Mas as idades cronológicas em que essas construções se manifestam variam de individuo para individuo e de grupo para grupo. (MORO apud SANTOS, s/d, p. 62).
Desde muito pequenas, ainda no período sensório-motor, as crianças têm
contato com quantidades, somente conseguem distinguir entre poucos ou muitos
objetos e fazem relações de correspondência de unidade com unidade.
Quando uma criança atinge a idade de quinze ou dezesseis meses, ultrapassa o estágio da simples observação do mundo ao redor. Já é capaz de conceber o princípio da correspondência unidade a unidade e em particular a propriedade do emparelhamento. Se lhe dermos, por exemplo, tantas bonecas quantas cadeirinhas, vê-la-emos provavelmente associar cada uma dessas bonecas a cada cadeira. Brincando ao acaso ela não fará outra coisa senão emparelhar os elementos de uma primeira coleção (as bonecas) àqueles de uma segunda coleção (as cadeiras). Se lhe dermos, ao contrário, mais bonecas do que cadeiras (vice-versa) vê-la-emos, sem dúvidas, embaraçada ao final de algum tempo; terá constatado a impossibilidade de um emparelhamento. (IFRAH, 1995, p. 22).
Começam a usar números para contar a partir dos três anos, ainda no
começo do pré-operatório, dando início ao cálculo abstrato, fazendo contagens,
inicialmente, até 10 com ajuda das duas mãos.
Em contrapartida, desde que ela ultrapassa esse estágio (isso ocorre, segundo Piaget entre três e quatro anos), está logo em condição de contar; a partir daí, inicia com efeito o progresso que reside na predominância progressiva do conceito numérico abstrato sob o aspecto quase exclusivamente perceptivo das coleções. E a via esta doravante aberta para um verdadeiro aprendizado do cálculo abstrato. É por isso que os pedagogos dizem que nessa idade a criança pequena está num estágio intelectual do pré-cálculo: ela aprenderá inicialmente a contar até 10, apoiando-se particularmente em seus dedos, depois a estender progressivamente sua série numérica na medida de seu acesso à abstração do número. (IFRAH, 1995, p. 9).
Quando a criança atinge 6 ou 7 anos e inicia o período das operações
concretas, e também o período escolar do Ensino Fundamental, começa a formalizar
o aprendizado dos números, porém precisa apoiar-se na realidade concreta para as
tarefas matemáticas.
34
É a partir deste estágio (operações concretas) que começam a ver o mundo com mais realismo, deixam de confundir o real com a fantasia. É neste estágio que a criança adquire a capacidade de realizar operações. Podemos definir operação como a ação interiorizada - realizada no pensamento, componível - composta por várias ações, como a reversível - pode voltar ao ponto de partida. A criança já consegue realizar operações, no entanto, precisa de realidade concreta para realizar as mesmas, ou seja, tem que ter a noção da realidade concreta para que seja possível à criança efetuar as operações. [...] pois já compreendem a noção de volume, bem como peso, espaço, tempo, classificação e operações numéricas. [...] primeiro a criança aprende o conceito de número e seriação, por volta dos sete anos, depois a classificação da realidade, mas essa classificação vai variando conforme a aprendizagem que ela vai fazendo ao longo do tempo. (CARVALHO, 2006, p. 1).
A partir dos 11 ou 12 anos, quando chega ao Ensino Fundamental II e tem o
primeiro contato formal com os números negativos, a criança entra no estágio das
operações formais. O educando está em uma fase de transição, já não precisando
mais apoiar-se totalmente na realidade concreta para realizar as operações
matemáticas, entretanto, o professor não pode confundir isso e achar que o
estudante irá conseguir abstrair tudo o que lhe é ensinado, desvinculando esse
ensino-aprendizagem do cotidiano do aluno.
A dificuldade que os matemáticos sentiram é a mesma que os nossos alunos enfrentam ao estudarem os números relativos e suas operações. Além disso, a passagem do estágio das operações concretas para as abstratas, com todas as implicações que elas trazem, acentua a necessidade de estudo e de aprofundamento didático em números relativos. (HOFFMANN apud TEIXEIRA, 2011, p. 3).
2.2 Aprendizagem, do Ponto de Vista Cognitivo.
Para Piaget, o desenvolvimento mental passa pelas quatro fases descritas
anteriormente, e a construção das operações pode demonstrar a ligação entre as
características biológicas e as formas do pensamento como manifestações da
adaptação do sujeito ao mundo real, entretanto o processo desse desenvolvimento
não está relacionado diretamente ao método de aprendizagem de cada indivíduo.
Para Coll (1987) apud Teixeira (1992, p. 77) a “diferença fundamental entre o
processo evolutivo e o processo educativo é que o primeiro refere-se a uma gênese
espontânea enquanto o segundo é resultado de uma atividade intencional”.
De um modo simplificado, no processo educativo, para Piaget, o sujeito
constrói o conhecimento pelo procedimento de equilibração, sistema esse que o
indivíduo sofre perturbações, criando uma desequilibração em seus esquemas
35
mentais, buscando a assimilação do elemento exterior e suas propriedades
particulares sobre os quais aplicam-se a um novo esquema de pensamento e com
isso uma acomodação gerando uma reequilibração de suas estruturas cognitivas.
Para Wadsworth (1996) os esquemas são estruturas mentais, ou cognitivas,
pelas quais os indivíduos adaptam-se intelectualmente e organizam o meio. Os
esquemas são tratados como conjuntos de processos dentro do sistema nervoso,
não como objetos reais. Os esquemas não são observáveis, são inferidos e,
portanto, são constructos hipotéticos.
Teixeira (1992) relata que as perturbações são relativas ao desenvolvimento
das estruturas mentais do indivíduo.
As perturbações são definidas por Piaget (1975/1976) como “algo que serve de obstáculo a uma assimilação”, o que não significa que todo obstáculo seja perturbador por si mesmo, porque nem todos os estímulos ou problemas colocados pelo meio são perturbadores para sujeito. Só haverá perturbação se as estruturas mentais estiverem desenvolvidas a ponto de assimilá-la como tal. A reação do sujeito conduz a regulações, embora nem toda perturbação provoque uma regulação. (TEIXEIRA, 1992, p. 19).
Piaget (1996) definiu assimilação como:
[...] uma integração a estruturas prévias, que podem permanecer invariáveis ou são mais ou menos modificadas por esta própria integração, mas sem descontinuidade com o estado precedente, isto é, sem serem destruídas, mas simplesmente acomodando-se à nova situação. (PIAGET, 1996, p. 13).
E depois definiu acomodação da seguinte maneira:
Chamaremos acomodação toda modificação dos esquemas de assimilação sob a influência de situações exteriores aos quais se aplicam. Mas, assim como não há assimilação sem acomodações (anteriores ou atuais), assim também não há acomodação sem assimilação. Isto significa que o meio não provoca simplesmente o registro de impressões ou a formação de cópias, mas desencadeia ajustamentos ativos. E por isso que só falamos em "acomodação" subtendendo "acomodação de esquemas de assimilação". (PIAGET, 1996, p. 18).
Para Piaget (1996), a equilibração é o mecanismo principal que o
desenvolvimento depende, é resultado da assimilação e acomodação, e:
[...] constitui um processo muito geral, que, em grandes linhas, vem a opor compensações ativas às perturbações exteriores; compensações que variam, sem dúvida, segundo os níveis e os esquemas do sujeito, mas consistem sempre em reagir às perturbações sofridas ou antecipadas. (PIAGET, 1996, p. 37).
36
O professor das séries iniciais carece ajudar o aluno a construir o conceito
das operações matemáticas, trabalhando com diferentes tipos de atividades,
relacionando-as com o cotidiano das crianças. A cada situação diferenciada que o
aluno aprende, ele integra esse novo conhecimento à seus esquemas obtendo
melhor assimilação e acomodação desse conteúdo estudado. Para Franco (1999, p.
62), “serão necessárias muitas assimilações e acomodações para se chegar à
construção de estruturas que possibilitem, de fato, um novo conhecimento”. Para
Golbert (2000) apud Müller (2003), quanto mais o professor varia as situações de
aprendizagem, mais o aluno agrega essa assimilação a seus esquemas. Isso ocorre
de forma gradual no decorrer das possibilidades de aplicação das propriedades do
objeto de estudo à novos contextos.
Claro está que nem sempre os esquemas de assimilação conferem à criança a capacidade de “ver” nos objetos todas as suas características. Os objetos vão sendo assimilados gradualmente, de modo cada vez mais coerente com suas propriedades. Assim, os esquemas de assimilação são continuamente reformulados e modificados pelo processo de acomodação. (GOLBERT apud MÜLLER, 2003, p. 36).
Nessa variedade de situações, o professor não pode prender-se a um único
caminho, mas sim trabalhar com o máximo de possibilidades diferentes, como jogos,
situações históricas e a tecnologia, sempre buscando contextualizar o conteúdo para
melhor assimilação do estudante.
É consensual a ideia de que não existe um caminho que possa ser identificado como único e melhor para o ensino de qualquer disciplina, em particular da matemática. No entanto, conhecer diversas possibilidades de trabalho em sala de aula é fundamental para que o professor construa a sua prática. Dentre elas, destaca-se a história da matemática, as tecnologias da comunicação e os jogos como recursos que podem fornecer os contextos dos problemas, como também os instrumentos para construção das estratégias de resolução. (PCN, 1998, p. 42).
Vergnaud (1982) acredita que a formação de conceitos é um processo
demorado, que ocorre com as interações do sujeito com novas situações do meio.
Para ele, o conhecimento operacional surge a partir da resolução de problemas, e
quanto mais variedades dessas situações o aluno resolve, melhor cria e/ou amplia
determinados conceitos que já possui. Para Vergnaud, a formação de um conceito
envolve muitos processos e está ligada a muitas situações, invariantes e
representações, não sendo possível estudá-los isoladamente, e cabe ao professor
partir do conhecimento já existente do aluno, gerando conflitos, para que crie novas
relações, favorecendo a acomodação e assimilação de suas ideias. Somente após
37
certo tempo estudando um mesmo tema e aprofundando-se progressivamente, o
professor precisa generalizar as propriedades relevantes dessas situações e partir
para definições com a linguagem matemática. Para esse estudo, Vergnaud alega
que é necessário mapear todos os elementos envolvidos através do que chama de
campos conceituais, que são definidos por ele como “conjunto de situações cujo
domínio requer uma variedade de conceitos, procedimentos e representações
simbólicas fortemente unidos uns aos outros”. É importante trabalhar diferentes
situações em sala de aula e depois estimular o aluno a relacionar seu aprendizado
escolar com atividades do seu dia a dia, a fim de mobilizar seu conhecimento,
adaptá-lo e aplicá-lo a situações fora da escola.
As competências e concepções dos alunos desenvolvem-se ao longo do tempo através de experiências com um grande número de situações, tanto dentro quanto fora da escola. Em geral, quando defrontados com uma nova situação, eles usam um conhecimento desenvolvido através de experiências em situações anteriores e tentam adaptá-lo a essa nova situação. É preciso gerar provocações pelas quais conduzir os alunos a descobrir novas relações e conceitos novos. (VERGNAUD, 2012, p. 15).
Quando o aluno inicia o Ensino Fundamental II é essencial prosseguir o
trabalho dos ciclos anteriores, tanto no conteúdo dos números inteiros como
complemento do conjunto dos naturais, nas quatro operações, tratando
adição/subtração e multiplicação/divisão como operações inversas, e na diversidade
de situações de aprendizagem, principalmente as que utilizam problemas mais
voltados para o contexto do aluno.
Construir os invariantes necessários a cada uma destas operações com inteiros supõe abstrações reflexivas que facultam destacar a estrutura comum a diversas situações nas quais estão implícitas realidades numéricas representativas dos inteiros. Se tal construção se dá sobre a forma de auto-regulação, deduz-se que se for possibilitada a criança maior heterogeneidade de situações, contextos e mesmo linguagens, ampliam-se os pontos de referência e a possibilidades de interconexões. Em outras palavras, a diversidade de situações das quais partem os problemas, desde que não levem a reproduções mecânicas, favorecem à abstração tanto quanto possibilitam que o dado abstraído se generalize, permitindo reconstruções diante de novos problemas. (TEIXEIRA, 1992, p. 100).
Independente da situação é imprescindível conhecer seus alunos para saber
provocar o grau de perturbação adequado para cada um, pois o que pode ser
perturbador para um pode não ser para outro, e para Teixeira (1982, p. 25) “se o
indivíduo não é perturbado, não há reequilibração, portanto, seu conhecimento não
se altera”.
38
Após passar por diferentes situações de aprendizagem, criar suas próprias
hipóteses e as testar em vários problemas matemáticos, o aluno começa a assimilar
aquele conceito trabalhado e o professor, de forma gradual, insere a linguagem
matemática, até então não familiar para criança, para que aconteça o esquema de
auto-regulação e reequilibração. Fraga (1988) cita Dienes (1974) para mostrar que o
professor deve partir da construção do conhecimento do aluno para a linguagem
matemática e não ao contrário.
“Em Matemática, a criança vai utilizar outra linguagem; ela não tem pressa nenhuma em aprendê-la, porque as experiências que estes estímulos trazem são por demais estranhos para ela”. (DIENES, 1974, p. 6).
Sabe-se que o desenvolvimento da linguagem usual se dá gradativamente e é uma conseqüência da familiaridade e domínio de certo número de conceitos, por intermédio de experiências vividas pela criança em situações simbolizadas por estes termos. Assim também acontece com a linguagem matemática; as crianças precisam ter [...] oportunidade de passar por um número suficiente de experiências variadas que lhes sejam indispensáveis, antes que o simbolismo matemático assuma toda a sua significação para elas.
Dienes (1974, p. 6) adverte ainda que “a não assimilação do significado ‘das expressões simbólicas’ levará o aluno a uma [...] coleção de fórmulas cuidadosamente decoradas, a fim de responder corretamente nas provas e obter boas notas”. (FRAGA, 1988, p. 41).
Deste modo, o aluno desenvolve conceitos mobilizando seus esquemas e os
organiza para a linguagem matemática, produzindo uma aprendizagem que
realmente fará sentido para ele, não apenas decorando fórmulas sem saber o que
fazer com elas ou seus significados.
2.3 Erro, do Ponto de Vista Cognitivo.
Existem diversos fatores que corroboram para uma melhor aprendizagem de
alguns alunos e para as dificuldades de outros, entre eles: a organização dos
conteúdos e das situações de ensino-aprendizagem, a abordagem afetiva entre
professor e aluno, incentivos ou problemas familiares e a própria motivação do aluno
em querer aprender.
[...] comecemos a refletir sobre essa citação de Piaget: Toda conduta seja ela exterior (ação realizada sobre o meio), seja ela interna (pensamento), apresenta-se sempre como uma adaptação, ou melhor, readaptação. O indivíduo somente age se ele sentir a necessidade de fazê-lo, isto é, se o equilíbrio for momentaneamente rompido entre o meio e o organismo, e a
39
ação tende a restabelecer o equilíbrio, a readaptar o organismo. (LA TAILLE, 1997, p. 42).
Quando acontece algum problema dentro desses vários fatores o aluno perde
o interesse em querer aprender e isso o afeta em sua aprendizagem. Considerando
um ambiente favorável e excluindo os problemas extraclasse, nos atentamos às
causas dos erros durante o processo de ensino-aprendizagem. Para Brousseau
(1983) apud Rossi (2009) os obstáculos na aprendizagem matemática têm quatro
origens:
* Obstáculos de origem Ontogênica: São aqueles mais ligados ao desenvolvimento intelectual do aluno. Cada indivíduo que aprende desenvolve capacidades e conhecimentos adequados à sua idade mental que pode ser diferente à sua idade cronológica. Essas capacidades e conhecimentos podem ser insuficientes à elaboração de novos conceitos e podem assim se constituir como obstáculos de natureza ontogênica. Os obstáculos dessa natureza estão ligados à evolução individual do aluno e são superados pela evolução dessa fase, inclusive cronológica.
* Obstáculos de origem Cultural: São aqueles frutos de concepções errôneas que equivalem a certas maneiras de pensar, mas que não correspondem a conhecimentos científicos reconhecidos, como por exemplo, a ideia de sorte como determinante da probabilidade.
* Obstáculos de origem Didática: São aqueles ligados ao ensino. Cada docente, por exemplo, escolhe uma maneira de ensinar, uma organização curricular, um projeto, que considera eficaz, de acordo com suas convicções científicas e didáticas, para alguns alunos essa escolha revela-se um obstáculo didático.
* Obstáculos de origem Epistemológicos: São aqueles inerentes ao conhecimento matemático, aqueles que não se pode fugir, pois são constitutivos do conhecimento, como por exemplo, o surgimento do zero, dos números negativos, entre outros. (ROSSI, 2009, p. 43).
Uma prática de ensino que visa a aprendizagem em que o aluno constrói o
próprio conhecimento pode considerar situações que sejam baseadas em
problemas, não em fórmulas de exercícios isolados e sem sentidos. Também
necessita favorecer as várias tentativas que ele faz para chegar até a resposta
desejada. Para isso é preciso que o professor desafie e estimule-o a refletir e criar
diversos cenários, não se preocupando com acertos ou erros, mas sim com a
compreensão do que se está fazendo, sem exageros no grau de dificuldade para
que esse desafio não se torne algo que a criança veja como algo sem resposta ou
inalcançável e perca a vontade de tentar transpor essa barreira, não ocorrendo
assim o processo de assimilação e acomodação em sua estrutura cognitiva. A partir
do momento que o aluno sente-se desafiado e tenta diversas formas de resolução
40
de certa situação, e começa a adquirir o conceito e compreender o que está
estudando, o erro passa a ajudá-lo a aprimorar essa compreensão e ele assimila
isso em sua estrutura cognitiva. Cabe ao professor aproveitar esses momentos, em
que os alunos sentem-se desafiados e tentam superar essas barreiras, para
diagnosticar quais tipos de erros cometem e identificar suas origens, analisando se
encaixam em um desses padrões propostos por Brousseau (1983) ou se o erro é
proveniente de alguma outra fonte como uma simples distração, por exemplo.
É necessário que os professores tenham acesso aos dados de pesquisa que informem sobre as estratégias, no geral usadas pelos alunos, quando da aprendizagem de um conceito, para levantar as prováveis confusões ou erros que fazem. Mais do que isso, identificar se a origem dos erros se localiza no próprio aluno, no método usado ou é intrínseca ao próprio conteúdo; ou, como define Brousseau (1983), se os obstáculos são de origem ontogenética, didática ou epistemológica. (TEIXEIRA, 1992, p. 113).
Geralmente, professores não se preocupam em analisar os procedimentos
realizados pelos alunos, não se atentando às causas dos erros, verificando somente
a resposta final. Em suas visões, o erro é algo ruim, indício de que os estudantes
não estão aprendendo e precisa ser evitado que isso aconteça.
Como contrapondo, em uma visão construtivista, o erro é aceito como algo natural, que acompanhará os estudantes em todo seu processo de aprendizagem, pois se trata de um desequilíbrio momentâneo entre um resultado esperado e o obtido, sendo assim um momento para que o aluno faça uma reflexão.
Macedo (1994) esclarece que, na linha construtiva, o erro é um elemento possível e até mesmo necessário, intrínseco ao processo de construção do conhecimento. Para o autor, o desacerto, por fazer parte do processo, pode ser analisado por diferentes maneiras e não deve ser negado ou justificado de modo complacente, tão pouco evitado por meio de punições, mas sim problematizado e transformado em situações de aprendizagem. Para quem aprende, o erro aparece como um problema a ser resolvido, e, muitas vezes, é possível reconhecê-lo apenas depois de tê-lo cometido, ou seja, não se pode prevê-lo. (LOPES; ALLEVATO, 2011, p. 25).
O erro não deve ser evitado de maneira que o aluno faça milhares de
repetições de exercícios até isso tornar-se “natural” e automático, porém compete ao
professor diversificar as situações de ensino-aprendizagem de modo que cada
criança escolha aquela que melhor o ajuda na compreensão dos conteúdos e
conceitos.
O fator que faz emergir a análise de erros do ensino de matemática é sua ocorrência relacionada a “disparates” de compreensão e nos processos
41
lógicos, sistematizados pelos alunos de maneira errônea quando da realização de uma tarefa ou na resolução de um problema. Consequentemente, o professor deverá alterar suas estratégias docentes, com o objetivo de adaptar uma metodologia mais adequada a esses alunos e explorar não somente o saber mecânico operacional, mas incentivar cada educando a escolher os procedimentos que mais se adéquam ao seu propósito e estilo de aprendizagem. (LOPES; ALLEVATO, 2011, p. 35).
O professor é incumbido de olhar o erro como um auxiliar que diagnostica as
maiores dificuldades e facilidades dos alunos durante as aulas e lhe serve de
subsídio para ajudar no ensino-aprendizagem.
2.4 O Papel do Erro no Ensino de Matemática.
Existem muitos estudos sobre os erros cometidos pelos estudantes de
matemática e suas causas, passando por pesquisas na psicologia até a construção
da aprendizagem a partir dos erros. Esses estudos buscam compreender a
importância do erro no processo de aprendizagem dos alunos.
Em todas as matérias, mas, principalmente, em matemática, existe uma
valorização muito grande do acerto e o erro é visto como fracasso do aluno que não
aprendeu o conteúdo.
Em geral, o erro era observado pelo professor como um indicador do mau desempenho do aluno, sem jamais ser utilizado para o redimensionamento do ensino. O que permeava o ensino era uma “pedagogia da resposta” em que o erro era o sintoma visível do fracasso do aluno, assim como o acerto era o sinal mais evidente de seu sucesso. (PINTO, 2000, p. 8).
Na disciplina de matemática, por ser da área de exatas, o professor, por
diversos motivos, avalia o aluno, frequentemente, analisando somente a resposta
final do exercício proposto e não investiga a origem desses erros. Para haver uma
mudança, o professor precisa mudar seus métodos de avaliação, alicerçando-se no
processo que o aluno percorre para atingir o resultado e analisar as possíveis
causas dos erros, criando subsídios para que possa planejar novas situações de
aprendizagem para ajudar a criança. Para Pinto (2004), isso:
[...] se inicia no momento em que o educador reflete sobre o significado dos erros e acertos dos alunos preocupando-se em compreender os diferentes processos que os alunos utilizam ao apropriar-se dos conhecimentos, ao inquietar-se frente aos resultados obtidos e buscar sua regulação. (PINTO, 2004, p.123).
42
O erro está sempre presente no ato da aprendizagem, fazendo parte da
construção do conhecimento, e não pode ser desprezado. Para Macedo (1997):
[...] quando se considera o processo, ignorar o “erro” é supor que se pode acertar sempre ‘na primeira vez’; é eliminá-lo como parte, às vezes inevitável, da construção de um conhecimento, seja de crianças, seja de adultos. Como processo, ‘errar’ é construtivo. (MACEDO, 1997, 29).
Diariamente surgem situações matemáticas na vida das pessoas e uma ótima
forma de analisar os erros do aluno é estimulando-o para que trabalhe com a
resolução de problemas baseado em seu dia a dia, para que mostre como faz para
resolvê-los e faça registros de tudo, explicando cada passo utilizado no processo
empregado. É importante haver uma conversa com a criança para que não tenha
medo de errar e, mesmo que ache que está errando, anote todo o procedimento
para que o professor possa retomá-lo mais tarde e faça uma análise mais minuciosa.
Deste modo, além de melhorar o processo de ensino- aprendizagem, o docente
conhece um pouco mais sobre o aluno e como ele pensa.
O mais importante é o professor adotar uma atitude reflexiva diante do erro do aluno, procurando, não apenas, compreender o erro no interior de um contexto de ensino, mas também compreender o aluno que erra. (PINTO, 2000, p. 164-165).
Todas essas formas de trabalhar exigem do professor mais tempo e
dedicação, porém ajudam muito a conhecer as causas dos erros cometidos. Para
cômputo de estatística deste estudo, os exercícios dos testes da pesquisa foram
considerados apenas certos ou errados, entretanto, foi dada maior ênfase para os
erros, para que fosse feita uma discussão sobre suas naturezas.
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CAPÍTULO III – A PESQUISA
3.1 Percepção dos Erros.
Neste capítulo exponho, inicialmente, mais algumas experiências vivenciadas
com os alunos, em que os erros emergiram em variadas situações, principalmente
no primeiro semestre de 2012.
A prática do ensino, sob visão da narrativa, é vista como construída por professores ao contarem e viverem histórias em suas salas de aula. Histórias de ensino são em parte histórias pessoais formatadas pelo conhecimento, valores, sentimentos, e propósitos do professor individual. São também histórias coletivas configuradas pelas tradições de escolarização no ambiente que o professor trabalha, o contexto social, cultural, histórico no qual as histórias são vividas e as regras e os padrões de discurso que tornam possíveis formas particulares de contar histórias. (ELBAZ-LUWISCH, 2002, p. 405).
Como professor de matemática, todos os dias presencio muitos erros dos
alunos do Ensino Médio que já não deveriam acontecer com tanta frequência que
ocorrem. Por exemplo: “4+3=6”, “9-5=5”, “1x1=2”, “5x0=5”. Esses não são casos
isolados, são frequentes e, algumas vezes, ocorrem em todas as aulas do dia. Pelos
resultados obtidos nas atividades, os erros podem ter origem no fato dos alunos não
terem assimilado o conceito das quatro operações ou algum tipo de distração.
Já lecionei em outras duas escolas públicas e duas particulares, e esses
problemas não eram muito diferentes. Durante conversas em intervalos de
professores ou reuniões em Aulas de Trabalho Pedagógico Coletivo, percebo que
esses problemas são comuns em diversas classes de diferentes séries.
Em 2012, no final de uma aula, em uma conversa informal com uma aluna,
que obtinha as melhores notas da sala em todas as matérias, perguntei quanto era
1x1 e ela respondeu 1; perguntei quanto era 5x0 e ela respondeu 0; perguntei
quanto era 3x4 e ela respondeu 12. Eu a elogiei por acertar as respostas, com a
intenção de deixá-la mais a vontade para as próximas perguntas. Depois perguntei
por que/o que significava 1x1=1, 5x0=0 e porque 3x4=12 e não 3x4=13, e ela disse
que sabia as respostas porque havia “decorado” a tabuada, mas não o porquê
resultaria aquelas respostas. Para “perturbar” um pouco a aluna, fiz mais algumas
perguntas. Perguntei quanto era 10x10, quando uma colega sua, que estava
44
ouvindo a conversa, precipitou-se em responder 20, mostrando também que,
possivelmente, não tem o conceito de multiplicação assimilado. A aluna que eu
conversava inicialmente a corrigiu e disse que a resposta era 100. Confirmei e
perguntei quanto era 11x10 e, sem pensar muito, ela respondeu 110. A questionei
se haviam decorado a tabuada do 11 também e ela disse que não, e explicou que
somou mais 10 ao 100, que era 10x10. Como acabou a aula, pedi as duas para que
pensassem e discutissem e na próxima aula me dissessem o porquê, o que
significava 1x1=1, 5x0=0, 3x4=12, 10x10=100 e 10x11=110. No dia seguinte
perguntei para as alunas se haviam debatido sobre o que conversáramos no dia
anterior e elas confirmaram, e, mesmo após essa conversa, me disseram que não
entendiam o significado de 1x1=1, e o porquê 3x4 seria 12. Um pouco de forma
inconsciente ela conseguiu achar o 11x10=110 usando o conceito da multiplicação,
mas não generalizou isso para as outras contas.
Isso mostra que essas alunas, durante suas vidas escolares, tiveram o
ensino-aprendizagem baseado na memorização da tabuada, sem passarem por
diferentes situações que as ajudassem a construir o conceito da multiplicação como
soma de parcelas iguais.
3.2 Dificuldades com Números Inteiros e Racionais.
Em minha prática docente, quando algum exercício ou problema usa divisão
de números naturais, o cenário torna-se pior. Se na adição, subtração e
multiplicação os alunos arriscam alguns palpites para as respostas durante
explicações, quando é perguntada alguma divisão “simples” como 18/3 na lousa, é
raro algum aluno tentar responder, e quando os alunos conversam de forma mais
particular em suas mesas ou na mesa do professor para tirar suas dúvidas, às vezes
esboçam alguma resposta, mas quase sempre errada. Quando a resposta é um
número racional na forma decimal, ninguém arrisca nem tentar responder.
No conjunto dos números inteiros a situação vira uma “bagunça”. Os alunos
usam as “regras de sinais”, e de maneira errada, para tudo. Costumam perguntar “+
com + é -?”. Aparentemente, durante suas vidas escolares, os alunos não formaram
uma boa compreensão de números negativos e suas operações e cometem diversos
tipos de erros.
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Entre a diversidade de erros, os estudantes misturam a adição com
multiplicação e tentam unificar as “regras de sinais” para esses dois casos.
Problemas como esses não são exclusivos dos nossos alunos e são encontrados
desde a antiguidade, até mesmo por matemáticos daquela época, como mostra
Glaeser (1981/1985) em seu estudo sobre obstáculos.
Com essa confusão que fazem, muitas vezes acabam errando em situações
mais simples, mostrando um obstáculo epistemológico, como afirma Bachelard
(1996): Quando a tentativa da generalização de uma ideia ou conceito é apressada,
é preciso atentar-se para que isso não se torne um obstáculo epistemológico à
formação do conhecimento científico.
Souza (2002) afirma que o conceito é uma evolução do pensamento, algo que
acontece na reconstrução de um conhecimento anterior, e quando isso não
acontece e um saber anterior mal estabelecido prevalece sobre o novo
conhecimento, temos o que Bachelard (1996) chama de obstáculos epistemológicos.
[...] no fundo, o ato de conhecer se dá contra um conhecimento anterior, destruindo conhecimentos mal estabelecidos, superando o que, no próprio espírito, é obstáculo à espiritualidade. (...) é no âmago do próprio ato de conhecer que aparecem, por uma espécie de imperativo funcional, lentidões e conflitos. É aí que mostraremos causas de estagnação e até de regressão, detectaremos causas de inércia às quais daremos o nome de obstáculos epistemológicos. (BACHELARD, 1996, p. 17).
Relacionando o conhecimento da “regra de sinais” dos números inteiros com
os números naturais, bloqueando a evolução, alguns alunos quase chegam a uma
regressão, esquecendo-se de como fazer os exercícios mais simples com as quatro
operações.
Durante uma aula no 2º ano, quando os alunos estavam aprendendo o
conteúdo de matrizes, fiz uma revisão sobre as quatro operações com números
inteiros para podermos fazer a subtração de matrizes. Havia alguns exercícios que
começavam fáceis e depois aumentavam a dificuldade. Dentre eles, que eram os
primeiros da revisão:
5 + 2 = 5 – 2 = 2 + 5 = 2 – 5 =
46
Enquanto eu estava na lousa, durante a explicação, uma aluna perguntou
procurando expressar sua dúvida: “5 – 2 é igual a –3?, porque positivo com negativo
dá negativo, e 5 é positivo e 2 é negativo, então a resposta é negativa, –3”. Menos
de 1 minuto depois, a mesma aluna perguntou novamente: Na conta 2 – 5 =; “Se de
2 não dá para tirar 5, de onde eu vou pegar ‘emprestado’? Quanto vai dar esse
resultado?”.
O conhecimento antigo atua como uma força contrária à realização de uma nova aprendizagem. A evolução do conhecimento encontra-se, então, estagnada até o momento em que ocorrer uma ruptura epistemológica com os saberes que predominaram por um certo período. Num caso extremo, a obstrução do conhecimento antigo pode até mesmo provocar uma regressão do nível de compreensão. (PAIS, 2005, p. 40).
Talvez, por algum modo de os professores abordarem o conteúdo, ou em
uma tentativa frustrada de generalizar as “regras de sinais”, houve empecilhos que
prejudicaram a construção de seu conhecimento, gerando um obstáculo
epistemológico, que age como uma barreira para a realização dessa aprendizagem
das operações com números inteiros.
3.3 Caracterização da Escola e dos Alunos Participantes da Pesquisa.
A pesquisa aconteceu no 2º bimestre de 2012, em uma escola estadual de
Ensino Fundamental II e Ensino Médio, onde sou professor em caráter efetivo desde
2011. O prédio possui 13 salas de aula que se dividem em Ensino Médio e
Fundamental II no período matutino, Fundamental II no período vespertino e Ensino
Médio no noturno. Leciono matemática apenas no Ensino Médio há 5 anos, e esse
foi o motivo da escolha do público alvo. Quando não a totalidade, a maioria das
salas que leciono é de 2ºs anos, razão essa da escolha da série. Os alunos
escolhidos estavam matriculados no período noturno e enquadravam-se numa faixa
etária entre 15 e 18 anos de idade.
Após uma conversa inicial com a coordenação da escola, dispusera-se a
ajudar no que fosse preciso, entretanto disseram que a pesquisa não poderia ser
feita em horário de aula para não haver qualquer tipo de prejuízo no cumprimento da
programação do planejamento escolar. A escola não abre nos finais de semana, e,
por essas razões, a pesquisa ocorreu antes do horário de aula, e não eram todos
que dispunham de tempo, então foram convidados 12 alunos que pudessem
47
participar da pesquisa antes de começarem as aulas. Foi feito um convite para todos
os alunos que pudessem vir das 17:00 às 19:00 horas. As atividades, questionários
e entrevistas foram realizadas em uma sala vazia durante esse horário.
Por serem sujeitos que não foram de minha escolha, tive menos influência
nos dados obtidos, pois foram escolhidos por disponibilidade de tempo, ao acaso.
Goldenberg (1999) fala sobre a parcialidade que o pesquisador pode dar ao
“escolher” os pesquisados:
[...] a explicitação de todos os passos de pesquisa para evitar o bias do pesquisador: recusam a suposta neutralidade do pesquisador quantitivista e propõe que o pesquisador tenha consciência da interferência de seus valores na seleção e no encaminhamento do problema estudado. (GOLDENBERG, 1999, p. 44).
3.4 Desenvolvimento da Pesquisa.
Foi aplicado um teste de conhecimentos prévios com 10 alunos do 2º ano que
não fizeram parte da pesquisa para avaliar tempo e dificuldades que teriam, dando
base para os ajustes das perguntas que foram feitas nos testes e entrevista da
pesquisa.
3.4.1 Sobre os Testes de Conhecimentos Prévios.
A partir de muitas situações como essas, enquanto professor, constatei que
muitas vezes os alunos entendem o conteúdo e conceito trabalhado em sala, mas
acabam errando a resolução das 4 operações básicas com números naturais e,
principalmente, com os números inteiros e racionais, tendo de recorrerem à
calculadora para os cálculos. Segundo Bigode (1998):
Os estudos demonstram que, quando liberados do cálculo, os alunos conseguem se concentrar melhor nas relações entre os dados, nas condições e nas variáveis dos problemas. Em outras palavras, canalizam suas energias para o raciocínio. (BIGODE, 1998, p. 45).
A calculadora tem um papel muito importante, pois o cotidiano contém uma
variedade de informações que são necessários cálculos para entendê-las, e na sala
de aula seu uso é recomendado como ótimo recurso, principalmente para verificação
48
de respostas ou exercícios cujo foco não é a conta e sim o conceito e pode haver
uma economia de tempo na resolução de contas longas.
Todos os dias somos confrontados com um enorme volume de informação numérica nas mais variadas representações – diagramas, gráficos, tabelas com números inteiros, numerais decimais, frações, percentagens, etc... O desenvolvimento do sentido do número e de estratégias eficazes de cálculo mental são essenciais à interpretação destes dados e à tomada de decisões críticas e fundamentadas. Para isso, é importante que os alunos desenvolvam a capacidade de realizar cálculos exatos e aproximados, recorrendo aos algoritmos escritos, à calculadora e ao cálculo mental. (ALBERGARIA; PONTE, 2008, p. 98).
Entretanto, existem situações diárias que exigem o cálculo de maneira rápida,
como um objeto comprado por R$3,00 e pago com uma nota de R$5,00, por
exemplo, e a pessoa não deve depender da calculadora, mas desenvolver outros
tipos de procedimentos, como os próprios algoritmos convencionais, e saber como
fazê-los mentalmente para julgar com criticidade os resultados obtidos na situação.
Seja como for, seria importante incentivar as crianças a antecipar e a julgar resultados, porque isto é imprescindível na vida cotidiana e porque só assim estarão em condições de avaliar a correção ou incorreção das contas que realizam. Quando não se trabalha deste modo, as crianças aceitam como corretos resultados que não são lógicos, porque confiam mais nos procedimentos adquiridos mecanicamente do que em seu próprio raciocínio. As calculadoras podem fazer as contas que a pessoa indica — porém só os seres humanos podem decidir em que situações corresponde somar, subtrair, dividir ou multiplicar, e nenhuma máquina pode substituí-los na avaliação dos resultados obtidos ao realizar estas operações. (ZUNINO, 1995, p. 89).
Considerando apenas as quatro operações fundamentais com números
naturais, e resultando em números naturais, e alunos do nível de Ensino Médio, era
esperado que soubessem resolver esses tipos de exercícios, ou pelo menos a
maioria deles. Parra e Saiz (1996, p. 189) afirmam que “Todas as crianças devem
poder realizar qualquer cálculo escrito que lhes seja proposto”.
Como a quantidade, e variedade, de desacertos nas quatro operações era
enorme, para identificar erros e acertos mais frequentes pelos alunos e as causas
maiores de suas dificuldades e obstáculos nas quatro operações básicas, como
pesquisador, foram aplicados 3 testes de conhecimentos prévios contendo 33
exercícios, (Anexos B, C, D, E, F e G), com 12 alunos, entre 15 e 17 anos de idade,
do 2º ano do Ensino Médio, totalizando 396 questões, envolvendo adição, subtração,
multiplicação e divisão que resultavam em números naturais, (Anexos B e D),
algumas questões que resultavam em números inteiros, (Anexo C), e algumas em
49
números racionais em sua forma decimal, (Anexo D), um teste com problemas
envolvendo números naturais (Anexo E), e um deles envolvendo números inteiros
negativos, (Anexo F), finalizando com um questionário, (Anexo G), ainda com
questões como todas anteriores, que pesquisava sobre o conhecimento prévio dos
alunos acerca de alguns conceitos, utilização das quatro operações em situações
matemáticas e cotidianas e dificuldades que os alunos sentiram durante a realização
dos exercícios propostos.
Os testes envolviam as quatro operações, e para não ficar ainda maior, foram
usados exercícios simples, não tratando diretamente com expressões numéricas,
adição, subtração, multiplicação ou divisão de números inteiros negativos ou
racionais nas formas fracionárias ou decimais.
3.4.2 Aplicação dos Testes de Conhecimentos Prévios.
A aplicação dos testes de conhecimentos prévios começou no dia 27 de
Março de 2012. Pouco depois das 17:00 horas, após acomodação dos alunos
sentados de maneira individual e distantes um do outro, foram distribuídos os testes,
respectivamente, (Anexos B e C, D e E, e F e G). Foi feita uma leitura rápida das
questões, explicando o que cada exercício pedia, para não haver dúvidas causadas
pela impressão ou sinais, como da barra (/) que significava divisão. Posteriormente a
leitura, começou a aplicação dos dois testes, (Anexos B e C), e foi pedido para que
resolvessem os exercícios da maneira que sentissem-se mais confortáveis para isso,
mas que sempre que fossem escrever algo, que o fizessem na folha da prova.
Durante a resolução dos exercícios, alguns contavam nos dedos para fazer somas e
subtrações, outros faziam traços. Para ajudar a achar o valor da multiplicação de
algum número, alguns faziam somas sucessivas e outros a tentavam mentalmente.
Alguns alunos fizeram anotações ou contas nas folhas, mas depois, por acharem
que estavam erradas ou com vergonha, apagaram esses registros.
Após 40 minutos, o primeiro aluno terminou as duas folhas de questões.
Foram corrigidos os exercícios e depois disso, enquanto os outros ainda
terminavam, no fundo da sala, foram pedidas explicações e feitas algumas
perguntas, e enquanto as respondia, a conversa foi gravada em vídeo, focando o
que ele apontava durante sua fala sobre como procedeu para resolver as atividades.
50
Enquanto os alunos terminavam as provas, eram corrigidas e feitas as entrevistas
gravadas em vídeo para que dissessem quais processos utilizaram nas atividades e
depois fosse possível retomá-las para fazer as interpretações necessárias.
Os dados da pesquisa qualitativa objetivam uma compreensão profunda de certos fenômenos sociais apoiados no pressuposto da maior relevância do aspecto subjetivo da ação social. Contrapõe-se, assim, à incapacidade da estatística de dar conta dos fenômenos que não podem ser identificados através de questionários padronizados. (GOLDENBERG, 1999, p. 49).
Para o questionário foram feitas perguntas, (Anexo G), que eles responderam
sobre os testes aplicados, e para entrevista foram realizados questionamentos de
acordo com o erro de cada aluno, não seguindo um padrão.
Os dados qualitativos consistem em descrições detalhadas de situações com o objetivo de compreender os indivíduos em seus próprios termos. Estes dados não são padronizáveis como os dados quantitativos, obrigando o pesquisador a ter flexibilidade e criatividade no momento de coletá-los e analisá-los. (GOLDENBERG, 1999, p. 53).
Após entrevistado, o aluno saía da sala e aguardava no pátio pelo horário de
entrada das suas aulas do Ensino Médio, evitando assim conversas que
atrapalhassem e desconcentrassem seus colegas. Nos dias seguintes os
procedimentos foram muito semelhantes.
Com a intenção de verificar se os alunos construíram os conceitos das quatro
operações, na pesquisa foram propostos testes na forma de exercícios e problemas
que simulavam situações do cotidiano, a fim de estimulá-los e desafiá-los a acharem
soluções, não importando os procedimentos ou algoritmos que usassem para isso.
Era esperado que mobilizassem esquemas já construídos para a resolução das
tarefas e, logo que terminassem os testes, expressassem oralmente seus raciocínios
empregados para que fossem analisadas as origens desses erros.
3.5 Análise dos Testes de Conhecimentos Prévios.
Os testes são analisados tentando identificar as maiores dificuldades e
facilidades dos alunos na resolução.
A análise do trabalho das crianças serve como catalisador para o desenvolvimento de conceitos e ideias matemáticas. Oferece uma oportunidade de questionar as limitações de uma compreensão puramente voltada aos procedimentos do conteúdo matemático. (D’AMBRÓSIO, 2005, p. 27).
51
3.5.1 Visão Geral da Análise dos Testes de Conhecimentos Prévios.
Para uma contagem de erros e acertos, os testes foram divididos em:
exercícios de adição/subtração que resultaram em números naturais (inteiros
positivos) e em números inteiros negativos; exercícios de multiplicação, e; exercícios
de divisão que resultaram em números naturais e em números racionais na forma
decimal. Entretanto, nas tabelas, por existirem exercícios compostos, estão como
adições, que envolvem as adições/subtrações, multiplicações, que envolvem as
multiplicações/divisões e problemas, que envolvem as quatro operações.
Adições/subtrações que têm resultados números naturais, houve 27,3% de
erros, os exercícios que só envolviam adição houve 16,6% de erros e os que só
envolviam subtração 35,4%. A respeito das adições/subtrações que resultaram em
números inteiros negativos, houve 91,6% de erros. Aconteceram 50% de erros nos
exercícios de multiplicação e 76% na divisão. Por último os problemas, que
apresentaram 58,3% de erros cometidos pelos alunos.
Para facilitar a visão desses números, segue uma tabela, onde “X” significa
erro e a ausência de caracteres representa o acerto da questão. Os “códigos” A1,
A2, etc. referem-se aos alunos, listados em ordem alfabética, sendo tratados todos
no masculino durante os exemplos e explicações, mesmo sendo feminino.
52
Tabela 1 – Acertos e Erros nos exercícios dos Testes de Conhecimentos Prévios
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12 Acerto por
Questão
Adição a X 92%
Adição b X X X 75%
Adição c X X 84%
Adição d X X 84%
Adição e X X X X X 59%
Adição f X X X X X 59%
Adição g X X X X X 59%
Adição h X X X X X X X X X X X 09%
Adição i X X X X X X X X X X X 09%
Adição j X X X X X X X X X X X 09%
Adição k X X X X X X X X X X X 09%
Adição l X X X X X X X X X X X 09%
Multiplicação a X 92%
Multiplicação b X X X X 67%
Multiplicação c X X X X X X 50%
Multiplicação d X X X X X X X X X 25%
Multiplicação e X X X X X X X X X X 17%
Multiplicação f X X X X 67%
Multiplicação g X X X X X X X 42%
Multiplicação h X X X X X X X X X 25%
Multiplicação i X X X X X X X X X X 17%
Multiplicação j X X X X X X X X X X X 09%
Multiplicação k X X X X X X X X X X X X 00%
Multiplicação l X X X X X X X X X X X X 00%
Multiplicação m X X X X X X X X 34%
Acerto por aluno
16% 8% 28% 36% 48% 24% 56% 24% 80% 32% 68% 56% 40%
Problema 1 100%
Problema 2 X X X X X X X X 34%
Problema 3 X X X X X X X 42%
Problema 4 X X X X X X X X X X 17%
Problema 5 X X X X X X X 42%
Problema 6 X X X X X X X X 25%
Problema 7 X X X X X X 50%
Problema 8 X X X X X X X X X X 17%
Acerto por Aluno
16% 9% 31% 34% 52% 22% 61% 28% 85% 28% 67% 55% 41%
Com exceção da questão “1” do Anexo F, informado na tabela como
Problema 1, todas as outras apresentaram pelo menos um aluno que a errou,
mostrando inicialmente que a dificuldade dos alunos não está diretamente
relacionada à interpretação ou falta da competência leitora, mas ao não domínio das
quatro operações fundamentais da matemática. Em “negrito” está destacado a
média de acertos dos alunos, tendo uma leve melhora dos exercícios isolados para o
total, composto por exercícios isolados e exercícios em forma de problemas.
Durante o Teste 3 (Anexo G), foi perguntado aos alunos o que era e o que
entendiam por: Adição, Subtração, Multiplicação e Divisão. Os alunos não definiram
o que é cada uma das operações, ninguém relacionou a subtração e divisão como
operações inversas da adição e multiplicação, e quando tentaram conceitualizar, a
53
maioria apenas relacionava a operação com o sinal e até mesmo se confundiam
entre as operações.
3.5.2 Categorização dos Testes de Conhecimentos Prévios.
Por alguns exercícios serem compostos por adição e subtração, foram
agrupados. As categorizações foram criadas, em princípio, todas juntas, por haver
mais de uma operação ao mesmo tempo, como exemplos, os casos de
multiplicações que usam somas e divisões que usam subtração em seus processos.
Cada uma delas é explicada e oferecido, pelo menos, um exemplo com comentários
sobre o erro.
A categorização é uma operação de classificação de elementos constitutivos de um conjunto, por diferenciação e, seguidamente, por reagrupamento segundo o gênero (analogia), com os critérios previamente definidos. As categorias são rubricas ou classes, as quais reúnem um grupo de elementos (unidades de registro, no caso da análise de conteúdo) sob um título genérico, agrupamento esse efetuado em razão dos caracteres comuns destes elementos. (BARDIN, 1977, p. 117).
Para Bardin, a categorização pode empregar dois processos inversos:
* É fornecido o sistema de categorias e repartem-se da melhor maneira possível os elementos, à medida que vão sendo encontrados. Este é o procedimento por “caixas”, aplicável no caso da organização do material decorrer diretamente dos funcionamentos teóricos hipotéticos.
* O sistema de categorias não é fornecido, antes resultando da classificação analógica e progressiva dos elementos. Este é o procedimento por “milha”. O título conceitual de cada categoria somente é definido no final da operação. (BARDIN, 1977, p. 119).
Houve muitos e diferentes erros cometidos pelos alunos, então foi usado o
processo de “milhas”, que pode ocorrer de haver muitas categorias diferentes.
Numa pesquisa sobre como crianças usam a reta real e as operações de pensamento envolvidas, Vergnaud constatou muitos tipos de dificuldades entre as mesmas. Dentre os 600 registros encontrados e catalogados em 50
É X
(Ex. A – Questão 1 - Anexo G – A2)
Serve Para diminui um numero
(Ex. B – Questão 1 - Anexo G – A3)
54
ou 60 categorias diferentes, quase nenhum estava próximo do conceito que requer uma síntese entre o conceito de ordem e de distância e intervalo. (TEIXEIRA, 1992, p. 89-90).
Antes de começarem os testes, foi pedido aos alunos que respondessem
cada exercício da maneira mais completa possível, colocando o sinal negativo,
dividissem o resto, colocassem o símbolo R$ e as barras (colchetes ou parênteses),
no caso de matrizes, quando necessário. Durante toda resolução dos testes podiam
usar qualquer estratégia para resolvê-los, com exceção do uso de recursos extras
como calculadoras, por exemplo. Todos optaram pelos algoritmos convencionais
para cada operação, com ajuda do cálculo mental. A partir dessas tentativas foram
criadas as categorias mais específicas e mais gerais, onde, entre parênteses, é
indicado o percentual do total de 396 questões em que esses tipos de erros mais
característicos, de A até W, e mais abrangentes, g, s, a e o, estão presentes, e do
total de 96 problemas em que os erros específicos, X, Y, Z e ? encontram-se: A -
Erros Com Origem Desconhecida (3%); B - Erros na Organização Espacial do
Algoritmo Convencional (3%); C - Reprodução Errada Dos Números Propostos
(2%); D - Reprodução Errada Da Operação Proposta (4%); E - Erros De
Contagem (2%); F - Procedimento Incorreto, Evitando O “Empréstimo” (11%); G
- Não Identificação Da Resposta Negativa (7%); H - Identificação Da Resposta
Negativa, Mas Não Apresentação Do Sinal (3%); I - Não Sabe Como Proceder
(14%); J - Erro Do “Empréstimo” (1%); K - Esquecimento (2%); L - Opera Na
Ordem Que Os Números Aparecem (9%); M - Soma De Todos Os Valores (1%);
N - Erro De Tabuada (4%); O - Problema No “Vai Um” (1%); P - Problemas Com
Zero (5%); Q - Arredondamento Indevido (2%); R - Divisão Por Um Número Só
(1%); S - Não Sabe Dividir O Resto (2%); T - Acréscimo De Zero No Quociente
(2%); U - Soma Do Agrupado Com O Multiplicando (1%); V - Multiplicação Um A
Um (1%); W - Divisão Começando Pela Direita (1%); X - Erro No Processo De
Adição/Subtração (13%); Y - Erro No Processo De Multiplicação (5%); Z - Erro
No Processo De Divisão (2%); ? - Não Compreensão Do Problema (39%); g –
Erro Relacionado À Ordem De Grandeza De Um Número (25%); s – Erro
Relacionado À Compreensão Do Sistema Decimal (10%); a – Erro Relacionado
Ao Algoritmo (27%); o – Erro Relacionado À Outra Natureza (39%). Todos os
percentuais foram arredondados.
55
Abaixo seguem duas tabelas com as categorias, onde “LETRA” ou
“SÍMBOLO” indica a categoria do erro, mais de uma letra indica que houve mais de
um tipo de erro e a ausência de caractere representa o acerto da questão. Na tabela
de erros mais específicos, o símbolo “*” indica que o aluno chegou à resposta
correta, porém errou no algoritmo, mostrando que pelo processo que realizou,
provavelmente, teria errado a resposta se fosse um exercício com outros números,
exigindo assim uma atenção para essa ação incorreta.
Após as tabelas, encontra-se uma exposição mais ampla sobre as categorias
gerais e depois explicações sobre as categorias específicas em si.
Posteriormente, para uma melhor organização, primeiro é apresentada e
explicada a categoria específica, depois são mostrados exemplos dos erros dos
alunos, seguidos de uma justificativa ou comentário mais abrangente sobre o que foi
feito. Em seguida, são descritos cada exemplo com os procedimentos realizados
e/ou declarações dos estudantes, finalizando com as categorias gerais que o erro se
encaixa.
56
Tabela 2 – Categorias Gerais nos Testes de Conhecimentos Prévios A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12
Adição a o
Adição b o o o
Adição c ga ga
Adição d o o
Adição e gsa gsa o gsa o
Adição f gsa gsa o gsao o
Adição g gsa gsa gsao o o
Adição h gsa gsa gsa g o gsa o g g ga ga
Adição i ga ga g ga o gsa o g ga ga ga
Adição j gsa gsa gsao gsao o a o g o ga ga
Adição k gsa gsa gsao gsao o a o goa o ga ga
Adição l gsa gsa gsao gsao goa o goa goa o o ga o
Multiplicação a g
Multiplicação b gsa o o ga
Multiplicação c goa ga ga ga ga goa o
Multiplicação d o o o goa ga a gsao ga o
Multiplicação e o go go goa ga a ga ga ga ga
Multiplicação f a o o o o
Multiplicação g a o a oa o o o
Multiplicação h o o a o gsao o a o o
Multiplicação i o o a o gsa o a o a o
Multiplicação j o o a o gsa o o o o ga ga
Multiplicação k o o a o gsa o a o a o goa goa
Multiplicação l o o ga o gsa o oa o oa o goa goa
Multiplicação m o o o o o o o o
Problema 1
Problema 2 gsa gsa gsa o o o ga ga
Problema 3 gsa o gsa o o o o
Problema 4 o o go go o o go o o o
Problema 5 gsa o gso o o o o
Problema 6 oa o o o oa o o o
Problema 7 o o goa o o o
Problema 8 o o o o o o o o o o
57
Tabela 3 – Categorias Específicas nos Testes de Conhecimentos Prévios A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12
Adição a D
Adição b A C E
Adição c B B
Adição d E D
Adição e F F D F F
Adição f F F D FP J
Adição g F F FA I JE
Adição h LFG LFG LFG G H LFG H G G L L
Adição i LFG LFG LG LFG H LFG H G LFG L L
Adição j LFG LFG LAG LCF H I H G I L L
Adição k LFG LFG LFEG LEFG H I H DG I L L
Adição l LFDG LFDG LFDG LEFDG DH I DH DG C I LD* LK
Multiplicação a N
Multiplicação b M N N U
Multiplicação c MNA B B *B V V N
Multiplicação d I NA KO NB B I VUN K N
Multiplicação e I PA P NPB B I P VP P KP
Multiplicação f *W I I I A
Multiplicação g WI I Q I I A I
Multiplicação h I I Q I ES I T A I
Multiplicação i I I Q I S I T A T I
Multiplicação j I I Q I PS I N I I PT P
Multiplicação k I I Q I PS I PT A PT I P P
Multiplicação l I I R I PS I NT I NKT I PK PN
Multiplicação m I I Q I I I I I
Problema 1
Problema 2 X/F X/F X/LF ? X/J ? X/L X/L
Problema 3 X/F X/K X/FP ? ? ? X/J
Problema 4 ? ? ? X/D ? ? X/D ? ? ?
Problema 5 Y/A ? Y/NB ? ? ? Y/C
Problema 6 Z/I ? ? ? Z/PC ? ? ?
Problema 7 ? ? Y/*L Z ? ? ?
Problema 8 ? ? Y/E X/E ? ? ? ? ? ? ?
58
3.5.2.1 Categorias Gerais dos Erros dos Testes de Conhecimentos Prévios.
Numa tentativa de reduzir as categorias dos erros para origens mais globais
que apresentavam semelhanças entre si, foram encaixadas em quatro grupos e
descritas as características mais abrangentes.
g – Erro relacionado à ordem de Grandeza de um número – Os erros ocorrem
porque os algarismos são considerados de maneira individual, o valor zero é
utilizado como se fosse outro número, o aluno não entende a magnitude dos valores
(absolutos) dos números e tenta subtrair um número maior de um menor ou não
compreende o seu valor relativo negativo.
s – Erro relacionado à compreensão do Sistema decimal – São erros relativos ao
uso incorreto do nosso sistema numérico decimal. O aluno não tenta fazer ou tenta e
erra na composição de dez unidades em uma unidade consecutiva maior e/ou na
decomposição de uma unidade em dez unidades imediatamente menor.
a – Erro relacionado ao Algoritmo – São erros referentes ao procedimento
adotado pelo estudante. O motivo está atrelado a outras causas, como a falta de
noção de grandeza dos números, a falta de compreensão do sistema decimal ou até
mesmo relacionado à outra natureza desconhecida. O aluno erra em algum ponto do
método empregado ou não faz/completa o exercício por não saber o algoritmo que
se aplica.
o – Erro relacionado à Outra natureza – São erros de origens desconhecidas,
enganos, distrações, esquecimento, o não entendimento do exercício proposto ou
algum tipo de erro que o aluno comete e não consegue explicá-lo.
3.5.2.2 Categorias Específicas dos Testes de Conhecimentos Prévios
As características mais particulares são apresentadas no início de cada
exemplo. Por não conseguir agrupá-los somente em categorias maiores, por muitos
exercícios enquadrarem-se em mais de um item, foram ordenados pelos aspectos
peculiares similares em relação à causa do erro.
59
Como supracitado, alguns exercícios foram considerados corretos, apesar do
algoritmo de resolução conter erros. Inicialmente são comentados esses casos,
indicados com “*”, e posteriormente é apresentado o restante das categorias.
* - O asterisco representa exercícios com resultados corretos, mas com
procedimentos usados erroneamente, obtendo a resposta de modo coincidente
pelos números usados no exercício.
Embora os resultados dos três exercícios estejam certos, ambos merecem
atenção em suas resoluções, que contém erros, pois em outros exercícios
semelhantes usaram os mesmos procedimentos e não houve êxito.
No exemplo 1, o Aluno 1 explicou que dividiu 9 por 3, resultando 3, e depois 6
por 3, obtendo 2. Apesar de o resultado estar certo, se fosse um exercício com
outros números, como nos próprios exercícios seguintes, o aluno não teria
conseguido resolvê-lo.
O erro está relacionado ao algoritmo. O aluno faz as divisões parciais
corretas, acarretando no resultado final exato, mas o método de resolução não é
generalizável.
No exemplo 2, o Aluno 5 multiplicou a unidade 2 por 43, respondendo 86, e
depois da dezena 2 por 43, resultando, novamente, 86. Quando somou as duas
parcelas alinhou as casas decimais de maneira errada. Apesar da resposta estar
correta, se o multiplicador fosse com números diferentes entre si não teria obtido o
resultado correto, do mesmo modo que errou outros exercícios semelhantes.
O erro está relacionado à ordem de grandeza de um número e ao
algoritmo. O aluno não multiplica o número 22 como 20 e 2, mas como 2 e 2, não
(Ex. 1 – Multiplicação f – A1)
(Ex. 2 – Multiplicação c – A5)
(Ex. 3 – Adição l – A11)
6 9 / 3 2 3
4 3 x 2 2 816 + 8 6 9 4 6
27813 4 6 5 -2 1 8 9 1 8 -1 1 0 0
60
entendendo a grandeza desse número, e dispõe os produtos parciais de modo
errado, não respeitando a segunda parcela como 860.
No exemplo 3, o Aluno 11 montou a conta como apareceu no enunciado,
chegando ao último número da primeira parte calculou o subtraendo menos o
minuendo, 4-2=2. Depois 218-918, subtraindo 8-8=0, 1-1=0, e disse que 218 e 918
eram negativos, então somou 2+9=11, deixando a resposta final negativa.
O erro está relacionado à ordem de grandeza de um número e ao
algoritmo. Quando se depara com 283-465, o aluno não compreende o significado
do exercício, “arma” (termo usado para a montagem do algoritmo tradicional) a conta
na sequencia que os números aparecem, faz o processo do “empréstimo” (termo
usado para o desagrupamento de uma unidade de certa ordem para serem
acrescidas dez unidades numa ordem imediatamente inferior), chega ao final dessa
parte criando uma situação em que precisa subtrair 4 de 2 centenas e improvisa no
procedimento retirando 2 de 4, resultando uma resposta negativa totalmente
diferente do esperado. Agora com uma soma de números negativos, o aluno
encontra uma situação que não sabe como proceder e faz subtrações das unidades
e dezenas, mas só ao final faz a soma dos números das centenas e deixa o
resultado negativo, o que o leva, completamente por coincidência, a resposta
correta.
A – Erros Com Origem Desconhecida – São erros que não são encaixados em
nenhuma categoria, pois não é possível perceber suas origens e nem o aluno
consegue explicar o procedimento realizado ao desenvolver o cálculo.
Os estudantes terminaram as provas, e, menos de 5 minutos depois, foram
entrevistados e perguntados quais foram os procedimentos adotados na resolução
(Ex. 4 – Adição b – A1)
(Ex. 5 – Multiplicação e – A2)
(Ex. 6 – Multiplicação k – A8)
9 6 7 + 5 8 5 1.5 0 2
9 0 3
x 17 5 0
9 0 3 2 4 5 1 1 4 8
1 0 0 1 / 4 2442
61
de alguns exercícios, pedindo detalhes que permitissem compreender seus
“pensamentos” ou raciocínio durante a resolução. Nesse intervalo de tempo, entre a
correção e a volta para questioná-los, muitos já não sabiam mais como obtiveram à
resposta. Em alguns casos, mesmo os próprios alunos não sabendo o que fizeram,
houve um entendimento do processo e foi apresentada-lhes uma interpretação da
resolução e lembraram-se de que era aquilo mesmo que haviam feito. Em outras
situações não foi possível a interpretação dos erros e nem os próprios alunos
conseguiram lembrar-se o que fizeram para obter aqueles números como resultados.
No exemplo 4, o Aluno 1 não soube explicar se fez a adição ou subtração,
depois percebeu que tratava-se de adição e não soube explicar como chegou ao
resultado. Provavelmente errou apenas na soma de 6 e 8, e quando questionado
não soube explicar “como errou”.
O erro está relacionado à outra natureza. O aluno faz o exercício
parcialmente certo e erra somente em uma passagem que não é identificável o
motivo.
No exemplo 5, o Aluno 2 começou a dizer que multiplicou 0 por 3, obtendo 3,
multiplicou 0 por 0, resultando 0, 0 por 9, obtendo 9 e se perdeu na explicação,
relatando que não lembrava mais o que fizera na conta.
O erro está relacionado à ordem de grandeza de um número e à outra
natureza. O aluno não compreende o valor do 0 na multiplicação e o usa como se
fosse 1. Como não é possível identificar a causa do erro, não há como compreender
exatamente sua natureza.
No exemplo 6, o Aluno 8 não lembrava como chegara à esses números da
resposta quando questionado sobre o procedimento feito para resolução.
O erro está relacionado à outra natureza. Não é possível descobrir a
origem ou natureza do erro.
62
B – Erros Na Organização Espacial Do Algoritmo Convencional1 – São erros
cometidos pela organização errada das colunas das unidades, dezenas, centenas e
milhares, gerando uma adição indevida dos valores que não correspondem às
mesmas casas decimais.
Apesar de terem feito, parcialmente, as somas ou multiplicações corretas, os
alunos alinharam as colunas decimais de forma errada, mostrando que não possuem
o domínio das regras de uso do sistema de numeração decimal formado, não
reconhecendo quando as parcelas são de ordens diferentes.
No exemplo 7, o Aluno 2 respondeu a conta em duas partes, e quando
realizou a segunda adição montou o algoritmo incorretamente, colocando e
somando centenas com unidades de milhar.
O erro está relacionado à ordem de grandeza de um número e ao
algoritmo. O aluno não entende os reais valores centenas e unidades de milhar,
“armando” as contas, erroneamente, alinhando-as no método usado.
No exemplo 8, o Aluno 4 acertou as tabuadas, porém errou no algoritmo da
multiplicação, fazendo a organização espacial da soma de maneira errada.
Seu erro está relacionado à ordem de grandeza de um número e ao
algoritmo. O aluno não multiplica o número 22 como 20 e 2, mas como 2 e 2, não
entendendo o real valor desse número, e dispõe os produtos parciais de modo
1 Organização Espacial do Algoritmo Convencional denomina-se a posição dos números e suas
ordens de grandezas.
(Ex. 7 – Adição c – A2)
(Ex. 8 – Multiplicação c – A4)
3 9 7 + 4 0 2 7 9 9 + 1 0 0 9 8 9 9 9
4 3 x 2 2 18 6 8 6 1 7 2
63
errado, não respeitando a segunda parcela como 860, semelhantemente ao exemplo
2, porém não tem a sorte do exemplo anterior.
C – Reprodução Errada Dos Números Propostos – O aluno “arma” ou resolve a
conta com valores diferentes dos propostos no exercício.
Em ambos os exemplos os alunos fizeram os procedimentos corretos, após
as contas copiadas, e, com esses números, acertaram os resultados. Por terem
copiado os números errados, mesmo mostrando que sabiam o que estavam
fazendo, acabaram errando os resultados esperados.
No exemplo 9, o Aluno 2 copiou o número 2 ao invés do 6 quando “armou” a
conta para resolvê-la.
O erro está relacionado à outra natureza. O aluno comete o erro devido a
uma distração.
No exemplo 10, o Aluno 9, quando “armou” a conta para a resolução, copiou o
número 6 no lugar do 3, alterando assim os resultados.
O erro está relacionado à outra natureza. O erro acontece devido a uma
desatenção.
D – Reprodução Errada Da Operação Proposta – O aluno faz a reprodução de
outra operação que não a indicada no exercício.
(Ex. 9 – Adição b – A2)
1 1
9 2 7 + 5 8 5 1 5 1 2
( Ex. 10 – Adição l – A9 )
3415615 911 8 + 2 8 6 + 1 7 9 - 1 7 9 1 0 9 7 – 1.097
64
Os dois exercícios eram de adição, porém ao resolvê-los os alunos fizeram a
operação de subtração.
No exemplo 11, o Aluno 3 não atentou-se ao que o exercício pedia e copiou a
subtração.
O erro está relacionado à outra natureza. O aluno não analisa o exercício e
o resolve com a operação errada.
No exemplo 12, quando perguntado ao Aluno 12 se estava certo, o mesmo
percebeu o erro e disse que confundiu-se ao olhar rapidamente para o exercício
proposto e achou que era subtração.
O erro está relacionado à outra natureza. O aluno comete o erro em razão
de um descuido.
E – Erros De Contagem – São erros que acontecem em consequência da
contagem dos números de uma das colunas das casas decimais ser feita
incorretamente.
Nos dois primeiros exemplos as respostas estariam certas se fossem feitas as
contagens corretas. Apesar de serem erros considerados tolos para alunos do
segundo ano do Ensino Médio, um deles não ocorreu por distração.
(Ex. 11 – Adição d – A3)
(Ex. 12 – Adição a – A12)
(Ex. 13 – Adição d – A2)
(Ex. 14 – Adição b – A8)
(Ex. 15 – Adição g – A10)
1
8 5 8 5 3 4 1 3 9 2
3411 7 - 5 6 1 - 2 5 6
8 5 8 - 5 3 4 4 2 4
1 1
9 6 7 + 5 8 5 1.5 5 3
8 715 - 4 3 7 1 4 8 4 4 8 1 4 8 1 0 0
65
No exemplo 13, o Aluno 2 calculou 8-5=4, e quando questionado, “leu” 8-5=4
e não percebeu o erro, mas quando perguntado quanto era 8-5, mostrou 8 dedos e
abaixou 5, viu que sobraram 3 e entendeu onde errara.
O erro está relacionado à outra natureza. O aluno comete um erro ao
responder 8-5 de forma automática, mas depois, com auxílio de algo concreto,
consegue perceber o erro e arrumá-lo.
No exemplo 14, o Aluno 8 realizou os procedimentos corretos, mas ao somar
7+5 colocou 13, e ao ser pedido para fazer essa conta novamente, disse que a
resposta era 12 e contara errado na primeira vez.
O erro está relacionado à outra natureza. O aluno comete o erro devido a
uma desatenção.
No exemplo 15, o Aluno 10 cometeu dois erros durante o exercício e na parte
onde calculou 448-148, quando pedi para refazer essa parte, disse que 8-8=0, 4-4=0
e, como feito na primeira vez, 4-1=1.
O erro está relacionado à outra natureza. O aluno faz automaticamente, de
forma inconsciente, a conta e não pensa no significado e resultado de subtrair 1 de 4
(centenas).
F – Procedimento Incorreto, Evitando O “Empréstimo” – O aluno não faz o
“empréstimo”, subtraindo o menor número do maior, não importando se é minuendo
ou subtraendo.
Nos dois primeiros exercícios os estudantes deveriam fazer a subtração e,
quando não conseguissem subtrair o subtraendo do minuendo, deveriam “pegar
emprestadas” dez unidades da coluna imediatamente à esquerda para prosseguirem
(Ex. 17 – Adição g – A1)
( Ex. 18 – Adição i – A12 )
(Ex. 16 – Adição e – A6)
9 3 5 - 5 6 7 4 3 2
8 7 5 - 4 3 7 4 4 2 - 1 4 8 3 0 6
2 7 7 - 9 3 6 - 7 4 1
66
normalmente com o cálculo, entretanto, evitaram o “empréstimo” e fizeram as
subtrações do maior número não importando onde esse se encontrava. Já na
terceira conta, o caminho, errado, que o aluno seguiu o levou a obrigatoriamente
improvisar no final do cálculo.
No exemplo 16, o Aluno 6 não sabia tirar 7 de 5, então subtraiu 5 de 7, não
conseguia tirar 6 de 3, então calculou 6-3 e terminou com 9-5.
O erro está relacionado à ordem de grandeza de um número, à
compreensão do sistema decimal e ao algoritmo. O aluno olha cada algarismo de
maneira individual, como se fosse 9, 3 e 5, não compreendendo o real valor do
número. Por esse motivo, não usa o recurso da decomposição de 1 dezena em 10
unidades para somar com 5, obter 15 e subtrair 7 unidades, e faz um método de
resolução alternativo de forma errada.
No exemplo 17, o Aluno 1 realizou esse procedimento duas vezes no mesmo
exercício. Quando pedido para explicar o que fizera, argumentou o mesmo que o
aluno do exemplo anterior.
O erro está relacionado à ordem de grandeza de um número, à
compreensão do sistema decimal e ao algoritmo. O aluno também não percebe a
dimensão dos números, não usa da decomposição e faz um procedimento que não
condiz com o exercício.
No exemplo 18, o Aluno 12 começou a resolução do exercício na ordem que
os números apareceram, fazendo, inicialmente, “certo”. Quando chegou na
subtração das centenas, pelo percurso que escolheu, “não havia alternativa” a não
ser subtrair o menor do maior, não importando onde se encontravam, pois mesmo
que soubesse fazer o “empréstimo”, não teria como fazê-lo.
O erro está relacionado à ordem de grandeza de um número e ao
algoritmo. O aluno não entende a magnitude dos números envolvidos, operando na
ordem em que aparecem, e finaliza retirando o minuendo do subtraendo de forma
improvisada.
67
G – Não Identificação De Resposta Negativa – O aluno resolve conta e chega ao
valor absoluto correto, mas quando questionado se a resposta é positiva ou
negativa, confirma que é do jeito que está na folha, positiva.
Nos dois casos, os alunos fizeram os procedimentos corretos, porém não
indicaram que a resposta seria negativa. Quando questionados, disseram que a
resposta ficaria desse mesmo jeito, positiva.
No exemplo 19, o Aluno 4 procedeu normalmente, mas não colocou o sinal
negativo na resposta. Quando questionado o porquê de ter “invertido” os números
para fazer a conta, disse que nem percebeu que os invertera e não soube o porquê
o fizera. Perguntado se a resposta estava certa e ficaria assim mesmo, conferiu o
exercício e confirmou que seria positiva.
O erro está relacionado à ordem de grandeza de um número. O aluno faz
o algoritmo correto, mas não compreende o significado do exercício e o seu
resultado.
No exemplo 20, o Aluno 8 inverteu os números para realizar o cálculo, pois
disse que 936 era maior e não dava para fazer 277-936. Apesar de fazer tudo
correto, não indicou que a resposta era negativa e quando questionado se a
resposta era realmente positiva ou negativa, verificou a resolução e disse que seria
positiva.
O erro está relacionado à ordem de grandeza de um número. O aluno faz
o algoritmo correto, mas não compreende o significado da questão e o sua resposta.
( Ex. 19 – Adição h – A4 )
( Ex. 20 – Adição i – A8 )
4 8 9 3 4 8 1 4 1
8912316 - 2 7 7 6 5 9
68
H – Identificação Da Resposta Negativa, Mas Não Apresentação Do Sinal –
Quando indagado, o aluno alega que a resposta é negativa, mas não colocou o sinal
no papel.
Nos dois exemplos os alunos não indicaram que a resposta ficaria negativa,
mas no momento da conversa, ambos reconheceram que seriam negativas, porém
não colocaram o sinal indicando isso.
No exemplo 21, o Aluno 5 executou todos os procedimentos corretos, mas
não indicou o sinal negativo na resposta, e quando questionado se a resposta ficaria
do jeito que estava, o próprio disse que 489 era maior que 348 e a resposta ficaria
negativa, mas esquecera o sinal.
O erro está relacionado à outra natureza. O aluno faz os procedimentos
corretos, entende o que o exercício está pedindo e o resultado, demonstrando que o
erro não tem uma origem específica, mas esquece-se de indicar o sinal.
No exemplo 22, o Aluno 7 calculou o exercício inteiro correto, só deixando de
indicar o sinal negativo na resposta final. Quando perguntado quanto era 3-4,
respondeu -1. Nesse momento percebeu sozinho que a resposta desse exercício, e
de outros, era negativa e estava faltando o sinal “menos” para indicar isso.
O erro está relacionado à outra natureza. O aluno faz tudo certo, mas,
provavelmente, por distração ou excesso de concentração no procedimento,
esquece-se de indicar a resposta final negativa.
( Ex. 21 – Adição h – A5 )
( Ex. 22 – Adição j – A7 )
4 8 9 - 3 4 8 1 4 1
1317 8 6710 2 + 2 3 2 - 6 1 0 6 1 0 0 9 2
69
I – Não Sabe Como Proceder – O aluno não sabe como proceder, ou como fazer o
algoritmo para chegar à resposta, por isso não tenta resolver o exercício, ou tenta,
não consegue e desiste de tentar, apagando a resposta.
Quando se depararam com um exercício que não sabiam resolver não
tentaram outras soluções, como o cálculo mental, por exemplo. Desistiram de tentar,
apagando o que já haviam começado ou nem tentaram por não saberem nenhum
algoritmo para resolução.
No exemplo 23, o Aluno 6 colocou todos os números do exercício, que era
composto por uma soma e seguida de uma subtração, que resultaria em um número
negativo, porém não colocou os sinais das contas, o que pode ter contribuído para o
não entendimento de como deveria proceder para resolvê-lo.
O erro está relacionado ao algoritmo. O aluno acerta outros exercícios de
adição, mas nem tenta começar esse, talvez por colocar os números todos juntos e
não indicar os sinais das operações, o que, provavelmente, dificultou como proceder.
No exemplo 24, o Aluno 4 alegou que não sabia fazer divisão, então só
copiou o exercício, olhou e, como não sabia resolver, desistiu de tentar e passou
para os próximos.
O erro está relacionado à outra natureza e ao algoritmo. O aluno não sabe
resolver a divisão de forma mental, decomposição, inversão da multiplicação e nem
outro método. Como não sabe o método tradicional da divisão, desiste de tentar
fazer o exercício.
( Ex. 23 – Adição j – A6 )
(Ex. 24 – Multiplicação g – A4)
13 7 8 2 3 2 7 0 2 6 0 8
7 2 / 4
70
J – Erro Do “Empréstimo” – O aluno “esquece que empresta” e, ao fazer a
subtração, mantém os mesmos números na unidade de ordem superior, “empresta”
e subtrai mais de uma unidade da ordem superior ou faz o “empréstimo” de uma
ordem inferior.
No primeiro caso o aluno sabia fazer o algoritmo correto da subtração de
números naturais, mas distraiu-se ou confundiu-se na resolução e errou o resultado
final, um erro que poderia ter sido evitado, pois em outros exercícios semelhantes
não o cometeu. Na outra situação o aluno sabia que quando um número é menor
que o outro, dentro do exercício convencional da subtração, pede-se “emprestado”,
porém por ter “armado” o exercício de forma errada, não tendo mais números a sua
esquerda, “emprestou” do número à direita.
No exemplo 25, o Aluno 10 “emprestou” e não subtraiu uma unidade da
ordem “emprestada”, continuando com os números 10 nos lugares de 9 e 8 ao invés
de 7.
O erro está relacionado à outra natureza. O aluno faz os procedimentos
corretos em outros exercícios, mas nesse, por distração, esquece-se que fez os
“empréstimos”.
No exemplo 26, o Aluno 10 errou ao “armar” a conta e no final deparou-se
com uma situação onde o minuendo é menor que o subtraendo e quando
questionado, disse que não dava para subtrair e precisava pegar “emprestado”.
Como não havia mais números à esquerda, improvisou e pegou “emprestado” do
número à direita.
( Ex. 25 – Adição f – A10 )
( Ex. 26 – Adição i – A10 )
8101011 - 7 8 9 6 1 2 1 5
12 7 7 - 9 3 6 3 4 1
71
O erro está relacionado à ordem de grandeza de um número e ao
algoritmo. O aluno não percebe a dimensão dos números e faz um procedimento
que não condiz com o exercício, o levando a uma situação a qual precisar improvisar
para finalizar o exercício.
K – Esquecimento – O exercício é composto por mais de uma conta e o aluno
esquece-se de terminar o restante da conta ou de resolver alguma passagem.
Em um dos exemplos o aluno esqueceu-se do algoritmo que necessitava
fazer para terminar a resolução do exercício e parou ali mesmo, enquanto no outro o
aluno terminou parte da resolução e não lembrou que havia a segunda parte, onde
deveria fazer a subtração.
No exemplo 27, o Aluno 10 ficou em dúvida sobre o que fazer para continuar
a conta, alegou que esquecera como proceder.
O erro está relacionado à ordem de grandeza de um número e ao
algoritmo. O aluno faz o primeiro produto parcial corretamente, mas não lembra-se
como é o método para multiplicação do 7 (dezenas) e para ali mesmo.
No exemplo 28, o Aluno 12 não terminou o cálculo, e depois, quando pedido
para ler o exercício e a resolução, percebeu que faltava parte da resposta e disse
que esquecera-se de terminar a conta.
O erro está relacionado à outra natureza. O aluno faz apenas uma seção
do exercício e não se atenta para verificar se acaba ali mesmo ou tem mais alguma
parte para resolver.
L – “Arma” E Opera Na Ordem Que Os Números Aparecem – Na subtração, no
uso do algoritmo convencional, é preciso inverter os números na “armação” da conta
(Ex. 27 – Multiplicação d – A10)
( Ex. 28 – Adição l – A12 )
1342 8 x 7 6 1 9 6 8
27813 - 4 6 5 -2 1 8
72
para chegar-se à resolução correta e o aluno faz a conta operando na ordem em que
os números aparecem.
Os alunos “armaram” a conta na ordem que os números apareceram no
exercício e depararam-se com uma situação onde não era possível finalizar o
exercício de maneira correta. O que restou foi o improviso.
No exemplo 29, o Aluno 11 havia feito 489-348=-141, mas disse que não
conhecia as regras de sinais, sentiu-se inseguro, apagou a resposta e refez como
está acima. Em relação ao erro, ele sabia fazer o algoritmo do “empréstimo”, mas
por “armar” o exercício de maneira errada deparou-se com uma situação 2-4, onde
não havia mais números de ordem superior para pegar “emprestado”, então
improvisou fazendo 4-2.
O erro está relacionado à ordem de grandeza de um número e ao
algoritmo. O aluno não entende a dimensão dos números envolvidos e opera na
sequencia em que aparecem, sendo conduzido a inventar procedimentos para
terminar o exercício.
No exemplo 30, o Aluno 10 sabia que era preciso “emprestar” um número
quando o minuendo é menor que o subtraendo, mas por “armar” o exercício de
forma errada, acabou encontrando uma situação em que não conseguiu fazer a
subtração e não existiam mais números ao lado esquerdo desse. Quando
questionado, disse que era preciso “emprestar” um número e como não havia
nenhum a esquerda, pegou “emprestado” da direita.
O erro está relacionado à ordem de grandeza de um número e ao
algoritmo. O aluno não percebe a dimensão dos números e faz um procedimento
(Ex. 29 – Adição h – A11)
(Ex. 30 – Adição i – A10)
233418 4 6 9 -2 5 9
18 7 7 - 9 3 6 3 4 1
73
que não condiz com o exercício, o levando a uma situação a qual precisa improvisar
para finalizar a conta.
M – Soma De Todos Os Valores – O aluno soma mentalmente todos os resultados
obtidos durante a multiplicação.
O aluno não “subiu” (termo usado para o agrupamento em dez unidades de
certa ordem para serem acrescidas unidades numa ordem imediatamente superior)
o valor da primeira multiplicação e, quando calculou a segunda, juntou os dois
resultados.
No exemplo 31, o Aluno 1 multiplicou 4 por 5 e obteve 20, depois multiplicou 8
por 5 e obteve 40, por fim somou os dois resultados direto obtendo 60.
O erro está relacionado à compreensão do sistema decimal, ao algoritmo
e à ordem de grandeza de um número. O aluno não entende o 8 como 80 e o
mistura com as 20 unidades em um procedimento incorreto. O resultado final é
menor que o multiplicando, quando seria uma soma de 5 parcelas de seu valor,
gerando um número muito maior, o que mostra que o aluno não compreende a
grandeza dos números envolvidos.
N – Erro De Tabuada – O aluno faz os procedimentos corretos, mas erra na
multiplicação ao recorrer à tabuada de maneira equivocada.
(Ex. 31 – Multiplicação b – A1)
(Ex. 32 – Multiplicação a – A8)
(Ex. 33 – Multiplicação c – A11)
8 4 x 5 6 0
2 3 x 6 6 6
4 3 x 2 2 1 2 6 1 2 6 + 1 3 8 6
74
Se os alunos fizessem a tabuada de maneira correta, provavelmente, não
errariam o resultado final dos exercícios.
No exemplo 32, o Aluno 8 calculou 3x2=6 e 3x3=6. Quando pedido para
refazer a conta, fez novamente 3x2=6 e 3x3=6. Perguntado se as duas contas, que
possuíam números diferentes, resultariam iguais, o aluno confirmou que 3x2=6 e
3x3=6.
O erro está relacionado à ordem de grandeza de um número. O aluno não
entende a multiplicação como soma de parcelas iguais e efetua a tabuada de
maneira decorada, de modo errado.
No exemplo 33, o Aluno 11 fez 2x3=6 e 2x4=12. Quando questionado se 2x4
era realmente 12, refez a conta mentalmente, com ajuda dos dedos, somando de 2
em 2, e respondeu que estava errado, e que 2x4 era 10.
O erro está relacionado à outra natureza. O aluno comete o erro na
tabuada, provavelmente por ter feito de cor, e quando questionado, diferentemente
do último exemplo, faz a soma de parcelas iguais com os dedos, mostrando que
entende o sentido da multiplicação, mas erra na contagem do número de parcelas.
O – Problema No “Vai um” – O aluno esquece-se de “subir” 1, ou “sobe” 1 e não o
contabiliza no restante da conta.
O aluno cometeu mais de um erro. Na terceira parte da multiplicação realizou
os procedimentos corretos, mas esqueceu-se que “subiu” 1 e não o computou nesse
resultado parcial.
( Ex. 34 – Multiplicação d – A3 )
1147 6 x 3 2 8 1 4 8 1 5 2 + 2 1 8 + 2 3 3 6 8
75
No exemplo 34, o Aluno 3 calculou 8x6=48. Não calculou 8x7. Depois fez
2x76=152, e 3x76=218, “subindo” 1, mas esquecendo-se de acrescentá-lo nesse
resultado. No final somou tudo.
O erro está relacionado à outra natureza. O aluno esquece-se, por
distração, de contar a composição de 10 unidades para um grupo imediatamente de
ordem maior, mas em outros exercícios o fez de maneira correta.
P – Problemas Com Zero – São problemas relacionados ao número 0, podendo ser
uma multiplicação errada, como se multiplicasse por 1, repetição de 0 na soma ou
diferença, ausência de processo por achar que o 0 não interfere na resposta, ou a
ausência de uma resposta de divisão que resultaria em 0.
O número 0 causa grandes problemas nas quatro operações, e aqui são
apresentados dois modelos de erros ocasionados especialmente por ele.
No exemplo 35, o Aluno 7 “baixou” o 0, disse que a resposta seria tudo 0,
depois multiplicou o 5 e colocou a resposta ao lado do 0. Por último fez o cálculo do
algarismo 7 e alinhou de forma errada no procedimento.
O erro está relacionado à ordem de grandeza de um número e ao
algoritmo. O aluno usa um “atalho” na resolução de forma correta, mas não entende
o 7 como centena e faz o algoritmo tradicional da multiplicação usando-o como se
fosse dezena.
No exemplo 36, o Aluno 11 calculou 18/6=3, “baixou” o 3, como não deu para
dividir, acrescentou a “vírgula” no quociente e um “0” no dividendo, fazendo 30/6=5.
(Ex. 35 – Multiplicação e – A7)
( Ex. 36 – Multiplicação j – A11 )
2
9 0 3 1 x 7 5 0 4 5 1 5 0 6 3 2 1 + 1 0 8 3 6 0
∩
1 8 3 6 / 6 1 8 3,510 0 0 3 0 3 0 0 0 6 0 6 0 0 0
76
Depois baixou o 6, fazendo 6/6=1 e depois “acrescentou” um “0” no dividendo e no
quociente.
O erro está relacionado ao algoritmo e à ordem de grandeza de um
número. O aluno não domina o algoritmo tradicional da divisão e comete erros que o
leva a um resultado 3,510. Se analisasse a resposta ou usasse outro método de
divisão, como por partes, poderia dividir 1800, e depois 36, por 6 e chegar a uma
resposta correta ou mais próxima da esperada.
Q – Arredondamento Indevido – O aluno não consegue dividir e ao invés de
aproximar o número para um divisor menor, arredonda para um divisor maior.
Como a divisão parcial não era exata, o aluno procurou um número próximo
que fosse divisível, porém usou um número maior que o dividendo, o que gerou
outros tipos de erros.
No exemplo 37, o Aluno 3 fez 8/6=1, 1x6=6, 8-6= 2, “desce” o 1 = 21. 21 não
deu para fazer a divisão exata por 6. O número mais próximo que usou foi 24,
24/6=4, 4x6=24, 21-24=3 no resto.
O erro está relacionado ao algoritmo. O aluno faz a primeira divisão parcial
correta, e quando precisa “arredondar” o 21 para um número natural divisível por 6
erra no procedimento tradicional e o aproxima para um número maior, o que o leva a
outro erro.
R – Divisão Por Um Número Só – O divisor tem mais de um algarismo, mas o
aluno faz a divisão inteira só pela primeira casa decimal encontrada à esquerda do
número.
( Ex. 37 – Multiplicação h – A3 )
8 1 / 6 6 14 ... 2 1 2 4 0 3
77
O aluno não sabia o algoritmo, nem fazer a resolução de outra maneira, para
divisão com mais de um algarismo no divisor e dividiu por apenas um deles.
No exemplo 38, o Aluno 3 dividiu tudo apenas pelo 1, pois disse que pelo 17
não sabia fazer.
O erro está relacionado à ordem de grandeza de um número e ao
algoritmo. O aluno não entende os algarismos 1 e 7, dentro do divisor, como
número 17 e faz a divisão apenas pelo número 1.
S – Não Sabe Dividir O Resto – O aluno faz as divisões até achar o resto, depois
não sabe como proceder para achar as casas decimais da resposta.
Desconsiderando o fato de ter feito a subtração final da conta de maneira
errada, o aluno não conhecia o procedimento para dividir o resto e terminar a
resolução do exercício.
No exemplo 39, o Aluno 5 parou de resolver a divisão pois não sabia o que
deveria fazer para dividir o resto.
O erro está relacionado à compreensão do sistema decimal, à ordem de
grandeza de um número, à outra natureza e ao algoritmo. O aluno faz as
divisões parciais de modo correto, mas quando precisa dividir o resto (mesmo
( Ex. 38 – Multiplicação l – A3 )
( Ex. 39 – Multiplicação h – A5 )
2 3 8 1 / 17 2 2 3 8 1 0 3 3 0 8 1 8 0 1
8 1 / 6 - 6 1 3 12 1 - 1 8 0 1 /
78
estando errado) não sabe qual método usar e não “transforma” o algarismo em sua
forma decimal para terminar o exercício.
T – Acréscimo De Zero No Quociente – O dividendo é menor que o divisor, já foi
colocada a vírgula, o aluno não consegue fazer a divisão e acrescenta um 0 ao
dividendo e/ou um 0 ao quociente de maneira errada.
O aluno sempre relaciona o “não dá para dividir” com “tem que acrescentar o
0 na resposta” durante as resoluções das divisões, mesmo antes de acrescentar o 0
no resto do dividendo.
No exemplo 40, o Aluno 9 realizou os procedimentos corretos, chegou na
divisão 2/8, acrescentou o “0” no dividendo e a “vírgula” no quociente, pois não dava
para dividir 2 por 8. Deparou-se com a divisão 4/8, acrescentou o “0” no dividendo e
como já havia uma “vírgula” no quociente, acrescentou um “0”.
O erro está relacionado ao algoritmo. O aluno faz os procedimentos
tradicionais corretos, porém pensa que “sempre” que acrescentar o 0 no resto
precisa acrescentá-lo também no quociente.
No exemplo 41, o Aluno 7 efetuou as divisões parciais corretamente e quando
o dividendo era menor que o divisor, e não conseguiu dividir, pôs 0 no quociente.
O erro está relacionado ao algoritmo. O aluno comete o mesmo problema
do exemplo anterior.
U – Soma Do Agrupado Com O Multiplicando – O aluno soma o número agrupado
da multiplicação da casa decimal anterior com o número do multiplicando atual e,
após essa soma, faz a nova multiplicação.
( Ex. 40 – Multiplicação i – A9 )
( Ex. 41 – Multiplicação h – A7 )
8 1 / 6 - 6 13,05 1211 1 8 0 3 0 3 0 0
6 ∩
7 0 6 / 8
- 6 4 88,205 6 6 2 0 - 1 6 4 0 0
79
O aluno confundiu-se no algoritmo da multiplicação somando o número
agrupado antes de multiplicar novamente.
No exemplo 42, o Aluno 8 calculou 4x5=20, fica 0 e “sobe” 2. Somou 2+8=10
e fez 10x5=50, ficando 50 e 0 = 500.
O erro está relacionado à ordem de grandeza de um número e ao
algoritmo. O aluno não compreende a multiplicação como a soma de 5 parcelas de
4 unidades, obtendo 20 unidades (ou 2 dezenas), e 5 parcelas de 80 unidades (ou 8
dezenas), obtendo 400 unidades (40 dezenas ou 4 centenas) e a junção desses
valores, e acaba utilizando o método tradicional erroneamente, fazendo a adição do
agrupamento antes da nova multiplicação parcial.
V – Multiplicação Um A Um – Em uma multiplicação em que o multiplicador tem
duas ou mais casas decimais, o aluno faz a multiplicação de um número do
multiplicador por um número do multiplicando e em seguida pula para a próxima
casa decimal do multiplicador repetindo o processo.
Além de cometer o erro na tabuada, multiplicou os termos de forma isolada,
cada um dos números do multiplicando com apenas um dos números do
multiplicador, na ordem em que eles apareceram, como se fosse uma soma.
No exemplo 43, o Aluno 8 calculou 3x0=3, 0x5=5, 9x7=63, ficando 63, 5 e 3 =
6353.
(Ex. 42 – Multiplicação b – A8)
(Ex. 43 – Multiplicação e – A8)
2
8 4 x 5 5 0 0
9 0 3 7 5 0 6 3 5 3
80
O erro está relacionado à ordem de grandeza de um número e ao
algoritmo. O aluno não entende a dimensão dos algarismos 9, 0 e 3 como número
903 e 7, 5 e 0 como 750, e faz uma multiplicação membro a membro.
W – Divisão Começando Pela Direita – O aluno começa a fazer a divisão pelo
número da direita e perde-se no processo desistindo ou apagando o que já fez.
Se fosse um exercício com todos os números divisíveis pelo divisor, o aluno
conseguiria resolvê-lo, porém como não eram divisíveis, o processo adotado pelo
aluno impediu a resolução correta.
No exemplo 44, o Aluno 1 começou dividindo da direita para esquerda.
Tentou dividir 2 por 4, e como não conseguiu, pediu 2 unidades “emprestadas”,
sobrando 5 e obtendo 4 no lugar de 2. Dividiu 4 por 4, obtendo 1 e depois não soube
mais o que fazer.
O erro está relacionado ao algoritmo. O aluno segue o mesmo caminho do
exemplo 1, mas como os algarismos não são divisíveis por 4, acaba tendo que
improvisar algum método e acaba pegando “emprestado” do número a esquerda e,
depois de dividir 4 por 4, desiste de terminar o exercício.
X – Erro No Processo Adição/Subtração – O aluno compreende qual operação
utilizar, mas erra em algo no algoritmo da adição ou da subtração durante a
resolução do problema.
(Ex. 44 – Multiplicação g – A1)
( Ex. 45 – Problema 2 – A2 )
5742 / 4 1
5 3 7 5 - 3 4 7 1 2 1 0 4
O vencedor fez 2104 pontos Amais
81
O aluno interpretou o exercício, montou a conta de forma correta, mas errou a
resposta final por não saber fazer a subtração corretamente.
No exemplo 45, o Aluno 2 efetuou 5-1=4, 7-7=0 e na parte de fazer 3-4, não
utilizou o recurso de “empréstimo”, disse que de 3 não dá para tirar 4, então tirou 3
de 4, ficando 1, e terminou fazendo 5-3=2, pois não “pegou emprestado” do 5.
O erro está relacionado à ordem de grandeza de um número, à
compreensão do sistema decimal e ao algoritmo. O aluno não entende a
dimensão dos números e trabalha com a subtração de cada algarismo
individualmente, não faz uso da decomposição de 1 unidade de milhar em 10
centenas e faz um procedimento errado que não condiz com o exercício.
Y – Erro No Processo Multiplicação – O aluno compreende qual operação utilizar,
mas erra em algo no algoritmo da multiplicação durante a resolução do problema.
O aluno não chegou à resposta final correta por uma simples distração na
cópia dos números no final da folha para continuação em uma parte vazia.
No exemplo 46, o Aluno 12 interpretou o problema e fez todos os
procedimentos corretamente, porém quando chegou num espaço da folha que não
havia mais espaço em branco copiou os números calculados para somá-los e achar
a resposta final. Durante essa transição o aluno copiou 32 ao invés de 36. Distração
que o impediu de chegar à resposta final correta.
O erro está relacionado à outra natureza. O aluno comete o erro na
resolução do exercício devido a uma desatenção.
Z – Erro No Processo Divisão – O aluno compreende qual operação utilizar, mas
erra em algo no algoritmo da divisão ou desiste de tentar resolver o problema.
( Ex. 46 – Problema 5 – A12 )
5
1 8 1 2 6 x 2 7 3 2 1 2 6 4 4 6 3 6
82
No exemplo 47, o Aluno 1 compreendeu que precisava usar a divisão para o
cálculo, porém não soube dividir e desistiu de tentar solucionar o problema proposto.
O erro está relacionado à outra natureza e ao algoritmo. O aluno não sabe
resolver a divisão de forma mental, decomposição, inversão da multiplicação e nem
outro método. Como não sabe o método tradicional da divisão, desiste de tentar
fazer o exercício.
? – Não Compreensão Do Problema – O aluno não consegue interpretar o
problema, ou parte do problema, ou não consegue relacioná-lo com a operação
matemática adequada para sua resolução.
No exemplo 48, o Aluno 3 não conseguiu interpretar o problema e fez a
operação de multiplicação ao invés da divisão, chegando à um resultado não
esperado.
O erro está relacionado à outra natureza. O aluno não erra nas quatro
operações em si, mas no entendimento de qual delas usar para resolver o problema.
Mais De Uma Categoria De Erro Por Exercício – O aluno erra em mais de uma
parte do exercício e isso, muitas vezes, o leva a cometer mais erros.
(Ex. 47 – Problema 6 – A1)
( Ex. 48 – Problema 7 – A3 )
6 1 2 / 6
6 1 2 1 1 6 1 2 1 8 3 6 6 1 2 1 8 3 6 1 8 3 6 3 6 7 2 3672 = folhas Terá
83
Nos dois exemplos os alunos cometeram mais de um erro categorizado,
muitas vezes um influenciando em outro, por atingirem um estágio da resolução que
não era possível fazê-la corretamente, o que os levaram a improvisarem para
terminarem o cálculo. Pensando nas resoluções dos alunos, como um todo, sem
importar em parar no primeiro erro, são descritas detalhadamente e o que,
provavelmente, colaborou para que cometessem os erros seguintes.
No exemplo 49, o Aluno 2 deveria responder quanto era “283–465–918”,
usando qualquer tipo de resolução que quisesse, com exceção de recursos extras,
como a calculadora, por exemplo. Ele dividiu o exercício em duas partes e escolheu
o algoritmo convencional, porém ao “armar” a conta já cometeu o primeiro erro,
categorizado como L – “Arma” E Opera Na Ordem Que Os Números Aparecem.
Quando começou a resolução, logo no primeiro cálculo, já realizou o segundo erro,
categorizado como F – Procedimento Incorreto, Evitando O “Empréstimo” –, e
fez a primeira parte do exercício subtraindo os menores números dos maiores, não
importando se esses encontravam-se no minuendo ou subtraendo. Ao obter 222
como resposta, mesmo que essa estivesse errada, o aluno errou pela terceira vez,
categorizado como G – Não Identificação De Resposta Negativa –, e, ao seguir
para parte final, ele deveria, por sua resposta, fazer –222–918, somando os módulos
dos números e conservando o sinal negativo na resposta final, porém errou
novamente, categorizado como D – Reprodução Errada Da Operação Proposta –,
ao subtrair os números ao invés de somá-los. Fazendo a subtração 222–918, o
aluno voltou a repetir o erro de subtrair o menor do maior, não importando a posição
dos dois e, ao achar a resposta 716, novamente não a identificou como uma
resposta negativa.
O erro está relacionado à ordem de grandeza de um número, à
compreensão do sistema decimal e ao algoritmo. O aluno não compreende a
( Ex. 49 – Adição l – A2 )
2 8 3 - 4 6 5 2 2 2 - 9 1 8 7 1 6
84
dimensão dos valores envolvidos e opera na ordem em que aparecem. Também não
usa o recurso da decomposição de 1 ordem em 10 unidades de ordem inferior e
acaba fazendo um procedimento de resolução alternativo de forma errada.
3.5.3 Erros dos Testes de Conhecimentos Prévios.
A aprendizagem dos números e das quatro operações acontece durante toda
a vida, principalmente, dos números naturais, que começa a ser construída desde
criança, quando inicia o contato com os números e aprende a contar, acrescentando
ou tirando uma unidade de uma quantidade, e depois aumenta esse valor para duas,
três, quatro unidades, e assim por diante. Quando se trabalha com somas de
parcelas iguais, começa-se a criar o conceito de multiplicação e quando se
consegue relacionar a subtração e divisão como operações inversas, isso facilita
essa conceitualização. A partir de brincadeiras, e um pouco mais tarde com
situações que envolvem dinheiro, o aluno opera com os números em sentidos
opostos, como dívida e crédito e começa a compreender, implicitamente, o conjunto
dos números inteiros.
A construção do número negativo – mais ainda do que o positivo – é testemunha da propriedade operatória do número. Sua origem pode ser buscada nas operações elementares do pensamento de acrescentar ou tirar um primeiro conjunto a outro. Tais operações não se limitam ao número, mas são de caráter mais geral e estão na base das reuniões ou associações das classes qualitativas, como nas operações inversas de separar ou dissociar. [...] Esta operação encontra-se também na vida cotidiana desde que o homem as aplica a situações econômicas (dívida e crédito) ou no percurso de um caminho (ida e volta, direita e esquerda). (TEIXEIRA, 1992, p. 58).
O que está ocorrendo é que muitos alunos estão chegando ao Ensino Médio,
e saindo dele, sem terem os conceitos básicos de números, do sistema decimal e
das operações fundamentais formados, Avila (2012), tendo muita dificuldade para
realizá-las.
Basta ver que recentemente, em um dos estados mais ricos da nação, as avaliações aplicadas pela Secretaria Estadual de Educação mostraram que quase 50% dos alunos que saem do ensino médio não aprenderam nem mesmo o básico da matemática. (SMOLE; DINIZ, 2012, p. 22).
O problema ocorre desde o Ensino Fundamental, mas quando chega ao
Ensino Médio piora.
85
Dados demonstram uma incapacidade dos alunos na aprendizagem desta disciplina, onde estes não conseguem atingir os patamares ideais de compreensão e correlação temáticas necessárias para a construção de um processo educacional eficiente. No entanto, estudos demonstram que, nas primeiras séries do Ensino Fundamental, a deficiência de nossos alunos em Matemática é a mesma chegando a ser mesmo ligeiramente menor (até ligeiramente menor) que em Português, mas quando se chega ao Ensino Médio, a situação se inverte. (GALLO, 2000, p. 118).
Do total de 396 exercícios, em 240 (61%) houve, pelo menos, um tipo de erro
das categorias gerais. Isso mostra que os alunos estão no Ensino Médio sem saber
operar, com destreza, a adição, subtração, multiplicação e divisão. Os erros foram
diversos, principalmente na utilização dos algoritmos convencionais, na
compreensão da grandeza dos números e na utilização do sistema decimal, como
ficou claro na variedade das categorias específicas. Entretanto, os erros mostram
também que muitos desses alunos não têm os conceitos formados, o que ajudaria,
por si mesmos, estimar valores e auto-corrigirem-se.
Depois de analisados e tabulados os dados da pesquisa, os alunos estavam
no segundo bimestre e aprenderam o conteúdo de matrizes. Após algumas aulas
sobre soma, subtração, multiplicação e determinantes de matrizes, foram aplicados
os testes de aprendizagem de matrizes (Anexos H, I e J) nos mesmos moldes dos
testes de conhecimentos prévios.
3.6 Hipótese de erros no estudo de Matrizes.
A partir de experiências como professor, como dito antes, percebo que os
alunos erram muito nas quatro operações durante as atividades em sala de aula,
principalmente, quando se trata de subtração de matrizes, em que temos subtração
de elementos positivos e negativos.
Com os testes de conhecimentos prévios houve a comprovação de que os
alunos, do Ensino Médio, erram muito nas quatro operações, porém foram aplicados
os testes de conhecimentos de matrizes para analisar se no assunto de matrizes
eles erram mais pelo conteúdo em si ou no processo durante a resolução dos
exercícios que exigem a compreensão e uso das operações.
86
3.7 Sobre os Testes de Conhecimentos de Matrizes.
A pesquisa contém como objetivo geral a análise da interferência que o
domínio das operações básicas tem na aprendizagem de matrizes, portanto, não
foram contemplados todos os subtemas desse conteúdo. Durante o segundo
bimestre do ano de 2012 os alunos aprenderam o conteúdo de Matrizes e os testes
foram aplicados no final de junho. Um fator contra a pesquisa foi a frequência dos
estudantes, que faltavam muito e apresentavam um péssimo costume de não irem
para escola nas sextas feiras, ainda mais no período noturno. Eram quatro aulas de
matemática por semana em cada sala, porém nas sextas feiras compareciam uma
média de 4 ou 5 alunos por sala, e em quase todas as ocasiões esses não eram os
alunos da pesquisa, o que, praticamente, reduziu de quatro para três aulas por
semana, excluindo as faltas individuais, que foi outro elemento que prejudicou na
compreensão do conteúdo para alguns alunos.
Durante o bimestre, o Aluno 5 compareceu duas vezes na escola e, mesmo
sendo tentado o contato, não apareceu para fazer os testes no dia da aplicação e
nem em dias alternativos. O Aluno 9 foi parcialmente frequente, assistiu um pouco
mais de 60% do total das aulas, praticamente mesma média dos demais colegas,
porém alegou problemas de ordem pessoal e não pôde realizar os testes no mesmo
dia que os colegas e nem em dias alternativos. Para não atrasar a pesquisa, foi
decidido por continuá-la apenas com os registros dos 10 alunos restantes.
Foram realizados dois testes, (Anexos H, I e J), por cada aluno. O primeiro
com 10 questões diretamente envolvidas com cálculos das quatro operações
básicas e outro com 10 exercícios abrangendo conceitos sobre Matrizes. Os
exercícios de matrizes continham, no máximo, 3 linhas e/ou 4 colunas, e foram
usadas somas, subtrações e multiplicações entre matrizes, multiplicação entre um
escalar e uma matriz, determinantes e alguns exercícios sobre posicionamento de
elementos, criação e conceitos de matrizes.
3.8 Aplicação dos Testes de Conhecimentos de Matrizes.
A aplicação dos testes da pesquisa ocorreu no dia 21 de Junho de 2012. Um
pouco depois das 17:00 horas, após acomodação dos alunos sentados de maneira
87
individual e distantes um do outro, foram lidos os testes rapidamente, explicando o
que cada exercício pedia, para não haver dúvidas causadas pela impressão ou
sinais, como das barras (|) que estavam separadas pela formatação do texto.
Posteriormente a leitura, começou a aplicação dos testes, (Anexos H, I e J), e foi
pedido para que resolvessem os exercícios da maneira que se sentissem mais
cômodos para isso, mas que sempre que fossem escrever alguma coisa, que o
fizessem na folha da prova. Em seguida ao término das três atividades foi feita a
correção dos exercícios e em seguida foram feitas perguntas. Enquanto os alunos
terminavam as provas, eram corrigidas e feitas as entrevistas, ao mesmo passo que
o restante da sala continuava com as resoluções dos exercícios. Depois de
entrevistado, o aluno saía da sala e aguardava no pátio pelo horário de entrada das
suas aulas do Ensino Médio, evitando assim conversas que atrapalhassem e
desconcentrassem seus colegas.
3.9 Análise do Desempenho nos Testes de Conhecimentos de Matrizes.
Na análise, tentou-se identificar as maiores dificuldades e facilidades dos
alunos na resolução dos testes.
3.9.1 Visão Geral da Análise do Desempenho nos Testes de Conhecimentos
de Matrizes.
Os testes, (Anexos H e I), foram divididos em completamente corretos ou
errados, onde os exercícios incorretos foram separados em erros próprios do
conteúdo de matrizes e/ou erros abrangendo as quatro operações, que poderiam ter
acontecido independente do conteúdo dos testes.
Na primeira tabela estão divididos os exercícios que envolvem adição ou
subtração de matrizes, indicados como adição, multiplicação de um escalar por uma
matriz ou multiplicação entre matrizes, chamados apenas de multiplicação, e
determinante de matriz, nomeados de determinante.
Nos exercícios que envolviam adição e subtração de matrizes houve 45% de
erros, sendo que as questões “a” e “b” envolviam apenas números naturais como
elementos e as respostas não apresentaram erros, já os que continham números
88
inteiros obtiveram 90% de erros. Houve 67,5% de erros nos exercícios de
multiplicação e 80% em determinantes, perfazendo, no total, 60% de erros.
3.9.2 Categorização dos Erros nos Testes de Conhecimentos de Matrizes 1.
Nesta etapa não foram analisadas as causas dos erros, mas a separação
deles quanto à origem, se era própria do conteúdo ou erros globais. Para categorizá-
los foi usado Souza (2002):
Ainda no esforço de aprofundamento da análise me proponho a organizar categorias para situar tais erros e fazer referências a algumas de suas possíveis causas. Em vista disso, farei uso de duas categorias que emergiram da leitura das respostas dos alunos. São categorias não excludentes, nomeadas como gerais e locais. Na primeira categoria identificam-se erros recorrentes em exercícios ou problemas em praticamente todos os conteúdos trabalhados, levando-me a crer que independem dos temas tratados e provavelmente apoiam-se em possíveis hipóteses gerais dos alunos no que se refere a propriedades, a cálculo, a regularidades e padrões, a abstrações, etc. Na segunda categoria os erros são pontuais, geralmente relacionados a hipóteses dos alunos motivadas por particularidades de cada tema e/ou por particularização de uma hipótese geral, anteriormente mencionada. (SOUZA, 2002, p. 118).
Das 100 questões propostas nos exercícios com cálculos, houve 60 com
erros, sendo 20% envolvendo erros locais, ou seja, específicos do conteúdo de
matrizes. Em 93,4% dos exercícios errados aparecem erros gerais, ligados aqui ao
cálculo incorreto das quatro operações.
Na categoria dos gerais temos os erros que reaparecem de forma sistemática nos conteúdos trabalhados durante a pesquisa que são os erros de cálculo e os erros que envolvem troca de operações e regras de sinais. Os erros presentes nessa categoria são considerados sistemáticos, pois segundo Rico (1995), aparecem com frequência, são sintomas de um método ou compreensão equivocada que o aluno considera e utiliza como correta e, geralmente são mais efetivos para revelar os processos mentais.
A categoria dos locais abarca os demais tipos de erros presentes no levantamento e também são considerados como erros sistemáticos pelo fato de se apresentarem da mesma maneira em situações diferentes. Estão classificados como:
1) Erros por apropriação deficiente de conceitos;
2) Erros por falta de compreensão e domínio de procedimentos;
3) Erros por fragilidade nas organizações conceituais que impedem a integração de novos conhecimentos. (SOUZA, 2002, p. 119).
Para facilitar a visão de todos esses números, seguem as tabelas com os
erros e acertos dos alunos, onde “G” significa erros Gerais, “L” representa erros
89
Locais, “–” retrata inexistência de correção e a ausência de caractere reflete o acerto
da questão. Os “códigos” A1, A2, etc. referem-se aos alunos, que realizaram os
testes, listados em ordem alfabética, sendo tratados todos durante os exemplos e
explicações, mesmo sendo feminino, no masculino. Como explicado antes, os
alunos 5 e 9 não participaram dessa parte da pesquisa.
Tabela 4 – Acertos e Erros nos Testes de Conhecimentos de Matrizes 1 A1 A2 A3 A4 A6 A7 A8 A10 A11 A12 Acerto por Questão
Adição a 100%
Adição b 100%
Adição c G G G G G G G G G 10%
Adição d G G LG G G G G G G 10%
Multiplicação e G 80%
Multiplicação f G G G G G G G 40%
Multiplicação g G LG G G G LG G G L 10%
Multiplicação h G G G LG G G G G G LG 0%
Determinante i G G G G G G 30%
Determinante j LG L L G G LG L G LG 10%
Acerto por Aluno
40% 40% 30% 40% 20% 60% 40% 30% 50% 50% 40%
G – Erros Gerais – São erros que envolvem cálculos mal sucedidos, por qualquer
motivo.
A partir do momento que as questões só foram consideradas corretas se
assim estivessem em sua totalidade, esse aluno deixou de acertar o exercício por
fazer “– 3 + 2 = – 5” e “7 + – 5 = 12”. Erros com a soma de números inteiros.
L – Erros Locais – Erros que são específicos do conteúdo de matrizes,
relacionados a não apropriação de conceitos, não entendimento do conteúdo ou não
domínio dos procedimentos do algoritmo de resolução.
( Ex. 50 – Adição c – A4 )
( Ex. 51 – Multiplicação g – A12 )
-5 12 0 = 5 -2 -1 -3 -3 -8
10304320
15314521
xxxx
xxxx
012
822
90
Apesar de o aluno ter feito todos os cálculos corretos, até mesmo usando
cálculo mental, errou o exercício no procedimento. Precisava ter feito “3 x –1” no
lugar de “0 x –1”.
Através do questionário, a maioria dos alunos alegou que as maiores
dificuldade durante a resolução dos testes de matrizes foram os cálculos e as
“regras de sinais” que são usadas com os números inteiros.
3.9.3 Acertos e Erros dos Testes de Conhecimentos de Matrizes 2.
A segunda avaliação apresentou um índice muito satisfatório de acertos,
ficando claro, neste teste, onde ocorreu a maior parte dos erros, que foi no exercício
9, que era sobre cálculo de determinante de matriz de ordem 3x3. Muitos dos alunos
fizeram as multiplicações dos elementos de forma correta, porém não acertaram em
inverter o sinal (ou acrescentar o sinal negativo) nas diagonais secundárias pelo
procedimento usando a regra de Sarrus. Esse problema específico pode ter tido
várias causas, entre elas o fato de ter sido o último conteúdo antes do fim do
bimestre e muitas avaliações ocorrendo nesse período, atrapalhando a
concentração dos alunos, que às vezes eram vistos, durante as aulas de
matemática, estudando para provas ou fazendo trabalhos de outras matérias.
A dificuldade em aprender matemática está associada a várias causas, podendo incluir as seguintes: ausência de fundamentos matemáticos, falta de aptidão, problemas emocionais, ensino inapropriado, inteligência geral, capacidades especiais, facilitação verbal e/ou variáveis psiconeurológicas. (FONSECA, 1995, p. 217).
O fato de ter ocorrido grande parte dos erros em uma só questão pode ter
acontecido a partir de algum tipo de obstáculo didático, como afirma Pais (2005):
Os obstáculos didáticos são conhecimentos que se encontram relativamente estabilizados no plano intelectual e que podem dificultar a evolução da aprendizagem do saber escolar. No que se refere ao estudo dos obstáculos didáticos, permanece um interesse de estabelecer os limites do paralelismo possível entre o plano histórico do desenvolvimento das ciências e o plano cognitivo da aprendizagem escolar. Se a didática se dispõe a estudar o
Confusão com regra de sinais.
(Ex. C – Questão 10 - Anexo J – A1)
A Minha maior dificuldade é o Calculo.
(Ex. D – Questão 10 - Anexo J – A6)
91
aspecto evolutivo da formação de conceitos, é conveniente admitir a flexibilização de que os obstáculos não dizem respeito somente às dificuldades históricas e externas ao plano da aprendizagem. (PAIS, 2005, p. 44).
A segunda tabela contém exercícios que não envolvem contas, apenas
conceitos de matriz ou procedimentos de resolução. Não foram considerados nem
certos e nem errados os exercícios 1, pela correção ser subjetiva, e 10, por não
existir resposta certa ou errada. Todos os percentuais foram arredondados.
Tabela 5 – Acertos e Erros nos Testes de Conhecimentos de Matrizes 2 A1 A2 A3 A4 A6 A7 A8 A10 A11 A12 Acerto
por Questão
Exercício 1 – – – – – – – – – – –
Exercício 2 100%
Exercício 3 100%
Exercício 4 100%
Exercício 5 100%
Exercício 6 X 90%
Exercício 7 100%
Exercício 8 100%
Exercício 9 X X X X X 50%
Exercício 10 – – – – – – – – – – –
Acerto por Aluno
100% 88% 88% 88% 100% 100% 75% 88% 100% 100% 83%
Como pode ser visto através dos dados, no primeiro teste, que envolvia
cálculo, conceitos e procedimentos, os alunos cometeram 20% dos erros no que
concerne ao conteúdo exclusivo de matrizes, e quase 94% estavam relacionados
diretamente às operações básicas.
No teste 1 houve uma média de 40% de acertos, já no teste 2, que não
envolvia contas, mas procedimentos e conceitos, uma média de 83%, mostrando
uma clara melhora no desempenho deles. Dos erros cometidos no segundo teste,
quase 84% foram particular de “determinantes de matrizes de ordem 3”, o que pode
mostrar, possivelmente, uma falha no processo de ensinar, e não necessariamente
no de aprender, apesar de 50% dos alunos terem acertado essa questão.
No primeiro teste, com 100 questões, apenas 12 delas possuem erros de
procedimentos ou conceitos, apesar de 60 estarem erradas. Isso não mostra que os
alunos não aprenderam o conteúdo Matriz. Deve-se atentar à resolução e
diagnosticar a origem dos erros para avaliar a situação e não pensar que os alunos
não aprenderam, pois houve um grande índice geral de erros. É preciso verificar se
92
o aluno aprendeu ou não matrizes, e, como visto nos dados, houve um
aproveitamento satisfatório em relação a isso.
Os aspectos técnicos de como realizar a avaliação são secundários, ainda que não irrelevantes. Na medida em que fazem referência a como realizar uma série de operações, são de importância para os professores, mas é mais transcendental ou prioritário dotá-los de conceitos e instrumentos críticos para analisar o conteúdo de avaliação e a utilização da mesma. (LUDKE; MEDIANO, 1992, p. 119).
Por outro lado, os alunos não deveriam errar tanto em contas simples das
operações básicas. Como exemplo, é citado o Aluno 6, que acertou 2 questões, no
total de 10, e as 8 que errou aconteceram apenas deslizes de soma, subtração ou
multiplicação. Esse aluno, aparentemente, entendeu bem o conteúdo de matrizes,
pois acertou 100% das questões que não envolviam cálculo e apenas 20% das que
envolviam, uma significativa diferença.
93
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Possivelmente há diversos obstáculos – epistemológicos, didáticos, culturais,
ontogênicos, extraclasse – que atuam no processo de aprendizagem das quatro
operações, conteúdo do Ensino Fundamental I. Essas barreiras influenciam para
que os alunos ingressem no Ensino Médio sem terem construído os conceitos
fundamentais esperados dessas operações aritméticas.
A pesquisa aponta para o fato de que a não construção dos conceitos
fundamentais esperados das quatro operações pode repercutir no insucesso
escolar, na retenção, e no receio dos alunos sobre esta área do conhecimento, pois
é a disciplina mais temida das escolas. Se os alunos possuíssem claros os conceitos
dos conteúdos matemáticos, em evidência aqui as quatro operações básicas,
haveria menos reprovação e não temeriam tanto essa matéria. Esses fatores
poderiam ajudar durante toda vida escolar, aprenderiam a importância dela em seus
cotidianos e conseguiriam perceber erros em que a resposta é muito discrepante,
parando de apoiarem-se somente em algoritmos convencionais e tendo alternativas
para a resolução de problemas e exercícios.
Durante os testes de conhecimentos prévios, os alunos podiam usar
quaisquer recursos para a resolução das atividades, entretanto, todos optaram por
usar os algoritmos convencionais. Nos rascunhos feitos é possível vê-los montando
a tabuada “decorada”, mas em raros momentos podemos vê-los fazendo alguma
soma de parcelas iguais ou alguma outra estratégia que os auxiliasse a obter a
multiplicação desejada. Mesmo apoiando-se nos algoritmos convencionais, é
perceptível que os alunos não se lembram mais como usá-los, acarretando na
grande variedade de erros. Apenas a partir dos conteúdos do segundo ano do
Ensino Médio, em especial as matrizes, os alunos não conseguem adquirir esse
conceito das operações básicas com os números naturais e/ou inteiros, pelo
contrário, a maioria deles queixa-se que a dificuldade dos exercícios está nos
cálculos.
Os erros mais frequentes durante a resolução de exercícios do teste de
matrizes 1 foram atribuídos à multiplicação e divisão de números naturais e às
94
operações em geral com os números negativos. Apesar de diversos tipos de erros
cometidos, relacionados à grandeza dos números, compreensão do sistema decimal
e ao algoritmo utilizado na resolução, a maior parte se deve a outras naturezas e
poderiam ser facilmente evitados com um pouco mais de concentração, por
exemplo.
Comparando o resultado dos testes de conhecimentos prévios, que verificava
os erros e acertos nas quatro operações, com o teste de conhecimento de matrizes
1, que continha exercícios de matrizes que eram necessários usar as quatro
operações para calculá-los, dos 10 alunos que fizeram as duas avaliações, a maioria
manteve os índices de acerto muito próximos, e a média de acerto geral foi
praticamente igual, ficando em 41% e 40%. Todos os alunos apresentaram aumento
no percentual de acertos do teste de matrizes 1 para o teste de matrizes 2,
consequentemente aumentaram também em relação ao teste prévio e teste de
matrizes 2, o que reforça a ideia de que a maior dificuldade deles ocorreu por causa
das quatro operações e não por causa do conteúdo de matrizes.
Os alunos que foram melhores no teste prévio, que supostamente têm melhor
o conceito das quatro operações, também foram melhores no teste de matrizes 1,
mostrando que conseguem relacionar bem as quatro operações com a resolução do
conteúdo do Ensino Médio. Já os alunos que foram piores na primeira avaliação,
não foram necessariamente os piores no último teste, o que revela que aprendem o
conteúdo de matrizes independentemente de saberem realizar as quatro operações.
Quando perguntado aos alunos se as quatro operações eram usadas em
algum conteúdo do Ensino Médio, a maioria deles respondeu que eram usadas em
trigonometria (conteúdo que estudaram recentemente), gráficos e nas matérias de
física e química, mostrando que entendem a importância dessas operações ainda no
Ensino Médio. Entretanto, quando questionados se elas eram usadas no cotidiano
deles, 34% responderam que as quatro operações não eram usadas em situações
do dia a dia deles, apontando que não fazem uma relação entre o conteúdo escolar
e seus cotidianos.
O foco desta pesquisa foi analisar se os alunos que possuem maior domínio
das quatro operações básicas conseguem aplicá-las nos conteúdos do Ensino
95
Médio, em especial as matrizes. Muitos professores reclamam que os alunos não
aprendem o conteúdo do Ensino Médio por terem dificuldades em ler ou não
dominar as quatro operações, mas o problema maior não está no fato de os alunos
não compreenderem o conteúdo, e sim no processo de resolução dos exercícios que
são exigidos as quatro operações.
É de extrema importância o professor do Ensino Fundamental I trabalhar com
problemas, jogos e diferentes situações do dia a dia para ajudar os alunos na
compreensão dos conceitos matemáticos, porém é imprescindível que os
professores seguintes, do Ensino Fundamental II e Médio, deem continuidade a
essa prática, não se limitando a ensinar apenas fórmulas e algoritmos, mas dando
continuidade ao trabalho de conceitos, para que os alunos saibam fazer essa
relação entre as operações básicas e novos conteúdos que estão aprendendo.
Aqui fica uma contribuição para que professores de Ensino Fundamental II e
Médio reflitam se o importante é olhar para o “certo/errado” de uma resposta, ou
analisar o porquê do aluno ter errado, o que está impedindo ele de acertar, ou
chegar o mais próximo de uma resposta esperada, se questionar se o aluno está
deixando de aprender a matéria trabalhada em sala, ou está errando durante o
processo de resolução que envolve as quatro operações.
96
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103
ANEXO A – Autorização do Responsável
Autorização para que os pais ou responsáveis permitam que os alunos participem da
pesquisa: A relação que os alunos fazem das quatro operações aritméticas com o
aprendizado do conteúdo de matrizes do ensino médio.
Autorização
Autorizo aluno(a)_________________________________________________do 2º
ano: turma: D, da Escola Estadual Professora Cleise Marisa de Siqueira, a participar do
trabalho de pesquisa sobre “O conhecimento das quatro operações aritméticas e a
aprendizagem de matrizes no ensino médio: análise de interferências”, desenvolvido pelo
professor de matemática Tiago Pereira de Avila, mestrando do Programa de Ensino em
Ciências e Matemática da Universidade Cruzeiro do Sul.
Tomo ciência que todas as informações obtidas referente ao aluno ficarão em pleno
sigilo, e serão usados somente os dados coletados para o estudo em questão, preservando
assim a identidade dos alunos participantes.
São Paulo, _____ de Março de 2012.
_________________________________________________________
(Assinatura dos pais ou responsável)
104
ANEXO B – Testes de Conhecimentos Prévios 1
Nome: __________________________________________________ Idade:__________
Código: ________ Série: _______ Turma: _______ Data:______/______/______
a) 417 + 561
b) 967 + 585
c) 397 + 402 + 1009
d) 858 – 534
e) 935 – 567
f) 8001 – 7896
105
ANEXO C – Testes de Conhecimentos Prévios 1
Nome: __________________________________________________ Idade:__________
Código: ________ Série: _______ Turma: _______ Data:______/______/______
g) 875 – 437 – 148
h) 348 – 489
i) 277 – 936
j) 378 + 232 – 702
k) 539 – 354 – 827
l) 283 – 465 – 918
106
ANEXO D – Testes de Conhecimentos Prévios 2
Nome: __________________________________________________ Idade:__________
Código: ________ Série: _______ Turma: _______ Data:______/______/______
a) 23 x 3
b) 84 x 5
c) 43 x 22
d) 76 x 328
e) 903 x 750
f) 69 / 3
107
ANEXO E – Testes de Conhecimentos Prévios 2
Nome: __________________________________________________ Idade:__________
Código: ________ Série: _______ Turma: _______ Data:______/______/______
g) 72 / 4
h) 81 / 6
i) 706 / 8
j) 1836 / 6
k) 1001 / 4
l) 2381 / 17
m) 4 / 5
108
ANEXO F – Testes de Conhecimentos Prévios 3
Nome: __________________________________________________ Idade:__________
Código: ________ Série: _______ Turma: _______ Data:______/______/______
1 – Uma pessoa tem 437 reais e seu amigo tem 875 reais. Se os dois juntarem o dinheiro que
têm, com quanto eles ficam?
2 – Dois amigos estavam jogando vídeo game. Quando eles pararam de jogar, um deles fez
3471 pontos e o outro fez 5375. Quantos pontos o vencedor fez a mais?
3 – Um marido tem 1837 reais e sua esposa tem 739 reais. Os dois querem, juntos, comprar
uma TV de LCD que custa 3420 reais. Quanto falta para eles conseguirem comprar essa TV?
4 – No Canadá a temperatura estava em -23 graus, e na Itália a temperatura estava em -5
graus. Depois de 10 horas, a temperatura do Canadá aumentou 7 graus e da Itália diminuiu 6
graus. Após a mudança de temperatura, qual país está mais frio e qual é a diferença de
temperatura entre os dois?
5 – Uma caixa é vendida com 18 ovos no mercado. Se uma pessoa compra 27 caixas, quantos
ovos vêm?
6 – Um aluno tem 6 matérias na escola e um caderno de 612 folhas. Se ele precisa deixar a
mesma quantidade de folhas para cada matérias, quantas folhas terá cada uma?
7 – Uma pessoa tem 312 reais, que vai dar de entrada em um tênis que custa 648, e vai
parcelar o restante em 7 vezes iguais. Quanto será o valor de cada parcela?
8 – Um saco de batatas contém 32 unidades. Para uma festa será necessário comprar 270
batatas para fazerem o prato principal. Após comprarem os sacos completos, quantas batatas
separadas serão necessárias para completar a quantia necessária?
109
ANEXO G – Testes de Conhecimentos Prévios 3
Nome: __________________________________________________ Idade:__________
Código: ________ Série: _______ Turma: _______ Data:______/______/______
1 – O que é adição?
2 – O que é subtração?
3 – O que é multiplicação?
4 – O que é divisão?
5 – O que são números positivos?
6 – O que são números negativos?
7 – Qual foi a sua maior dificuldade para resolver os três testes e por quê?
8 – As quatro operações (Adição, Subtração, Multiplicação e Divisão) são usadas nos
conteúdos do ensino médio? Se sim, em quais conteúdos?
9 – As quatro operações (Adição, Subtração, Multiplicação e Divisão) são usadas em
situações da vida real em seu dia a dia? Se sim, em quais situações?
110
ANEXO H – Testes de Conhecimentos de Matrizes 1
Nome: __________________________________________________ Idade:__________
Código: ________ Série: _______ Turma: _______ Data:______/______/______
a) | 2 7 0 | + | 3 4 2 |
| 5 9 0 | | 7 6 0 |
b) | 9 5 | – | 5 1 |
| 3 7 | | 2 4 |
c) | -3 7 4 | | 2 -5 -4 |
| 4 5 -1 | + | 1 -7 0 |
| 0 2 -6 | | -3 -5 -2 |
d) | -2 0 6 | | 4 3 8 |
| 7 1 5 | – | 5 -5 2 |
| 8 -4 0 | | 6 -3 -4 |
e) 3 x | -2 0 |
| 1 4 |
f) -5 x | 0 1 |
| -3 7 |
111
ANEXO I – Testes de Conhecimentos de Matrizes 1
Nome: __________________________________________________ Idade:__________
Código: ________ Série: _______ Turma: _______ Data:______/______/______
g) | 1 -5 | x | -2 -3 |
| 0 3 | | 4 -1 |
h) | 4 0 1 | | -4 3 -2 |
| -3 2 5 | x | 1 -5 4 |
| 1 -1 3 | | 0 6 -1 |
i) Calcule o determinante | 2 0 |
| -3 1 |
j) Calcule o determinante | -3 1 -2 |
| 2 0 4 |
| 6 -5 7 |
112
ANEXO J – Testes de Conhecimentos de Matrizes 2
Nome: __________________________________________________ Idade:__________
Código: ________ Série: _______ Turma: _______ Data:______/______/______
1 – O que é uma matriz?
2 – Quantas linhas e quantas colunas têm a seguinte matriz?
| 2 7 0 |
| 5 9 0 |
3 – Quanto vale o elemento da terceira linha e segunda coluna da seguinte matriz?
| -3 1 |
| 2 0 |
| 6 -5 |
4 – Crie uma matriz de 2 linhas e 4 colunas, onde: A11 = 7, A12 = 0, A13 = -4, A14 = -8,
A21 = 1, A22 = 0, A23 = -3, A24 = 1.
5 – Na matriz seguinte, complete a subtração com os elementos correspondentes.
| c f | – | a w | = | c - ___ f - ___ |
| z u | | x e | | z - ___ u - ___ |
6 – Na multiplicação entre matrizes, devemos:
( ) a) Multiplicarmos linha com linha e somarmos os resultados
( ) b) Multiplicarmos linha com linha e multiplicarmos os resultados
( ) c) Multiplicarmos linha com coluna e somarmos os resultados
( ) d) Multiplicarmos linha com coluna e multiplicarmos os resultados
7 - Na matriz seguinte, complete a multiplicação com os elementos correspondentes. | Z A F | | B M O | | Zx __ + Ax __ + Fx __ Zx __ + Ax __ + Fx __ Zx __ + Ax __ + Fx __ |
| R G K | x | E A V | = | Rx __ + Gx __ + Kx __ Rx __ + Gx __ + Kx __ Rx __ + Gx __ + Kx __ |
| L U Y | | E P D | | Lx __ + Ux __ + Yx __ Lx __ + Ux __ + Yx __ Lx __ + Ux __ + Yx __ |
8 – Como fazemos o determinante da seguinte matriz?
| a x |
| b y |
9 – Como fazemos o determinante da seguinte matriz?
| Z A F |
| R G K |
| L U Y |
10 – Qual foi a sua maior dificuldade no conteúdo em matrizes? Por quê?