Milene Pimenta

Considere a matriz

A =

que possui m linhas e n colunas. Diz-se que

é uma matriz de ordem m por n e escreve-se

A(m,n).

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

....

....................

....

.....

21

22221

11211

Cada elemento será representado por aij.

A matriz A poderá ser representada por

A = [aij] , onde i = 1,..., m e j = 1,..., n.

Tipos de Matrizes:

Matriz Retangular: Quando m ≠ n.

Matriz-Coluna: Quando n = 1.

Matriz-Linha: Quando m = 1.

Matriz Quadrada: Quando m = n. Diz-se que

A é matriz de ordem n.

Numa matriz quadrada, pode-se definir a

diagonal principal e a diagonal secundária.

Os elementos aij , onde i = j constituem a

diagonal principal. Os elementos aij , onde i +

j = n + 1, constituem a diagonal secundária.

Exemplo: Dada a matriz quadrada A de ordem 3,

onde:

A =

os elementos da diagonal:

principal são: 1, 5 e 9;

secundária são 3, 5 e 7.

987

654

321

Matriz Diagonal: É uma matriz quadrada onde

aij = 0 se i ≠ j.

Exemplo:

A =

4000

0300

0020

0001

Matriz Escalar: É uma matriz diagonal que

possui os elementos aij iguais entre si para

i = j.

Exemplo:

A =

3000

0300

0030

0003

Matriz Unidade( ou Identidade): É uma matriz

escalar em que aij= 1 se i = j e é

representada por I.

Exemplo:

A = = I

1000

0100

0010

0001

Matriz Zero: É a matriz em que aij = 0 , i, j.

Ela é representada por ℴ.

Exemplo:

A =

000

000

000

Operações Básicas:

Igualdade de Matrizes: A(m,n) = [aij] = B(m,n) =

[bij] se, e somente se, aij = bij .

Adição de Matrizes: Se A(m,n) = [aij] e B(m,n) =

[bij], A+ B = C = [cij], onde cij= aij + bij.

Produto por um Escalar: Se A(m,n) = [aij] e

ℝ, A = B = [bij], onde bij = aij .

Produto entre Duas Matrizes: Se A(m,p) = [aik]

= B(p,n) = [bkj], então A.B = C(m,n) = [ cij] ,

onde

cij = .

p

k

kjikba1

.

Matriz Transposta: A matriz transposta de

A(m,n), é a matriz AT(n,m), que se obtém da

matriz A permutando as linhas pelas colunas

de mesmo índice.

Exemplo:

A = e AT =

987

654

321

963

852

741

Propriedades:

(i) (A+B)T = AT + BT ,

(ii) (A)T = AT,

(iii) (AT)T = A,

(iv) (AB)T = BTAT.

Matriz Simétrica: Uma matriz quadrada A é

simétrica se A = AT.

Exemplo:

A = é matriz simétrica pois

A = AT .

653

542

321

Matriz Anti-simétrica: Uma matriz quadrada

A é anti-simétrica se A = -AT.

Exemplo:

A = é anti-simétrica pois

A = - AT .

032

301

210

Matriz Ortogonal: Uma matriz quadrada A é

ortogonal se AAT = I = ATA.

Exemplo: A = é matriz

ortogonal pois AAT = I = ATA.

De fato,

5/35/4

5/45/3

A.AT = . = = I

ATA = . = = I

5/35/4

5/45/3

5/35/4

5/45/3

10

01

5/35/4

5/45/3

5/35/4

5/45/3

10

01

Matriz Triangular Superior ( Inferior): Uma

matriz quadrada A = [aij] que tem os

elemento aij= 0 , para i > j ( para i < j) , é

uma matriz triangular superior ( inferior).

Uma matriz é dita triangular se ela for

triangular superior ou inferior.

Exemplo:( Matriz Triangular Superior)

A =

10000

9800

7650

4321

Potência de Uma Matriz: Uma matriz

quadrada A = [aij] pode ser multiplicada n

vezes por si mesma.

A matriz que resulta dessas operações ,

denotada por An, é chamada potência n da

matriz A.

Matriz Periódica: Uma matriz quadrada é dita

uma matriz periódica se existe n > 1 tal que:

An = A.

Se p é o menor inteiro maior do que 1 para o

qual Ap = A, diz-se que o período de A é p-1.

Matriz Idempotente: É uma matriz periódica em que A2 = A.

Exemplo:

A = e

A2 = . =

455

343

112

455

343

112

455

343

112

455

343

112

Matriz Nihilpotente: é uma matriz quadrada

A, em que existe p> 1, tal que Ap = ℴ. Se k é

o menor inteiro maior que 1 tal que Ak= ℴ,

diz-se que A é matriz nihilpotente de “índice”

k.

Exemplo: ( Matriz Nihilpotente)

A = e

A2 = . =

444

333

111

444

333

111

444

333

111

000

000

000