aula de matrizes. jorge marcio

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MATRIZES

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Representação de uma MatrizRepresentação de uma Matriz

Matrizes especiais Matrizes especiais

Igualdade de MatrizesIgualdade de Matrizes

Adição e SubtraçãoAdição e Subtração

Multiplicação de um número real por uma Multiplicação de um número real por uma MatrizMatriz

Multiplicação de Matrizes Multiplicação de Matrizes

Matriz Inversa Matriz Inversa

MATRIZES


Quando abrimos jornais e revistas, encontramos com

frequência informações numéricas organizadas na forma

de tabelas com linhas e colunas. Em matemática essas

tabelas são chamadas de matrizes.

Vejamos um exemplo clássico de matriz que usamos constantemente.

MATRIZES


Colocação Time PG J V E D GP GC SG %

1º São Paulo 77 38 23 8 7 55 19 36 68%

2º Santos 62 38 19 5 14 57 47 10 54%

3º Flamengo 61 38 17 10 11 55 49 6 54% Fluminense 61 38 16 13 9 57 39 18 54%

5º Cruzeiro 60 38 18 6 14 73 58 15 53%

6º Grêmio 58 38 17 7 14 44 43 1 51%

Palmeiras 58 38 16 10 12 48 47 1 51%

8º Atlético-MG 55 38 15 10 13 63 51 12 48%

Botafogo 55 38 14 13 11 62 58 4 48%

10º Vasco 54 38 15 9 14 58 47 11 47%

Internacional 54 38 15 9 14 49 44 5 47%

Atlético-PR 54 38 14 12 12 51 50 1 47%

13º Figueirense 53 38 14 11 13 57 56 1 46%

14º Sport 51 38 14 9 15 54 55 -1 45%

15º Náutico 49 38 14 7 17 66 63 3 43%

16º Goiás 45 38 13 6 19 49 62 -13 39%

17º Corinthians 44 38 10 14 14 40 50 -10 39%

18º Juventude 41 38 11 8 19 43 65 -22 36%

Paraná 41 38 11 8 19 42 64 -22 36%

20º América-RN 17 38 4 5 29 24 80 -56 15%

BRASILEIRÃO 2007BRASILEIRÃO 2007

MATRIZES

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MATRIZES

Representação de uma Representação de uma MatrizMatriz

Consideremos uma matriz A do tipo m x n. Um elemento qualquer dessa Consideremos uma matriz A do tipo m x n. Um elemento qualquer dessa matriz será representado pelo símbolo amatriz será representado pelo símbolo aij, ij, no qual o índice i refere-se à no qual o índice i refere-se à linha em que se encontra tal elemento e o índice j refere-se à coluna em linha em que se encontra tal elemento e o índice j refere-se à coluna em que se encontra tal elemento.que se encontra tal elemento.

A =

a11 a12a13 a14 ............a1n

a21 a22a23 a24 ............a2n

a31 a32a33 a34 ............a3n

a41 a42a43 a44 ............a4n.....

.....

.....

.....

.....

am1 am2am3 am4 ............amn

m x n

Escreve-se matriz A= (aij)m

x n

com “m” linhas e “n” colunas


MATRIZES Exemplo :

Como construir uma matriz A= (aij)2x3 onde aij= 2i + j

Solução:

aij= 2i + j

a11= 2(1) + 1 = 3a12= 2(1) + 2 = 4a13= 2(1) + 3 = 5a21= 2(2) + 1 = 5a22= 2(2) + 2 = 6a23= 2(2) + 3 = 7

A=

a11

a21

a12

a22

a13

a23

=3

5 6 7

4 5


Matrizes especiaisMatrizes especiais

MATRIZES

Matriz LinhaMatriz LinhaMatriz ColunaMatriz ColunaMatriz IdentidadeMatriz Identidade

Matriz nulaMatriz nula

Matriz quadrada Matriz quadrada

a11 a12a13 a14 .....

.a1na11

a21

a31

a41.....am1

a21

a31

a41.....am1

m x 1

1 x n

a11 a12 a13 a14............a1m

a21 a22 a23 a24............a2m

a31 a32a33 a34............a3m

a41 a42 a43 a44............a4m..... ..... ..... ..... .....

am1am2am3am4............amm

m x m

0 0 0 0 0 .... 0 0 0 0 0 0 .... 0 0 0 0 0 0 .... 0 0 0 0 0 0 .... 0 ...

.........

...

...0 0 0 0 0 .... 0

1 0 0 0 0 ....0 0 1 0 0 0 ....0 0 0 1 0 0 ....0 0 0 0 1 0 ....0 ...

.........

......

0 0 0 0 0 ....1


MATRIZES

Matriz TranspostaMatriz Transposta

Dada uma matriz A de ordem m x n, a matriz transposta dela será representada por At de ordem “invertida” n x m, isto é, troca-se linha por coluna.

A =a b c e f g i j k m n o

Então At =

4 x 3

a

b

c

e

f

g

i

j

k

m

n

o 3 x 4


MATRIZES

Igualdade de MatrizesIgualdade de Matrizes

Duas matrizes A e B são iguais se todos os termos correspondentes são iguais.

A=

a11

a21

a12

a22

a13

a23

Sendo A = B então :

a11

a21

a12

a22

a13

a23

=10

11 16 3

6 9

B=10

11 16 3

6 9

a11=

a21

a12

a22

a13

a23

10

11163

6

9

=

====


MATRIZES

Adição e SubtraçãoAdição e Subtração

Só podemos somar ou subtrair duas matrizes se as mesmas tiverem mesma ordem.

Sejam as matrizes eA = B =

EXEMPLO:

A + B =

2 35 8

3 12

+ = =

-2 143 1

2 3

2 35 8

3 12

-2 143 1

2 3

2-2 3+14

5+3 8+1

3+2 12+3

0 178 9

5 15


MATRIZES

Multiplicação de um número real por uma MatrizMultiplicação de um número real por uma Matriz

B=10

11 16 3

6 9Seja a matriz

Então

2.B =20

22 32 6

12 18

3.B =30

33 48 9

18 27

1/2.B =5

11/2 8 3/2

3 9/2


Multiplicação de MatrizesMultiplicação de Matrizes

MATRIZES

Para que possamos multiplicar duas matrizes A e B, teremos que ter o número de colunas da primeira igual ao número de linhas da segunda.Exemplo:

Sejam as matrizes A e B , calcule se for possível A.BA = 2 5 6 4 3 8

B = 1

9

6

7

8

2

A.B = 2 5 6 4 3 8

1

9

6

7

8

2=

2.1 + 5.9

=

472.6 + 5.72 5 6 4 3 8

1

9

6

7

8

2

472.8 + 5.2 26

6.1 + 4.96.6 + 4.76.8 + 4.2

3.1 + 8.93.6 + 8.73.8 + 8.2

42 64 56

75 74 40

23x 2 3x

3 x 3

colunas linhas


MATRIZES

Matriz InversaMatriz Inversa

Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Uma matriz B é chamada inversa de A se, e somente se, A.B = B.A = In

MATRIZ IDENTIDADE

DE ORDEM n

Exemplo: Encontre a matriz inversa de A, sabendo que

A = 2 0

1 3


SOLUÇÃO DO EXERCÍCIOSOLUÇÃO DO EXERCÍCIO

A .A-1 = I2 1 3

1 0

0 1 =

1 0

0 1 =

2a - b

a + 3b

2c -d

c + 3d

2 -1 a

b

c

d

2a – b = 1

a + 3b = 0

(-2)

2a – b = 1

-2a -6b = 0

(+)

-7b = 1

A A-1 I2

b=-1/7

2a – b = 12a - (-1/7) = 1

2a = 1 + (-1/7)

2a = 1 - 1/7

2a = 6/7 a = 3/7

2c - d = 0

c + 3d = 1

(3)

6c - 3d = 0

c + 3d = 1(+)

7c = 1c = 1/7

2(1/7) - d = 0

2/7 - d = 0

2c - d = 0

d = 2/7

a

b

c

d =A-1 =

3/7

-1/7

1/7 2/7

2 -1 a

b

c

d 1 3


Três barracas de frutas, B1, B2‚ e B3, são propriedade de uma mesma empresa. Suas vendas são controladas por meio de uma matriz, na qual cada elemento bij representa a soma dos valores arrecadados pelas barracas Bi e Bj em milhares de reais, ao final de um determinado dia de feira. x 1,8 3,0

a y 2,0

d c 7

B=

VESTIBULAR UERJ 2006

Calcule, para esse dia, o valor, em reais:a) arrecadado a mais pela barraca B3 em relação à barraca B2;b) arrecadado em conjunto pelas três barracas.


SOLUÇÃO

x 1,8 3,0

a y 2,0

d c 7

=

b11 b12 b13

b21 b22 b23

b31 b32 b33

Sabemos que a Matriz B é em sua essência :

Pelo enunciado bij = Bi+ Bj ,

Então b12 = 1,8 = B1+ B2

E também b13 = 3,0 = B1+ B3

o que a barraca B3 arrecadou a mais que a barraca B2 será o resultado de

b13 – b12 = ( B1+ B3 ) – (B1+ B2 ) = B3 – B2 = 3,0 – 1,8 = 1,2 = 1.200,00

Letra a:


Letra b:

SOLUÇÃO

x 1,8 3,0

a y 2,0

d c 7

=

b11 b12 b13

b21 b22 b23

b31 b32 b33

Calcule, para esse dia, o valor, em reais arrecadado em conjunto pelas três barracas.

b13 + b12 + b23 = ( B1+ B3 ) + (B1+ B2 ) + (B2 + B3) = 1,8 + 3,0 + 2,0

2B1+ 2B3 + 2B2 = 6,8

logo B1+ B3 + B2 = 3,4 = 3.400,00


Uma fábrica de guarda-roupas utiliza três tipos de fechaduras (dourada, prateada e bronzeada) para guarda-roupas em mogno e cerejeira, nos modelos básico, luxo e requinte. A tabela 1 mostra a produção de móveis durante o mês de outubro de 2005, e a tabela 2, a quantidade de fechaduras utilizadas em cada tipo de armário no mesmo mês.

A quantidade de fechaduras usadas nos armários do modelo requinte nesse mês foi dea) 170 b) 192. c) 120. d) 218. e) 188.

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