palestra matrizes
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Oquevocêencontraránesteguia
ParaquêsevemmatrizesecomouGlizar;
Explicaçãodasfórmulasmaiscomuns;
ExemplospráGcosdejogos;
SituaçõesmaisvoltadasparaRsicaparajogos.
2
(10,-8)
(8,10)
Oquevocênãoencontraráaqui
PráGcasmatemáGcasavançadas;
Nãovamosnosaprofundarmuitonaparte3D;
Computaçãográficaavançada;
Focoemsistemasdeequaçõeslineares.
3
Importante
Assistaaoguiadesobrevivênciadevetoresdaglobalgamejamdoanopassado:
h[ps://www.youtube.com/watch?v=0ScX3TOibKA
h[ps://www.youtube.com/watch?v=V3jwGZhAzMY
4
5
6
7
8 X
Y
Y’
X’
(X’,Y’)
9 X
Y
Y’
X’
(X’,Y’)
10
⇢3x+ 2y = 7�6x+ 6y = 6
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Álgebra linear
Sistemas de equações lineares
Teoria dos Determinantes
Matrizes
(<< 0)
(XVII - XVIII)
(XIX)
⇢3x+ 2y = 7�6x+ 6y = 6
� =
������
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
������
12
⇢3x+ 2y = 7�6x+ 6y = 6
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O objetivo deste guia é fazê-lo entender como
utilizar a equação matricial abaixo:
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Seus personagens
Photoshop (2D) Maya (3D)
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Entendendo as proporções
Photoshop (2D)(200, 0)
(0, 300)v = (200, 0)
u = (0, 300)
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Entendendo as proporções
(1, 0)
(0, 1)Comproporção1:1,opersonagempossuialturaelargurade200x300.
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Entendendo as proporções
Comproporção2:2,opersonagempossuialturaelargurade400x600.
(2, 0)
(0, 2)
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(2, 0)
(0, 2)
Sistema de Coordenadas = Matriz
(1, 0)
(0, 1)
Matriz identidade
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Transformações lineares
Sãooperaçõesrealizadassobreumsistemadecoordenadas;
PodemoschegaraqualquersistemadecoordenadasexistenteuGlizando3transformaçõesbásicas:Translação,RotaçãoeEscala;
Amatriziden5daderepresentaumsistemadecoordenadassemtransformaçãoalguma:
É,basicamente,opersonagemcomoelefoiexportadodophotoshopoumaya.
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Multiplicação de matrizes
c11 = a11 • b11 + a12 • b21
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Escala
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Como aplicar transformações
(200, 300) ÷ 2 = (100, 150) = (ox, oy)
(0,0)
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Como aplicar transformações
(ox, oy)
(ox, -oy)(-ox, -oy)
(-ox, oy)
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Como aplicar transformações
(ox, oy)
(ox, -oy)(-ox, -oy)
(-ox, oy) (-2ox, oy) (2ox, oy)
(-2ox, -oy) (2ox, -oy)
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Como aplicar transformações
(-2ox, oy) (2ox, oy)
(-2ox, -oy) (2ox, -oy)
ex:
26
Como aplicar transformações
?
27
Como aplicar transformações
A regra é a mesma: Para todo vértice do
personagem, multiplique-o pela
matriz de transformação
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Rotação
30˚
29
Rotação
(x, y)
(-y, x)(cos, sin)
(-sin, cos)
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Rotação no 3D Euler Angles
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Euler Angles
Multiplicando-se o vetor por essas
matrizes, é possível chegar a qualquer
orientação no espaço tridimensional
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Euler Angles
Proper Euler angles (z-x-z, x-y-x, y-z-y, z-y-z, x-z-x, y-x-y)
Tait–Bryan angles (x-y-z, y-z-x, z-x-y, x-z-y, z-y-x, y-x-z).
Regradamãodireitaeesquerda
33
Regradamãodireitaeesquerda
34
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Translação
Sistemadecoordenadashomogêneoeatranslação
36
2 00 2
�2
41 0 00 1 00 0 1
3
5
50100
�
2
42 0 500 2 1000 0 1
3
5
Sistemadecoordenadashomogêneo
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2 00 2
�2
41 0 00 1 00 0 1
3
5
50100
�
2
42 0 500 2 1000 0 1
3
5
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Álgebra linear
Estudosdosespaçosvetoriaisedasrelaçõesentreessesespaçosvetoriais:
Matriz–Matriz;
Matriz–Vetor;
Vetor–Vetor.
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Agrupamento de transformações
MulGplicandoasmatrizesdetransformação,épossívelagrupá-lasemumsistemadecoordenadas,facilitandoaaplicaçãodatransformação;
Aoinvésde:
T•X+R•X+E•X
Temos:
T•R•E•X
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Comutatividade das transformações